Собственный интеграл: Страница не найдена — ПриМат

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2),

Несобственный интеграл онлайн

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Один (или оба) из пределов интегрирования равен или . В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом первого рода, например: .

В любой точке на отрезке интегрирования, подинтегральная функция терпит бесконечный разрыв. В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом второго рода, например: в точке .

Рассмотрим в качестве примера несобственный интеграл первого рода . График подинтегральной функции на отрезке интегрирования имеет вид:

Геометрически, данный несобственный интеграл равен площади под графиком функции на отрезке . Рассматриваемый интеграл является сходящимся, потому что указанная площадь равна 12 – конечному числу. Однако, несобственные интегралы бывают и расходящимися, например:

Алгоритм вычисления несобственного интеграла первого рода выглядит следующим образом:

Сначала мы заменяем бесконечный предел на некоторый параметр, например и получаем определенный интеграл. Этот интеграл мы вычисляем обычным образом: берем неопределенный интеграл и далее используем формулу Ньютона-Лейбница. На завершающем этапе, мы вычисляем предел при и, если, данный предел существует и конечен, тогда исходный несобственный интеграл является сходящимся, а в противном случае – расходящимся.

Алгоритм вычисления несобственного интеграла второго рода заключается в разбивке интервала интегрирования на отрезки в каждом из которых подинтегральная функция является непрерывной (разрывы допускаются только на концах отрезка). Далее, вычисляются полученные определенные интегралы, а при подстановке значений в формулу Ньютона-Лейбница вычисляются соответствующие пределы. И если все эти пределы существуют и конечны, тогда, как и раньше, интеграл является сходящимся, а в противном случае – расходящимся. Приведем пример:

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен вычислить очень многие типы несобственных интегралов. При этом, если интеграл расходится, калькулятор выдает сообщение: integral does not converge.

Собственный интеграл – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Собственный интеграл

Cтраница 3

Здесь в результате замены переменной данный несобственный интеграл ( от функции, имеющей бесконечный разрыв в правом конце интервала интегрирования) преобразовался в собственный интеграл от непрерывной функции и с конечным интервалом интегрирования, который вычислен обычным путем без применения предельного перехода.  [31]

Чтобы сформулировать условия, при которых для несобственных интегралов, зависящих от параметра, справедливы теоремы, аналогичные доказанным в предыдущем параграфе для собственных интегралов, зависящих от параметра, полезно понятие так называемой равномерной сходимости интеграла.  [32]

В соотношениях (5.76), (5.77) в первых интегралах подынтегральная функция экспоненциально убывает равномерно по всем параметрам, второй интеграл тригонометрической заменой сводится к собственному интегралу по конечному отрезку.

 [33]

В случаях, когда область интегрирования простирается в бесконечность или подин-тегральная функция перестает быть ограниченной вблизи особых точек, линий или поверхностей, несобственный тройной интеграл получается с помощью дополнительного предельного перехода, исходя из собственного интеграла. Своеобразие многомерного случая по сравнению с линейным случаем уже было отмечено в связи с изучением несобственных двойных интегралов, и сейчас к этому добавить нечего.  [34]

Сделанное замечание еще раз напоминает о том, что, используя при обращении с несобственным интегралом аналоги свойств интеграла Римана, следует всегда не забывать о необходимости проверки справедливости для несобственного интеграла всякого утверждения, аналогичного соответствующему утверждению для

собственного интеграла.  [35]

При поставленных условиях равномерная сходимость несобственных интегралов вполне соответствует равномерной сходимости рядов, изученной в первом томе ( п 388Х Покажем, в самом деле, что равномерно сходящийся несобственный, интеграл может бить представлен в виде суммы равномерно сходящегося ряда собственных интегралов.  [36]

Эта формула имеет место как в случае неограниченности пределов интегрирования, так и в случае неограниченности подынтегральных функций. Она может быть получена предельным переходом в формуле (8.2) для

собственных интегралов.  [37]

Как мы уже упоминали, интеграл ( 56) является собственным интегралом, если М лежит вне D. В этом случае функция V ( M) имеет частные производные всех порядков.  [38]

На несобственные интегралы вида ( 41) непосредственно распространяются многие свойства собственных интегралов.

 [39]

Дня вычисления его можно воспользоваться любым из методов преобразования, изученных в главе I, но наиболее употребительным является правило интегрирования под знаком интеграла, которое состоит в обращении двух интегрирований по отношению к х и а. Однако, не следует забывать, что это правило установлено лишь для собственных интегралов. Мы ниже увидим, что на несобственные интегралы оно может быть распространено лишь при частных предположениях.  [40]

Одна из них, F2, непрерывна на основании теоремы о непрерывности собственного интеграла

по параметру, потому, что / ( л, у) непрерывна на замкнутом множестве Q X CD – cog), другая, Fj, удовлетворяет неравенству FI ( л:) ] е для всех л: е И. Но тогда в силу доказываемой ниже леммы и F ( x) непрерывна.  [41]

Таким образом, а и Ъ могут означать не только конечные числа, но также и оо. Простейшие свойства несобственных интегралов, которые мы лишь перечислим, вполне аналогичны свойствам собственных интегралов [302-306] и получаются из них единообразным приемом. Так как несобственные интегралы суть пределы собственных, то обычно достаточно написать для этих последних равенство или неравенство, выражающее требуемое свойство, и перейти к пределам.  [42]

Определение равномерно сходящегося интеграла представляет аналогию с определением равномерно сходящегося ряда. Более того, равномерно сходящийся несобственный интеграл может быть представлен в виде суммы ряда равномерно сходящихся собственных интегралов. Указанная аналогия облегчает установление следующих свойств равномерно сходящихся несобственных интегралов.  [43]

Первый интеграл – в силу теоремы 1, второй – в силу теоремы о непрерывности собственного интеграла от параметра, так как f ( x, у) непрерывна на fix ( Z) – соб), а третий – как разность первого и второго.

 [44]

Страницы:      1    2    3

Белоусова_Высшая математика ч2.indd

%PDF-1.3 % 1 0 obj >]/Pages 3 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 2 0 obj >stream 2017-02-28T11:19:17+05:002017-02-28T15:13:36+05:002017-02-28T15:13:36+05:00Adobe InDesign CS6 (Windows)uuid:fd2c4e31-6d5b-4003-9682-5507fe4f8efcxmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1xmp.id:88BBD9257CFDE61199FFA68A2399871Dproof:pdf1xmp.iid:85BBD9257CFDE61199FFA68A2399871Dxmp.did:E44AAB1347E8E611AB2FDBEF7C44376Axmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1default

convertedfrom application/x-indesign to application/pdfAdobe InDesign CS6 (Windows)/2017-02-28T11:19:17+05:00

application/pdf

Белоусова_Высшая математика ч2.indd

Adobe PDF Library 10.0.1FalsePDF/X-1:2001PDF/X-1:2001PDF/X-1a:2001 endstream endobj 3 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 13 0 obj > endobj 14 0 obj > endobj 15 0 obj > endobj 16 0 obj > endobj 17 0 obj > endobj 18 0 obj > endobj 1049 0 obj > endobj 49 0 obj > endobj 50 0 obj > endobj 51 0 obj > endobj 52 0 obj > endobj 1050 0 obj > endobj 98 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0. 0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 99 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 100 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 101 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 102 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1051 0 obj >/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1052 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]/Properties>/Shading>>>/TrimBox[0.0 0.0 411.024 566.929]/Type/Page>> endobj 1053 0 obj >stream HlW$Y_O/Pg_@EAh_a%iV~y”oח݇o>>?nґJ;goO?Q;=ۙg-y.Ǜ￤ۗǧۧ[>9|Y||iҤ”?}s}Nޗ#UON=}϶6_o?&S=[)oe)@ƻFzeYvqg=lm%7WHeN-h3uK::>AP8&?JH#/>v:66|||o/?d1יVϴ’>`0n[q҃dHQ={,xϒ*_

Курс по математическому анализу

Вашему вниманию предлагается курс по математическому анализу.

 

 

Наверх

1. Предел числовой последовательности.

Последовательность  – это функция, заданная на множестве натуральных чисел . Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер, что для всех  c номерами  справедливо неравенство . Неравенство , эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер , что все  c номерами расположены между и . Последовательность, предел которой – конечное число , называется сходящейся, и ее предел обозначают. Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами  , то неравенства означают, что все точки  с номерами расположены между параллельными оси абсцисс прямыми и .

 

Бесконечно малая последовательность. Последовательность  , предел которой равен нулю , называется бесконечно малой.   

Бесконечно большая последовательность. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа  , как бы велико оно ни было, существует такой номер  , что для всех с номерамисправедливо неравенство  , записываем .

 

 

Наверх

2. Методы вычисления пределов последовательностей.

Пусть заданы две последовательности  и . Если существуют  и , то существуют и пределы суммы и произведения последовательностей, а при и предел частного, причем   ,        ,  . Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой последовательности.

Неопределенности и их раскрытие.

Если    и  , то может существовать  . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  . Также может существовать   , в этом случае имеем неопределенность типа  . Если   и  , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа   . Поскольку в перечисленных случаях не применимы теоремы о пределе суммы, произведения и частного, используют другие способы вычисления, которые называют методами раскрытия неопределенностей. Это, как правило, алгебраические преобразования, приводящие выражения к виду, при котором можно пользоваться упомянутыми теоремами.

 

 

Наверх

3. Предел функции в точке.

 

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки  , , , за исключением, быть может, самой точки  . Число  называется пределом функции  при , стремящемся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех   , удовлетворяющих неравенству  , справедливо неравенство . Говорят “предел функции  в точке  ” и обозначают  . Неравенство  для всех , эквивалентное неравенствам , , означают, что для любого существует такое , что для  график функции   расположен на плоскости в прямоугольнике . При вычислениях на компьютере мы имеем дело с дискретными значениями переменных. Поэтому удобнее пользоваться другим, эквивалентным приведенному, определением предела. А именно:  , если для любой, сходящейся к  последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу . Отсюда следует, в частности, что для любого существует такое , что для любой последовательности , сходящейся к , точки с координатами  находятся на плоскости внутри прямоугольника   . 

Бесконечно большие функции.

Если для любой последовательности  значений аргумента соответствующая последовательность значений функции бесконечно большая, то функция называется бесконечно большой в точке . Если  бесконечно большая в точке , то для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство ; обозначают  .

 

 

Наверх

4. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Рассмотрим функцию, определенную в некоторой окрестности точки , ,  за исключением, быть может, самой точки . Функция  называется бесконечно малой при , стремящемся к , если . Если — бесконечно малая в точке , то для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Неравенства  для всех , эквивалентные неравенствам , , означают, что для любого существует такое , что для график функции расположен на плоскости в прямоугольнике . Важно, что слова “за исключением, быть может, самой точки ” означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функцию.  При x, стремящемся к нулю, функция-таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.   

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть и  — две функции, бесконечно малые в точке . Если , то говорят, что  более высокого порядка малости, чем и обозначают . Если же , то  более высокого порядка малости, чем ; обозначают . Бесконечно малые функции  и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если  , обозначают  .  И, наконец, если   не существует, то бесконечно малые функции и  несравнимы.   

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и  называются эквивалентными, обозначают ~ .

 

 

Наверх

5. Методы вычисления пределов функций.

Пусть заданы две функции и . Если существуют  и  , то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а при и предел частного, причем        

,

,      

 .

Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной функции равен этой постоянной, то есть   . Из приведенных формул следует полезное утверждение: 

 , то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если сделать замену переменной , то вычисление предела при  всегда можно свести к вычислению предела при . Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает со значением функции в этой точке. Доказывают, что все элементарные функции непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке  в выражение для функции. 

 

Неопределенности и их раскрытие.

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если  и   , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Также может существовать   , в этом случае имеем неопределенность типа   . Если   и   , то может существовать  .   В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Если     и   , то может существовать  – неопределенность типа  . Рассматривают также неопределенности типа , и т. д. Основным признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой в выражение для функции. Полезно запомнить замечательные пределы: 

      (е = 2.71828… – основание натуральных логарифмов) – неопределенность типа .

       – неопределенность типа .

Использование эквивалентных бесконечно малых.

