Свойства дифференциальные уравнения: Основные свойства линейных дифференциальных уравнений.

Основные свойства линейных дифференциальных уравнений.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в форме:

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +…+ a₁p + a₀)y(t) = F(t). (11)

В связи с тем, что все выражения справедливы как для систем с постоянными, так и с переменными параметрами, коэффициенты а_iмогут быть в общем случае функциями времени t. Если правая часть последнего уравнение равна тождественно нулю, т. е.

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +…+ a₁p + a₀)y(t) = 0. (12)

то такое уравнение называют однородным. Уравнение (11) называют соответственно неоднородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (12) может иметь не более, чем п линейно независимых решений, n объектов называются линейно зависимыми, если по крайней мере один из них можно выразить в виде линейной комбинации остальных. В противном случае объекты считаются независимыми. Необходимое и достаточное ус­ловие линейной независимости n решений уравнения (11) состоит в отличии от нуля определителя Вронского. Если у

1, у₂,… у_n – n решений уравнения, то определитель Врон­ского имеет вид

(13)

Общее решение уравнения (11) представляется как

y_н = K₁y₁ + K₂y₂ +…+ K_ny_n, (14)

где K_i — произвольные постоянные. Индекс Н указывает на то, что решение соответствует однородному уравнению.

Из последнего уравнения следует, что если известны n независимых решений, то произвольное решение этого уравнения можно представить в виде линейной комбинация n известных решений. Для систем с постоянными параметрами существует общий метод

нахождения независимых решений однородного уравнения. Для систем с переменными параметрами такого метода, к сожалению, не существует.

Общее решение неоднородного уравнения (11) имеет вид У=У_н+У_p(15), где у_н — решение (14) соответствующего однородного уравнения, у_р – произвольное решение (вне зависимости оттого, каким образом оно получено), удовлетворяющее уравнению (11) и обычно называемое частным решением неоднородного уравнения, у

н называют вспомогательным решением. Для нахождения у_р приемлем любой способ, даже «метод проб». Так как у_р не содержит произвольных постоянные то в решении у, как и в у_н, содержится n постоянных.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка за­писывается в виде (16)

. (16)

Для удобства коэффициент при dy/dt полагаем равным единице. Коэффициент а в общем случае может зависеть от времени Данное уравнение решается пу­тем введения интегрирующего множителя . Умножим на него обе части уравнения (16):

(17)

Левая часть этого уравнения является производной по времени от , так что

, c = const. (18)

Хотя интегрирование правой части уравнения (18) порой представляет определенные трудности, изложенный метод предлагает строгую процедуру решения дифференциального уравнения вне зависимости от вида его коэффициента a(t). Ре­зультат содержит обе составляющих решения.

При вычислении ∫a(t)dt нет необхо­димости записывать постоянную интегрирования.

Пример: Решить уравнение . Интегрирующий множитель равен. Умножим это на исходное уравнение. Тогда

,

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Даны определения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородных, неоднородных и общее определение). Рассмотрены свойства их решений.

Определения

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

– это уравнение, линейное относительно зависимой переменной y и ее производных:
(1)   .
Член f(x) называется неоднородной частью уравнения.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

– это уравнение вида (1), неоднородная часть которого равна нулю:
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

– это уравнение вида (1) с отличной от нуля неоднородной частью:
.

Здесь все коэффициенты a_i – постоянные. n – порядок уравнения.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:
(2)   .
Общее решение такого уравнения можно записать в виде:
,
где – линейно независимые частные решения уравнения (2). Каждое из них удовлетворят уравнению (2):
.
В этом случае говорят, что функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (2).

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

(2) – это n линейно независимых функций , каждая из которых является решением этого уравнения.

Линейно независимые функции

– это такие функции, для которых соотношение

может выполняться только если все постоянные равны нулю.

Линейно зависимые функции

– это функции, между которыми имеет место линейная зависимость:
,
где – постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.

Неоднородные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
(3)   .
Пусть Y – частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (3) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
.
Здесь – общее решение однородного уравнения:
;
Y – частное (любое) решение неоднородного уравнения:
.

Часто встречается случай, когда неоднородная часть может быть представлена в виде суммы функций:
.
Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:
,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций :
.
В некоторых случаях бывает легче решать отдельные частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получать частное решение для всего уравнения, суммированием полученных частных решений.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-07-2013   Изменено: 13-12-2019

О некоторых основных свойствах решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

О некоторых основных свойствах решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

Скачать PDF

Скачать PDF

• Опубликовано: Декабрь 1973 г.

• G. Ladas ¹ ,
• G. Ladde ¹ и
• V. Lakshmikantham ¹  

Чистый и прикладной Аннали Математики том 95 , страницы 255–267 (1973 г.)Процитировать эту статью

• 137 доступов

• 1 Цитаты

• Сведения о показателях

Резюме

Рассмотрим нелинейную абстрактную задачу Коши

$$x’ = f\left( {t,x} \right), x\left( {t_0 } \right) = x_0 $$

((1))

, где f ∈ [R ₊ × X, X], X — банахово пространство. Развиваем формулу Алексеева относительно (1) и ее возмущения

$$y’ = f\left( {t,y} \right) + F\left( {t,y} \right), y\left( {t_0 } \right) = y_0 $$

((2))

, где F ∈ C[R ₊ × X, X]. Этот результат является удобным инструментом для обсуждения свойств решений уравнения (2), в том числе сохранения свойств устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Для установления формулы Алексеева необходимо было сначала доказать, что производные Фреше решения x(t, t

0 , x ₀ ) уравнения (1), по t ₀ и x ₀ существуют и удовлетворяют уравнению вариации (1) вдоль решения x(t, t ₀ , x ₀ ).

Скачайте, чтобы прочитать полный текст статьи

Каталожные номера

1. В. М. Алексеев, Оценка возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений

   , Вестн. Моск. ун-т сер. Я в. Мех., нет. 2 (1961), стр. 28–36.

2. Ф. Брауэр, Возмущения нелинейных систем дифференциальных уравнений, I , J. Math. Анальный. Appl., 14 (1966), стр. 198–206.

   Артикул МАТЕМАТИКА MathSciNet Google ученый

3. Ф. Э. Браудер, Нелинейные уравнения эволюции , Ann. Math., 80 (1964), стр. 485–523.

   Артикул МАТЕМАТИКА MathSciNet Google ученый

4. J. Dieudonné, Deux esemples singuliers d’equations différentielles , Acta Scien. Мат. (сегед), 12 (1950), стр. B 38–40.

   МАТЕМАТИКА Google ученый

5. J. Dieudonné, Foundations of Modern Analysis , Academic Press, New York, 1960.

   Google ученый

6. П. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения

   , Уайли, Нью-Йорк, 1964.

   Google ученый

7. Т. Като, Нелинейные эволюционные уравнения в банаховых пространствах , Proc. симпозиумов по прикладной математике, том. XVII (1964).

8. Г. Ладас – В. Лакшмикантам, Заметка о непрерывной зависимости решений (в печати).

9. В. Лакшмикантам -С. Лила, Дифференциальные и интегральные неравенства, теория и приложения , том. I и II, Academic Press, Нью-Йорк, 1969.

   Google ученый

10. Ж. Д. Мамедов, Односторонние оценки решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве

    , Труды семинара, М., 1968.

    Google ученый

11. GJ Minty, Монотонные (нелинейные) операторы в гильбертовом пространстве , Duke Math. Дж., 29 (1962), стр. 541–546.

    Артикул MathSciNet Google ученый

12. Р. М. Султанов, Обесторонние оценки решений нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве , Сиб. матем. Дж.,

    8 , нет. 4 (1967), стр. 651–656.

    МАТЕМАТИКА MathSciNet Google ученый

13. Дж. А. Йорк, Непрерывное дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве без существования , Funkcialaj, Ekvacioj, 13 (1970), стр. 19–21.

    МАТЕМАТИКА MathSciNet Google ученый

Download references

Author information

Authors and Affiliations

1. Kingston, R. I.

   G. Ladas, G. Ladde & V. Lakshmikantham

Authors

1. G. Ladas

   View author publications

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Академия

2. Г. Ладде

   Просмотр публикаций автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

3. V. Lakshmikantham

   Просмотр публикаций автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Дополнительная информация

Entrata in Redazione il 6 febbraio 1972.

Права и разрешения

Перепечатки и разрешения

Об этой статье

Геометрические свойства Решения одного класса линейных дифференциальных уравнений третьего порядка

На этой странице

АннотацияВведениеСсылкиАвторское правоСтатьи по теме

уравнения: 𝜔(𝑧)+𝑄(𝑧)𝜔(𝑧)=0, 𝜔(0)=0, 𝜔(0)=1, 𝜔(0)=0, где 𝑄(𝑧) является аналитическим в открытом единичном круге 𝑈.

1.

Введение

Обозначим через 𝐴 класс функций 𝑓, нормированных 𝑓(𝑧)=𝑧+∞𝑛=2𝑎𝑛𝑧𝑛, (1.1) аналитические в открытом единичном круге 𝑈={𝑧: 𝑧∈ℂ и |𝑧|<1}.

Пусть также 𝑆, 𝑆∗, 𝑆∗(𝛼), 𝐶 и 𝐶(𝛼) обозначают подклассы 𝐴, состоящие из функций, соответственно однолистных, звездообразных относительно начала координат, звездообразных порядка 𝛼 в 𝑈 (0≤𝛼<1), выпуклый относительно начала координат и выпуклый порядка 𝛼 в 𝑈 (0≤𝛼<1) (подробности см. в [1–4]). Кроме того, 𝑆𝑆∗(𝛽) и 𝐶∗𝐶(𝛽) обозначают подклассы 𝐴, состоящие из функций, сильно звездчатых порядка 𝛽 и сильно выпуклых порядка 𝛽 в 𝑈, 0<𝛽≤1 (см., [5, 6 ]).

Для функций 𝑓∈𝐴 с 𝑓(𝑧)≠0 (𝑧∈𝑈) мы определяем производную Шварца от 𝑓 по формуле 𝑓𝑆(𝑓,𝑧)∶=(𝑧)𝑓(𝑧)−12𝑓(𝑧)𝑓(𝑧)2,𝑓∈𝐴;𝑓.(𝑓). ≠0,𝑧∈𝑈(1.2) Отметим, что Нехари [7] доказал, что частное линейно независимого решения уравнения (1.2) является однолистным, а Робертсон [8] и Миллер [9] доказали, что единственное решение уравнения: 𝑊(𝑧)+𝑎( 𝑧)𝑊(𝑧)=0,𝑊(0)=0,𝑊(0)=1(1,3) похож на звезду.

Теперь пусть 𝐵𝐽 обозначает класс ограниченных функций 𝜔(𝑧)=𝜔1𝑧+𝜔2𝑧2+⋯, аналитических в единичном круге 𝑈, для которых |𝜔(𝑧)|<𝐽. Если 𝑔(𝑧)∈𝐵𝐽, то по лемме Шварца функция 𝜔(𝑧), определяемая равенством 𝜔(𝑧)=𝑧−1/2𝑧0𝑔(𝑡)𝑡−1/2𝑑𝑡(1,4) тоже в 𝐵𝐽. Таким образом, в терминах производных имеем |||12𝜔(𝑧)+𝑧𝜔|||||||(𝑧)<𝐽,(𝑧∈𝑈),⟹𝜔(𝑧)<𝐽,(𝑧∈𝑈).(1.5) В 1999, Сайто [10] доказал, что дифференциальное уравнение где 𝑎(𝑧) и 𝑏(𝑧) аналитичны в единичном круге 𝑈, имеет решение 𝜔(𝑧), однолистное и звездообразное в 𝑈 при некоторых условиях. Затем в 2004 г. Owa et al. В [11] изучались геометрические свойства решений начальной задачи (1.6), а позже Сайтох [12] изучал геометрические свойства решений следующего линейного дифференциального уравнения второго порядка: 𝜔(𝑧)+𝑃𝑛(𝑧)𝜔(𝑧)=0,(1.7) где 𝑃𝑛(𝑧) непостоянный многочлен степени 𝑛≥1.

Целью данной работы является изучение некоторых геометрических свойств решений следующей начальной задачи: 𝜔(𝑧)+𝑄(𝑧)𝜔(𝑧)=0,𝜔(0)=0,𝜔(0)=1,𝜔(0)=0,(1.8) где ∑𝑄(𝑧)=∞𝑛=0𝑏𝑛𝑧𝑛 аналитична в 𝑈.

Для доказательства наших основных результатов нам понадобятся следующие определения и теоремы.

Определение 1.1 (см. [13]). Пусть 𝐻𝐽 — множество комплексных функций ℎ(𝑢,𝑣) , удовлетворяющих следующим условиям: (i)ℎ(𝑢,𝑣) непрерывна в области 𝐷⊂ℂ×ℂ; ,0)∈𝐷 и |ℎ(0,0)|<𝐽;(iii)|ℎ(𝐽𝑒𝑖𝜃,𝐾𝑒𝑖𝜃)|≥𝐽, когда (𝐽𝑒𝑖𝜃,𝐾𝑒𝑖𝜃)∈𝐷, 𝐾.

Определение 1.2 (см. [13]). Пусть ℎ∈𝐻𝐽 с соответствующим доменом 𝐷 . Обозначим через 𝐵𝐽(ℎ) те функции 𝜔(𝑧)=𝜔1𝑧+𝜔2𝑧2+⋯ , которые являются аналитическими в 𝑈 , удовлетворяющими (i)(∈(𝑧),𝑧)) ii)|ℎ(𝜔(𝑧),𝑧𝜔(𝑧))|<𝐽(𝑧∈𝑈).

Теорема 1.3 (см. [10]). Для любого ℎ∈𝐻𝐽, 𝐵𝐽(ℎ)⊂𝐵𝐽,ℎ∈𝐻𝐽;𝐽>0.(1.9)

Теорема 1.4 (см. [10]). Пусть ℎ∈𝐻𝐽 и 𝑏(𝑧) — аналитическая функция в 𝑈 с |𝑏(𝑧)|<𝐽. Если дифференциальное уравнение ℎ𝜔(𝑧),𝑧𝜔(𝑧)=𝑏(𝑧),𝜔(0)=0,𝜔(0)=1(1,10) имеет решение 𝜔(𝑧), аналитическое в 𝑈, то |𝜔(𝑧)|<𝐽.

2. Основные результаты

Теорема 2. 1. Пусть ∑𝑄(𝑧)=∞𝑛=0𝑏𝑛𝑧𝑛 аналитична в 𝑈 с ∞𝑛=0||𝑏𝑛||<𝐽(𝑧∈𝑈,𝐽>0), (2.1) и пусть 𝜔(𝑧) обозначает решение начальной задачи (1.8) в 𝑈. Затем 1−𝐽<ℜ1+𝑧𝜔(𝑧)𝜔(𝑧)>1+𝐽(𝑧∈𝑈,𝐽>0).(2.2)

Доказательство. Если мы позволим 𝑢(𝑧)=𝑧𝜔(𝑧)𝜔,(𝑧)(2.3) тогда 𝑢(𝑧) аналитична в 𝑈, так что 𝑢(0)=0 и (1.8) принимает вид []𝑢(𝑧)2−𝑢(𝑧)+𝑧𝑢(𝑧)=−𝑧2∞𝑛=0𝑏𝑛𝑧𝑛(2.4) или, что то же самое, ℎ𝑢(𝑧),𝑧𝑢(𝑧)=−𝑧2∞𝑛=0𝑏𝑛𝑧𝑛, (2.5) где для удобства ℎ(𝜉,𝜂)=𝜉2−𝜉+𝜂. (2.6) Из предположения имеем ∞𝑛=0||𝑏𝑛||<𝐽(𝑧∈𝑈,𝐽>0).(2.7) Используя теорему 1.4, имеем ||||𝑢(𝑧)<𝐽(2.8) что с учетом соотношения (2.3) дает ||||𝑧𝜔(𝑧)𝜔||||(𝑧)<𝐽,(2,9) то есть, 1−𝐽<ℜ1+𝑧𝜔(𝑧)𝜔(𝑧)>1+𝐽(𝑧∈𝑈,𝐽>0).(2.10)

Полагая 𝐽=1 в теореме 2.1, имеем следствие.

Следствие 2.2. Пусть ∑𝑄(𝑧)=∞𝑛=0𝑏𝑛𝑧𝑛 аналитична в 𝑈 с ∞𝑛=0||𝑏𝑛||<1.(2.11) Пусть 𝜔(𝑧) — решение начальной задачи (1.8) в 𝑈. Тогда 𝜔(𝑧) выпукло в 𝑈.

Пример 2.3. Пусть 𝑄(𝑧)=1 в следствии 2.2; решение следующей начальной задачи: 𝜔(𝑧)+𝜔(𝑧)=0,𝜔(0)=0,𝜔(0)=1,𝜔(0)=0(2,12) дан кем-то 𝜔(𝑧)=sin𝑧∈𝐶. (2.13)

Теорема 2.4. Пусть ∑𝑄(𝑧)=∞𝑛=0𝑏𝑛𝑧𝑛 аналитична в 𝑈 с ∞𝑛=0||𝑏𝑛||<𝐽(𝑧∈𝑈,0<𝐽≤1).(2.14) Пусть 𝜔(𝑧) — решение начальной задачи (1.8) в 𝑈. Тогда 𝜔(𝑧) сильно выпукла порядка 𝛼, т. е. ||||arg1+𝑧𝜔(𝑧)𝜔||||<𝜋(𝑧)2𝛼(2.15) для некоторого 𝛼 (0<𝛼≤1) и 2𝛼=𝜋sin−1𝐽(0<𝐽≤1).(2.16)

Доказательство. Используя ту же технику, что и при доказательстве теоремы 2.1, получаем требуемый результат.

Примечание 2.5. Полагая 𝛼=1 в теореме 2.4, получаем Следствие 2.2.

Благодарность

Представленная здесь работа была частично поддержана UKM-ST-FRGS-0244-2010.

Ссылки

1. P. L. Duren, Univalent Functions , vol. 259 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , Springer, New York, NY, USA, 1983.

   Посмотреть по адресу:

   Zentralblatt MATH

2. С. Оварив, М. Сейтохава и Хаст Близость к выпуклости, звездность и выпуклость некоторых аналитических функций» Письма по прикладной математике , том. 15, нет. 1, стр. 63–69, 2002.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH

3. C. Pommerenke, Univalent Functions , Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, Germany, 1975.

4. M.I.S. 37, нет. 2, стр. 374–408, 1936.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА

5. М. Нунокава, «О порядке сильной звездности сильно выпуклых функций», Proceedings of Japan Academy A , vol. 69, нет. 7, стр. 234–237, 1993.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH

6. П. Т. Мокану, «Альфа-выпуклый интегральный оператор и сильно звездообразные функции», Universitatis Babeş-Bolyai. Студия Mathematica , том. 34, нет. 2, стр. 18–24, 1989.

   Просмотр:

   Академия Google | Zentralblatt MATH

7. З. Нехари, «Производная Шварца и однолистные функции», Бюллетень Американского математического общества , том. 55, стр. 545–551, 1949.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH

8. М. С. Робертсон, «Решения Шлихта для W′′+pW=0», Transactions of the American Mathematical Society , vol. 76, стр. 254–274, 1954.

   Посмотреть по адресу:

   Академия Google | Zentralblatt MATH

9. С. С. Миллер, «Класс дифференциальных неравенств, подразумевающий ограниченность», Illinois Journal of Mathematics , vol. 20, нет. 4, стр. 647–649, 1976.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar | Zentralblatt MATH

10. Х. Сайтох, «Уникальность и звездоподобность решений W′′+aW′+bW=0», Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska A , vol. 53, стр. 209–216, 1999.

    Просмотр:

    Академия Google | Zentralblatt MATH

11. С. Ова, Х. Сайтох, Х. М. Шривастава и Р. Ямакава, «Геометрические свойства решений класса дифференциальных уравнений», Компьютеры и математика с приложениями , том. 47, нет. 10–11, стр. 1689–1696, 2004.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH

12. Х. Сайтох, «Геометрические свойства решений одного класса обыкновенных линейных дифференциальных уравнений», Прикладная математика и вычисления , том. 187, нет. 1, стр. 408–416, 2007 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH

13. С.