Способы нахождения пределов: Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей

(см. текст в предыдущей редакции)

Открыть полный текст документа

Содержание, пределы, способы реализации и защиты гарантированных законодательством Российской Федерации прав, свобод и законных интересов граждан – Бесплатная Юридическая Помощь

В соответствии с ч.1 ст. 48 Конституции РФ каждому гарантируется право на получение квалифицированной юридической помощи. В случаях, предусмотренных законом, юридическая помощь оказывается бесплатно.

 В соответствии со статьями 2, 3 Закона Вологодской области № 2744-ОЗ бесплатная юридическая помощь оказывается в виде:

1) правового консультирования в устной и письменной форме по вопросам, относящимся к их компетенции, в порядке, установленном законодательством Российской Федерации для рассмотрения обращений граждан;

2) составления заявлений, жалоб, ходатайств и других документов правового характера гражданам, нуждающимся в социальной поддержке и социальной защите, в соответствии с перечнем категорий, установленных статьей 20 Федерального закона от 21 ноября 2011 года N 324-ФЗ “О бесплатной юридической помощи в Российской Федерации” (далее — Федеральный закон “О бесплатной юридической помощи в Российской Федерации”), в случаях возмещения вреда, причиненного смертью кормильца, увечьем или иным повреждением здоровья, связанным с трудовой деятельностью; назначения, перерасчета и взыскания страховых пенсий по старости, пенсий по инвалидности и по случаю потери кормильца, пособий в связи с трудовым увечьем или профессиональным заболеванием в порядке, предусмотренном законодательством Российской Федерации для рассмотрения обращений граждан.

1. Органы исполнительной государственной власти области и подведомственные им учреждения, входящие в государственную систему оказания бесплатной юридической помощи, оказывают бесплатную юридическую помощь на территории Вологодской области в экстренных случаях гражданам, оказавшимся в трудной жизненной ситуации вследствие стихийного бедствия, пожара, террористического акта, в виде правового консультирования в устной и письменной форме по вопросам, относящимся к их компетенции.

2. Для оказания бесплатной юридической помощи лица, указанные в части первой настоящей статьи, представляют письменное заявление с указанием вида необходимой юридической помощи (за исключением случаев оказания юридической помощи в виде правового консультирования в устной форме), документы, подтверждающие их нахождение в трудной жизненной ситуации, паспорт или иной документ, удостоверяющий личность гражданина Российской Федерации.

3. Органы исполнительной государственной власти области и подведомственные им учреждения оказывают бесплатную юридическую помощь в срок не более трех рабочих дней со дня обращения гражданина.

Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:

В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Раскрытие неопределенности $\frac{0}{0}$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

• Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое “сопряжённое” выражение;
• При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
• Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.

Термин “сопряжённое выражение”, использованный выше, будет детально пояснён в примерах. 2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation} $$

Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

Пример №1

Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.

Решение

Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:

В заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое “сопряжённое выражение”. Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:

Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:

Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла. 2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.

В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.

Правило Л’Опиталя

Правило L’Hôpital может помочь нам рассчитать лимит, который в противном случае может оказаться трудным или невозможным.

L’Hôpital произносится как «лопиталь». Он был французским математиком 1600-х годов.

Он говорит, что предел , когда мы делим одну функцию на другую, остается таким же после того, как мы берем производную каждой функции (с некоторыми специальными условиями, показанными позже).

В символах можно написать:

lim x → c f (x) g (x) = lim x → c f ’(x) g’ (x)

Предел, когда x приближается к c из «f-of-x over g-of-x» равен
пределу, когда x приближается к c «f-dash-of-x над g-dash-of-x»

Все, что мы сделали, это добавили маленькую черту ‘на каждой функции, что означает взятие производной.

Пример:

lim x → 2 x ² + x − 6 x ² −4

При x = 2 обычно получаем:

2 ² + 2−6 2 ² −4 = 0 0

Что неопределенно, так что мы застряли. Или мы?

Попробуем L’Hôpital!

Различия между верхом и низом (см. Производные правила):

lim x → 2 x ² + x − 6 x ² −4 = lim x → 2 2x + 1−0 2x − 0

Теперь мы просто подставляем x = 2 , чтобы получить ответ:

lim x → 2 2x + 1−0 2x − 0 = 5 4

Вот график, обратите внимание на «дыру» в точке x = 2:

Примечание: мы также можем получить этот ответ путем факторинга, см. Оценка пределов .

Пример:

lim x → ∞ e ^x x ²

Обычно это результат:

lim x → ∞ e ^x x ² = ∞ ∞

Оба устремляются в бесконечность. Что неопределенно.

Но давайте различим верх и низ (обратите внимание, что производная от e ^x равна e ^x ):

lim x → ∞ e ^x x ² = lim x → ∞ e ^x 2x

Хммм, все еще не решено, оба стремятся к бесконечности.Но мы можем использовать его снова:

lim x → ∞ e ^x x ² = lim x → ∞ e ^x 2x = lim x → ∞ e ^х 2

Теперь у нас:

lim x → ∞ e ^x 2 = ∞

Он показал нам, что e ^x растет намного быстрее, чем x ² .

Ящики

Мы уже видели примеры 0 0 и ∞ ∞ . Вот все неопределенные формы, с которыми может помочь правило Л’Опиталя:

0 0 ∞ ∞ 0 × ∞ 1 ^∞ 0 ⁰ ∞ ⁰ ∞ − ∞

Условия

Дифференцируемая

Для предела, приближающегося к c, исходные функции должны быть дифференцируемыми по обе стороны от c, но не обязательно в c.

Точно так же g ’(x) не равно нулю по обе стороны от c.

Предел должен существовать

lim x → c f ’(x) g’ (x)

Почему? Хороший пример – функции, которые никогда не устанавливают значение.

