Способы вычисления пределов: Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей

Основные теоремы о пределах. Способы вычисления пределов функций. (Семинар 5)

Похожие презентации:

Понятие предела функции в точке. Теоремы о пределах

Основные теоремы о пределах

Производная. Основные теоремы о производных. Формулы дифференцирования функций. (Лекция 5)

Пределы функций. Понятие, основные определения, свойства, методы вычислений

Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления. (Семинар 6)

Вычисление пределов функции. Предел функции на бесконечности. Два замечательных предела. Вычисление числа «е»

Функции. Пределы функций. Основные понятия теории пределов

Основные теоремы о дифференцируемых функциях, правило Лопиталя. (Лекция 11)

Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о бесконечно малых функциях. (Семинар 4)

Функции нескольких переменных. (Тема 5)

Семинар 5. Основные теоремы о пределах. Основные способы вычисления
пределов функций
Предполагается, что функции, рассматриваемые в следующих теоремах определены на

некотором общем множестве Х, для которого точка а является предельной точкой.
Теорема 1 Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций
имеет предел при x a , то предел этой алгебраической суммы при x a существует
и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.
Теорема 2 Если каждый из сомножителей конечного числа функций имеет предел при
x a , то предел произведения при x aсуществует и равен произведению пределов
сомножителей.
Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Пусть С – постоянная, тогда lim x a [С g ( x)] lim x a С lim x a g ( x) С lim x a f ( x)
Следствие 2 Если функция f(x) имеет предел при x a , то предел при x a целой

положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, то есть
lim x a [ f ( x)] n [lim x a f ( x)] n
Пример
2
3
10 20 2 30 3
( x 1)( x 2) 2 ( x 30) 3
10
20
30
lim x
lim x 1 1 1 lim x 1 lim x 1 lim x 1 1 1 1 1
x6
x
x
x
x x x
Теорема 3 Если функция f(x) имеет предел при x a, отличный от нуля, то предел
1
обратной ей по величине функции
равен обратной величине предела данной
f ( x)
функции, то есть lim x a
1
1
f ( x) lim x a f ( x)
Теорема 4 Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при x a и предел
делителя отличен от нуля, то предел их частного при x a равен частному пределов
делимого и делителя, то есть
lim x a
f ( x) lim x a f ( x)
g ( x) lim x a g ( x)
Теорема 5 Если функция f(x) имеет предел при x a и n f ( x) (n – натуральное)
существует в точке а и в некоторой ее окрестности U a , то
lim x a n f ( x) n lim n a f ( x)
Теорема о промежуточной функции
Пусть в некоторой окрестности U a точки а функции f(x) заключена между двумя
функциями (x ) и (x), имеющими одинаковый предел А при x a , то есть
( x) f ( x) ( x) (1) и lim x a ( x) lim x a ( x) A (2), тогда функция f(x)
имеет тот же предел, то есть lim x a f ( x) A (3).
Вычисление пределов основано на применении основных теорем о пределах,
признаков существования пределов, а также теорем о бесконечно малых и бесконечно
больших функциях.
Рассмотрим вычисление пределов на различных примерах.
5x 2
1. Найти lim
x 4 2 x 3
Решение. Так как x 4 , то числитель стремится к числу 4*4+2=22, а знаменатель к
числу 2*4+3=11. Следовательно
5 x 2 22
lim
2
x 4 2 x 3
11
3x 5
x 2 x 7
Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при x . В таком
случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив на х числитель и
знаменатель дроби, получим
3x 5
3 5/ x 3
lim
lim
x 2 x 7
x 2 7 / x
2
2. Найти
lim
2
x
9
3. Найти lim
x 3 x 2 3 x
Решение. Числитель и знаменатель при x 3 стремятся к нулю. Принято говорить,
0
x2 9
( x 3)( x 3) x 3
что получается неопределенность 0 . Имеем
.
x( x 3)
x
x 2 3x
2
x
Если x 3, то lim 2 9 lim x 3 . Но при x 3 дробь x 3 3 3 2 . Итак
x 3 x 3 x
x 3
x
x
3
2
x 9
lim 2
2
x 3 x
3x
x3 x2 x 1
4. Найти lim 3
x 1 x x 2 x 1
0
. Разложим на множители
0
x3 x 2 x 1
( x 1) 2 ( x 1)
x 1 0
lim
lim
0
числитель и знаменатель дроби. lim 3
x 1 x x 2 x 1
x 1 ( x 1)( x 1) 2
x 1 x 1
2
Решение. Здесь имеет место неопределенность вида
x 3 10001
5. Найти lim 3
x 10 x 20 x 2 100 x
0
. Имеем
0
3
2
x 10001
( x 10)( x 10 x 100)
x 2 10 x 100
lim
lim
lim
, так как
x 10 x 3 20 x 2 100 x
x 10
x 10
x( x 10)
x( x 10) 2
Решение. Имеет место неопределенность вида
числитель дроби стремится к числу 300, а знаменатель стремится к нулю, то есть
является бесконечно малой величиной, следовательно рассматриваемая дробь –
бесконечно большая величина.
x 4 2
x
6. Найти lim
x 0
Решение умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю, то есть

