Сложные интегралы формулы: Таблица интегралов, таблица основных интегралов для школьников и студентов

5.1.6. Сложные интегралы

Данная статья завершает тему неопределенных интегралов. Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.

Какие интегралы будут рассмотрены?

Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям. То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. И даже больше.

Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов.

Третьим номером программы пойдут интегралы от дробей, которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях.

В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки.

И в заключении рассмотрим интеграл от корня, под которым находится дробь, а в числителе и знаменателе дроби – линейные функции.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл

Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову – избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной, сама техника замены специфична, и она подробно рассмотрена на уроке 

Интегралы от иррациональных функций. Проведем замену:

После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь: 

Осталось выяснить, во что превратится  . Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены:

И само собой раскрываем дифференциалы:

На чистовике решение кратко записывается примерно так:

Проведем замену:

В результате замены получен знакомый тип интеграла, который интегрируется по частям:

(1) Выносим   за скобки. К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей.

(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала.

(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как  .

(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены   «тэ»: 

Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)

Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.

На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти неопределенный интеграл

Пример 3

Найти неопределенный интеграл

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, очевидно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде  .

Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др.

функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.

как найти для сложной функции и в квадрате, таблица

Что такое интеграл от натурального логарифма

Натуральным логарифмом называют такой логарифм, основание которого представляет собой число е или число Эйлера с приближенным значением в 2,71.

Получение интеграла натурального логарифма возможно с применением формулы интегрирования по частям. По итогам вычислений получают уравнение:

\(\int \ln x dx = x\ln x – x + C\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данная формула является результатом использования методики интегрирования по частям уравнения, записанного ниже, к заданному интегралу:

\(\ \int u d v=u v-\int v d u\)

Таким образом, выражение является равным:\(\ \int \ln x d x\left\|\begin{array}{ll}{u=\ln x} & {d v=d x} \\ {d u=\frac{d x}{x}} & {v=x}\end{array}\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C \).

В том случае, когда \(u=\phi _{1}(x)\) и \(v=\phi _{2}(x)\) являются дифференцируемыми функциями от х в скобках, можно использовать уравнение для дифференциала умножения пары функций:

\(d (uv) = udv + vdu\)

В результате получим формулу интегрирования по частям:

\(\int udv=uv-\int vdu\)

Данная закономерность имеет смысл при условии равенства подынтегральной функции произведению алгебраической и трансцендентной функции.

В роли u, как правило, используют функцию, упрощенную в результате дифференцирования. Обозначение dv соответствует оставшейся части подынтегрального выражения, которое содержит dx и позволяет найти v с помощью метода интегрирования.

Примечание

В особых случаях, чтобы свести рассматриваемый интеграл к табличной форме, целесообразно использовать выведенную формулу не один, а несколько раз. В редких ситуациях интеграл можно определить из алгебраического уравнения, которое является результатом интегрирования по частям. 2 x – 2x\ln x + 2x + C\)

Задача

Необходимо решить интеграл: \(\ \int \ln (x+1) d x\)

Решение:

В первую очередь требуется заменить переменные в рассматриваемом выражении:\(\ \int \ln (x+1) d x\left\|\begin{array}{c}{ | x+1=t \|} \\ {d x=d t}\end{array}\right\|=\int \ln t d t=t \ln t-t+C \).

Обратившись к начальной интегральной переменной х, можно записать следующее уравнение:

\(\ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)

\(Ответ: \ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)

Интегральная формула Коши | Brilliant Math & Science Wiki

Самир Кайласа, Кристофер Уильямс, Самир Хан, и

способствовал

Содержимое

• Формула дифференцирования Коши
• Примеры 9{n+1}} \, dz. f(n)(a)=2πin!∫γ​(z−a)n+1f(z)​dz.

  Содержание этой формулы состоит в том, что если известны значения f(z)f(z)f(z) на некоторой замкнутой кривой γ\gammaγ, то можно вычислить производные от fff внутри области, ограниченной γ\ gammaγ через интеграл. Формулу можно доказать индукцией по n:n:n:

  Случай n=0n=0n=0 — это просто интегральная формула Коши. Предположим, что формула дифференцирования верна для n=kn=kn=k. Используя дифференцирование под интегралом, имеем 93} \, dz,∫C​z3cos(z)​dz,

  , где CCC — единичная окружность с центром в 0 и положительной ориентацией (против часовой стрелки).

  В качестве приложения интегральной формулы Коши можно доказать теорему Лиувилля , важную теорему комплексного анализа. Эта теорема утверждает, что если функция голоморфна всюду в C\mathbb{C}C и ограничена, то эта функция должна быть постоянной.

  Если f:C→Cf: \mathbb{C} \to \mathbb{C}f:C→C голоморфно и существует M>0M > 0M>0 такое, что ∣f(z)∣≤M|f(z )| \le M∣f(z)∣≤M для всех z∈Cz\in \mathbb{C}z∈C, то fff постоянно.

  9{(n)}(a) = 0f(n)(a)=0. Таким образом, все производные от fff всюду равны 0, и отсюда следует, что fff постоянна. □_\квадрат□​

  2−5i2-5i2−5i 1+7i1+7i1+7i −1+7i-1+7i−1+7i −2+5i-2+5i−2+5i

  Предположим, что f:C→Cf: \mathbb{C} \to \mathbb{C}f:C→C голоморфно. Кроме того, предположим, что

  ∣f(z)∣≤5∣z∣|f(z)| \le 5|z|∣f(z)∣≤5∣z∣

  для всех z∈Cz\in \mathbb{C}z∈C. Если f(1)=3+4if(1) = 3+4if(1)=3+4i, что такое f(1+i)?f(1+i)?f(1+i)?

  Цитировать как: Интегральная формула Коши. Brilliant.org . Полученное из https://brilliant.org/wiki/cauchy-integral-formula/

  Интегральные представления в многомерном комплексном анализе

  Представление голоморфной функции через ее граничные значения с помощью интегральных формул является одним из наиболее важные инструменты классического комплексного анализа (см. также Краевые задачи теории аналитических функций, Аналитическое продолжение в область определения функции, заданной на части границы). В случае одной комплексной переменной известная интегральная формула Коши играет доминирующую и уникальную роль в теории функций. Напротив, в более высоких измерениях существуют многочисленные обобщения, которые открывались постепенно в течение многих десятилетий, каждое из которых имело свои особые свойства и приложения. Более того, эти интегральные формулы, как правило, зависят от рассматриваемой области и тесно отражают комплексно-аналитические/геометрические свойства границ таких областей. 9{ n } } \ int _ { b _ { 0 } P } \ frac { f ( \ zeta ) d \ zeta _ { 1 } \ldots d \ zeta _ { n } } { ( \ zeta _ { 1 } – z _ { 1 } ) \ldots ( \zeta _ { n } – z _ { n } ) } , z \in P, \end{equation*}

  для непрерывной функции $f : \overline{P} \rightarrow \mathbf{C}$, голоморфной по каждой переменной в отдельности (и тем самым, в частности, голоморфной для $f$). Здесь интегрирование осуществляется по выделенной границе $b _ { 0 } P = \{ ( \zeta _ { 1 } , \dots , \zeta _ { n } ) : | \ дзета _ { j } – a _ { j } | = r _ { j } , j = 1 , \dots , n \}$, произведение $n$ окружностей и, следовательно, строго меньшее подмножество топологической границы $\partial P$ при $n > 1$. Как и в размерности один, эта формула подразумевает стандартные локальные свойства голоморфных функций, например представление локального степенного ряда. При подходящем предположении аналогичная формула (интегральная формула Бергмана–Вейля, ср. также представление Бергмана–Вейля) выполняется на аналитических многогранниках, т. е. областях $A$, описываемых $A = \{ | час _ { 1 } ( z ) | < 1 , \ точки , | час _ { \text{l} } ( z ) | < 1 \}$ для некоторых голоморфных функций $h _ { 1 } , \dots , h _ { \operatorname {l} }$ в окрестности $\bar{A}$. Эта формула явно включает функции $h _ { 1 } , \dots , h _ { \operatorname {l} }$, и интегрирование выполняется по соответствующей выделенной границе $A$, как указано выше. Важной особенностью формулы Бергмана–Вейля является голоморфная зависимость подынтегральной функции от свободной переменной $z$, что очевидно в приведенной выше формуле полидиска. 9{ j – 1 } ( \ overline { \ zeta _ { j } } – \ overline { z _ { j } } ) d \ overline { \ zeta _ { 1 } } \ bigwedge \ldots \ bigwedge [ d \ overline { \ zeta _ { j } } ] \ bigwedge \ldots \ bigwedge d \ overline { \ zeta _ { n } } , \ omega ( \ zeta ) = d \ zeta _ { 1 } \ bigwedge \ cdots \ bigwedge d \ zeta _ { п }, \end{уравнение*}