Пример:

lim x → ∞ x + cos (x) x

Это случай ∞ ∞ . Различаем верх и низ:

lim x → ∞ 1 − sin (x) 1

И поскольку он просто качается вверх и вниз, он никогда не приближается к какой-либо ценности.

Так что нового лимита не существует!

Итак, Правило L’Hôpital в этом случае неприменимо.

НО мы можем это сделать:

lim x → ∞ x + cos (x) x = lim x → ∞ (1 + cos (x) x )

По мере того, как x стремится к бесконечности, cos (x) x стремится к промежутку между −1 ∞ и +1 ∞ , и оба стремятся к нулю.

И у нас осталась только «1», поэтому:

lim x → ∞ x + cos (x) x = lim x → ∞ (1 + cos (x) x ) = 1

Поиск пределов: свойства пределов

Определение предела суммы, разницы и произведения

Построение графика функции или изучение таблицы значений для определения предела может быть обременительным и трудоемким. По возможности более эффективно использовать свойства пределов , которые представляют собой набор теорем для нахождения пределов.

Знание свойств пределов позволяет нам вычислять пределы напрямую. Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить пределы функций, как если бы мы выполняли операции над самими функциями, чтобы найти предел результата. Точно так же мы можем найти предел функции, возведенной в степень, подняв предел до этой степени. Мы также можем найти предел корня функции, взяв корень предела.Используя эти операции над пределами, мы можем найти пределы более сложных функций, найдя пределы их более простых компонентных функций.

Общее примечание: свойства пределов

Пусть [latex] a, k, A [/ latex] и [latex] B [/ latex] представляют действительные числа, а [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] являются функциями, например что [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} f \ left (x \ right) = A [/ latex] и [latex] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim }} g \ left (x \ right) = B [/ латекс]. Для существующих и конечных пределов свойства пределов суммированы в таблице ниже.

Пример 1: Алгебраическая оценка предела функции

Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (2x + 5 \ right) [/ latex].

Решение

[латекс] \ begin {array} {ll} \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (2x + 5 \ right) = \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim }} \ left (2x \ right) + \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (5 \ right) \ hfill & \ text {Свойство суммы функций} \ hfill \\ \ text { } = \ underset {x \ to 3} {2 \ mathrm {lim}} \ left (x \ right) + \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (5 \ right) \ hfill & \ text {Постоянное время свойство функции} \ hfill \\ \ text {} = 2 \ left (3 \ right) +5 \ hfill & \ text {Evaluate} \ hfill \\ \ text {} = 11 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте 1

Оцените следующий предел: [латекс] \ underset {x \ to -12} {\ mathrm {lim}} \ left (-2x + 2 \ right) [/ latex].

Решение

Нахождение предела многочлена

Не все функции или их пределы включают простое сложение, вычитание или умножение. Некоторые могут включать многочлены. Напомним, что многочлен – это выражение, состоящее из суммы двух или более членов, каждое из которых состоит из константы и переменной, возведенных в неотрицательную целую степень. Чтобы найти предел полиномиальной функции, мы можем найти пределы отдельных членов функции, а затем сложить их вместе.Кроме того, предел полиномиальной функции по мере приближения [latex] x [/ latex] к [latex] a [/ latex] эквивалентен простой оценке функции для [latex] a [/ latex].

Практическое руководство. Для функции, содержащей многочлен, найдите ее предел.

1. Используйте свойства пределов, чтобы разбить многочлен на отдельные члены.
2. Найдите пределы отдельных терминов.
3. Сложите пределы вместе.
4. В качестве альтернативы оцените функцию для [latex] a [/ latex].{3} +5 \ right) [/ латекс].

   Решение

   Поиск предела мощности или корня

   Когда предел включает степень или корень, нам нужно другое свойство, которое поможет нам его оценить. Квадрат предела функции равен пределу квадрата функции; то же самое и с высшими силами. Точно так же квадратный корень из предела функции равен пределу из квадратного корня из функции; то же самое верно и для высших корней. {5} [/ latex].{2} + 6x + 8} {x – 2} \ right) [/ latex], можем ли мы определить предел функции, когда [latex] x [/ latex] приближается к [latex] a [/ latex]?

   Да. Некоторые функции могут быть перегруппированы алгебраически, чтобы можно было оценить предел упрощенной эквивалентной формы функции.

   Определение предела частного

   Нахождение предела функции, выраженной как частное, может быть более сложным. Нам часто нужно переписать функцию алгебраически, прежде чем применять свойства предела.Если знаменатель равен 0, когда мы применяем свойства предела напрямую, мы должны переписать частное в другой форме. Один из подходов – записать частное в факторизованной форме и упростить.

   Практическое руководство. Учитывая предел функции в форме частного, используйте факторинг для ее оценки.

   1. Полностью разложите на множители числитель и знаменатель.
   2. Упростите, разделив любые множители, общие для числителя и знаменателя.
   3. Оцените полученный предел, не забывая использовать правильный домен.{2} -6x + 8} {x – 2} \ right) = \ underset {x \ to 2} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (x – 2 \ right) \ left ( x – 4 \ right)} {x – 2} \ right) \ hfill & \ text {Разложите числитель на множители}. \ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 2} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ overline {) \ left (x – 2 \ right)} \ left (x – 4 \ right)} {\ overline {) x – 2}} \ right) \ hfill & \ text {Отмена общие факторы}. \ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 2} {\ mathrm {lim}} \ left (x – 4 \ right) \ hfill & \ text {Evaluate}. \ hfill \ \ \ text {} = 2–4 = -2 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Анализ решения

      Когда предел рациональной функции не может быть вычислен напрямую, факторизованные формы числителя и знаменателя могут упроститься до результата, который может быть вычислен.{2} -11x + 28} {7-x} \ right) [/ latex].

      Решение

      Пример 6: Оценка предела частного путем поиска ЖК-дисплея

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 5} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ frac {1} {x} – \ frac {1} {5}} {x – 5} \ справа) [/ латекс].