Если мы имеем неопределенность типа    , то это означает, что мы вычисляем предел отношения двух бесконечно малых функций. Напомним, что функция называется бесконечно малой, если ее предел в точке  равен нулю. Пусть, , ,  – бесконечно малые функции при  , причем эквивалентна  , т.е. ~ , ~ (напомним, что две бесконечно малых называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1). Тогда, т.е. при вычислении пределов отношений бесконечно малых любую из них можно заменять на эквивалентную. 

Правило Лопиталя.

Неопределенности типа  или удобно раскрывать с помощью правила Лопиталя. Пусть  и  две бесконечно малые или бесконечно большие функции при  и существует предел отношения их производных при . Тогда  . Если в результате применения правила Лопиталя снова получится неопределенность, то его можно применить еще раз. 

 

Формула Тейлора.

Пусть функция имеет в точке  производные всех порядков до -го включительно. Тогда для    справедлива формула Тейлора:

где  называется остаточным членом формулы Тейлора.

 

 

Наверх

6. Непрерывность функции в точке, на отрезке.

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке . Функция  непрерывна в точке , если предел функции в точке  равен значению функции в этой точке,. 

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке , справедливы следующие утверждения. 

Функция, непрерывная на отрезке  , достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке  существуют точки  такие, что

. 

Если функция  непрерывна на отрезке  и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале  существует точка   , в которой функция обращается в нуль, т. е.   . Это утверждение применяют для отделения корней уравнений  с непрерывной левой частью — если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.

Если функция   непрерывна на отрезке    , дифференцируема хотя бы на интервале  , то на интервале  существует точка , такая, что  . Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

 

 

Наверх

7. Классификация точек разрыва

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке . Функция непрерывна в точке , если предел функции в точке  равен значению функции в этой точке, . 

Односторонние пределы функции в точке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Если функция определена на промежутке , , то при исследовании поведения функции в окрестности точки  имеет смысл говорить о пределе функции  в точке  справа, а при исследовании в окрестности точки – о пределе функции в точке  слева. Число называется пределом справа функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех  , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство  . Говорят “предел справа функции в точке ” и обозначают . Аналогично говорят “предел слева функции в точке ” и обозначают , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство  . Для существования предела функции в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы функции в этой точке. По той же схеме вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Функция, определенная на отрезке , , непрерывна справа в точке , если и непрерывна слева в точке  , если. Для того чтобы функция была непрерывна в точке  необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке:. Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке . 

Классификация разрывов.

Если хотя бы одно из равенств  нарушается, говорят о разрыве в точке . Если  и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

 

 

Наверх

8. Производная, ее вычисление, геометрический смысл.

Производная функции в точке – Пусть функция  определена на промежутке . Точка — произвольная точка из области определения функции,   — приращение функции в точке , вызванное приращением независимой переменной .  Производной функции по независимой переменной  в точке ,  называется предел отношения приращения функции к приращению  при стремлении  к нулю, т.е.   

,  

— производная функции в точке . 

Односторонние производные – Если определена при , то можно определить правую производную функции в точке :

Аналогично, если  определена при , определяется левая производная функции в точке :

 Функция  имеет в точке  производную тогда и только тогда, когда в точкесовпадают ее левая и правая производные:  . 

Секущая графика функции – Пусть — функция, определенная на промежутке . Прямая, проходящая через точки , , ,  называется секущей графика функции  . Угловой коэффициент  секущей равен   и ее уравнение имеет вид  . 

Касательная и нормаль к графику функции – Касательной к графику функции  в точке  называется предельное положение секущей, проходящей через точки  , , когда . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке и ее уравнение имеет вид . Нормалью к графику функции  в точке называется прямая , проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Угловой коэффициент нормали равен    и ее уравнение имеет вид  .

 

 

Наверх

9. Производные сложных, обратных функций.

Пусть    – функция, дифференцируемая в точке  ,   – функция, дифференцируемая в точке   , причем  . Тогда   – сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке    и ее производная в этой точке вычисляется по формуле   .

Обычно    называют внешней функцией, а – внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции. 

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке   определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к  , а ее производная вычисляется по формуле .

 

 

Наверх

10. Дифференцируемость, дифференциал.

Дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки  . Рассмотрим приращение функции в этой точке:  . Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно записать в виде , где – приращение независимой переменной, А – постоянная, не зависящая от , – бесконечно малая функция при . 

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции  в точке называется линейная по  часть приращения . Дифференциал обозначается   , то есть  . Рассматривая функцию , нетрудно убедиться, что  , если  – независимая переменная. 

Связь дифференциала и производной.

Воспользуемся определением производной для дифференцируемой функции в точке : . Таким образом, дифференциал функции выражается формулой  , то есть для вычисления дифференциала необходимо лишь вычислить производную и умножить ее на  . Поэтому часто слова “вычисление производной” и “дифференцирование” считают синонимами. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная.  

 

 

Наверх

11. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке   . Вычислим производную , которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции  называется производная от ее производной:   . Аналогично определяют производную любого порядка:  . 

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции  в произвольной точке промежутка : . Здесь  – приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Сам же дифференциал есть функция от , и можно вычислить дифференциал от этой функции:   При  этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка .

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции  в произвольной точке промежутка : . Здесь – приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Пусть теперь   – функция независимого переменного , определенная на промежутке  . Тогда  – сложная функция переменного . Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции: . Заметим, что и выражение для дифференциала принимает ту же форму , хотя здесь  уже функция переменного  . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что  – функция переменного  . Поэтому и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.

 

 

Наверх

12. Исследование функций и построение графиков.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке (возможно,  ) . Характер поведения функции в области определения можно исследовать, опираясь на следующие утверждения. 

Если , то график функции пересекает ось абсцисс в точке  . 

Если , то график функции пересекает ось ординат в точке  .

Если в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту  (Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. В случае бесконечного разрыва расстояние от кривой до вертикальной асимптоты стремится к нулю при справа, слева или с обеих сторон). 

Если , или , существуют и конечны пределы и , то прямая — асимптота графика функции. 

Если , то график функции имеет на левой границе области сходимости вертикальную асимптоту  ; аналогично, если , то график функции имеет на правой границе области сходимости вертикальную асимптоту . 

Если и существует такое число , что для любого , то исследуемая функция периодична с периодом ; в этом случае достаточно построить график функции на промежутке  и доопределить его по периодичности на всю числовую ось.

Если , то исследуемая функция четная; этом случае график симметричен относительно оси ординат; достаточно построить график функции на промежутке и отобразить его симметрично относительно оси ординат на . 

Если  , то исследуемая функция нечетная; этом случае график симметричен относительно начала координат; достаточно построить график функции на промежутке  и отобразить его симметрично относительно начала координат на . 

Исследование функций с помощью производной.

Если функция дифференцируема на промежутке , за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то можно дополнить изучение поведения функции исследованием на экстремум (точки максимума и точки минимума функции имеют общее название — точки экстремума), используя следующие утверждения. 

Для того, чтобы дифференцируемая на функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы () на . 

Пусть в точке  производная  или не существует. Если существует окрестность точки , такая, что для  из этой окрестности при  и при , то функция имеет в точке максимум. Если же при  и  при  , то функция имеет в точке  минимум (в этом случае говорят, что “производная меняет знак при переходе через точку ”).

Если непрерывная в точке функция дифференцируема на , при этом на  и на , то функция имеет в точке максимум; если же при  и  при , то функция имеет в точке  минимум.   

Исследование функций с помощью второй производной.

Если функция дважды дифференцируема на промежутке , за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости.

График функции называется выпуклым (выпуклым вниз) на промежутке , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке , . Если же график функции лежит ниже касательной, — то он называется вогнутым (выпуклым вверх). 

Если дважды дифференцируемая на промежутке  функция имеет на нем положительную вторую производную, то функция выпуклая на . Если же вторая производная отрицательна на промежутке , то функция на нем вогнута. 

Если вторая производная равна нулю в точке , а слева и справа от нее имеет значения разных знаков, точка  — точка перегиба.

 

 

Наверх

13. Кривые на плоскости.

Кривые на плоскости в декартовых координатах.

Кривая на плоскости в прямоугольных (декартовых) координатах — это множество точек, координаты которых связаны соотношениями , , , или ; первые два соотношения задают кривую явно, последнее — неявно. Кривая, заданная уравнением  , , называется гладкой, если функция дифференцируема на промежутке . В каждой точкегладкой кривой можно провести касательную , уравнение которой . Уравнение нормали в той же точке имеет вид  или  . Кривая, заданная неявно уравнением , называется гладкой, если на ней нет особых точек (точка линии называется особой, если в ней одновременно обращаются в нуль обе частные производные функции : ). Уравнения касательной и нормали к такой кривой, проходящих через точку , , имеют соответственно вид   и

Кривые, заданные параметрически.

Уравнения , , устанавливающие зависимость декартовых координат точки плоскости от значения параметра , определяют на плоскости кривую, заданную в параметрической форме (говорят еще — заданную параметрически). Поскольку производная функции , заданной параметрически уравнениями , в точке, которая не является особой точкой кривой, вычисляется по формуле , то уравнения касательной и нормали к кривой, проходящих через точку , имеют соответственно вид: .   

Кривые в полярных координатах.

Декартовы координаты точки  на плоскости связаны с полярными координатамисоотношениями . Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции радиуса-вектора и полярного угла — в полярных координатах. Так, уравнение единичной окружности в полярных координатах имеет вид  . Уравнение кривой в полярных координатахобычно имеет вид . Угловой коэффициент касательной к графику функции, заданной уравнением , в точке   равен   , а декартовы координаты точки равны соответственно  и   .

 

 

Наверх

14. Формула Тейлора.

Остаточный член формулы Тейлора – Пусть функция имеет в точке  производные всех порядков до -го включительно. Тогда для справедлива формула Тейлора:

 ,

где ,  называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано; — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Если отбросить остаточный член, то получится приближенная формула Тейлора

 

,

правая часть которой называется многочленом Тейлора функции ; его обозначают . Приближенная формула позволяет заменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора. 

Из формулы Тейлора видно, что чем точка  ближе к точке , тем выше точность такой аппроксимации и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных имеет функция в некоторой окрестности точки , тем выше точность, с которой многочлен Тейлора аппроксимирует функцию в этой окрестности.  

Разложение основных элементарных функций – Положив  и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций: 

Разложение функций с использованием стандартных разложений – Для разложения по формуле Тейлора функции в окрестности произвольной точки необходимо сделать замену переменной , то есть  , и воспользоваться одним из приведенных выше разложений основных функций в окрестности точки  .

 

 

Наверх

15. Неопределенный интеграл, простейшие методы интегрирования.

Первообразная и неопределенный интеграл – Рассмотрим функцию , определенную на промежутке (здесь возможно ). Дифференцируемая на промежутке     функция , производная которой в каждой точке равна , называется первообразной функции  : . Поскольку  , то можно говорить о семействе первообразных — множестве функций вида  , . Семейство первообразных   функции называется неопределенным интегралом функции  и обозначается символом : для всех . Здесь    — знак интеграла, — подынтегральное выражение,  — подынтегральная функция,  — переменная интегрирования, — значение неопределенного интеграла, семейство первообразных функции , . То есть производнаянеопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Наоборот,    , следовательно, дифференцирование и вычисление неопределенного интеграла, – взаимно обратные операции. Не представляет труда с помощью таблицы производных составить таблицу неопределенных интегралов. Важным свойством неопределенного интеграла является линейность: , здесь    – постоянные. Вычисление неопределенного интеграла обычно сводится к преобразованию подынтегрального выражения так, чтобы можно было воспользоваться таблицей интегралов. 

Интегрирование заменой переменной – Если — непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая   , получим формулу интегрирования заменой переменной    . Если замена переменной выбрана правильно, то интеграл в правой части должен легко вычисляться. Для некоторых классов функций существуют стандартные замены, сводящие интеграл к табличному.  

Интегрирование по частям – Пусть   – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям . Название “по частям” связано с тем, что для записи интеграла в правой части нужно проинтегрировать “часть”     подынтегрального выражения в левой части. Метод интегрирования по частям используется для интегралов вида   ,  ,  ,  и некоторых других.

