Суть метода гаусса: Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уравнений). Правила, примеры

Содержание

Почему труден метод Гаусса? / Полезное в учебе / Naotlichno.ru

Решение систем линейных алгебраических уравнений – это одно из первых затруднений, с которыми встречаются студенты-первокурсники при изучении высшей математики. Причём, если проанализировать статистику студенческих вопросов по решению систем (или долю неверно решённых задач в типовых расчётах), то можно сделать любопытный вывод: всего лишь пятая часть оных вопросов припадает на метод Крамера или решение систем с помощью обратной матрицы. Соответственно, 80% проблем касаются именно метода Гаусса.

Поначалу это кажется действительно парадоксальным. Ведь метод сложения, обобщением которого метод Гаусса и является, обстоятельнейшим образом рассматривается ещё в школе. В то время как метод Крамера или метод, для которого используется обратная матрица, изучаются уже в университете. Однако копнём чуть поглубже, нежели поверхностный анализ. Дело в том, что и метод Крамера, и «матричный» метод являются алгоритмическими, причём в гораздо большей степени, чем метод Гаусса.

Методы Крамера и «матричный» укладываются в набор инструкции из трёх правил, в которой практически нет места неким дополнительным условиям (если, конечно, не учитывать самую первую элементарную проверку существования обратной матрицы или не равенства нулю определителя). С методом Гаусса, равно как и с его модификациями (метод Жордана) ситуация иная. Он тоже поддаётся алгоритмизации (яркое доказательство тому – множество онлайн-решалок), но приходится учитывать гораздо больше условий, нежели в предыдущих двух методах. Это если смотреть на ситуацию сугубо с математической стороны.

Обратимся теперь к методической стороне вопроса. Если авторы учебных книг более-менее единодушны в изложении методов Крамера и «матричного», то с методом Гаусса полный разброд. Кто-то записывает систему в виде матрицы и придерживается такого способа до конца решения; кто-то с начала и до конца решает в виде системы; кто-то половину решения проводит в матричной форме, а иную половину – в виде уравнений. И это только способ записи! В самом изложении процесса решения проблем не меньше.

Подавляющее большинство авторов подбирает учебные примеры таким образом, чтобы избежать острых углов: коэффициенты покрасивее, система поменьше (три уравнения – ныне чуть ли образовательный стандарт), преобразования попроще. В итоге студент, начав решать систему самостоятельно, часто приходит к ситуации, которая не была проиллюстрирована в решебнике. Конечно, тут можно сослаться на книги, в которых излагается теоретическая часть метода, мол, там всё есть. Да, действительно есть. Но, согласитесь, крайне редко встречаются студенты, которые могут с первого раза уразуметь то, что стоит за мешаниной общих индексов и преобразований. Это умение приходит гораздо позже. Намного легче теоретическая часть воспринимается после рассмотрения хорошего практического примера, а такие примеры, как раз таки, в дефиците. Отсюда и имеем неприятную ситуацию, когда студент обращается к программе, которая сможет решить за него систему уравнений, – да ещё и сделает это пошагово.

Подводя итоги, приходится отметить, что прекрасный метод решения систем многими студентами остаётся невостребованным до конца курса обучения. Несмотря на то, что и разложение рациональной дроби на элементарные, и нахождение частного решения дифференциального уравнения, и задачи линейного программирования, – всё это (и многое другое) сводится к системам, легко решаемым методом Гаусса. Студенту проще применить громоздкие преобразования метода Крамера или матричного, ибо они ему «понятнее». Полагаю, что авторы новых методических разработок и учебников смогут переломить ситуацию и сумеют простыми словами донести суть метода Гаусса до первокурсника.

Гаусс-Жордан – Линейная алгебра | Elevri

Линейная алгебра

Джордан Гаусса

Метод Гаусса-Жордана — это метод решения линейной системы уравнений. Каждая система попадает в один из трех случаев; единственное решение, нет решений или бесконечно много решений.