      Решение

      Найдите ЖК-дисплей для знаменателей двух членов в числителе и преобразуйте обе дроби, чтобы ЖК-дисплей был их знаменателем.

      Рисунок 3

      Анализ решения

      При определении предела рациональной функции, в которой добавлены или вычтены члены в числителе или знаменателе, первым шагом является нахождение общего знаменателя добавленных или вычтенных членов; затем преобразуйте оба члена в этот знаменатель или упростите рациональную функцию, умножив числитель и знаменатель на наименьший общий знаменатель.Затем проверьте, есть ли у числителя и знаменателя общие множители.

      Попробуйте 6

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to -5} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ frac {1} {5} + \ frac {1} {x}} {10 + 2x} \ справа) [/ латекс].

      Решение

      Практическое руководство. Учитывая предел функции, содержащей корень, используйте для вычисления конъюгат.

      1. Если данное частное не находится в неопределенной [латексной] \ левой (\ frac {0} {0} \ правой) [/ латексной] форме, оцените напрямую.
      2. В противном случае перепишите сумму (или разность) двух частных как одинарное частное, используя наименьший общий знаменатель (LCD) .
      3. Если числитель включает корень, рационализируйте числитель; умножьте числитель и знаменатель на , сопряженное с числителя. Напомним, что [latex] a \ pm \ sqrt {b} [/ latex] являются конъюгатами.
      4. Упростить.
      5. Оцените полученный предел.

      Пример 7: Оценка предела, содержащего корень, с помощью конъюгата

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ sqrt {25-x} -5} {x} \ right) [/ latex].

      Решение

      [латекс] \ begin {array} {ll} \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ sqrt {25-x} -5} {x} \ right) = \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (\ sqrt {25-x} -5 \ right)} {x} \ cdot \ frac {\ left (\ sqrt {25-x} +5 \ right)} {\ left (\ sqrt {25-x} +5 \ right)} \ right) \ hfill & \ text {Умножьте числитель и знаменатель на сопряжение}.\ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (25-x \ right) -25} {x \ left (\ sqrt { 25-x} +5 \ right)} \ right) \ hfill & \ text {Умножение:} \ left (\ sqrt {25-x} -5 \ right) \ cdot \ left (\ sqrt {25-x} + 5 \ right) = \ left (25-x \ right) -25. \ Hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {-x} {x \ left (\ sqrt {25-x} +5 \ right)} \ right) \ hfill & \ text {Объединить похожие термины}. \ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 0} { \ mathrm {lim}} \ left (\ frac {- \ overline {) x}} {\ overline {) x} \ left (\ sqrt {25-x} +5 \ right)} \ right) \ hfill & \ текст {Упростить} \ frac {-x} {x} = – 1.\ hfill \\ \ text {} = \ frac {-1} {\ sqrt {25-0} +5} \ hfill & \ text {Evaluate}. \ hfill \\ \ text {} = \ frac {-1} {5 + 5} = – \ frac {1} {10} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Анализ решения

      При определении предела функции с корнем в качестве одного из двух членов, которые мы не можем вычислить напрямую, подумайте о умножении числителя и знаменателя на сопряжение членов.

      Попробуйте 7

      Оцените следующий предел: [латекс] \ underset {h \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ sqrt {16-h} -4} {h} \ right) [/ latex] .

      Решение

      Пример 8: Оценка предела частного значения функции путем факторинга

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 4} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {4-x} {\ sqrt {x} -2} \ right) [/ latex].

      Решение

      [латекс] \ begin {array} {ll} \ underset {x \ to 4} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {4-x} {\ sqrt {x} -2} \ right) = \ underset {x \ to 4} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (2+ \ sqrt {x} \ right) \ left (2- \ sqrt {x} \ right)} {\ sqrt {x} -2} \ right) \ hfill & \ text {Factor.} \ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 4} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (2+ \ sqrt {x} \ right) \ overline {) \ left (2- \ sqrt {x} \ right)}} {- \ overline {) \ left (2- \ sqrt {x} \ right) }} \ right) \ hfill & \ text {Factor} -1 \ text {вне знаменателя} \ text {.{2} [/ латекс]

      и может быть разложен на

      [латекс] \ left (a + b \ right) \ left (a-b \ right) [/ латекс].

      Попробовать 8

      Оцените следующий предел: [латекс] \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {x – 3} {\ sqrt {x} – \ sqrt {3}} \ right) [/латекс].

      Решение

      Практическое руководство. Получив частное с абсолютными значениями, оцените его предел.

      1. Попробуйте разложить на множители или найти ЖК-дисплей.
      2. Если предел не может быть найден, выберите несколько значений рядом и по обе стороны от входа, где функция не определена.
      3. Используйте числовое свидетельство, чтобы оценить пределы с обеих сторон.

      Пример 9: Оценка предела частного с абсолютными значениями

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 7} {\ mathrm {lim}} \ frac {| x – 7 |} {x – 7} [/ latex].

      Решение

      Функция не определена при [latex] x = 7 [/ latex], поэтому мы попробуем значения, близкие к 7 слева и справа.

      Предел слева: [латекс] \ frac {| 6.9 – 7 |} {6.9 – 7} = \ frac {| 6.99 – 7 |} {6.99 – 7} = \ frac {| 6.{+}} {\ mathrm {lim}} \ frac {6-x} {| x – 6 |} [/ latex].

      Решение

      Ключевые понятия

      • Свойства пределов могут использоваться для выполнения операций над пределами функций, а не с самими функциями.
      • Предел полиномиальной функции можно найти, найдя сумму пределов отдельных членов.
      • Предел функции, возведенный в степень, равен той же степени, что и предел функции. Другой метод – прямая подмена.
      • Предел корня функции равен соответствующему корню предела функции.
      • Один из способов найти предел функции, выраженной как частное, – это записать частное в факторизованной форме и упростить.
      • Другой метод определения предела сложной дроби – найти ЖК-дисплей.
      • Предел, содержащий функцию, содержащую корень, может быть вычислен с использованием конъюгата.
      • Пределы некоторых функций, выраженные в виде частных, можно найти с помощью факторизации.
      • Один из способов оценить предел частного, содержащего абсолютные значения, – использовать числовое свидетельство. Также может быть полезна его настройка по частям.