сумму x 4 2 . Получим
lim
x 0
x 4 2
( x 4 2)( x 4 2)
x 4 4
1
1
lim
lim
lim
x 0
x 0
x
x( x 4 2)
x( x 4 2) x 0 x 4 2 4
7. Найти lim
x 0
5
(1 x) 3 1
x
Решение. Положим 1 x y 5 ,
3
2
(1 x) 3 1
y
1
y
y 1
3
тогда lim
lim 5
lim 4
x 0
x 0 y 1
x 0 y y 3 y 2 y 1
x
5
3
2
8. Найти lim x 2 x 3x 4
x 4 x 3 3 x 2 2 x 1
Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при x . В таком
5
случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив числитель и
знаменатель дроби на старшую степень х, то есть x 3 получим
x 3 2 x 2 3x 4
1 2 / x 3 / x2 4 / x3 1
lim
lim
x 4 x 3 3 x 2 2 x 1
x 4 3 / x 2 / x 2 1 / x 3
4
9. Найти lim
3x 4 2
x
x 8 3x 4
4
Решение. Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, то есть x
получим
3x 4 2
3 2 / x4
3
lim
lim
3
x
x 8 3 x 4 x 1 3 / x 3 4 / x 4 1
10. Найти lim
x
x 2 8x 3 x 2 4 x 3
Решение. Имеет место неопределенность вида
выражение на сопряженное
x 8 x 3 x 4 x 3 lim
2
lim
x
2
( x 2 8 x 3 x 2 4 x 3 )( x 2 8 x 3 x 2 4 x 3)
x
lim
x
4x
x 2 8x 3 x 2 4 x 3
lim
. Умножим и разделим данное
x 8x 3 x 4 x 3
2
1
1 8 / x 3/ x2 1 4 / x 3/ x2
x
Примеры для самостоятельного решения.
x 2 6x 8
1. lim
x 2 x 2 8 x 12
1 x x2 1 x x2
2. lim
x 0
x2 x
2 x 3x 5 x 6
lim
3. x x 3 3x 2 7 x 1 4.
4
5. lim 3
x 0
2
x
1 x 1
2x 3
7. lim x
x 2 3
5
x
1
9. lim
x 1 x 4 1
6.
2
lim
x 1
4 x x2 2
x 1
lim (3 x 1 3 x )
x
4
8. lim
x 1
x 1
x 1
4
2
2

English     Русский Правила

Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления. (Семинар 6)

Похожие презентации:

Второй замечательный предел

Замечательные пределы

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел

Вычисление пределов функции. Предел функции на бесконечности. Два замечательных предела. Вычисление числа «е»

Два замечательных предела

Бесконечно малые, бесконечно большие функции, их свойства. Теоремы о пределе функции, замечательные пределы

Замечательные кривые в математике

Основные теоремы о пределах. Способы вычисления пределов функций. (Семинар 5)

Семинар 6. Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления
Первый замечательный предел
(предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге)
Теорема Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной
в радианах, равен единице, то есть lim
x 0
sin x
1
x
(1)
Доказательство
B
C
O
A
Рассмотрим в координатной плоскости круг радиуса R с центром в начале координат
OA R, AOB x,0 x , AC OA
2
x
1
S AOB S сект.AOB S AOC , то есть 1 R 2 sin x 1 R 2 x 1 R 2tgx или 1
.
sin
x
cos
x
2
2
2
1
x
В силу четности функций

это неравенство справедливо и для интервала
и
cos x
sin x
2
x 0 . Перейдя в этом неравенстве к пределу при x 0 и заметив, что в силу
непрерывности функции cosx при х=0 имеет место равенство lim x 0 cos x 1 получим
x
sin x
lim x 0
1 , что равносильно lim x 0
1.
sin x
x
Второй замечательный предел
n
Рассмотрим выражение 1 1 , где n – натуральное число.
n
n
Задаем для n неограниченно возрастающие значения и вычисляем 1 1 . Получим
следующий результат
n
n
1
1
n
n
1
2
10
100
1000
10000
2
2,25
2,594
2,705
2,717
2,718
1
Как видно из таблицы при увеличении n выражение 1
n
n
изменяется все медленнее и стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718.
Теорема
n
1
Последовательность 1 стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3.
n
(Доказательство на основании разложения по биному Ньютона). Этот предел
называется числом e. Итак
n
1
e lim n 1 , е=2,7182818284…
n
x
1
Рассмотрим функцию 1 , где ( x ( , 1) (0, )) . Можно доказать, что
e lim
x
1
x 1 .
x
x
Другое выражение для числа е. Полагая , 1 ( 1) будем иметь e lim 0 1
x
1
При вычислении пределом полезно применять следующие формулы:
k
ln( 1 x)
lim x (1 ) x e k ; lim x 0 (1 kx) x e k ; lim x 0
1.
x
x
1
Данные формулы легко получаются из двух основных формул.
Примеры с решениями
sin mx
x 0
x
1.Найти lim
Решение. Используя первый замечательный предел, имеем
m sin mx
sin mx
sin mx
lim
lim
m
lim
= x 0
x 0
mx = x 0 mx m
x
1 cos 5 x
2. Найти lim
x 0
x2
2
2 sin 2 (5 x / 2)
1 cos 5 x
sin(
5
x
/
2
)
5
2
Решение. Имеем lim
= lim
= 2 lim (
) 2 25 / 2
2
x 0
x 0
x2
x 0
x
x
2
cos 3 x cos 7 x
x 0
x2
3. Найти lim
cos 3 x cos 7 x
2 sin 5 x sin 2 x
=
lim
2 5 2 20
x 0
x2
x 0
x x
Решение. Имеем lim
arcsin x
x 0
x
4. Найти lim
Решение. Сделаем замену
t arcsin x x sin t t 0
. Тогда получим
arcsin x
t
= lim
1
x 0
t
0
x
sin t
5. Найти lim 1 cos x
x 0
x2
lim
Решение. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное, то есть
x
1 cos x
1 cos x lim (1 cos x )(1 cos x)
2
lim
=
= lim
=
lim
2
2
2
x
0
2
x
0
x 0
x (1 cos x)
x
x (1 cos x ) x 0 x (1 cos x )
2 sin 2
2
x
sin
1
1
2
lim
x 0
x 2(1 cos x ) 4
2
x
x
6. Найти lim
x x 1
Решение. Преобразуем выражение в скобках и выделим второй замечательный предел.
x
x = lim 1 1
lim
x 1 1 / x
x x 1
e
x 2
x 1
lim
7. Найти
x x 3
x
Решение. Преобразуем выражение в скобках и выделим второй замечательный предел.
x 1
lim
x x 3
x 2
e 1 1
1 1/ x 1 1/ x
3 e 4
= lim
x 1 3 / x
e 1
1 3/ x
x
x 5x 4
lim 2
x x 3 x 7
2
8. Найти
x
2
Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть, а именно
x 2 5x 4
8x 3
. Таким образом, при x данная функция представляет
1
x 2 3x 7
x 2 3x 7
собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности
(неопределенность вида 1 ). Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй
замечательный предел.
x ( 8 x 3)
x
x 3 x 7 x 2 3 x 7
x 2 5x 4
8x 3
8x 3
= lim 1 2
lim 2
lim (1 2
) 8 x 3
=
=
x x 3 x 7
x
x
x
3
x
7
x
3
x
7
8 3 / x
x
2
x 3 x 7 1 3 / x 7 / x 2
8
x
3
lim (1 2
) 8 x 3
8x 3
. Так как
x
0 , при x , то
x
3
x
7
2
x 3x 7
x 2 3 x 7
8
x
3
lim (1 2
) 8 x 3 e
8 3/ x
x
. Принимая во внимание, что lim
8,
x
3
x
7
x 1 3 / x 7 / x 2
2
x
x 2 5x 4
окончательно получаем lim 2
e 8 .
x x 3 x 7
x
9. Найти lim e 1
x 0
x
Решение. Сделав замену e x 1 z, x ln( 1 z ), z 0 , получим второй
замечательный предел, а именно
ex 1
z
lim
x 0
x
lim
z 0
ln( 1 z )
1
Примеры для самостоятельного решения.
Найти пределы:
tgx sin x
2) lim
x 0
x3
tg (mx)
1) lim
x 0 sin( nx )
sin 2 x
x 0 ln( 1 x)
4) lim
x 1
7) lim
x x 2
x
a x 1
9) lim
x 0
x
1 cos 5 x
x 0 1 cos 3 x
3) lim
x 1
6) lim 2
x
x
ln( x 2) ln 2
8) lim
x 0
x
arctg 2 x
5) lim
x 0 sin 3 x
e ax e bx
10) lim
x 0
x
2
x2 2

English     Русский Правила

Как найти пределы в вычислениях

В этой статье

1. Что такое предел?

2. Как найти пределы

3. Практические упражнения и решения

Что такое предел?

Прежде чем перейти к тому, как найти предел, давайте сначала определим предел. Для функции fff предел — это слово, используемое для описания значения, к которому стремится f(x)f(x)f(x), когда xxx стремится к некоторому значению. Обозначение предела функции fff при приближении xxx к некоторому числу ccc выглядит так:

lim⁡x→cf(x)=L\lim_{x\to c}f(x) = Llimx→c​f(x)=L

Приведенное выше обозначение можно прочитать как «Предел f (x)f(x)f(x) при приближении xxx к ccc равно LLL».

Другими словами, f(x)f(x)f(x) стремится к LLL, как xxx стремится к ccc.

Как найти пределы

При нахождении пределов мы можем использовать несколько методов. Мы рассмотрим шесть возможных методов:

• Прямая замена

• Факторизация

• Рационализация

• Теорема сжатия

• Тригонометрические тождества

• Правило Лопиталя

• Однако метод, который мы используем для нахождения предела, будет зависеть от типа функции.

Прямая замена

Термин «прямая замена» звучит именно так; вы напрямую подставляете заданное значение в предел. Теперь, когда нам нужен этот метод? Если ваша функция fff непрерывна, значение fff в ccc и предел f(x)f(x)f(x) при приближении xxx к ccc совпадают. Другими словами, lim⁡x→cf(x)=f(c)\lim_{x\to c}f(x) = f(c)limx→c​f(x)=f(c). 92 + 0 + 10 = 10limx→0​(x2+x+10)=02+0+10=10

Стоит отметить, что значение fff при ccc и предел f(x)f(x)f (x) по мере приближения xxx к ccc не всегда совпадают. Мы часто можем оценить предел f(x)f(x)f(x), когда xxx приближается к ccc, даже если f(c)f(c)f(c) не определено.