 

 

Наверх

16. Интегрирование некоторых классов функций.

Интегрирование рациональных функций – Функция называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов: . Если , рациональная дробь называется правильной. Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно вычислить. Для этого: 

Если , выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен. Правильную рациональную дробь (или правильный остаток от деления) раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнями многочлена   , а именно: 

Каждому действительному корню кратности 1 в разложении соответствует член   . 

Каждому действительному корню  кратности  в разложении соответствует набор из  членов     . 

Каждой паре комплексно сопряженных корней   кратности 1 в разложении соответствует член    ( – корни уравнения ).

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности  в разложении соответствует набор из членов       . 

В приведенных выражениях – неопределенные коэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общему знаменателю , приравнивая полученные коэффициенты при степенях   к соответствующим коэффициентам  и решая систему относительно  . 

Наконец, полученное разложение интегрируем почленно. 

Интегрирование тригонометрических функций – Интегралы вида , где  – рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью универсальной замены переменной  . При этом . Однако универсальная замена обычно связана с большими вычислениями, поэтому в некоторых случаях можно ее избежать.  

Интегралы вида   вычисляются с помощью замены  . Интегралы вида  вычисляются с помощью замены  . Интегралы вида  , если , то есть четная рациональная функция своих аргументов вычисляются с помощью замены    . 

Интегралы вида  вычисляются с помощью формул понижения степени  . 

Интегрирование иррациональных функций – Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен. 

Интегралы вида , где  – рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой . 

Интегралы вида   вычисляются заменой или . 

Интегралы вида   вычисляются заменой   или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

 

 

Наверх

17. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке . Разобьем промежуток на  произвольных частей точками   и обозначим , , . На каждом промежутке    возьмем произвольную точку  и вычислим в ней значение функции. Выражение   называется интегральной суммой функции на  .Если при  существует и конечен предел последовательности частичных сумм  , не зависящий ни от способа разбиения промежутка  точками  , ни от выбора , то этот предел называют определенным интегралом от функции по промежутку , а саму функцию — интегрируемой на . Обозначают    . 

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если , то   равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми . 

Формула Ньютона-Лейбница.

Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница =, здесь символ  означает, что из значения  при верхнем пределе b нужно вычесть значение при нижнем пределе a , — первообразная функция для . Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной, то есть неопределенного интеграла.  

Методы вычисления определенного интеграла.

Если — непрерывно дифференцируемая на отрезке  функция, , и , когда  изменяется на  , то, положив  , получим формулу замены переменной в определенном интеграле  .

Пусть  – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям   . Эта формула применяется для тех же классов функций, что и при вычислении неопределенного интеграла.

 

 

Наверх

18. Применение определенного интеграла для площадей и длин дуг.

Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах.

Пусть на плоскости задана область, ограниченная снизу кривой  , заданной в декартовых координатах, сверху – кривой  , слева – прямой   (ее может и не быть, если  ), справа – прямой  . Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле   . Здесь не нужно заботиться, какая из функций и где положительная, а какая отрицательная. Если, например, , то формула сама прибавит нужную площадь. Более сложные области всегда можно разбить так, чтобы выполнялись указанные условия. 

Пусть на отрезке  уравнением  задана плоская кривая. Ее длина вычисляется по формуле  

Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых.

Если область на плоскости снизу ограничена кривой, заданной параметрически, то есть   , при этом  , а сверху – кривой   . Тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем по формуле . Эта формула совпадает с формулой вычисления площади в декартовых координатах, если учесть, что  . 

Пусть кривая на плоскости задана параметрически   . Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле  .

Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах.

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах , то площадь этой области вычисляем по формуле  . Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования  . Здесь нужно понимать, что кривая  определена только, если . Поскольку в формуле присутствует , то она учтет и не существующую площадь, когда  . Решив уравнение , найдем пределы интегрирования. 

Если кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  , то ее длина вычисляется по формуле . Пределы интегрирования определяются из тех же соображений, что и при вычислении площади.

 

 

Наверх

19. Несобственные интегралы.

Интеграл как функция верхнего предела.

Для функции , интегрируемой для всех  , значение интеграла  зависит от значения верхнего предела ; можно рассмотреть функцию переменной : каждому значению ставится в соответствие число, равное значению интеграла  . Таким образом, можно рассматривать определенный интеграл как функцию верхнего предела: ; функция определена в области интегрируемости подынтегральной функции . Если — первообразная для , то значение можно вычислить по формуле Ньютона—Лейбница: . Функцию можно исследовать, не вычисляя первообразной. Для интегрируемой при функции справедливы следующие утверждения:   непрерывна на промежутке , причем ; если при , то     монотонно возрастает на промежутке ; если непрерывна при , то дифференцируема на промежутке , причем . 

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку.

Пусть функция  интегрируема для всех  и   . Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом по неограниченному промежутку и обозначают его  . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле . Аналогично определен интеграл для интегрируемой при  функции  и интеграл для функции , интегрируемой на . Если рассмотренные пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится. 

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция  интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежутке, и бесконечно большая в точке . Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции по и обозначают его . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле . Аналогично определен интеграл от интегрируемой на любом конечном отрезке, содержащемся в , бесконечно большой в точке  функции . Если пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится. 

Исследование несобственных интегралов на сходимость.

Вычисление несобственных интегралов сводится к вычислению первообразной, использованию формулы Ньютона-Лейбница и вычислению предела. Каждый из этапов сам по себе достаточно сложен, и разумно приступать к ним, если есть уверенность, что интеграл сходится, то есть предел конечен. Поэтому, в конечном счете, самым важным в теории несобственных интегралов является исследование их на сходимость: если интеграл расходится, то его и вычислять не надо. Одним из главных инструментов исследования несобственных интегралов на сходимость являются теоремы сравнения.

Рассмотрим две неотрицательные функции  и , определенные при . Пусть  для всех  , начиная с некоторого числа . Тогда, если сходится интеграл от большей функции , то сходится и интеграл от меньшей, то есть. Если расходится интеграл от меньшей функции  ,то расходится и интеграл от большей – . 

Если   , то несобственные интегралы от этих функций или оба сходятся или оба расходятся. 

Аналогичные утверждения, которые называют признаками сравнения, имеют место и для интегралов по конечному промежутку от неограниченных функций.

 

 

Наверх

20. Числовые ряды.

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов    Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой. 

 

Сходимость числового ряда. Ряд    называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности     частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают   , . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Разность  называется остатком ряда. Очевидно, что для сходящегося ряда    . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования. Если ряд сходится, то  (необходимое условие сходимости ряда). Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться. 

 

 

Суммирование числовых рядов. Если возможно найти общий член последовательности    , то по определению можно найти и сумму ряда, вычисляя предел этой последовательности.

 

 

Наверх

21. Сходимость знакоположительных рядов.

Теоремы сравнения.

1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами   и  , . Если при всех n, начиная с некоторого номера,  , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда. Наоборот, из расходимости ряда следует расходимость ряда. 

2. Если для таких же двух рядов   , то оба ряда или сходятся или расходятся одновременно. При использовании теорем сравнения нужно иметь ряд-эталон, с которым сравнивать и про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд   , который сходится при и расходится при , или геометрический ряд , который сходится при  и расходится при  . 

Признаки сходимости. Признаки сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами , вычислим   . Если , то ряд сходится, – расходится. При признак Даламбера ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться. 

Признак сходимости Коши. Для ряда с неотрицательными членами   , вычислим . Если   , то ряд сходится, – расходится. При    признак Коши ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

 

 

Наверх

22. Сходимость знакопеременных рядов.

Абсолютная и условная сходимость. Если в последовательности  бесконечно много положительных и отрицательных членов, то ряд называется знакопеременным. Ряд   называется знакочередующимся. Знакопеременный ряд   называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд   . Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда   начинают с исследования на сходимость ряда из модулей  методами для рядов с неотрицательными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд сходится абсолютно. 

 

Исследование знакочередующихся рядов. Если ряд из модулей расходится, то для знакочередующегося ряда можно применить признак Лейбница: если последовательность   стремится к нулю, монотонно убывая,   , то ряд    сходится, по крайней мере, условно. Для знакочередующегося ряда очень просто оценивается остаток ряда: .

 

 

Наверх

23. Функциональные ряды, равномерная сходимость.

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд,   , членами которого являются функции, определенные на промежутке   . При каждом фиксированном   имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда   также является функцией от х:   . По определению предела последовательности: если для   можно указать номер  ( что интересно, для каждого фиксированного   – свой номер, т.е.  ), такой, что для    выполняется неравенство  , то это и означает, что функциональный ряд сходится к функции. Множество , для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда. 

 

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть   , т.е. функциональный ряд сходится. Если для   можно указать номер  независимо от  , такой, что для выполняется неравенство  , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .   

  

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд   с положительными членами, такой, что для всех  , начиная с некоторого номера и всех  выполняется неравенство , то функциональный ряд   сходится на равномерно. Числовой ряд   в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

 

 

Наверх

24. Ряд Тейлора.

Степенные ряды. Функциональный ряд     , где – числовая последовательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале   с центром в точке   . Число  – радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам , или     . Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости. Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда. 

 

Разложение функций в ряд Тейлора. При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ряды Тейлора. Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки   и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд 

называется рядом Тейлора для функции    в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена:    . Функция  может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к  на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Пусть функция   бесконечно дифференцируема на интервале и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число   , такое, что для всех    и для всех   справедливо неравенство . Тогда ряд Тейлора сходится к   для всех   . Приведем разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций. 

 

 

Наверх

25. Ряд Фурье.

Ряд Фурье, его сходимость. Пусть функция  абсолютно интегрируема на отрезке  , то есть существует   . Тогда ей можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье: . Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера-Фурье: . Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если   – сумма ряда Фурье, то для любого        . То есть, если   непрерывна в точке  , то   . Если в точке   у   разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке . 

  

Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке. Для кусочно-гладкой на отрезке  функции задача о разложении в ряд Фурье на этом отрезке линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке  :   , .

 

 

Наверх

26. Сходимость ряда Фурье.

Сходимость ряда Фурье, явление Гиббса. Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если – сумма ряда Фурье, то для любого  . То есть, если  непрерывна в точке  , то  . Если в точке  у     разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке  . В окрестности точек непрерывности функции   разность между значением функции в точке и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при  , что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае   . В окрестности точек разрыва   частичные суммы ряда Фурье ведут себя иначе. Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Оно состоит в том, что для некоторых функций в точке ее скачка      существуют такие значения    , что

Это не противоречит теории, поскольку у Гиббса рассмотрен предел  , а в теории v     . 

Приближение функций, минимальное свойство коэффициентов Фурье. Функция , где    – произвольные числа, называется тригонометрическим многочленом. Тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени для функции     на отрезке   называется такой многочлен , среднеквадратичное отклонение  которого от функции  минимально:    . Для любой ограниченной интегрируемой на    функции частичная сумма   ее ряда Фурье является тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени. 

 

Зависимость скорости сходимости от гладкости функций. Скорость сходимости ряда Фурье функции зависит от ее гладкости (количества непрерывных производных). Если   непрерывно дифференцируема r раз на отрезке   , то справедливо неравенство , где  . Для среднеквадратичного отклонения справедлива оценка   , где  .

 

 

Наверх

27. Функции многих переменных.

Функция двух переменных. Переменная  (с областью изменения  ) называется функцией независимых переменных  в множестве  , если каждой паре их значений из   по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение   из множества . Множество v область определения функции, множество   v область ее значений. Функциональная зависимость   от обозначается так:  и т.п. Выберем в пространстве систему координат  , изобразим на плоскости   множество  ; в каждой точке этого множества восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение . Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственным графиком функции двух переменных. 

Линии и поверхности уровня. Линией уровня функции двух переменных   называется геометрическое место точек на плоскости   , в которых функция    принимает одно и то же значение. Линии уровня функции определяются уравнением  , где . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Поверхностью уровня функции трех переменных    называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция  принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид:  . Поскольку график функции трех переменных нам недоступен, поверхности уровня являются единственным средством изучения таких функций. 

  

Локальные экстремумы. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции , определенной в области , если существует окрестность этой точки, такая, что  для всех точек этой окрестности, отличных от . Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства.

 

 

Наверх

28. Частные производные, градиент.

Частные производные. Пусть  – функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки . Если существует конечный предел   , то говорят, что функция   имеет в точке частную производную по переменной   . Аналогично определяется частная производная по    . Обозначают:

 . 

Пусть – функция n переменных, определенная в области   n-мерного пространства. Частной производной функции по переменной  называется предел 

. 

Из определения частной производной следует правило: при вычислении производной по одной из переменных все остальные переменные считаем постоянными, учитывая, что производная постоянной равна нулю и постоянную можно выносить за знак производной.  

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных   ,  – направляющие косинусы вектора  . 

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора   и вектора с координатами   , который называется градиентом функции    и обозначается    . Поскольку   , где   – угол между   и   , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции   , а его модуль равен производной по этому направлению. 

Полный дифференцал. Для приращения дифференцируемой функции   справедливо равенство    . Линейная по приращениям аргументов часть приращения функции называется полным дифференциалом функции и обозначается    . 

Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, получим производные второго порядка. Например, для функции двух переменных: . Если смешанные производные     и     непрерывны, то они равны, то есть не зависят от порядка дифференцирования. Аналогично определяются, например,     . Если при вычислении полного дифференциала от дифференциала первого порядка учесть, что приращения аргументов есть числа и оставить их неизменными, то получим дифференциал второго порядка. Например, для функции двух переменных:    . Здесь учтено равенство смешанных производных второго порядка и принято    . При этих допущениях формулу дифференциала любого порядка можно получить из символического выражения:   .

 

 

Наверх

29. Неявные функции.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области   плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением   , является графиком некоторой функции   , определяемой уравнением    . В этом случае говорят, что функция    задана неявно уравнением   . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция   и ее частная производная по    непрерывны в     , . Тогда в некоторой окрестности точки   существует единственная непрерывная функция     , задаваемая уравнением   , так, что в этой окрестности   . 

  

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение     задает неявно функцию   . Это же уравнение может задавать неявно функцию или      . 

 

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение  : . Отсюда получим формулу для производной функции    , заданной неявно:   . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением   : , .

 

 

Наверх

30. Формула Тейлора для многих переменных.

Формулы Тейлора и Маклорена. Если функция   имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка:  , где ,

 ,

 

и т. д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух переменных при n=2: . 

 

Аппроксимация функции многочленом. Выражение

называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку , то в окрестности точки функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е.  . Чем ближе точка  к точке , тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция  , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

 

 

Наверх

31. Исследование на экстремум.

Локальные экстремумы. Точка   называется точкой локального минимума (максимума) функции , определенной в области , если существует окрестность этой точки, такая, что   для всех точек этой окрестности, отличных от . Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства. 

 

Исследование на экстремум функции двух переменных. Обозначим через приращение функции   в точке  . Если – точка локального минимума функции  , то существует окрестность   , в которой   (обратное неравенство в случае максимума). Из формулы Тейлора первого порядка   следует, что приращение   дважды непрерывно дифференцируемой функции   может сохранять знак, если главная линейная часть приращения функции в точке экстремума (максимума или минимума) равна нулю, т.е. выполнено необходимое условие экстремума: если точка   – точка экстремума, то   . Такая точка называется стационарной точкой функции. Приращение функции в стационарной точке имеет вид . Обозначим . Справедливо следующее достаточное условие экстремума. Пусть функция    дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки   и  . Если   , то в точке  функция достигает экстремума. Если при этом , то этот экстремум v минимум, при – максимум. Если же    , то в точке   экстремума нет. Геометрически достаточное условие означает, что в окрестности экстремума график функции   близок к поверхности . Если    , то для определения знака приращения   необходимо изучить члены формулы Тейлора более высокого порядка.

 

 

Наверх

32. Условный экстремум.

Условные экстремумы. Пусть функция  определена в некоторой области  и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных  называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной . 

 

Метод множителей Лагранжа. Если уравнение  не разрешимо ни относительно  , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа. Необходимым условием существования условного экстремума функции  при условии  является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:   . 

  

Наибольшее и наименьшее значение функции в области. Поскольку функция  , непрерывная в ограниченной замкнутой области достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений, задача об их нахождении разделяется на две части: найти экстремумы функции двух переменных внутри области, найти ее условные экстремумы на границе области, при условии, что граница задана уравнением .

 

 

Наверх

33. Двойной и тройной интегралы.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть   ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на  . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями  (разбиение ). Пусть – наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число    называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует    и он не зависит от выбора разбиения  и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции  по области и обозначается    или   . Двойной интеграл существует, если  непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в . 

 

Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла: 

Линейность:  

. Аддитивность: 

, если S1 и S2 две области без общих внутренних точек. 

Если для каждой точки  выполнено неравенство  , то . 

Если  интегрируема на , то функция   также интегрируема, причем . 

Если  и  наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее  площадь, то . 

Теорема о среднем значении: если  непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что   . 

Вычисление двойного интеграла. 

Если  , где –    непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     . 

Тройной интеграл и его свойства. Пусть – ограниченная замкнутая пространственная область, границей которой является кусочно-гладкая поверхность, и пусть функция  определена и ограничена в  . Посредством сетки кусочно-гладких поверхностей разобьем на конечное число элементарных областей   с объемами  (разбиение). Пусть . наибольший из диаметров областей  , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число ставится в соответствие каждому разбиению  и каждому выбору точек и называется интегральной суммой. Если существует   и он не зависит от выбора разбиения и точек,  то функция называется интегрируемой по Риману в области  , а сам предел называется тройным интегралом от функции   по области  и обозначается  . Свойства тройных интегралов такие же, как и у двойных интегралов. 

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Пусть  является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость  есть область  и которое ограничено снизу поверхностью , а сверху v поверхностью , где   – непрерывные функции в . Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области . Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

 

 

Наверх

34. Замена переменных в кратных интегралах.

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область плоскости на открытое множество, содержащее область , и пусть является образом . Если и их частные производные непрерывны, а определитель   , то . Выражение  называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель – якобианом. 

 

Вычисление площади.

Замена переменных в тройном интеграле. Пусть посредством функций производится взаимно однозначное отображение открытого множества, содержащего область пространства на открытое множество, содержащее область пространства и  есть образ . Если эти три функции непрерывны вместе со своими первыми частными производными в области и якобиан, то . Выражение  называется элементом объема в криволинейных координатах . 

 

Вычисление объема.

Двойной интеграл в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты. Пусть – область, полученная взаимно однозначным отображением области плоскости , определяемым функциями . Тогда , а двойной интеграл в полярных координатах вычисляется по формуле: .Элемент площади в полярных координатах есть .

 

 

Наверх

35. Сферические и цилиндрические координаты.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Введем в пространстве цилиндрические координаты. Для этого на плоскости используем полярные координаты, а третья координата произвольной точки остается . Учитывая связь полярных координат с декартовыми, получим выражение декартовых координат через цилиндрические:  . Тогда  и тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется по формуле: . Элемент объема в цилиндрической системе координат есть  . 

  

Тройной интеграл в сферических координатах. Введем в пространстве сферическую систему координат. Для этого рассмотрим произвольную точку  в декартовой системе координат. Спроектируем ее на плоскость , получив точку  . Положение точки в пространстве будем характеризовать ее расстоянием от начала координат , углом между отрезком и положительной полуосью , углом между отрезком и положительной полуосью . Декартовы координаты точки выражаются через сферические по формулам: . В этом случае    . Тогда тройной интеграл в сферических координатах вычисляется по формуле: 

.

Элемент объема в сферической системе координат есть  .

 

 

Наверх

36. Поверхностный интеграл по площади поверхности.

Площадь гладкой поверхности. Рассмотрим кусок поверхности  , заданной уравнением . Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность сеткой гладких кривых на элементарные области ( разбиение ). Пусть   – наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения  существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть    однозначно проектируется на плоскость и  – эта проекция. Элементу площади области на плоскости  соответствует элемент площади поверхности , равный , где – угол между нормалью к поверхности и осью . Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла  по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , то     и площадь поверхности вычисляется по формуле   , здесь – проекция поверхности на плоскость . Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности. 

 

Поверхностный интеграл 1-го рода. Пусть некоторая функция определена и ограничена на гладкой поверхности . Выберем разбиение поверхности и точки на каждой элементарной области   и составим интегральную сумму . Если независимо от выбора разбиения и точек существует , то он называется поверхностным интегралом по площади поверхности (1-го рода) от функции и обозначается    . 

 

Свойства и вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности. Если поверхность задана уравнением  и однозначно проектируется на плоскость , то поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле . Нетрудно получить аналогичные формулы, если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости. Поскольку вычисление поверхностного интеграла сводится к двойному интегралу, то, естественно, все свойства поверхностного интеграла 1-го рода такие же, как и у двойного.

 

 

Наверх

37. Криволинейный интеграл по длине дуги.

Криволинейный интеграл 1-го рода. Пусть – отрезок кусочно-гладкой кривой с началом в точке и концом в точке и – ограниченная функция, определенная в некоторой области, содержащей кривую . Выберем на кривой произвольные точки , разбивая ее на элементарные отрезки (разбиение ), длина каждого  . Обозначим . Пусть  – произвольная точка на элементарном отрезке . Составим интегральную сумму . Если независимо от разбиения и выбора точек существует    , то он называется криволинейным интегралом по длине кривой (1-го рода) и обозначается  . Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода      от функции трех переменных   по отрезку пространственной кривой. 

 

Свойства и вычисление криволинейного интеграла по длине дуги. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой , то есть. Это единственное свойство, которое не совпадает с обычными свойствами интегралов, определеямых через предел интегральной суммы. Если – отрезок кусочно-гладкой кривой, заданной параметрически:

 , то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

. Если плоская кривая задана в явном виде, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле: .

 

 

Наверх

38. Скалярное поле.

Скалярное поле. Если каждой точке пространства ставится в соответствие скалярная величина , то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также

 или      . Поле может быть плоским, если   , центральным (сферическим), если   , цилиндрическим, если .

 

Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых   принимает постоянное значение. Их уравнение:  . В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение:   . В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые. 

 

Производная по направлению и градиент скалярного поля. Пусть   – единичный вектор с координатами  ,  – скалярное поле. Производная по направлению характеризует изменение поля в данном направлении и вычисляется по формуле  . Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора   и вектора с координатами  , который называется градиентом функции  и обозначается  . Поскольку  , где  – угол между   и  , то вектор  указывает   направление скорейшего возрастания поля , а его модуль равен производной по этому направлению. Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента: 

 

 

Наверх

39. Векторное поле.

Векторное поле. Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле (поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности). В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде: . Скалярные функции однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, если , сферическим, когда , , цилиндрическим, когда , . 

 Векторные линии (линии тока). Для наглядного представления векторных полей используют векторные линии (линии тока). Это кривые, в каждой точке которых вектор является касательным вектором. Через каждую точку проходит одна линия тока. За исключением точек, где поле не определено или , линии тока никогда не пересекаются. В декартовых координатах дифференциальные уравнения линий тока имеют вид:

 

 

Наверх

40. Поток векторного поля.

Поток векторного поля. Рассмотрим кусок поверхности , заданной уравнением . Пусть выполняется условие  , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Выберем одну из сторон поверхности следующим образом: построим на поверхности достаточно малый замкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормали в точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормали обход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называть сторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Таким образом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, а односторонние поверхности лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потоком векторного поля   через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности (1-го рода)  , где –     единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону. Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи. 

 

Непосредственное вычисление потока. Поскольку поток векторного поля определен с помощью поверхностного интеграла, вычисление потока сводится к вычислению такого интеграла от функции , где  – компоненты векторного поля,  – направляющие косинусы вектора нормали.

 

 

Наверх

41. Формула Остроградского.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Рассмотрим кусочно-гладкую двухстороннюю замкнутую ориентированную поверхность  . Поток векторного поля   через замкнутую поверхность является важной характеристикой поля и позволяет судить о наличии источников и стоков поля. При непосредственном вычислении потока через замкнутую поверхность приходится разбивать ее на части, однозначно проектируемые на координатные плоскости. 

Формула Остроградского. Пусть замкнутая поверхность ограничивает некоторый объем  . Тогда в декартовых координатах справедлива формула Остроградского: , где  – компоненты векторного поля. 

 

 

Дивергенция векторного поля. Дивергенцией   векторного поля  называется . Точка  находится внутри замкнутой поверхности , ограничивающей объем   , который при вычислении предела стягивается в эту точку.  является скалярной величиной и служит мерой источников поля. Если в некоторой области поля  , то источников поля в этой области нет. Такое поле называют соленоидальным. Используя формулу Остроградского, нетрудно получить выражение для вычисления дивергенции в декартовых координатах: . Из свойств частных производных следуют свойства дивергенции векторного поля: 

 

 

Наверх

42. Криволинейный интеграл в векторном поле.

Криволинейный интеграл в векторном поле. Пусть заданы некоторое векторное поле  и кривая АВ (А – начальная точка, В – конечная). Криволинейный интеграл в векторном поле     есть скаляр, полученный следующим образом: 

Разобьем кривую точками А=А0, А1, А2-Аn=В на n частей, приближенно изображаемых векторами  (разбиение ). 

Обозначим  . 

На границе или внутри каждой элементарной дуги Аi-1Ai выберем точку, которой соответствует радиус-вектор   и составим интегральную сумму   . 

Если существует     и он не зависит от разбиения  и выбора точек, то этот предел называется криволинейным интегралом в векторном поле. В декартовой системе координат:, где – компоненты векторного поля.

Если кривая задана в параметрической форме:

, то вычисление криволинейного интеграла сводится к определенному интегралу: 

. Используя определение и формулу для вычисления нетрудно получить свойства криволинейного интеграла: 

Подчеркнем, что, в отличие от криволинейного интеграла по длине дуги, криволинейный интеграл в векторном поле меняет знак при изменении направления интегрирования. 

Если   векторное поле, описывающее физическое силовое поле, то криволинейный интеграл выражает работу, которую совершает   сила при переносе материальной точки из пункта А в пункт В вдоль кривой АВ. 

 

Циркуляция векторного поля. Важной характеристикой векторного поля является циркуляция векторного поля, которая равна криволинейному интегралу по замкнутой кривой в области поля, или, как говорят, по замкнутому контуру:   . Циркуляция векторного поля является скалярной величиной и характеризует вихревые свойства поля. Если в некоторой области поля циркуляция равна нулю, то поле называют безвихревым.

 

 

Наверх

43. Формула Стокса.

Формула Стокса. Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности , край которой образуется кусочно-гладкой кривой . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали      обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля     вдоль контура границы имеет место формула Стокса: , где   – компоненты векторного поля,   – направляющие косинусы вектора нормали. 

  

Ротор векторного поля. Рассмотрим в пространстве замкнутый контур  с выбранным направлением обхода, лежащий в ориентированной плоскости на ее положительной стороне (из конца единичного вектора нормали   обход контура представляется против часовой стрелки). Ротором    (или вихрем) векторного поля в точке  называется вектор, проекция которого на направление вектора нормали есть    . Точка лежит  на плоскости внутри контура  , который стягивается в эту точку при вычислении предела. Поскольку ротор поля определяется через циркуляцию, то он тоже является мерой завихренности поля. Найдем компоненты ротора в декартовой системе координат, воспользовавшись формулой Стокса. Для этого выберем сначала координатную плоскость y0z с нормальным вектором   , затем x0z,     , затем x0y,   . Применяя каждый раз теорему о среднем для интеграла, получим:    

Теперь теорема Стокса может быть сформулирована следующим образом: циркуляция векторного поля вдоль контура равна потоку ротора поля через поверхность, натянутую на этот контур. Выражение для ротора поля проще запомнить, если записать его в виде определителя:. Используя свойства частных производных и определителей, получим следующие свойства ротора векторного поля:

 

 

 

Наверх

44. Потенциальное поле.

Потенциальное поле. Если векторное поле  , то оно называется потенциальным, а скалярное поле , соответственно, его потенциалом. Самым известным примером такого соответствия является электрическое поле, напряженность которого  , где – потенциал электрического поля. Минус в формуле связан с историческим выбором направления вектора напряженности от плюса к минусу, когда уже умели тереть шерсть об янтарь, но не знали, как это описывать математически. 

  

Условие потенциальности поля. Пусть задано скалярное поле  , причем данная функция дважды непрерывно дифференцируема. Напомним, что в этом случае смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Вычислим  . 

Нетрудно видеть, что при этих условиях получается тождественный ноль. То есть, если поле потенциальное, то его  . 

 

 

Вычисление потенциала векторного поля. Если мы убедились, что поле  является потенциальным, то есть его ротор равен нулю, то представляет интерес вычислить потенциал этого поля. Для этого рассмотрим криволинейный интеграл в данном векторном поле:  , где точки А и В – начальная и конечная точки кривой. Поскольку  , то скалярное произведение векторов     и      является полным дифференциалом функции  : . Поэтому из свойств криволинейного интеграла следует, что . Смысл полученной формулы состоит в том, что работа поля по перемещению материальной точки из А в В не зависит от пути интегрирования, а только от конечной и начальной точек, точнее, от разности потенциалов в этих точках. Понятие разности потенциалов хорошо известно из физики. Для вычисления потенциала поля в произвольной точке В выберем начальную точку А, от которой начнем отсчет (в физике часто это – бесконечно удаленная точка). Тогда . Поскольку интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем его так, как нам удобно: сначала параллельно оси 0х, потом параллельно 0у, наконец, параллельно 0z. Обозначая , получим: 

.

Здесь    – компоненты векторного поля    . Поскольку выбор начальной точки произволен, потенциал поля определяется с точностью до произвольной постоянной, которая определяется физическими соображениями.

Вычислить несобственный интеграл с примерами решения

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Пример 1. Найти следующие несобственные интегралы:
3. Пример 2. Найти несобственные интегралы:
4. Пример 3.

Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных функций называются несобственными.

I. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются посредством предельного перехода:

где произвольное вещественное число.

II. Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также определяются посредством предельного перехода:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

если функция имеет бесконечный разрыв в точке принадлежащий отрезку и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то

где и изменяются независимо друг от друга.

Несобственные интегралы называются сходящимися или расходящимися, смотря по тому, существуют или нет определяющие их пределы соответствующих определенных (собственных) интегралов.

Примеры с решением

Пример 1. Найти следующие несобственные интегралы:

Пояснить решение геометрически.

Решение:

1) Пользуясь равенством (1), имеем

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

Геометрически, в прямоугольной системе координат, всякий определенный интеграл дает алгебраическую сумму площадей, ограниченных кривой двумя вертикальными прямыми и осью Поэтому, построив кривую и ее ординаты в точках (черт. 128), получим криволинеиную трапецию площадь которой

Возможно вам будут полезны данные страницы:

При получим трапецию с бесконечным основанием, которая имеет конечную площадь

2) Пользуясь определением (3), получим

Геометрически (черт. 129) интеграл от функции в пределах от до выражает площадь криволинейной трапеции а данный несобственный сходящийся интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая неограниченно простирается влево и вправо и вместе с тем имеет конечную величину

3) Здесь при подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Согласно определению (4)

т. е. этот несобственный интеграл расходится.

Геометрически (черт. 130) полученный результат указывает, что площадь криволинейной трапеции

при неограниченно позрастает.

4) Здесь подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке лежащей внутри отрезка интегрирования Поэтому, согласно определению (4),

Для графика подынтегральной функции (черт. 131) прямая является вертикальной асимптотой

Интегралы от этой функции в пределах от и от до 2 выражают площади криволинейных трапеций При эти трапеции неограниченно простираются вверх и вместе с тем имеют конечные площади, сумма которых равна найденному значению данного несобственного сходящегося интеграла.

Пример 2. Найти несобственные интегралы:

Решение:

1) Преобразуем интеграл к норой переменной. Полагая получим: при при

Здесь в результате замены переменной данный несобственный интеграл (от функции, имеющей бесконечный разрыв в правом конце интервала интегрирования) преобразовался в собственный интеграл от непрерывной функции и с конечным интервалом интегрирования, который вычислен обычным путем без применения предельного перехода.

Возможно и обратное. При замене переменной собственный интеграл может перейти в несобственный.

2) Согласно определению (1)

К последнему интегралу применяем формулу интегрирования по частям Полагая получим и

Подставляя в предыдущее равенство, имеем:

Здесь для нахождения предела последнего слагаемого применено правило Лопиталя.

Понятие определенного интеграла было установлено для функции непрерывной на конечном интервале Пусть теперь функция непрерывна на бесконечном интервале

Определение. Несобственным интегралом от функции на интервале называется предел интеграла при

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует (т.е. стремится к бесконечности или колеблется), то расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы и для прочих бесконечных интервалов и

Обозначив через первообразную от функции условно можно записать

понимая под символом предел, к которому стремится при

Пример 3.

-интеграл расходится.

Решение:

Заметим, что несобственный интеграл можно, как и ранее, интерпретировать как площадь соответствующей бесконечной криволинейной трапеции. Таким образом, в первом примере

площадь фигуры расположенная между кривой и осью на интервале (рис. 5.4), равна а во втором — равна бесконечности.

не имеет предела (т.е. интеграл расходится).

собственный интеграл – это… Что такое собственный интеграл?

собственный интеграл

мат. proper integral

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• собственный имя
• собственный ион

Смотреть что такое “собственный интеграл” в других словарях:

• Зависящий от параметра интеграл — Интеграл, зависящий от параметра  математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»). Содержание 1 Зависящий от параметра собственный интеграл …   Википедия

• ГИЛЬБЕРТА СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — не собственный (в смысле главного значения ио Коши) интеграл где периодич. функция наз. плотностью Г. с. и., а ядром Г. с. и. Если суммируема, то существует почти всюду, а если удовлетворяет условию Липшица с показателем то …   Математическая энциклопедия

• ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1 го и 2 го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение… …   Математическая энциклопедия

• Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа …   Википедия

• Спектральная теорема — В математике, в частности в линейной алгебре и функциональном анализе, термином спектральная теорема обозначают любой из целого класса результатов о линейных операторах или о матрицах. Не вдаваясь в детали можно сказать, что спектральная теорема… …   Википедия

• Телевизионные каналы городов России — Частоты телевизионных каналов в России распределяются между телекомпаниями в городах с населением свыше 200 тыс. на конкурсной основе. Вопросами распределения частот ведает федеральная конкурсная комиссия Министерства РФ по делам печати,… …   Википедия

• Рубин, Дмитрий Александрович — Дмитрий Рубин На концерте в Санкт Петербурге, 2009 год Основн …   Википедия

• ВЕБЕРА-ФЕХНЕРА ЗАКОН — ВЕБЕРА ФЕХНЕРА ЗАКОН, связывает едва заметный прирост раздражителя с первоначальной величиной раздражителя. Исследования, произведенные Вебером, показали, что для ощущения давления можно установить след. закон: едва заметный прирост ощущения веса …   Большая медицинская энциклопедия

• Математика —          I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой.          Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.          «Чистая …   Большая советская энциклопедия

• Функциональный анализ (математ.) — Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов… …   Большая советская энциклопедия

• Функциональный анализ — I Функциональный анализ         часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… …   Большая советская энциклопедия

ESA Science & Technology – Создайте свой собственный космический корабль INTEGRAL

Создайте собственный космический корабль INTEGRAL

Перед тем, как начать этот проект, внимательно прочтите информацию, представленную на этой странице.

В 2001 году ученые и инженеры со всей Европы доставили ЕКА большой ценный пакет: Международную лабораторию гамма-астрофизики массой 4000 кг. Когда в следующем году, 17 октября, ИНТЕГРАЛ был запущен с космодрома Байконур в Казахстане, на его борту находились 4 передовых прибора, предназначенных для исследования источников высокоэнергетического излучения в космосе.

С момента своего запуска INTEGRAL – миссия ЕКА в сотрудничестве с Россией и США – продолжила играть важную роль в гамма-астрономии. Космический корабль видел гамма-лучи в центре Млечного Пути, которые, как предполагается, были вызваны аннигиляцией вещества и антивещества. Данные миссии предполагают, что взрыв сверхновой происходит где-то в нашей галактике каждые 50 лет. ИНТЕГРАЛ также изучил около 100 черных дыр и нейтронных звезд в нашей Галактике, но обнаружил лишь удивительно небольшое количество сверхмассивных черных дыр в соседних галактиках.

Примите вызов – создайте модель INTEGRAL

В рамках этого проекта вы создадите собственную масштабную модель космического корабля ИНТЕГРАЛ. Вы можете выбрать любой материал, который вам нравится, например, картон, бумагу, дерево, повседневную упаковку, LEGO®, K’NEX или любой другой, который может вам подойти. Также нет ограничений по масштабу модели.

Запишите свой проект с видеодневником

Для участия в конкурсе необходимо вести видеодневник для записи построения модели.Дневник не должен превышать 10 минут и должен документировать различные этапы строительства, а также объяснять, что делают разные части космического корабля. Инструкции по отправке видеодневника для участия в конкурсе см. В разделе «Отправить запись».

КА ИНТЕГРАЛ

Чтобы помочь вам построить масштабную модель, предоставляется «жизненная статистика» космического корабля. Ряд изображений и рисунков, которые помогут вам в этом процессе, также доступны для просмотра или загрузки из правого меню.

Судейство проекта

Видеодневник будет смотреть жюри, в которое войдут ученые и инженеры, работающие над миссией INTEGRAL. Важно убедиться, что видео отражает вашу модель и процесс ее создания. Судьи будут оценивать следующее:

• Качество модели
• Оригинальность модели
• Деталь, включенная в модель: ее пропорции, сходство с оригиналом, включая инструменты или нет.
• Оригинальность и смекалка в использовании материалов, их описании и причинах вашего выбора.
• Презентация видеодневника

Советы и подсказки

• Не забудьте указать масштаб вашей модели
• Вам следует подумать о том, чтобы объяснить, почему космический корабль спроектирован именно так, с точки зрения его формы, расположения инструментов и т. Д.
• Убедитесь, что видеозапись хорошего качества с точки зрения изображения и звука.
• Проверяйте каждую часть записанного видео (включая звук) по мере продвижения, чтобы при необходимости его можно было сразу записать снова.
• Хорошее освещение и качество видео помогут судьям отчетливо разглядеть вашу модель.
• Для индивидуального подхода вы можете кратко представить всех создателей моделей. Все представленные заявки должны будут заполнить форму согласия на фотографию и фильм, подробную информацию о которой можно найти на странице отправки заявки.
• Работы принимаются от индивидуальных студентов или от групп до 6
человек.
• Видеодневники для возрастных категорий 14-16 и 17-19 лет должны быть на английском языке.
• Для записей, которые относятся к категории 13 лет и ниже, если невозможно отправить видеодневник на английском языке, он может быть сделан на родном языке учащегося с предоставленной транскрипцией диалога на английском языке.

Регулярно проверяйте эти страницы в течение всего конкурса на предмет обновлений и дополнительной информации.

Свяжитесь с нами

Если у вас есть какие-либо вопросы о конкурсе или вы хотите получать уведомления о любых обновлениях, свяжитесь с Ребеккой Барнс из SciEduesa.int

Последнее обновление: 1 сентября 2019 г.

Модуль 5: Раздел 1 с неопределенным интегралом

Модуль 5: Раздел 1 с неопределенным интегралом

Модуль 5: Раздел 1 Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл

В последних 3 модулях мы изучали ставки, используя технику дифференциации. В этом модуле мы исследуем ставки с помощью техники интеграции. Путем интеграции мы обратим процесс дифференциации вспять. Если мы использовали дифференциальное исчисление для вычисления и интерпретации скорости изменения, интегральное исчисление покажет нам, как использовать скорость изменения величины, чтобы найти ее значения.Например, мы можем использовать дифференциальное исчисление для определения скорости автомобиля как функции времени, если дано положение автомобиля как функция времени. Интегральное исчисление позволит нам определить положение автомобиля как функцию времени, если задана скорость автомобиля как функция времени.

В качестве другого примера, в прошлом мы нашли функцию предельных затрат с учетом функции затрат. Интегральное исчисление позволит нам взять функцию предельных затрат и создать функцию затрат.Теперь, когда мы сделали первое (например, нашли функцию предельных затрат), мы назвали результат производной. Когда мы выполняем последнее (например, находим функцию стоимости), результат называется первообразной .

Найдем первообразную следующей функции:

Ну, мы знаем, что функция

имеет производную от

Таким образом, мы имеем то, что мы называем общей первообразной или, неопределенный интеграл , который для f равен

, где C – любая постоянная.

Неопределенные интегралы

• Это читается как “неопределенный интеграл f ( x ) относительно x ”
• Представляет собой набор всех первородных f
• Интегрируемая функция f называется подынтегральным выражением
.
• Переменная x называется переменной интегрирования

Вот небольшое видео про + C

Поскольку поиск первообразной состоит из отмены нашей производной, мы можем использовать наши правила для производных, но наоборот, для вычисления неопределенных интегралов.

, где C – любая константа (включая 0).

• Производная любой константы равна 0, поэтому первообразная 0 является константой.

, где C – любая константа (включая 0) и n -1

• Это обратное нашему правилу власти. Сначала мы увеличиваем показатель степени на 1, а затем делим на новый показатель степени.

, где C – любая константа (включая 0).

• Напомним, что производная от.

, где C – любая константа (включая 0).

• Функция является собственной производной, поэтому она также является собственной первообразной.

, где C – любая константа (включая 0).

• Это обратное нашему правилу производных для экспоненциальных функций с основанием, отличным от e .

Итак, пара других правил, которые у нас были для деривативов, также применимы.Первообразная константы, умноженная на функцию, совпадает с константой, умноженной на первообразную функции. Кроме того, первообразная суммы или разности двух функций совпадает с суммой разности первообразных каждой функции.

Примеры

Найдите первообразную из следующих

Рассчитать

Рассчитать

Решение LiveScribe Версия PDF

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ

Ссылка на примеры с наглядным расчетом

ПРИМЕЧАНИЕ. Некоторые из этих примеров связаны с тригонометрическими функциями.Производные тригонометрических функций здесь. Мы НЕ будем рассматривать производные тригонометрических функций в этом классе, но примеры, включающие тригонометрические функции, могут помочь увидеть, как правило цепочки работает в различных ситуациях.

Напомним, что в модуле 4 мы использовали производные в маржинальном анализе. Определив скорость изменения затрат, выручки и прибыли, мы смогли оценить, насколько общие затраты, выручка и прибыль изменятся при изменении нашей входной единицы.Теперь, когда мы изучили первообразные, мы можем пойти в другом направлении. Это означает, что если у нас есть функция предельных затрат, дохода или прибыли, теперь мы можем восстановить функцию затрат, дохода или прибыли соответственно.

Рассмотрим следующую ситуацию:

Предельные затраты на производство коробки ламп x определяются следующей функцией:

Компания также имеет накладные расходы в размере 20 000 долларов. Какова функция общей стоимости для этой компании для коробок лампочек размером x ?

Решение LiveScribe Версия PDF

Проверьте свое понимание

Есть компания, которая производит игрушечных роботов.Производство 100 роботов обходится компании в 2000 долларов. У компании также есть накладные расходы в размере 500 долларов.

Предельный доход для компании равен

.

, где MR измеряется в сотнях долларов, а x – это сотни роботов. Используйте приведенную выше информацию, чтобы ответить на следующие вопросы.

Пример 1.

В этом примере инструктор объясняет, откуда взялось правило степени и как его применить, чтобы найти первообразную многочлена.

Пример 2.

В этом примере инструктор перебирает несколько основных первообразных. ПРИМЕЧАНИЕ. Третий (и последний) включает триггерные функции и может быть пропущен. Видео начинается с 3:19.

ССЫЛКА НА ВИДЕО

Пример 3.

В этом примере инструктор перебирает несколько первообразных. ПРИМЕЧАНИЕ. Второй включает тригонометрические функции, и его можно пропустить. Он начинается через 5 минут и заканчивается через 8 минут.

Горизонтальная интеграция

vs.Вертикальная интеграция: в чем разница?

Горизонтальная и вертикальная интеграция: обзор

Горизонтальная интеграция и вертикальная интеграция – это конкурентные стратегии, которые компании используют для укрепления своих позиций среди конкурентов. Горизонтальная интеграция – это приобретение смежного бизнеса. Компания, выбравшая горизонтальную интеграцию, приобретет другую компанию, работающую на том же уровне цепочки создания стоимости в отрасли. Вертикальная интеграция относится к процессу приобретения бизнес-операций в рамках одной производственной вертикали.Компания, выбравшая вертикальную интеграцию, полностью контролирует один или несколько этапов производства или распространения продукта.

Хотя горизонтальная интеграция и вертикальная интеграция – оба пути роста компаний, между этими двумя стратегиями есть важные различия. Вертикальная интеграция возникает, когда бизнес владеет всеми частями производственного процесса, а горизонтальная интеграция происходит, когда бизнес растет за счет покупки своих конкурентов. Эта статья поможет объяснить наиболее важные различия между горизонтальной интеграцией и вертикальной интеграцией и поможет компаниям решить, какая стратегия является для них наиболее выгодной, объясняя плюсы и минусы каждого подхода.

Ключевые выводы

• Горизонтальное поглощение – это бизнес-стратегия, при которой одна компания поглощает другую, действующую на том же уровне в отрасли.
• Вертикальная интеграция предполагает приобретение бизнес-операций в рамках одной производственной вертикали.
• Горизонтальная интеграция помогает компаниям увеличиваться в размерах, диверсифицировать предложения продуктов, снижать конкуренцию и выходить на новые рынки.
• Вертикальная интеграция может помочь увеличить прибыль и предоставить компаниям более быстрый доступ к потребителям.
• Компании, которые стремятся укрепить свои позиции на рынке и повысить уровень своего производства или распространения, используют горизонтальную интеграцию.

Горизонтальная интеграция

Когда компания хочет расти за счет горизонтальной интеграции, ее основная цель – приобрести аналогичную компанию в той же отрасли. Другие цели включают увеличение размера, создание эффекта масштаба, усиление рыночной власти над дистрибьюторами и поставщиками, повышение дифференциации продуктов или услуг, расширение рынка компании или выход на новый рынок, а также снижение конкуренции.

Например, если универмаг хочет выйти на новый рынок, он может выбрать слияние с аналогичным рынком в другой стране, чтобы начать свою деятельность за границей. Целью этого было бы получение большего дохода после слияния. В идеале компания заработала бы больше денег, чем когда они были бы двумя независимыми компаниями.

Недавно объединенная компания может сократить расходы за счет обмена технологиями, маркетинговыми усилиями, исследованиями и разработками (НИОКР), производством и распределением.

Горизонтальная интеграция работает лучше всего, когда две компании имеют синергетические культуры. Горизонтальная интеграция может потерпеть неудачу, если возникнут проблемы при слиянии двух корпоративных культур.

Плюсы и минусы горизонтальной интеграции

Хотя горизонтальная интеграция может иметь множество преимуществ, наиболее очевидным преимуществом является увеличение доли компании на рынке. Когда две компании объединяются, они также объединяют свои продукты, технологии и услуги, которые они предоставляют рынку.И когда одна компания увеличивает количество выпускаемой продукции, она также может расширить свои позиции потребителей.

Таким же образом компании могут получить выгоду от увеличения клиентской базы после горизонтальной интеграции. Благодаря слиянию двух предприятий в одно новая организация теперь имеет доступ к более широкой базе клиентов.

Когда клиентская база компании увеличивается, новая компания теперь может увеличить свой доход. Наконец, компании, которые выбирают горизонтальную интеграцию, получают выгоду от снижения конкуренции в своей отрасли, увеличения синергии между двумя компаниями (включая маркетинговые ресурсы) и снижения некоторых производственных затрат.

Несмотря на то, что горизонтальная интеграция может иметь смысл с точки зрения бизнеса, у горизонтальной интеграции есть недостатки для рынка, особенно когда они успешны. Подобная стратегия подвергается тщательной проверке со стороны государственных органов. Объединение двух компаний, работающих в рамках одной цепочки поставок, может сократить конкуренцию, тем самым уменьшив выбор, доступный потребителям.

Если это произойдет, это может привести к монополии, когда одна компания играет доминирующую силу, контролируя доступность, цены и предложение продуктов и услуг.Подобные крупные слияния являются причиной принятия антимонопольного законодательства. Антимонопольное законодательство предназначено для предотвращения хищнических слияний и поглощений, которые могут создать монополию. где одна компания имеет слишком большое влияние и высокую концентрацию рынка.

После горизонтальной интеграции новая, более крупная компания может воспользоваться преимуществами потребителей, подняв цены и сузив ассортимент продукции.

Кроме того, у горизонтальной интеграции есть и другие потенциальные недостатки, в том числе снижение гибкости в новой организации.До горизонтальной интеграции обе компании могли работать более гибко, но теперь новая компания стала более крупной организацией. Благодаря большему количеству сотрудников и внутренним процессам компания теперь обязана большему количеству бюрократии и большей потребности в прозрачности. Наконец, если между двумя компаниями не будет синергетической энергии, несмотря на стоимость процесса, горизонтальная интеграция может потерпеть неудачу. Это может привести к снижению стоимости между двумя компаниями, а не к увеличению стоимости операции.

Что нам нравится

• Плюсы

• Увеличение доли рынка

• Большая потребительская база

• Увеличение выручки

• Пониженная конкуренция

• Синергетические усилия (совместные маркетинговые усилия, технологии и т. Д.)

• Создание экономии за счет масштаба и экономии за счет масштаба

• Снижение производственных затрат

Что нам не нравится

• Минусы

• Высокий уровень контроля со стороны государственных органов

• Создание монополии

• Повышение цен для потребителей

• Меньше возможностей для потребителей

• Снижение гибкости для новой, более крупной компании

• Несогласованность ценностей компании снижает общую стоимость компании

Примеры горизонтальной интеграции

Горизонтальная интеграция имеет место, когда две компании, которые конкурируют в одной отрасли и на одной стадии производства, объединяются.Три примера горизонтальной интеграции – слияние Marriott и Starwood Hotels в 2016 году, слияние Anheuser-Busch InBev и SABMiller в 2016 году и слияние The Walt Disney Company и 21st Century Fox в 2017 году.

Marriott и Starwood Hotels

В 2016 году Marriott International, Inc. приобрела Starwood Hotels & Resorts Worldwide, Inc. В то время это создало крупнейшую в мире гостиничную компанию. Целью слияния было создание более разнообразного портфеля недвижимости для компании.В то время как Marriott имела сильные позиции в сегментах роскоши, конгрессов и курортов, международное присутствие Starwood было очень сильным. Объединение двух компаний предоставило больше возможностей для выбора для потребителей (в качестве гостей отеля), больше возможностей для сотрудников и добавленную стоимость для акционеров компании. После объединения у двух компаний было около 5 500 отелей и 1,1 миллиона номеров по всему миру.

Anheuser-Busch InBev и SABMiller

Слияние Anheuser-Busch InBev и SABMiller, завершившееся в октябре 2016 года, было оценено в 100 миллиардов долларов.Новая компания теперь торгуется под одним названием Newbelco. Поскольку это слияние объединило ведущие мировые пивоваренные компании, до закрытия компании должны были согласиться продать многие из своих популярных пивных брендов, в том числе Peroni, Grolsch и чешский Pilsner Urquell, в целях соблюдения антимонопольного законодательства. .

Одной из целей слияния было увеличение доли рынка Anheuser-Busch InBev в развивающихся регионах мира, таких как Китай, Южная Америка и Африка, где SABMiller уже получила доступ к этим рынкам.Взаимодействие с другими людьми

Компания Уолта Диснея и 21st Century Fox

Приобретение компанией Walt Disney компании 21st Century Fox было завершено в марте 2019 года. Цель слияния заключалась в расширении возможностей Disney для контента и развлечений для удовлетворения потребительских запросов, выхода на международный рынок и расширения предложений, направленных непосредственно на потребителя, в том числе ESPN +, Disney + и совместная доля владения двух компаний в Hulu.

Приобретение также включало Twentieth Century Fox, Fox Searchlight Pictures, Fox 2000 Pictures, Fox Family и Fox Animation, Twentieth Century Fox Television, FX Productions и Fox21, FX Networks, National Geographic Partners, Fox Networks Group International, Star India и интересы Fox. в Hulu, Tata Sky и Endemol Shine Group.Взаимодействие с другими людьми

Вертикальная интеграция

Компания, которая подвергается вертикальной интеграции, приобретает компанию, работающую в производственном процессе той же отрасли. Некоторые из причин, по которым компания может выбрать вертикальную интеграцию, включают укрепление своей цепочки поставок, снижение производственных затрат, получение прибыли от добычи или переработки или доступ к новым каналам сбыта. Для этого одна компания приобретает другую, которая находится либо до, либо после нее в процессе цепочки поставок.

Компании могут достичь вертикальной интеграции за счет внутреннего расширения, приобретения или слияния.

Вертикальная интеграция не только увеличивает прибыль от недавно приобретенных операций за счет продажи продукции напрямую потребителям, но также гарантирует эффективность производственного процесса и сокращает задержки в доставке и транспортировке.

Обратная интеграция

Компании могут интегрироваться по вертикали двумя способами: вперед или назад.Обратная интеграция происходит, когда компания решает купить другую компанию, которая производит исходный продукт для продукта приобретающей компании. Например, производитель автомобилей стремится к обратной интеграции, когда приобретает производителя шин.

Прямая интеграция

Прямая интеграция происходит, когда компания решает взять под контроль процесс постпроизводства. Таким образом, производитель автомобилей в предыдущем примере может приобрести автомобильный дилерский центр в процессе прямой интеграции – приобретение бизнеса перед собственной цепочкой поставок.Это сближает производителя с потребителем и увеличивает прибыль компании.

Плюсы и минусы вертикальной интеграции

Вертикальная интеграция помогает компании снизить затраты на различных этапах производственного процесса. Это также обеспечивает более строгий контроль качества и гарантирует лучший поток и контроль информации по всей цепочке поставок.

Дополнительные преимущества вертикальной интеграции включают увеличение продаж и повышение прибыли. Обратная интеграция – когда компания покупает другую компанию, которая производит исходный продукт для продукта приобретающей компании, – может уменьшить или устранить рычаги воздействия, которые поставщики имеют на компанию, и, таким образом, может снизить затраты.

Одним из основных недостатков вертикальной интеграции является то, что компания может в конечном итоге сосредоточить все свои ресурсы в одном подходе. Эта стратегия может быть особенно рискованной в нестабильной рыночной среде. Кроме того, координация вертикальной интеграции требует больших затрат.

Любая компания, которая рассматривает стратегию вертикальной интеграции, должна знать, какой капитал требуется для финансирования приобретения. Если эта стратегия требует привлечения дополнительного долга, компания должна исходить из того, что она должна быть в состоянии оплатить этот долг за счет дополнительных доходов, полученных в результате интеграции.

Что нам нравится

• Плюсы

• Увеличение продаж

• Снижение затрат на различных этапах производства

• Обеспечение более жесткого контроля качества

• Улучшенный поток и контроль информации в цепочке поставок

• Лучший контроль над объемом производства

Примеры вертикальной интеграции

Вертикальная интеграция имеет место, когда компания приобретает некоторых или всех участников своей цепочки поставок.Три примера вертикальной интеграции – это покупка компанией Google производителя смартфонов Motorola в 2012 году, покупка IKEA лесов в Румынии для поставки собственного сырья в 2015 году и попытка Netflix создать собственный оригинальный контент, который будет распространяться через свой потоковый сервис.

Google и Motorola

В 2012 году Google приобрела Motorola Mobility. Motorola создала первый сотовый телефон и инвестировала в технологию Android, которая была ценна для Google.Взаимодействие с другими людьми

Икеа и леса в Румынии

В 2015 году IKEA купила лесной массив площадью 83 000 акров на северо-востоке Румынии. Это была первая попытка компании управлять собственными лесными операциями. Компания IKEA приобрела лес, чтобы рационально использовать древесину по доступным ценам.

Netflix производит собственный контент

Netflix – один из наиболее ярких примеров вертикальной интеграции в индустрии развлечений. До создания собственной студии контента Netflix находился в конце цепочки поставок, поскольку распространял фильмы и телешоу, созданные другими создателями контента.Однако лидеры Netflix поняли, что они могут получать больший доход, создавая собственный оригинальный контент. В 2013 году компания расширила предложение оригинального контента.

Часто задаваемые вопросы по горизонтальной и вертикальной интеграции

Что такое горизонтальная и вертикальная интеграция?

Горизонтальная интеграция – это стратегия расширения, принятая компанией, которая предполагает приобретение другой компании того же направления бизнеса. Вертикальная интеграция относится к стратегии расширения, при которой одна компания берет на себя контроль над одним или несколькими этапами производства или распространения продукта.Обе эти стратегии используются компанией для того, чтобы укрепить свои позиции среди конкурентов.

Что такое пример горизонтальной интеграции?

Горизонтальная интеграция – один из самых распространенных типов слияний. В результате горизонтальной интеграции конкуренты на одном рынке объединяют свои операции и активы. Примером горизонтальной интеграции может быть слияние двух консалтинговых фирм. Одна из фирм предлагает услуги по разработке программного обеспечения для оборонной промышленности; другая фирма также занимается разработкой программного обеспечения, но в нефтегазовой отрасли.

Кто использует горизонтальную интеграцию?

Компании, которые стремятся укрепить свои позиции на рынке и повысить уровень своего производства или распространения, используют горизонтальную интеграцию.

Почему важна горизонтальная интеграция?

Горизонтальная интеграция может принести большую пользу компаниям. Это важно, потому что это может увеличить компанию в размерах, увеличить дифференциацию продукции, добиться экономии за счет масштаба, снизить конкуренцию или помочь компании выйти на новые рынки.

Итог

Хотя горизонтальная интеграция и вертикальная интеграция являются двумя способами, с помощью которых компании могут расширять свою деятельность, между этими двумя стратегиями есть важные различия. Горизонтальная интеграция – это процесс приобретения или слияния с конкурентами, в то время как вертикальная интеграция происходит, когда фирма переходит на другую стадию производства (а не слияние или приобретение компании на той же стадии производства).

Какой тип акционеров владеет наибольшим количеством акций Integral Diagnostics Limited (ASX: IDX)?

Каждый инвестор Integral Diagnostics Limited (ASX: IDX) должен знать о наиболее влиятельных группах акционеров.Вообще говоря, по мере роста компании учреждения будут увеличивать свою собственность. И наоборот, инсайдеры часто со временем уменьшают свою собственность. Мне очень нравится видеть хоть немного инсайдерской собственности. Как сказал Чарли Мангер: «Покажите мне стимул, и я покажу вам результат».

Компания Integral Diagnostics с рыночной капитализацией в 820 млн австралийских долларов – это компания с небольшой капитализацией, поэтому она может быть малоизвестна многим институциональным инвесторам. Взглянув на наши данные о группах собственности (ниже), кажется, что учреждения заметны в реестре акций.Давайте углубимся в каждый тип владельца, чтобы узнать больше об интегральной диагностике.

Ознакомьтесь с нашим последним анализом интегральной диагностики

с разбивкой по собственности

Что институциональная собственность говорит нам о интегральной диагностике?

Институциональные инвесторы обычно сравнивают свою собственную доходность с доходностью обычно используемого индекса. Поэтому они обычно рассматривают возможность покупки более крупных компаний, включенных в соответствующий контрольный индекс.

Как видите, институциональные инвесторы имеют значительную долю в Integral Diagnostics. Это означает, что аналитики, работающие в этих учреждениях, посмотрели на акции, и они им понравились. Но, как и все остальные, они могли ошибаться. Если несколько организаций одновременно изменят свой взгляд на акции, вы можете увидеть, как быстро упадет цена акций. Поэтому стоит посмотреть историю доходов Integral Diagnostics ниже. Конечно, действительно важно будущее.

Прибыль и рост доходов

Integral Diagnostics не принадлежит хедж-фондам.Глядя на наши данные, мы видим, что крупнейшим акционером является Viburnum Funds Pty Ltd. с 6,6% акций в обращении. Perennial Value Management Limited является вторым по величине акционером, владеющим 6,1% обыкновенных акций, а Yarra Funds Management Limited владеет примерно 4,9% акций компании.

Более глубокий взгляд на наши данные о собственности показывает, что 25 крупнейших акционеров в совокупности владеют менее половины реестра, что свидетельствует о большой группе мелких держателей, где ни один акционер не имеет большинства.

Продолжение истории

Несмотря на то, что имеет смысл изучать данные об институциональной собственности компании, также имеет смысл изучить мнения аналитиков, чтобы узнать, в какую сторону дует ветер. Есть много аналитиков, рассматривающих акции, поэтому, возможно, стоит посмотреть, что они прогнозируют.

Инсайдерское право собственности на Integral Diagnostics

Определение инсайдеров компании может быть субъективным и варьируется в зависимости от юрисдикции. Наши данные отражают отдельных инсайдеров, как минимум, членов совета директоров.Руководство компании ведет бизнес, но генеральный директор будет отвечать перед советом директоров, даже если он или она является его членом.

Большинство считает владение инсайдерами положительным моментом, поскольку это может указывать на то, что совет директоров хорошо согласован с другими акционерами. Однако в некоторых случаях внутри этой группы сосредоточено слишком много власти.

Наши последние данные показывают, что инсайдеры владеют некоторыми акциями Integral Diagnostics Limited. Инсайдеры от своего имени владеют акциями компании на сумму 820 млн австралийских долларов на сумму 48 млн австралийских долларов.Приятно видеть некоторые инвестиции инсайдеров, но, возможно, стоит проверить, покупали ли эти инсайдеры.

Общая государственная собственность

Широкая публика, в основном розничные инвесторы, владеет значительной долей в 51% в Integral Diagnostics, что позволяет предположить, что это довольно популярные акции. Такой размер собственности дает розничным инвесторам коллективную власть. Они могут и, вероятно, действительно влияют на решения о вознаграждении руководителей, дивидендной политике и предлагаемых бизнес-приобретениях.

Собственность частного капитала

С долей 6.6%, частные инвестиционные компании могут повлиять на совет Integral Diagnostics. Некоторых инвесторов это может воодушевить, поскольку частный капитал иногда может стимулировать стратегии, которые помогают рынку увидеть ценность компании. В качестве альтернативы, эти держатели могут выйти из инвестиции после того, как сделают ее публичной.

Собственность частной компании

По нашим данным, частным компаниям принадлежит 9,9% акций компании. Возможно, стоит посмотреть на это глубже. Если связанные стороны, такие как инсайдеры, имеют долю в одной из этих частных компаний, это должно быть раскрыто в годовом отчете.Частные компании также могут иметь в компании стратегический интерес.

Следующие шаги:

Мне очень интересно посмотреть, кому именно принадлежит компания. Но чтобы по-настоящему понять, нам нужно рассмотреть и другую информацию. Имейте в виду, что Integral Diagnostics показывает 4 предупреждающих знака в нашем инвестиционном анализе , вы должны знать о …

Если вы похожи на меня, вы можете подумать о том, будет ли эта компания расти или сокращаться. К счастью, вы можете проверить этот бесплатный отчет, в котором показаны прогнозы аналитиков на будущее.

NB: Цифры в этой статье рассчитаны с использованием данных за последние двенадцать месяцев, которые относятся к 12-месячному периоду, заканчивающемуся в последний день месяца, в котором датируется финансовый отчет. Это может не соответствовать данным годового отчета за полный год.

Эта статья Simply Wall St носит общий характер. Он не является рекомендацией покупать или продавать какие-либо акции и не принимает во внимание ваши цели или ваше финансовое положение. Мы стремимся предоставить вам долгосрочный сфокусированный анализ, основанный на фундаментальных данных.Обратите внимание, что наш анализ может не учитывать последние объявления компаний, чувствительных к ценам, или качественные материалы. Simply Wall St не имеет позиций ни в каких упомянутых акциях.

Хотите оставить отзыв об этой статье? Обеспокоены содержанием? Свяжитесь с нами напрямую . Вы также можете написать по электронной почте [email protected].

Integral Ecology

“ Integral Ecology – это дальновидная книга, которая призывает к сострадательной проактивной активности, когда мы имеем дело с теми беспорядками, которые мы сделали.Время не на нашей стороне, но мой оптимизм заставляет меня поверить в то, что если мы примем послания авторов и воплотим их в жизнь, используя смирение, сострадание, сердце и любовь, у нас все еще есть шанс выбраться из множества глубокие ямы, которые мы выкапываем для себя, других животных и экосистем ». – Марк Бекофф, доктор философии, Университет Колорадо, автор книг Animals Matter и The Emotional Lives of Animals

« Это лучшая книга по экологии без исключений. Высшая рекомендация! »- Кен Уилбер, автор книг Sex, Ecology, Spirituality and The Integral Vision

« Эта книга предлагает многообещающий подход к осмыслению различных взглядов на окружающую среду, включая множество способов понимания сложности и проблемы глобального изменения окружающей среды.Комплексная экологическая основа представляет собой ценную дорожную карту для решения современных проблем, таких как изменение климата, потеря биоразнообразия и изменение землепользования. Учитывая широко распространенные и часто горячие дебаты по вопросам окружающей среды, публикация Integral Ecology является своевременной и высоко оцененной “. Карен О’Брайен, доктор философии, Университет Осло, соавтор Environmental Change and Globalization и член Нобелевской премии мира Лауреат премии Межправительственной группы экспертов по изменению климата (IPCC)

«In Integral Ecology Эсбьорн-Харгенс и Циммерман разработали комплексную структуру (основанную на иерархии интегративных уровней, предложенную философом Кеном Уилбером) для междисциплинарного исследования. экологических проблем.Эта структура обеспечивает интеллектуальную основу для определения того, какие вопросы необходимо ставить в нашу де-факто постмодернистскую эпоху и как их формулировать наиболее эффективно », – Стэнли Н. Солт, доктор философии, Бруклинский колледж, автор книг Evolving Hierarchical Systems и Разработка и развитие

“ Integral Ecology – замечательная работа, поистине образец силы. Как и все новаторские книги, он вызовет оживленные дискуссии и неизбежные дискуссии. Это может даже изменить курс нашего понимания экологии.Это книга, которая предлагает нам читать, получать удовольствие, размышлять и действовать. И время пришло », – Мэри Эвелин Такер, доктор философии, Йельский университет, соредактор 10-томной Всемирной энциклопедии религий и экологии и автор Worldly Wonder

« Глубже глубокой экологии, интегральная экология завершается. вековая борьба за преодоление досадного наследия логического позитивизма в естественных науках и бихевиоризма в социальных науках. Оба зашорели и растоптали человеческий разум и дух.В основе Integral Ecology лежит откровенное признание внутреннего и субъективного, а также внешнего и объективного в мире, превосходящем человеческий. Вот что такое Integral Ecology . Помимо теоретической интегральной экологии, авторы, как одаренные писатели, так и мыслители, предоставляют тематические исследования, в которых интегральная экология применяется к реальным экологическим загадкам ». – Дж. Бэрд Калликотт, доктор философии, Университет Северного Техаса, соредактор журнала . Энциклопедия экологической этики и философии и Дебаты о дикой природе

Наша миссия и ценности – Комплексная физиотерапия

Чтобы заботиться о наших пациентах, как о своих семьях.

Благодаря исключительному обслуживанию и заботе, основанной на фактах, мы обслуживаем всех в наших сообществах в теплой, комфортной обстановке.

1. Высшее назначение
   Мы предоставляем услуги профессионального физиотерапевта высочайшего качества с учетом интересов всех заинтересованных сторон. Мы верим в заботу о недостаточно обслуживаемых людях и в продвижение хорошего самочувствия и самоэффективности. В системе здравоохранения, где деньги определяют качество оказания помощи, мы считаем, что наши пациенты на первом месте.
2. Ориентация на заинтересованные стороны
   а. Наши пациенты получат индивидуальную помощь от чутких лицензированных поставщиков.
   б. Наши сотрудники имеют право на рабочее место, где они чувствуют, что о них заботятся и ценят.
   c. Наши источники направления могут ожидать, что их пациенты достигнут превосходных результатов, предоставляемых поставщиками услуг экспертного уровня.
   d. Наше сообщество поддерживает нас, и мы обязаны отвечать взаимностью.
   е. Наши плательщики требуют, чтобы мы хорошо распоряжались долларами здравоохранения.
   f. Наши студенты, ординаторы и стипендиаты – будущее нашей профессии, и их развитие – наш долг.
   грамм. Наша профессия требует наших терапевтов, чтобы посвятить свое время и ресурсы Американской ассоциации физиотерапии.
   час Наши деловые партнеры / поставщики способствуют нашему успеху, и мы стремимся обеспечить взаимную выгоду взамен.
   я. Наша планета – ценный ресурс, и сознательные компании должны взять на себя инициативу в его защите.
3. Сознательное лидерство
   Руководство Integral Physical Therapy осознает огромную ответственность, которую несет бизнес, заботящийся о здоровье и благополучии людей. Мы осознаем нашу собственную подверженность ошибкам и стремимся к совершенству в нашей личной и профессиональной жизни через лидерство в качестве служителя и приверженность нашим заинтересованным сторонам.
4. Сознательная культура
   Мы руководствуемся следующими принципами и практиками
   
   1. Любовь, забота и доверие
      
   2. Отчетность
      
   3. Целостность
      
   4. Лояльность
      
   5. Справедливость
      
   6. Личностный и профессиональный рост
      
   7. Прозрачность
      
   8. Эгалитаризм
5. Наши обязательства
   
   1. Мы будем ставить потребности наших пациентов выше прибыли и личных интересов.
   2. Мы будем жертвовать не менее 2% нашей годовой прибыли местным группам и благотворительным организациям.
   3. Мы будем наставлять студентов, ординаторов и / или стипендиатов каждый год, чтобы повысить качество обслуживания в системе здравоохранения.
   4. К 2030 году мы будем нейтральными по выбросам углерода

«Непрерывная атака вампиров»: войны AMM становятся интересными с Integral

Integral, новый автоматизированный маркет-мейкер (AMM) с встроенной книгой заказов, был запущен рано утром в понедельник.На момент публикации в прессе пулы активов протокола привлекли 239 миллионов долларов, поскольку опытные трейдеры децентрализованного финансирования (DeFi) стремятся получить раннее вознаграждение за токены.

Проект, созданный четырьмя друзьями из Гарварда и несколькими крупными воротилами отрасли, рассчитан на выкачивание ликвидности с децентрализованных бирж, таких как Uniswap, с его подходом к непостоянным потерям и зеркалированию книги заказов. Члены команды Integral считают, что их дизайн может не только указывать более выгодные цены, но и обеспечивать более справедливую прибыль для поставщиков ликвидности (LP).

«Нашим основным вопросом исследования было:« Какой будет окончательная форма AMM? »И ответ:« Тот, который пожирает ликвидность других бирж »», – написала Integral в документах, предоставленных CoinDesk, добавив:

«Когда бы другая биржа пытается превзойти нас с лучшей ликвидностью, мы отражаем эту ликвидность на себя, пока снова не восстановим лучшую в мире ликвидность. Этот процесс можно рассматривать как непрерывную атаку вампиров, пока мы не объединим всю мировую ликвидность ».

Атаки вампиров прославили SushiSwap, клон Uniswap, созданный разработчиком под псевдонимом Chef Nomi.В течение этого времени платформа предлагала вознаграждение токенами за ликвидность, перемещенную с Uniswap на SushiSwap. Теперь кажется, что Integral продвигает идею еще на один шаг, «отражая» ликвидность на себе, чтобы получить признание.

Команда основателей из девяти человек, пожелавших остаться неназванными, получает советы от основателя Polychain Capital Олафа Карлсона-Ви, основателя Gauntlet Таруна Читра, основателя Compound Finance Роберта Лешнера и соучредителей Framework Ventures Майкла Андерсона и Вэнса Спенсера.