      Глоссарий

      свойства пределов

      Сборник теорем для нахождения пределов функций путем выполнения математических операций над пределами

      Раздел упражнений

      1. Приведите пример типа функции [latex] f [/ latex], предел которой, когда [latex] x [/ latex] приближается к [latex] a [/ latex], составляет [latex] f \ left (a \ справа) [/ латекс].

      2. Когда прямая подстановка используется для оценки предела рациональной функции, поскольку [латекс] x [/ латекс] приближается к [латексу] a [/ латексу], и результат [латекс] f \ left (a \ right) = \ frac {0} {0} [/ latex], означает ли это, что предел [latex] f [/ latex] не существует?

      3. Что означает утверждение, что предел [латекса] f \ left (x \ right) [/ latex], поскольку [latex] x [/ latex] приближается к [latex] c [/ latex], не определен?

      Для следующих упражнений оцените пределы алгебраически.

      4.{2}} {x – 2} \ right) [/ латекс]

      Для следующего упражнения используйте данную информацию для оценки пределов: [латекс] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} f \ left (x \ right) = 3 [/ latex], [latex ] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} g \ left (x \ right) = 5 [/ latex]

      31. [латекс] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} \ left [2f \ left (x \ right) + \ sqrt {g \ left (x \ right)} \ right] [/ латекс]

      32. [латекс] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} \ left [3f \ left (x \ right) + \ sqrt {g \ left (x \ right)} \ right] [/ латекс]

      33. [латекс] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} \ frac {f \ left (x \ right)} {g \ left (x \ right)} [/ латекс]

      Для следующих упражнений оцените следующие пределы.{2}} [/ латекс]

      51. [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} [/ латекс]

      52. Найдите уравнение, которое может быть представлено на рисунке 2.

      Рисунок 2

      53. Найдите уравнение, которое можно представить на рис. 3.

      Рисунок 4

      Следующие упражнения см. На рис. 4.

      Рисунок 5

      54. Каков правый предел функции, когда [latex] x [/ latex] приближается к 0?

      55.{0,0425t} [/ latex], где [latex] {A} _ {0} [/ latex] – начальная сумма инвестиций. Найдите среднюю скорость изменения баланса счета с [latex] t = 1 [/ latex] года до [latex] t = 2 [/ latex] лет, если первоначальная сумма инвестиций составляет 1000,00 долларов США.

      Оценка пределов – Matheno.com | Matheno.com

      Если вы попробуете подстановку и получите дробь $ \ dfrac {0} {0} $ (0 делится на 0) и в выражении есть квадратный корень, тогда рационализируйте выражение так же, как вы практиковались в алгебре.То есть умножьте числитель и знаменатель на сопряжение части, имеющей квадратный корень. Следующий пример иллюстрирует.

      Пример .
      Найдите $ \ displaystyle {\ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5}} {x}} $.

      Решение .
      Как всегда, сначала пробуем замену:
      $$ \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5}} {x} = \ frac {\ sqrt {5} – \ sqrt {5}} {0} = \ dfrac {0} {0} $$
      Поскольку этот предел имеет форму $ \ dfrac {0} {0} $, он не определен – мы еще не знаем что это.У нас есть над чем поработать.

      Итак, попробуем рационализировать выражение. Часть квадратного корня равна $ \ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5} $, поэтому мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжение $ \ dfrac {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5 }} {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} = 1 $:
      \ begin {align *}
      \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5}} {x} & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} – \ sqrt {5}} {x} \ cdot \ dfrac {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} \\ [8 пикселей] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} \ sqrt {x + 5} + \ sqrt {x + 5} \ sqrt {5} – \ sqrt {5} \ sqrt {x +5} – \ sqrt {5} \ sqrt {5}} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} \ sqrt {x + 5} + \ cancel {\ sqrt {x + 5} \ sqrt {5}} – \ cancel {\ sqrt {5} \ sqrt {x + 5}} – \ sqrt {5} \ sqrt {5}} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {(x + 5) – 5} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {x} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ cancel {x}} {\ cancel {x} [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ [8px] & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {1} {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} \\ [8px] & = \ dfrac {1} {\ sqrt {0 + 5} + \ sqrt {5}} = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {5}} \ quad \ cmark
      \ end {align *}
      

      
      Обратите внимание, что при умножении на сопряжение мы умножили все члены в числителе, потому что именно так мы избавляемся от квадратного корня.Но мы не умножили члены в знаменателе; вместо этого мы продолжали писать его как $ x \ left (\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5} \ right) $. Это потому, что несколькими шагами позже x отменили.

      Нечто подобное всегда будет происходить, поэтому на этом раннем этапе не преумножайте ту часть, которую вы не пытались рационализировать. Вместо этого просто держите эти условия некоторое время, пока вы не сможете что-то отменить.
      

      Business Calculus

      Примечание: видео для разделов 2.1-2,5 были записаны на основе более раннего издания книги. Это означает, что некоторые из упомянутых мной номеров разделов больше не будут соответствовать одному и тому же материалу, и скриншоты могут выглядеть по-разному. Однако контент по сути тот же, и я попытался разместить видео в правильном месте в зависимости от того, куда был перемещен материал.

