Нормальное распределение (Распределения Гаусса)
Нормальное распределение (Распределения Гаусса)Из курса А.А.Авдеева, читавшегося в Страсбургском университете в 2003-2005 годах (перевод на русский и адаптация к традиции русской терминологии еще не закончены)
[Объяснение] [Распределение Z]
Нормальное распределение, или распределение Гаусса (Gauss) используестя для проверки различных гипотез, включая гипотезу о равенстве двух средних. Это распределение имеет среднюю арифметическую равную 0 и дисперсию равную 1. На графике слева представлена плотность распределения и вероятность (p) соответствующая различным (как говорят “критическим”) значениям Z.
Значения в таблице представляют собой площадь, находящуюся под частью кривой, которую описывает стандартизированноя нормальная функция (Gausse)в интервале значений от 0 до Z. Например, площадь, ограниченная значениями 0 и 2,36, находится на пересечении линии 2,30 и колонки 0,06. Она равна 0,4909. Если значение Z является отрицательным, то, учитывая симмертичность функции относительно средней, искомая вероятность (площадь) будет находится на пересечении линии и колонки, соответсвующих абсолютному значению Z ( |Z| ). Например, площадь между 0 и -1.3 равна площади между 0 et 1.3; то есть она находится на пересечении линии 1.3 и колоники 0 и равна 0,4032.
Чтобы лучше разобраться в том, как расчитывается вероятность гипотез с помощью таблицы значений нормального распределения, попробуйте самостоятельно построить в Экселе соответствующую таблицу (как ту, что вы видите ниже), используя встроенные функции данного таблятора.
|
Нормальное распределение
|
Интеграл от 0 до z
|
Проекция Гаусса
Проекция Гаусса
Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса
Применяемая в настоящее время в Украине для карт масштабов 1 : 500 000 и крупнее равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция названа именем знаменитого немецкого математика Гаусса, разработавшего в 1825 году общую теорию равноугольного изображения одной поверхности на другой.
Проекция Гаусса является проекцией эллипсоида на плоскость, и ее определяют следующие условия:
— равноугольность изображения;
— изображение осевого (среднего) меридиана в виде прямой, по отношению к которой все меридианы и параллели располагаются симметрично;
— сохранение длины осевого меридиана.
Рабочие формулы равноугольной проекции эллипсоида без промежуточного перехода на шар дал Л Крюгер в 1912 году, вследствие чего эту проекцию в литературе также называют проекцией Гаусса Крюгера.
В поперечно-цилиндрической проекции Гаусса в отличие от равноугольной цилиндрической проекции Меркатора проектирование производится на поверхность цилиндра, касающегося поверхности земного эллипсоида (а не шара) не по экватору, а по меридиану (рис. 1). Поэтому и масштаб сохраняется не по экватору НОН1, а по меридиану касания РОР1. При проектировании цилиндр берется с эллиптическим поперечным сечением.
Рис. 1. Цилиндр, касающийся земного эллипсоида по меридиану
Искажения в проекции Гаусса
Искажения в проекции Гаусса нарастают с удалением от осевого меридиана к западу и востоку, а изоколы имеют вид прямых, параллельных меридиану касания (осевому меридиану).
Взаимно – перпендикулярными прямыми в проекции Гаусса изображаются не меридианы и параллели, а дуги малых кругов ABC и DEP (альмукантараты) и дуги больших кругов HQ, НК, НО, HL, перпендикулярные к осевому меридиану (вертикалы). Если альмукантараты ABC, DEF проведены на эллипсоиде через одинаковые промежутки, а вертикалы делят осевой меридиан на равные отрезки LO=OK=KQ, то они, по аналогии с проекцией Меркатора, образуют на карте координатную сеть прямоугольников, как показано на рис. 2. Линиями абсцисс здесь являются изображения альмукантаратов, а линиями ординат изображения вертикалов.
Также по аналогии с проекцией Меркатора с известным допуском можно утверждать, что масштаб в равноугольной поперечно-цилиндрической проекции Гаусса в любой точке карты по любому направлению выражается формулой
Рис. 2 Координаты точки в проекции Гаусса
φ’- центральный угол, измеряющий альмукантарат данной точки.
Угол , выраженный в радианной мере, равен длине стягивающей его дуги вертикала, деленной на радиус шара (в данном случае эллипсоид можно приравнять к шару). Если стягивающую дугу угла обозначить через у0, то
Где R — радиус земного шара. Разложив В ряд, получим
(41)
Эта формула, так же как и формула , показывает, что в проекции Гаусса искажения нарастают с удалением от осевого меридиана, т. е. с увеличением на карте ординаты у.
Меридианы и параллели, за некоторыми исключениями, имеют в проекции Гаусса вид сложных кривых (рис. 3). Экватор, средний осевой) меридиан и меридианы, удаленные от среднего на 90° долготы, являются прямыми линиями.
Рис. 3. Картографическая сетка в проекции Гаусса
Проекция Гаусса при сплошном изображении больших территорий, вытянутых по долготе, дает большие искажения (точки, удаленные по экватору от осевого меридиана на 90° долготы, уходят в бесконечность). Поэтому в целях уменьшения искажений она применяется по зонам, ограниченным линиями меридианов. Каждая зона изображается на плоскости в отдельности, причем за ось X принимается изображение среднего (осевого) меридиана каждой зоны, а за ось У — изображение экватора. Протяженность зон по долготе берется такой, чтобы искажения на их краях были пренебрегаемо малы.
При удалении к западу или востоку от осевого меридиана на 3° относительное искажение длин достигает на экваторе 1/750, а на широте 45° — 1/1500. Такое искажение допустимо для карт масштабов 1: 25 000 и мельче. Однако с удалением от осевого меридиана зоны больше чем на 3° линейные искажения начинают, быстро расти, и становятся недопустимыми. Исходя из этого, в СНГ протяженность зон по долготе установлена в 6°.
Нумерация шестиградусных зон в проекции Гаусса приведена в таблице 5.
Таблица 5
Нумерация шестиградусных зон в проекции Гаусса.
|
Номер зоны |
Долгота осевого меридиана от Гринвича |
Номер колонны листов миллионной карты |
Номер зоны |
Долгота осевого меридиана от Гринвича |
Номер колонны листов миллионной карты |
||
|
К вос-току |
К запа-ду |
К вос-току |
К запа-ду |
||||
|
1 |
3о |
31 |
… |
… |
… |
||
|
2 |
9 |
32 |
… |
… |
… |
||
|
3 |
15 |
33 |
29 |
171° |
59 |
||
|
4 |
21 |
34 |
30 |
177 |
60 |
||
|
5 |
27 |
35 |
31 |
177° |
1 |
||
|
6 |
33 |
36 |
32 |
171 |
2 |
Примечание: При выполнении специальных съемок в масштабах 1: 25 000 и крупнее техническими инструкциями допускается применение трехградусных и даже более узких зон, в зависимости от масштаба съемки и предъявляемых к ней требований.
|
Изображение зон на плоскости показано на рис. 4. Зная номер зоны, можно определить долготу ее осевого (среднего) меридиана по формуле
L0 = 6N — 3,
Где П — номер зоны,
L0— долгота осевого меридиана.
Наоборот, зная долготу осевого меридиана, легко определить номер зоны по формуле
Абсциссы х в каждой зоне отсчитываются от экватора к северу со знаком плюс, а к югу—со знаком минус. Для всей территории Украины абсциссы х положительны, поэтому знак плюс перед ними не ставится. Ординаты у отсчитываются от осевого меридиана каждой зоны со знаком плюс к востоку и со знаком минус к западу. Чтобы избежать отрицательных значений ординат, их условно увеличивают путем алгебраического прибавления на 500000 м. Кроме того, впереди полученной суммы ставят номер зоны, чтобы знать, в какой зоне находится данная точка. Например, некоторая точка находится в зоне 7 и имеет ординату
У = — 243 435,15 м.
Согласно указанному правилу преобразованное, условное значение ординаты будет
У = 7 256 564,85 м.
Таким образом, для вычисления условной ординаты любой точки должен быть известен номер зоны, в которой точка находится.
Рис. 5,6 Основные обозначения на эллипсоиде и плоскости в проекции Гаусса.
Номер зоны можно определить, зная долготу данной точки или номенклатуру листа какой-либо топографической или обзорно-топографической карты, на котором она расположена.
Для проекции Гаусса приняты следующие основные обозначения (рис. 5 —на эллипсоиде и рис. 6 — на плоскости):
В — геодезическая широта произвольной точки М на эллипсоиде;
L — геодезическая долгота от Гринвича той же точки на эллипсоиде;
L0 — долгота от Гринвича осевого меридиана;
L = L — L0 — разность долгот меридиана данной точки и осевого меридиана;
А — азимут геодезической линии на эллипсоиде;
Хв — длина меридиана от экватора до параллели с широтой данной точки;
х и у — прямоугольные координаты Гаусса соответствующей
Точки М1 на плоскости;
— гауссово сближение меридианов;
— дирекционный угол хорды геодезической линии M1N1´ На плоскости;
Рис. 7. Связь между азимутом, дирекционным углом и сближением меридианов в проекции Гаусса.
