Суммарный момент инерции: §21.Момент инерции. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

§21.Момент инерции.

Определение: Моментом инерции материальной точки относительно неподвижной оси называется скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности этой точки при вращательном движении и, равная произведению её массы на квадрат расстояния до оси, т.е. , а также, где- угловая скорость тела относительно данной оси.

Определение: Моментом инерции системы материальных точек относительно неподвижной оси называется скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности этой системы при вращательном движении и, равная алгебраической сумме произведений масс всех материальных точек системы на квадрат их расстояний до оси, т.е. .

Момент инерции определен только относительно оси.

В случае непрерывного распределения масс с плотностью сумма заменится на интеграл по всему объему тела: (Интегрирование производится по всему объёму; пределы интегрирования устанавливаются исходя из конфигурации тела и его размеров).

Если тело однородно, то его плотность во всех точках постоянна и можно вынести из-под знака интеграла.

Найдем моменты инерции для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему, т.е. .

1. Момент инерции обручаотносительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр.

Обруч считается бесконечно тонким, т.е. толщиной обода можно пренебречь по сравнению с радиусом R.. Поскольку в этой системе все массы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, R²можно вынести из-под знака интеграла:, где

m— полная масса обруча.

2. Момент инерции дискаотносительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр. Диск считается бесконечно тонким, т.е. его толщина много меньше радиуса R.Момент инерции, согласно определению, величина аддитивная: момент инерции целого тела равен сумме моментов инерции его частей. Разобьем диск на бесконечно тонкие обручи радиусомsи толщинойds (См.рис.).

Момент инерции диска относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр.

Площадь поверхности обруча равна произведению его длины на толщину: 2  s ds.Поскольку массатдиска распределена равномерна, масса обручаdmпропорциональна площади его поверхности:

Момент инерции обруча мы уже знаем: . Осталось просуммировать моменты инерции всех таких обручей:.

Такой же результат получится и для момента инерции цилиндра конечной длины относительно его продольной оси.

3. Момент инерции шараотносительно его диаметра. Поступим аналогичным образом: “нарежем” шар на бесконечно тонкие диски толщинойdz.находящиеся на расстоянии

zот центра (См.рис.).

Момент инерции шара относительно диаметра.

Радиус такого диска равен . Объем дискаdV_z равен произведению его площади на толщину:

. Массу дискаdmнаходим, разделив массу шаратна его объем, умножив на объем диска:

Момент инерции диска был найден выше. В применении к данному случаю, он равен:

Момент инерции шара находится интегрированием по всем таким дискам:

4.Момент инерции тонкого стержня

относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню.

Пусть стержень имеет длину ℓ.Направим осьxвдоль стержня. Начало координат по условию находится в центре стрежня. Возьмем элемент стержня длинойdx.находящийся на расстоянииxот оси вращения. Его масса равна

dm = (m/ℓ) dx,а момент инерцииdJ=(m/ℓ) x²  dx. Отсюда находим момент инерции стрежня:

(*).

Момент инерции величина аддитивная, т.е. суммарный момент инерции системы тел относительно какой-либо оси, равен сумме моментов инерции каждого из тел данной системы относительно той же оси:

Физический смысл момента инерции:Инерционные свойства при поступательном движении характеризуются только массой тела, т.е. зависит только от массы. Инерционные свойства при вращательном движении характеризуются моментом инерции, т.е. зависят от его массы, расстояния до оси вращения и расположению теда по отношению к этой оси. Последнее означает, что относительно двух разных осей инерционные свойства вращательного движения одного и того же движения тела будут разными. Пример.

момент инерции | это… Что такое момент инерции?

ТолкованиеПеревод

момент инерции

3.24 момент инерции (moment of inertia): Интегральная сумма произведений массы отдельных частей тела на квадраты расстояний (радиусов) их центров тяжести от заданной оси.

Источник: ГОСТ Р 52776-2007: Машины электрические вращающиеся. Номинальные данные и характеристики оригинал документа

2.25. Момент инерции – момент инерции (динамический) тела относительно оси, представляющий собой сумму (интегральную) произведений масс его отдельных частей на квадраты их расстояний от оси.

Примечание. Эта величина обозначается буквенным символом I и выражается в кг · м².

Источник: ГОСТ 28173-89: Машины электрические вращающиеся. Номинальные данные и рабочие характеристики оригинал документа

Смотри также родственные термины:

3.18 момент инерции (динамический момент инерции) ротора: Сумма произведений масс всех частиц ротора на квадраты расстояний от оси его вращения.

Определения термина из разных документов: момент инерции (динамический момент инерции) ротора

Источник: СТО 17330282.27.140.019-2008: Гидрогенераторы. Условия поставки. Нормы и требования

27. Момент инерции лопасти несущего винта относительно горизонтального и вертикального шарниров

Момент инерции лопасти

Момент инерции массы лопасти несущего винта и других агрегатов, совершающих вместе с лопастью маховое движение:

Определения термина из разных документов: Момент инерции лопасти несущего винта относительно горизонтального и вертикального шарниров

Источник: ГОСТ 22499-77: Аппараты винтокрылые. Механика полета в атмосфере. Термины, определения и буквенные обозначения оригинал документа

3.8 момент инерции механизма : Приведенный к валу электродвигателя момент инерции сочлененного с ним механизма.

Определения термина из разных документов: момент инерции механизма

Источник: СТО 70238424.29.160.30.002-2009: Электродвигатели. Организация эксплуатации и технического обслуживания. Нормы и требования

28. Момент инерции несущего винта

J_ω

Суммарный момент инерции массы лопастей и всех кинематически связанных с ним агрегатов, приведенный к оси вращения несущего винта.

Примечание. Кинематически связанные с несущим винтом агрегаты определяются в каждом конкретном случае

Определения термина из разных документов: Момент инерции несущего винта

Момент инерции поперечного сечения распорного кольца, мм⁴ (см⁴)

I_к

Определения термина из разных документов: Момент инерции поперечного сечения распорного кольца, мм⁴ (см⁴)

Источник: ГОСТ 25859-83: Сосуды и аппараты стальные. Нормы и методы расчета на прочность при малоцикловых нагрузках оригинал документа

74 момент инерции электропривода: Сумма моментов инерции всех движущихся масс электропривода при приведении их к скорости элемента приведения электропривода

Определения термина из разных документов: момент инерции электропривода

Источник: ГОСТ Р 50369-92: Электроприводы. Термины и определения оригинал документа

Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации. academic.ru. 2015.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

момент затяжки М
момент инерции (динамический момент инерции) ротора

Полезное

Момент инерции

Масса m помещена на стержень длины r и имеет пренебрежимо малую массу и вынуждена вращаться вокруг неподвижной оси. Если масса освобождается от горизонтальной ориентации, это можно описать либо с точки зрения силы и ускорения с помощью второго закона Ньютона для линейного движения, либо как чистое вращение вокруг оси с помощью второго закона Ньютона для вращения.

Это обеспечивает настройку для сравнения линейных и вращательных величин для одной и той же системы. Этот процесс приводит к выражению для момента инерции точечной массы.

Индекс

Moment of Inertia Concepts

Moment of Inertia Примеры

Гиперфизика ***** МЕХАНИКА ***** Вращение

R Нейв

R Nave

Для однородного стержня незначительной толщины момент инерции около его центр масс равен

Для массы M = кг и длины
L = м момент инерции равен
I = кг м²

Момент инерции относительно конца стержня можно рассчитать напрямую или получить из выражения центра масс с помощью теоремы о параллельных осях.

Момент инерции относительно конца стержня
I = кг м².

Если толщина не пренебрежимо мала, то можно использовать выражение для I цилиндра около его конца.

Индекс

Понятия момента инерции

Гиперфизика***** Механика ***** Вращение

R Ступица

Вычисление момента инерции стержня относительно его центра масс является хорошим примером того, что исчисление необходимо для работы со свойствами непрерывного распределения масс. Момент инерции точечной массы определяется выражением I = mr ² , но стержень следует рассматривать как бесконечное число точечных масс, и каждая из них должна быть умножена на квадрат ее расстояния от оси. Полученная бесконечная сумма называется интегралом. Общий вид момента инерции это:

Когда элемент массы dm выражается через элемент длины dr вдоль стержня и сумма, взятая по всей длине, интеграл принимает вид:

Показать детали

Индекс

Понятия момента инерции

Гиперфизика***** Механика ***** Вращение

R Ступица

Расчет момента инерции однородного стержня включает выражение любой массовый элемент с точки зрения расстояния элемент dr вдоль стержня. Чтобы выполнить интеграл, необходимо выразить все в интеграле через одну переменную, в данном случае переменную длины r. Так как общая длина L имеет массу M, тогда M/L отношение массы к длине и масса элемент может быть выражен, как показано. Интегрируя от -L/2 до +L/2 от центр включает в себя весь стержень. Интеграл имеет полиномиальный тип:

Индекс

Понятия момента инерции

Гиперфизика***** Механика ***** Вращение

R Ступица

Как только момент инерции объект относительно его центра масс был определено, момент о любом другом ось можно определить по теореме о параллельных осях:

В этом случае это становится

Это может быть подтверждено прямым интеграция

Индекс

Понятия момента инерции

Гиперфизика***** Механика ***** Вращение

R Ступица

Вернуться назад

Параллельная ось Теорема

Теорема о параллельных осях

Момент инерции относительно конца

Сплошной цилиндр массой
m= кг
и радиус R =
см будет иметь момент инерции относительно своей центральной оси:

I _{центральная ось} = кг м ²

Для цилиндра длиной
L = м, показаны моменты инерции цилиндра относительно других осей.

888 Моменты инерции для предельных геометрий с этой массой равны:

I _{центральный диаметр} = кг м ²

I _{концевой диаметр} = кг м ²

I _{диаметр тонкого диска} = кг м ²

I _{тонкий наконечник стержня} = кг·м ²

Показать развитие выражений

Полый корпус цилиндра

Индекс

Понятия момента инерции

Гиперфизика***** Механика

R Ступица

Выражение для момента инерции сплошного цилиндра можно построить из момента инерции тонких цилиндрических оболочек.

Используя общее определение момента инерции:

Элемент массы может быть выражен через бесконечно малую радиальную толщину dr на

Подстановка дает полиномиальную форму интеграла:

Показать форму интеграла

Индекс

Понятия момента инерции

Гиперфизика***** Механика

R Ступица

Выражение для момента инерции полого цилиндра или кольца конечной толщины получается тем же способом, что и для сплошного цилиндра. Процесс включает сложение моментов бесконечно малых тонких цилиндрических оболочек. Единственное отличие от сплошного цилиндра состоит в том, что интегрирование происходит от внутреннего радиуса a к внешнему радиусу b:

Показать разработку интегральной тонкой оболочки

Индекс

Понятия момента инерции

Гиперфизика***** Механика

R Ступица

При разработке выражения для момента инерции цилиндра относительно диаметра на его конце (ось x на диаграмме) используются как теорема о параллельной оси, так и теорема о перпендикулярной оси. Подход включает в себя нахождение выражения для тонкого диска на расстоянии z от оси и суммирование по всем таким дискам.

Получение момента инерции полного цилиндра около диаметра на его конце включает суммирование по бесконечному числу тонких дисков на различных расстояниях от этой оси. Это включает интеграл от z=0 до z=L. Для любого заданного диска на расстоянии z от оси x использование теоремы о параллельной оси дает момент инерции относительно оси x.

Теперь, выражая элемент массы dm через z, мы можем проинтегрировать по длине цилиндра.

Эта форма может показаться правдоподобной, если вы заметите, что она представляет собой сумму выражений для тонкого диска с диаметром плюс выражение для тонкого стержня на его конце. Если вы возьмете предельный случай R = 0, вы получите выражение тонкого стержня, а если вы возьмете случай, когда L = 0, вы получите выражение тонкого диска.

На последних шагах используются полиномиальные формы интегралов.

Оставить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.