Таблица производных высшая математика: Таблица производных и интегралов – Высшая математика

Таблица производных – Дифференциальное исчисление – Высшая математика – Каталог статей

(Ф. Хаусдорф.) ‘ quotes[1]='”Математика – это язык, на котором написана книга природы.” (Г. Галилей) ‘ quotes[2]='”Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели.” (А. Маркушевич) ‘ quotes[3]='”Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.” (А.Н. Крылов) ‘ quotes[4]='”Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.” (М.И. Калинин) ‘ quotes[5]='”Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?” (Платон) ‘ quotes[6]='”Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы.” (Д.И. Писарев) ‘ quotes[7]='”Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.” (А.С. Пушкин) ‘ quotes[8]='”Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.” (В. Произволов) ‘ quotes[9]='”В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.” (Н.Е. Жуковский) ‘ quotes[10]='”Химия – правая рука физики, математика – ее глаз.” (М.В. Ломоносов) ‘ quotes[11]='”Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.” (М.В. Ломоносов) ‘ quotes[12]='”Математика – это язык, на котором говорят все точные науки.” (Н.И. Лобачевский) ‘ quotes[13]='”Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств.” (Л. Эйлер) ‘ quotes[14]='”Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир.” (И. Гете) ‘ quotes[15]='”Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике или свести параллели к схождению…” (В.Ф. Каган) ‘ quotes[16]='”Счет и вычисления – основа порядка в голове.” (Песталоцци) ‘ quotes[17]='”Величие человека – в его способности мыслить.” (Б. Паскаль) ‘ quotes[18]='”Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.” (Д.Пойа) ‘ quotes[19]='”Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.” (Б. Паскаль) ‘ quotes[20]='”В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.” (И. Ньютон) ‘ quotes[21]='”Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, – это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым.” (Л. Карно) ‘ quotes[22]='”Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.” (М.В. Остроградский) ‘ quotes[23]='”Математика – это цепь понятий: выпадет одно звенышко – и не понятно будет дальнейшее.” (Н.К. Крупская) ‘ quotes[24]='”Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.” (А.П. Конфорович) ‘ quotes[25]='”Доказательство – это рассуждение, которое убеждает.” (Ю.А. Шиханович) ‘ quotes[26]='”В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.” (И. Кант) ‘ var whichquote= Math.floor(Math.random()*(quotes.length)) document.write(quotes[whichquote])

Как брать производную? Высшая математика, производная.

На самом деле брать производную не так уж и трудно, главное хорошенько проработать алгоритм.
Кстати если после просмотра материала у вас будут трудности пишите МНЕ, я дешево помогу вам решить примеры.
Итак, без чего мы не сможем обойтись? Конечно же таблица производных!

Таблица производных

в данной таблице указаны значения производной простейших функций, внимательно изучите таблицу производных, после чего можно приступать к решению заданий.

Данная таблица поможет нам брать производные от тригонометрических и логарифмических функций.

Теперь разберем поэтапно как брать производную, начиная с самых простых и элементарных функций.
Сперва разберем самые простые производные.

Если вы еще не поняли смотрим более легкие уроки.

Таблица производных полная для студентов с примерами

Содержание:

1. Полная таблица производных: для студентов
2. Таблица производных элементарных и сложных функций
3. Примеры с решением

Полная таблица производных: для студентов

Таблица производных элементарных и сложных функций

Понятия, как дифференциация и интеграция, сначала расшифровываются как действие по поиску производной, а вторая, в свою очередь, восстанавливает функцию на основе этой производной.

Нужно произносить слова каждого производного выражения легче запомнить буедт вам.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Решение:

На основании свойств степеней преобразуем исходную функцию:

.

Применяя правила дифференцирования 18.2 и 18.1 и правило / нахождения производной степенной функции , получим:

Ответ: .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Найдите производную функции

в точке .

Решение:

Применим последовательно формулы 18.2, 18.5, 18.1 и таблицу производных элементарных функций. Получим: .

Найдем значение производной в точке

.

Ответ: 1.

Пример 3.

Решите уравнение , если .

Решение:

ОДЗ: . Применяя формулу 18.3 и таблицу производных функций, найдем производную функции

.

Подставляя и в уравнение ,получим: . Поскольку , то и .

Ответ: .

Пример 4.

Найдите наибольшее целое решение неравенства

, если .

Решение:

1. Найдем производную функции , применяя правило 18.4:

.

2. Найдем производную функции , применяя правило 18.2:

.

3. Составим и решим неравенство :

.

Применим метод интервалов (рис. 18.2) и найдем решение неравенства: . Наибольшим целым решением неравенства является число 2.

Рис. 18.2

Ответ. 2.

Таблица производных

Таблица производных ● Математика для заочников и не только

Таблица производных

Обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций

Правила дифференцирования:

1) (Cu) Cu , где C – постоянное число;

– константу можно вынести за знак производной.

2) (u v) u v – правило дифференцирования суммы

3) (uv) u v uv

– правило дифференцирования произведения

!

доступно

u

uv

4)

v2

– правило дифференцирования частного

v

– дифференцирование сложной функции

5) (u(v))

u (v) v

Производные элементарных функций:

(C) 0 , где C – постоянное число;

и

n

1

просто

n 1

1

1

(x

,

, x

1,

) nx

в частности: ( x)

2

x

.

x

x2

mathprofi

функции – это самая «ходовая»

Следует обратить внимание, что производная степеннойru

вещь на практике. Любой радикал (корень), например 3

x5 ,

1

,

1

,

(4x 7)3 , нужно

–

7

x2

x5

x

a

n

n 1

представить в виде

для применения формулы (x

) nx

b

математика

(как представить – см. Горячие формулы школьного курса математики:

http://mathprofi.ru/mate

aticheskie

formuly.html).

Логарифмы и показательная функция:

1

ln x

x

1

loga x

x ln a

a

x

x

ln a

, в частности e

x

x

a

e

Высшая(ctgx)

Тригонометрические функции:

cos x

(sin x)

sin x

(cos x)

1

(tgx)

cos2 x

1

sin2 x

Обратные тригонометрические функции: (arctgx) 1 1×2

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Таблица производных ● Математика для заочников и не только

(arcctgx) 1 1×2

			1
(arcsin x)		1 x2
			1
(arccos x)				1 x2

И, на всякий случай, гиперболические функции:

chx

(shx)

!

shx

(chx)

1

доступно

ch3 x

(thx)

1

sh3 x

(cthx)

Производные параметрической функции.

Если функция задана в параметрической форме:

x (t)

, то

и

y (t)

.

t (t)

,

yx t

просто

yx

t (t)

yxx

t (t)

! Важно

–

производные «других функций» на самом деле являются следствием правил

mathprofi Иногда встречаютсяматематикаочень большие таблицы производных (порядка 100 штук). Такие таблицы рекомендую использовать только в самом крайнем случае, так как

дифференцирования, и, такое «решение» может сильно не понравиться преподавателю. Или понравиться: Какой Вы гений! – скажет он, – А теперь распишите, пожалуйста, подробнее. Здесь, здесь зд сь.

Высшая

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Производная функции – это… Что такое Производная функции?

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.^[1]

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде

если существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции в точке

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Дифференцируемость

Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление

при

Замечания

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная -го порядка определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от   может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

  или  

  или  

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

• Лагранжа , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

• Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если  — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

• Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

 — производная первого порядка по при , или  — вторая производная по в точке и т. д.

, или иногда .

• В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение , ; для значения производной в точке — . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

Примеры

• Пусть . Тогда

• Пусть . Тогда если то

где обозначает функцию знака. Если то а следовательно не существует.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

, то

• Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

где  — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

Доказательство  

Таблица производных некоторых функций

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции по параметру:

.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

См. также

Примечания

Литература

• В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
• В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Производные: инструкция по применению | Udemy

Добро пожаловать на проект Dr Nev!

Меня зовут Ольга, и я — Dr Nev.

Я преподавала в ВУЗах Нижнего Новгорода и Санкт-Петербурга, и сейчас являюсь научным сотрудником Университета Эксетера в Великобритании. Почему я Dr Nev? Потому что я доктор аналитических наук по фамилии Нев 🙂

Математика — не только моя основная профессия, но и увлечение, которое приносит удовольствие мне, и, хочется верить, пользу студентам, которым я помогаю обрести уверенность в этом предмете.

Мои курсы созданы для студентов нетехнических специальностей. Здесь нет места абстрактной теории, таинственным определениям и пугающим теоремам высшей математики. Только понятная практика.

Мои курсы помогут обрести уверенность в своей способности решить, как минимум, типовые практические задачи, сдать экзамен и даже, наверное, помочь сдать экзамен другу, ну а в идеале – получить от процесса обучения удовольствие.

Пройдя обучение на моих курсах, вы сможете описывать математическим языком и оптимизировать физические, экономические, химические, биологические процессы, а значит, в ваших руках появится возможность описать и предсказать … саму жизнь – впечатляет, не так ли?

Если да, тогда до встречи на курсах!

Мое образование

2001–2006 Нижегородский государственный университет, факультет вычислительной математики и кибернетики, специальность – прикладная математика и информатика, диплом специалиста с отличием

2004–2008 Нижегородский государственный университет, факультет управления и предпринимательства, специальность – экономика и управление на предприятии, диплом специалиста с отличием

2010–2012 НИУ Высшая школа экономики (Санкт-Петербург), факультет экономики, специальность – математические методы анализа экономики, диплом магистра с отличием

2011–2014 Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический факультет, кафедра статистического моделирования, аспирантура

2015-2017 Warwick University, United Kingdom, PhD in Analytical Science / Университет Уорика, Великобритания, степень доктора аналитических наук

Мой опыт академической работы

Репетиторство — более 15 лет

2007-2008 Нижегородский государственный университет, экономический факультет

2012-2013 Санкт-Петербургский экономический университет, кафедра высшей математики

2018 – настоящее время Exeter University, United Kingdom, Postdoctoral Research Fellow / Университет Эксетера, Великобритания, научный сотрудник

Научные публикации

3 публикации на русском языке, 9 – на английском языке

Мой опыт работы в индустрии

Intel Corporation, JLC Technologies, EMC, Interresearch

Правила дифференцирования.{\prime}_t$$

{\ left (n \ right)}} = \) \ (\ cos \ left ({x + {\ large \ frac {{\ pi n}} {2}} \ normalsize} \ right) \)

Исчисление I – производные высшего порядка

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-12: Производные финансовые инструменты более высокого порядка

Начнем этот раздел со следующей функции. 4}}} \ end {align *} \]

Теперь, когда мы нашли производные более высокого порядка, нам, вероятно, следует поговорить об интерпретации второй производной.

Если положение объекта задано как \ (s \ left (t \ right) \), мы знаем, что скорость – это первая производная от положения.

\ [v \ left (t \ right) = s ‘\ left (t \ right) \]

Ускорение объекта – это первая производная от скорости, но поскольку это первая производная функции положения, мы можем также рассматривать ускорение как вторую производную функции положения.

\ [a \ left (t \ right) = v ‘\ left (t \ right) = s’ ‘\ left (t \ right) \]

Альтернативное обозначение

Существуют также альтернативные обозначения для производных более высокого порядка.3}}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} и т. Д. \]

Производные правила

Производная сообщает нам наклон функции в любой точке.

Есть правил , которым мы можем следовать, чтобы найти множество деривативов.

Например:

• Наклон постоянного значения (например, 3) всегда 0
• Наклон линии , например, 2x равен 2, или 3x равен 3 и т. Д.
• и так далее.

Вот полезные правила, которые помогут вам вычислить производные многих функций (с примерами ниже). Примечание: маленькая метка ’означает производную от , а f и g – функции.

Общие функции	Функция	Производный инструмент
Константа	c	0
Линия	х	1
	топор	a
Квадрат	х 2	2x
Квадратный корень	√x	(½) x -½
Экспоненциальная	e x	e x
	a x	ln (a) a x
Логарифмы	лин (х)	1 / х
	журнал a (x)	1 / (x ln (а))
Тригонометрия (x в радианах)	грех (х)	cos (x)
	cos (x)	−sin (x)
	коричневый (x)	сек 2 (x)
Обратная тригонометрия	грех -1 (х)	1 / √ (1-х 2 )
	cos -1 (x)	-1 / √ (1-х 2 )
	желто-коричневый -1 (x)	1 / (1 + х 2 )
Правила	Функция	Производный инструмент
Умножение на константу	cf	cf ’
Правило власти	x n	нкс н – 1
Правило о сумме	ж + г	f ’+ g’
Правило разницы	ф – г	f ’- g’
Правило продукта	fg	f g ’+ f’ g
Правило частного	ф / г	f ’g – g’ f g 2
Взаимное правило	1 / f	-f ’/ f 2
Правило цепочки (как «Состав функций»)	f º g	(f ’º g) × g’
Правило цепочки (используя ’)	ф (г (х))	f ’(g (x)) g’ (x)
Правило цепочки (с использованием г dx )	dy dx знак равно dy du du dx

Также пишется “Производная от” г dx

Так г dx sin (x) и sin (x) ’оба означают« производную от sin (x) »

Примеры

Пример: какова производная sin (x)?

Из приведенной выше таблицы это указано как cos (x)

Это можно записать как:

d dx sin (x) = cos (x)

или:

sin (x) ’= cos (x)

Правило мощности

Пример: Что такое

d dx x ³ ?

Возникает вопрос: “Какова производная x ³ ?”

Мы можем использовать правило мощности, где n = 3:

d dx x ⁿ = nx ^{n − 1}

d dx x ³ = 3x ³⁻¹ = 3x ²

(Другими словами, производная от x ³ равна 3x ² )

Это просто:

“умножить на мощность
, затем уменьшить мощность на 1″

Его также можно использовать в таких случаях:

Пример: Что такое

d dx (1 / x)?

1 / x также x ^-1

Мы можем использовать правило мощности, где n = −1:

d dx x ⁿ = nx ^{n − 1}

d dx x ^-1 = -1x ^-1-1

= −x ^-2

= −1 x ²

Итак, мы только что сделали это:

, что упрощается до −1 / x ²

Умножение на константу

Пример: Что такое

d dx 5x ³ ?

производная от cf = cf ’

производная 5f = 5f ’

Мы знаем (из правила власти):

d dx x ³ = 3x ³⁻¹ = 3x ²

Итак:

d dx 5x ³ = 5 d dx x ³ = 5 × 3x ² = 15x ²

Правило суммы

Пример: Какова производная от x

² + x ³ ?

Правило суммы говорит:

производная от f + g = f ’+ g’

Итак, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем сложить их.

Использование правила мощности:

А так:

производная от x ² + x ³ = 2x + 3x ²

Правило разницы

То, что мы различаем, не обязательно должно быть x , это может быть что угодно. В данном случае v :

Пример: что такое

d dv (v ³ −v ⁴ )?

Правило разницы говорит:

производная от f – g = f ’- g’

Итак, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем вычесть их.

Использование правила мощности:

А так:

производная от v ³ – v ⁴ = 3v ² – 4v ³

Правила суммы, разности, постоянного умножения и мощности

Пример: что такое

d dz (5z ² + z ³ – 7z ⁴ )?

Использование правила мощности:

• d dz z ² = 2z
• d dz z ³ = 3z ²
• d dz z ⁴ = 4z ³

А так:

d dz (5z ² + z ³ – 7z ⁴ ) = 5 × 2z + 3z ² – 7 × 4z ³
= 10z + 3z ² – 28z ³

Правило продукта

Пример: Какая производная от cos (x) sin (x)?

Правило продукта гласит:

производная от fg = f g ’+ f’ g

В нашем случае:

Мы знаем (из таблицы выше):

• d dx cos (x) = −sin (x)
• d dx sin (x) = cos (x)

Итак:

производная от cos (x) sin (x) = cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)

= cos ² (x) – sin ² (x)

Правило частного

Чтобы помочь вам запомнить:

( f g ) ’= gf’ – fg ’ g ²

Производная от максимума над минимальным:

«Low dHigh минус High dLow, над линией и возведи в квадрат минимум»

Пример: Какова производная cos (x) / x?

В нашем случае:

Мы знаем (из таблицы выше):

Итак:

производная от cos (x) x = Low dHigh минус High dLow возвести в квадрат Low

= x (−sin (x)) – cos (x) (1) x ²

= – xsin (x) + cos (x) x ²

Взаимное правило

Пример: Что такое

d dx (1 / x)?

Взаимное правило говорит:

производная от 1 f = −f ’ f ²

Если f (x) = x, мы знаем, что f ’(x) = 1

Итак:

производная от 1 x = −1 x ²

Это тот же результат, который мы получили выше, используя правило мощности.

Правило цепочки

Пример: что такое

г dx грех (х ² )?

sin (x ² ) состоит из sin () и x ² :

Цепное правило говорит:

производная от f (g (x)) = f ‘(g (x)) g’ (x)

Индивидуальные производные финансовые инструменты:

• f ‘(г) = cos (г)
• г ‘(x) = 2x

Итак:

г dx sin (x ² ) = cos (g (x)) (2x)

= 2x cos (x ² )

Другой способ написания правила цепочки: dy dx знак равно dy du du dx

Давайте повторим предыдущий пример, используя эту формулу:

Пример: что такое

г dx грех (х ² )?

dy dx знак равно dy du du dx

Пусть u = x ² , поэтому y = sin (u):

г dx sin (x ² ) = г du грех (у) г dx х ²

Различить каждый:

г dx sin (x ² ) = cos (u) (2x)

Заменить обратно u = x ² и упростить:

г dx sin (x ² ) = 2x cos (x ² )

Тот же результат, что и раньше (слава богу!)

Еще пара примеров цепного правила:

Пример: Что такое

d dx (1 / cos (x))?

1 / cos (x) состоит из 1 / g и cos () :

Цепное правило говорит:

производная от f (g (x)) = f ’(g (x)) g’ (x)

Индивидуальные производные финансовые инструменты:

• f ‘(г) = -1 / (г ² )
• г ‘(x) = −sin (x)

Итак:

(1 / cos (x)) ’= −1 g (x) ² (−sin (x))

= sin (x) cos ² (x)

Примечание: sin (x) cos ² (x) также является tan (x) cos (x) или многими другими формами.

Пример: Что такое

d dx (5x − 2) ³ ?

Цепное правило говорит:

производная от f (g (x)) = f ’(g (x)) g’ (x)

(5x − 2) ³ состоит из г ³ и 5x − 2 :

Индивидуальные производные финансовые инструменты:

• f ‘(g) = 3g ² (по правилу мощности)
• г ‘(х) = 5

Итак:

d dx (5x − 2) ³ = (3g (x) ² ) (5) = 15 (5x − 2) ²

6800, 6801, 6802, 6803, 6804, 6805, 6806, 6807, 6808, 6809, 6810, 6811, 6812

анализ | математика | Британника

Полная статья

анализ , раздел математики, который имеет дело с непрерывными изменениями и с некоторыми общими типами процессов, которые возникли в результате изучения непрерывных изменений, таких как пределы, дифференциация и интеграция.С момента открытия Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления в конце 17 века анализ превратился в огромную и центральную область математических исследований с приложениями во всех науках и в таких областях, как финансы, экономика. , и социология.

Исторические истоки анализа можно найти в попытках вычислить пространственные величины, такие как длина кривой линии или площадь, ограниченная кривой. Эти проблемы могут быть сформулированы исключительно как вопросы математической техники, но они имеют гораздо более широкое значение, поскольку обладают широким разнообразием интерпретаций в физическом мире.Например, площадь внутри кривой представляет прямой интерес для измерения земли: сколько акров содержит участок земли неправильной формы? Но этот же метод также определяет массу однородного листа материала, ограниченного некоторой выбранной кривой, или количество краски, необходимое для покрытия поверхности неправильной формы. Менее очевидно, что эти методы могут быть использованы для определения общего расстояния, пройденного транспортным средством, движущимся с различной скоростью, глубины, на которой корабль будет плавать, когда он будет помещен в море, или общего расхода топлива ракеты.

Британская викторина

Определить: математические термины

Вот ваша миссия, если вы решите принять ее: Определите следующие математические термины до того, как истечет время.

Точно так же математический метод нахождения касательной к кривой в заданной точке может также использоваться для расчета крутизны изогнутого холма или угла, на который движущаяся лодка должна повернуть, чтобы избежать столкновения.Менее прямо это связано с чрезвычайно важным вопросом расчета мгновенной скорости или других мгновенных скоростей изменения, таких как охлаждение теплого объекта в холодной комнате или распространение болезнетворного организма через человеческую популяцию.

Эта статья начинается с краткого введения в историческую основу анализа и основных понятий, таких как системы счисления, функции, непрерывность, бесконечный ряд и пределы, которые необходимы для понимания анализа.После этого введения следует полный технический обзор, от расчетов до нестандартного анализа, а затем статья завершается полной историей.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Историческая справка

Преодоление разрыва между арифметикой и геометрией

Математика делит явления на два широких класса, дискретные и непрерывные, исторически соответствующие разделению между арифметикой и геометрией.Дискретные системы можно подразделить только до сих пор, и их можно описать целыми числами 0, 1, 2, 3,…. Непрерывные системы можно подразделить до бесконечности, и для их описания требуются действительные числа, числа, представленные десятичными разложениями, такими как 3,14159…, возможно, продолжающимися бесконечно. Понимание истинной природы таких бесконечных десятичных знаков лежит в основе анализа.

Различие между дискретной математикой и непрерывной математикой является центральным вопросом для математического моделирования, искусства представления особенностей природного мира в математической форме.Вселенная не содержит реальных математических объектов и не состоит из них, но многие аспекты Вселенной очень похожи на математические концепции. Например, число два не существует как физический объект, но оно описывает важную особенность таких вещей, как человеческие близнецы и двойные звезды. Аналогичным образом действительные числа представляют собой удовлетворительные модели для множества явлений, даже если никакая физическая величина не может быть измерена с точностью до более чем дюжины или около того десятичных знаков. К реальному миру применимы не значения бесконечного числа десятичных знаков, а дедуктивные структуры, которые они воплощают и активируют.

Анализ возник потому, что многие аспекты мира природы можно с успехом рассматривать как непрерывные – по крайней мере, с отличной степенью приближения. Опять же, это вопрос моделирования, а не реальности. Материя на самом деле не непрерывна; если материю разделить на достаточно мелкие части, то появятся неделимые компоненты или атомы. Но атомы чрезвычайно малы, и для большинства приложений рассмотрение материи как континуума вносит незначительную ошибку и значительно упрощает вычисления.Например, моделирование континуума является стандартной инженерной практикой при изучении потока текучих сред, таких как воздух или вода, изгиба упругих материалов, распределения или потока электрического тока и потока тепла.

Открытие исчисления и поиск оснований

Два основных шага привели к созданию анализа. Первым было открытие удивительной взаимосвязи, известной как фундаментальная теорема исчисления, между пространственными задачами, включающими вычисление некоторого общего размера или значения, например длины, площади или объема (интегрирование), и проблемами, связанными со скоростью изменения, такие как наклон касательных и скоростей (дифференциация).Заслуга независимого открытия около 1670 г. фундаментальной теоремы исчисления вместе с изобретением методов применения этой теоремы принадлежит совместно Готфриду Вильгельму Лейбницу и Исааку Ньютону.

Хотя полезность исчисления в объяснении физических явлений стала очевидной, использование им бесконечности в вычислениях (посредством разложения кривых, геометрических тел и физических движений на бесконечно много мелких частей) вызвало повсеместное беспокойство. В частности, англиканский епископ Джордж Беркли опубликовал знаменитую брошюру The Analyst; или, «Беседа, адресованная неверному математику» (1734), указывающая на то, что исчисление – по крайней мере, в том виде, в каком его представили Ньютон и Лейбниц – обладали серьезными логическими ошибками.Анализ вырос из кропотливого тщательного изучения ранее нечетко определенных понятий, таких как функция и предел.

Подход Ньютона и Лейбница к исчислению был в основном геометрическим и включал отношения с «почти нулевыми» делителями – «флюксии» Ньютона и «бесконечно малые» Лейбница. В течение 18-го века исчисление становилось все более алгебраическим, поскольку математики – в первую очередь швейцарский Леонард Эйлер и итальянский француз Жозеф-Луи Лагранж – начали обобщать концепции непрерывности и пределов от геометрических кривых и тел до более абстрактных алгебраических функций и начали распространять эти идеи в комплексные числа.Хотя эти разработки не были полностью удовлетворительными с фундаментальной точки зрения, они были фундаментальными для возможного уточнения строгой основы для расчетов французом Огюстен-Луи Коши, богемцем Бернхардом Больцано и, прежде всего, немцем Карлом Вейерштрассом в 19 веке.

Список символов исчисления и анализа

В математике исчисление формализует изучение непрерывных изменений, а анализ обеспечивает его строгую логическую основу.В следующем списке представлены некоторые из наиболее известных символов и обозначений в исчислении и анализе, а также их использование и значение.

Для удобства чтения эти символы сгруппированы по теме и функции в таблицах. Другие исчерпывающие списки математических символов – с разбивкой по предметам и типам – также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите общую сводку математических символов в форме электронной книги – вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX. {\ pi i} = \ cos \ pi + i \ sin \ pi $.2 $ $ C $ Константа интегрирования $ \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x} \, \ mathrm {d} x = \ ln | x | + C $

Последовательность, последовательность и предел

Концепции последовательности , серии и предела составляют основу исчисления (а также реального и комплексного анализа). В следующей таблице представлены некоторые из наиболее распространенных символов, относящихся к этим темам, а также их использование и значение.k b_n = \\ b_1 + \ cdots + b_k $ $ \ | \ mathrm {x} – \ mathrm {y} \ | $ Евклидово расстояние между точками $ \ mathrm {x} $ и $ \ mathrm {y} $ $ \ | \ mathrm {x} – \ mathrm {x} _0 \ | <1 \ подразумевает $
$ | f (\ mathrm {x}) – f (\ mathrm {x} _0) | <2 $ $ d (x, y) $ Функция расстояния $ d (x, y) = | xy | $ $ \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty } a_n $ Предел последовательности $ \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {n} \ right) ^ n = e $ $ \ displaystyle \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = i} ^ k a_n, \ sum_ {n = i} ^ {\ infty} a_n $ Предел серии $ \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {2 ^ n} = 2 $ $ \ mathrm {x} \ to a $ Переменная $ \ mathrm {x} $ стремится к $ a $ $ \ lim (a_n) = 1/4 $ as $ n \ to \ infty $. 2 <2 \ right \} \ right) $ $ = \ sqrt {2} $ $ \ liminf a_n $ Предел подчиненного последовательности $ a_n $ $ \ displaystyle \ liminf_ {n \ to \ infty} \ dfrac {2} {n + 1} = $
$ \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty } 0 $ $ \ limsup a_n $ Ограничение старшего последовательности $ a_n $ $ \ displaystyle \ limsup_ {n \ to \ infty} b_n = $
$ \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ sup_ {m \ ge n} b_m \ right) $

Производная и интеграл

Область исчисления (например,g., многомерное / векторное исчисление, дифференциальные уравнения), как часто говорят, вращаются вокруг двух противоположных, но дополняющих друг друга концепций: производная и интеграл . В следующих таблицах указаны наиболее известные символы, связанные с ними, а также их использование и значение.

(Обзор функций и связанных операторов см. 2 (f) = D (D (f)) $ $ \ Delta \ mathrm {x} $ Приращение в переменной $ \ mathrm {x} $ $ \ Delta y \ приблизительно f ‘(x) \ Delta x $ $ d \ mathrm {x} $ Дифференциал переменной $ \ mathrm {x} $ $ dy = \ dfrac {dy} {dx} \, dx $

Многовариантные символы, связанные с производной

Название символа	Пояснение		Пример
$ f_ \ mathbf {x} $	Частная производная от $ f $ в терминах $ \ mathbf {x} $ (нотация Лагранжа)	$ \ displaystyle f_x (a, b) = \ lim_ {h \ to 0} $ $ \ frac {f (a + h, \, b) \, – \, f (a, \, b)} {h} $
$ \ dfrac {\ partial} {\ частичная \ mathrm {x}} f, \ dfrac {\ partial f} {\ partial \ mathrm {x}} $	Частная производная от $ f $ в терминах $ \ mathrm {x} $ (стиль Лейбница )	Если $ f $ имеет непрерывные вторые частные производные, то $ \ dfrac {\ partial} {\ partial y} \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial} {\ partial x} \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} $
$ \ dfrac {\ partial ^ n} {\ partial \ mathrm {x} ^ n} f, \ dfrac {\ partial ^ nf} {\ partial \ mathrm {x} ^ n} $	N-я частная производная от $ f $ в терминах $ \ mathrm {x} $ (стиль Лейбница)	$ \ dfrac {\ partial ^ 2 f} {\ частичный y ^ 2} = \ dfrac {\ partial} {\ partial y} \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} $
$ \ partial_x f $	Частная производная от $ f $ в терминах $ x $ (нотация Эйлера)	$ \ partial_ {xy} f = \ dfrac {\ partial} {\ partial y} \ dfrac {\ частичная f} {\ partial x} $
$ \ nabla _ {\ mathbf {v}} f $	Производная по направлению от $ f $ по направлению $ \ mathbf {v} $	$ \ набла _ {\ mathbb {v}} е (\ mathbf {x}) = $ $ \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf {v}) – f (\ mathrm {x})} {h} $
$ \ partial \ mathrm {x} $	Частный дифференциал переменной $ \ mathrm {x} $	$ \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} dx \ le df $
$ df $	Полный дифференциал функции $ f $	$ df = \ dfrac {\ partial f} {\ partial x_1} dx_1 + $ $ \ displaystyle \ cdots + \ dfrac {\ partial f} {\ partial x_n} dx_n $
$ \ nabla f, \ mathrm {grad} \, f $	Градиент функции $ f $ 9021 4	$ \ nabla f = $ $ \ left (\ dfrac {\ partial f} {\ partial x_1}, \ ldots, \ dfrac {\ partial f} {\ partial x_n} \ right) $
$ \ Delta f $	Оператор Лапласа функции $ f $	$ \ displaystyle \ Delta f = \ sum_ {i = 1} ^ n \ dfrac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x_i ^ 2} $
$ \ nabla \ cdot \ mathbf {F}, \ mathrm {div} \, \ mathbf {F} $	Расходимость векторного поля $ \ mathbf {F} $	$ \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ dfrac {\ partial F_x} {\ partial x} + $ $ \ dfrac {\ partial F_y} {\ partial y} + \ dfrac {\ partial F_z} {\ partial z} $
$ \ nabla \ times \ mathbf {F}, \ mathrm {curl} \, \ mathbf {F} $	Curl векторного поля $ \ mathbf {F} $	$ \ nabla \ times \ mathbf {F} = $ $ \ left (\ dfrac {\ partial} {\ partial x}, \ dfrac {\ partial} {\ partial y}, \ dfrac {\ partial} {\ partial z} \ right) \ раз $ $ \ left (F_x, F_y, F_z \ right) $

Производная / интеграл Связанные с al Сокращения

Название символа	Пояснение	Пример
$ \ displaystyle \ left. 3 $

• Стандартный интеграл
• Линейный интеграл
• Интеграл площади
• Поверхностный интеграл
  (векторного поля)

Асимптотический анализ

В расчетах и ​​анализе необходимость сравнения скоростей роста различных функций приводит к изучению асимптотического анализа .В следующей таблице приведены некоторые из наиболее примечательных символов, относящихся к этой теме, а также их использование и значение.

Название символа	Пояснение	Пример
$ f \ Equiv g $	Функция $ f $ равна идентично для функции $ g $	$ f \ Equiv g \ iff $ $ \ mathrm {dom} (f) = \ mathrm {dom} (g) $ $ \ mathrm {and} \, f (x) = g (x) $ $ \ left (\ forall x \ in \ mathrm {dom} (f) \ right) $
$ f \ sim g $	Функция $ f $ асимптотически равна , равняется функции $ g $	$ f \ sim g \ iff $ $ \ Displaystyle \ lim_ {х \ к \ infty} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = 1 $
$ f \ ll g, f \ in O (g) $	$ f $ асимптотически ограничено выше $ g $ ($ f $ находится в big-O $ g $)	$ f \ ll g \ iff \ exists k> 0 $ $ | f (x ) | \ le k | g (x) | $ $ (\ forall x \ ge x_0) $
$ f \ gg g, f \ in \ Omega (g) $	$ f $ асимптотически ограничено снизу by $ g $ ($ f $ находится в большой омеге $ g $)	$ f \ gg g \ iff \ exists k> 0 $ $ | f (x) | \ ge k | g (x) | $ $ (\ forall x \ ge x_0) $
$ f \ in \ Theta (g) $	$ f $ – это , асимптотически ограниченное сверху и снизу с помощью $ g $ ($ f $ находится в big-Theta из $ g $)	$ f \ in \ Theta (g) \ iff $ $ f \ ll g \: \ mathrm {and} \: f \ gg g $
$ f \ in o (g) $	$ f $ – это с асимптотическим преобладанием при $ g $ ($ f $ находится в small-O из $ g $)	$ f \ in o (g) $ тогда и только тогда, когда для всех $ k> 0 $, $ | f (x) | $ (для всех $ x \ ge x_0 $). x $

Ключевые функции и преобразования

В расчетах и ​​анализе часто упоминаются широкий спектр ключевых функций и преобразует .В следующей таблице приведены наиболее известные из них, а также их использование и значение.

(Обзор элементарных функций см. В ключевых функциях в алгебре .)

Ключевые функции

Имя функции	Объяснение	Пример
$ \ mathrm {sgn} (x ) $	Знаковая функция	$ \ mathrm {sgn} (x) = $ $ \ begin {cases} -1 & x <0 \\ 0 & x = 0 \\ 1 & x> 0 \ end {case} $
$ \ mathrm {atan2} (y, x) $	Арктангенсная функция с двумя аргументами	$ \ mathrm {atan2} (1, 0) = \ pi / 2 $
$ \ mathrm {B} (x, y) $	Бета-функция	$ \ mathrm {B} (x, y) = $ $ \ displaystyle \! \! \! \ int_0 ^ 1 t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt $
$ \ Gamma (x) $	Гамма-функция	$ \ Gamma (z ) = $ $ \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} x ^ {z-1} e ^ {- x} \, dx $
$ \ mathrm {sinc} (x) $	Функция Sinc	$ \ mathrm {sinc} (x) = \ dfrac {\ sin x} {x} $
$ \ mathrm {Si} (x) $	Интеграл синуса	$ \ mathrm { Si} (x) = \ displaystyle \ int_0 ^ x \ dfrac {\ sin t} {t} \, dt $
$ \ mathrm {erf} (x) $	Функция ошибки	$ \ mathrm {erf} (x) = $ $ \ displaystyle \ dfrac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ int_ {0} ^ xe ^ {- t ^ 2} \, dt $
$ \ zeta (s) $	Дзета-функция Римана	$ \ zeta (s) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ s} $
$ f \ ast g $	Свертка функций $ f $ и $ g $	$ (f \ ast g) (x) = $ $ \ d isplaystyle \! \! \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) g (xt) \, dt $
$ \ delta (x) $	Дельта-функция Дирака	Грубо говоря, $ \ delta (x) = 0 $ для всех $ x \ ne 0 $ и $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ дельта (х) \, dx = 1 $.{-2 \ pi i t x} \, dx $

Для основного списка символов см. Математические символы. Списки символов, разделенных на типа и на , см. На соответствующих страницах ниже.

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите общую сводку математических символов в форме электронной книги – вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Дополнительные ресурсы

6. Производная экспоненциальной функции

М.x`

Что это значит? Это означает, что наклон такой же, как значение функции (значение y ) для всех точек на графике.

Пример: Давайте рассмотрим пример, когда x = 2. На этом этапе значение y составляет e ² ≈ 7,39.

Поскольку производная e ^x равна e ^x , то наклон касательной при x = 2 также равен e ² ≈ 7.