Сложные производные
, , ,
, , ,
, , Ответы в конце урока
После предварительной артподготовки будут менее страшны примеры, с 3-4-5 вложениями функций. Возможно, следующие два примера покажутся некоторым сложными, но если их понять (кто-то и помучается), то почти всё остальное в дифференциальном исчислении будет казаться детской шуткой.
Пример 2
Найти производную функции
Как уже отмечалось, при нахождении производной сложной функции, прежде всего, необходимо правильно РАЗОБРАТЬСЯ во вложениях. В тех случаях, когда есть сомнения, напоминаю полезный приём:
берем подопытное значение «икс», например, и пробуем (мысленно или на черновике) подставить данное значение в «страшное выражение».
1)Сначала нам нужно вычислить выражение , значит, сумма – самое глубокое вложение.
2)Затем необходимо вычислить логарифм:
3)Далее косинус:
4)Потом косинус возвести в куб:
5)На пятом шагу разность:
6)И, наконец, самая внешняя функция – это квадратный корень:
Формула дифференцирования сложной функции применятся в обратном порядке, от самой внешней функции, до самой внутренней.
Решаем:
Вроде без ошибок….
(1)Берем производную от квадратного корня.
(2)Берем производную от разности, используя правило
(3)Производная тройки равна нулю. Во втором слагаемом берем производную от степени (куба).
(4)Берем производную от косинуса.
(5)Берем производную от логарифма.
(6)И, наконец, берем производную от самого глубокого вложения
.
Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова и вы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает.
Следующий пример для самостоятельного решения.
Пример 3
Найти производную функции
Подсказка: Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения
Полное решение и ответ в конце урока.
Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному.
Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, а трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей?
Пример 4
Найти производную функции
Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух функций? Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки. Но в рассматриваемом примере все функции разные: степень,
экспонента и логарифм.
В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения два раза
Фокус состоит в том, что за «у» мы обозначим произведение двух функций: , а за «вэ» – логарифм: . Почему так можно сделать? А разве – это не произведение двух множителей и правило не работает?! Ничего сложного нет:
Теперь осталось второй раз применить правило к скобке :
Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, но в данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде – легче будет проверять.
Готово.
Рассмотренный пример можно решить вторым способом:
Оба способа решения абсолютно равноценны. Пример 5
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом.
Рассмотрим аналогичные примеры с дробями. Пример 6
Найти производную функции Здесь можно пойти несколькими путями:
или так:
Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило дифференцирования частного , приняв за весь числитель:
В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой. Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить? Приведём выражение числителя к общему знаменателю и избавимся от трёхэтажности дроби:
Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят «довести до ума» производную.
Более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти производную функции
Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой случай, когда для дифференцирования предложен «страшный» логарифм
Пример 8
Найти производную функции
Тут можно пойти длинным путём, используя правило дифференцирования сложной функции:
Но первый же шаг сразу повергает в уныние – предстоит взять неприятную производную от дробной степени , а потом ещё и от
дроби .
Поэтому перед тем как брать производную от «навороченного» логарифма, его предварительно упрощают, используя известные школьные свойства:
! Если под рукой есть тетрадь с практикой, перепишите эти формулы прямо туда. Если тетради нет, перерисуйте их на листочек, поскольку оставшиеся примеры урока буду вращаться вокруг этих формул.
Само решение можно оформить примерно так:
Преобразуем функцию:
Находим производную:
Предварительное преобразование самой функции значительно упростило решение.
Таким образом, когда для дифференцирования предложен подобный логарифм, то его всегда целесообразно «развалить».
А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения: Пример 9
Найти производную функции Пример 10
Найти производную функции
Производная сложной функции – презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Найдите пару (функция и ее производная)
1)
1
2
x
2)
3)
1
x
7)
1
2
x
1
cos x
5)
x
4
6)
x
4)
x
5
8)
x
12)
sin x
1
9)
2 x
10)
tgx
11)
5x
4
2.
Ответx 1
2 x
1
1
2
x
x
cos x
sin x
x
5
5x 4
3. Укажите номера верных равенств – правил вычисления производных 1) 2) 3)
u v u vu v
u v u v
u v
u v
u v
4. Укажите номера верных равенств – правил вычисления производных 4) 5) 6)
u vu v
u v
u v
u v
u v u v
5. Производные каких функций знаем? 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4) 8)
Производные каких функций знаем?1)
y
2)
y (1 7 x)
3)
y cos x
x
1
y
5x 3
5)
10
6)
7)
8)
y cos( 2 3x)
1
y
x
y 3x 2
y x
10
Простые
(элементарные) функции
y
x
y x
10
Сложные функции
y 3x 2
y (1 7 x)
10
y cos x
y cos( 2 3x)
1
y
x
1
y
5x 3
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
1) y 3 x 2 x .
Примеры:
5
2
2) y sin x . y f ;
f sin x.
y f 5;
f 3 x 2 2 x.
3) y cos 2 x .
3
y cos f ;
f 2x .
3
Правило нахождения производной сложной функции
g
/
f x g f f x
/
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая
функция
Производная
простой
функции
xn
nx
1
x
1
2
x
x
2 x
sin x
cos x
n 1
1
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
Производная сложной
функции
f n x
n f n 1 x f / x
1
f x
f x
sin f x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая
функция
x
Производная
простой
функции
n
nx
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
n 1
f
Пример: 1) y 2 x 1 .
4
/
n
Производная сложной
функции
n f n 1 x f / x
x
y f ;
f 2 x 1.
4
3
/
3
3
y 2 x 1 4 2 x 1 2 x 1 4 2 x 1 2 8 2 x 1 .
4
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая Производная
функция
простой
функции
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
1
x
2 x
Пример: 1) y
y
/
2x
f x
3
x
4
/
2 x3 x .
1
2 2x x
3
Производная сложной
функции
1
2 f x
f / x
f / x
2 f x
y f;
f 2 x3 x.
2 x 1
3
/
6×2
2x 2 x2 1
3x
2x 1
2
.
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая Производная
функция
простой
функции
cos x
sin x
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
Производная сложной
функции
sin f x
cos f x f / x
Пример: 1) y sin 2 x .
3
y sin f ;
f 2x .
3
/
/
/
y sin 2 x cos 2 x 2 x 2 cos 2 x .
3
3
3
3
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Простая Производная
простой
функции
Сложная
функция
Производная сложной
функции
f n x
n f n 1 x f / x
xn
nx n 1
1
x
1
2
x
1
f x
x
2 x
f x
cos x
sin f x
cos f x f / x
cos x
sin x
cos f x
sin f x f / x
tgx
1
cos 2 x
sin x
1
tgf x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
/
f
x
1
/
f x
2
cos f x
cos 2 f x
English Русский Правила
Раздел 15.74 (0656): Совершенные комплексы — проект The Stacks
Совершенный комплекс — это псевдокогерентный комплекс конечной размерности тора. Мы не будем использовать это как определение, а определим совершенные комплексы над кольцом непосредственно следующим образом.
Определение 15.
d)$ является плоским для некоторого достаточно большого $d$. По алгебре, лемме 10.78.2 мы видим, что $F_ d$ конечно проективен. Следовательно
9{\mathbf{L}} B$ — совершенный комплекс $B$-модулей.
Доказательство. С помощью леммы 15.74.2 это преобразуется в соответствующие результаты для псевдокогерентных модулей и модулей конечной размерности тора. См. эти результаты в лемме 15.66.13 и лемме 15.64.12. $\квадрат$
Лемма 15.74.10. Пусть $A \to B$ — плоское кольцевое отображение. Пусть $M$ — совершенный $A$-модуль. Тогда $M \otimes _ A B$ — совершенный $B$-модуль.
9\bullet $ идеален.
Доказательство. С помощью леммы 15.74.2 это преобразуется в соответствующие результаты для псевдокогерентных модулей и модулей конечной размерности тора. См. эти результаты в лемме 15.66.17 и лемме 15.64.15. $\квадрат$
Лемма 15.74.14. Пусть $R$ — регулярное кольцо.
\bullet )$ является конечным $R$-модуль.
Доказательство.
\[ \ldots \to F_2 \xrightarrow {d_2} F_1 \xrightarrow {d_1} F_0 \to M \to 0 \]
с $F_ i$ конечными свободными $R$-модулями (алгебра, лемма 10.71.1). Положим $M_ i = \mathop{\mathrm{Ker}}(d_ i)$. Обозначим $U_ i \subset \mathop{\mathrm{Spec}}(R)$ множество простых чисел $\mathfrak p$ таких, что $M_{i, \mathfrak p}$ свободно; $U_ i$ открыт по алгебре, лемма 10.79.3. У нас есть точная последовательность $0 \to M_{i + 1} \to F_{i + 1} \to M_ i \to 0$. Если $\mathfrak p \in U_ i$, то $0 \to M_{i + 1, \mathfrak p} \to F_{i + 1, \mathfrak p} \to M_{i, \mathfrak p} \to 0 $ распадается. Таким образом, $M_{i + 1, \mathfrak p}$ конечно проективен, а значит, свободен (алгебра, лемма 10.78.2). Это показывает, что $U_ i \subset U_{i + 1}$.
\[ R\mathop{\mathrm{lim}}\nolimits R\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _ A(K_ n, E) \to \prod R\mathop{\mathrm{Hom}} \nolimits _ A(K_ n, E) \to \prod R\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _ A(K_ n, E) \]
Поскольку $K$ аналогичным образом вписывается в выделенный треугольник $\bigoplus K_ n \to \bigoplus K_ n \to K$, достаточно показать, что $\prod R\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _ A(K_ n , E) = R\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits _ A(\bigoplus K_ n, E)$. Это формальное следствие (15.73.0.1) и того факта, что производное тензорное произведение коммутирует с прямыми суммами. $\квадрат$ 9\mathbf {L} R_ i) \]
Другими словами, триангулированная категория совершенных комплексов над $R$ является копределом триангулированных категорий совершенных комплексов над $R_ i$.
Доказательство.
по леммам, приведенным в начале доказательства, и поскольку фильтрованные копределы точны (алгебра, лемма 10.8.8), мы заключаем, что (2) также выполняется. $\квадрат$
Производные категории
Ссылка.
[114], тег 05QI или [122], глава 10; пропускаем лот деталей. Мы не очень тщательно разрабатываем точку зрения триангулированных категорий; более подробно об этой точке зрения см.
[83], гл. II.
Мы берем из раздела 9 (сохраняя обозначения) и вводим производную категорию , связанную с абелевой категорией. Это сводится к проверке возможности локализации гомотопической категории \(K(\calA)\) на семействе квазиизоморфизмов.
Здесь мы придерживаемся «классической» точки зрения на производные категории; однако в конечном счете лучше выразить конструкцию на языке \(\infty\)-категорий . См. подраздел 16.5 и примечание 13.4.1 для дальнейших замечаний в этом ключе.
Подраздел 10.1 Локализация в категории
Определение 10.1.2.
Пусть \(\calC\) — категория (не обязательно абелева или даже аддитивная). Пусть \(S\) — набор морфизмов в \(\calC\text{.}\). Мы говорим, что \(S\) является левой мультипликативной системой , если выполняются следующие условия.
Набор \(S\) содержит все тождественные морфизмы и замкнут относительно композиции (составных пар).
Для заданных сплошных стрелок, как на рис.
10.1.3, с \(t \in S\text{,}\) для некоторого выбора \(Y’\) существуют пунктирные стрелки с \(s \in S\), образующие коммутативный квадрат. 9{-1} \circ f\text{,}\) с формальной инверсией, перемещенной справа налево.Для каждой пары морфизмов \(f,g: X \to Y\) и каждого \(t \in S\) с целью \(X\) такой, что \(f \circ t = g \circ t\text {,}\) существует морфизм \(s \in S\) с источником \(Y\) (и неуказанной целью) такой, что \(s \circ f = s \circ g\text{.}\) ( В этом случае морфизмы \(f\) и \(g\) будут объединены в локализации, и мы хотим, чтобы это имело смысл в отношении композиции с обеих сторон.)
Если \(\calC\) является аддитивной категорией, то это эквивалентно требованию, чтобы для каждого морфизма \(f: X \to Y\) и каждого \(t \in S\) с целью \(X\) такой что \(f \circ t = 0\text{,}\) существует морфизм \(s \in S\) с источником \(Y\) (и неуказанной целью), такой что \(s \circ f = 0 \текст{.}\)
10.1.3, с \(t \in S\text{,}\) для некоторого выбора \(Y’\) существуют пунктирные стрелки с \(s \in S\), образующие коммутативный квадрат. 9{-1} \circ f\text{,}\) с формальной инверсией, перемещенной справа налево. Точно так же правая мультипликативная система представляет собой набор морфизмов \(\calC\), который составляет левую мультипликативную систему в противоположной категории.
{-1} \calC\) следующим образом. (Есть несколько шагов, чтобы убедиться, что это корректное определение категории; см. [114], тег 04VD.) 9{-1} \calC\) являются объектами \(\calC\text{.}\)
Для двух объектов \(X,Y \in \calC\) морфизмы \(X \to Y\) в \(\calC\) задаются парами \((f: X \to Y’, s: Y \to Y’)\), где \(Y’ \in \calC\) — третий объект по модулю следующего отношения эквивалентности: две пары
\begin{уравнение*} (f_i: X \ к Y_i, s_i: Y \ к Y_i) \end{уравнение*}
для \(i=1,2\) эквивалентны, если существует третья пара с \(i=3\), вписывающаяся в диаграмму, как показано на рисунке 10.1.5, для некоторых морфизмов \(Y_i \to Y_3\) в \ (\calC\) (не обязательно в \(S\)). 9{-1} \circ f\text{.}\)
Композиция пары \((f: X \to Y’, s: Y \to Y’)\) с парой \((g: Y \to Z’, t: Z \to Z’)\ ) определяется как класс эквивалентности пары \((h \circ f: X \to Z”, u \circ t: Z \to Z”)\), где \(h\) и \(u \in S\) выбираются (используя определение левой мультипликативной системы) для заполнения коммутативного квадрата Рисунок 10.
1.6.
Тождественный морфизм на \(X\) является классом \((\id_X, \id_X)\text{.}\)
9{-1} \calC\) также образуют мультипликативную систему; на самом деле это наименьшая насыщенная мультипликативная система, содержащая \(S\) ([114], тег 04VB), и, таким образом, равна \(S\) тогда и только тогда, когда \(S\) сама по себе насыщена.Подраздел 10.2 Выделенные треугольники
Напомним, что короткая точная последовательность комплексов порождает длинную точную последовательность групп когомологий. Это послужило источником вдохновения для следующего обсуждения треугольников в гомотопической категории.
9n\text{.}\) Можно проверить, как в [114], тег 014I, что эти карты обратны в \(K(\calC)\text{.}\)Следствие 10.2.6.
Любой морфизм из \(K(\calC)\) может быть включен в выделенный треугольник (в любой позиции).
Доказательство.
Любой морфизм может быть включен в качестве первого морфизма выделенного треугольника с использованием конуса отображения.
Для остальных позиций применим лемму 10.2.4.
Лемма 10.2.7.
Для любого набора сплошных стрелок на рис. 10.2.8, образующих коммутативную диаграмму в \(K(\calA)\text{,}\), в которой строки образуют отмеченные треугольники, существует пунктирный морфизм, такой что вертикальные стрелки образуют морфизм треугольников в \(K(\calA)\text{.}\) 9\bullet\text{.}\)
Доказательство.
Примените лемму 10.2.7 к диаграмме на рисунке 10.2.10.
Рисунок 10.2.10.Подраздел 10.3. Локализация при квазиизоморфизмах.
Вернемся к нашему незаконченному делу из замечания 9.5.2, а именно к модификации гомотопической категории, чтобы заставить каждый квазиизоморфизм приобретать обратную. Благодаря конструкции конуса мы можем связать квазиизоморфизмы с ациклическими объектами, с которыми легче обращаться.
Определение 10.3.1. 9\bullet\) является ациклическим.
Доказательство.
Это следует непосредственно из леммы 10.2.3 с использованием конуса отображения для направления «только если».
Предложение 10.3.3.
Множество квазиизоморфизмов в \(K(\calA)\) является насыщенной мультипликативной системой в смысле определения 10.1.2.
Доказательство.
Достаточно проверить условия для левой мультипликативной системы, так как из симметричного аргумента будут следовать условия для правой мультипликативной системы. Первое условие в определении 10.1.2, очевидно, выполнено: каждый тождественный морфизм является квазиизоморфизмом, а любая композиция квазиизоморфизмов является квазиизоморфизмом.
Чтобы проверить второе условие, примените Следствие 10.2.6, чтобы вписать \(g\) в выделенный треугольник \((X, Y, Z, g, h, i)\text{,}\), затем установите \( Y’ = \Cone(i[-1])\text{;}\) получаем отображение \(s\) путем заполнения диаграммы рис. 10.3.4 с использованием леммы 10.2.4 (о вращении) и леммы 10.2.7 . (Из леммы 10.2.3 мы выводим, что \(s\) является квазиизоморфизмом.)
Рисунок 10.3.4. Чтобы проверить третье условие, начните с морфизма \(f: X \to Y\) и квазиизоморфизма \(t: Z \to X\) таких, что \(f \circ t = 0\text{, }\) Примените следствие 10.
2.6, чтобы вписать \(t\) в выделенный треугольник \((Z, X, Q, t, d, h)\text{.}\) По следствию 10.2.9, мы можем выбрать морфизм \(i: Q \to Y\) такой, что \(i \circ d = f\text{.}\) Примените следствие 10.2.6 снова, чтобы подогнать \(i\) к выделенному треугольнику \((Q, Y, W, i, j, k)\text{;}\) тогда \(j \circ f = j \circ i \circ d = 0 \circ d = 0\text{.}\ ) По лемме 10.3.2 из того, что \(t\) является квазиизоморфизмом, следует, что \(Q\) ацикличен, что, в свою очередь, означает, что \(j\) является квазиизоморфизмом. (Ср. [114], 05РГ.)
Определение 10.3.6.
Предположим, что \(\calA\) — малая абелева категория. По предложению 10.3.3 мы можем применить определение 10.1.4 для построения локализации \(K(\calA)\) в насыщенной мультипликативной системе квазиизоморфизмов. Результат называется 9\bullet\) оператора \(D(A)\) совершенен тогда и только тогда, когда он псевдокогерентен и имеет конечную Tor-размерность.
Доказательство.
См. [114], тег 0658.