— поправка за кривизну изображения геодезической линии M1N1´ (кривой) на плоскости;
N—радиус кривизны первого вертикала в точке с широтой В.
Прямоугольными координатами Гаусса любой точки земного эллипсоида называются плоские прямоугольные координаты изображения соответствующей точки на плоскости в проекции Гаусса.
Гауссовым сближением меридианов в данной точке называется угол, образованный на плоскости меридианом, проходящим через данную точку, и линией, параллельной осевому меридиану.
Геодезической линией между двумя точками на эллипсоиде называется линия кратчайшего расстояния на поверхности эллипсоида между этими точками. Геодезическая линия в проекции Гаусса изображается в виде кривой, образующей со своей хордой некоторый угол 5, называемый поправкой за кривизну кривой. Угол 3 мал и учитывается лишь при обработке триангуляции.
Дирекционным углом какого-либо направления на плоскости называется угол между положительным направлением оси X и данным направлением. Этот угол изменяется от 0 до 360° и отсчитывается от положительного направления оси X по ходу часовой стрелки. Связь между азимутом, дирекционным углом и гауссовым сближением меридианов произвольной точки М1 на плоскости легко определяется из рис. 53.
|
и
Ниже без вывода приводятся формулы, определяющие проекцию Гаусса
(42)
(43)
В этих формулах
T = TgB,
, где
L“ — разность долгот, выраженная в секундах.
P“=206265″.
Формулы для вычисления гауссова сближения меридианов И масштаба изображения m по геодезическим координатам данной точки имеют вид
(44)
(45)
Исследования формул (42) и (43) показывают, что при вычислении х и у в шестиградусных зонах для широт в пределах территории СССР члены формул, содержащие L“6, L“5 и L“4 не превышают соответственно 0,005, 0,05 и 3,0 м. Следовательно, при вычислениях х и у для картографических целей (составления карт масштабов 1:100000 и мельче) в правых частях этих формул достаточно удерживать лишь первые два члена.
Исходя из этих же соображений, гауссово сближение меридианов можно вычислять по приближенной формуле
А масштаб изображения в любой точке карты по формуле
(4б)
Формула (46) получается из формулы (41), если в ней отбросить третий и последующие члены и заменить дугу у0 на шаре ординатой у на плоскости; в пределах шестиградусной зоны
Трапеция в проекции Гаусса
Рис.8 Трапеция в проекции Гаусса
Значение Отличается от значения На весьма незначительную величину.
Обычно прямоугольные координаты Гаусса вычисляют не по формулам (42) и (43), а с помощью специальных таблиц. Таблицы для логарифмического вычисления координат Гаусса-Крюгера издания 1946 года, таблицы координат Гаусса-Крюгера издания 47 года. В вводных частях этих таблиц дается подробное их описание, приводятся пояснения к пользованию таблицами и примеры вычисления координат.
В отличие от многогранной проекции, ранее применявшейся у нас для топографических карт, в проекции Гаусса вследствие увеличения искажений в оба направления от осевого меридиана трапеция топографической или обзорно-топографической карты, сторонами которой являются отрезки меридианов и параллелей, не представляет собой геометрически правильной фигуры. Вогнутость меридианов в ней направлена в сторону осевого меридиана (рис. 8). Однако уклонение меридианов от прямой значительно меньше графической точности, которая требуется при построении трапеций карт масштабов 1:500 000 и крупнее. Поэтому боковые стороны трапеций этих карт в проекции Гаусса изображаются прямыми линиями.
Уклонение параллелей от прямой начинает практически ощущаться на трапециях карт масштабов 1:100000 и мельче (с разностью долгот крайних меридианов в 30′ и больше). Исходя из этого, каждая параллель (северная или южная сторона) трапеции наносится: для карты масштаба 1:100 000 по координатам трех точек, для карты масштаба 1:200 000 по координатам пяти точек и для карты масштаба 1:500 000 по координатам семи точек. В соответствии с этим для построения трапеций карт масштабов 1:100000, 1:200 000 и 1:500 000 необходимо знать координаты соответственно шести, десяти и четырнадцати точек. Трапеции карт масштабов 1: 50 000 и крупнее строятся по координатам четырех точек (вершин углов).
На рис. 9 показаны схематические изображения трапеций карт масштабов 1 : 10000—1:500000. Для трапеций карт масштабов 1:100000, 1:200000 и 1:500000 указаны промежуточные точки, по координатам которых наносятся параллели, и приведены размеры трапеций в градусной мере (И—размеры трапеции соответственно по широте и долготе).
|
Прямоугольные координаты Гаусса вершин углов трапеций и промежуточных точек выбираются из специальных таблиц (Таблицы координат Гаусса-Крюгера издания 1947 года). Построение трапеции производится путем нанесения этих точек обычным способом
На координатографе или с помощью штангенциркуля и масштабной линейки. В последнем случае вначале строится квадрат или прямоугольник, а затем от его сторон по координатам наносятся вершины углов трапеции и промежуточные точки, если последние необходимы.
Для удобства обработки геодезических измерений, выполненных на стыке двух смежных зон, установлено взаимное перекрытие координатных зон, по долготе. При этом западная зона перекрывает восточную на 30′, а восточная перекрывает западную на 7′,5. В соответствии с этим в каталогах геодезических пунктов для всех пунктов, находящихся в полосе перекрытия, приводятся прямоугольные координаты для обеих зон. В отдельных случаях может возникнуть необходимость в координатах смежной зоны для пунктов, находящихся за пределами полосы перекрытия зон. В этих случаях производится преобразование прямоугольных координат пунктов из одной шестиградусной зоны в другую, смежную шестиградусную зону. Обычно выполняется с помощью специальных таблиц (Таблицы для перевычисления прямоугольных координат Гаусса-Крюгера из одной шестиградусной зоны в другую шестиградусную зону издания 1947 года). Таблицы для перевычисления прямоугольных координат Гаусса-Крюгера из одной шестиградусной зоны в смежную шестиградусную зону издания 1946 года ) и т. д. В вводных частях этих таблиц даются пояснения к пользованию ими и приводятся примеры перевычисления координат.
Для решения ряда практических задач, в частности военных, на топографических картах наносится сетка прямоугольных координат Гаусса, или координатная сетка. Она представляет собой сеть квадратов, образуемых линиями, параллельными осевому меридиану зоны, и линиями, перпендикулярными к нему. В каждой зоне координатная сетка наносится от экватора и осевого меридиана данной зоны. Наличие координатной сетки значительно облегчает определение координат точек по карте и нанесение точек на карту по координатам.
Применяемая для карт масштабов 1:10000 — 1:500 000 проекция Гаусса имеет ряд преимуществ по сравнению с применявшейся ранее у нас многогранной проекцией. Первым преимуществом этой проекции является ее связь на картах с координатной сеткой и прямоугольными координатами геодезических пунктов. Нанесению вершин углов трапеции и геодезических пунктов в проекции Гаусса предшествует построение координатной сетки. При применении многогранной проекции сначала строится трапеция, а затем уже от вершин ее углов наносится сетка прямоугольных координат Гаусса. Это снижает графическую точность нанесения геодезических пунктов.
Вторым преимуществом проекции Гаусса является теоретическая возможность склейки какого угодно большого количества листов карт в пределах шестиградусной зоны.
Наконец, третьим преимуществом проекции Гаусса является ее равноугольность. В сравнении с другими проекциями, применяемыми для топографических и обзорно-топографических карт, проекция Гаусса имеет то преимущество, что в ней искажения учитываются по довольно простым формулам.
Кроме Украины проекция Гаусса применяется для топогеодезических и картографических работ в странах (Финляндия, Англия, Турция и т. д.). Однако она не является единой и применяется, как правило, в трехградусных зонах.
Проекция Гаусса – 3.6 out of 5 based on 19 votes
Таблицы координат Гаусса – Крюгера для широт от 32° до 80° через 5’ и для долгот от 0° до 6° через 7½’ и таблицы размеров рамок и площадей трапеции топографических съемок [Текст] : Эллипсоид Красовского
Поиск по определенным полям
Чтобы сузить результаты поисковой выдачи, можно уточнить запрос, указав поля, по которым производить поиск. Список полей представлен выше. Например:
author:иванов
Можно искать по нескольким полям одновременно:author:иванов title:исследование
Логически операторы
По умолчанию используется оператор AND.
Оператор AND означает, что документ должен соответствовать всем элементам в группе:
исследование разработка
author:иванов title:разработка
оператор OR означает, что документ должен соответствовать одному из значений в группе:исследование OR разработка
author:иванов OR title:разработка
оператор NOT исключает документы, содержащие данный элемент:исследование NOT разработка
author:иванов NOT title:разработка
Тип поиска
При написании запроса можно указывать способ, по которому фраза будет искаться. Поддерживается четыре метода: поиск с учетом морфологии, без морфологии, поиск префикса, поиск фразы.
По-умолчанию, поиск производится с учетом морфологии.
Для поиска без морфологии, перед словами в фразе достаточно поставить знак “доллар”:
$исследование $развития
Для поиска префикса нужно поставить звездочку после запроса:исследование*
Для поиска фразы нужно заключить запрос в двойные кавычки:“исследование и разработка“
Поиск по синонимам
Для включения в результаты поиска синонимов слова нужно поставить решётку “#” перед словом или перед выражением в скобках.
В применении к одному слову для него будет найдено до трёх синонимов.
В применении к выражению в скобках к каждому слову будет добавлен синоним, если он был найден.
Не сочетается с поиском без морфологии, поиском по префиксу или поиском по фразе.
#исследование
Группировка
Для того, чтобы сгруппировать поисковые фразы нужно использовать скобки. Это позволяет управлять булевой логикой запроса.
Например, нужно составить запрос: найти документы у которых автор Иванов или Петров, и заглавие содержит слова исследование или разработка:
author:(иванов OR петров) title:(исследование OR разработка)
Приблизительный поиск слова
Для приблизительного поиска нужно поставить тильду “~” в конце слова из фразы. Например:
бром~
При поиске будут найдены такие слова, как “бром”, “ром”, “пром” и т.д.Можно дополнительно указать максимальное количество возможных правок: 0, 1 или 2.4 разработка По умолчанию, уровень равен 1. Допустимые значения – положительное вещественное число.
Поиск в интервале
Для указания интервала, в котором должно находиться значение какого-то поля, следует указать в скобках граничные значения, разделенные оператором TO.
Будет произведена лексикографическая сортировка.
author:[Иванов TO Петров]
Будут возвращены результаты с автором, начиная от Иванова и заканчивая Петровым, Иванов и Петров будут включены в результат.author:{Иванов TO Петров}
Такой запрос вернёт результаты с автором, начиная от Иванова и заканчивая Петровым, но Иванов и Петров не будут включены в результат.Для того, чтобы включить значение в интервал, используйте квадратные скобки. Для исключения значения используйте фигурные скобки.
Приложение Пасхальные таблицы и таблицы дат первых весенних астрономических полнолуний, вычисленных по формулам Гаусса (Г.В. Носовский)
Читайте также
Таблицы
Таблицы Таблица 1.1: Основные события в истории антропологического изучения неандертальцев Таблица 2.1: Основные различия в анатомии черепа между неандертальцами и современными людьми Таблица 2.2: Основные различия в анатомии посткраниального скелета
ПРИЛОЖЕНИЕ XIII ГЕНЕАЛОГИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ XIII ГЕНЕАЛОГИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ Потомки Филиппа Августа Графы Тулузские Монфоры Тренкавели Виконты Нарбоннские Семья Фуа, Комменж и
Приложение 1 Таблицы
Приложение 1 Таблицы Таблица 1. Данные Почепского РО НКВД (Брянская область) о советских руководителях, сотрудничавших с оккупантами (на 10 августа 1944 г.) Фамилия. И. О. Должность до оккупации Должность во время оккупации Должность после оккупации Иные сведения Полессков
Приложение 1 (таблицы)
Приложение 1 (таблицы) Таблица 1Данные Почепского РО НКВД (Брянская область) о советских руководителях, сотрудничавших с оккупантами (на 10 августа 1944 г.) Источник: ГАБО. Ф. 2609. Оп. 1. Д. 21. Л. 74–75 об.; 76–81.Таблица 2Данные о коллаборационистах в сфере управления по
Приложение 1 Таблицы
Приложение 1 Таблицы Таблица 1. Данные Почепского РО НКВД (Брянская область) о советских руководителях, сотрудничавших с оккупантами (на 10 августа 1944 г.) Фамилия. И. О. Должность до оккупации Должность во время оккупации Должность после оккупации Иные
Таблицы[41]
Таблицы[41] 1. Демографические изменения. Распределение по возрасту, рост населения в 1750–1994 годах – 3522. Младенческая смертность. Умершие на первом году жизни в расчете на 1000 оставшихся в живых в 1750–1994 годах – 3543. Родившиеся вне брака на 1000 оставшихся в жи- вых в 1750–1994
Таблицы
Таблицы Список таблиц №№ 1-331. Численность офицерского корпуса Действующей армии на 1 марта 1917 г.2. Численность офицеров Действующей армии на 1 мая 1917 г.3. Численность офицеров Действующей армии на 25 октября 1917 г.4. Численность офицеров флота на январь 1917 г.5. Пленные офицеры
Таблицы
Таблицы СИНХРОНИСТИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА ПО ИСТОРИИ ДРЕВНЕГО ВОСТОКАIV–II тысячелетия до н. э. СИНХРОНИСТИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА ПО ИСТОРИИ ДРЕВНЕГО ВОСТОКАII–I тысячелетие до н. э. СИНХРОНИСТИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА ПО ИСТОРИИ ДРЕВНЕГО ВОСТОКАI тысячелетие до н. э. СИНХРОНИСТИЧЕСКАЯ
Приложение. Хронологические таблицы
Приложение. Хронологические таблицы 1. Англия
Приложение VI. Геналогические таблицы
Приложение VI. Геналогические таблицы Таблица I Английский королевский дом в XII–XIV вв.Анжуйская династия (Плантагенеты) Таблица II Графский дом Ланкастеров Таблица III Дом Мортимеров Таблица IV Английский королевский дом в XIV–XV вв.Династия ЛанкастеровДом
4.1. Датировка пасхалии по минимуму среднеквадратичного отклонения календарных пасхальных полнолуний от астрономических полнолуний
4.1. Датировка пасхалии по минимуму среднеквадратичного отклонения календарных пасхальных полнолуний от астрономических полнолуний В настоящем разделе представлены результаты, полученные д. т. н., проф. Г.И. Макаровым, зав. кафедрой технической механики РГУ нефти и газа
Приложение 2 Сводные хронологические таблицы правителей и всевозможных их имен в скалигеровской версии истории Е.А. Елисеев, Г.В. Носовский, А.Т. Фоменко
Приложение 2 Сводные хронологические таблицы правителей и всевозможных их имен в скалигеровской версии истории Е.А. Елисеев, Г.В. Носовский, А.Т. Фоменко В настоящем Приложении приведены составленные нами хронологические таблицы правителей. Они отражают СКАЛИГЕРОВСКУЮ
Таблицы
Таблицы Таблица 1Венгерские и немецкие войска между Дунаем и рекой Тиса по состоянию на 31 октября 1944 г.Венгерская 3-я армия Примечания:1 По немецкой военной терминологии, боевой состав обозначал количество войск данного соединения или части, предназначенных для
Гаусс – математика и искусство
ГАУСС Карл Фридрих (1777-1855), немецкий математик, иностранный член-корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Петербургской АН. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство основной теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференциальной геометрии (внутренняя геометрия поверхностей), математической физики (принцип Гаусса), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и многих разделов астрономии.
Еще при жизни Гаусс был удостоен почетного титула «принц математиков». Школьные учителя были так поражены его математическими и лингвистическими способностями, что обратились к герцогу Брауншвейгскому с просьбой о поддержке, и герцог дал деньги на продолжение обучения в школе и в Геттингенском университете (в 1795-1798). Степень доктора Гаусс получил в 1799 в университете Хельмштедта.
Первое же обширное сочинение Гаусса «Арифметические исследования» (опубл. в 1801) на многие годы определило последующее развитие двух важных разделов математики — теории чисел и высшей алгебры. Гаусс указал все числа, при которых построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки возможно. Это пять так называемых гауссовых простых чисел: 3, 5, 17, 257 и 65337, а также умноженные на любую степень двойки произведения различных (не повторяющихся) гауссовых чисел. Гаусс предложил также явный способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника. Это событие Гаусс посчитал столь значительным, что отметил его в «Дневнике» и завещал высечь правильный 17-угольник на своем надгробии.
С именем Гаусса также связана основная теорема алгебры, согласно которой число корней многочлена (действительных и комплексных) равно степени многочлена (при подсчете числа корней кратный корень учитывается столько раз, какова его степень).
Мировую известность обрел разработанный Гауссом метод определения эллиптической орбиты по трем наблюдениям. Применение этого метода к малой планете Церера позволило вновь найти ее на небе после того как она была утеряна вскоре после ее открытия астрономом Дж. Пиацци (1801). Не меньший успех сопутствовал применению метода Гаусса к другой малой планете, Палладе (1802).
В 1818 Гаусс одним из первых начинает размышлять над созданием неевклидовой геометрии, но от публикации полученных результатов воздерживается, опасаясь, по собственному признанию, «криков беотийцев» (т. е. возражений и насмешек невежд).
| Как пользоваться этой таблицей | В таблице ниже указаны площади под стандартной нормальной кривой.
от 0 до z . Это можно использовать для вычисления
кумулятивные значения функции распределения
для стандартного нормального распределения. В таблице используется симметрия нормального распределения, так что на самом деле дается это где , а – величина интереса.Это продемонстрировано в график ниже для a = 0,5. Заштрихованный участок кривой представляет вероятность того, что x находится в диапазоне от 0 до a .Это можно пояснить несколькими простыми примерами.
| .
| п | 0.001 | 0,005 | 0,010 | 0,025 | 0,050 | 0,100 |
| Z p | -3,090 | -2,576 | -2,326 | -1,960 | -1,645 | -1.282 |
| п | 0,999 | 0,995 | 0,990 | 0,975 | 0,950 | 0,900 |
| Z p | +3,090 | +2,576 | +2,326 | +1.960 | +1,645 | +1,282 |
Это критические значения для нормального распределения.
Как использовать таблицу Z-Score (Стандартная нормальная таблица)
- Статистика
- Стандартная нормальная таблица
Как использовать Z-таблицу
Автор: доктор Саул МакЛеод, опубликовано 30 мая 2019 г.
Что вам говорит таблица z-оценок?
Z-таблица, также называемая стандартной нормальной таблицей, представляет собой математическую таблицу, которая позволяет нам узнать процент значений ниже (слева) z-оценки в стандартном нормальном распределении (SND).
Рисунок 1. Стандартное нормальное распределение (SND).
Z-оценка, также известная как стандартная оценка, указывает количество стандартных отклонений, которые исходная оценка лежит выше или ниже среднего. Когда вычисляется среднее z-значения, оно всегда равно 0, а стандартное отклонение (дисперсия) всегда с шагом 1.
Как использовать z-таблицу, чтобы найти площадь слева от положительного z-оценка
Таблица z-значений показывает процент значений (обычно десятичное число) слева от заданного z-значения при стандартном нормальном распределении.
Например, представьте, что значение Z-score составляет 1,09. Сначала посмотрите в левый столбец z-таблицы, чтобы найти значение, соответствующее одному десятичному знаку z-значения (например, целое число и первая цифра после десятичной точки).
В данном случае это 1.0. Затем мы ищем оставшееся число в таблице (вверху), которое в нашем примере равно 0,09.
Рис. 2. Использование таблицы z-значений для вычисления доли (%) SND слева от z-показателя.
Соответствующая площадь равна 0,8621, что соответствует 86,21% стандартного нормального распределения, находящегося ниже (или слева) от z-значения.
Рис. 3. Доля (%) SND слева от z-значения.
Как найти область справа от положительного z-значения?
Чтобы найти область справа от положительного z-значения, начните с считывания площади в таблице стандартного нормального распределения.
Поскольку общая площадь под колоколообразной кривой равна 1 (как десятичное значение, эквивалентное 100%), мы вычитаем площадь из таблицы из 1.
Например, площадь слева от z = 1,09 равна указано в таблице как .8621. Таким образом, площадь справа от z = 1,09 равна 1 – 0,8621. = 0,1379.
Как найти область слева от отрицательного z-значения?
Если у вас отрицательный z-показатель, просто используйте ту же таблицу, но не обращайте внимания на отрицательный знак, а затем вычтите площадь из таблицы из 1.
Как использовать z-таблицу, чтобы найти область справа от отрицательной z-оценки
Если у вас отрицательная z-оценка, просто используйте ту же таблицу, но не обращайте внимания на отрицательный знак, чтобы найти область над вашим z-оценка.
Как найти область между двумя z-значениями?
Чтобы найти область между двумя отрицательными z-значениями, мы должны сначала найти площадь (пропорцию SND) слева от самого низкого значения z-score и площадь (пропорцию SND) справа от наивысшего z -оценка.
Затем мы должны сложить эти пропорциональные значения вместе и вычесть их из 1 (общая площадь SND.
Ссылка на эту статью: Ссылка на эту статью:McLeod, SA (2019, 30 мая). О чем вам говорит таблица Z? Просто психология: https://www.simplypsychology.org/z-table.html
сообщить об этом объявленииРаспределение по Гауссу – обзор
Если распределение по Гауссу характеризующие наблюдаемые данные при двух условиях стимула s0 и s1 имеют разные ковариации, т.е.е.,
p (x | s0) ∼N (n0, C0), p (x | s1) ∼N (n1, C1)
то логарифмическое отношение правдоподобия квадратично зависит от x , ведущее к сложному правилу оптимального решения, которое не может быть проанализировано аналитически. Альтернативой является проецирование x на вектор w так, чтобы его присвоение s0 или s1 основывалось на условии
l˜ (x) = wTx≷ξ,
, как в уравнении. (27,14). Функция l˜ (x) называется линейной дискриминантной функцией. Конечно, решающее правило не является оптимальным в смысле §27.2, и его производительность будет зависеть от выбора подходящего вектора w .
Чтобы мотивировать выбор w , сначала отметьте, что l˜ (x) является гауссовым относительно s0 и s1, то есть p (l˜ | s0) ∼N (μ0, σ02) и p (l˜ | s1) ∼N (μ1, σ12), где
μi = wTni и σi2 = wTCiw, i = 0,1.
Таким образом, мы можем найти вектор w , который максимизирует квадрат расстояния между μ0 и μ1. Однако увеличение (μ1 − μ0) 2 имеет смысл только в том случае, если разброс распределений не увеличивается в процессе.Например, умножение w на λ> 0 увеличит квадрат разницы между μ0 и μ1, но поскольку σ0 и σ1 увеличиваются пропорционально, это не улучшает классификацию. Таким образом, имеет значение только направление w . Естественной мерой разброса является среднее значение дисперсии прогнозируемых распределений (σ02 + σ12) / 2, поэтому мы максимизируем
f (w) = (μ1 − μ0) 2 (σ02 + σ12) / 2 = wT ( n1 − n0) (n1 − n0) TwwT (12C1 + 12C0) w.
Обратите внимание, что f (λw) = f (w) и, следовательно, f зависит только от направления w , как и ожидалось.Отметим также, что когда σ1 = σ2, первое равенство показывает, что f (w) равно отношению сигнал / шум d2 из п. 27.1. Вектор w , который максимизирует это частное, может быть получен, как в упражнении 16.7, или, альтернативно, если мы определим Sn = (n1 − n0) (n1 − n0) T и SC = (C1 + C0) / 2, то f (w) = (wTSnw) / (wTSCw) и вектор w , который максимизирует f , должен удовлетворять следующему уравнению:
(27,24) Snw = λSCwor, что эквивалентно SC − 1Snw = λw
(упражнение 13). Обратите внимание, что матрица Sn – это просто проекция на вектор n = n1 − n0, поскольку Snw = (nTw) n.Таким образом, решение уравнения. (27.24) определяется выражением w = SC − 1 (n1 − n0). Если C0 = C1, это сводится к решению уравнения. (27,14). Пример показан на рисунке 27.5.
Рисунок 27.5. Контурные графики изовероятности для двух гауссовых распределений, а также спроецированных распределений вдоль оптимального направления дискриминации (определяемого путем решения уравнения (27.24)) и направления, ортогонального к нему. (fisher_fig.m)
Мы проиллюстрируем использование линейного дискриминанта Фишера на рисунке 27.6. Панель A показывает последовательность шипов пирамидальной ячейки в лепестке электросенсорной боковой линии (ELL) слабоэлектрических рыб в ответ на случайную модуляцию амплитуды электрического поля. Эти нейроны получают входные данные от афферентов Р-рецепторов, показанных на рисунке 26.4. Однако, в отличие от афферентов P-рецепторов, пирамидные клетки активируются с довольно низкой скоростью. Таким образом, они не могут кодировать подробный временной ход случайной амплитудной модуляции, осуществляемой афферентами на сенсорной периферии.Дискретизируя временную ось в интервале 10 мс, мы можем рассмотреть два распределения стимулов, предшествующих каждому интервалу, который содержит пик или нет. Линейный дискриминант Фишера, примененный к этим двум распределениям (рис. 27.6B – D), показывает, что пирамидальные ячейки хорошо кодируют возникновение нисходящих или восходящих ударов в модуляции амплитуды электрического поля, в зависимости от конкретной рассматриваемой пирамидальной ячейки. Возникновение этих особенностей особенно хорошо кодируется короткими всплесками шипов.Таким образом, пирамидные клетки действуют как детекторы признаков, извлекая информацию, которая имеет отношение к поведению животного, при этом отбрасывая большую часть подробной изменяющейся во времени информации, первоначально взятой на периферии. Режим работы пирамидных ячеек (разрыв против . без разрыва) фактически контролируется путями обратной связи, как показано на рисунке 11.6.
Рисунок 27.6. А . Случайная модуляция амплитуды электрического поля (вверху) и одновременная регистрация пирамидальной ячейки I-типа в ЭЛС слабоэлектрических рыб.Этот нейрон запускает отдельные спайки и короткие всплески спайков в ответ на снижение амплитудной модуляции (обозначено *). В . Линейный дискриминант Фишера (признак), позволяющий различать стимулы, предшествующие всплескам, и стимулы, не содержащие всплесков, после одновременного объединения стимула и последовательности спайков (интервалы 10 мс). С . Распределение стимулов, спроецированных на вектор признаков, делится на три категории в зависимости от того, произошли ли в соответствующем интервале отсутствие всплеска, изолированный всплеск или всплеск.Эти распределения соответствуют распределениям, спроектированным в оптимальном направлении дискриминации, показанном на рисунке 27.5. Д . Соответствующие кривые ROC для идеального наблюдателя, основанные на распределениях в C. По материалам Gabbiani et al. (1996).
Что такое нормальное распределение (Z)
Нормальное распределение – это непрерывная вероятность распределение. Это также называется распределением Гаусса.
Функция плотности нормального распределения f (z) имеет вид называется кривой Белла, потому что она имеет форму, которая напоминает колокольчик.
Стандартная таблица нормального распределения используется для определения область под функцией f ( z ), чтобы найти вероятность указанного диапазона распределения.
Функция нормального распределения
Если случайная величина X имеет нормальное распределение,
Функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения нормального распределения:
Функция плотности вероятности (pdf)
Функция плотности вероятности определяется выражением:
X – случайная величина.
μ – среднее значение.
σ – значение стандартного отклонения (std).
е = 2,7182818 … постоянная.
π = 3,1415926 … постоянная.
Кумулятивная функция распределения
Кумулятивная функция распределения определяется по формуле:
X – случайная величина.
μ – среднее значение.
σ – значение стандартного отклонения (std).
е = 2,7182818 … постоянная.
π = 3.1415926 … постоянная.
Стандартная функция нормального распределения
Когда
Тогда функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения:
Плотность вероятности
Кумулятивная функция распределения
Таблица стандартного нормального распределения
| z | Φ ( z ) | φ ( z ) |
|---|---|---|
| 0.00 | 0,5000 | 0,3989 |
| 0,01 | 0,5040 | 0,3989 |
| 0,02 | 0,5080 | 0,3989 |
| 0,03 | 0,5120 | 0,3988 |
| 0,04 | 0,5160 | 0,3986 |
| 0,05 | 0,5199 | 0,3984 |
| 0,06 | 0,5239 | 0,3982 |
| 0.07 | 0,5279 | 0,3980 |
| 0,08 | 0,5319 | 0,3977 |
| 0,09 | 0,5359 | 0,3973 |
| 0,10 | 0,5398 | 0,3970 |
| 0,11 | 0,5438 | 0,3965 |
| 0,12 | 0,5478 | 0,3961 |
| 0,13 | 0,5517 | 0,3956 |
| 0.14 | 0,5557 | 0,3951 |
| 0,15 | 0,5596 | 0,3945 |
| 0,16 | 0,5636 | 0,3939 |
| 0,17 | 0,5675 | 0,3932 |
| 0,18 | 0,5714 | 0,3925 |
| 0,19 | 0,5753 | 0,3918 |
| 0,20 | 0,5793 | 0,3910 |
| 0.21 | 0,5832 | 0,3902 |
| 0,22 | 0,5871 | 0,3894 |
| 0,23 | 0,5910 | 0,3885 |
| 0,24 | 0,5948 | 0,3876 |
| 0,25 | 0,5987 | 0,3867 |
| 0,26 | 0.6026 | 0,3857 |
| 0,27 | 0.6064 | 0,3847 |
| 0.28 | 0,6103 | 0,3836 |
| 0,29 | 0,6141 | 0,3825 |
| 0,30 | 0,6179 | 0,3814 |
| 0,31 | 0,6217 | 0,3802 |
| 0,32 | 0,6255 | 0,3790 |
| 0,33 | 0,6293 | 0,3778 |
| 0,34 | 0,6331 | 0,3765 |
| 0.35 | 0,6368 | 0,3752 |
| 0,36 | 0,6406 | 0,3739 |
| 0,37 | 0,6443 | 0,3725 |
| 0,38 | 0,6480 | 0,3712 |
| 0,39 | 0,6517 | 0,3697 |
| 0,40 | 0,6554 | 0,3683 |
| 0,41 | 0,6591 | 0,3668 |
| 0.42 | 0,6628 | 0,3653 |
| 0,43 | 0,6664 | 0,3637 |
| 0,44 | 0,6700 | 0,3621 |
| 0,45 | 0,6736 | 0,3605 |
| 0,46 | 0,6772 | 0,3589 |
| 0,47 | 0,6808 | 0,3572 |
| 0,48 | 0,6844 | 0,3555 |
| 0.49 | 0,6879 | 0,3538 |
| 0,50 | 0,6915 | 0,3521 |
| 0,51 | 0,6950 | 0,3503 |
| 0,52 | 0,6985 | 0,3485 |
| 0,53 | 0,7019 | 0,3467 |
| 0,54 | 0,7054 | 0,3448 |
| 0,55 | 0,7088 | 0,3429 |
| 0.56 | 0,7123 | 0,3410 |
| 0,57 | 0,7157 | 0,3391 |
| 0,58 | 0,7190 | 0,3372 |
| 0,59 | 0,7224 | 0,3352 |
| 0,60 | 0,7257 | 0,3332 |
| 0,61 | 0,7291 | 0,3312 |
| 0,62 | 0,7324 | 0,3292 |
| 0.63 | 0,7357 | 0,3271 |
| 0,64 | 0,7389 | 0,3251 |
| 0,65 | 0,7422 | 0,3230 |
| 0,66 | 0,7454 | 0,3209 |
| 0,67 | 0,7486 | 0,3187 |
| 0,68 | 0,7517 | 0,3166 |
| 0,69 | 0,7549 | 0,3144 |
| 0.70 | 0,7580 | 0,3123 |
| 0,71 | 0,7611 | 0,3101 |
| 0,72 | 0,7642 | 0,3079 |
| 0,73 | 0,7673 | 0,3056 |
| 0,74 | 0,7704 | 0,3034 |
| 0,75 | 0,7734 | 0,3011 |
| 0,76 | 0,7764 | 0,2989 |
| 0.77 | 0,7794 | 0,2966 |
| 0,78 | 0,7823 | 0,2943 |
| 0,79 | 0,7852 | 0,2920 |
| 0,80 | 0,7881 | 0,2897 |
| 0,81 | 0,7910 | 0,2874 |
| 0,82 | 0,7939 | 0,2850 |
| 0,83 | 0,7967 | 0,2827 |
| 0.84 | 0,7995 | 0,2803 |
| 0,85 | 0,8023 | 0,2780 |
| 0,86 | 0,8051 | 0,2756 |
| 0,87 | 0,8078 | 0,2732 |
| 0,88 | 0,8106 | 0,2709 |
| 0,89 | 0,8133 | 0,2685 |
| 0,90 | 0,8159 | 0,2661 |
| 0.91 | 0,8186 | 0,2637 |
| 0,92 | 0,8212 | 0,2613 |
| 0,93 | 0,8238 | 0,2589 |
| 0,94 | 0,8264 | 0,2565 |
| 0,95 | 0,8289 | 0,2541 |
| 0,96 | 0,8315 | 0,2516 |
| 0,97 | 0,8340 | 0,2492 |
| 0.98 | 0,8365 | 0,2468 |
| 0,99 | 0,8389 | 0,2444 |
| 1,00 | 0,8413 | 0,2420 |
| 1.01 | 0,8438 | 0,2396 |
| 1,02 | 0,8461 | 0,2371 |
| 1,03 | 0,8485 | 0,2347 |
| 1,04 | 0,8508 | 0,2323 |
| 1.05 | 0,8531 | 0,2299 |
| 1,06 | 0,8554 | 0,2275 |
| 1,07 | 0,8577 | 0,2251 |
| 1,08 | 0,8599 | 0,2227 |
| 1,09 | 0,8621 | 0,2203 |
| 1,10 | 0,8643 | 0,2179 |
| 1,11 | 0,8665 | 0,2155 |
| 1.12 | 0,8686 | 0,2131 |
| 1,13 | 0,8708 | 0,2107 |
| 1,14 | 0,8729 | 0,2083 |
| 1,15 | 0,8749 | 0,2059 |
| 1,16 | 0,8770 | 0,2036 |
| 1,17 | 0,8790 | 0.2012 |
| 1,18 | 0,8810 | 0,1989 |
| 1.19 | 0,8830 | 0,1965 |
| 1,20 | 0,8849 | 0,1942 |
| 1,21 | 0,8869 | 0,1919 |
| 1,22 | 0,8888 | 0,1895 |
| 1,23 | 0,8907 | 0,1872 |
| 1,24 | 0,8925 | 0,1849 |
| 1,25 | 0,8944 | 0,1826 |
| 1.26 | 0,8962 | 0,1804 |
| 1,27 | 0,8980 | 0,1781 |
| 1,28 | 0,8997 | 0,1758 |
| 1,29 | 0,9015 | 0,1736 |
| 1,30 | 0,9032 | 0,1714 |
| 1,31 | 0,9049 | 0,1691 |
| 1,32 | 0,9066 | 0,1669 |
| 1.33 | 0,9082 | 0,1647 |
| 1,34 | 0,9099 | 0,1626 |
| 1,35 | 0,9115 | 0,1604 |
| 1,36 | 0,9131 | 0,1582 |
| 1,37 | 0,9147 | 0,1561 |
| 1,38 | 0,9162 | 0,1539 |
| 1,39 | 0,9177 | 0,1518 |
| 1.40 | 0,9192 | 0,1497 |
| 1,41 | 0,9207 | 0,1476 |
| 1,42 | 0,9222 | 0,1456 |
| 1,43 | 0,9236 | 0,1435 |
| 1,44 | 0,9251 | 0,1415 |
| 1,45 | 0,9265 | 0,1394 |
| 1,46 | 0,9279 | 0,1374 |
| 1.47 | 0,9292 | 0,1354 |
| 1,48 | 0,9306 | 0,1334 |
| 1,49 | 0,9319 | 0,1315 |
| 1,50 | 0,9332 | 0,1295 |
| 1,51 | 0,9345 | 0,1276 |
| 1,52 | 0,9357 | 0,1257 |
| 1,53 | 0,9370 | 0,1238 |
| 1.54 | 0,9382 | 0,1219 |
| 1,55 | 0,9394 | 0,1200 |
| 1,56 | 0,9406 | 0,1182 |
| 1,57 | 0,9418 | 0,1163 |
| 1,58 | 0,9429 | 0,1145 |
| 1,59 | 0,9441 | 0,1127 |
| 1,60 | 0,9452 | 0,1109 |
| 1.61 | 0,9463 | 0,1092 |
| 1,62 | 0,9474 | 0,1074 |
| 1,63 | 0,9484 | 0,1057 |
| 1,64 | 0,9495 | 0,1040 |
| 1,65 | 0,9505 | 0,1023 |
| 1,66 | 0,9515 | 0,1006 |
| 1,67 | 0,9525 | 0,0989 |
| 1.68 | 0,9535 | 0,0973 |
| 1,69 | 0,9545 | 0,0957 |
| 1,70 | 0,9554 | 0,0940 |
| 1,71 | 0,9564 | 0,0925 |
| 1,72 | 0,9573 | 0,0909 |
| 1,73 | 0,9582 | 0,0893 |
| 1,74 | 0,9591 | 0,0878 |
| 1.75 | 0,9599 | 0,0863 |
| 1,76 | 0,9608 | 0,0848 |
| 1,77 | 0,9616 | 0,0833 |
| 1,78 | 0,9625 | 0,0818 |
| 1,79 | 0,9633 | 0,0804 |
| 1,80 | 0,9641 | 0,0790 |
| 1,81 | 0,9649 | 0,0775 |
| 1.82 | 0,9656 | 0,0761 |
| 1,83 | 0,9664 | 0,0748 |
| 1,84 | 0,9671 | 0,0734 |
| 1,85 | 0,9678 | 0,0721 |
| 1,86 | 0,9686 | 0,0707 |
| 1,87 | 0,9693 | 0,0694 |
| 1,88 | 0,9699 | 0,0681 |
| 1.89 | 0,9706 | 0,0669 |
| 1,90 | 0,9713 | 0,0656 |
| 1,91 | 0,9719 | 0,0644 |
| 1,92 | 0,9726 | 0,0632 |
| 1,93 | 0,9732 | 0,0620 |
| 1,94 | 0,9738 | 0,0608 |
| 1,95 | 0,9744 | 0,0596 |
| 1.96 | 0,9750 | 0,0584 |
| 1,97 | 0,9756 | 0,0573 |
| 1,98 | 0,9761 | 0,0562 |
| 1,99 | 0,9767 | 0,0551 |
| 2,00 | 0,9772 | 0,0540 |
| 2,01 | 0,9778 | 0,0529 |
| 2,02 | 0,9783 | 0,0519 |
| 2.03 | 0,9788 | 0,0508 |
| 2,04 | 0,9793 | 0,0498 |
| 2,05 | 0,9798 | 0,0488 |
| 2,06 | 0,9803 | 0,0478 |
| 2,07 | 0,9808 | 0,0468 |
| 2,08 | 0,9812 | 0,0459 |
| 2,09 | 0,9817 | 0,0449 |
| 2.10 | 0,9821 | 0,0440 |
| 2,11 | 0,9826 | 0,0431 |
| 2,12 | 0,9830 | 0,0422 |
| 2,13 | 0,9834 | 0,0413 |
| 2,14 | 0,9838 | 0,0404 |
| 2,15 | 0,9842 | 0,0396 |
| 2,16 | 0,9846 | 0,0387 |
| 2.17 | 0,9850 | 0,0379 |
| 2,18 | 0,9854 | 0,0371 |
| 2,19 | 0,9857 | 0,0363 |
| 2,20 | 0,9861 | 0,0355 |
| 2,21 | 0,9864 | 0,0347 |
| 2,22 | 0,9868 | 0,0339 |
| 2,23 | 0,9871 | 0,0332 |
| 2.24 | 0,9875 | 0,0325 |
| 2,25 | 0,9878 | 0,0317 |
| 2,26 | 0,9881 | 0,0310 |
| 2,27 | 0,9884 | 0,0303 |
| 2,28 | 0,9887 | 0,0297 |
| 2,29 | 0,9890 | 0,0290 |
| 2.30 | 0,9893 | 0,0283 |
| 2.31 | 0,9896 | 0,0277 |
| 2,32 | 0,9898 | 0,0270 |
| 2,33 | 0,9901 | 0,0264 |
| 2,34 | 0,9904 | 0,0258 |
| 2,35 | 0,9906 | 0,0252 |
| 2,36 | 0,9909 | 0,0246 |
| 2,37 | 0,9911 | 0,0241 |
| 2.38 | 0,9913 | 0,0235 |
| 2,39 | 0,9916 | 0,0229 |
| 2,40 | 0,9918 | 0,0224 |
| 2,41 | 0,9920 | 0,0219 |
| 2,42 | 0,9922 | 0,0213 |
| 2,43 | 0,9925 | 0,0208 |
| 2,44 | 0,9927 | 0,0203 |
| 2.45 | 0,9929 | 0,0198 |
| 2,46 | 0,9931 | 0,0194 |
| 2,47 | 0,9932 | 0,0189 |
| 2,48 | 0,9934 | 0,0184 |
| 2,49 | 0,9936 | 0,0180 |
| 2,50 | 0,9938 | 0,0175 |
| 2,51 | 0,9940 | 0,0171 |
| 2.52 | 0,9941 | 0,0167 |
| 2,53 | 0,9943 | 0,0163 |
| 2,54 | 0,9945 | 0,0158 |
| 2,55 | 0,9946 | 0,0154 |
| 2,56 | 0,9948 | 0,0151 |
| 2,57 | 0,9949 | 0,0147 |
| 2,58 | 0,9951 | 0,0143 |
| 2.59 | 0,9952 | 0,0139 |
| 2,60 | 0,9953 | 0,0136 |
| 2,61 | 0,9955 | 0,0132 |
| 2,62 | 0,9956 | 0,0129 |
| 2,63 | 0,9957 | 0,0126 |
| 2,64 | 0,9959 | 0,0122 |
| 2,65 | 0,9960 | 0,0119 |
| 2.66 | 0,9961 | 0,0116 |
| 2,67 | 0,9962 | 0,0113 |
| 2,68 | 0,9963 | 0,0110 |
| 2,69 | 0,9964 | 0,0107 |
| 2,70 | 0,9965 | 0,0104 |
| 2,71 | 0,9966 | 0,0101 |
| 2,72 | 0,9967 | 0,0099 |
| 2.73 | 0,9968 | 0,0096 |
| 2,74 | 0,9969 | 0,0093 |
| 2,75 | 0,9970 | 0,0091 |
| 2,76 | 0,9971 | 0,0088 |
| 2,77 | 0,9972 | 0,0086 |
| 2,78 | 0,9973 | 0,0084 |
| 2,79 | 0,9974 | 0,0081 |
| 2.80 | 0,9974 | 0,0079 |
| 2,81 | 0,9975 | 0,0077 |
| 2,82 | 0,9976 | 0,0075 |
| 2,83 | 0,9977 | 0,0073 |
| 2,84 | 0,9977 | 0,0071 |
| 2,85 | 0,9978 | 0,0069 |
| 2,86 | 0,9979 | 0,0067 |
| 2.87 | 0,9979 | 0,0065 |
| 2,88 | 0,9980 | 0,0063 |
| 2,89 | 0,9981 | 0,0061 |
| 2,90 | 0,9981 | 0,0060 |
| 2,91 | 0,9982 | 0,0058 |
| 2,92 | 0,9982 | 0,0056 |
| 2,93 | 0,9983 | 0,0055 |
| 2.94 | 0,9984 | 0,0053 |
| 2,95 | 0,9984 | 0,0051 |
| 2,96 | 0,9985 | 0,0050 |
| 2,97 | 0,9985 | 0,0048 |
| 2,98 | 0,9986 | 0,0047 |
| 2,99 | 0,9986 | 0,0046 |
| 3,00 | 0,9987 | 0,0044 |
| 3.01 | 0,9987 | 0,0043 |
| 3,02 | 0,9987 | 0,0042 |
| 3,03 | 0,9988 | 0,0040 |
| 3,04 | 0,9988 | 0,0039 |
| 3,05 | 0,9989 | 0,0038 |
| 3,06 | 0,9989 | 0,0037 |
| 3,07 | 0,9989 | 0,0036 |
| 3.08 | 0,9990 | 0,0035 |
| 3,09 | 0,9990 | 0,0034 |
| 3,10 | 0,9990 | 0,0033 |
| 3,11 | 0,9991 | 0,0032 |
| 3,12 | 0,9991 | 0,0031 |
| 3,13 | 0,9991 | 0,0030 |
| 3,14 | 0,9992 | 0,0029 |
| 3.15 | 0,9992 | 0,0028 |
| 3,16 | 0,9992 | 0,0027 |
| 3,17 | 0,9992 | 0,0026 |
| 3,18 | 0,9993 | 0,0025 |
| 3,19 | 0,9993 | 0,0025 |
| 3,20 | 0,9993 | 0,0024 |
| 3,21 | 0,9993 | 0,0023 |
| 3.22 | 0,9994 | 0,0022 |
| 3,23 | 0,9994 | 0,0022 |
| 3,24 | 0,9994 | 0,0021 |
| 3,25 | 0,9994 | 0,0020 |
| 3,26 | 0,9994 | 0,0020 |
| 3,27 | 0,9995 | 0,0019 |
| 3,28 | 0,9995 | 0,0018 |
| 3.29 | 0,9995 | 0,0018 |
| 3,30 | 0,9995 | 0,0017 |
| 3,31 | 0,9995 | 0,0017 |
| 3,32 | 0,9995 | 0,0016 |
| 3,33 | 0,9996 | 0,0016 |
| 3,34 | 0,9996 | 0,0015 |
| 3,35 | 0,9996 | 0,0015 |
| 3.36 | 0,9996 | 0,0014 |
| 3,37 | 0,9996 | 0,0014 |
| 3,38 | 0,9996 | 0,0013 |
| 3,39 | 0,9997 | 0,0013 |
| 3,40 | 0,9997 | 0,0012 |
| 3,41 | 0,9997 | 0,0012 |
| 3,42 | 0,9997 | 0,0012 |
| 3.43 | 0,9997 | 0,0011 |
| 3,44 | 0,9997 | 0,0011 |
| 3,45 | 0,9997 | 0,0010 |
| 3,46 | 0,9997 | 0,0010 |
| 3,47 | 0,9998 | 0,0010 |
| 3,48 | 0,9998 | 0,0009 |
| 3,49 | 0,9998 | 0,0009 |
| 3.50 | 0,9998 | 0,0009 |
| 3,51 | 0,9998 | 0,0008 |
| 3,52 | 0,9998 | 0,0008 |
| 3,53 | 0,9998 | 0,0008 |
| 3,54 | 0,9998 | 0,0008 |
| 3,55 | 0,9998 | 0,0007 |
| 3,56 | 0,9998 | 0,0007 |
| 3.57 | 0,9998 | 0,0007 |
| 3,58 | 0,9998 | 0,0007 |
| 3,59 | 0,9998 | 0,0006 |
| 3,60 | 0,9998 | 0,0006 |
| 3,61 | 0,9998 | 0,0006 |
| 3,62 | 0,9999 | 0,0006 |
| 3,63 | 0,9999 | 0,0005 |
| 3.64 | 0,9999 | 0,0005 |
| 3,65 | 0,9999 | 0,0005 |
| 3,66 | 0,9999 | 0,0005 |
| 3,67 | 0,9999 | 0,0005 |
| 3,68 | 0,9999 | 0,0005 |
| 3,69 | 0,9999 | 0,0004 |
| 3,70 | 0,9999 | 0,0004 |
| 3.71 | 0,9999 | 0,0004 |
| 3,72 | 0,9999 | 0,0004 |
| 3,73 | 0,9999 | 0,0004 |
| 3,74 | 0,9999 | 0,0004 |
| 3,75 | 0,9999 | 0,0004 |
| 3,76 | 0,9999 | 0,0003 |
| 3,77 | 0,9999 | 0,0003 |
| 3.78 | 0,9999 | 0,0003 |
| 3,79 | 0,9999 | 0,0003 |
| 3,80 | 0,9999 | 0,0003 |
| 3,81 | 0,9999 | 0,0003 |
| 3,82 | 0,9999 | 0,0003 |
| 3,83 | 0,9999 | 0,0003 |
| 3,84 | 0,9999 | 0,0003 |
| 3.85 | 0,9999 | 0,0002 |
| 3,86 | 0,9999 | 0,0002 |
| 3,87 | 0,9999 | 0,0002 |
| 3,88 | 0,9999 | 0,0002 |
| 3,89 | 0,9999 | 0,0002 |
| 3,90 | 1,0000 | 0,0002 |
| 3,91 | 1,0000 | 0,0002 |
| 3.92 | 1,0000 | 0,0002 |
| 3,93 | 1,0000 | 0,0002 |
| 3,94 | 1,0000 | 0,0002 |
| 3,95 | 1,0000 | 0,0002 |
| 3,96 | 1,0000 | 0,0002 |
| 3,97 | 1,0000 | 0,0002 |
| 3,98 | 1,0000 | 0,0001 |
| 3.99 | 1,0000 | 0,0001 |
График стандартного нормального распределения (выше нуля)
Также
Стандартный нормальный стол
Стандартный нормальный столСтандартный Нормальный (
Z ) СтолЗначения в таблице представляют области под кривой слева от квантилей Z вдоль полей.
| Z | 0.00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
| 0,0 | 0,5000 | 0,5040 | 0,5080 | 0,5120 | 0.5160 | 0,5199 | 0,5239 | 0,5279 | 0,5319 | 0,5359 |
| 0,1 | 0,5398 | 0,5438 | 0,5478 | 0,5517 | 0,5557 | 0,5596 | 0,5636 | 0,5675 | 0,5714 | 0,5753 |
| 0,2 | 0.5793 | 0,5832 | 0,5871 | 0,5910 | 0,5948 | 0,5987 | 0.6026 | 0.6064 | 0,6103 | 0,6141 |
| 0,3 | 0,6179 | 0,6217 | 0,6255 | 0,6293 | 0,6331 | 0,6368 | 0,6406 | 0,6443 | 0.6480 | 0,6517 |
| 0,4 | 0,6554 | 0,6591 | 0,6628 | 0,6664 | 0,6700 | 0,6736 | 0,6772 | 0,6808 | 0,6844 | 0,6879 |
| 0,5 | 0,6915 | 0,6950 | 0,6985 | 0,7019 | 0.7054 | 0,7088 | 0,7123 | 0,7157 | 0,7190 | 0,7224 |
| 0,6 | 0,7257 | 0,7291 | 0,7324 | 0,7357 | 0,7389 | 0,7422 | 0,7454 | 0,7486 | 0,7517 | 0,7549 |
| 0,7 | 0.7580 | 0,7611 | 0,7642 | 0,7673 | 0,7704 | 0,7734 | 0,7764 | 0,7794 | 0,7823 | 0,7852 |
| 0,8 | 0,7881 | 0,7910 | 0,7939 | 0,7967 | 0,7995 | 0.8023 | 0.8051 | 0.8078 | 0.8106 | 0,8133 |
| 0,9 | 0,8159 | 0,8186 | 0,8212 | 0,8238 | 0,8264 | 0,8289 | 0,8315 | 0,8340 | 0,8365 | 0,8389 |
| 1,0 | 0,8413 | 0,8438 | 0,8461 | 0,8485 | 0.8508 | 0,8531 | 0,8554 | 0,8577 | 0,8599 | 0,8621 |
| 1,1 | 0,8643 | 0,8665 | 0,8686 | 0,8708 | 0,8729 | 0,8749 | 0,8770 | 0,8790 | 0,8810 | 0,8830 |
| 1,2 | 0.8849 | 0,8869 | 0,8888 | 0,8907 | 0,8925 | 0,8944 | 0,8962 | 0,8980 | 0,8997 | 0,9015 |
| 1,3 | 0,9032 | 0,9049 | 0,9066 | 0,9082 | 0,9099 | 0,9115 | 0,9131 | 0,9147 | 0.9162 | 0,9177 |
| 1,4 | 0,9192 | 0,9207 | 0,9222 | 0,9236 | 0,9251 | 0,9265 | 0,9279 | 0,9292 | 0,9306 | 0,9319 |
| 1,5 | 0,9332 | 0,9345 | 0,9357 | 0,9370 | 0.9382 | 0,9394 | 0,9406 | 0,9418 | 0,9429 | 0,9441 |
| 1,6 | 0,9452 | 0,9463 | 0,9474 | 0,9484 | 0,9495 | 0,9505 | 0,9515 | 0,9525 | 0,9535 | 0,9545 |
| 1,7 | 0.9554 | 0,9564 | 0,9573 | 0,9582 | 0,9591 | 0,9599 | 0,9608 | 0,9616 | 0,9625 | 0,9633 |
| 1,8 | 0,9641 | 0,9649 | 0,9656 | 0,9664 | 0,9671 | 0,9678 | 0,9686 | 0,9693 | 0.9699 | 0,9706 |
| 1,9 | 0,9713 | 0,9719 | 0,9726 | 0,9732 | 0,9738 | 0,9744 | 0,9750 | 0,9756 | 0,9761 | 0,9767 |
| 2,0 | 0,9772 | 0,9778 | 0,9783 | 0,9788 | 0.9793 | 0,9798 | 0,9803 | 0,9808 | 0,9812 | 0,9817 |
| 2,1 | 0,9821 | 0,9826 | 0,9830 | 0,9834 | 0,9838 | 0,9842 | 0,9846 | 0,9850 | 0,9854 | 0,9857 |
| 2,2 | 0.9861 | 0,9864 | 0,9868 | 0,9871 | 0,9875 | 0,9878 | 0,9881 | 0,9884 | 0,9887 | 0,9890 |
| 2,3 | 0,9893 | 0,9896 | 0,9898 | 0,9901 | 0,9904 | 0,9906 | 0,9909 | 0,9911 | 0.9913 | 0,9916 |
| 2,4 | 0,9918 | 0,9920 | 0,9922 | 0,9925 | 0,9927 | 0,9929 | 0,9931 | 0,9932 | 0,9934 | 0,9936 |
| 2,5 | 0,9938 | 0,9940 | 0,9941 | 0,9943 | 0.9945 | 0,9946 | 0,9948 | 0,9949 | 0,9951 | 0,9952 |
| 2,6 | 0,9953 | 0,9955 | 0,9956 | 0,9957 | 0,9959 | 0,9960 | 0,9961 | 0,9962 | 0,9963 | 0,9964 |
| 2,7 | 0.9965 | 0,9966 | 0,9967 | 0,9968 | 0,9969 | 0,9970 | 0,9971 | 0,9972 | 0,9973 | 0,9974 |
| 2,8 | 0,9974 | 0,9975 | 0,9976 | 0,9977 | 0,9977 | 0,9978 | 0,9979 | 0,9979 | 0.9980 | 0,9981 |
| 2,9 | 0,9981 | 0,9982 | 0,9982 | 0,9983 | 0,9984 | 0,9984 | 0,9985 | 0,9985 | 0,9986 | 0,9986 |
| 3,0 | 0,9987 | 0,9987 | 0,9987 | 0,9988 | 0.9988 | 0,9989 | 0,9989 | 0,9989 | 0,9990 | 0,9990 |
Примеры: z .5000 = 0,00; z .9750 = +1,96; z 0,0250 = -1,96
Как делать вычисления нормального распределения
Это руководство покажет вам, как рассчитать вероятность (площадь под кривой) стандартного нормального распределения.Сначала он покажет вам, как интерпретировать стандартную таблицу нормального распределения. Затем он покажет вам, как рассчитать:
У нас есть калькулятор, который вычисляет вероятности на основе z-значений для всех вышеперечисленных ситуаций. Кроме того, он также выводит всю работу, чтобы получить ответ, поэтому вы знаете логику того, как вычислить ответ.
Как использовать стандартную таблицу нормального распределения
Наиболее распространенная форма стандартной таблицы нормального распределения, которую вы видите, – это таблица, аналогичная приведенной ниже (щелкните изображение, чтобы увеличить):
Стандартная таблица нормального распределения
Стандартная таблица нормального распределения обеспечивает вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Z со средним значением, равным 0, и дисперсией, равной 1, будет меньше или равна z.Он делает это только для положительных значений z (т. Е. Значений z в правой части среднего). На практике это означает, что если кто-то попросит вас найти вероятность того, что значение будет меньше определенного положительного z-значения, вы можете просто посмотреть это значение в таблице. Назовем эту область Φ. Таким образом, для этой таблицы P (Z Графически вероятность того, что Z меньше ‘a’ будет Φ (a), как определено из стандартной таблицы нормального распределения, показана ниже: P (Z <–a) Как объяснено выше, стандартная таблица нормального распределения предоставляет вероятность только для значений, меньших положительного значения z (т.е.е., z-значения в правой части среднего). Итак, как рассчитать вероятность ниже отрицательного значения z (как показано ниже)? Начнем с того, что вспомним, что стандартное нормальное распределение имеет общую площадь (вероятность), равную 1, а также симметрично относительно среднего. Таким образом, мы можем сделать следующее, чтобы вычислить отрицательные z-значения: нам нужно принять во внимание, что площадь под кривой, охватываемая P (Z> a), равна вероятности меньше, чем –a {P (Z <–a) } как показано ниже: Установление этой связи очень важно, потому что из стандартной таблицы нормального распределения мы можем вычислить вероятность меньше, чем «а», поскольку «а» теперь является положительным значением.Наложение P (Z Из приведенного выше рисунка и наших знаний о том, что площадь под стандартным нормальным распределением равна 1, мы можем заключить, что две площади в сумме дают 1. Таким образом, мы можем сделать следующие утверждения: Φ (a) + Φ (–a) = 1 ∴ Φ (–a) = 1 – Φ (a) Таким образом, мы знаем, что для нахождения значения, меньшего отрицательного z-значения, мы используем следующее уравнение: Φ (–a) = 1 – Φ (a), e.грамм. Φ (–1,43) = 1 – Φ (1,43) P (Z> a) Вероятность P (Z> a) равна: 1 – Φ (a). Чтобы понять причину этого, посмотрите на иллюстрацию ниже: Вы знаете Φ (a) и знаете, что общая площадь под стандартной нормальной кривой равна 1, поэтому математическим выводом: P (Z> a) составляет: 1 – Φ (a). P (Z> –a) Вероятность P (Z> –a) равна P (a), то есть Φ (a).Чтобы понять это, нам нужно оценить симметрию стандартной кривой нормального распределения. Мы пытаемся выяснить область ниже: Но, отражая площадь вокруг центральной линии (среднее значение), мы получаем следующее: Обратите внимание, что это область того же размера, что и область, которую мы ищем, только мы уже знаем эту область, так как можем получить ее прямо из стандартной таблицы нормального распределения: это P (Z Вы хотите решить следующее: Ключевым требованием для определения вероятности между z-значениями является понимание того, что вероятность между z-значениями – это разница между вероятностью наибольшего z-значения и наименьшего z-значения: P (a , который показан ниже: P (a Вероятность P (a Сначала разделите термины как разницу между z-значениями: P (a Затем выразите их как соответствующие вероятности по стандартной кривой нормального распределения: P (Z Следовательно, P (a P (–a Вероятность P (–a Сначала разделите термины как разницу между z-значениями: P (–a Затем выразите их как соответствующие вероятности по стандартной кривой нормального распределения: P (Z = Φ (b) – {1 – Φ (a)} P (Z <–a) объяснено выше. ∴ P (–a P (–a Вероятность P (–a Сначала разделите термины как разницу между z-значениями: P (–a Затем выразите их как соответствующие вероятности по стандартной кривой нормального распределения: P (Z = {1 – Φ (b)} – {1 – Φ (a)} P (Z < –A) объяснено выше. = 1 – Φ (б) – 1 + Φ (а) = Φ (а) – Φ (б) Вышеупомянутые расчеты также хорошо видны на диаграмме ниже: Обратите внимание, что отражение приводит к «смене позиций» a и b. Иллюстрация проблемы этого типа приведена ниже: Чтобы решить эти типы проблем, вам просто нужно обработать каждую отдельную область под стандартной кривой нормального распределения, а затем сложить вероятности вместе.Это даст вам полную вероятность. Когда a отрицательно, а b положительно (как указано выше), общая вероятность равна: P (Z <–a) + P (Z> b) = Φ (–a) + {1 – Φ (b)} P (Z> b) объяснено выше. = {1 – Φ (a)} + {1 – Φ (b)} P (Z <–a) объяснено выше. = 1 – Ф (а) + 1 – Ф (б) = 2 – Ф (а) – Ф (б) Когда a и b отрицательны, как показано ниже: Полная вероятность: P (Z <–a) + P (Z> –b) = Φ (–a) + Φ (b) P (Z> –b) объяснено выше. = {1 – Φ (a)} + Φ (b) P (Z <–a) объяснено выше. = 1 + Ф (б) – Ф (а) Когда a и b положительны, как показано ниже: Полная вероятность: P (Z = 1 + Ф (а) – Ф (б) Воспользуйтесь нашим калькулятором, чтобы попрактиковаться! Нормальное распределение на сегодняшний день является наиболее важным распределением вероятностей. Одна из главных причин
это Центральная предельная теорема (CLT), которую мы обсудим позже в этой книге. Чтобы дать тебе
идея, CLT утверждает, что если вы добавите большое количество случайных величин, распределение суммы
будет примерно нормальным при определенных условиях. 2} {2} \ right \}, \ hspace {20pt} \ textrm {для всех} z \ in \ mathbb {R}.$$ $ \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ нужен, чтобы убедиться, что площадь под PDF-файлом равна единице. Мы будем
убедитесь, что это выполняется в разделе решенных проблем. Рисунок 4.6 показывает PDF стандартного нормального
случайная переменная. Давайте найдем среднее значение и дисперсию стандартного нормального распределения. Для этого воспользуемся простым
полезный факт. Рассмотрим функцию $ g (u): \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $. Если $ g (u) $ – нечетная функция,
я.2} {2} \ right \} за долларов США Если $ Z \ sim N (0,1) $, то $ EZ = 0 $ и Var $ (Z) = 1 $. Чтобы найти CDF стандартного нормального распределения, нам необходимо интегрировать функцию PDF.2} {2} \ right \} du. $$ Как мы вскоре увидим, CDF любой нормальной случайной величины можно записать в терминах
$ \ Phi $, поэтому функция $ \ Phi $ широко используется в теории вероятностей. На рисунке 4.7 показана функция $ \ Phi $. