Sx формула физика: Формулы кинематики пожалуйста – Школьные Знания.com

Ответ: 0,8м/с; 25 с.

4. Поиск (экспериментальные задачи – команда)

1. Мальчик, стоя на балконе пятиэтажного дома уронил орех и решил определить ускорение свободного падения. И очень скоро определил. Как?

(Ответ: измерив высоту и время падения по формуле S=gt²/2).

2.Скала наконец была покорена. Робинзон стоял на ее вершине, внизу шумело море. “Какова высота этой скалы? Надо ее определить”, – подумал он. Как?

(Ответ: измерив t по часам падения камня до уровня моря и по формуле S=gt²/2 вычислить высоту скалы).

3.С помощью установки (желоб, шарик, измерительная лента, часы) определить ускорение, с которым скатывается шарик?

a = 2S/t²

5. Графики. (команда)

Задание:

а) обозначить оси;

б) записать формулы

6. Задачи – шутки (капитаны)

1. Белку с орехами в лапках посадили на гладкий горизонтальный стол и толкнули вдоль него. Приблизившись к краю стола, белка почувствовала опасность. Она знала законы движения Ньютона и, пользуясь одним из них, предотвратила свое падение на пол. Каким образом?

(ответ: выбросила вперед орехи)

2. “Если он не погасил фары, то я не погашу свои”, – так рассуждают некоторые водители. Аналогию с каким законом механики здесь можно провести?

(ответ: с третьим законом Ньютона.Действие равно противодействию)

3. Часто на борту грузовика имеется надпись: “Не уверен – не обгоняй”. Имеет ли эта фраза физический смысл.

7. Комбинированные задачи “Погружение” (1 человек из команды)

1. Автомобиль, массой 6 т проезжает с выключенным мотором до полной остановки 15 м, под действием силы тормозящей 300Н. Сколько времени длилось торможение?

2. Велосипедист, прилагая силу в 5 Н, до полного разгона проезжает путь 50 метров. Какую скорость он имеет в конце пути, если его масса вместе с велосипедом 100 кг?

8. Эрудит (команда)

1. Выехав рано из города на ровное и пустынное шоссе, шофер решил устроить первую остановку ровно через час. Как ему выполнить свое намерение, не глядя на часы? Радиоприемник в машине отсутствует.

(ответ: по спидометру и счетчику пути, то есть шофер должен поддерживать скорость постоянной и дождаться увеличения километража на величину, численно равную этой скорости).

2. “Мировой рекорд” по прыжкам в высоту среди животных принадлежит маленькой южноафриканской антилопе. На какую высоту прыгнет антилопа, если она отталкивается от Земли вверх со скоростью 12 м/с? (ответ: 7,2 м)

3. Установлено, что человек может безопасно для жизни прыгнуть с высоты 2 м. С какой скоростью он достигнет при этом земли? (ответ: 6,3 м/с)

9. Средняя скорость

(задачи барона Мюнхаузена – капитаны)

Когда моя лошадь подворачивает ногу, я взваливаю лошадь на плечо, и мы продолжаем движение, но медленнее: когда я на лошади, мы движемся со скоростью Vi=120 км/ч, а когда лошадь на мне, со скоростью V2=30 км/ч. Чему равна наша средняя скорость, если:

1. Я еду полпути, а потом несу лошадь.

2. Я еду половину времени, а потом несу лошадь?

Тесты 10 класс Вариант I (1 чел.)

10. Основы кинематики

1. Какая единица длины принята основной в Международной системе?

а) 1с; б) 1 мин; в) 1ч; г) 1 сут; д) 1 год

2. Какие из перечисленных ниже величин векторные?

1) скорость 2) ускорение 3) путь

а) только 1; б) только 2; в) только 3; г) 1 и 2; д) 1 и 3; е) 1,2,3

3. В какой из двух задач, приведенных ниже, можно считать шар материальной точкой?

1) измерить время свободного падения шара радиусом I см с высоты 100м.

2) рассчитать архимедову силу, действующую на этот шар, погруженный в воду.

а) только в первой задаче;

б) только во второй задаче;

в) в обеих задачах;

г) ни в первой, ни во второй задачах.

4.По графику, представленному на рисунке, определите скорость движения велосипедиста через 3 с после начала движения.

а) 3 м/с; б) 9 м/с; в) 0; г) 27 м/с; д) среди ответов а - г нет правильного.

Тесты 10 класс Вариант II (1 чел).

Основы кинематики

1. Какая единица длины принята основной в Международной системе?

а) 1 мм; б) 1 см; в) 1м; г) 1км; д) 300000км.

2. Какие из перечисленных ниже величин скалярные:

1) скорость 2) путь 3) перемещение

а) только 1; б) только 2; в) только 3; г) 1 и 2; д) 2 и 3; е) 1,2,3.

3. В какой из двух задач, приведенных ниже, можно рассматривать Землю как материальную точку?

1) рассчитать период обращения Земли вокруг Солнца.

2) рассчитать линейную скорость движения точек поверхности Земли в результате ее суточного вращения.

а) только в первом случае; б) только во втором случае; в) в обоих случаях; г) ни в первом, ни во втором случаях.

4. По графику, представленному на рисунке, определите скорость движения велосипедиста через 2 с после начала движения.

а) 2 м/с; б) 6 м/с; в) 3 м/с; г) 12 м/с; д) среди ответов а – г нет правильного.

11. Подведение итогов урока.

Физика! Какая емкость слова!

Физика – для нас не просто звук.

Физика – опора и основа всех без исключения наук.

12. Домашнее задание.

В одной системе координат постройте по два графика скорости:

1) а) V0x=2 м/с, аx=1,5 м/с²

б) V0x=4 м/с, аx= – 2 м/с²

2) а) V0x=3 м/с, аx=1,5 м/с²

б) V0x=5 м/с, аx= 0 м/с²

Приложение.

Как рассчитать линейность | Sciencing

Способность вычислять линейность (или корреляцию, как ее часто называют) – очень ценный навык. Линейность – это количественная оценка того, насколько сильно связан набор данных. Линейность варьируется от 0 (совсем не связана) до 1 (полностью связана) и дает полезный числовой индикатор, который можно использовать вместе с числовым графиком. Для наших расчетов будет использоваться следующая выборка пар (x, y): x: 2.4, 3.4, 4.6, 3.7, 2.2, 3.3, 4.0, 2.2). Вы получите ответ 0,5124, который мы называем Sy.

Вычисление Sxy

Вычислите x_y, умножив каждое значение x на соответствующее значение y. Ваши значения x_y будут 3,192, 7,208, 8,280, 6,105, 4,400, 5,808, 8,440, 3,423.

Сложите вместе все ваши значения x_y, и вы получите сумму (x_y) = 46,856.

Умножьте сумму (x) на сумму (y), и вы получите ответ 370,08.

Разделите 370,08 на 8 (общее количество пар данных в нашем примере данных).Вы получите ответ 46,26.

Вычтите 46,26 из суммы (x * y) (из шага 2), и вы получите ответ 0,5960, который мы называем Sxy.

Объединяем

Извлеките квадратный корень из Sx, и ответ будет 2,398.

Извлеките квадратный корень из Sy, и ответ будет 0,716.

Умножьте свои ответы из шагов 1 и 2, и вы получите ответ 1,717.

Разделите Sxy на 1,717 (из шага 3), чтобы рассчитать окончательную линейность 0.347. Такой низкий уровень линейности предполагает, что данные слабо связаны и лишь немного линейны.

Формула кинематических уравнений

Кинематика – это исследование движущихся объектов и их взаимосвязей. Есть четыре (4) кинематических уравнения, которые относятся к смещению D, скорости v, времени t и ускорению a.

a) D = v _i t + 1/2 при ² b) (v _i + v _f ) / 2 = D / t

c) a = (v _f – v _i ) / t d) v _f ² = v _i ² + 2aD

D = смещение

a = ускорение

t = время

v _f = конечная скорость

v _i = начальная скорость

Формула кинематических уравнений.