      Введение

      Precalculus Idea: наклон и скорость изменения

      Наклон линии измеряет, насколько быстро линия поднимается или опускается, когда мы движемся по ней слева направо.Он измеряет скорость изменения координаты y по отношению к изменениям координаты x. Если линия представляет собой, например, расстояние, пройденное с течением времени, то ее наклон представляет собой скорость. На рисунке вы можете напомнить себе, как мы рассчитываем уклон, используя две точки на линии:

      \ (m = \ text {Наклон от \ (P \) до \ (Q \)} = \ dfrac {\ text {rise}} {\ text {run}} = \ dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1 } = \ dfrac {\ Delta y} {\ Delta x} \)

      Мы хотели бы иметь возможность получать такую ​​же информацию (насколько быстро кривая поднимается или опускается, скорость на расстоянии), даже если график не является прямая линия.Но что произойдет, если мы попытаемся найти наклон кривой, как показано на рисунке ниже?

      Нам нужны две точки, чтобы определить наклон прямой. Как мы можем найти наклон кривой только в одной точке? Ответ, как показано на рисунке, состоит в том, чтобы найти наклон касательной к кривой в этой точке. У большинства из нас есть интуитивное представление о том, что такое касательная линия. К сожалению, «касательную» сложно определить точно.

      Определение (Секущая линия)

      Секущая – это линия между двумя точками на кривой

      Смотрите изображение ниже:

      Определение «Не совсем-еще» (касательная линия)

      Касательная линия – это линия в одной точке кривой … которая лучше всего может быть кривой в этой точке?

      Как вы можете видеть на изображении ниже, чем ближе точка \ (Q \) к точке \ (P \), тем ближе секущий уклон приближается к касательному.Это будет ключом к нахождению касательного наклона, но сначала нам нужно более тщательно определить идею приближения к .

      Пределы

      В последнем разделе мы увидели, что по мере того, как интервал, на котором мы рассчитывали, уменьшался, секущие склоны приближались к касательной. Предел дает нам лучший язык для обсуждения идеи «подходов».

      Предел функции описывает поведение функции, когда переменная близка к заданному номеру, но не равна ему (см. Рисунок ниже).

      Определение (предел)

      Если значения \ (f (x) \) становятся все ближе и ближе, настолько близко, насколько мы хотим, к одному числу \ (L \), мы берем значения \ (x \), очень близкие к (но не равные ) число \ (c \), тогда мы говорим: « предел \ (f (x) \), когда \ (x \) приближается к \ (c \) равен \ (L \) », и мы пишем \ [ \ lim \ limits_ {x \ to c} f (x) = L. \] Символ «\ (\ to \)» означает «приближается» или, менее формально, «становится очень близко к».

      (Это определение лимита не сформулировано так формально, как могло бы быть, но его достаточно для наших целей в этом курсе.)

      Примечание:

      • \ (f (c) \) – единственное число, которое описывает поведение (значение) \ (f (x) \) в точке \ (x = c \).
      • \ (\ lim \ limits_ {x \ to c} f (x) \) – это единственное число, которое описывает поведение \ (f (x) \) рядом, , но НЕ в , точке \ (x = с \).

      Если у нас есть график функции вблизи x = c, то обычно легко определить \ (\ lim \ limits_ {x \ to c} f (x) \).

      (Вот ссылка на изображения, используемые в следующем видео, а также где-либо еще в этой главе: Графики для пределов и примеры непрерывности.)

      Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5

      Пример 1

      Используйте график \ (y = f (x) \) на рисунке ниже, чтобы определить следующие пределы:

      1. \ (\ lim \ limits_ {x \ to 1} f (x) \)
      2. \ (\ lim \ limits_ {x \ to 2} f (x) \)
      3. \ (\ lim \ limits_ {x \ to 3} f (x) \)
      4. \ (\ lim \ limits_ {x \ to 4} f (x) \)
      1. Когда \ (x \) очень близко к 1, значения \ (f (x) \) очень близки к \ (y = 2 \).В этом примере случается, что \ (f (1) = 2 \), но это нерелевантно для предела. Единственное, что имеет значение, это то, что происходит для \ (x \) , близкого к 1, но \ (x \ neq 1 \).
      2. \ (f (2) \) не определено, но нас интересует только поведение \ (f (x) \) для \ (x \) , близкого к 2, но не равно 2. Когда \ ( x \) близко к 2, значения \ (f (x) \) близки к 3. Если мы ограничим \ (x \) достаточно близко к 2, значения \ (y \) будут как можно ближе к 3, как мы хотим, поэтому \ (\ lim \ limits_ {x \ to 2} f (x) = 3 \).
      3. Когда \ (x \) близко к 3 (или «когда \ (x \) приближается к значению 3»), значения \ (f (x) \) близки к 1 (или «приближаются к значению 1» ), поэтому \ (\ lim \ limits_ {x \ to 3} f (x) = 1 \). Для этого предела совершенно несущественно, что \ (f (3) = 2 \). Нас интересует только то, что происходит с \ (f (x) \) для \ (x \), близкого к 3 и не равного 3.
      4. Это сложнее, и нам нужно быть осторожными. Когда \ (x \) близко к 4 и немного меньше 4 (\ (x \) находится чуть левее 4 на оси \ (x \)), тогда значения \ (f (x) \ ) близки к 2.Но если \ (x \) близко к 4 и немного больше 4, тогда значения \ (f (x) \) близки к 3. Если мы только знаем, что \ (x \) очень близко к 4, тогда мы не можем сказать, будет ли \ (y = f (x) \) близко к 2 или близко к 3 – это зависит от того, находится ли \ (x \) справа или слева от 4. В этой ситуации \ (f (x) \) значения не близки к одному числу, поэтому мы говорим, что \ (f (x) \) не существует. Неважно, что \ (f (4) = 1 \). Предел, поскольку \ (x \) приближается к 4, все равно будет неопределенным, если \ (f (4) \) было 3 или 2 или что-то еще.2-х-1} {х-1} \).

         Вы можете попытаться оценить в \ (x = 1 \), но \ (f (x) \) не определен в \ (x = 1 \). Заманчиво, , но неверно , сделать вывод, что эта функция не имеет предела, поскольку \ (x \) приближается к 1.

         Используя таблицы: Пробуя некоторые “тестовые” значения для x, которые становятся все ближе и ближе к 1 как слева, так и справа, мы получаем

         \ (х \)	\ (е (х) \)
         0,9	2.82
         0,9998	2,9996
         0,999994	2.999988
         0,9999999	2.9999998
         \ (\ к 1 \)	\ (\ до 3 \)

         \ (х \)	\ (е (х) \)
         1,1	3,2
         1,003	3. 2 -х-1} {х-1} = 3.2-x-1} {x-1} \) для \ (x \), близкого к 1: Обратите внимание, что всякий раз, когда \ (x \) близко к 1, значения \ (y = f (x) \) близки к 3. Поскольку \ (f \) не определено в \ (x = 1 \), в графике есть дыра над \ (x = 1 \), но нас заботит только то, что \ (f (x) \) делает для \ (x \), близкого к , но не равного 1. Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5 Односторонние ограничения Иногда то, что происходит с нами в каком-либо месте, зависит от того, в каком направлении мы приближаемся к этому месту.Если мы подойдем к Ниагарскому водопаду со стороны выше по течению, то мы будем на 182 фута выше и будем беспокоиться иначе, чем если мы подойдем со стороны вниз по течению. Точно так же значения функции около точки могут зависеть от направления, которое мы используем для приближения к этой точке. Определение (левый и правый пределы) Левый предел \ (f (x) \) при приближении \ (x \) к \ (c \) равен \ (L \), если значения \ (f (x) \) становятся как можно ближе к \ (L \), как мы хотим, когда \ (x \) очень близко и слева от \ (c \) (т.+} f (x) = \ lim \ limits_ {x \ to 1} f (x) = 1. \] Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5 Непрерывность «Дружественная» функция, в которой нет перерывов или переходов, называется непрерывной. Более формально, Определение (непрерывность в точке) Функция \ (f (x) \) непрерывна в \ (x = a \) тогда и только тогда, когда \ (\ lim \ limits_ {x \ to a} f (x) = f (a) \). На приведенном ниже графике показаны некоторые из различных способов поведения функции в точке и рядом с ней, а таблица содержит некоторую числовую информацию о функции и ее поведении. \ (а \) \ (ф (а) \) \ (\ lim \ limits_ {x \ to a} f (x) \) 1 2 2 2 1 2 3 2 Не существует (DNE) 4 Не определено 2 Основываясь на информации в таблице, мы можем заключить, что \ (f \) непрерывно в 1, поскольку \ (\ lim \ limits_ {x \ to 1} f (x) = 2 = f (1) \) .Мы также можем сделать вывод из информации в таблице, что \ (f \) не является непрерывным в точках 2, 3 или 4, потому что \ (\ lim \ limits_ {x \ to 2} f (x) \ neq f (2) \ ), \ (\ lim \ limits_ {x \ to 3} f (x) \ neq f (3) \) и \ (\ lim \ limits_ {x \ to 4} f (x) \ neq f (4) \). Поведение в точках \ (x = 2 \) и \ (x = 4 \) демонстрирует на графике отверстие , иногда называемое устранимым разрывом , поскольку график можно сделать непрерывным, изменив значение одного точка. Поведение в точке \ (x = 3 \) называется скачком , поскольку график перескакивает между двумя значениями.Скачкообразные разрывы и вертикальные асимптоты являются неустранимыми разрывами , потому что они не могут быть исправлены путем изменения значения одной точки. Итак, какие функции являются непрерывными? Оказывается, практически каждая функция, которую вы изучали, является непрерывной там, где она определена: полиномиальные, радикальные, рациональные, экспоненциальные и логарифмические функции являются непрерывными там, где они определены . 3- 4 (2) = 0.\] Данная функция является рациональной. Он не определен при x = -3, но мы берем предел, когда x приближается к 2, и функция определена в этой точке, поэтому мы можем использовать прямую замену: \ [\ lim \ limits_ {x \ to 2} \ dfrac {x-4} {x + 3} = \ dfrac {2-4} {2 + 3} = – \ dfrac {2} {5}. \] Эта функция не определена при x = 2 и поэтому не является непрерывной при x = 2. Мы не можем использовать прямую подстановку. Использование правила L’Hopital для оценки пределов Правило Л’Опиталя – это метод дифференциации для решения неопределенных пределов .Неопределенные пределы – это пределы функций , где и функция в числителе, и функция в знаменателе приближаются к 0 или к положительной или отрицательной бесконечности. Неясно, каков предел неопределенных форм , но при применении правила Л’Опиталя неопределенные пределы можно упростить для оценки. Оцените следующие пределы: (1) (2) Эти пределы неопределенны, потому что частное слева составляет 0 ⁄ 0 , когда x = 3, а предел справа составляет ∞ ⁄ -∞ , когда x приближается к бесконечности. Мы не можем просто подставить приближающееся значение для x , чтобы найти предел. К счастью, есть разные методы, которые мы можем использовать. (1) Для первого предела мы можем вынести за скобки (x-3) Легко видеть, что когда x равно 3, предел равен 6. (2) Для второго предела мы можем вычесть x 2 Зная, что предел любого числа над бесконечностью равен 0, мы можем вставить 0 в предел и упростить до 6 ⁄ -5 . (3) А как насчет этого лимита? Мы не можем ничего исключить, так как же это оценить? Мы видим, что когда x приближается к 0, и числитель, и знаменатель приближаются к 0. Поскольку частное будет 0 ⁄ 0 , неясно, каким будет предел. На странице пределов мы оценили это ограничение, посмотрев на график поведения функции при приближении к 0 слева и справа.Используя правило Л’Опиталя, , теперь мы можем оценить предел в определяющей форме. Поскольку и числитель, и знаменатель равны 0 и обе функции имеют деривацию, мы можем применить правило Л’Опиталя. Правило Л’Опиталя гласит, что для функций f (x) и g (x) : Правило L’Hopital Давайте воспользуемся правилом L’Hopital для нашего лимита. Дифференциация числителя и знаменателя упростит частное и упростит оценку предела. Легче увидеть предел, взяв производную от числителя и знаменателя. Мы знаем, что cos (0) равен 1, поэтому предел, когда x приближается к 0, равен 1. Чтобы проверить, мы можем построить график обеих функций и увидеть, что они обе сходятся к y = 1, поскольку x приближается к 0 . Давайте воспользуемся правилом L’Hopital для наших первых двух пределов, чтобы посмотреть, работает ли оно. (1) и (2) Оцените следующие пределы: (1) Мы берем производную и подставляем 3 для x , чтобы получить наш предел. (2) Дважды берем производную и упрощаем.b $, $ \ sin {x} $, $ \ log {x} $ и несколько других общих функций по отдельности, вы сможете собрать воедино поведение большинства этих проблем, рассматривая их по частям. Ура. Надеюсь, это поможет. Пределы рациональных функций – Примеры и объяснения Что происходит, когда функция рациона приближается к бесконечности? Как мы оцениваем предел рациональной функции? Мы ответим на эти вопросы, когда узнаем о пределах рациональных функций. Пределы рациональных функций сообщают нам значения, к которым функция приближается при различных входных значениях. Нужно напомнить о рациональных функциях? Прочтите эту статью, которую мы написали, чтобы помочь вам с обзором. В этой статье мы узнаем о различных методах нахождения границ рациональных функций. Пределы рациональной функции могут помочь нам предсказать поведение графика функции на асимптотах. Эти значения также могут сказать нам, как график приближается к отрицательной и положительной сторонам системы координат. Как найти предел рациональной функции? Определение предела рациональных функций может быть простым или потребовать от нас некоторых уловок.В этом разделе мы изучим различные подходы, которые мы можем использовать, чтобы найти предел данной рациональной функции. Напомним, что рациональные функции – это отношения двух полиномиальных функций. Например, $ f (x) = \ dfrac {p (x)} {q (x)} $, где $ q (x) \ neq 0 $. Пределы рациональных функций могут иметь вид: $ \ lim_ {x \ rightarrow a} f (x) $ или $ \ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x) $. В качестве напоминания, вот как мы интерпретируем эти два: Алгебраическое выражение В словах $ \ lim_ {x \ rightarrow a} ) $ Предел $ f (x) $, когда $ x $ приближается к $ a $. $ \ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x) $ Предел $ f (x) $ при приближении $ x $ к положительной (или отрицательной) бесконечности. Почему бы нам не начать с изучения того, как мы можем вычислить пределы рациональной функции, когда она приближается к заданному значению? Нахождение предела как $ \ boldsymbol {x \ rightarrow a} $ Когда мы находим предел $ f (x) $ по мере его приближения к $ a $, могут быть две возможности: функции не имеют ограничений на $ x = a $ или имеет. Когда $ a $ является частью домена $ f (x) $, мы подставляем значения в выражение, чтобы найти его предел. Когда $ a $ не является частью домена $ f (x) $, мы пытаемся исключить соответствующий ему фактор, а затем найти значение $ f (x) $, используя его упрощенную форму. Содержит ли функция радикальное выражение? Попробуйте умножить числитель и знаменатель на сопряжение. Давайте попробуем наблюдать, как $ f (x) = \ dfrac {x – 1} {(x – 1) (x + 1)} $ приближается к 3 $.Чтобы лучше понять, что представляют собой пределы, мы можем построить таблицу значений для $ x $, близких к $ 3 $. $ \ boldsymbol {x} $ $ \ boldsymbol {f (x)} $ $ 2,9 $ $ 0,241356 $ $ 0,241356 $ $ 0,251 $ $ 3,001 $ 0,250 $ $ 3,01 $ $ 0.249 $ У вас есть предположение, каковы значения $ \ lim_ {x \ rightarrow 3} \ dfrac {x – 1} {(x – 1) (x + 1)} $? Поскольку $ 3 $ является частью области определения $ f (x) $ (ограниченные значения для $ x $ – $ 1 $ и $ -1 $), мы можем сразу же подставить $ x = 3 $ в уравнение. $ \ begin {align} \ lim_ {x \ rightarrow 3} \ dfrac {x – 1} {(x – 1) (x + 1)} & = \ dfrac {3 – 1} {(3 – 1) (3 + 1)} \\ & = \ dfrac {2} {2 \ cdot 4} \\ & = \ dfrac {1} {4} \\ & = 0,25 \ end {align} $ Как вы могли бы предположил, что когда $ x $ приближается к $ 3 $, $ f (x) $ равно $ 0.25 $. А что, если мы хотим найти $ \ lim_ {x \ rightarrow 1} \ dfrac {x – 1} {(x – 1) (x + 1)} $? Поскольку $ x = 1 $ является ограничением, мы можем попытаться сначала упростить $ f (x) $, чтобы удалить $ x – 1 $ как фактор. $ \ begin {align} \ lim_ {x \ rightarrow 1} \ dfrac {x – 1} {(x – 1) (x + 1)} & = \ lim_ {x \ rightarrow 1} \ dfrac {\ cancel {(x – 1)}} {\ cancel {(x – 1)} (x + 1)} \\ & = \ lim_ {x \ rightarrow 1} \ dfrac {1} {x + 1} \ end {выровнено } $ После того, как мы удалим общие множители, мы можем применить тот же процесс и заменить $ x = 1 $ в упрощенное выражение. $ \ begin {align} \ lim_ {x \ rightarrow 1} \ dfrac {1} {x + 1} & = \ dfrac {1} {1 + 1} \\ & = \ dfrac {1} {2} \ end {align} $ Готовы попробовать другие задачи? Не волнуйся. Мы подготовили для вас множество примеров. А пока давайте узнаем о бесконечных пределах. Нахождение предела как $ \ boldsymbol {x \ rightarrow \ infty} $ Бывают случаи, когда нам нужно знать, как рациональная функция ведет себя с обеих сторон (положительная и отрицательная стороны). Знание, как найти пределы $ f (x) $ по мере приближения к $ \ pm \ infty $, может помочь нам предсказать это. Значение $ \ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x) $ может быть определено на основе его степеней. Допустим, у нас есть $ f (x) = \ dfrac {p (x)} {q (x)} $, а $ m $ и $ n $ – степени числителя и знаменателя соответственно. В таблице ниже показано поведение $ f (x) $ при приближении к $ \ pm infty $. Случаи Значение $ \ boldsymbol {\ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x)} $ Когда степень числителя меньше : $ m $ \ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x) = 0 $ Когда степень числителя больше: $ m> n $. $ \ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x) = \ pm \ infty $ Когда степени числителя и знаменателя равны: $ m = n $. $ \ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x) = \ dfrac {\ text {Ведущий коэффициент} p (x)} {\ text {Ведущий коэффициент} q (x)} $ Давайте рассмотрим графики трех рациональных функций, отражающих три случая, которые мы обсудили.2 + 3} $. Их графики также подтверждают пределы, которые мы только что оценили. Заблаговременное знание пределов также может помочь нам предсказать поведение графиков. Это те техники, которые нам нужны на данный момент – не волнуйтесь, вы узнаете больше об ограничениях на своем уроке математического анализа. А пока давайте продолжим и попрактикуемся в поиске пределов различных рациональных функций. Пример 1 Оцените следующие ограничения, показанные ниже.2 – 12)} \\ & = \ dfrac {2 (x – 2)} {3 (x – 2) (x + 2)} \ end {align} $ Сначала отмените общие множители, чтобы снять ограничение на $ x = 2 $. Затем мы можем найти предел $ f (x) $, когда он приближается к $ 2 $. $ \ begin {align} f (x) & = \ dfrac {2 \ cancel {(x – 2)}} {3 \ cancel {(x – 2)} (x + 2)} \\ & = \ dfrac {2} {3 (x + 2)} \\\\\ lim_ {x \ rightarrow 4} f (x) & = \ lim_ {x \ rightarrow 2} \ dfrac {2} {3 (x + 2) } \\ & = \ dfrac {2} {3 (4 + 2)} \\ & = \ dfrac {2} {3 (6)} \\ & = \ dfrac {1} {9} \ end {выровнено} $ Это означает, что $ \ lim_ {x \ rightarrow 4} f (x) = \ boldsymbol {\ dfrac {1} {9}} $. Пример 3 Если $ \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f (x) = 0 $, какое из следующих утверждений верно? а. Отношение старших коэффициентов $ f (x) $ равно единице. г. Степень числителя больше степени знаменателя $ f (x) $. г. Степень числителя меньше степени знаменателя $ f (x) $. г. Степень числителя равна степени знаменателя $ f (x) $. Решение Предел рациональной функции по мере приближения к бесконечности будет иметь три возможных результата в зависимости от $ m $ и $ n $, степени числителя и знаменателя $ f (x) $, соответственно: $ m> n $ $ \ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x) = \ pm \ infty $ $ m $ \ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x) = 0 $ $ m = n $ $ \ lim_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} f (x ) = \ dfrac {\ text {Старший коэффициент числителя}} {\ text {Старший коэффициент знаменателя}} $ Поскольку у нас $ \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f (x) = 0 $, степень числителя функции меньше степени знаменателя. Пример 4 Используя приведенный ниже график, каково отношение ведущих коэффициентов числителя и знаменателя $ f (x) $? Решение Из этого графика мы видим, что $ \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f (x) = 4 $. Поскольку предел не равен нулю или бесконечности, предел для $ f (x) $ отражает отношение старших коэффициентов $ p (x) $ и $ q (x) $. Это означает, что отношение равно $ \ boldsymbol {4} $. Пример 5 Каков предел $ f (x) = \ dfrac {x} {\ sqrt {x + 16} – 4} $, когда $ x $ приближается к $ 0 $? Решение Давайте проверим $ f (x) $ на предмет ограничений при $ x = 4 $, посмотрев значение знаменателя при $ x = 0 $. $ \ begin {Выровненный} \ sqrt {0 + 16} – 4 & = 4-4 \\ & = 0 \ end {Выровненный} $ Это означает, что нам нужно манипулировать $ f (x) $ путем умножения числитель и знаменатель равны произведению $ \ sqrt {x + 16} – 4 $.2} \\ & = \ dfrac {x (\ sqrt {x + 16} + 4)} {x + 16 – 16} \\ & = \ dfrac {\ cancel {x} (\ sqrt {x + 16} + 4)} {\ cancel {x}} \\ & = \ sqrt {x + 16} +4 \ end {align} $ Обязательно просмотрите эту статью, чтобы узнать, как мы рационализируем радикалы с помощью конъюгатов. Теперь, когда $ f (x) $ рационализирован, мы можем найти предел для $ f (x) $ как $ x \ rightarrow 0 $. $ \ begin {выровнено} \ lim_ {x \ rightarrow 0} f (x) & = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ sqrt {x + 16} – 4 \\ & = \ sqrt {0 + 16} – 4 \\ & = 4 – 4 \\ & = 0 \ end {align} $ Следовательно, предел $ f (x) $ при приближении к $ 0 $ равен $ \ boldsymbol {0} $.2 – 3x + 2} $, $ a = 2 $ 3. Если $ \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f (x) = 3 $, какое из следующих утверждений верно? а. Отношение старших коэффициентов $ f (x) $ равно трем. г. Степень числителя больше степени знаменателя $ f (x) $. г. Степень числителя меньше степени знаменателя $ f (x) $. г. Степень числителя равна степени знаменателя $ f (x) $. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: