Составление дифференциальных уравнений: 3.4. Составление дифференциального уравнения по его общему решению

2.18. Задачи на составление дифференциальных уравнений

1. Физические задачи на составление ДУ.

Задача 1. Как изменится скорость точки массы на которую действует постоянная сила, сообщающая ей ускорение , если окружающая среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости движения точки? В начальный момент точка покоилась.

Согласно второму закону Ньютона , где – коэффициент пропорциональности в силе сопротивления . Данное уравнение является линейным, его общий интеграл найдем методом Лагранжа . Используя начальное условие , найдем . Окончательно, .

Задача 2. Найти закон движения точки массы , движущейся вдоль оси Ох, если работа силы, действующей на точку, пропорциональна времени . В начальный момент точка покоилась и находилась на расстоянии от точки отсчета.

По условию задачи , где – коэффициент пропорциональности. С другой стороны, работа силы в случае прямолинейного перемещения равна . В результате получим уравнение. Дифференцируя обе части равенства по , имеем . Учтем, что , а ; получим . Общее решение этого уравнения . Из начального условия находим , поэтому . Наконец, заменяя и интегрируя, находим . По начальному условию , получим . Окончательно .

Задача 3. Сосуд, площадь поперечного сечения которого функция высоты , наполнен жидкостью до уровня Н. Определить время За которое жидкость вытечет через отверстие площадью в дне сосуда.

Замечание. Использовать закон Торичелли: скорость истечения жидкости через малое отверстие в сосуде, находящейся на расстоянии ниже уровня жидкости пропорциональна скорости свободного падения тела с высоты , т. е. , где – так называемый коэффициент расхода; для воды .

Пусть в некоторый момент высота жидкости в сосуде . Объем вытекшей жидкости за время равен . С другой стороны, вследствие утечки жидкости из сосуда ее уровень понизится на величину , объем при этом уменьшится на величину . Приравнивая оба выражения и, переходя к пределу , получим уравнение .

Подставляя вместо его значение по закону Торичелли, находим . Время опорожнения сосуда .

Задача 4. В цилиндрическом сосуде объемом воздух адиабатически (т. е. без обмена тепла с окружающей средой) сжимается до объема . Вычислить работу сжатия.

Замечание. Использовать закон Пуассона: , где – постоянная для данного газа.

Предположим, что воздух сжимается с помощью поршня площади . При опускании поршня на величину совершается работа , где – давление воздуха в рабочем объеме . Подставляя вместо значение согласно закону Пуассона, получим уравнение . Решая его, находим . При имеем .

2. Геометрические задачи на составление ДУ.

Задача 5. Найти уравнение кривой касательная к которой в произвольной точке пересекает прямую В точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания и кривая проходит точку .

Пусть – произвольная точка кривой , – текущие координаты точек касательной. Тогда уравнение касательной, проходящей через точку имеет вид .

По условию задачи . Подставляя эти значения в уравнение, после интегрирования последнего, находим . Из условия имеем . Таким образом, искомая кривая имеет уравнение .

Задача 6. Найти уравнение кривой , проходящей через точку (0,1) и обладающей свойством: в каждой ее точке тангенс угла касательной равен удвоенному произведению координат точки касания.

Пусть – произвольная точка кривой . По условию задачи . Откуда . Из начального условия находим и .

Задача 7. Найти уравнение кривой , проходящей через начало координат и полностью расположенной в верхней полуплоскости, если она делит прямоугольник (Рис. 1) на две части и площадь части, находящейся над кривой в два раза больше части, находящейся под кривой.

Опустим из произвольной точки кривой перпендикуляры и на координатные оси. По условию задачи: , где – площадь прямоугольника, а – площадь части прямоугольника, находящейся под искомой кривой.

Получим интегральное уравнение . Дифференцируя это равенство, получим или . Общее решение этого уравнения . Поэтому искомая кривая не единственная, а это семейство парабол . По условию задачи , следовательно,

< Предыдущая   Следующая >

Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО УСЛОВИЮ ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Смакова Фаниля Фиргатовна

студент 2курса физико-математического факультета Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета, РФ, г. Стерлитамак

E-mail: [email protected] Сабитова Юлия Камилевна канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета,

РФ, г. Стерлитамак E-mail: [email protected]

DRAWING UP THE DIFFERENTIAL EQUATION ACCORDING TO A CONDITION OF A PHYSICAL TASK

Smakova Fanilya

student of 2years of training of physical and mathematical faculty of Sterlitamak

branch of the Bashkir State University, Russia, Sterlitamak

Sabitova Julia

candidate of physical and mathematical Science, assistant professor of the mathematical analysis of Sterlitamak branch of the Bashkir State University, Russia,

Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

В данной работе приведен алгоритм составления дифференциального уравнения по условию физической задачи. Решена физическая задача на установление закона изменения физических величин с помощью дифференциального уравнения.

ABSTRACT

In this article the algorithm of drawing up the differential equation according to condition of physical task. Physical example on establishment of the law of change of physical quantities by means of the differential equations is reviewed.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение; алгоритм. Keywords: differential equation, algorithm.

Дифференциальные уравнения являются одним из основных средств для математического решения практических задач. Особенно широко они

используются в теоретической механике и физике [1, с. 39], [2, с. 391]. Решение задач физики с помощью дифференциальных уравнений состоит из трех этапов: а) составление дифференциального уравнения; б) решения этого уравнения; в) исследования полученного решения. Удобнее воспользоваться следующим алгоритмом действий:

1. установить изменяющиеся в данном явлении величины, выявить физические законы, которые связывают их;

2. выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую необходимо найти;

3. по условию задачи определить начальные или краевые условия;

4. выразить все фигурирующие в условии задачи величины через независимую переменную, искомую функцию и ее производные;

5. составить дифференциальное уравнение по условию задачи и физическому закону;

6. найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения;

7. найти частное решение;

8. исследовать полученное решение.

В течение малого промежутка времени величины изменяются с постоянной скоростью. Данное свойство позволяет применить известные физические законы, которые описывают равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями £ + Д£ , т. е. величинами, участвующими в процессе и их приращениями. Но равенства будут иметь лишь приближенное значение. Если требуется получить точное решения, то следует разделить обе части получившегося равенства на Д£ и перейти к пределу, когда Д£ стремится к нулю. Получившееся равенство содержит: время меняющиеся с течением времени физические величины и их производные — являются дифференциальным уравнением, которое описывает данное явление. Существует также второй способ для получения дифференциального

уравнения. Он заключается в замене приращения № на дифференциал 11, а приращение функций — соответствующими дифференциалами.

Рассмотрим конкретный пример.

Задача. Парашютист падает под действием силы тяжести. Сопротивление воздуха пропорционально скорости его падения, вначале падения он находился на высоте Н и в состоянии покоя. Найти закон изменения высоты парашютиста над уровнем земной поверхности.

Решение. Воспользуемся вторым законом Ньютона: F = та. Выберем вертикальное направление оси. Тогда F = —тд — ку. Сила тяжести направлена в отрицательном направлении, а сила сопротивления воздуха направлена в сторону, противоположную скорости падения. Таким образом, равенство F = та принимает вид: та = —тд — ку. Известно, что ускорение является производной от скорости а = у’, тогдаполучаем следующее дифференциальное уравнение ту’ = —тд — ку, т. М —= о.

к V т / кН т кН

Из него находим, что Ь 2–\—. Заметим, что слагаемое — равно времени,

тд к тд

та

которое заняло бы падение парашютиста с постоянной скоростью —, а добавка

к

т

— произошла потому, что вначале падение было более медленным. При к

решении задачи было сделано предположение о пропорциональности силы сопротивления воздуха скорости падения. Оно было приближенным. Если

считать эту силу пропорциональной квадрату скорости падения, то уравнение (1) заменится на линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида

ту’ = —тд + ку2,

здесь направление силы сопротивления воздуха при выбранном направлении оси положительно.

Список литературы:

1. Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. М.: Просвещение, 1984. — 102 с.

2. Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие. М.: Высш. шк., 2005. — 671 с.

Дифференциальные уравнения – Системы дифференциальных уравнений

Онлайн-заметки Пола
Главная / Дифференциальные уравнения / Системы ЦЭ / Системы дифференциальных уравнений

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5.4: Системы дифференциальных уравнений

Во введении к этому разделу мы кратко обсудили, как система дифференциальных уравнений может возникнуть из проблемы популяции, в которой мы отслеживаем популяцию как жертвы, так и хищника. Имеет смысл, что количество присутствующей добычи повлияет на количество присутствующего хищника. Точно так же количество присутствующих хищников повлияет на количество присутствующих жертв. Следовательно, дифференциальное уравнение, определяющее популяцию либо жертвы, либо хищника, должно каким-то образом зависеть от популяции другого. Это приведет к двум дифференциальным уравнениям, которые необходимо решить одновременно, чтобы определить популяции жертвы и хищника.

9{\ text {th}} \) также линейные дифференциальные уравнения порядка. Однако, прежде чем мы углубимся в это, давайте запишем систему и избавимся от некоторой терминологии.

Мы будем рассматривать линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка. Эти термины означают то же самое, что они означали до сих пор. Наибольшая производная в любом месте системы будет первой производной, а все неизвестные функции и их производные будут встречаться только в первой степени и не будут умножаться на другие неизвестные функции. Вот пример системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

\[\begin{align*}{{x’}_1} & = {x_1} + 2{x_2}\\ {{x’}_2} & = 3{x_1} + 2{x_2}\end{align* }\]

Мы называем такую ​​систему -сопряженной системой , поскольку для нахождения \(x_{1}\) требуется знание \(x_{2}\), а также знание \(x_{1}\) требуется, чтобы найти \(x_{2}\). Мы будем беспокоиться о том, как решить их позже. На данный момент нас интересует только знакомство с некоторыми основами систем. 9{\text{th}}\) линейное дифференциальное уравнение порядка как система. Давайте посмотрим, как это можно сделать.

Пример 1 Напишите следующее дифференциальное уравнение 2

nd порядка в виде системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. \[2y” – 5y’ + y = 0\hspace{0.25in}y\left( 3 \right) = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,y’\left ( 3 \справа) = – 1\]

Показать решение

Мы можем написать дифференциальные уравнения высшего порядка в виде системы с очень простой заменой переменной. Мы начнем с определения следующих двух новых функций.

\[\begin{align*}{x_1}\left( t \right) & = y\left( t \right)\\ {x_2}\left( t \right) & = y’\left( t \right )\конец{выравнивание*}\]

Теперь заметьте, что если мы продифференцируем обе части этих чисел, мы получим

\[\begin{align*}{{x’}_1} & = y’ = {x_2}\\ {{x’}_2} & = y” = – \frac{1}{2}y + \ frac{5}{2}y’ = – \frac{1}{2}{x_1} + \frac{5}{2}{x_2}\end{align*}\]

Обратите внимание на использование дифференциального уравнения во втором уравнении. Мы также можем преобразовать начальные условия в новые функции.

\[\begin{align*}{x_1}\left( 3 \right) & = y\left( 3 \right) = 6\\ {x_2}\left( 3 \right) & = y’\left( 3 \справа) = – 1\конец{выравнивание*}\]

Если сложить все вместе, получится следующая система дифференциальных уравнений.

\[\begin{align*}{{x’}_1} & = {x_2} & \hspace{0,25in}{x_1}\left( 3 \right) & = 6\\ {{x’}_2} & = – \frac{1}{2}{x_1} + \frac{5}{2}{x_2} & \hspace{0.25in}{x_2}\left( 3 \right) & = – 1\end{align *}\] 92}\hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = 1\,\,\,\,y’\left( 0 \right) = 2\,\,\,\,y”\left ( 0 \справа) = 3\,\,\,\,y”’\слева( 0 \справа) = 4\]

Показать решение

Как и в предыдущем примере, нам нужно определить несколько новых функций. На этот раз нам понадобятся 4 новые функции.

\[\begin{align*}{x_1} & = y & \Rightarrow \hspace{0. 2}\конец{выравнивание*}\] 92} & \hspace{0.25in}{x_4}\left( 0 \right) & = 4\end{align*}\]

Теперь, когда мы, наконец, приступим к их решению, мы увидим, что обычно мы не решаем системы в том виде, в каком мы их дали в этом разделе. Системы дифференциальных уравнений можно преобразовать в матричную форму , и именно эту форму мы обычно используем при решении систем.

Пример 3 Преобразуйте следующую систему в матричную форму. \[\begin{align*}{{x’}_1} & = 4{x_1} + 7{x_2}\\ {{x’}_2} & = – 2{x_1} – 5{x_2}\end{ выровнять*}\]

Показать решение

Сначала напишите систему так, чтобы каждая сторона была вектором.

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{x’}_1}}\\{{{x’}_2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{4{x_1} + 7{x_2}}\\{ – 2{x_1} – 5{x_2}}\end{массив}} \ верно)\]

Теперь правую часть можно записать как умножение матриц,

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{x’}_1}}\\{{{x’}_2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&7\\{ – 2}&{ – 5}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{* {20}{c}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{массив}} \right)\]

Теперь, если мы определим,

\[\vec x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}} \right)\]

затем

\[\vec x’ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{x’}_1}}\\{{{x’}_2}}\end{массив} } \верно)\]

Тогда система может быть записана в матричной форме,

\[\vec x’ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&7\\{ – 2}&{- 5}\end{array}} \right)\vec x\ ]

Пример 4 Преобразуйте системы из примеров 1 и 2 в матричный вид.

Показать решение

Начнем с системы из примера 1.

\[\begin{align*}{{x’}_1} & = {x_2}\hspace{0,25in}{x_1}\left( 3 \right) = 6\\ {{x’}_2} & = – \frac{1}{2}{x_1} + \frac{5}{2}{x_2}\hspace{0.25in}{x_2}\left( 3 \right) = – 1\end{align*}\]

Первое определение,

\[\vec x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{{x_2}}\end{array}} \right)\]

Система тогда,

\[\vec x’ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ – \frac{1}{2}}&{\frac{5}{2}} \end{массив}} \right)\vec x\hspace{0.25in}\vec x\left( 3 \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1 }\left( 3 \right)}\\{{x_2}\left( 3 \right)}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }6\\{ – 1}\end{массив}} \right)\] 92}\hspace{0. 2}}\end{массив}} \right)\] 92}}\end{массив}} \right)\hspace{0.25in}\vec x\left( 0 \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\ 2\\3\\4\конец{массив}} \справа)\]

где,

\[\vec x\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}\left( t \right)}\\{{x_2}\ влево( т \вправо)}\\{{x_3}\влево( т \вправо)}\\{{x_4}\влево( т \вправо)}\конец{массив}} \вправо)\]

Обратите внимание, что иногда для таких «больших» систем, как эта, мы делаем еще один шаг вперед и записываем систему как

\[\vec x’ = A\vec x + \vec g\left( t \right)\]

Последнее, что нам нужно сделать в этом разделе, это немного разобраться с терминологией. Начиная с

\[\vec x’ = A\vec x + \vec g\left( t \right)\]

мы говорим, что система является однородной , если \(\vec g\left( t \right) = \vec 0\), и мы говорим, что система неоднородна , если \(\vec g\left( t \ справа) \ne \vec 0\).

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) | Млкстран

    • Введение
    • Производные
    • Начальные условия
    • Связывание администрирования с ODE
    • Пример
    • Жесткие ОДУ
    • Правила и рекомендации 

Введение

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) могут быть реализованы в блоке УРАВНЕНИЕ: раздела [ПРОДОЛЬНОЕ]. ОДУ описывают динамическую систему и определяются набором уравнений для производной каждой переменной, начальными условиями, начальным временем и параметрами.

 

Производные

Ключевое слово ddt_ перед именем переменной, как ddt_x и ddt_y, определяет производную системы ODE. Имена переменных обозначают компоненты решения. Эти переменные определяются на уровне всего раздела [ПРОДОЛЬНОЕ] через их производные. Сами производные являются не переменными, а ключевыми словами, и на них нельзя ссылаться другими уравнениями, и они не могут быть определены в условном выражении.

 

Начальные условия

Ключевое слово t0 определяет начальное время дифференциального уравнения, а имена переменных с суффиксом _0 определяют начальные условия системы. Точнее, в дифференциальном уравнении для переменной x x определяется при t = t0 начальным условием x_0, т.е. x(t0)=x_0, и дифференциальным уравнением после t0.

 

Связывание администрирования с ODE

Mlxtran предоставляет макрос depot() PK, который можно использовать для связи администрирования из набора данных с моделью. Подробности и примеры использования depot() для администрирования приведены здесь.

 

Пример

В этом примере мы рассматриваем дифференциальное уравнение первого порядка относительно x, определяемое формулой:

, где (V,k)=(10,. 05), это ОДУ обычно представляет собой линейный процесс исключения объема. Эта модель реализована в файле mlxt_ode.txt :

 ОПИСАНИЕ: Описание модели с простым ОДУ, представляющим линейную прецессию исключения объема.
[ПРОДОЛЬНЫЙ]
ввод = {V, к}
УРАВНЕНИЕ:
т0 = 10
х_0 = В
ддт_х = -к*х
 

 

Жесткие ОДУ

Численный алгоритм, обеспечивающий эффективный и стабильный способ решения ОДУ и ДДУ, используется для вычисления решения динамических моделей. Для решения ОДУ могут использоваться различные численные алгоритмы в зависимости от свойств системы ОДУ (методы Адамса для нежестких ОДУ и методы формул обратного дифференцирования для жестких ОДУ). Чтобы получить точное и стабильное решение за разумное время вычислений, необходимо выбрать правильный численный алгоритм. Жесткость систем ОДУ является одним из основных свойств, влияющих на выбор численных алгоритмов. Жесткие ОДУ могут привести к очень длительному времени вычислений, если используется неподходящий алгоритм. Жесткие ОДУ типичны для моделей, включающих процессы, происходящие в разных временных масштабах. Например, известно, что модели с процессами реакции и диффузии являются жесткими. Реакции могут протекать в секундном масштабе, тогда как процессы диффузии могут длиться часами. Для таких случаев доступен специальный численный алгоритм для жестких ОДУ.

Решатель для жестких ОДУ может быть выбран в Mlxtran с помощью ключевого слова odeType. Существует два возможных варианта odeType:

.
 ; ода считается жесткой
odeType = жесткий
; ода считается нежесткой (по умолчанию)
odeType = нежесткий
 

Эта команда должна быть определена в разделе [ПРОДОЛЬНОЕ]. Если odeType не указан, по умолчанию используется решатель nonStiff ODE.

Обратите внимание:

  • Для DDE ключевое слово odeType неэффективно.
  • Для многих ОДУ решатель nonStiff обеспечит наилучшее решение. Однако рекомендуется всегда тестировать оба решателя, чтобы увидеть, какой из них обеспечивает более короткое вычислительное время.
  • Абсолютный и относительный допуск числового разрешения составляет 1e-6 и 1e-3 соответственно для нежестких ОДУ и 1e-9 и 1e-6 соответственно для жестких ОДУ .

 

Правила и рекомендации

  • Мы рекомендуем пользователям явно определять начальные условия, хотя начальное значение по умолчанию равно x_0=0.
  • Если в модели Mlxtran для моноликса не определено начальное время t0, то по умолчанию t0 выбирается равным первой дозе или первому наблюдению, в зависимости от того, что наступит раньше.
  • Если t0 определено, необходимо определить дифференциальное уравнение.
  • Начальные условия могут зависеть от
    • время
    • входной параметр. Следовательно, значения начальных условий также можно оценить в Monolix.
    • значение регрессора. В таком случае опять  нужно определить дифференциальное уравнение.
  • С Mlxtran можно использовать только дифференциальное уравнение первого порядка. Если вы хотите использовать дифференциальное уравнение вида , вам необходимо преобразовать дифференциальное уравнение более высокого порядка в дифференциальные уравнения первого порядка, определив n последовательных дифференциальных уравнений, как предложено в следующем «Передовой практике упр. 1: Дифференциальное уравнение второго порядка».
  • Производные системы ODE не могут быть условными, т. е. ddt_ нельзя использовать в операторе if. Вместо этого следует использовать условные промежуточные переменные для значений производных, как показано в “Best Practices Ex. 2: оператор ЕСЛИ». Условный оператор можно создать, объединив ключевые слова if, elseif, else и end. Несколько ключевых слов elseif могут быть объединены в цепочку, а условия являются эксклюзивными по порядку. Значение по умолчанию может быть предоставлено с помощью ключевого слова else, а также в виде простого определения, предшествующего условной структуре. Неуказанное условное значение равно null. Вложенные переменные не являются локальными переменными, что означает, что переменная с оставшимися условными определениями все еще неполна и на нее нельзя ссылаться в другом определении даже при том же условии.

Передовая практика Напр. 1: Дифференциальное уравнение второго порядка
Если вы хотите использовать дифференциальное уравнение второго порядка типа , с , структурная модель в Mlxtran записывает

 [ПРОДОЛЬНЫЙ]
ввод = {а, б}
УРАВНЕНИЕ:
т0 = 0
х_0 = а
dx_0 = б
ддт_х = дх
ddt_dx = -x-dx
 

Передовая практика Напр. 2: Оператор IF
Если значение параметра зависит от условия, его можно записать с помощью Mlxtran с обычным синтаксисом if-else-end. Например, если параметр c должен быть равен 1, если t<=10, 2, если t<20, и 3 в противном случае, напишите 9.

Оставить комментарий