1) Боб едет на велосипеде в магазин со скоростью 4 м / с, когда перед ним выбегает кошка. Он быстро тормозит до полной остановки, с ускорением – 2м / с ² . Какое у него перемещение?

Ответ: Поскольку Боб остановлен, конечная скорость v _f = 0. Его начальная скорость v _i = 4 м / с. Ускорение, a = -2 м / с ² . Время не указано, поэтому используйте уравнение (d) для смещения, D, потому что оно не зависит от времени.

v _f ² = v _i ² + 2aD

(0) ² = (4 м / с) ² +2 (- 2 м / с ² ) D

0 = 16 м ² / с ² + (- 4 м / с ² ) D

-16 м ² / с ² = (- 4 м / с ² ) D

16 м ² / с ² = 4 м / с ² ) D

(16 м ² / с ² ) / (4 м / с ² ) = D

Водоизмещение полное 4 м.

2) Вы путешествуете с постоянной скоростью 11 м / с в течение 5 минут. Как далеко вы уехали?

Ответ: При постоянной скорости v _i = v _f = 11 м / с. Время t = 5 мин или t = (60 сек / мин x 5 мин) = 300 сек. Теперь используйте уравнение (b), чтобы найти смещение D.

(v _i + v _f ) / 2 = D / t

D = [(v _i + v _f ) / 2] t

D = [(11 м / с + 11 м / с) / 2] x 300 с

D = (22 м / с) / 2 x 300 с

D = 11 м / с x 300 с

D = 3300 м. Водоизмещение полное 3,300 м.

3) Каково ускорение автомобиля, который разгоняется с 11 до 40 м / с за 10 секунд?

Ответ: V _i = 11 м / с. V _f = 40 м / с. Время, t = 10 с. Используйте кинематическое уравнение c), чтобы найти ускорение.

a = (v _f – v _i ) / t

a = (40 м / с – 11 м / с) / 10 с

a = (29 м / с) / 10 с = 2,9 м / с ²

4) Если автомобиль разгоняется на 3.0 м / с ² от полной остановки, сколько времени потребуется, чтобы проехать 3000 м?

Ответ: Ускорение a = 2,9 м / с ² и перемещение D = 3000 м. Автомобиль был неподвижен, поэтому v _i = 0. Используйте уравнение a), чтобы найти время.

D = v _i t + 1/2 при ²

3000 м = 0т + 1/2 (3,0 м / с ² ) т ²

3000 м = 1/2 (3,0 м / с ² ) / т ²

3000 м / 1.5 м / с ² = t ²

2000 с ² = t ²

t = 44,72 с

Учебное пособие по линейной регрессии в Excel

(См. Нашу страницу руководства для получения дополнительной информации о методы линейной регрессии. Вы также можете посмотреть, как мы проанализировали фактические экспериментальные данные с использованием методов линейной регрессии.)

Пример данных.

Допустим, у нас есть набор данных, , показано слева. Если у нас есть основания полагать, что существует линейная зависимость между переменными x и y , мы можем построить данные и провести по ним «наиболее подходящую» прямую . Конечно, это соотношение регулируется знакомым уравнением . Затем мы можем найти угол наклона , м, , и , пересечение по оси Y, b , для данных, которые показаны на рисунке ниже.

Введите свои данные, как мы это делали в столбцах B и C. Причина этого строго косметический, как вы скоро увидите.

Уравнения линейной регрессии.

Если мы ожидаем, что набор данных будет иметь линейную корреляцию, нам не нужно строить данные , чтобы определить постоянные м (уклон) и b (точка пересечения оси y) из уравнение .Вместо этого мы можем применить статистический лечение, известное как линейная регрессия к данным и определите эти константы.

Учитывая набор данных с n точками данных, наклоном, пересечением по оси y и коэффициентом корреляции, r , можно определить с помощью следующего:

Неявное применение регрессии к выборке данных.

Может показаться, что приведенные выше уравнения довольно сложны, однако при осмотре мы видим, что их компоненты – не что иное, как простые алгебраические манипуляции с необработанные данные. Мы можем расширить нашу электронную таблицу, включив в нее эти компоненты.

1. Сначала добавьте три столбца, которые будут использоваться для определения количества xy , x ² и y ² , для каждой точки данных.
2. Далее используйте Excel, чтобы оценить следующее: Sx , Sy , S (ху) , S (х ² ) , S (y ² ) , (Sx) ² , (Sy) ² . Напомним, что символ S означает «суммирование». Кроме того, термин xy является произведением x и y , то есть: x * y .Также термин S (x ² ) сильно отличается от термина (Sx) ² . Будьте осторожны с вашим заказом операций!
3. Теперь используйте Excel для подсчета количества точек данных, n . (Сделать это, используйте функцию Excel COUNT (). Синтаксис COUNT () в этом примере: = СЧЁТ (B3: B8) и отображается в строке формул на снимке экрана ниже.
4. Наконец, используйте указанные выше компоненты и уравнения линейной регрессии. данные в предыдущем разделе для расчета наклон (м) , пересечение оси y (b) и коэффициент корреляции (r) данных.Если вы будете осторожны, ваш таблица должна выглядеть как наша. Обратите внимание, что наши уравнения для наклона, Y-точка пересечения и коэффициент корреляции выделены желтым цветом.

Линейная регрессия со встроенными функциями.

Очевидно, что вычисленные значения наклона и точки пересечения по оси Y с использованием методов линейной регрессии идентичны значениям более знакомая линия тренда из графика в первом разделе; а именно т = 0.5842 и b = 1,6842. Кроме того, Excel можно использовать для отображения значения R-квадрат. Опять таки, ² = ² . Из графика видим, что R ² = 0,9488. Из нашего анализа линейной регрессии мы находим, что r = 0,9741, поэтому r ² = 0,9488, что согласуется с графиком.

Теперь вы должны увидеть, что график Excel программа использует линейную регрессию для вычисления наклона, точки пересечения по оси Y и корреляции коэффициент.

В Excel есть три встроенные функции, позволяющие использовать третий метод определения значения наклона, точки пересечения по оси Y, коэффициента корреляции и R-квадрата набора данных. Функции являются SLOPE (), INTERCEPT (), CORREL () и RSQ (), а также рассматриваются в разделе статистики этого руководства.

Синтаксис для каждого следующий:

• Уклон, м: = НАКЛОН (известные_y, известные_x)
• Y-пересечение, b: = ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (известные_y, известные_x)
• Коэффициент корреляции, r: = КОРРЕЛЬ (известные_y, известные_x)
• R-квадрат, r ² : = RSQ (известные_y, известные_x)

Вот как мы будем анализировать наши данные с помощью этих встроенных функций Excel.Опять таки, уравнения для каждого расчета выделены желтым цветом.

Итак, повторюсь, мы можем определить наклон, точку пересечения по оси y и коэффициент корреляции любого набора данных с помощью трех методов Excel:

1. Постройте данные и добавьте линию тренда
2. Неявно использовать методы линейной регрессии
3. Используйте встроенные функции Excel

Если у вас есть вопрос или комментарий, отправьте электронное письмо по адресу .

E = mc2 Calculator

Вы можете поспорить, что любой, кого вы встретите, хотя бы слышал об этом знаменитом уравнении. Вы, наверное, уже сто раз сталкивались с этим. Но что на самом деле означает E равняется mc в квадрате ? Что такое загадочный принцип эквивалентности массы и энергии? При чем здесь Эйнштейн? Продолжайте читать, чтобы узнать!