  , справедливое для голоморфных функций $f$ в произвольных областях, включает интегрирование по всей топологической границе (предполагаемой здесь дифференцируемой), но подынтегральная функция уже не голоморфна в $z$, за исключением $n = 1$; здесь $[ d \overline { \zeta _ { j } } ]$ означает, что нужно «опустить dzj» , так что бистепень-$( n , n – 1 )$-форма интегрируется. Эта формула является простым следствием формул Грина в теории потенциала: указанное выше ядро ​​$K_{\text{BM}} (\zeta , z )$ равно $- 2 * \partial _ { \zeta } N ( \ zeta , z )$, где $*$ — оператор Ходжа (ср. { n } f _ { j } d \overline { z _ { j } }$ (т.е. для решения системы $\partial u / \partial \overline {z_j} = f_j $, $j = 1, \ldots, n$) важно заменить ядро ​​Бохнера–Мартинелли $K_ { \operatorname{BM} } $ ядрами, голоморфными в $z$. Существование таких ядер может быть доказано абстрактно функционально-аналитическими методами (например, ядро ​​Сегё или ядро ​​А. М. Глисона [а8]), но в приложениях требуется гораздо более явная информация. Конкретный общий метод построения класса интегральных формул представления голоморфных функций, так называемых интегральных формул Коши–Фантаппье, был введен в 19{ j – 1 } s _ { j } d s _ { 1 } \bigwedge \ldots \bigwedge [ d s _ { j } ] \bigwedge \ldots \bigwedge d s _ { n } \bigwedge \omega ( \zeta ), \end {уравнение*}

  и он получает представление $f ( z ) = \int \partial_{Df} ( \zeta ) K ( s )$ для голоморфного $f$. Обратите внимание, что при $n = 1$ $K ( s )$ не зависит от $s$ и равно ядру Коши, а при $n > 1$ существует множество различных возможностей. { 2 }$ и $d r \neq 0$ на $\partial D$, из выпуклости следует, что 9{ n } \frac { \partial r } { \partial \zeta _ { j } } ( \zeta _ { j } ) ( \zeta _ { j } – z _ { j } ) \neq 0 \end{equation* }

  для $\zeta \in \partial D$, $z \in D$, поэтому $s _ {r} (\zeta, z) = (\partial r / \partial \zeta _ {1} (\zeta ) , \ldots , \partial r / \partial \zeta _ { n } ( \zeta ))$ определяет отображение Лере, голоморфное в $z$. Ассоциированное ядро ​​$K(s_{r})$ тогда также голоморфно в $z$. Его обратный образ $C_{D}$ к границе $\partial D$, который зависит только от геометрии $\partial D$, а не от конкретной функции $r$, выбранной для описания $D$, называется Ядро Коши–Лере для (выпуклой) области $D$. 9{ – 1 }$ — голоморфная функция на $D$, сингулярная в $\zeta \in \partial D$ (ср. также Область голоморфности; псевдовыпуклая и псевдовогнутая). Наиболее полные результаты известны для строго псевдовыпуклых областей. Локально вблизи каждой граничной точки такая область биголоморфно эквивалентна (строго) выпуклой области. Таким образом, локальное голоморфное отображение Лере легко получается из выпуклого случая с помощью подходящей замены координат. В этом случае основное препятствие связано с переходом от локального к глобальному. Это было достигнуто в 1968–1969 Г.М. Хенкин (также пишется Г.М. Хенкин) [a1] и, независимо, Э. Рамирес [a5], используя глубокие глобальные результаты в многомерном комплексном анализе. Соответствующее ядро ​​известно как ядро ​​Хенкина-Рамиреса (также пишется как ядро ​​Хенкина-Рамиреса). Вскоре после этого Хенкин и независимо Х. Грауэрт и И. Либ использовали новые ядра для построения вполне явных интегральных операторов для решения $\overline { \partial }$-уравнения с оценками супремум-нормы в строго псевдовыпуклых областях ( ср. также $\overline { \partial }$-проблема Неймана).

  Эти методы обобщаются, чтобы получить интегральные формулы представления для дифференциальных форм. В 1967 г. В. Коппельман [a3] ввел (двойные) дифференциальные формы $K_{q}$, $0 \leq q \leq n$, типа $(n, n – q – 1)$ в $\zeta$ и типа $( 0 , q )$ в $z$ с $K _ { 0 } = K _ { \text{BM} }$, и доказал представление для $( 0 , q )$-форм на области $D$ с кусочно-дифференцируемой границей:

  \begin{equation*} f = \int _ { \partial D } f \bigwedge K _ { q } – \overline { \partial _ { z } } \int f \bigwedge K _ { q- 1 } + \int _ { D } \overline { \partial } f \bigwedge K _ { q }. \end{уравнение*}

  Коппельман также ввел аналогичные формы $K_{q}(s)$ типа Коши–Фантапье в зависимости от заданного отображения Лере $s$ и доказал соответствующие формулы интегрального представления. Применяя отображение Лере Хенкина и Рамиреса, эти методы приводят к интегральным операторам решения для $\overline { \partial }$ на формах произвольной степени.

  Стандартные справочные тексты по этим темам: [a2] и [a7].

  Довольно явный вид этих интегральных операторов в строго псевдовыпуклых областях позволяет изучать уточненные свойства регулярности и оценки решений $\overline { \partial }$-задачи во многих классических и новых функциональных пространствах. В частности, неизотропность особенностей ядер привела к новым классам сингулярных интегральных операторов, которые были тщательно исследованы Е. М. Штейном и его сотрудниками (см., например, [a9] и Сингулярный интеграл).

  Другая фундаментальная формула интегрального представления включает неявную ядерную функцию Бергмана, которая определяется абстрактно в контексте гильбертовых пространств квадратично интегрируемых голоморфных функций в области $D$. В частности, ядро ​​Бергмана используется для определения метрики Бергмана (т. е. метрики Пуанкаре на единичном круге, см. также модель Пуанкаре). Биголоморфные отображения между двумя областями являются изометриями в соответствующих метриках Бергмана. Это приводит к важным приложениям ядра Бергмана к изучению таких отображений. На строго псевдовыпуклых областях главная часть ядра Бергмана может быть явно выражена через ядра, тесно связанные с ядром Хенкина–Рамиреса (см. [a7]).

  На более общих слабо псевдовыпуклых областях не известны сравнимые точные результаты, за исключением дополнительных довольно ограничительных предположений. Одной из основных трудностей является тот факт, что такие области, вообще говоря, не являются локально биголоморфными выпуклой области. Кроме того, локальная комплексно-аналитическая геометрия значительно сложнее и еще не до конца изучена. В этой области продолжается большая исследовательская работа.

  Ссылки

  [a1]	Г. М. Хенкин, “Интегральные представления функций, голоморфных в строго псевдовыпуклых областях, и некоторые приложения” Матем. СССР сб. , 7 (1969) стр. 597–616 Матем. сб. , 78 (1969) с. 611–632
  [а2]	Г.М. Хенкин, Дж. Лейтерер, «Теория функций на комплексных многообразиях», Биркхойзер (1984) MR0795028 MR0774049
  [a3]	В. Коппельман, «Интеграл Коши для дифференциальных форм» Bull. амер. Мат. соц. , 73 (1967) с. 554–556 MR0216027 Zbl 0186.13803
  [a4]	J. Leray, “Разностные и интегральные вычисления для различных аналитических комплексов: Проблема Коши III” Bull. соц. Мат. Франция , 87 (1959), стр. 81–180 MR0125984 Zbl 0199.41203
  [a5]	E. Ramirez, “Ein Divisionsproblem und Randintegraldarstellungen Analysis” 60143 Ein Divisionsproblem und Randintegraldarstellungen Analysis. Анна. , 184 (1970) с. 172–187 Збл 0189.09702
  [а6]	Р.М. Рэндж, «Формулы Коши – Фантаппье в многомерном комплексном анализе», Геометрия и комплексные переменные, унив. Болонья 1989 , М. Деккер (1991) стр. 307–321 MR1151651 Zbl 0742.46026
  [a7]	Р.М. Диапазон, «Голоморфные функции и интегральные представления от нескольких комплексных переменных», Springer (1986) MR0847923 Zbl 0591.32002
  [a8]	А. Глисон, «Абстрактная теорема Коши – Вейля» Pac. Дж. Матем. , 12 (1962) с. 511–525 MR0147672 Zbl 0117.09302
  [а9]	Штейн Э.М., “Интегралы Гильберта, сингулярные интегралы и преобразования Радона II” Инвент. Мат. , 86 (1986) pp. 75–113 Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: