Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Если Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ:
,
Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ производная опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
.
Π•Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Ρ…, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
.
Или Ρ‚Π°ΠΊ:
.
Π³Π΄Π΅ .
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ индСксы ΠΈΠ»ΠΈ , ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ выполняСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² этом Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ выполняСтся ΠΏΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ. Для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ y Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ индСкс Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· u:
.

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ x. Однако x – это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ любой Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ символом. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, зависящСй ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ , ΠΌΡ‹ просто мСняСм, Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, x Π½Π° u.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ВсС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π”Π°Π»Π΅Π΅ рассмотрСны ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.
Β  Β 
Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
Β 

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1
ВсС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
.

РСшСниС

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² эквивалСнтном Π²ΠΈΠ΄Π΅:
.
Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
;
.

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2
ВсС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ
.

РСшСниС

Выносим ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ 5 Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3
ВсС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ
.

РСшСниС

Выносим ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ –1 Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
;
Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ВсС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… ΠΌΡ‹ примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ нСсколько Ρ€Π°Π·. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΌΡ‹ вычисляСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ с ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° составныС части ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ самых простых частСй, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования суммы, произвСдСния ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ подстановки ΠΈ примСняСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4
ВсС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ
.

РСшСниС

Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ использовали ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
.

Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ части исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, примСняя ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования суммы:
.

Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5
ВсС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
.

РСшСниС

Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ диффСрСнцирования слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ
.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, примСняя ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹.
.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ
.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ
.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ искомой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ
.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

1.Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

1) ;

2) ;

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. .

  1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. ;

    9. ;

  2. Найти ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ коэффициСнт сСкущСй ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅ , Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с абсциссами

  3. Найти ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

ЗанятиС 14. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» ΠΈ производная Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков

Для усвоСния практичСского ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тСорСтичСскиС вопросы:

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  3. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° (устно): Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ y=2sin35x.

  4. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Бвязь Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°.

  5. Π˜Π½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° для ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСний.

  6. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

1.НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… явно

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„–1.Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

1)

2) .

3)

4)

5)

6)

7) .

8) .

9)

2. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 2. Найти ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»dyΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠΏΡ€ΠΈx=2,

РСшСниС.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 3. ЗамСняя ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒarctg1,02.

РСшСниС. Вак как:

Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 4. Найтиdy Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

1)

2)

3)

4)

5)

3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 5. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽn-Π³ΠΎ порядка для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈy = sinx.

РСшСниС.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 6.НайтиСсли

РСшСниС

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

1) .

2) .

3) .

4) .

5)

6)

7) .

8) .

9)

10) .

11) .

12) .

13)

2. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…0:

3. Найти y///: 1)

1)

2) y = x3lnΡ….

4. ЗамСняя ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎ

5. ЗамСняя ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎ ln1,01.

6. Найти d2y, Ссли: 1)y = cos5x.

2) y= 3sin2x.

ЗанятиС 15. ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²

Для усвоСния практичСского ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тСорСтичСскиС вопросы:

1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ локального максимума (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

4. НСобходимыС условия экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

5. Достаточный ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 1. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

РСшСниС.

  1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: .

  2. Ѐункция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚:

;;

  1. Выясним, являСтся Π»ΠΈ функция Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈ пСриодичности.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ:

функция Π½Π΅ являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ:

функция нСпСриодичСская.

  1. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ знакопостоянства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Ѐункция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ. ;– критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚. ΠΊ Π² Π½ΠΈΡ… производная обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ.

Π°) ;функция возрастаСт

Π±) функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚

Π²) функция возрастаСт

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… = 0 функция мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с + Π½Π° – , Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимум, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…= 1 функция мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с – Π½Π° + , Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ,Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

  1. Находим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ выпуклости, вогнутости ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π°) ;функция вогнутая

Π±) функция выпуклая

Π²) функция вогнутая

–ο‚₯;

–1/2

–1/2;

0

0

1/2

1

1; ο‚₯

+

–

–

+

+

+

+

+

–

+

Ρƒ

0

(0;1)

1/2

(1;0)

Π’max

Tmin

Рис.

1

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 2. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

РСшСниС.

  1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: .

  2. Ѐункция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚:

– Π½Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния с осью 0Π₯

  1. Выясним, являСтся Π»ΠΈ функция Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈ пСриодичности.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ :

– функция являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ.

Ѐункция Π½Π΅ являСтся пСриодичСской

  1. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ монотонности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Ѐункция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ

Ρ… = 0 – критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π΅ΠΉ производная обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ.

Π°) ,

Π±) ,

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с + Π½Π° – , Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимумточка максимума.

  1. Найти ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ выпуклости, вогнутости, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°.

Π°) ;функция вогнутая

Π±) функция выпуклая

Π²) функция вогнутая

– Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°

–ο‚₯;–1

–1

–1;0

0

0;1

1

1;ο‚₯

+

–

–

–

+

+

–

–

Ρƒ

e-1/2ο‚» 0,6

e0 = 1

e-1/2ο‚» 0,6

Рис. 2

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [–1; 4].

РСшСниС. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°:

,

ΠΏΡ€ΠΈx = 0 ΠΈx = 2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈx1 = 0 ΠΈx2 = 2 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ критичСскими, для Π½ΠΈΡ…ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

ΠΈ

Вычислим значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°:

ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈx = 4. НаимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ достигаСтся Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π° Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, ΠΏΡ€ΠΈΡ… = –1.

КомплСксноС число β€” ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, свойства, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ комплСксных чисСл Π±Ρ‹Π»Π° Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ упомянута Π² I Π²Π΅ΠΊΠ΅ грСчСским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π“Π΅Ρ€ΠΎΠ΅ΠΌ АлСксандрийским, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ пытался Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Но ΠΎΠ½ просто ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ» ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ просто взял числовой ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа Π±Ρ‹Π»Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² 16 Π²Π΅ΠΊΠ΅ ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π”ΠΆΠ΅Ρ€ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΎ ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ Π² процСссС нахоТдСния ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ кубичСских ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа находят ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… исслСдованиях, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ΅ сигналов, элСктромагнСтизмС, Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ Π²ΠΈΠ±Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡŽ, Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡŽ комплСксных чисСл, свойства ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с комплСксными числами.

1. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ комплСксныС числа?
2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ комплСксных чисСл
3. Бвойства комплСксных чисСл
4. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ комплСксными числами
5. АлгСбраичСскиС тоТдСства комплСксных чисСл
6. Π Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
7. ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ вопросы
8. Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ комплСксных числах

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ комплСксныС числа?

КомплСксноС число – это ΡΡƒΠΌΠΌΠ°Β Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ числа. КомплСксноС число ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ a + ib ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ обозначаСтся Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ z. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΈ a, ΠΈ b – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Β«Π°Β» называСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, которая обозначаСтся Re(z), Π° Β«bΒ» называСтся ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Im(z). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ib Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ числом.

Β 

Β 

Β 

Β 

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ комплСксных чисСл ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ \(2+3i, -2-5i, \,\,\dfrac 1 2 + i\dfrac 3 2\) ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ of i

Алфавит i называСтся ΠΉΠΎΡ‚ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ для прСдставлСния ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части комплСксного числа. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΉΠΎΡ‚Π° (i) ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° для нахоТдСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ i 2 Β = -1, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для нахоТдСния значСния √-4 = √i 2 4 = 9.0093 + 2i Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ i 2 Β = -1 являСтся основным аспСктом комплСксного числа. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ большС ΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… силах i.

  • я = √-1
  • я 2 Β = -1
  • i 3Β  Β = i.i 2 Β = i(-1) = -i
  • i 4 Β = (i 2 ) 2 Β = (-1) 2 Β = 1
  • i 4n Β = 1
  • я 4Π½ + 1 Β = я
  • i 4n + 2 Β = -1
  • i 4n + 3 Β = -i

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ комплСксных чисСл

КомплСксноС число состоит ΠΈΠ· Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ частСй, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ (Re(z), Im(z)) ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π° Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости. Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊ комплСксным числам называСтся комплСксной ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Аргана, Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π–Π°Π½Π°-Π ΠΎΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π° Аргана. КомплСксноС число z = a + ib прСдставлСно Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ – a ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ -ib ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°, относящихся ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ комплСксных чисСл Π½Π° Π°Ρ€Π³Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ комплСксного числа. 92}\)|. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ прСдставляСт собой гипотСнузу, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΒ β€” это основаниС, Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΒ β€” высоту ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

АргумСнт комплСксного числа

Π£Π³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ гСомСтричСскоС прСдставлСниС комплСксного числа ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью X Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, называСтся Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ комплСксного числа. АргумСнт комплСксного числа являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ тангСнса ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части комплСксного числа. {-1}\frac{b}{a}\). 9{-1}\frac{b}{a}\)).

Бвойства комплСксного Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ свойства комплСксных чисСл ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ комплСксныС числа, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ арифмСтичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ комплСксными числами.

БопряТСниС комплСксного числа

БопряТСниС комплСксного числа образуСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ взятия Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части комплСксного числа ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части комплСксного числа Π½Π° Π΅Π΅ Π°Π΄Π΄ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ. Если сумма ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ сопряТСнными комплСксными числами. Для комплСксного числа z = a + ib Π΅Π³ΠΎ сопряТСнным являСтся \(\bar z\) = a – ib.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° комплСксного числа ΠΈ Π΅Π³ΠΎ сопряТСнного Ρ€Π°Π²Π½Π° \(z + \bar z\)Β  = (a + ib) + (a – ib) = 2a, Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих комплСксных чисСл \(z.\bar z \) = (a + ib) Γ— (a – ib) = a 2 Β + b 2 .

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° комплСксного числа

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° комплСксных чисСл ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° Π² процСссС дСлСния ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ комплСксного числа Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ комплСксноС число. {-1}\).

РавСнство комплСксных чисСл

РавСнство комплСксных чисСл Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ равСнству Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π”Π²Π° комплСксных числа \(z_1 = a_1 + ib_1\) ΠΈ \(z_2 = a_2 + ib_2 \) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… комплСксных чисСл Ρ€Π°Π²Π½Π° \(a_1 = a_2\),Β  ΠΈ мнимая части ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… комплСксных чисСл Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ \(b_1 = b_2 \). ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π΄Π²Π° комплСксных числа Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Π° ΠΈΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ (ΡƒΠ³ΠΎΠ») отличаСтся Π½Π° Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅Β 2Ο€.

УпорядочиваниС комплСксных чисСл

УпорядочиваниС комплСксных чисСл Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ связанныС систСмы счислСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ нСльзя ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ структуры упорядочСнного поля, ΠΈ Π½Π΅Ρ‚ упорядочСнности комплСксных чисСл, совмСстимой со слоТСниСм ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π² упорядочСнном ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ число \(\neq 0\), Π° Π² комплСксном числС Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° i 2 Β + 1 2 Β = 0. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ прСдставлСны Π² Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π°Ρ€Π³Ρ€Π°Π½Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΠΎ ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, которая являСтся расстояниСм ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°: Богласно Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° для любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΞΈ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ e iΞΈ Β = CosΞΈ + iSinΞΈ, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ прСдставляСт комплСксноС число Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, Π³Π΄Π΅ Cosθ – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, прСдставлСнная ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ось x, Sinθ – мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, прСдставлСнная ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y, θ – ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ оси x ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ комплСксноС число. Богласно Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ x ΠΈ y ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ e x + iy Β = e x (ΡƒΡŽΡ‚Π½ΠΎ + isiny) = e x ΡƒΡŽΡ‚Π½ΠΎ + Ρ‚.Π΅. x синС. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° Π΅Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ части.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ комплСксными числами

Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния, вычитания, умноТСния, дСлСния Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ для комплСксных чисСл. Π”Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… арифмСтичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ с комплСксными числами Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ слоТСнию Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π² комплСксных числах Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ добавляСтся ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части, Π° мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ добавляСтся ΠΊ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ части. Для Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл Π²ΠΈΠ΄Π° \(z_1 = a + id\) ΠΈ \(z_2 = c + id\) сумма комплСксных чисСл \(z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d) \). ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ всСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ свойствам слоТСния.

  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ замыкания: Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся комплСксным числом. Для Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл \(z_1\) ΠΈ \(z_2\) сумма \(z_1 + z_2\) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся комплСксным числом.
  • ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½: Для Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл \(z_1\), \(z_2\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ \(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\).
  • Ассоциативный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½: Для Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… комплСксных чисСл \(z_1, z_2, z_3\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ \(z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2)+z_3 \). 2 = -1\). Для Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл \(z_1\) = a + ib, \(z_2\) = c + id ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \(z_1.z_2\) = (ca – bd) + i(ad + bc).

    Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π² полярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ отличаСтся ΠΎΡ‚ упомянутой Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ умноТСния. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Π΅ значСния Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π° ΠΈΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ для получСния произвСдСния комплСксных чисСл. Для комплСксных чисСл \(z_1 = r_1(Cos\theta_1Β + iSin\theta_1)\) ΠΈΒ  z 2 Β =Β \(z_2 = r_1(Cos\theta_2Β + iSin\theta_2)\) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксныС числа \(z_1.z_2 = r_1.r_2(Cos(\theta_1 + \theta_2) + iSin(\theta_1 + \theta_2))\). 92 + 2z_1z_2 +2z_2z_3 +2z_3z_1\)

БвязанныС Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹:

  • КомплСксноС сопряТСниС
  • ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ комплСксных чисСл
  • ВригономСтрия
  • ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ
  • ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Π°Ρ гСомСтрия

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΈ подсказки:

  • ВсС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ комплСксными числами, Π½ΠΎ всС комплСксныС числа Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.
  • ВсС ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ комплСксными числами, Π½ΠΎ всС комплСксныС числа Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ числами. 9{2}-4(1)(1)}}{2(1)} \\[0,2 см]
    &=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}\\[0,2 см]
    \text{Π—Π΄Π΅ΡΡŒ } &\sqrt{-3} = \sqrt{-1} \timesΒ \sqrt{3} = iΒ \sqrt{3}\\[0,2 см]
    x&= \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\\[0,2 см]
    \end{align} \]

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, корнями Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ: \(\frac{-1}{2}+Β i\frac{\sqrt{3}}{2};\,\,\ ,Β \frac{-1}{2}-Β i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ сумму, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ частноС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… комплСксных чисСл Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ комплСксного числа.

    \[\begin{align} z_1&=-2+i\\[0.2cm]z_2&= 1-2iΒ \end{align} \]

    РСшСниС:

    Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°:

    \[Β \begin{ Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½ΡΡ‚ΡŒ} z_1+z_2&= (-2+i)+(1-2i)\\[0,2 см] &=(-2+1)+ (i-2i)\\[0,2 см] &= -1-i \end{align}\]

    Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π°:

    \[ \begin{align} z_1-z_2&= (-2+i)-(1-2i)\\[0,2 см] &=(-2-1) + (i+2i)\\[0,2 см] &= -3+3i \end{align}\]

    ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚:

    \[Β \begin{align} z_1\cdot z_2&= (-2+i)( 1-2i)\\[0,2см] &=-2+4i+i-2i^2\\[0,2см] &=-2+4i+i+2 \,\,\, [\ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ i^2 =-1]\\[0,2 см] &=5i \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅}\] 92=-1]\\[0,2 см] &= \dfrac{-4-3i}{5}\\[0,2 см] &=- \dfrac{4}{5}-Β i \dfrac{3}{5 }\end{align}\]

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

    Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° = -1 – i
    Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° = -3 + 3i
    ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ = 5i
    Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ = -4/5 – 3i/5

  • ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

    Π Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΠΉΡ‚Π΅ слоТныС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ простых Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… срСдств.

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° большС Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ слоТным ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ, особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

    Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° бСсплатный ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ

    ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

    Β 

    Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ комплСксных числах

    Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ комплСксныС числа Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅?

    КомплСксноС число прСдставляСт собой ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ z = a + ib, Π³Π΄Π΅ a, b β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π° i β€” ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число. i = \(\sqrt{-1}\) ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ удовлСтворяСт ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ i 2 Β = -1, поэтому I называСтся ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ числом.

    Для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ комплСксныС числа?

    КомплСксноС число ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для простого нахоТдСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ i 2 Β = -1 для прСдставлСния ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° числа, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ √-4 = √i 2 4 = + 2i. {-1}\frac{b}{a} \)).

    Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ комплСксныС числа?

    ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. НСкоторыС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈ ΠΌΡ‹ прСдставляСм ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΉΠΎΡ‚Ρ‹ Β«iΒ», ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ прСдставлСниС чисСл вмСстС с Β«iΒ» называСтся комплСксным числом. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ комплСксныС числа ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для нахоТдСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для нахоТдСния ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ полиномиального выраТСния.

    Как Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа? 92)}\).

    Как ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ комплСксных чисСл?

    КомплСксноС число Π²ΠΈΠ΄Π° z = a + ib ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно Π² Π°Ρ€Π³Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости. КомплСксноС число z = a + ib ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΒ (Re(z), Im(z)) = (a, ib). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ прСдставлСна β€‹β€‹ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x, Π° мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ прСдставлСна β€‹β€‹ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y.

    Как ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ комплСксныС числа Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ?

    ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ. {-1}\).

    ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ измСрСния

    ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ люди создали ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ систСму измСрСния, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Ρ‹ использовали мСстныС Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΈ для измСрСния ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ². К Π½ΠΈΠΌ относятся:Β 

    • Π›ΠΎΠΊΠΎΡ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΎ Π² Π•Π³ΠΈΠΏΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 3000 Π³. Π΄ΠΎ Π½.э. Π•Π³ΠΎ использовали для ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄.

    • ΠœΠΎΡ€ΡΠΊΠ°Ρ саТСнь β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π² импСрской ΠΈ амСриканской систСмах, равная 6 Ρ„ΡƒΡ‚Π°ΠΌ (1,8288 ΠΌ).

    • Π Π°Π·ΠΌΠ°Ρ… Ρ€ΡƒΠΊ – это расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΊΠΎΠΌ наимСньшСго ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΊΠΎΠΌ большого ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π°. ΠœΡ‹ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ для измСрСния роста лошадСй.

    Β 

    ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ измСрСния 

    ВсС ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° – это Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ занимаСтся ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… явлСний.

    Β 

    Допустим, я Π±Ρ€ΠΎΡΠ°ΡŽ мяч с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ высоты; ΠΎΠ½ свободно ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° зСмлю.

    Β 

    Π‘Ρ‹Ρ‚ΡŒ энтузиастом Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ это ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ явлСниС; Π― Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вопросы:Β 

    • ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ этот мяч ΡƒΠΏΠ°Π» Π½Π° зСмлю?

    • Π‘ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚?

    • ЯвляСтся Π»ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ мяча постоянной?

    • Π§Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ врСмя мяч ΡƒΠΏΠ°Π΄Π΅Ρ‚ Π½Π° зСмлю?

    • Бвязана Π»ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ с Π΅Π³ΠΎ массой?

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° эти вопросы, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ врСмя.

    Β 

    БистСма Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†

    БистСма Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† – это ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΊΠ°ΠΊ основных, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, для всСх Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² физичСских Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. КаТдая систСма Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π° со ссылкой Π½Π° основныС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π° основана. ΠžΠ±Ρ‰Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚Π°Ρ систСма Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π² ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ: сСкунда ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

  • Π‘Π“Π‘ ΠΈΠ»ΠΈ систСма сантимСтр-Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ-сСкунда: гауссова систСма, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ сантимСтр, Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ΠΈ сСкунда ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² качСствС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… основных Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, массы ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ соотвСтствСнно.

  • БистСма M.K.S ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€-ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ-сСкунда: основными Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, массы ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ соотвСтствСнно ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ΠΈ сСкунда.

Β 

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ прямо ΠΈΠ»ΠΈ косвСнно, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ физичСскими Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ.

Β 

НапримСр, расстояниС, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡ ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Β 

ЀизичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ дСлятся Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΈ:

Β 

Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹

9044 2 ЀизичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π½Π΅ зависящиС ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ количСства.

БущСствуСт сСмь Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… количСств

90 009

ΠœΠ΅Ρ‚Ρ€

9000 8

S.NO

Π‘Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ количСство

Базовая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° БИ

1.

Π”Π»ΠΈΠ½Π°

2.

Масса

Кг

3.

Β  ВрСмя

Β  Π‘Π΅ΠΊΡƒΠ½Π΄Π°

4.

Β  Π’Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉΒ Β 

АмпСр

5.

Π’Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°

КСльвин 9 0003

6.

Π‘ΠΈΠ»Π° свСта

КандСла

7.

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ вСщСства

Моль

8.

Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ»Β 

Β  Π Π°Π΄ΠΈΠ°Π½

9.

Β  ВСлСсный ΡƒΠ³ΠΎΠ»

Β Π‘Ρ‚Π΅Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½

Β 

Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΠΈ 8 ΠΈ 9: Π΄Π²Π΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π² систСмС БИ:

  • Π Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ – это Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния плоского ΡƒΠ³Π»Π°. Один Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ β€” это ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π½Π° Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности Π΄ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ радиусу окруТности.

  • Π‘Ρ‚Π΅Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ – Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° тСлСсного ΡƒΠ³Π»Π°. Один стСрадиан β€” это тСлСсный ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ сфСры ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ сфСры, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π΅Π΅ радиуса.

Β 

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹

ЀизичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, зависящиС ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ.

Β 

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†:Β 

Β 

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†: Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ список ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Β 

905 45

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

SI ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π‘Π»ΠΎΠΊ

ΠŸΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Масса/объСм

ΠΊΠ³. -1

УскорСниС

ИзмСнСниС скорости/Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

мс -2

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° x сторона

ΠΌ 2

Π‘ΠΈΠ»Π°

Масса x ускорСниС 90 003

Β 

Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

ЭнСргия

Π‘ΠΈΠ»Π° x ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠœΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ /ВрСмя   

кг. мс -2

ΠŸΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΊΠ°

Π”ΠΆ = I/A

A.m -2 Β 

Π”Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, напряТСниС

Π‘ΠΈΠ»Π°/ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

кг.м -1 .с -2

Β 

НСкоторыС Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ практичСскиС Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹

1. Π’ макрокосмичСских измСрСниях, Ρ‚. Π΅. ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… расстояний:

Β Π­Ρ‚ΠΎ срСднСС расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π° Π΄ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ.

1 А.Π•. = 1,496 Ρ… 10 11 M ≃ 1,5 x 10 11 M

  • Π‘Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ΄ (LY)

Один свСтовой Π³ΠΎΠ΄-это расстояниС, проходящСС свСт Π² Π²Π°ΠΊΡƒΡƒΠΌΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ зСмлю.

Β ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ свСта Π² Π²Π°ΠΊΡƒΡƒΠΌΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° 3 x 10 8 ΠΌ/с, Π°

1 Π³ΠΎΠ΄ = 365 x 24 x 60 x 60 сСкунд.

Β Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ свСтовой Π³ΠΎΠ΄ = 3 x 10 8 x 365 x 24 x 60 x 60 ΠΌ 0445

ΠŸΠ°Ρ€ΡΠ΅ΠΊ

Β Π­Ρ‚ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… расстояний, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ параллактичСскиС сСкунды.

ΠŸΠ°Ρ€ΡΠ΅ΠΊ β€” это расстояниС, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ 1 Π°.Π΅. длинная Π΄ΡƒΠ³Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 1”.

Как 1 А.Π•. = 1,496 x 10 11 ΠΌ, ΠΈΒ 

Β 

Σ¨ = 1/60 ΠΌΠΈΠ½Β  = 1/60 x 60 градусов = 1/60 x 60 x Ο€/180 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Β 

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ радиус Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, r = Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³Π° (l)/стягиваСмый ΡƒΠ³ΠΎΠ» (Σ¨)Β 

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, 1 парсСк = 1 Π°.0003

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

1 парсСк = 3,1 x 10 16 ΠΌ

Π­Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ†ΠΈΡ измСрСния

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ измСрСния являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· самых Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… понятий Π² Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ. Π£Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ экспСримСнты ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Ссли Π±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ возмоТности ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ свои Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹. Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ Β«ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅Β» происходит ΠΎΡ‚ грСчСского слова Β«ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ½Β», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ пСрСводится ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β».

Β 

Бвойства ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ сравнСния ΠΈΡ… с эталоном, Ρ‡Ρ‚ΠΎ достигаСтся Π·Π° счСт использования ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² измСрСния.

Β 

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΌ количСство, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ использования инструмСнтов. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ β€” это способ описания Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, сколько Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ сколько ΠΈΡ… всСго. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ систСму измСрСния, ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ «мСтричСская систСма», которая Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ. Он Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ Π²ΠΎ Π€Ρ€Π°Π½Ρ†ΠΈΠΈ Π² 179 Π³.0s ΠΈ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π² ΠΌΠΈΡ€Π΅ стандартизированной систСмой измСрСния. Π—Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π¨Ρ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ², сСгодня это стандартная Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния Π²ΠΎ всСх странах, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π¨Ρ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ².

Β 

Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ измСрСния  

БСмь основных Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния (BMU)Β 

Π”Π»ΠΈΠ½Π° измСряСтся Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… (ΠΌ)Β Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ.

Основой этой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ являСтся Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ свСта Π² Π²Π°ΠΊΡƒΡƒΠΌΠ΅, равная 299 792 458 ΠΌ/с.

Β 

Π‘Π΅ΠΊΡƒΠ½Π΄Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (S)Β 

ВрСмя, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ 9Β 192Β 631Β 770 ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ свСта, ΠΈΠ·Π»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ цСзия-133, для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя свСрхтонкими уровнями основного состояния, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π° врСмя, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ 9 192 631 770 ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ свСта, ΠΈΠ·Π»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ цСзия-133. Для опрСдСлСния этого ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Π΅ часы.

Β 

ΠšΠΈΠ»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ – Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° массы (ΠΊΠ³)Β 

Π­Ρ‚ΠΎ масса ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΏΠ»Π°Ρ‚ΠΈΠ½ΠΎ-ΠΈΡ€ΠΈΠ΄ΠΈΠ΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ хранится Π² ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π±ΡŽΡ€ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈ вСсов Π² ΠŸΠ°Ρ€ΠΈΠΆΠ΅, Ѐранция, Π² качСствС постоянной записи. МногиС страны, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π¨Ρ‚Π°Ρ‚Ρ‹, хранят ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ этого Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π΅Π³ΠΎ для стандартизации ΠΈ сравнСния вСсов.

Β 

АмпСр – Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния элСктричСского Ρ‚ΠΎΠΊΠ° (А)Β 

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ, Ссли Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… прямых ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… бСсконСчной Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ сСчСния, ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° расстоянии 1 ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° Π² Π²Π°ΠΊΡƒΡƒΠΌΠ΅, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ силу, Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

Β 

Π‘ΠΈΠ»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ составляСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½ΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Π₯отя ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² качСствС Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ слСдуСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ элСктричСский заряд, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠΊΠ° Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, ΠΈ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΠΊ Π±Ρ‹Π» Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ Π² качСствС стандартной Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ для всСх расчСтов.

Β 

КСльвин β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ (K)Β 

Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ Π² КСльвинС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ.

Β 

273,16 β€” тСрмодинамичСская Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ΄Ρ‹, измСряСмая Π² градусах ЦСльсия. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° ΠΈ Π΄Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅, ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ Π³Π°Π·ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ состояния Π²ΠΎΠ΄Ρ‹, извСстныС ΠΊΠ°ΠΊ тройная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π²ΠΎΠ΄Ρ‹.

Β 

ΠœΠΎΠ»Π΅ΠΊΡƒΠ»Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ измСрСния количСства вСщСства (моль)Β 

Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² молях, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой количСство вСщСства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ содСрТит ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΆΠ΅ частиц, сколько Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ² содСрТится Π² 0,012 ΠΊΠ³ ΡƒΠ³Π»Π΅Ρ€ΠΎΠ΄Π°-12. . Π ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ΠΊΠ° состоит ΠΈΠ· числа Авогадро Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сущностСй. ΠžΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡŒΡ‚Π΅ΡΡŒ с нашими ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Ρ…ΠΈΠΌΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΎ числС Авогадро ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… связанных Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ….

Β 

ΠšΠ°Π½Π΄Π΅Π»Π°Β β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° силы свСта (ΠΊΠ΄)Β 

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡΡ ΠΊ силС свСта источника, ΠΈΠ·Π»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·Π»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ с постоянной частотой ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹.

Β 

Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Β 

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ БИ – это Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ измСрСния, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· сСми основных Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмой Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… прилоТСниях. Π›ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π±Π΅Π·Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… основных Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² зависимости ΠΎΡ‚ ситуации. ΠŸΡ€ΠΈ написании ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ названия ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† БИ всСгда ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ΡΡ строчными Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ. Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, символы для Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ людСй, ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ΡΡ с Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹.

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