Теория относительности Эйнштейна

В 1905 году Альберт Эйнштейн предложил теорию, согласно которой масса и энергия эквивалентны.Это означало, что закон сохранения энергии (он гласит, что сумма потенциальной энергии и кинетической энергии тела постоянна) и закон сохранения массы на самом деле одно и то же. Кроме того, Эйнштейн заявил, что даже частица в состоянии покоя обладает некоторой энергией, называемой энергией покоя.

Формула эквивалентности энергии массы

Хорошо, вы, наверное, знаете, что:

Но что именно обозначают буквы в этом знаменитом уравнении?

• м – это просто масса объекта.

• c – это скорость света – постоянное значение 299 792 458 м / с.

• E – энергия покоя объекта.

Последствия E = mc2

Если задуматься, последствия формулировки уравнения E = mc² были поразительными. Эйнштейн предложил мир, в котором масса – это просто энергия, ожидающая «освобождения». И не просто энергия – ее огромное количество.

Средний вес взрослого человека 62 кг. Такой человек, согласно Эйнштейну, имеет энергию покоя 5,6 × 10 12 мегаджоулей (МДж). Вы можете проверить это с помощью нашего калькулятора E mc2. Для сравнения: бомба, сброшенная на Нагасаки, имела энергию 8,4 × 10 7 МДж. По сути, если вам удастся взорвать и освободить всю свою энергию покоя (что еще не достижимо … пока), вы вызовете те же разрушения, что и более 66 000 ядерных бомб.Сказать, что это много, – определенно ничего не сказать.

Эта формула была спасением для всех, кто пытался понять, как устроена Вселенная. Это объяснило, почему радиоактивные материалы не «плавятся», испуская потоки частиц (это из-за чрезвычайной эффективности преобразования массы в энергию). Это также объяснило, почему у звезд не заканчивается водород, их основное топливо, в течение миллиардов лет. Внезапно возраст Вселенной оказался более достоверным.

Энергия из длины волны Пример задачи

Этот пример задачи демонстрирует, как найти энергию фотона по его длине волны.Для этого вам нужно использовать волновое уравнение, чтобы связать длину волны с частотой, и уравнение Планка, чтобы найти энергию. Этот тип задач является хорошей практикой при перестановке уравнений, использовании правильных единиц и отслеживании значащих цифр.

Ключевые выводы: найти энергию фотона по длине волны

• Энергия фотографии зависит от ее частоты и длины волны. Она прямо пропорциональна частоте и обратно пропорциональна длине волны.
• Чтобы найти энергию по длине волны, используйте волновое уравнение, чтобы получить частоту, а затем вставьте его в уравнение Планка, чтобы найти энергию.
• Задачи этого типа, хотя и простые, являются хорошим способом попрактиковаться в перестановке и объединении уравнений (важный навык в физике и химии).
• Также важно сообщать окончательные значения, используя правильное количество значащих цифр.

Энергия из проблемы длины волны – Энергия лазерного луча

Красный свет гелий-неонового лазера имеет длину волны 633 нм. Что такое энергия одного фотона?

Для решения этой проблемы вам нужно использовать два уравнения:

Первое – это уравнение Планка, которое было предложено Максом Планком для описания того, как энергия передается в квантах или пакетах.Уравнение Планка позволяет понять излучение абсолютно черного тела и фотоэлектрический эффект. Уравнение:

E = hν

где
E = энергия
h = постоянная Планка = 6,626 x 10 ^-34 Дж · с
ν = частота

Второе уравнение – это волновое уравнение, которое описывает скорость света через длину волны и частоту. Вы используете это уравнение, чтобы найти частоту для включения в первое уравнение. Волновое уравнение:
c = λν

где
c = скорость света = 3 x 10 ⁸ м / сек
λ = длина волны
ν = частота

Перепишите уравнение для определения частоты:
ν = c / λ

Затем замените частоту в первом уравнении на c / λ, чтобы получить формулу, которую вы можете использовать:
E = hν
E = hc / λ

Другими словами, энергия фотографии прямо пропорциональна его частоте и обратно пропорциональна длине волны.

Осталось только подставить значения и получить ответ:
E = 6,626 x 10 ^-34 Дж · сек 3 x 10 ⁸ м / сек / (633 нм x 10 ^-9 м / 1 нм )
E = 1,988 x 10 ^-25 Дж · м / 6,33 x 10 ^-7 м E = 3,14 x ^-19 Дж
Ответ:
Энергия одиночного фотона красного света от гелия. -неоновый лазер 3,14 x ^-19 Дж.

Энергия одного моля фотонов

В то время как первый пример показал, как найти энергию одиночного фотона, тот же метод можно использовать для определения энергии моля фотонов.По сути, вам нужно найти энергию одного фотона и умножить ее на число Авогадро.

Источник света излучает излучение с длиной волны 500,0 нм. Найдите энергию одного моля фотонов этого излучения. Выразите ответ в кДж.

Обычно требуется выполнить преобразование единиц измерения длины волны, чтобы заставить его работать в уравнении. Сначала преобразуйте нм в м. Nano- это 10 ^-9 , поэтому все, что вам нужно сделать, это переместить десятичный разряд на 9 точек или разделить на 10 ⁹ .

500.0 нм = 500.0 x 10 ^-9 м = 5.000 x 10 ^-7 м

Последнее значение – это длина волны, выраженная в экспоненциальном представлении и правильном количестве значащих цифр.

Вспомните, как уравнение Планка и волновое уравнение были объединены, чтобы дать:

E = hc / λ

E = (6,626 x 10 ^-34 Дж · с) (3.000 x 10 ⁸ м / с) / (5.000 x 10 ^-17 м)
E = 3,9756 x 10 ^-19 Дж

Однако это энергия одиночного фотона.Умножьте значение на число Авогадро для энергии моля фотонов:

энергия моля фотонов = (энергия одиночного фотона) x (число Авогадро)

энергия моля фотонов = (3,9756 x 10 ^-19 Дж) (6,022 x 10 ²³ моль ^-1 ) [подсказка: умножьте десятичные числа, а затем вычтите показатель знаменателя из показателя числителя, чтобы получить степень 10)

энергия = 2,394 x 10 ⁵ Дж / моль

на один моль энергия равна 2.394 х 10 ⁵ Дж

Обратите внимание, как значение сохраняет правильное количество значащих цифр. Для окончательного ответа его еще нужно преобразовать из Дж в кДж:

энергия = (2,394 x 10 ⁵ Дж) (1 кДж / 1000 Дж)
энергия = 2,394 x 10 ² кДж или 239,4 кДж

Помните, что если вам нужно выполнить дополнительные преобразования единиц, следите за своими значащими цифрами.

Источники

• Френч, А.П., Тейлор, Э.Ф. (1978). Введение в квантовую физику . Ван Ностранд Рейнхольд. Лондон. ISBN 0-442-30770-5.
• Гриффитс, Д.Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл. Верхняя река Сэдл, штат Нью-Джерси. ISBN 0-13-124405-1.
• Landsberg, P.T. (1978). Термодинамика и статистическая механика . Издательство Оксфордского университета. Оксфорд, Великобритания. ISBN 0-19-851142-6.

Калькулятор потенциального магнитного поля для приложений физики Солнца с использованием шахматной сетки

Калькулятор потенциального магнитного поля для приложений физики Солнца с использованием шахматной сетки

Каллум М.Букок и Давид Циклаури

Школа физики и астрономии Лондонского университета королевы Марии, здание G.O. Jones, 327 Mile End Road, London E1 4NS, UK
электронная почта: [email protected]

Поступило: 19 Ноябрь 2018 г.
Принято: 18 маршировать 2019 г.