Пример 2

В качестве другого примера рассмотрим рациональную функцию f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x-2}f(x)=x−21​. У нас не может быть нулевого знаменателя, поэтому f(2)=12−2=10f(2)=\frac{1}{2-2}=\frac{1}{0}f(2)=2 −21​=01​ не определено. 9+ }f(x)limx→c+​f(x). Это предел, поскольку xxx приближается к некоторому значению ccc справа.

Взгляните на график f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x-2}f(x)=x−21​ ниже.

Посмотрите внимательно на поведение функции вблизи x=2x = 2x=2. Переменная xxx бесконечно приближается к 2 с обеих сторон, но никогда не достигает 2.

Когда xxx приближается к 2 слева, yyy становится бесконечно меньше.

Когда xxx приближается к 2 справа, yyy становится бесконечно больше. Тогда верны следующие односторонние пределы: 9-}f(x)limx→a+​f(x)=limx→a−​f(x). Чтобы предел существовал, односторонние пределы всегда должны быть равны друг другу. Если предел существует на вертикальной асимптоте, значение этого предела всегда будет +∞+ \infty+∞ или -∞- \infty-∞. Обычно, если вы подставите x=ax=ax=a в f(x)f(x)f(x) и получите, что знаменатель равен нулю, а числитель отличен от нуля, это хороший признак того, что в точке есть вертикальная асимптота. х=ах = ах=а.

Чтобы дать более точное определение, у нас есть это правило: 92+2-6}{2-2} = \frac{6-6}{0} = \frac{0}{0}f(2)=2−222+2−6​=06−6​= 00​.

При оценке пределов мы говорим, что 00\frac{0}{0}00​ является неопределенным. Это означает, что 00\frac{0}{0}00​ не дает нам достаточно точного представления о том, как ведет себя f(x)f(x)f(x) при приближении xxx к 2.

Поскольку мы определяем деление просто как обратное умножению, мы можем сказать, что n=00n = \frac{0}{0}n=00​ подразумевает, что 0=n⋅00 = n \cdot 00=n⋅0 для любого действительного числа nnn.

Поскольку любое число, умноженное на 0, равно просто 0, существует бесконечное количество ответов. Таким образом, 00\frac{0}{0}00​ является неопределенным и указывает на то, что нам нужно использовать другой метод, указанный ниже.

Факторизация

Когда прямая подстановка дает нам неопределенную форму, такую ​​как 00\frac{0}{0}00​, мы можем попробовать разложить на множители. Факторинг позволяет нам отменить факторы, которые являются общими как для числителя, так и для знаменателя, а затем применить правило частного.

Правило частного гласит, что lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af(x)lim⁡x→ag(x)\lim_{x\to a}\frac{f(x)} {g(x)} = \frac{ \lim_{x\to a}f(x)}{ \lim_{x\to a}g(x)}limx→a​g(x)f(x)​ =limx→a​g(x)limx→a​f(x)​, учитывая, что lim⁡x→ag(x)≠0\lim_{x\to a}g(x) \neq 0limx→a​g (х)=0. Проще говоря, предел частного есть частное пределов при условии, что знаменатель не равен нулю. 92+x-6}{x-2} = 5limx→2​x−2×2+x−6​=5.

Рационализация

При работе с пределами, которые имеют радикалы, полезно переместить радикал из числителя в знаменатель или наоборот. Для этого используем рационализацию. Этот метод включает умножение на сопряженное. Мы можем найти сопряженное выражение, поменяв знак в середине выражения.

Например, давайте оценим lim⁡x→0x+1−1x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}limx→0​xx+1​−1 . Поскольку подстановка x=0x = 0x=0 дает нам 00\frac{0}{0}00​, попробуем умножить на сопряженное число числителя.

lim⁡x→0x+1−1x=lim⁡x→0x+1−1x⋅x+1+1x+1+1\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}- 1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x +1}+1} limx→0​xx+1

​−1​=limx→0​xx+1

​−1​⋅x+1

​+1x+1

​+1​

=lim⁡x →0x+1−1x(x+1+1)= \lim_{x\to 0}\frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} =limx→0​x(x+1

​+1)x+1−1​

=lim⁡x→0xx(x+1+1)= \lim_{x\to 0}\frac{x {х(\sqrt{х+1}+1)} =limx→0​x(x+1

​+1)x​

=lim⁡x→01x+1+1) = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1)} =limx→0​x+1

​+1)1​

=10+1+1) = \frac{1}{\sqrt{0+1}+1)} =0+1

​+1)1​

=12 = \frac{1}{2} =21​

Таким образом, lim⁡x→0x+1−1x=12\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{1}{2}limx→0​xx+1​−1​=21​.

Теорема сжатия

Теорема сжатия — это метод, в котором мы «помещаем» функцию между двумя более простыми, чтобы оценить ее предел. Этот метод утверждает, что если мы можем найти две функции f(x)f(x)f(x) и h(x)h(x)h(x), которые «сжимают» или захватывают g(x)g(x)g (x) между ними на некотором интервале [a,b][a, b][a,b], и если f(x)f(x)f(x) и h(x)h(x)h(x ) имеют одинаковый предел LLL в точке ccc, то g(x)g(x)g(x) также должен иметь такой же предел LLL в точке ccc.

Точнее, если f(x)≤h(x)≤g(x)f(x) \leq h(x) \leq g(x)f(x)≤h(x)≤g(x) для всех xxx на [a,b][a, b][a,b] (за исключением, возможно, x=cx = cx=c) и lim⁡x→cf(x)=lim⁡x→cg(x) =L\lim_{x\to c}f(x) = \lim_{x\to c}g(x) = Llimx→c​f(x)=limx→c​g(x)=L, тогда lim ⁡x→ch(x)=L\lim_{x\to c}h(x) = Llimx→c​h(x)=L

Опять же, теорема о сжатии заключает одну сложную функцию в ловушку между двумя более простыми функциями.

Используя теорему сжатия, оценим h(x)=lim⁡x→0sin⁡(x)xh(x) = \lim_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}h( х)=limx→0​xsin(x)​.

Нам нужно заключить h(x)h(x)h(x) между двумя более простыми функциями. Чтобы найти эти функции, посмотрите на график ниже, где графики f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos (x)f(x)=cos(x), g(x)=1g( х) = 1g(x)=1, и h(x)=sin⁡(x)xh(x) = \frac{\sin(x)}{x}h(x)=xsin(x)​.

Используя этот график, мы можем сказать, что cos⁡(x)≤sin⁡(x)x≤1\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1cos(x)≤ xsin(x)≤1.

Теперь обратите внимание, что:

lim⁡x→0cos⁡(x)=1\lim_{x\to 0}\cos (x) = 1limx→0​cos(x)=1

andand и

lim ⁡x→01=1\lim_{x\to 0}1 = 1limx→0​1=1

Так как h(x)=sin⁡(x)xh(x) = \frac{\sin (x)} {x}h(x)=xsin(x)​ зажато между f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos (x)f(x)=cos(x) и g(x) =1g(x) = 1g(x)=1, и поскольку lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0g(x)=1\lim_{x\to 0}f(x) = \lim_{ x\to 0}g(x) = 1limx→0​f(x)=limx→0​g(x)=1, теорема о сжатии утверждает, что lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{ x\to 0}\frac{\sin (x)}{x} = 1limx→0​xsin(x)​=1.

Тригонометрические тождества

Использование тригонометрических тождеств — еще один умный способ манипулировать функциями, чтобы нам было легче вычислять предел. Тригонометрические тождества — это правила, включающие тригонометрические функции, которые всегда истинны. Эти уравнения можно заменить тригонометрическими функциями, чтобы упростить задачу.

Хотя существует множество различных тригонометрических тождеств, знакомство с ними всеми стоит того.

Некоторые тождества для оценки тригонометрических функций:

• Пифагорейские тождества

• Взаимные тождества

• Тождества с двойным углом

• Частные тождества

В этом примере мы рассмотрим пифагорейское тождество.

Пусть f(x)=1−cos⁡(x)xf(x) = \frac{1-\cos{(x)}}{x}f(x)=x1−cos(x)​. Оценим lim⁡x→0f(x)\lim_{x\to 0 }f(x)limx→0​f(x).

Подстановка x=0x=0x=0 дает нам f(x)=00f(x) = \frac{0}{0}f(x)=00​, поэтому нам придется найти другой способ.

Сначала умножим на сопряженное числителю. Мы можем найти сопряжение числителя, просто поменяв знак в середине выражения. Умножение на сопряженное — очень удобный инструмент, позволяющий находить тригонометрические тождества, которые не очевидны в исходной форме заданной функции. 2(x) = 1sin2(x) +cos2(x)=1. Итак, у нас есть: 92 (х)}{х(1+ \cos (х)} =​limx→0​x(1+cos(x)sin2(x)​

=lim⁡x→0sin⁡(x)x⋅sin⁡(x)1+cos⁡(x)= \lim_{ x\to 0}\frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}=limx→0​xsin(x)​⋅1+ cos(x)sin(x)​

По правилу произведения мы знаем, что:

lim⁡x→0sin⁡(x)x⋅sin⁡(x)1+cos⁡(x)=lim⁡x→ 0sin⁡(x)x⋅lim⁡x→0sin⁡(x)1+cos⁡(x)\lim_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x} \cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin ( x)}{1 + \cos (x)}limx→0​xsin(x)​⋅1+cos(x)sin(x)​=limx→0​xsin(x)​⋅limx→0​1+ cos(x)sin(x)​

И, используя наш ответ из примера Теоремы сжатия, мы знаем, что lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x} = 1limx →0​xsin(x)​=1. Тогда у нас есть:

lim⁡x→01−cos⁡(x)x=lim⁡x→0sin⁡(x)x⋅lim⁡x→0sin⁡(x)1+cos⁡(x)\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{(x)}}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x} \cdot \lim_{x\to 0}\frac{ \sin(x)}{1 + \cos(x)} limx→0​x1−cos(x)​=limx→0​xsin(x)​⋅limx→0​1+cos(x)sin(x)​

=1⋅lim⁡x→0sin⁡(x ) 1 + cos ⁡ (x) = 1 \ cdot \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {1 + \ cos (x)} =1⋅limx→0​1+cos(x)sin(x)​

= 1 ⋅ sin ⁡ (0) 1 + cos ⁡ (0) = 1 \ cdot \ frac {\ sin (0)} {1+ \ cos (0)} =1⋅1+cos(0)sin(0)​

=1⋅02= 1 \cdot \frac{0}{2} =1⋅20​

=0 = 0=0

Таким образом, lim⁡x→01−cos⁡(x)x=0\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{(x) }}{x} = 0limx→0​x1−cos(x)​=0.

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя утверждает, что lim⁡x→∞f(x)g(x)=lim⁡x→∞f'(x)g'(x)\lim_{x\to\ infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→∞​g(x) f(x)​=limx→∞​g'(x)f'(x)​, если первый предел lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x\to a}\frac{f( x)}{g(x)}limx→ag(x)f(x)​ неопределенно. Это означает, что когда прямая подстановка дает нам неопределенную форму, мы можем дифференцировать числитель и знаменатель, а затем снова взять тот же предел. 92-5x-6}{x+1} = \lim_{x\to -1}\frac{(x-6)(x+1)}{x+1} limx→−1​x+1×2−5x−6​=limx→−1​x+1(x−6)(x+1)​

=lim⁡x→−1(x−6) = \lim_ {х\до -1}(х-6) =limx→−1​(x−6)

=−1−6 = -1 -6 =−1−6

=−7 = -7=−7

Упражнение 3

Вычислить lim⁡x→4x−2x−4\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2 {x-4}limx→4​x−4x​−2​.

Решение:

Прямая замена дает нам 00\frac{0}{0}00​, поэтому для решения этой задачи воспользуемся рационализацией. Чтобы рационализировать радикал в числитель, умножим на сопряженный.

lim⁡x→4x−2x−4=lim⁡x→4x−2x−4⋅x+2x+2\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4 } = \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} \ cdot \ frac {\ sqrt {x} +2} {\ sqrt {x} +2} limx→4​x−4x

​−2​=limx→4​x−4x

​−2​⋅x

​+2x

​+2​

=lim⁡x→4x−4 (x−4)(x+2=\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2} =limx→4​(x−4)(x

​+2x−4​

=lim⁡x→41x+2= \lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x} +2}=limx→4​x

​+21​

=14 = \frac{1}{4}=41​ 92 \cos (\frac{1}{x}) = 0limx→0​x2cos(x1​)=0.

Упражнение 5

Вычислить lim⁡x→0sin⁡(x)sin⁡(2x)\lim_{x\to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (2x)}limx→0sin(2x)sin(x ).

Решение:

Прямая замена дает нам 00\frac{0}{0}00​, поэтому мы будем использовать триггерные тождества для решения этой задачи. В частности, будет полезно использовать тождество двойного угла, которое утверждает, что sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)sin (2x)=2sin(x)cos(x). 92 =3(3)2

=27= 27=27

Ознакомьтесь с отмеченными наградами курсами For-Credit от Outlier

Компания Outlier (от соучредителя MasterClass) собрала лучших в мире инструкторов по игре дизайнеров и кинематографистов, чтобы создать будущее онлайн-колледжа.

Ознакомьтесь с этими родственными курсами:

Исчисление I

Изучите курс

Исчисление I

Математика изменений.

Изучить курс

Введение в статистику

Изучить курс

Введение в статистику

Как данные описывают наш мир.

Изучить курс

Введение в микроэкономику

Изучить курс

Введение в микроэкономику

Почему маленькие решения имеют большое влияние.

Изучить курс

Пределы: графический подход – концепция

В исчислении предел используется для описания значения, к которому приближается функция, когда вход этой функции приближается к определенному значению. Есть два способа определить предел исчисления: численный подход или графический подход. При графическом подходе мы анализируем график функции, чтобы определить точки, к которым приближается каждый из односторонних пределов.

односторонние ограничения двусторонние ограничения лимит не существует кусочные функции левый предел правый предел график графический подход

Я хочу поговорить об односторонних ограничениях, вот функция g от x, равная, и ее часть y определяется как x+8 для x меньше -4 и x в квадрате -1 для x больше или равно -4.
Опишите его поведение, когда x приближается к -4, ну а в -4, где две части как бы соединяются вместе, и поэтому он может вести себя по-разному в зависимости от того, на какой стороне от -4 мы находимся. Итак, давайте попробуем приблизиться к -4 слева -5 находится слева от -4 на числовой прямой, поэтому мы начинаем слева и двигаемся вправо. Эээ -5, -4.1, -4.01 смотрим что происходит со значениями получаем 3, 3.9, 3,99 эти значения все ближе и ближе к 4.
Когда x меньше -4, мы используем эту часть функции, поэтому мы все ближе и ближе приближаемся к значению 4. Теперь, если мы начнем справа, как -3 находится справа от -4, и я иду налево, я получаю -3, -3,9, -3,99. Это значения, которые я получаю 8, 14,2, 14,9, и вы можете видеть, что эти значения все ближе и ближе к 15.
Итак, мы приближаемся к 4 слева и приближаемся к 15 справа. Итак, вот что мы говорим, мы говорим, что предел, когда x приближается к -4 слева от f от x, извините, g от x, это g равно 4. Это левосторонний предел, левосторонний предел является одним из односторонних пределов для g от x в 4. И тогда мы говорим предел, поскольку x приближается к -4 справа от g от x равно 15. Это правый предел, этот маленький верхний индекс говорит вам, что это за левая рука или правосторонний предел.