Нескучные интегралы / Хабр
Некоторые из вас, вероятно, видали на просторах сети эту задачку: какое число продолжает следующий ряд?
Предлагался такой очевидный правильный ответ:
Для тех, кому неочевидно, как он получен, предлагалось объяснение. Пусть
(ну и 1 при
x= 0, хотя неважно). Тогда каждый член ряда — это значение следующего интеграла в цепочке:
Пока всё идёт хорошо, но тут внезапно:
В принципе, этого достаточно, чтобы повеселить друзей-математиков, но мне захотелось узнать, как вообще считаются такие интегралы и почему получается такой смешной результат. Если кому-то ещё охота тряхнуть стариной и вспомнить матан с функаном, прошу читать дальше.
Начинает сказка сказываться
Для начала отдельно посмотрим на первый интеграл:
Некоторое время назад я подумал: «Эй, я ещё не совсем забыл матан! Дайте-ка я возьму этот интеграл как неопределённый, а потом подставлю пределы. Наверняка пару раз по частям, и дело в шляпе. Вот сейчас на бумажке всё решу без посторонней помощи». Хочу предостеречь вас: не повторяйте моей ошибки. Вас ждёт бессонная ночь, а потом вы заглянете в справочник и узнаете, что неопределённый интеграл не берётся в элементарных функциях. Для него даже
ввели.
Однако с данными конкретными пределами взять интеграл можно разными способами. Мы пойдём путём, который требует минимум базовых знаний (самое суровое — то же интегрирование по частям). Для начала сделаем внезапную замену:
Вы спросите: откуда вообще это взялось и зачем нам ещё один интеграл, мало что ли? Спокойно, так надо (знакомые со свойствами преобразования Лапласа весело ухмыляются). Подставим замену в исходную формулу и поменяем порядок интегрирования:
Внутри получился почти классический интеграл по dx, которым всех пугали у нас в физматшколе. Его можно взять и как неопределённый, дважды использовав формулу интегрирования по частям. Тогда справа получится какая-то муть и ещё раз тот же самый интеграл, домноженный на что-то, и в результате можно будет решить уравнение относительно этого интеграла и получить ответ, а потом подставить пределы. Кому интересно, проделайте это сами, а я лениво запишу готовый результат:
Ну а теперь совсем всё просто: это табличный интеграл из средней школы, который равен арктангенсу. В бесконечности пи-пополам, в нуле — ноль, вот мы и получили ответ.
Интеграл, кстати, настолько хорош, что у него есть своё имя — интеграл Дирихле. По ссылке вы можете найти другие способы взять его.
Скоро сказка сказывается, а не скоро дело делается
Для следующего путешествия нам понадобятся четыре вещи: прямоугольная функция, косинусное преобразование Фурье, свёртка и теорема Парсеваля. Сперва скажу пару слов об этих замечательных штуках.
Прямоугольная функция — это у нас будет такая ступенька вокруг нуля:
Значение 1/2 в точках разрыва нужно в основном для соблюдения свойств преобразования Фурье, в целом для нашей задачи оно непринципиально.
Косинусное преобразование Фурье. Для простоты мы немного отступим от математической точности и сформулируем грубовато. Для достаточно хорошей чётной функции f(x) выполняются такие соотношения:
Функция и называется косинусным преобразованием Фурье (FCT) от f(x) (её ещё называют образом f). То есть, косинусное преобразование от косинусного преобразования даёт снова исходную функцию f(x)!
Людям, знакомым с обработкой сигналов, хорошо известно, что FCT от прямоугольной функции — это . Это легко доказать, пользуясь вышеприведёнными формулами и школьными знаниями. Так как прямоугольная функция за пределами промежутка [-a, a] равна нулю, то можно просто интегрировать cos(xt) dt по этому промежутку, тут простая замена переменной и табличный интеграл. Приведённое выше свойство говорит, что FCT от — это прямоугольная функция.
Свёртка — это ещё одна прекрасная штука, без которой не обходится обработка сигналов. Для двух функций f1(x) и f2(x) можно определить функцию-свёртку (обозначается звёздочкой) вот так:
У свёртки есть прекрасное свойство, за которое её любят: преобразование Фурье превращает её в умножение, а умножение — в свёртку. Если точнее, косинусное преобразование произведения двух хороших чётных функций есть свёртка их образов, делённая на корень из двух пи: .
Теорема Парсеваля — это очень крутое утверждение о равенстве энергии сигнала и его спектра, которое записывают по-разному в разных целях. Нам потребуется такая версия: для чётных и достаточно хороших функций .
Доселева Макар огороды копал, а нынече Макар в воеводы попал
Возьмём второй интеграл из нашей чудесной последовательности. Как многие уже догадались, мы воспользуемся теоремой Парсеваля и заменим множители на их FCT-образы:
Первая прямоугольная функция под интегралом равна единице для аргументов меньше единицы и нулю для аргументов больше единицы. Поэтому ничто нам не мешает убрать её из интеграла, откорректировав пределы интегрирования:
Под интегралом осталась ступенька высотой 3 и шириной 1/3. Такой интеграл возьмёт даже третьеклассник: надо всего лишь умножить 3 и 1/3. От интеграла остаётся единица, и мы имеем искомое пи-пополам! Таким образом мы почти честно взяли второй интеграл из ряда. Кто желает сделать это совсем честно, тому придётся разобраться, что же такое хорошесть функции, и доказать, что наши функции хорошие.
Чтобы дальше было проще, обозначим эту ступеньку под интегралом как F1(x) и нарисуем её график:
Пойдём веселиться дальше и посмотрим на интеграл с тремя множителями. Чтобы применить теорему Парсеваля, мы теперь все множители со второго будем считать одним множителем: . С образом первого множителя всё уже понятно, а образ второго множителя, выражается через свёртку:
На первый взгляд жутковато. Но можно кое-чего повыносить, кое-чего посокращать и подставить нашу F1(x). Тогда получим:
Внутренний интеграл — это просто прямоугольный фильтр, эдакий «блюр» для функции
Слева график функции F2(x), которая на самом деле — сглаженная F1(x). Нетрудно доказать, что после сглаживания функции по нормированному ядру её интеграл не меняется. Ну, вообще-то речь об интеграле от -∞ до +∞, но для чётной функции это верно и для интеграла от нуля. В данном случае ядром была ступенька от -1/5 до +1/5, умноженная на 5/2. Площадь под ступенькой единица, значит, ядро нормировано. Тут тоже можно сравнить с блюром в фотошопе: после применения блюра картинка в целом не становится светлее или темнее. А раз так, то интеграл
Дальше процедура во многом похожая. Четвёртый интеграл сгруппируем так: . Сначала теорему Парсеваля, для скобок свёртку, причём мы уже умеем выразить образ внутренней скобки через F2(x). Дальше всё то же самое, что в прошлый раз, и в результате получим:
Теперь мы уже имеем F3(x), которая на самом деле — сглаженная
Отлично, мы теперь щёлкаем эти интегралы как орехи. Но по идее, если так и дальше пойдёт, они все до бесконечности будут равны пи-пополам? Давайте смотреть дальше. Пятый интеграл:
Вроде всё то же самое. Ладно, шестой интеграл:
И здесь никаких проблем. Хорошо, берём седьмой:
Ничего нового! Ладно, а восьмой?
Стоп-стоп-стоп! Здесь нам не обойтись без команды CSI!