Аннотация

Программа была разработана для точной генерации потенциального магнитного поля на шахматной сетке путем экстраполяции магнитного поля, нормального к фотосферной поверхности.Программа сначала вычисляет магнитный потенциал, используя метод функции Грина, а затем использует схему конечных разностей для вычисления магнитного поля из потенциала. Была получена новая формула конечных разностей, учитывающая смещение сетки; показано, что эта формула дает численное приближение, наиболее близкое к реальному потенциальному полю. Также показано, что расширение области, в которой задается нормальное фотосферное поле, может повысить точность создаваемого потенциального поля.Программа представляет собой код FORTRAN 90, который можно использовать для генерации входных сигналов потенциального магнитного поля для Lare3d и других МГД-решателей, которые используют шахматную сетку для компонентов магнитного поля. Программа может быть распараллелена для быстрой работы на нескольких вычислительных ядрах. Код и вспомогательное описание приведены в приложениях.

Ключевые слова: Солнце: магнитные поля / методы: численная / магнитогидродинамика (МГД)

© ESO 2019

1. Введение

Проблема нагрева короны, вопрос о том, почему корона Солнца намного горячее (~ 1 МК), чем фотосфера (~ 6000 К), является постоянной проблемой в физике Солнца.Исследователи согласны с тем, что энергия переносится в корону за счет нетеплового переноса энергии через магнитное поле Солнца (Arregui 2015), хотя доминирующий механизм нагрева короны обсуждается (Parnell & De Moortel 2012). Вычислительные трехмерные магнитогидродинамические (МГД) модели часто используются для решения проблемы нагрева короны (Климчук, 2015).

Вычислительные модели МГД требуют задания начального магнитного поля. Для многих проблем, в первую очередь тех, которые касаются МГД-волн, полезно иметь статическое равновесие, на которое можно воздействовать возмущениями скорости и магнитных полей (Goossens 2003).В случае статического равновесия вектор скорости v и его производная по времени ∂ v / ∂ t должны равняться нулю.

Аналитические выражения существуют для ряда структур, которые описывают магнитостатические равновесия как в 2D, так и в 3D, например (Смит и др., 2007; Петрухин и др., 2018; Оливер и др., 1998; Куперман и др., 1989; Гент и др., 2013). ). Для более детальных магнитных структур нам нужна информация из наблюдений за Солнцем. Карты прямой видимости и векторные магнитограммы от фотосферы могут быть измерены с помощью спектрополяриметрических методов, таких как эффект Зеемана, т.е.е. расщепление спектральных линий в присутствии магнитного поля (Beckers 1971). Однако гораздо труднее напрямую измерить магнитное поле в солнечной короне (Руан и др., 2008). К счастью, фотосферное магнитное поле можно использовать для восстановления коронального поля путем экстраполяции. Экстраполяция фотосферного магнитного поля в настоящее время является основным инструментом моделирования корональных магнитных полей (Tadesse et al. 2014).

Существует множество методов экстраполяции структуры магнитного поля из измерений поверхности.Обычно используемые методы основываются на различных предположениях (Neukirch 2005). Чаще всего пренебрегают немагнитными силами, такими как градиенты давления и гравитация; это хорошо оправдано в солнечной короне из-за низкого бета-излучения плазмы (Wiegelmann, 2008) и с учетом масштабов, меньших, чем гидростатический масштаб высоты (Peter et al. 2015). Для магнитостатического равновесия магнитная сила Лоренца должна быть равна нулю Дж × B = 0. Это определяет бессиловое поле (Wiegelmann & Sakurai 2012).Другой способ выразить это условие дается ниже в формуле. (1) где α может быть либо нулем, либо константой, либо переменной, постоянной вдоль силовых линий. Эти случаи соответствуют потенциальному, линейному и нелинейному бессиловым полям соответственно (Aschwanden 2004). Это выражение записывается как

(1)

Различные методы экстраполяции используются для восстановления потенциальных полей, линейных бессиловых полей (Gary 1989) и нелинейных бессиловых полей (Wiegelmann 2008).Существуют также методы экстраполяции для восстановления несиловых полей, хотя они могут потребовать дополнительных данных (Wiegelmann 2004). Более того, некоторые из этих методов могут быть расширены от декартовых до сферических координат, так что солнечное корональное поле можно рассчитать глобально (Wiegelmann 2007; Wiegelmann et al. 2007).

В частном случае потенциального бессилового поля существует нулевой ток Дж = × B = 0. Поле называется потенциальным магнитным полем, потому что магнитное поле может быть выражено через скалярный потенциал B = ∇ ϕ .Потенциальные магнитные поля полезны, потому что их можно использовать, например, в качестве начальной топологии для МГД-моделирования (Gudiksen & Nordlund 2005; Masson et al. 2009; Bingert & Peter 2011, 2013; Bourdin et al. 2013) для изучения МГД-волн. явлений (Thackray & Jain 2017; Ofman & Selwa 2008; Smith et al. 2007; Petrukhin et al. 2018), чтобы внедрить непотенциальные поля (Browning et al. 2008) или создать несиловые МГД-равновесия ( Гордовский и др. 2014; Соланки и Штайнер 1990; Хоменко и Колладос 2006; Пиццо 1986; Вигельманн и Нойкирх 2006; Иноуэ 2016; Иноуэ и др.2013).

Чтобы вычислить потенциальное магнитное поле из нормального магнитного поля B _n в фотосфере, можно использовать множество методов, таких как разложение Фурье, разложения по сферическим гармоникам и функция Грина. Сравнение метода Фурье и метода функций Грина проведено Сакураи (1982). Экстраполированные поля требуют, чтобы граничные условия для экстраполяции соответствовали условиям МГД-моделирования (Отто и др., 2007).

В этой работе мы рассматриваем метод функции Грина, который использует дискретную аппроксимацию для B _n в пределах каждой сетки.Этот метод лучше подходит для рассмотрения непериодических изолированных магнитных областей, но имеет недостаток, заключающийся в предположении, что B _n = 0 за пределами интересующей области. Этот метод был впервые использован Шмидтом (1964), позже был разработан Семелом (1967) для наклонных фотосферных данных, а затем адаптирован Сакураи, который скорректировал метод для практических приложений на конечной числовой сетке (Сакураи, 1982).

В этой статье описан калькулятор потенциального поля, основанный на модифицированном методе функции Грина.Целью данной статьи является демонстрация улучшенного метода конечных разностей, подходящего для решателя МГД, использующего шахматное магнитное поле. Это также демонстрирует, что за счет увеличения объема входных данных относительно вычислительной области можно уменьшить ошибки, связанные с предположением B _n = 0 за пределами интересующей области.

Объясняются различные методы численного дифференцирования, которые рассматривались для вычислителя потенциального поля, и сравниваются с наиболее точными методами, выбранными для окончательной реализации.Калькулятор был разработан для создания начальных входных значений магнитного поля для Lare3d (Arber et al. 2001), но работает с любым решателем MHD, который использует шахматные сетки для компонентов магнитного поля.

2. Метод функции Грина

Принимая Дж = × B = 0 в качестве начального условия, закон магнетизма Гаусса может быть выражен как уравнение Лапласа для магнитного потенциала (Ашванден, 2004).

(2)

Решая уравнение Лапласа для скалярного потенциала ϕ , можно вычислить потенциальное магнитное поле B , которое приводит к статическому равновесию.Рассмотрим трехмерную область с вертикальной координатой z и границей фотосфер на z = 0. Обозначим магнитное поле, нормальное к границе фотосферы, как B _z ( x , y , z ), а нормальное поле на границе фотосферы тогда будет B _{z 0} ( x , y ) = B _z ( x , y , 0 ).

Уравнение Лапласа с фотосферным граничным условием B _{z 0} = ∂ ϕ / ∂ z может быть решено численно на дискретной сетке точек ( i , j , k ) с разделением сетки d , используя модифицированный метод функции Грина, приведенный ниже в формуле.(3) (Sakurai 1982), т.е.

(3)

, где i ₁ и j ₁ – фиктивные переменные, используемые для суммирования вкладов от каждой точки фотосферы. Нормальное магнитное поле вносит вклад в потенциал посредством дискретной аппроксимации функции Грина. В силу выбранной функции Грина потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям при z = 0 и r → ∞ следующим образом:

(4)

Этот конкретный выбор функции Грина представляет «подводный магнитный источник» на глубине под каждой точкой сетки на z = 0.Этот выбор функции Грина вызывает небольшое неудобство, поскольку вычисленное нормальное магнитное поле не совсем соответствует исходному нормальному полю при z = 0. Хотя есть и другие возможные варианты, которые дают более точное совпадение, один из которых описан. в Sakurai (1982) эта конкретная функция Грина была выбрана для удобства вычислений, потому что в этой статье основное внимание уделяется не выбору функции Грина, а, скорее, методу конечных разностей, используемому для дифференцирования магнитного потенциала.

После определения магнитного потенциала в каждой точке сетки компоненты магнитного поля могут быть вычислены как производные от магнитного потенциала,

(5)

Если для дифференцирования магнитного потенциала используется схема конечных разностей, то потенциал необходимо рассчитывать в дополнительных «фантомных» ячейках на границах домена. Количество дополнительных ячеек зависит от порядка разностной схемы. Призрачные ячейки также требуются во входных данных для Lare3d, как описано в Разд.3.

Поскольку потенциал должен быть рассчитан в ячейках-призраках, потенциал магнитного источника, представленный функцией Грина, также должен быть расположен под этими ячейками и вне области. Это может быть сделано либо путем увеличения индексов в направлении z так, чтобы фантомные ячейки поднимались над источником магнитного поля, либо путем изменения уравнения. 3) эффективно опустить магнитный источник на необходимое количество ячеек.

В любом случае общий эффект состоит в том, чтобы рассматривать самую низкую фантомную ячейку как новую позицию исходного нормального поля.Магнитное поле, рассматриваемое в МГД-решателе, затем смещается вверх от фотосферы на длину дополнительных фантомных ячеек. Хотя эта неточность в положении неудобна, и есть способы избежать этого, например, вручную исправить граничные условия в Lare3d или не дифференцировать для определения магнитного поля в двух нижних слоях, мы решили внести эту модификацию на основании того, что любая ручная фиксация граничных условий влияет на равновесие потенциального поля способами, которые не зависят от исследуемых методов конечной разности.Таким образом, модифицированный метод функции Грина, используемый в этой статье, представляет собой небольшую модификацию уравнения (3), который погружает магнитный источник, представленный функцией Грина, на дополнительные n ячеек, где n – максимальное необходимое количество фантомных ячеек, т. Е.

(6)

3. Сетка в шахматном порядке

Расчетная область в Lare3d имеет размер ( nx , ny , nz ), однако магнитное поле определяется на шахматной сетке, так что компоненты магнитного поля расположены в центрах граней каждой ячейки.Например, значения B _x смещены от центра ячейки на половину ячейки в направлении x , как показано на рисунке 1, и аналогично для B _y и B _z в направлениях y и z соответственно. Таким образом, компоненты магнитного поля располагаются в шахматном порядке, чтобы сохранить соленоидальное свойство магнитного поля ∇ ⋅ B = 0, поскольку оно определяется уравнением индукции (Balsara & Kim 2004).Смещение сетки изменяет положение, в котором компоненты магнитного поля должны быть указаны по отношению к магнитному потенциалу. Из-за шахматной сетки размеры B _x , B _y и B _z в вычислительной области записываются как

(7)

Числовая сетка, на которой должно быть задано начальное магнитное поле в Lare3d, однако, больше. Это связано с тем, что Lare3d имеет второй порядок точности в пространстве и, следовательно, требует двух фантомных ячеек на каждой границе. Значения B _x , B _y и B _z , которые должны быть указаны в начальном магнитном поле, поэтому записываются как

(8)

4.Методика сравнения

Чтобы сравнить эффекты различных методов численного дифференцирования и протяженность области, в которой задано нормальное фотосферное поле, нам необходимо создать и сравнить различные потенциальные поля. Наша цель – максимизировать точность калькулятора потенциального поля. Потенциальное магнитное поле должно быть обесточенным, не должно вызывать движения в статической плазме и не должно эволюционировать со временем.

4.1. Тестовые примеры

Для этого исследования мы использовали два аналитически определенных тестовых случая.Первый тестовый случай представляет собой область, содержащую бипольную петлю, а второй – область, содержащую униполярное магнитное поле. Для обоих тестовых случаев магнитные поля рассчитываются для области размером nx = ny = nz = 200 с шагом сетки d = 0,01. Определяя расширение нашей области как [−1: 1, −1: 1,0: 2] с его началом в (0,0,0), тестовые случаи могут быть определены в терминах входного магнитного поля B _{z 0} следующим образом:

Контрольный пример 1 .Формула для бипольной петли определяется путем взятия аналитического выражения для бессилового бипольного поля, приведенного в Cuperman et al. (1989). Мы берем текущую бесплатную версию этих уравнений и устанавливаем координаты магнитных полюсов равными ( x ₀₁ , y ₀₁ , z ₀₁ ) = (−0,5, 0, −1) и ( x ₀₂ , y ₀₂ , z ₀₂ ) = (0,5, 0, −1). Наконец, мы берем компонент B _z и устанавливаем z = 0, чтобы получить

(9)

Контрольный пример 2 .Формула для униполярного магнитного поля определяется исходя из предположения, что сила нормального магнитного поля B _z спадает как гауссово по мере удаления от источника магнитного поля. Мы принимаем положение источника магнитного источника в начале координат на единицу расстояния ниже фотосферы, чтобы получить

(10)

Потенциальные поля, создаваемые этими тестовыми примерами, представлены диаграммами силовых линий на рис. 2 и 3; затенение у основания доменов на этих изображениях представляет силу и направление магнитного поля в фотосфере.

4.2. Метрики

Для анализа магнитных полей, создаваемых калькулятором потенциального поля, мы импортируем каждое поле в MHD-решатель Lare3d и измеряем ток в домене.

Затем мы установили начальную скорость на ноль, начальное давление на постоянное значение P = 5 × 10 ⁻⁹ и удельное сопротивление на η = 5 × 10 ⁻⁵ . Мы установили γ = 5/3, чтобы жидкость была адиабатической, и установили ударную вязкость ν ₁ = 0.1 и ν ₂ = 0,5. Мы устанавливаем граничные условия так, чтобы скорость и магнитное поле имели фиксированные значения на границах.

Затем мы позволяем моделированию развиваться для 100 τ _A , где τ _A – время Альвена. Количество требуемых временных шагов варьируется, поскольку Lare3d использует ограниченный временной интервал CFL на каждой итерации. Это не является фазой релаксации, а скорее проверкой того, насколько стабильна конфигурация потенциального поля с течением времени.Наконец, мы измеряем ток, скорость и разницу между конечным и начальным магнитными полями в домене.

Метрики, используемые для анализа эффективности каждого метода, приведены ниже. Чем ближе эти значения к нулю, тем ближе поле к потенциальному полю и тем ближе наше равновесие к статическому равновесию. Средние плотности тока – это среднее значение плотности тока Дж, по всем точкам сетки. Эти показатели включают

MAJ ₀ : максимальная абсолютная плотность тока в нулевой момент времени.

J _avg0 : Средняя абсолютная плотность тока в нулевой момент времени.

MAJ _f : максимальная абсолютная плотность тока после 100 τ _A .

J _{avg f} : Средняя абсолютная плотность тока после 100 τ _A .

MAV: максимальная абсолютная скорость после 100 τ _A .

Δ B _max : максимальная разница между начальным и конечным магнитными полями.

5. Дифференциация магнитного потенциала

5.1. Метод

Чтобы вычислить компоненты магнитного поля в нашей области, нам нужно дифференцировать потенциал магнитного поля в соответствии с формулой. (5). Эффект смещения сетки заключается в том, что составляющая магнитного поля в определенном направлении должна вычисляться на краях ячейки в этом направлении, а не в центре ячейки. Однако магнитный потенциал ϕ рассчитывается в центрах ячеек.Это показано на рис. 1.

В этом разделе представлены три метода численного дифференцирования, каждый из которых по-своему учитывает это расхождение. Расчет B _x ( i , j , k ) взят в качестве примера. Индексы j и k считаются фиксированными, а B _x ( i , j , k ) обозначается просто как.

Метод А . В этом методе используется формула центральной разности порядка 𝒪 ( d ⁴ ) без учета смещения сетки. Магнитное поле, рассчитанное по методу А, обозначено как. Формула, используемая для расчета, приведена в формуле. (11) ниже. Этот метод требует дополнительных четырех фантомных ячеек в каждом направлении, т. Е.

(11)

Метод B . В этом методе смещение сетки учитывается путем вычисления компонентов магнитного поля в центрах ячеек с использованием метода A и последующего усреднения этих значений для получения компонентов магнитного поля на краях ячейки.Магнитное поле, рассчитанное по методу B , обозначено как. Формула, используемая для расчета, приведена в формуле. (12) ниже. Этот метод требует дополнительных пяти ячеек-призраков в каждом направлении, т. Е.

(12)

Метод C . В этом методе смещение сетки учитывается путем расчета составляющих магнитного поля с использованием другой формулы центральной разности. Полный вывод этой формулы приведен в Приложении A. Магнитное поле, рассчитанное с использованием метода C, обозначено как.Формула, используемая для расчета, приведена в формуле. (13) ниже. Этот метод требует дополнительных трех призрачных ячеек в каждом направлении, то есть

(13)

5.2. Результатов

Для каждого метода дифференцирования мы сгенерировали потенциальное поле для каждого тестового примера. Потенциальные поля были сгенерированы из входных полей B _{z 0} , определенных на основе нашей расчетной области. Мы проанализировали и сравнили потенциальные генерируемые поля, и результаты нашего анализа представлены в таблицах 1 и 2.

Значение каждой метрики для метода A, метода B и метода C численного дифференцирования для контрольного примера 1.

Значение каждой метрики для метода A, метода B и метода C численного дифференцирования для контрольного примера 2.

Для Контрольного примера 1 потенциальное поле, созданное с использованием метода 1, не было доведено до 100 τ _A . Токи, присутствующие в начальном магнитном поле, вызвали увеличение v , что значительно уменьшило ρ в некоторых частях домена.Это привело к значительному сокращению ограниченного временного шага CFL по мере продвижения моделирования, что привело к невероятно длительному времени выполнения моделирования, равному 100 τ _A ; вместо этого приведены значения для 50 τ _A .

Из таблиц 1 и 2 мы видим, что генерируемое магнитное поле наиболее близко к потенциальному полю при использовании метода C. Хотя разница между использованием методов B и C может быть незначительной, метод C является наиболее точным методом численного дифференцирования.Кроме того, метод C имеет преимущество в том, что он более эффективен с точки зрения вычислений, поскольку он не требует усреднения после первоначального дифференцирования и требует наименьшего количества дополнительных фантомных ячеек для вычисления потенциала. Поэтому метод C был выбран в качестве предпочтительного варианта для нашего потенциального калькулятора.

6. Размер области ввода для

6.1. Метод

Теперь рассмотрим размер области ввода, то есть области на границе фотосфер, над которой задано поле ввода B _{z 0} .Размер вычислительной области для ϕ обозначен как ( Nx , Ny , Nz ), а размер входной области для B _{z 0} обозначен как ( Nx ₁ , Нью-Йорк ₂ ). До сих пор поле ввода B _{z 0} было определено только на основе нашей вычислительной области. Другими словами ( Nx ₁ , Ny ₂ ) было установлено точно равным ( Nx , Ny ).Однако поле ввода B _{z 0} может быть определено для большей области.

Мотивом для расширения нашей области ввода является то, что текущее значение J в наших предыдущих потенциальных полях было сконцентрировано на границах x / y . Причину этого можно увидеть на рис. 6; на этих границах резко меняется градиент напряженности магнитного поля. Расширяя область ввода, мы пытаемся уменьшить влияние этого изменения градиента и уменьшить ток на границах.Рассматриваем два варианта размера входной области:

Стандартная область ввода – ( Nx ₁ , Ny ₂ ) установлена ​​равной точно ( Nx , Ny ), а центры области ввода и вычислительной области выровнены. Затем входные данные покрывают точно такую ​​же область фотосферы, что и расчетная область для ϕ . Это показано на рис. 4.

Расширенная область ввода – ( Nx ₁ , Ny ₂ ) установлена ​​равной (3 Nx , 3 Ny ), а центры области ввода и вычислительной области выровнены.Тогда входные данные покрывают гораздо большую область фотосферы, чем расчетная область для ϕ . Это показано на рис. 5.

6.2. Результатов

Для каждого тестового примера мы создаем потенциальные поля, используя как стандартные, так и расширенные области ввода. Мы использовали формулу. (6) для расчета нашего магнитного потенциала ϕ и Метод C для выполнения численного дифференцирования. Каждое сгенерированное потенциальное поле прогонялось в Lare3d для 100 τ _A перед анализом и сравнением. Результаты нашего анализа представлены в таблицах 3 и 4.Мы можем видеть, что магнитное поле, создаваемое с использованием большей области ввода, ближе к потенциальному полю. Кроме того, как видно из рис. 6 и 7, что использование большей области ввода создает более гладкие магнитные поля на границах.

Значение каждой метрики с использованием стандартных и расширенных областей ввода для тестового примера 1.

Значение каждой метрики с использованием стандартных и расширенных областей ввода для тестового примера 2.

Стоит отметить, что из-за характера используемого метода функции Грина вычислитель потенциала ожидает, что значение B _{z 0} будет равно нулю за пределами области ввода. Если за пределами области ввода ожидаются значительные магнитные поля, то точность вычислителя можно повысить, увеличив размер области ввода; однако существует компромисс между точностью и временем вычисления, помимо которого могут быть доступны ограниченные фотосферные данные.

7. Сравнение с аналитической бипольной петлей

7.1. Метод

в разд. 5.1 мы определили оптимальный метод численного дифференцирования (метод C) и в разд. 6.1 мы видели, что использование расширенной области ввода создает поля, которые ближе к решению потенциального поля. Теперь мы сравним решение для потенциального поля, вычисленное с этими улучшениями, с аналитическим решением для того же потенциального поля.

Используя выбранный нами метод дифференцирования и расширенную область ввода, мы применяем наш метод Грина для экстраполяции, как подробно описано в Разд.3, чтобы рассчитать потенциальное поле. Это поле создается с использованием нормального фотосферного поля для бипольной петли, указанного как Контрольный пример 1 в Разд. 4. Мы сравниваем это полевое решение с аналитическим решением для потенциального бипольного поля, данным Куперманом и др. (1989), который имеет такое же нормальное магнитное поле в фотосфере. Это дает

(14)

, где R _j – это расстояния от каждого магнитного полюса для j = 1, 2, расположенных в ( x ₀₁ , y ₀₁ , z ₀₁ ) = (-0.5, 0, −1) и ( x ₀₂ , y ₀₂ , z ₀₂ ) = (0,5, 0, −1).

7.2. Результатов

Магнитное поле, создаваемое нашим вычислителем потенциала, и потенциальное поле, определяемое уравнением. (14) были запущены в Lare3d и проанализированы так же, как и для предыдущих магнитных полей. Это было сделано для сравнения как начальных магнитных полей, так и эволюции этих полей после 100 τ _A времени моделирования в Lare3d.

