ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНОГО РЕДАКТОРАПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Глава 1. ![]() Глава 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 2. Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси. 3. Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей. § 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕРХУ (ИЛИ СНИЗУ) МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 2. Существование точных граней. § 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ § 4. ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. Существование и единственность суммы и произведения вещественных чисел. § 5. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел. § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел. § 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 2. Операции над множествами. 3. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [0, 1]. ![]() 4. Свойства операций над множествами. Отображение множеств. Глава 3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ 2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. 4. Сходящиеся последовательности и их свойства. § 2. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. 4. Примеры сходящихся монотонных последовательностей. § 3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов. 3. Критерий Коши сходимости последовательности. § 4. ПРЕДЕЛ (ИЛИ ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ) ФУНКЦИИ 2. Предел функции по Гейне и по Коши. 3. Критерий Коши существования предела функции. 4. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Глава 4. ![]() § 1. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 2. Арифметические операции над непрерывными функциями. 3. Сложная функция и ее непрерывность. § 2. СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ 2. Понятие обратной функции. § 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Логарифмическая функция. 3. Степенная функция. 4. Тригонометрические функции. 5. Обратные тригонометрические функции. 6. Гиперболические функции. § 4. ДВА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛА 2. Второй замечательный предел. 2. О точках разрыва монотонной функции. § 6. ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Глобальные свойства непрерывных функций. 3. Понятие равномерной непрерывности функции. 4. Понятие модуля непрерывности функции. § 7. ПОНЯТИЕ КОМПАКТНОСТИ МНОЖЕСТВА 2. О покрытиях множества системой открытых множеств. 3. Понятие компактности множества. Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 2. ![]() 3. Геометрический смысл производной. § 2. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ 3. Понятие дифференциала функции. § 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 2. Дифференцирование обратной функции. 3. Инвариантность формы первого дифференциала. 4. Применение дифференциала для установления приближенных формул. § 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ § 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Производная логарифмической функции. 3. Производные показательной и обратных тригонометрических функций. 4. Производная степенной функции. 5. Таблица производных простейших элементарных функций. 6. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций. 7. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции. 2. n-ые производные некоторых функций. 3. ![]() 4. Дифференциалы высших порядков. § 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ § 8. ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ Глава 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ § 1. ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ § 2. ТЕОРЕМА О НУЛЕ ПРОИЗВОДНОЙ § 3. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ (ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА) § 4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА 3. Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной. 4. Вывод некоторых неравенств. § 5. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ (ФОРМУЛА КОШИ) § 6. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ) 2. Раскрытие неопределенности вида oo/oo 3. Раскрытие неопределенностей других видов. § 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА § 8. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА. ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА 2. Другая запись формулы Тейлора. 3. Формула Маклорена. § 9. ![]() § 10. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ФОРМУЛЫ МАКЛОРЕНА 2. Доказательство иррациональности числа е. 3. Вычисление значений тригонометрических функций. 4. Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов. Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ И ОТЫСКАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ § 1. ОТЫСКАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК 2. Отыскание стационарных точек. 3. Первое достаточное условие экстремума. 4. Второе достаточное условие экстремума. 5. Третье достаточное условие, экстремума. 6. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке. 7. Общая схема отыскания экстремумов. § 3. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА 2. Первое достаточное условие перегиба. 3. Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба. 4. Второе достаточное условие перегиба. 5. Третье достаточное условие перегиба. ![]() § 4. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ § 6. ГЛОБАЛЬНЫЕ МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ НА СЕГМЕНТЕ. КРАЕВОЙ ЭКСТРЕМУМ 2. Краевой экстремум. 3. Теорема Дарбу. ДОПОЛНЕНИЕ Алгоритм отыскания экстремальных значений функции, использующий только значения этой функции Глава 8. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Неопределенный интеграл. 3. Основные свойства неопределенного интеграла. 4. Таблица основных неопределенных интегралов. § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование по частям. § 3. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ в ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов. 3. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых множителей. 4. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. 5. Интегрируемость рациональной дроби в элементарных функциях. 6. Интегрируемость в элементарных функциях некоторых тригонометрических и иррациональных выражений. ![]() § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА ИНТЕГРАЛ РИМАНА: § 2. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ СУММЫ И ИХ СВОЙСТВА 2. Основные свойства верхних и нижних сумм. § 3. ТЕОРЕМЫ О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 2. Классы интегрируемых функций. § 4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 2. Оценки интегралов. § 5. ПЕРВООБРАЗНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ. ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ 2. Основная формула интегрального исчисления. 3. Важные правила, позволяющие вычислять определенные интегралы. § 6. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СУММ И ИНТЕГРАЛОВ 2. Неравенство Гёльдера для сумм. 3. Неравенство Минковского для сумм. 4. Неравенство Гёльдера для интегралов. 5. Неравенство Минковского для интегралов. § 7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ РИМАНА 2. Критерий интегрируемости Лебега. ![]() ДОПОЛНЕНИЕ 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. 4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям. § 2. Несобственные интегралы второго рода § 3. Главное значение несобственного интеграла ДОПОЛНЕНИЕ 2. Интеграл Стилтьеса 2. Свойства интеграла Стилтьеса. Глава 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 2. Понятие параметризуемой кривой. 3. Длина дуги кривой. Понятие спрямляемой кривой. 4. Критерий спрямляемости кривой. Вычисление длины дуги кривой. 5. Дифференциал дуги. 6. Примеры. § 2. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 2. Площадь плоской фигуры. 3. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора. 4. Примеры вычисления площадей. § 3. ОБЪЕМ ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Некоторые классы кубируемых тел. 3. Примеры. Глава 11. ![]() 3. Предел функции m переменных. 4. Бесконечно малые функции m переменных. 5. Повторные пределы. § 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ 2. Непрерывность функции m переменных по одной переменной. 3. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Дифференцируемость функции нескольких переменных. 3. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. 4. Достаточные условия дифференцируемости. 5. Дифференциал функции нескольких переменных. 6. Дифференцирование сложной функции. 7. Инвариантность формы первого дифференциала. 8. Производная по направлению. Градиент. § 5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Дифференциалы высших порядков. 3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в интегральной форме. 4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. § 6. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ 2. ![]() 3. Случай функции двух переменных. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции 1. Выпуклые множества и выпуклые функции. 2. Существование минимума у сильно выпуклой функции и единственность минимума у строго выпуклой функции. 3. Поиск минимума сильно выпуклой функции. ДОПОЛНЕНИЕ 2. Метрические, нормированные пространства 2. Открытые и замкнутые множества. 3. Прямое произведение метрических пространств. 4. Всюду плотные и совершенные множества. 5. Сходимость. Непрерывные отображения. 6. Компактность. 7. Базис пространства. Топологические пространства Линейные нормированные пространства, линейные операторы ДОПОЛНЕНИЕ 3. Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах 2. Формула Лагранжа конечных приращений. 3. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью. 4. Дифференцируемость функционалов. 5. Интеграл от абстрактных функций. ![]() 6. Формула Ньютона — Лейбница для абстрактных функций. 7. Производные второго порядка. 8. Отображение m-мерного евклидова пространства в n-мерное. 9. Производные и дифференциалы высших порядков. 10. Формула Тейлора для отображений одного нормированного пространства в другое. Исследование на экстремум функционалов в нормированных пространствах 2. Достаточные условия экстремума. Глава 13. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ § 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ НЕЯВНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ 2. Вычисление частных производных неявно заданной функции. 3. Особые точки поверхности и плоской кривой. 4. Условия, обеспечивающие существование для функции y=f(x) обратной функции. § 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Вычисление частных производных функций, неявно определяемых посредством системы функциональных уравнений. 3. Взаимно однозначное отображение двух множеств m-мерного пространства. § 3. ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ 2. Функциональные матрицы и их приложения. ![]() § 4. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 2. Метод неопределенных множителей Лагранжа. 3. Достаточные условия. 4. Пример. ДОПОЛНЕНИЕ Отображения банаховых пространств. Аналог теоремы о неявной функции 2. Случай конечномерных пространств. 3. Особые точки поверхности в пространстве n измерений. Обратное отображение. 4. Условный экстремум в случае отображений нормированных пространств. |
III Таблица дифференциалов
Так как дифференциал dyлишь множителемdxотличается от производной, то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.
1. ,,.
2. ,.
3. ,.
4. . 5..
6. . 7..
8. . 9..
10. . 11..
Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:
а)
б)
в)
Отметим, что в таблице дифференциалов
переменная xможет быть как независимой, так и
некоторой функцией. В таблице же
производных (§6)x– это только независимая переменная.
Замечание.Формула для дифференциала функции, а именно:
,
позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dxиdy:
.
При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dxиdy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:
для сложной функции
;
для обратной функции
;
для функции, заданной параметрически
.
§8. Производные высших порядков
I Определение и обозначения
Если функция
дифференцируема на некотором промежутке,
то её производнаясама является функцией, определенной
на этом промежутке. Следовательно, по
отношению к ней можно ставить вопрос о
существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют
второй производной (или производной
2гопорядка), и обозначают одним
из символов
.
Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, .
Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной (n–1)-го порядка и обозначают. Итак, по определению
.
II Производные некоторых функций
1. y=sinx, y=cosx
Первые производные этих функций и формулы приведенияпозволяют методом математической индукции получить выражения для производныхn-го порядка:
.
2. y=x
Если , то, последовательно дифференцируя, получим,, и вообще:
.
Если же показатель степени натуральный, то:
3. y=ax
, в частности,,.
4. y=lnx
,
.
III Некоторые правила
Очевидно, что и. Для производной
n-го порядка от произведения функций имеется т.н. формула Лейбница. Приведем ее без доказательства:
, где.
Заметим, что под производной нулевого порядка принято понимать саму
функцию: .
IV Функция, заданная параметрически
Пусть функция задана параметрическими уравнениями
Её первая производная – это также функция, заданная параметрически:
Тогда
Пример.Дляпервая производная имеет видТогдаи вторая производная такова:
V Функция, заданная неявно
Повторное дифференцирование такой функции покажем на примере:
Тогда по определению:
.
Остается подставить в последнее выражение значение :
.
Полученное выражение можно упростить, используя само уравнение:
.
Тема ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
Лекция 10
§1. Необходимое условие экстремума
Рассмотрим функцию , определенную на промежутке, и пусть точка–внутренняяточка промежутка:.
Определение 1.Точканазывается точкой (локального) максимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словами для малых приращений аргументаприращение функции.
Определение 2.Точканазывается точкой (локального) минимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словамипри малых.
Точки максимума и минимума называются
точками экстремума. Их можно характеризовать
следующим образом: приращение функции
в точке экстремума имеет постоянный
знак, не зависящий от знака
(еслидостаточно мало).
Теорема Ферма.Если функциядифференцируема в точкеи имеет в этой точке локальный экстремум, то.
Доказательство.Дифференцируемость означает существование конечного предела
.
Для этого предела имеется три возможности: 1) ; 2);
3) . Предположим, что. Тогда для близких к нулюразностное отношение. Если же, то и(для малых). В обоих случаях знакзависит от знака. Но по условию теоремы– это точка экстремума, значит, знакне зависит от знака. Это противоречие означает, чтоне может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность:.
Замечание 1.Эта теорема имеет
простой геометрический смысл: если в
точке графика функции,
которой соответствует экстремум функции,
существует касательная к графику, то
эта касательная параллельная осиOx.
Замечание 2.Сформулированное в теореме условиеявляется необходимым, но не достаточным. Например, функцияимеет производную, которая обращается в ноль в точке. Однако,
.
Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, и в точкенет экстремума.
Содержание: Дифференциальные уравнения: графики, модели, данные
Содержание: Дифференциальные уравнения: графики, модели, данные — Ломен и ЛавлокСодержание Глава 1 Основные понятия 1.1 Простые дифференциальные уравнения и явные решения 1.2 Графические решения с использованием исчисления 1.3 Поля уклонов и изоклины 1.4 Расширения рядов функций и степеней Глава 2 Автономные дифференциальные уравнения 2.1 Автономные уравнения 2.2 Простые модели 2.3 Логистическое уравнение 2. ![]() 2.5 Качественное поведение решений с использованием фазовых линий 2.6 Бифуркационные диаграммы Глава 3 Дифференциальные уравнения первого порядка Качественные и количественные аспекты 3.1 Графические решения с использованием исчисления 3.2 Симметрия полей наклона 3.3 Численные решения и хаос 3.4 Сравнение решений дифференциальных уравнений 3.5 Поиск решений Power Series Глава 4 Модели и приложения, ведущие к новым технологиям 4.1 Решение разделимых дифференциальных уравнений 4.2 Решение дифференциальных уравнений с однородными коэффициентами 4.3 Модели — вывод дифференциальных уравнений из данных 4.4 Модели — Объекты в движении 4.5 Применение — ортогональные траектории 4.6 Объединение дифференциальных уравнений Глава 5 Линейные дифференциальные уравнения и модели первого порядка 5. ![]() 5.2 Модели, использующие линейные уравнения 5.3 Модели, использующие уравнение Бернулли Глава 6 Взаимодействие между системами первого порядка и уравнениями второго порядка 6.1 Простые модели 6.2 Как связаны системы первого порядка и уравнения второго порядка 6.3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 6.4 Моделирование физических ситуаций 6.5 Интерпретация фазовой плоскости 6.6 Как явные решения связаны с орбитами 6.7 Движение нелинейного маятника Глава 7 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с вынуждающими функциями 7.1 Общее решение 7.2 Поиск решений методом неопределенных коэффициентов 7.3 Приложения и модели Глава 8 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка — качественные и количественные аспекты 8. ![]() 8.2 Поиск решений путем сокращения заказа 8.3 Поиск решений путем изменения параметров 8.4 Важность линейной независимости и зависимости 8.5 Решение уравнений Коши-Эйлера 8.6 Краевые задачи и метод стрельбы 8.7 Решение однородных дифференциальных уравнений высшего порядка 8.8 Решение неоднородных дифференциальных уравнений высшего порядка Глава 9 Линейные автономные системы 9.1 Решение линейных автономных систем 9.2 Классификация растворов по стабильности 9.3 Когда существуют прямолинейные орбиты? 9.4 Качественное поведение с использованием нулевых линий 9.5 Матричная формулировка растворов 9.6 Модели с отсеками Глава 10 Нелинейные автономные системы 10.1 Введение в нелинейные автономные системы 10.2 Качественное поведение с использованием анализа нулевых кривых 10.3 Качественное поведение с использованием линеаризации 10. ![]() 10.5 Банджи-джампинг 10.6 Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения 10.7 Автономные и неавтономные дифференциальные уравнения Глава 11 Использование преобразований Лапласа 11.1 Мотивация 11.2 Построение новых преобразований Лапласа из старых 11.3. Обратное преобразование Лапласа и теорема о свертке 90 015. 11.4 Функции, которые перескакивают 11.5 Модели, использующие линейные дифференциальные уравнения первого порядка 11.6 Модели, использующие линейные дифференциальные уравнения высшего порядка 11.7 Приложения к системам линейных дифференциальных уравнений 11.8 Когда существуют преобразования Лапласа? Глава 12 Использование Power Series 12.1 Решения с использованием Taylor Series 12.2 Решения с использованием Power Series 12.3 Что делать при сбое Power Series 12.4 Растворы по методу Фробениуса Приложения A. ![]() A.2 Частичные дроби A.3 Серия Infinite, серия Power и серия Taylor A.4 Комплексные числа A.5 Элементарные операции с матрицами A.6 Аппроксимация методом наименьших квадратов A.7 Доказательства теорем о колебаниях |
Дифференциальные резервные копии (SQL Server) — SQL Server
- Статья
- 5 минут на чтение
Применяется к: SQL Server
Эта статья о резервном копировании и восстановлении актуальна для всех баз данных SQL Server.
Дифференциальная резервная копия основана на самой последней, предыдущей полной резервной копии данных. Дифференциальное резервное копирование фиксирует только те данные, которые изменились с момента создания полной резервной копии. Полная резервная копия, на которой основана дифференциальная резервная копия, известна как base дифференциального. Полные резервные копии, за исключением резервных копий только для копирования, могут служить основой для ряда дифференциальных резервных копий, включая резервные копии баз данных, частичные резервные копии и резервные копии файлов. Базовая резервная копия для разностной резервной копии файлов может содержаться в полной резервной копии, резервной копии файла или частичной резервной копии.
Преимущества
Создание дифференциальной резервной копии может быть намного быстрее, чем создание полной резервной копии. При дифференциальном резервном копировании записываются только те данные, которые изменились с момента создания полного резервного копирования на основе дифференциального резервного копирования. Это облегчает частое резервное копирование данных, что снижает риск потери данных. Однако перед восстановлением разностной резервной копии необходимо восстановить ее базу. Поэтому восстановление из разностной резервной копии обязательно потребует больше шагов и времени, чем восстановление из полной резервной копии, поскольку требуются два файла резервных копий.
Дифференциальные резервные копии базы данных особенно полезны, если подмножество базы данных изменяется чаще, чем остальная часть базы данных. В этих случаях разностные резервные копии базы данных позволяют выполнять частое резервное копирование без накладных расходов, связанных с полным резервным копированием базы данных.
В модели полного восстановления использование дифференциальных резервных копий может уменьшить количество резервных копий журналов, которые необходимо восстановить.
Обзор дифференциальных резервных копий
Дифференциальная резервная копия фиксирует состояние любых экстентов (наборов из восьми физически смежных страниц), которые изменились между созданием разностной базы и созданием разностной резервной копии. Это означает, что размер данной дифференциальной резервной копии зависит от объема данных, которые изменились со времени создания базы. Как правило, чем старше база, тем больше будет новая разностная резервная копия. В серии дифференциальных резервных копий часто обновляемый экстент, вероятно, будет содержать разные данные в каждой дифференциальной резервной копии.
На следующем рисунке показано, как работает дифференциальное резервное копирование. На рисунке показаны 24 экстента данных, 6 из которых изменились. Дифференциальная резервная копия содержит только эти шесть экстентов данных. Операция дифференциального резервного копирования основана на растровой странице, которая содержит бит для каждого экстента. Для каждого экстента, обновленного с момента основания, в растровом изображении бит устанавливается равным 1.
Примечание
Разностное растровое изображение не обновляется резервной копией только для копирования. Поэтому резервная копия только для копирования не влияет на последующие разностные резервные копии.
Разностная резервная копия, созданная вскоре после создания ее базы, может быть значительно меньше разностной базы. Это экономит место для хранения и время резервного копирования. Однако по мере изменения базы данных с течением времени разница между базой данных и конкретной разностной базой увеличивается. Чем дольше время между разностной резервной копией и ее базой, тем больше, вероятно, будет разностная резервная копия. Это означает, что разностные резервные копии со временем могут приблизиться по размеру к разностной базе. Большая разностная резервная копия теряет преимущества более быстрой и компактной резервной копии.
По мере увеличения размера разностных резервных копий восстановление разностной резервной копии может значительно увеличить время, необходимое для восстановления базы данных. Поэтому мы рекомендуем делать новую полную резервную копию через определенные промежутки времени, чтобы установить новую разностную базу данных. Например, вы можете делать еженедельную полную резервную копию всей базы данных (т. е. полную резервную копию базы данных), за которой следует регулярная серия дифференциальных резервных копий базы данных в течение недели.
Во время восстановления перед восстановлением разностной резервной копии необходимо восстановить ее базу. Затем восстановите только самую последнюю разностную резервную копию, чтобы перенести базу данных на время создания этой разностной резервной копии. Как правило, вы восстанавливаете самую последнюю полную резервную копию, а затем самую последнюю дифференциальную резервную копию, основанную на этой полной резервной копии.
Дифференциальные резервные копии баз данных с таблицами, оптимизированными для памяти
Сведения о дифференциальных резервных копиях и базах данных с таблицами, оптимизированными для памяти, см. в разделе Резервное копирование базы данных с таблицами, оптимизированными для памяти.
Дифференциальные резервные копии баз данных только для чтения
Для баз данных только для чтения полные резервные копии, используемые отдельно, легче управлять, чем когда они используются с дифференциальными резервными копиями. Когда база данных доступна только для чтения, резервное копирование и другие операции не могут изменить метаданные, содержащиеся в файле. Поэтому метаданные, необходимые для разностного резервного копирования, такие как порядковый номер журнала, с которого начинается разностное резервное копирование (разностный базовый номер LSN), хранятся в
основная база данных
. Если разностная база берется, когда база данных доступна только для чтения, разностная битовая карта указывает на большее количество изменений, чем произошло с момента создания базовой резервной копии. Дополнительные данные считываются при резервном копировании, но не записываются в резервную копию, поскольку дифференциальный_базовый номер
, хранящийся в системной таблице резервного набора, используется для определения того, изменились ли данные со времени создания базы.
При перестроении, восстановлении или отключении и присоединении базы данных, доступной только для чтения, информация о разностной базе данных теряется. Это происходит потому, что основная база данных
не синхронизирована с пользовательской базой данных. Компонент SQL Server Database Engine не может обнаружить или предотвратить эту проблему. Любые последующие разностные резервные копии не основаны на самой последней полной резервной копии и могут привести к неожиданным результатам. Чтобы создать новую разностную базу, рекомендуется создать полную резервную копию базы данных.
Рекомендации по использованию дифференциальных резервных копий с базой данных только для чтения
После создания полной резервной копии базы данных только для чтения, если вы собираетесь создать последующую дифференциальную резервную копию, сделайте резервную копию основная база данных
.
Если основная база данных
потеряна, восстановите ее перед восстановлением дифференциальной резервной копии пользовательской базы данных.
Если вы отсоединяете и присоединяете базу данных только для чтения, для которой вы планируете позже использовать разностные резервные копии, как только это будет практически целесообразно, сделайте полную резервную копию базы данных только для чтения и основной базы данных
.