Функция протекла через единицу! Интеграл F7(x) всё ещё равен единице, но это если интегрировать от 0 до ∞. А мы-то интегрируем до единицы! До сих пор все функции были нулевыми при x больше единицы, но рано или поздно это должно было кончиться.
А как понять, когда наступает конец? Это очень просто. F1(x) была ненулевой при x<1/3. F2(x) сглаживала её по ±1/5, значит, была ненулевой при x<1/3+1/5. Аналогичным образом можно найти границу ненулевых значений для всех этих функций, и для F7(x) эта граница впервые превышает единицу:
Несложно даже посчитать, сколько конкретно утекло, и тем самым вычислить точное значение восьмого интеграла. Заметим, что слева от границы F1(x) — это константа 3. F2(x) — минус интеграл этой константы с коэффициентом 5/2, то есть прямая с коэффициентом 3×5/2.
Собственно, обычная парабола шестой степени, сдвинутая и домноженная. Если проинтегрировать её от единицы и до границы 1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15, то мы узнаем, сколько функции утекло за пределы единицы. Можно решить эту задачу целиком в обыкновенных дробях. Получится вот сколько:
Если эту цифру вычесть из единицы и домножить на пи-пополам, мы получим окончательное значение восьмого интеграла:
Такие интегралы называются борвейновскими интегралами в честь Давида и Джонатана Борвейнов, которые их описали. Если вы хотите строгие математические доказательства (без всяких «хороших функций») и другие свойства этих замечательных интегралов, почитайте статью авторов.
Заключение: троллинг восьмидесятого уровня
Открыв эти интегралы, Джонатан Борвейн ввёл их в программный пакет
Mapleи, убедившись, что Maple корректно берёт все восемь интегралов, сообщил разработчикам о «баге»: мол, восьмой интеграл тоже должен быть пи-пополам, а у вас получается чёрт-те-что. Три дня и три ночи убил
Жак Каретт, один из разработчиков Maple, в поисках ошибки, пока не
понял, что над ним жестоко пошутили. А ещё говорят, что математики — скучные люди!
Интегрирование функций методом замены переменных
Примеры на интегрирование функций методом замены переменных взято из материалов контрольной работы, которую задавали студентам 1, 2 курсов математических факультетов. Для экономии Вашего времени сами условия задач пропущенные, везде нужно или “Найти неопределенный интеграл” или “Вычислить интеграл”. Текста в комментариях к каждому заданию ровно столько, сколько нужно Вам для усвоения материала и изучение методики и схем интегрирования.
Пример 1. При интегрировании дробной функции необходимо в знаменателе корень квадратный превратить в показатель, далее разделить числитель на знаменатель и полученные слагаемые проинтегрировать. Если не вдаваться в детали то в конечном варианте интеграл примет значение
Для большинства студентов ход вычислений должен быть понятным, если переход между последними двумя строками Вы не можете осуществить то начните с того, что откройте или распечатайте основные формулы интегрирования.
Пример 2. Имеем под интегралом дробь от синус функции, которую упрощаем делением числителя на знаменатель. Далее знаменатель дроби во втором интеграле расписываем по теореме косинуса, а синус вносим под дифференциал. Таким образом перейдем к новой переменной t=cos(x) в интегрировании.
Второй интеграл по табличным формулам равный разнице логарифмов от простых множителей знаменателя
Возвращаемся к замене которую выполняли. На этом интегрирования можно было и завершить, а можно записать в компактном виде. Но для этого необходимо знать или иметь под рукой тригонометрические формулы и свойства логарифма.
Пример 3. Для вычисления интеграла запишем знаменатель дроби в виде разности квадратов, а дальше умножим на минус единицу и сведем к разности логарифмов от простых множителей
Минус перед логарифмом преобразовали в показатель функции, поэтому дробь под логарифмом в конечном варианте перевернута.
Пример 4. Очень поучительное задание на интегрирование, побольше бы таких на контрольных и тестах. Если бы в степени имели 3 или 4, то поднимать еще хоть как-то было бы можно. Здесь же стоит 10, поэтому возводить к 10 степени мало кто захочет. Выражение в скобках в подобных заданиях на интегрирование обозначьте за новую переменную t=2x+5. Далее применяем табличную формулу и после того как проинтегрировали не забываем подставить замену.
Хорошо запомните схему вычисления этого интеграла.
Пример 5. На первый взгляд сложный интеграл, однако схема вычислений достаточно проста. Обозначим арккосинус за новую переменную t=arccos(x) и запишем ее дифференциал. Как видите дифференциал равен dx разделить на знаменатель. И такая схема присущая большинству сложных примеров на неопределенные интегралы. Поэтому Ваша основная задача – научиться видеть замены переменных, схемы возведения под табличную формулу, удачно выбирать функцию под правило интегрирования по частям. А для этого нужно решить много интегралов, поэтому лучше учиться на готовых ответах + самостоятельная работа.
Пример 6. Под интегралом имеем дробную иррациональную функцию от экспоненты. Для вычисления интеграла обозначим функцию под корнем за новую переменную. Также преобразуем экспоненту в числителе и найдем дифференциал от новой переменной.
После таких действий полученный интеграл по сложности ничем не будет уступать первому из рассмотренных примеров. После интегрирования не забываем вернуться к выполненной в начале замене переменных.
Пример 7. Для вычисления этого и подобных примеров Вы должны знать что производная от логарифма равна единице разделенной на переменную. Таким образом большинство интегралов где содержится показательная функция от логарифма и «икс» в знаменателе за новую переменную выбирайте логарифм t=ln(x). В результате интеграл существенно упростится и получим компактный ответ
Остальные ответы в следующих материалах. Помните что такого рода интегралы задают на контрольной и тестах, поэтому внимательно разбирайте ответы к заданиям.
Готовые решения контрольной по интегрированию
Таблица основных неопределенных интегралов. Правила интегрирования. Интегралы от степенной, показательной, тригонометрических функций
Главные интегралы, которые должен знать каждый студентПеречисленные интегралы – это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.
Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!
Интеграл от константы
∫Adx=Ax+C (1)Интегрирование степенной функции
В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.
∫xdx=x22+C (2)∫x2dx=x33+C (3)
∫1xdx=2x+C (4)
∫1xdx=ln|x|+C (5)
∫1x2dx=−1x+C (6)
∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1) (7)
Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций
Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.
∫exdx=ex+C (8)∫axdx=axlna+C(a>0,a≠1) (9)
∫shxdx=chx+C (10)
∫chxdx=shx+C (11)
Базовые интегралы от тригонометрических функций
Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен “минус косинусу”, а вот интеграл от cosx равен “просто синусу”:
∫sinxdx=−cosx+C (12)∫cosxdx=sinx+C (13)
∫1cos2xdx=tgx+C (14)
∫1sin2xdx=−ctgx+C (15)
Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям
Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) – частный случай (19).
∫11+x2dx=arctgx+C=−arcctgx+C (16)∫1×2+a2=1aarctgxa+C(a≠0) (17)
∫11−x2dx=arcsinx+C=−arccosx+C (18)
∫1a2−x2dx=arcsinxa+C=−arccosxa+C(a>0) (19)
Более сложные интегралы
Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.
∫1×2+a2dx=ln|x+x2+a2|+C (20)∫1×2−a2dx=ln|x+x2−a2|+C (21)
∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C(a>0) (22)
∫x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln|x+x2+a2|+C(a>0) (23)
∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln|x+x2−a2|+C(a>0) (24)Общие правила интегрирования
1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx (25)
2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫(f(x)−g(x))dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx (26)
3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫Cf(x)dx=C∫f(x)dx (27)
Легко заметить, что свойство (26) – это просто комбинация свойств (25) и (27).
4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫f(Ax+B)dx=1AF(Ax+B)+C(A≠0) (28)
Здесь F(x) – первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.
Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:
∫f(x)g(x)dx=?∫f(x)g(x)dx=? (30)Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ “борьбы” с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже “школьные” формулы алгебры или тригонометрии.
Простой пример на вычисление неопределенного интеграла
Пример 1. Найти интеграл: ∫(3×2+2sinx−7ex+12)dxВоспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫3x2dx+∫2sinxdx−∫7exdx+∫12dx
Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду
3∫x2dx+2∫sinxdx−7∫exdx+12∫1dxА теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:
3×33−2cosx−7ex+12x+CПосле элементарных преобразований получаем окончательный ответ:
x3−2cosx−7ex+12x+CПроверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.
Сводная таблица интегралов
| ∫Adx=Ax+C |
| ∫xdx=x22+C |
| ∫x2dx=x33+C |
| ∫1xdx=2x+C |
| ∫1xdx=ln|x|+C |
| ∫1x2dx=−1x+C |
| ∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1) |
| ∫exdx=ex+C |
| ∫axdx=axlna+C(a>0,a≠1) |
| ∫shxdx=chx+C |
| ∫chxdx=shx+C |
| ∫sinxdx=−cosx+C |
| ∫cosxdx=sinx+C |
| ∫1cos2xdx=tgx+C |
| ∫1sin2xdx=−ctgx+C |
| ∫11+x2dx=arctgx+C=−arcctgx+C |
| ∫1×2+a2=1aarctgxa+C(a≠0) |
| ∫11−x2dx=arcsinx+C=−arccosx+C |
| ∫1a2−x2dx=arcsinxa+C=−arccosxa+C(a>0) |
| ∫1×2+a2dx=ln|x+x2+a2|+C |
| ∫1×2−a2dx=ln|x+x2−a2|+C |
| ∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C(a>0) |
| ∫x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln|x+x2+a2|+C(a>0) |
| ∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln|x+x2−a2|+C(a>0) |
Скачайте таблицу интегралов (часть I) по этой ссылке
Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке
Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике. Будем решать Ваши проблемы вместе!
Возможно, вас заинтересуют такжеИнтегрирование тригонометрических функций: методы и примеры
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида
(1)
Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами
(2)
(3)
(4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам
(5)
и
(6)
Пример 1. Найти интеграл от тригонометрической функцииРешение. По формуле (2) при
имеем
Поэтому
Применяя далее формулу (5), получим
Пример 2. Найти интеграл от тригонометрической функцииРешение. По формуле (3) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Поэтому
Применяя далее формулу (6), получим
Пример 3. Найти интеграл от тригонометрической функцииРешение. По формуле (4) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Применяя формулу (6), получим
Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.
(7)
В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.
При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен – sin x dx).
Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.
Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 – нечётный. Тогда, учитывая, что
получим
Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x. Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей – нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса – это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень – отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени – только чётные. О них – следующем абзаце.
Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы
понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей – отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.
Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим
в виде
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим
Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём
Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим
в виде
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим
Раскроем скобки
и получим
Возвращаясь к старой переменной, получаем решение
Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:
Тогда получим
Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x. Тогда (1/2)dt = cos2x dx. Следовательно,
а
Окончательно получаем
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус – в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t, но и tgx = t и ctgx = t.
Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:
.
Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: , тогда .
Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество :
Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:
где .
Тогда .
Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.
Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
.
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:
Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:
Теперь получаем:
Используем подведение под знак дифференциала:
К последнему слагаемому применяем замену переменной , тогда . Получаем:
Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение:
Начало темы “Интеграл”
Продолжение темы “Интеграл”
integral
Вы искали integral? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и mathprofi интегралы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «integral».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как integral,mathprofi интегралы,в интеграл,виды интегралов,виды интегралы,вычисление интегралов неопределенных,вычисление интегралов примеры решения,вычисление неопределенного интеграла,вычисление неопределенных интегралов,вычислить неопределенные и определенные интегралы,для чего нужен интеграл,интеграл,интеграл в,интеграл деления,интеграл для чайников,интеграл как считать,интеграл математика,интеграл обучение,интеграл от суммы,интеграл по,интеграл с,интеграл сложной функции,интеграл суммы,интеграл теория,интеграл что это такое,интеграл что это такое для чайников,интеграл это в математике,интеграл это определение,интеграл это что,интеграла,интегралы,интегралы mathprofi,интегралы виды,интегралы и дифференциалы,интегралы и производные,интегралы как считать,интегралы математика,интегралы матпрофи,интегралы примеры решений,интегралы производные,интегралы сложные,интегралы теория,интегралы что это,интегралы это,интегралы это что,интегрирование для чайников,интегрирование что это,как взять интеграл,как вычислить интеграл,как вычислить интеграл неопределенный,как вычислить неопределенный интеграл,как вычислять интегралы,как найти интеграл,как найти интегралы примеры решения,как найти неопределенный интеграл,как находить неопределенный интеграл,как решать интеграл,как решать интегралы,как считать интеграл,как считать интегралы,математика интеграл,математика интегралы,матпрофи интеграл,матпрофи решение интегралов,найти неопределенные интегралы,найти неопределенный интеграл примеры с решением,нахождение неопределенного интеграла,неопределенные интегралы примеры решений,неопределенные интегралы примеры решения,определение интеграл,определение интеграла,определенные интегралы объяснение,первообразных решение,по интеграл,понятие интеграла,производные и интегралы,производные интегралы,простые интегралы,разность интегралов,решение интегралов матпрофи,решение интегралов примеры с решением,решение интегралов сложных,решение неопределенного интеграла,решение неопределенный интеграл,решение неопределенных интегралов,решение неопределенных интегралов примеры с решением,решение первообразных,решение сложных интегралов,сложные интегралы,сложные интегралы примеры решения,сложный интеграл,сумма интегралов,сущность интегрирования,теория интегралы,умножение интегралов,что такое интеграл,что такое интеграл в математике,что такое интеграл в математике простыми словами,что такое интеграл на понятном языке,что такое интегралы,что это интегралы. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и integral. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, в интеграл).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же integral Онлайн?
Решить задачу integral вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
1.1. Способ непосредственного интегрирования – Контрольные работы по математике и другим предметам!
Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца «Основы математического анализа», т. I, главу X, п° 155—159. Обратите особое внимание на примеры, решенные в п° 159.
Способ непосредственного интегрирования опирается на таблицу основных интегралов и простейшие правила интегрирования.
Таблица I. Таблица основных интегралов
Все эти формулы справедливы независимо от того, является ли и независимой переменной, либо какой угодно функцией этой независимой переменной. По поводу формул 5), 6), 9), 11) и 12) смотрите учебник п° 159.
Простейшие правила интегрирования (здесь cl?*— постоянная величина,~).
Очень часто встречаются случаи, когда с= I либо 6=0.
При отыскании неопределенных интегралов полезно помнить таблицу дифференциалов, но не в том виде, как она дана в учебнике (см. п° 91), а в немного преобразованном следующем виде (здесь как бы правые и левые части поменялись местами).
Таблица 2. Таблица дифференциалов
Этой таблицей мы в дальнейшем будем широко пользоваться. При этом представление, например, выражения
в видеИли выраженияВ виде Мы будем называть подведением функций соответ ственноИлиПод знак дифференциала.
I. Найти интеграл:
Решение. Записываем подынтегральную функцию в виде степени с отрицательным дробным показателем и применяем формулу I из таблицы I:
2. Найти интеграл:
Решение. Числитель подынтегральной функции делим почленно на знаменатель. Затем применяем правила
II, I и формулу I из таблицы I:
Решение. Возводим числитель в квадрат и делим почленно на знаменатель. Далее поступаем, как в задаче 2:
4. Найти интеграл:
Решение. Сначала исключаем целую часть рациональной дроби, деля числитель на знаменатель. Имеем:
Применяя теперь правило II, получим:
Первые два интеграла правой части (I) вычисляются по формуле I из таблицы I:
К третьему же интегралу правой части применяем правило III интегрирования. В нашем случаеПоэтому на основании формулы 2 из таблицы I имеем:
Итак:
Укажем другой способ рассуждений при вычислении третьего интеграла в правой части равенства (I).
*) Произвольную постоянную мы учтем позднее при написании окончательного ответа. Мы будем поступать так и в дальнейшем.
Легко видеть, что
Интеграл не изменился, так как мы подынтегральное выражение помножили на 2 и одновременно интеграл разделили на 2. Если мы теперь множитель 2 при dx подведем под знак дифференциала (см. формулу I из табл. 2), то получим:
где и = 2х—I. Мы получили табличный интеграл (см. формулу 2 из табл. I).
Итак, окончательно
Замечание. Если подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь, у которой степень многочлена числителя больше или равна степени многочлена знаменателя, то прежде всего следует исключить целую часть путем деления числителя рациональной дроби на знаменатель.
5. Найти интеграл:
ся
Решение. Освобождаемся от иррациональности в знаменателе:
Мы воспользовались здесь правилом III и формулой I из таблицы I.
6. Найти интеграл:
Решение. Имеем:
Мы использовали здесь правило II; подведением соответствующего постоянного множителя под знак дифференциала мы привели интегралы к табличным (см. формулы 6 и 7 из табл. I).
7. Найти интеграл:
Решение. Чтобы свести данный интеграл к табличному (см. формулу 9 из табл. I), достаточно подвести под дифференциал множительИ разделить весь интеграл наТогда, сравнив полученный интеграле формулой 9, увидим, чтоА = 3. Следовательно, получим:
Замечание. Совершенно аналогично следует поступать с интегралами вида
Если в каждом из них мы введем под дифференциал множитель b и разделим интеграл на этот множитель, то приведем данные интегралы к табличным (см. формулы 10, 11, 12 в табл. I), причем и = Ьх.
8. Найти интеграл:
Решение. Вряд ли кому-нибудь придет в голову мысль возвести данный двучлен в 27-ю степень и затем интегрировать сумму из 28-ми слагаемых, хотя такой путь вполне законен. Данный интеграл берется совсем легко с помощью правила III и формулы I из таблицы I. В самом деле, имеем:
Способ непосредственного интегрирования дает возможность брать интегралы вида
Данный интеграл можно свести к табличному, если ввести множитель 2 под дифференциал и разделить весь интеграл на 2:
где
В самом деле, так как f'(x)dx =Af (х), то
Окончательно имеем:
Итак, если числитель подынтегральной функщш равен производной ее знаменателя (или отличается от нее постоянным множителем), то интеграл равен логарифму модуля знаменателя плюс произвольная постоянная.
Рассмотрим несколько задач.
9. Найти интеграл: так как функция cos л: в числителе есть производная знаменателя sin х.
Решение. Имеем:
Применяя к равенству (2) правило III, мы легко возьмем и более сложный интеграл:
10. Найти интеграл:
Решен ие. Имеем:
Так как производная знаменателя равна 6*, то достаточно в первом интеграле помножить числитель на 6, а весь интеграл разделить на 6:
Второй интеграл равенства (3) берется аналогично интегралу задачи 7:
Окончательно получим:
11.
так как после умножения числителя на 3 он стал равен производной знаменателя.
12.
так как числитель подынтегральной функции равен производной знаменателя.
В задачах 13—26, пользуясь формулами таблицы I и правилами интегрирования I и II, найти заданные интегралы.
Указание. В задаче 25 числитель I подынтегральной функции замените по формуле I = sin2 х 4- cos8 х и разделите почленно на знаменатель. В задаче 26 воспользуйтесь формулой cos 2;r = cos8 х — — Sin2X и разложите на множители.
В задачах 27 — 30 найти интегралы, предварительно исключив целую часть рациональной дроби.
В задачах 29—41, пользуясь правилом интегрирования III или подведением под знак дифференциала, найти заданные интегралы.
При решении задач 42—47 посмотрите решения задач 9—12.
Указание. При решении задачи 43 воспользуйтесь указанием к задаче 25.
В задачах 48, 49 подведите предварительно числитель подынтегральной функции под знак дифференциала.
В задачах 50, 51 подведите предварительно множители х, х% под знак дифференциала.
python – Как вычислить определенный интеграл и получить числовое значение с помощью Python?
Я делаю немного сложный интеграл с python, и мне нужно, чтобы результат был числовым, например, 2003708.58843. Теперь моя программа на python дает действительно странный результат, содержащий некоторую «гипер» функцию и т. Д. Если кто-то может мне помочь с этим, я был бы очень признателен.
Текущая программа здесь:
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f1 = 5000 + ((-(-7000+x)*(-3000+x))**(1/2))
f2 = 5000 - ((-(-7000+x)*(-3000+x))**(1/2))
minimum1 = 3000
maximum1 = (500/3)*(35-2*((61)**(1/2)))
int1 = sp.integrate(f1, (x,minimum1,maximum1))
int2 = sp.integrate(f2, (x,minimum1,maximum1))
minimum2 = (500/3)*(35-2*((61)**(1/2)))
maximum2 = 4500
f3 = 5000 + (1/2)*((-(-4500+x)*(-500+x))**(1/2))
f4 = 5000 - (1/2)*((-(-4500+x)*(-500+x))**(1/2))
int3 = sp.integrate(f3, (x,minimum2,maximum2))
int4 = sp.integrate(f4, (x,minimum2,maximum2))
I1 = int1-int2
I2 = int3-int4
total = I1 + I2
print(total)
0
korpraaliteemu 4 Июн 2020 в 17:17
2 ответа
Лучший ответ
Попробуй это:
from scipy.integrate import quad
def integrand(x):
return x**2
ans, err = quad(integrand, 0, 1)
print ans
Просто измените функцию integrand на то, что вы хотите, и 1, 0 в пределах интеграции, которую вы пожелаете.
Код взят из здесь.
0
snatchysquid 4 Июн 2020 в 14:19
При использовании sympy вы должны быть осторожны с использованием поплавков, например 1/2 и вместо этого используйте точные рациональные значения, например, Rational(1, 2) . Меняя, что я получаю:
In [2]: import sympy as sp
In [3]: x = sp.symbols('x')
...: f1 = 5000 + ((-(-7000+x)*(-3000+x))**(Rational(1, 2)))
...: f2 = 5000 - ((-(-7000+x)*(-3000+x))**(Rational(1, 2)))
...: minimum1 = 3000
...: maximum1 = (Rational(500, 3))*(35-2*((61)**(Rational(1, 2))))
...: int1 = sp.integrate(f1, (x,minimum1,maximum1))
In [4]: int1
Out[4]:
_________________ 5/2 3/2 ⎛ _________________⎞
╱ 8500 1000⋅√61 ⎛8500 1000⋅√61⎞ ⎛8500 1000⋅√61⎞ ⎜ ╱ 8500 1000⋅√61 ⎟
4000000⋅ ╱ ──── - ──────── ⎜──── - ────────⎟ 3000⋅⎜──── - ────────⎟ ⎜√10⋅ ╱ ──── - ──────── ⎟
5000000⋅√61 ╲╱ 3 3 ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎜ ╲╱ 3 3 ⎟ 42500000
- ─────────── - ───────────────────────────── - ─────────────────────── + ───────────────────────── + 4000000⋅asin⎜─────────────────────────⎟ + ────────
3 _________________ _________________ _________________ ⎝ 200 ⎠ 3
╱ 3500 1000⋅√61 ╱ 3500 1000⋅√61 ╱ 3500 1000⋅√61
╱ ──── + ──────── 2⋅ ╱ ──── + ──────── ╱ ──── + ────────
╲╱ 3 3 ╲╱ 3 3 ╲╱ 3 3
Если вы хотите оценить этот результат с плавающей запятой до 15 десятичных цифр, то вы можете сделать:
In [5]: int1.evalf()
Out[5]: 1294014.90427420
Чтобы вычислить приблизительный числовой результат напрямую, используя числовую квадратуру (аналогично ответу от snatchysquid), вы можете сделать
In [6]: sp.Integral(f1, (x, minimum1, maximum1)).evalf()
Out[6]: 1294014.90427420
1
Oscar Benjamin 4 Июн 2020 в 15:09
Комплексные линейные интегралы I, часть 1
Комплексные линейные интегралы I, часть 1Комплексные линейные интегралы I
Часть 1: Определение комплексного линейного интеграла
Пусть f будет непрерывной комплексной функцией комплексной переменной, и пусть C будет гладкой кривой на комплексной плоскости, параметризованной с помощью
Z (t) = x (t) + i y (t) для t в диапазоне от a до b .
Тогда комплексный линейный интеграл f по C равен
Обратите внимание, что «гладкое» условие гарантирует, что Z ‘ является непрерывным и, следовательно, существует интеграл.
Будем рассматривать линейные интегралы следующих функций:
- f 1 (z) = 1 / z
- f 2 (z) = z 2
- f 3 (z) = (сопряженная (z)) 2
- f 4 (z) = e z
по разнообразию различных кривых.
- Вычислить линейный интеграл
функции квадрата, f 2 , по кривой C 1 ,
парабола y = x 2 от 0 до 1 + i ,
с использованием параметрического представления Z (t) = t + t 2 i для т между 0 и 1 .
Повторите расчет для параметрического представления
Z (t) = t 2 + t 4 i для т между 0 и 1 .Теперь повторите расчет используя ваше собственное параметрическое представление для C 1 .
- Повторите шаг 1 для функции ф 4 .
- Обобщите свои расчеты на этапах 1 и 2.
- Далее мы рассматриваем возможность интеграции
наши функции f 2 и f 4 по ряду
разные кривые, которые соединяют 0 с 1 + i .Использовать
даны параметрические представления для кривых C 2 и C 3 для вычисления интегралов
где C 2 и C 3 – это кривые, показанные ниже. Запишите свои результаты. Что вы наблюдаете за значениями интегралов?
- Пусть C 4 будет
верхняя половина единичного круга проходит от 1 до -1 , и
пусть C 5 будет нижней половиной начерченной единичной окружности
с 1 до -1 .
Вычислить интегралы от все четыре функции по каждой из двух кривых и записывают свои результаты. (Убедитесь, что ваши параметрические представления очерчивают кривые в правильном направлении. Также проверьте границы параметрических интервалов.)
Акцессорные субъединицы являются неотъемлемой частью сборки и функционирования митохондриального комплекса I человека
Сазанов, Л.A. Гигантский молекулярный протонный насос: структура и механизм дыхательного комплекса I. Nat. Rev. Mol. Cell Biol. 16 , 375–388 (2015)
CAS PubMed Статья Google ученый
Lapuente-Brun, E. et al. Сборка суперкомплекса определяет поток электронов в митохондриальной цепи переноса электронов. Наука 340 , 1567–1570 (2013)
ADS CAS PubMed Статья Google ученый
Вафаи, С.Б. и Мутха, В. К. Митохондриальные нарушения как окна в древнюю органеллу. Природа 491 , 374–383 (2012)
ADS CAS PubMed Статья Google ученый
Morais, V.A. et al. Мутации с потерей функции PINK1 влияют на активность митохондриального комплекса I через разобщение убихинона NdufA10. Наука 344 , 203–207 (2014)
ADS CAS Статья Google ученый
Мива, С.и другие. Низкое содержание матричного плеча комплекса I в митохондриях предсказывает продолжительность жизни мышей. Nat. Commun. 5 , 3837 (2014)
ADS CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Hirst, J. Митохондриальный комплекс I. Annu. Rev. Biochem. 82 , 551–575 (2013)
CAS PubMed Статья Google ученый
Виноткумар, К.Р., Чжу, Дж. И Херст, Дж. Архитектура респираторного комплекса млекопитающих I. Nature 515 , 80–84 (2014)
ADS CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Zickermann, V. et al. Структурная биология. Механистическое понимание кристаллической структуры митохондриального комплекса I. Science 347 , 44–49 (2015)
ADS CAS Статья Google ученый
Чжу, Дж., Виноткумар, К. и Херст, Дж. Структура респираторного комплекса млекопитающих I. Nature 536 , 354–358 (2016)
ADS CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Pagliarini, D. J. et al. Компендиум митохондриальных белков объясняет биологию заболевания, связанного с комплексом I. Ячейка 134 , 112–123 (2008)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Барадаран, Р., Беррисфорд, Дж. М., Минхас, Г. С., Сазанов, Л. А. Кристаллическая структура всего дыхательного комплекса I. Природа 494 , 443–448 (2013)
ADS CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Lazarou, M., McKenzie, M., Ohtake, A., Thorburn, D. R. & Ryan, M. T. Анализ профилей сборки для субъединиц, кодируемых митохондриальной и ядерной ДНК, в комплекс I. Mol.Клетка. Биол. 27 , 4228–4237 (2007)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Рансвик, М. Дж., Фернли, И. М., Скехел, Дж. М. и Уокер, Дж. Э. Присутствие ацильного белка-носителя в НАДН: убихинон оксидоредуктазы из митохондрий бычьего сердца. FEBS Lett. 286 , 121–124 (1991)
CAS PubMed Статья Google ученый
Роденбург, Р.J. Заболевание, сцепленное с митохондриальным комплексом I. Biochim. Биофиз. Acta 1857 , 938–945 (2016)
CAS PubMed Статья Google ученый
Страуд, Д.А. и др. COA6 представляет собой фактор сборки митохондриального комплекса IV, критический для биогенеза COX2, кодируемого мтДНК. Hum. Мол. Genet. 24 , 5404–5415 (2015)
CAS PubMed Статья Google ученый
Кирос, П.М., Лангер, Т. и Лопес-Отин, К. Новые роли митохондриальных протеаз в здоровье, старении и болезнях. Nat. Rev. Mol. Cell Biol. 16 , 345–359 (2015)
PubMed Статья CAS Google ученый
Эндрюс Б., Кэрролл Дж., Динг С., Фернли И. М. и Уокер Дж. Э. Факторы сборки для мембранного плеча человеческого комплекса I. Proc. Natl Acad. Sci. США 110 , 18934–18939 (2013)
ADS CAS PubMed Статья Google ученый
Санчес-Кабальеро, Л., Герреро-Кастильо, С. и Нийтманс, Л. Разбирая сложность сборки митохондриального комплекса I: динамический процесс. Biochim. Биофиз. Acta 1857 , 980–990 (2016)
PubMed Статья CAS Google ученый
Кальво, С. Э., Клаузер, К. Р. и Мутха, В. К. MitoCarta2.0: обновленный перечень митохондриальных белков млекопитающих. Nucleic Acids Res. 44 , D1251 – D1257 (2015)
PubMed PubMed Central Статья CAS Google ученый
Страуд, Д.A., Formosa, LE, Wijeyeratne, XW, Nguyen, TN и Ryan, MT. Нокаут гена с использованием эффекторных нуклеаз, подобных активатору транскрипции (TALEN), показывает, что белок NDUFA9 человека необходим для стабилизации соединения между мембранами и матричными ветвями комплекса I. J. Biol. Chem. 288 , 1685–1690 (2013)
CAS PubMed Статья Google ученый
Formosa, L.E. et al. Характеристика митохондриального FOXRED1 в сборке комплекса дыхательной цепи I. Hum. Мол. Genet. 24 , 2952–2965 (2015)
CAS PubMed Статья Google ученый
Mimaki, M., Wang, X., McKenzie, M., Thorburn, D. R. & Ryan, M. T. Понимание сборки митохондриального комплекса I при здоровье и болезни. Biochim. Биофиз. Acta 1817 , 851–862 (2012)
CAS PubMed Статья Google ученый
ДюБридж, Р.B. et al. Анализ мутации в клетках человека с использованием системы челнока вируса Эпштейна-Барра. Мол. Клетка. Биол. 7 , 379–387 (1987)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Heide, H. et al. Профилирование комплексома идентифицирует TMEM126B как компонент комплекса сборки митохондриального комплекса I. Cell Metab. 16 , 538–549 (2012)
CAS PubMed Статья Google ученый
Фогель Р.O. et al. Идентификация промежуточных продуктов сборки митохондриального комплекса I путем отслеживания помеченного NDUFS3 демонстрирует точку входа митохондриальных субъединиц. J. Biol. Chem. 282 , 7582–7590 (2007)
CAS PubMed Статья Google ученый
Huttlin, E. L. et al. Сеть BioPlex: систематическое исследование человеческого взаимодействия. Ячейка 162 , 425–440 (2015)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Рейон, Д.и другие. FLASH-сборка TALEN для высокопроизводительного редактирования генома. Nat. Biotechnol. 30 , 460–465 (2012)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Reljic´, B. & Stroud, D. A. Стратегии скрининга на TALEN-опосредованное нарушение гена. Methods Mol. Биол. 1419 , 231–252 (2016)
PubMed Статья Google ученый
Ран, Ф.A. et al. Геномная инженерия с использованием системы CRISPR-Cas9. Nat. Протоколы 8 , 2281–2308 (2013)
CAS Статья Google ученый
Sander, J. D. et al. ZiFiT (Zinc Finger Targeter): обновленный инструмент для проектирования цинковых пальцев. Nucleic Acids Res. 38 , W462–8 (2010)
ADS CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Монтегю, Т.Дж., Круз, Дж. М., Ганьон, Дж. А., Черч, Г. М. и Вален, Э. ШОПЧОП: веб-инструмент CRISPR / Cas9 и TALEN для редактирования генома. Nucleic Acids Res. 42 , W401–7 (2014)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Morgenstern, J. P. & Land, H. Передовой перенос генов млекопитающих: ретровирусные векторы с высоким титром с множественными маркерами отбора лекарственных средств и комплементарная линия упаковывающих клеток без хелперов. Nucleic Acids Res. 18 , 3587–3596 (1990)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Ацин-Перес, Р., Фернандес-Силва, П., Пелеато, М. Л., Перес-Мартос, А. и Энрикес, Дж. А. Активные дыхательные митохондриальные суперкомплексы. Мол. Ячейка 32 , 529–539 (2008)
PubMed Статья CAS Google ученый
Маккензи, М., Lazarou, M., Thorburn, D. R. & Ryan, M. T. Анализ сборки митохондриальных субъединиц в комплексы дыхательной цепи с использованием электрофореза в полиакриламидном геле Blue Native. Анал. Biochem. 364 , 128–137 (2007)
CAS PubMed Статья Google ученый
Виттиг, И., Браун, Х. П. и Шеггер, Х. Блю, родной СТРАНИЦА. Nat. Протоколы 1 , 418–428 (2006)
CAS PubMed Статья Google ученый
Шеггер, Х.& von Jagow, G. Электрофорез в трицин-натрийдодецилсульфат-полиакриламидном геле для разделения белков в диапазоне от 1 до 100 кДа. Анал. Biochem. 166 , 368–379 (1987)
Артикул Google ученый
Райан, М. Т., Воос, В. и Пфаннер, Н. Анализ импорта белка в митохондрии. Methods Cell Biol. 65 , 189–215 (2001)
CAS PubMed Статья Google ученый
Даннинг, К.J. et al. CIA30 человека участвует в ранней сборке митохондриального комплекса I, и мутации в его гене вызывают заболевание. EMBO J. 26 , 3227–3237 (2007)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Jänicke, A., Vancuylenberg, J., Boag, PR, Traven, A. & Beilharz, TH ePAT: простой метод пометки аденилированной РНК для измерения длины поли (A) -хвоста и других 3 ‘RACE Приложения. РНК 18 , 1289–1295 (2012)
PubMed PubMed Central Статья CAS Google ученый
Harrison, P. F. et al. PAT-seq: метод изучения интеграции динамики 3′-UTR с экспрессией генов в эукариотическом транскриптоме. РНК 21 , 1502–1510 (2015)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Фрейзер, А.Э. и Торберн, Д. Р. Биохимический анализ комплексов цепей переноса электронов с помощью спектрофотометрии. Methods Mol. Биол. 837 , 49–62 (2012)
CAS PubMed Статья Google ученый
Кулак, Н. А., Пихлер, Г., Парон, И., Нагарадж, Н. и Манн, М. Минимальная инкапсулированная обработка протеомных образцов, применяемая для оценки числа копий в эукариотических клетках. Nat. Методы 11 , 319–324 (2014)
CAS PubMed Статья Google ученый
Джонстон, А.J. et al. Вставка и сборка человеческого Tom7 в препротеиновый транслоказный комплекс внешней митохондриальной мембраны. J. Biol. Chem. 277 , 42197–42204 (2002)
CAS PubMed Статья Google ученый
Cox, J. & Mann, M. MaxQuant обеспечивает высокую скорость идентификации пептидов, индивидуальную погрешность масс в диапазоне p.p.b. и количественное определение белка в масштабе всего протеома. Nat. Biotechnol. 26 , 1367–1372 (2008)
CAS Статья Google ученый
Cox, J. et al. Andromeda: поисковая машина пептидов, интегрированная в среду MaxQuant. J. Proteome Res. 10 , 1794–1805 (2011)
ADS CAS PubMed Статья Google ученый
Gagnon-Bartsch, J. A. & Speed, T. P. Использование контрольных генов для коррекции нежелательных вариаций в данных микрочипа. Биостатистика 13 , 539–552 (2012)
PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Лик, Дж. Т. и Стори, Дж. Д. Захват гетерогенности в исследованиях экспрессии генов с помощью анализа суррогатных переменных. PLoS Genet. 3 , 1724–1735 (2007)
CAS Статья Google ученый
Мюнх, К.& Harper, J. W. Ответ митохондриального развернутого белка контролирует процессинг и трансляцию матричной пре-РНК. Природа 534 , 710–713 (2016)
ADS PubMed PubMed Central Статья CAS Google ученый
Wrobel, L. et al. Неверно направленные митохондриальные белки активируют протеостатический ответ в цитозоле. Природа 524 , 485–488 (2015)
ADS CAS PubMed Статья Google ученый
Hubner, N.C. et al. Количественная протеомика в сочетании с BAC TransgeneOmics выявляет белковые взаимодействия in vivo. J. Cell Biol. 189 , 739–754 (2010)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Тушер, В. Г., Тибширани, Р. и Чу, Г. Анализ значимости микроматриц, применяемых к отклику на ионизирующее излучение. Proc. Natl Acad. Sci. США 98 , 5116–5121 (2001)
ADS CAS МАТЕМАТИКА Статья Google ученый
Мерико, Д., Isserlin, R., Stueker, O., Emili, A. & Bader, G.D. Карта обогащения: сетевой метод визуализации и интерпретации обогащения набора генов. PLoS One 5 , e13984 (2010)
ADS PubMed PubMed Central Статья CAS Google ученый
Страуд, Д. А. и др. Состав и топология эндоплазматического ретикулума-митохондрий. J. Mol. Биол. 413 , 743–750 (2011)
CAS PubMed Статья Google ученый
Геберт, Н.и другие. Двойная функция Sdh4 в дыхательной цепи и протеин-транслоказы TIM22 внутренней митохондриальной мембраны. Мол. Ячейка 44 , 811–818 (2011)
CAS PubMed Статья Google ученый
Richter, V. et al. Структурный и функциональный анализ MiD51, рецептора динамина, необходимого для деления митохондрий. J. Cell Biol. 204 , 477–486 (2014)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Шнайдер, К.A., Rasband, W. S. & Eliceiri, K. W. NIH Image to ImageJ: 25 лет анализа изображений. Nat. Методы 9 , 671–675 (2012)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
Ostergaard, E. et al. Дефицит комплекса I дыхательной цепи из-за мутаций NDUFA12 как новая причина синдрома Ли. J. Med. Genet. 48 , 737–740 (2011)
CAS PubMed Статья Google ученый
Assouline, Z.и другие. Постоянный и сходный дефект сборки комплекса I дыхательной цепи митохондрий позволяет быстро идентифицировать мутации NDUFS4 у пациентов с синдромом Ли. Biochim. Биофиз. Acta 1822 , 1062–1069 (2012)
CAS PubMed Статья Google ученый
Haack, T. B. et al. Скрининг мутаций 75 генов-кандидатов в 152 случаях дефицита комплекса I позволяет выявить патогенные варианты в 16 генах, включая NDUFB9. J. Med. Genet. 49 , 83–89 (2012)
CAS PubMed Статья Google ученый
Кирби, Д. М. и др. Мутации NDUFS6 являются новой причиной летального дефицита митохондриального комплекса I у новорожденных. J. Clin. Инвестировать. 114 , 837–845 (2004)
CAS PubMed PubMed Central Статья Google ученый
ван ден Бош, Б.J. et al. Дефектный NDUFA9 как новая причина неонатально летального заболевания комплекса I. J. Med. Genet. 49 , 10–15 (2012)
CAS PubMed Статья Google ученый
Hoefs, S.J. et al. Мутации NDUFA10 вызывают дефицит комплекса I у пациента с болезнью Ли. Eur. J. Hum. Genet. 19 , 270–274 (2011)
PubMed Статья Google ученый
Анжебо, К.и другие. Мутация в NDUFA13 / GRIM19 приводит к раннему началу гипотонии, дискинезии и сенсорной недостаточности, а также нестабильности митохондриального комплекса I. Hum. Мол. Genet. 24 , 3948–3955 (2015)
CAS PubMed Статья Google ученый
Haack, T. B. et al. Молекулярная диагностика дефицита митохондриального комплекса I с использованием секвенирования экзома. J. Med. Genet. 49 , 277–283 (2012)
CAS PubMed Статья Google ученый
Шехата, Б.M. et al. Секвенирование экзома пациентов с гистиоцитоидной кардиомиопатией выявляет de novo NDUFB11 мутацию, которая играет роль в патогенезе гистиоцитоидной кардиомиопатии. Am. J. Med. Genet. A. 167A , 2114–2121 (2015)
PubMed Статья CAS Google ученый
Fernandez-Moreira, D. et al. Х-сцепленные мутации гена NDUFA1 , связанные с митохондриальной энцефаломиопатией. Ann. Neurol. 61 , 73–83 (2007)
CAS PubMed Статья Google ученый
Peralta, S. et al. Частичный дефицит комплекса I из-за условного удаления Ndufa5 в ЦНС приводит к легкой хронической энцефалопатии, но не увеличивает окислительное повреждение. Hum. Мол. Genet. 23 , 1399–1412 (2014)
CAS PubMed Статья Google ученый
4.2 \). Также убедитесь, что вы понимаете, что произведение \ (f (\ gamma (t)) \ gamma ‘(t) \) – это просто произведение комплексных чисел.
В альтернативной записи используется \ (dz = dx + idy \) для записи
. b [u (x (t), y (t)) + iv (x (t), y (t)] (x ‘( t) + iy ‘(t)) dt \], но
\ [u (x (t), y (t)) + iv (x (t), y (t)) = f (\ gamma (t)) \]
и
\ [x ‘(t) + iy’ (t) = \ gamma ‘(t) \]
, поэтому правая часть уравнения \ ref {4.{2 \ pi} i \ dt = 2 \ pi i. \ Nonumber \]
Комплексная интегральная реалистическая перспектива: к новому осевому видению (онтологические исследования (критический реализм Рутледжа)): 9781138803824: Маршалл, Пол: Книги
Пол Маршалл – один из немногих ученых, которые овладели всеми тремя основными метатеориями сегодняшнего дня, и он сочетает эту редкую широту знаний с огромной синтезирующей способностью, чтобы предложить интеллектуальную интеграцию восхитительного размаха и сложности
Роджер Уолш, доктор медицины, Доктор философии, профессор психиатрии, философии и антропологии Калифорнийского университета, США
На пути к новому осевому видению – смелая синтетическая работа, которая вносит новаторский вклад в наше понимание различных отношений между тремя наиболее важными интегративными метатеориями современности.Пол Маршалл проделал превосходную работу, объединив сильные стороны и идеи интегральной теории, комплексной мысли и критического реализма в новом видении человечества. В процессе он показывает нам уникальную роль, которую метатеория может сыграть в создании процветающей планетарной цивилизации. Доктор Маршалл обладает уникальной квалификацией, чтобы познакомить читателей с этими тремя интегративными метатеориями и открыть нам новые мета-перспективы, которые они открывают. Ученые-практики с междисциплинарной и трансдисциплинарной ориентацией сочтут этот том особенно ценным, как и исследователи, связанные с социальными науками и метамышлением.
Шон Эсбьорн-Харгенс, доктор философии, соредактор Metatheory for the Twenty-first Century (Routledge, 2015) и генеральный директор MetaIntegral Associates
Эта книга переносит диалог между критическим реализмом, интегральной теорией и сложным мышлением в практическую плоскость. новый уровень, используя творческий синтез этих метатеорий для дальнейшего нашего понимания Осевого Века и места западной современности в нем, а также для формулирования теории и практики Нового Осевого Века.
Мервин Харвиг, редактор, Journal of Critical Realism
Пол Маршалл защитил докторскую диссертацию в UCL, Институте образования, Великобритания. Его исследовательские интересы включают интегративную метатеорию, человеческую природу и человеческое процветание.
Простая интерпретация комплексного контурного интеграла в JSTOR
Информация о журналеThe Monthly публикует статьи, а также заметки и другие статьи о математике и профессии.Его читатели охватывают широкий спектр математических интересов и включают профессиональных математиков, а также студентов-математиков на всех университетских уровнях. Авторам предлагается присылать статьи и заметки, которые знакомят с интересными математическими идеями широкую аудиторию читателей Monthly. Читатели Monthly ожидают высокого уровня изложения; они ожидают, что статьи будут информировать, стимулировать, бросать вызов, просвещать и даже развлекать. Ежемесячные статьи предназначены для чтения, просмотра и обсуждения, а не для архивирования.Статьи могут быть изложением старых или новых результатов, историческими или биографическими эссе, размышлениями или окончательными трактовками, обширными разработками или исследованиями одного приложения. Новизна и общность гораздо менее важны, чем ясность изложения и широкая привлекательность. Приветствуются соответствующие рисунки, схемы и фотографии. Примечания короткие, четкие и, возможно, неформальные. Часто они представляют собой жемчужины, обеспечивающие новое доказательство старой теоремы, новое изложение знакомой темы или живое обсуждение одного вопроса.
Информация об издателеОсновываясь на двухвековом опыте, Taylor & Francis быстро выросла за последние два десятилетия и стала ведущим международным академическим издателем. Группа издает более 800 журналов и более 1800 новых книг каждый год, охватывая широкий спектр предметных областей и включая журнал. отпечатки Routledge, Carfax, Spon Press, Psychology Press, Martin Dunitz и Taylor & Francis. Taylor & Francis полностью привержены публикации и распространению научной информации высочайшего качества, и сегодня это остается основной целью.
cv.complex variables – Реальный интеграл, который нельзя вычислить без комплексного анализа?
Одной из причин изучения контурных интегралов в комплексном анализе является то, что их можно использовать для получения элегантных оценок определенных реальных интегралов, которые, как правило, имеют более прямые физические и геометрические интерпретации (и поэтому их легче мотивировать). Часто кажется, что методы комплексного анализа дают более элегантный способ вычисления реальных интегралов, чем если бы использовался только реальный анализ.Однако во многих случаях, когда интеграл вычислим с использованием комплексного анализа, также, кажется, существует способ оценить его, используя только реальный анализ (возможно, в нескольких переменных). Поэтому я задаю следующий расплывчатый вопрос (см. Ниже попытку уточнить его):
Существует ли реальный интеграл, для которого можно доказать, что его нельзя вычислить без использования методов комплексного анализа?
Чтобы уточнить вопрос, сначала предположим, что все задействованные функции являются элементарными функциями (скажем, над $ \ mathbb {Q} $).Под действительным интегралом подразумевается интеграл от действительной функции вдоль (некоторой, возможно, неограниченной части) действительной прямой. Ради этого вопроса предположим, что «методы комплексного анализа» означают все, что связано с теоремой Коши или любыми ее следствиями, такими как теорема Коши о вычетах. Немного сложно точно определить, что должно означать «оценка», но, допустим, это означает, что интегралу присваивается значение явной элементарной функции (над $ \ mathbb {Q} $) в виде рационального числа.
Если ответ на вопрос не положительный, возможно, существует какой-то общий способ показать, что на указанный выше вопрос есть отрицательный ответ. Например, я могу представить себе возможность результатов в логике, говорящей, что любое предложение, выражающее оценку реального интеграла на некотором языке, включающем теорему Коши, эквивалентно предложению на языке, включающем только реальный анализ. Что-нибудь известно в этом направлении?
Комплексная интегральная реалистическая перспектива – целостная жизнь
Почему мы занимаемся философией? Конечно, за нашу врожденную любовь к мудрости.Но разве это не также для того, чтобы мы могли лучше понять себя и мир, в котором мы находимся, чтобы проложить свой путь к нашему наилучшему возможному будущему? И если да, то не должны ли мы пытаться использовать лучшую философию, на которую мы способны?
Этот квест – то, что побудило меня сосредоточить этот эпизод Эпохи трансформации на недавней книге моего гостя Пола Маршалла Комплексная интегральная реалистическая перспектива: к новому осевому видению , одной из немногих недавних революционных попыток попытаться скоординировать выводы из трех величайших интегративных метатеорий на сцене сегодня – интегральной философии, критического реализма и комплексной мысли – в более широкую матрицу, которая может подсказать, как и почему мы вступаем в новую осевую эру, осевую 2.0, через 2500 лет после появления оригинала.
Излишне говорить, что это действительно важный разговор, который едва ли может затронуть поверхность территории, которую он раскрывает. Но за время, проведенное вместе, вы услышите, как Пол, я и наш блестящий партнер по триалогу и профессор интегральной философии Брюс Олдерман исследуют, как за последнее десятилетие возникло мышление, которое рассматривает сильные и слабые стороны каждого из трех. передовые интегративные метатеории и их ключевые участники (Кен Уилбер, Рой Бхаскар и Эдгар Морин, соответственно).
При этом возникает не столько теория Uber, сколько более широкая перспектива комплексного интегрального реализма, интеллектуальная экология рамок, различий, методов и практик, основанная на лучших из этих трех больших метатеорий ( с большой помощью из других источников).
Я считаю, что для более конкретного воплощения Интегральной Евдемонии мы в долгу перед невероятными интеллектуальными усилиями таких людей, как Пол (и Брюс, чей собственный важный вклад в эту область вскоре может быть показан на TTA).Это заставляет нас понять длинную дугу 2500-летней Осевой Эпохи, которая, если бы ее противоречия и слепые пятна были исцелены, действительно могла бы завершиться в грядущие столетия обещанием такого эвдемонистического общества, приспособленного к индивидуальному освобождению, социальному освобождению и общечеловеческому освобождению. процветание.
В этой книге очерчены контуры видения, выходящего за рамки доминирующей парадигмы или мировоззрения, лежащего в основе и управляющего современностью (и постмодерном). Он делает это, опираясь на замечательный скачок в человеческом сознании, произошедший в Осевую Эру, и на перекрестное опыление, возможно, трех наиболее всеобъемлющих интегративных метатеорий, доступных сегодня: комплексного мышления, интегральной теории и критического реализма – т.е. сложный интегральный реализм. Используя три интегративные метатеории, в этой книге рассказывается о том, как семена ряда предубеждений в западной традиции – аналитический над диалектическим, эпистемология над онтологией, присутствие над отсутствием и внешнее над внутренним – были впервые посеяны в осевой Греции, а затем закрепились в европейской современности. а затем оспаривали на протяжении всего 20 века. Затем обсуждаются средства, предоставляемые тремя интегративными философиями, средства, которые проложили путь к новому видению.
Излагая «новое осевое видение» двадцать первого века, которое объединяет лучшее из досовременности, современности и постмодерна в рамках сложной интегральной реалистической структуры, эта книга будет интересна студентам и исследователям Осевой эпохи, критическому реализму, интегральному подходу. теория и сложная мысль. Он также понравится тем, кто заинтересован в возможной интеграции идей и знаний, полученных в результате науки, духовности и философии.
Купить на Amazon
.