Содержание

Почему метод называется методом Гаусса-Жордана?

Уже в раннем возрасте не было сомнений, что у Карла Фридриха Гаусса есть способности к математике. Есть несколько известных анекдотов из его детства, свидетельствующих о его гениальности.

В возрасте всего трех лет Гаусс исправил ошибку в финансовых расчетах, над которыми работал его отец, исключительно с помощью арифметики в уме.

В, пожалуй, самой известной истории семилетний Гаусс плохо себя вел в школе. В ответ его учитель дал ему намеренно трудоемкую задачу сложить все числа от 1 до 100 в качестве наказания.

Учитель задохнулся, когда Гаусс представил правильный ответ за несколько секунд. Ему не потребовалось больше времени, чтобы понять, что сумму можно вычислить как:

Он решил это, сложив строки попарно:

Математический дар Гаусса, по-видимому, не передался его детям, по крайней мере, не в такой степени. Как отец шестерых детей, Гаусс запретил им делать карьеру в области математики или естественных наук, опасаясь, что они могут «понизить фамилию».

Почему работает Gauss Jordan?

Представьте, что вам дана пара прямых, и вы хотите определить, в какой точке они пересекаются.

Если бы одна из линий была вертикальной, вы могли бы легко считать x-координату точки, где линия пересекает ось x. Аналогичным образом горизонтальная линия даст вам координату y точки.

В случае, если ни одна из точек не проходит ни по вертикали, ни по горизонтали, вы можете повернуть линии вокруг точки пересечения.

По сути, Гаусс-Джордан аналогичным образом манипулирует набором уравнений, позволяя нам легко читать их решения.

Как используется исключение Гаусса?

Набор линейных уравнений образует систему, которую можно представить расширенной матрицей, каждая строка которой соответствует одному из уравнений. Используя три элементарные операции над строками:

Замена двух строк местами
Умножение строки на ненулевой скаляр
Добавление или вычитание скалярных переменных одной строки в другую строку

Исключение Гаусса-Жордана переводит матрицу в это состояние, делая решение описываемой системы доступным с минимальными усилиями.

Что такое расширенная матрица?

Перед рассмотрением метода Гаусса-Жордана целесообразно сначала понять переход от системы уравнений к расширенной матрице. Короче говоря, расширенная матрица — это просто способ записать то же самое, что и система уравнений. Начнем с примера с двумя переменными:

Краткое объяснение вышеизложенного: На первом шаге мы преобразуем выражение в матричное умножение в форме , которую мы можем использовать на втором шаге, чтобы записать систему уравнений в виде расширенной матрицы :

где элементы слева от вертикальной черты соответствуют константам переменных в левом члене, а элементы справа соответствуют константам справа от знака равенства. В случае, когда правый член является 0-вектором, мы упрощаем расширенную матрицу, чтобы она содержала только левый член, например:

Что такое сокращенная ступенчатая форма строки?

Примеры матриц в форме эшелона строк :

Матрица находится в форме эшелона строк, если:

все строки, состоящие только из нулей, располагаются внизу
каждая строка имеет ведущий элемент , из которых все элементы непосредственно слева равны 0
слева от ведущего элемента нижней строки

Примеры матриц в форме с сокращенным эшелоном строк :

Матрица находится в форме ступенчатого сокращенного ряда, если:

находится в форме ступенчатого ряда
ведущий элемент в каждой ненулевой строке равен единице (они называются ведущими )
каждый столбец с ведущей единицей имеет значение 0 в элементах под ними

Единицы жирным шрифтом называются ведущие и все они имеют общее то, что все элементы слева от них, если они есть, равны 0.

Как выполнять элементарные операции со строками?

Введение

Краеугольным камнем метода Гаусса-Жордана является элементарные операции со строками . Вкратце, он используется для решения линейной системы уравнений путем использования трех разрешенных операций и применения их к системе уравнений.

Поменять местами две строки
Умножить строку на ненулевую константу сначала превратиться в расширенную матрицу:
Поменять местами две строки
Первое уравнение отмечено , второе и т.д. Если и написаны на своих местах, это означает, что эти две строки поменяются местами.
Умножение строки на ненулевую константу
Обозначение означает, что мы умножаем первую строку на два.
Сложение одного кратного строки с другим
Обозначение означает операцию со строками “уравнение первой строки суммируется со второй строкой, которая умножается на -2”.
Почему операции со строками работают
Студенты часто считают само собой разумеющимся, что операции со строками допустимы, но им трудно дать убедительное объяснение, почему. Помните, что операций со строками управляют системой, но набор решений остается тем же .
Для практических рассуждений мы можем начать с простейшего уравнения:
Знак равенства в уравнении указывает на баланс между левым и правым. Это означает, что операция, использующая четыре арифметических метода (сложение, вычитание, умножение и деление) на одном члене, требует соответствующих операций на других терминах для соблюдения баланса. Показываем умножение на 2:
Теперь продолжим аналогию. Поскольку оба и имеют одно и то же решение и, таким образом, уравновешены, следует той же логике прибавлять к левой части, что и прибавлять к правой:
решение , мы получаем:
Это не математическое доказательство операций над строками, а полностью обоснованное рассуждение, оправдывающее процедуру. И помните – набор решений останется прежним, хотя система будет другой.
Как решить систему линейных уравнений с помощью Жордана Гаусса?
Решить систему уравнений означает определить множество ее решений. Цель метода Гаусса-Джордана состоит в том, чтобы решить линейную систему уравнений с помощью элементарных операций со строками, чтобы упростить систему так, чтобы мы могли легко прочитать, что представляет собой решение. Возьмем в качестве примера следующую систему:
Сначала мы запишем расширенную матрицу для системы, а оттуда мы можем найти сокращенную расширенную матрицу, которую также называют сокращенной ступенчатой формой строк.
Из последней расширенной матрицы мы можем прочитать, что:
Теперь мы покажем, как получить правильную расширенную матрицу с помощью операций со строками, шаг за шагом.
Теперь мы закончили и можем видеть, что существует единственное решение, а именно точка . Важно понимать, что при использовании метода Гаусса-Жордана множество решений сохраняется, несмотря на операции со строками, но уравнения в системе изменяются и не остаются теми же. См. очевидный пример того, что уравнение первой строки из первого этапа не соответствует уравнению из последнего этапа в методе Гаусса-Жордана:
Три случая решения
Помните, что для всех систем уравнений применим один из трех разных случаев; единственное решение, бесконечно много решений или отсутствие решения.
Единственное решение
В предыдущем примере мы видели сокращенную расширенную матрицу для единственного решения, точка:
Решений нет
В случае отсутствия решений, т.е. система несовместна, возникло противоречие при Метод Гаусса-Жордана. Если вы не видите его напрямую, то в конце концов это будет обнаружено по тому факту, что для одной строки вся левая часть будет равна 0, а правая часть, например, отлична от нуля;
Это означает, что последняя строка уравнений;
, что заведомо ложно и, таким образом, всей системе не хватает решений.
Бесконечное множество решений
Последний случай, бесконечное множество решений всегда означает, что мы либо начали с меньшего количества уравнений, чем переменных, либо что возникла полная нулевая линия:
В приведенном выше случае это означает, что мы осталось два уравнения, а третье было сокращено при сокращении строк. Что мы делаем сейчас, так это вводим параметр для строки 3:
и продолжая операции со строками:
Таким образом, решение соответствует параметрической форме:
, которую мы знаем как параметрическую форму линии, поскольку она имеет и точку, и направление.
Должны ли мы получить две нулевые строки:
Мы вводим два параметра и продолжаем уменьшать строку:
из которых решение также следует параметрической форме:
Мы признаем, что набор решений является плоскостью, так как он имеет два параметра и, таким образом, два вектора направления. Помните правило: два направления = два измерения = одна плоскость.
Содержание