Результаты этого анализа приведены в таблице 5. Токи, присутствующие в аналитическом поле, можно объяснить численной диффузией. Числовая диффузия вызвана центральной разностной схемой, используемой для расчета токов в Lare3d. Ошибка усечения или центральная разностная схема, используемая для расчета токов, имеет порядок 𝒪 ( d ² ), где h – шаг сетки. Действительно, мы можем видеть, что максимальный ток в этом решении также имеет порядок 𝒪 ( d ² ) с шагом сетки d = 0.01.

Значение каждой метрики для аналитических и численно вычисленных потенциальных полей, используемых для Контрольного примера 1.

Эти результаты показывают, что токи в численном решении, вычисленные с помощью калькулятора потенциала, аналогичны и немного меньше, чем токи для аналитического решения. Таким образом, мы можем сказать, что для этого примера численное решение поля нашего потенциального калькулятора является правильным с точностью до числовой диффузии сетки моделирования.

8.Данные солнечной магнитограммы

8.1. Метод

Определив предпочтительную методологию для нашего потенциального калькулятора и сравнив ее с аналитическим решением, мы завершаем наш анализ рассмотрением магнитного поля, созданного на основе данных солнечной магнитограммы. Используемые данные были взяты из данных магнитограмм прямой видимости, собранных прибором гелиосейсмической и магнитной визуализации (HMI) на обсерватории солнечной динамики (SDO), и доступ к ним был получен через онлайн-базу данных Объединенного научного операционного центра (JSOC).Данные были получены из активной области вблизи центра солнечного диска между 14:02 и 14:56 31 августа 2003 года. Поскольку данные были взяты из небольшой области в центральном диске, они были приняты для приблизительного представления данных нормального магнитного поля в этой области. Данные были нормализованы так, чтобы максимальная напряженность поля была равна единице, и поэтому результаты сопоставимы с результатами из предыдущих разделов.

Контурный график данных магнитограммы приведен на рис. 8, а потенциальное поле, созданное с использованием этих данных магнитограммы, представлено диаграммой силовых линий, показанной на рис.9. Используя эти данные, потенциальные поля были созданы с использованием каждого из трех методов численного дифференцирования, описанных в разд. 5.1 для стандартной области ввода, как описано в Разд. 6.1, и используя наш предпочтительный метод C для численного дифференцирования для расширенной области ввода.

8.2. Результатов

Создаваемые потенциальные поля обрабатывались в Lare3d и анализировались так же, как и для предыдущих магнитных полей.Потенциальное поле, созданное с использованием метода А для численного дифференцирования, который игнорирует влияние шахматной сетки, не будет работать даже для 5 τ _A и будет иметь начальные максимальные токи на порядок больше, чем любой другой потенциал. поля. Результаты анализа остальных потенциальных полей приведены в таблице 6.

Значение каждой метрики для каждого из потенциальных полей, созданных с использованием данных солнечной магнитограммы.

Сравнивая результаты использования метода B или метода C для численного дифференцирования, мы видим, что, в соответствии с нашими более ранними результатами, метод C дает более низкие начальные токи.Хотя со временем поля приближаются к аналогичным значениям тока, поле, созданное с использованием метода C, поддерживает более низкие токи, меньше изменяется с течением времени и приводит к более статическому равновесию. Этот результат подтверждает наш вывод о том, что метод C является более точным, помимо того, что он быстрее в вычислительном отношении и требует меньшего количества фантомных ячеек.

Сравнивая теперь результаты для использования стандартной или расширенной области ввода (оба используют метод C для дифференциации), мы видим удивительный результат.Максимальный ток одинаков в обоих случаях, а средний ток немного ниже при использовании стандартной области ввода. Хотя максимальная скорость при 100 τ _A ниже, когда используется расширенная область ввода, эта разница меньше, чем на порядок величины. Причина в том, что использование расширенной области ввода имеет небольшой эффект, что можно ясно увидеть, сравнив напряженность магнитного поля для потенциального поля, созданного с помощью стандартной области ввода и расширенной области ввода.Напряженность поля в фотосфере показана для каждого из этих полей на рис. 10 и 11. Хорошо видно, что в отличие от рис. 7 в разд. 6.1 напряженность поля на рис. 11 намного меньше и более плоская на границах, поэтому предположение, что B _{z 0} = 0 вне области имеет гораздо меньший эффект.

Хотя расширение области ввода в целом повышает точность решения потенциального поля, эти результаты показывают, что преимущества увеличения размера области ввода иногда являются лишь предельными, в зависимости от поля ввода B _{z 0} .Следует помнить, что для достижения небольшого снижения максимальной скорости при 100 τ _A , область ввода пришлось расширить примерно в девять раз. Это означает, что требуется в девять раз больше исходных данных, а также означает, что время выполнения увеличится в девять раз.

9. Заключение

Вычислитель потенциального поля был разработан для точного расчета потенциального магнитного поля в области с нормальным полем B _{z 0} на границе фотосферы.Дизайн кода был направлен на повышение точности за счет учета: расчета магнитного потенциала ϕ , дифференцирования магнитного потенциала ϕ и размера входной области для B _{z 0} as описано в разд. 2, 5.1 и 6.1 этой статьи соответственно.

Калькулятор потенциального поля использует формулу. (6) для расчета магнитного потенциала. Затем потенциал дифференцируется с использованием новой формулы центральной разности Eq.(13), полученное в Приложении А, для расчета компонент магнитного поля. Было показано, что игнорирование разнесенных магнитных полей во время дифференцирования магнитного потенциала приводит к нестабильному потенциальному полю и что, хотя простая интерполяция может быть эффективной, выбранный метод численного дифференцирования в конечном итоге более точен, быстрее вычисляется и требует меньшего количества паразитов. клетки для выполнения. Далее это было показано в Разд. 7.1 видно, что для аналитически заданных входных данных этот метод может создавать потенциальные поля, которые являются правильными с точностью до числового распространения сетки моделирования.

Было показано, что размер входной области, в которой задается нормальное магнитное поле в фотосфере B _{z 0} , влияет на точность генерируемых потенциальных полей. Было показано, что в некоторых случаях расширение области ввода резко повышает точность решения потенциального поля, в то время как в других случаях выгоды от увеличения размера области ввода незначительны. Однако во всех случаях расширение области ввода требует указания большего количества входных данных и увеличивает время работы потенциального калькулятора.В зависимости от улучшения решения для потенциального поля, доступности фотосферных данных и желаемого времени работы калькулятора, использование расширенной области ввода может оказаться полезным, а может и нет. Таким образом, калькулятор потенциального поля оставляет пользователю возможность расширения области ввода.

Следует отметить, что равновесия, создаваемые с помощью генерируемых потенциальных полей, могут быть дополнительно улучшены в рамках МГД-решателя путем применения фазы численной релаксации.В Lare3d это часто делается путем искусственного увеличения удельного сопротивления и позволяя системе расслабиться, прежде чем симуляция будет запущена должным образом.

Хотя методы функций Грина, используемые в этой работе, были доступны в течение значительного периода времени (Schmidt 1964; Semel 1967; Sakurai 1982), есть надежда, что эта точная и простая реализация будет весьма полезна для тех, кто работает с потенциальными полями. на шахматной сетке. Код потенциального калькулятора написан на FORTRAN 90 и был разработан для создания начальных вводов магнитного поля для Lare3d, но будет работать с любым решателем MHD, который использует шахматную сетку для компонентов магнитного поля.Программа может быть распараллелена для быстрой работы на нескольких вычислительных ядрах. Этот код и сопроводительная документация предоставляются вместе с этим документом.

Благодарности

Каллум Букок благодарит UK STFC DISCnet за финансовую поддержку его докторантуры. Исследование Давида Циклаури при поддержке Национального научного фонда Грузии Шота Руставели в рамках конкурса совместных исследований (звонок соотечественников) 2016-2019. В этом исследовании использовалась установка Queen Mary’s Apocrita HPC при поддержке QMUL Research-IT (King et al.2017).

Список литературы

1. Арбер Т., Лонгботтом А., Джеррард К. и Милн А. 2001, J. Comput. Физ., 171, 151 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
2. Арреги, И.2015, Филос. Пер. R. Soc. Лондон сер. А, 373, 20140261 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
3. Ашванден, М.J. 2004, Физика солнечной короны. Введение (Praxis Publishing Ltd) [Google Scholar]
4. Балсара, Д. С., и Ким, Дж. 2004, ApJ, 602, 1079 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
5. Бекерс, Дж.М. 1971 г., в сб .: Solar Magnetic Fields, ed. Р. Ховард, IAU Symp., 43, 3 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
6. Бингер, С., И Питер, Г. 2011, A&A, 530, A112 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
7. Бингер, С., И Питер, H. 2013, A&A, 550, A30 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
8. Бурден, П.А., Бингерт, С., и Питер, Х., 2013 г., A&A, 555, A123 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
9. Браунинг, П.К., Джеррард К., Худ А. В., Кевис Р. и ван дер Линден Р. А. М. 2008, A&A, 485, 837 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
10. Куперман, С., Офман Л. и Семел М. 1989, A&A, 216, 265. [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google Scholar]
11. Гэри, Г.А. 1989, ApJS, 69, 323 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
12. Гент, Ф.А., Федун, В., Мамфорд, С. Дж., И Эрдейи, Р. 2013, MNRAS, 435, 689 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
13. Гуссенс, М.2003, Введение в астрофизику плазмы и магнитогидродинамику (Springer), 294 [CrossRef] [Google Scholar]
14. Гордовский, М., Браунинг, П. К., Контар, Э. П., и Биан, Н. Х. 2014, A&A, 561, A72 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
15. Гудиксен, Б.В., & Нордлунд, А. 2005, ApJ, 618, 1020 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
16. Иноуэ, С.2016, Прогресс в науке о Земле и планетах, 3, 19 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
17. Иноуэ, С., Магара, Т., и Пандей, В. 2013, ApJ, 780, 101 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
18. Хоменко, Э., & Колладос, М. 2006, ApJ, 653, 739 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
19. Кинг, Т., Бутчер, С., и Залевски, Л. 2017, Apocrita– кластер высокопроизводительных вычислений для Лондонского университета королевы Марии, DOI 10.5281 / zenodo.438045 [Google Scholar]
20. Климчук Ю.А. 2015, Философ. Пер. R. Soc. Лондон сер. А, 373, 20140256 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
21. Массон, С., Pariat, E., Aulanier, G., & Schrijver, C.J. 2009, ApJ, 700, 559 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
22. Нойкирх, Т.2005, в Хромосферных и корональных магнитных полях, ред. Д. Э. Иннес, А. Лагг, С. А. Соланки, ESA Spec. Опубл., 596, 12.1 [Google Scholar]
23. Офман Л. и Селва М. 2008, Proc. Int. Astron. Союзная, 4, 151 [CrossRef] [Google Scholar]
24. Оливер, Р., Муравски К. и Баллестер Дж. Л. 1998, A&A, 330, 726 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google Scholar]
25. Отто, А., Бюхнер, Дж. И Никутовски, Б. 2007, A&A, 468, 313 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
26. Парнелл, К.E., & De Moortel, I. 2012, Philos. Пер. R. Soc. Лондон сер. А, 370, 3217 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
27. Питер, Х., Варнеке, Дж., Читта, Л. П., и Кэмерон, Р. Х. 2015, A&A, 584, A68 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
28. Петрухин, Н., Рудерман, М., & Диденкулова, Е. 2018, МНРАС, 474, 2289 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
29. Пиццо, В.J. 1986, ApJ, 302, 785 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
30. Руан, П., Wiegelmann, T., Inhester, B., et al. 2008, A&A, 481, 827 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
31. Сакураи, Т.1982, Sol. Физ., 76, 301 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
32. Шмидт, Х.U.1964, НАСА Spec. Опубл., 50, 107 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google Scholar]
33. Семель, М.1967, Ann. Астрофиз., 30, 513 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google Scholar]
34. Смит, П.Д., Циклаури, Д., и Рудерман, М. С. 2007, A&A, 475, 1111 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
35. Соланки, С.К. и Штайнер, О. 1990, A&A, 234, 519 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [Google Scholar]
36. Тадессе, Т., Вигельманн, Т., Госаин, С., Макнейс, П., и Певцов, А.А. 2014, A&A, 562, A105 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
37. Текрей, Х., & Джайн, р. 2017, A&A, 608, A108 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
38. Вигельманн, Т.2004, Sol. Физ., 219, 87 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
39. Вигельманн, Т.2007, Sol. Физ., 240, 227 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [Google Scholar]
40. Вигельманн, Т.2008, J. Geophys. Res .: Space Phys., 113, A3. [CrossRef] [Google Scholar]
41. Вигельманн, Т., & Neukirch, T. 2006, A&A, 457, 1053 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]
42. Вигельманн, Т., & Сакураи, Т. 2012, Лив. Преподобный Sol. Физ., 9, 5 [Google Scholar]
43. Wiegelmann, T., Neukirch, T., Ruan, P., & Inhester, B. 2007, A&A, 475, 701 [НАСА ОБЪЯВЛЕНИЕ] [CrossRef] [EDP Sciences] [Google Scholar]

Приложение A: Вывод формулы численного дифференцирования

Наш калькулятор потенциального поля вычисляет компоненты магнитного поля, взяв производные магнитного потенциала в соответствии с формулой.(5) основного текста. Используемый метод численного дифференцирования представляет собой формулу центральной разности порядка 𝒪 ( h ⁴ ), которая была адаптирована для работы на шахматной сетке. В этом приложении мы выводим эту формулу.

В качестве примера возьмем расчет B _x ( i , j , k ), индексы j и k приняты фиксированными, а B _x ( i , j , k ) обозначается просто как.Теперь рассмотрим положение относительно точек, где ϕ определено вдоль оси x . Если мы определим d как шаг сетки и h как половину шага сетки, то для определенного в точке x ₀ , ϕ определяется на расстояниях h и 3 h в любую сторону из x ₀ . Это показано на рис. A.1. Теперь мы вычисляем производную ϕ относительно x в точке x ₀ , то есть ϕ ′ ( x ₀ ).Начнем с разложения Тейлора ϕ ^{i −1} , ϕ ⁱ , ϕ ^{i + 1} и ϕ ^{i + 2} около x они приведены ниже в уравнениях. (A.1) – (A.4) следующим образом:

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

Сначала устраним четные степени h , взяв ϕ ^{i + 2} – ϕ ^{i −1} и ϕ ^{i + 1} – ϕ ⁱ , как показано ниже в уравнениях. (A.5) и (A.6):

(A.5)

(A.6)

Затем нам нужно удалить член третьего порядка, взяв 27 ( ϕ ^{i + 1} – ϕ ⁱ ) – ( ϕ ^{i + 2} – ϕ ^{i −1} ), как показано ниже в уравнении.(A.7):

(A.7)

Преобразуя это уравнение, мы получаем формулу центральной разности,

(A.8)

Приложение Б: Калькулятор потенциала – BooTsik.f90

В этом приложении содержится код FORTRAN 90 для потенциального калькулятора BooTsik.f90, который также можно найти по адресу https://github.com/calboo/Potential_Field_Calculator. Пользователь должен установить размер домена: nx , ny , nz ; шаг сетки d ; размер области ввода nx 0, nx 1, ny 0, ny 1, и должен указывать нормальное поле B _{z 0} в фотосфере.Существуют предустановленные параметры для полей ввода B _{z 0} , используемых в этой статье, и для импорта поля ввода из неформатированного файла данных, которые можно использовать, просто раскомментировав их. Код приведен ниже: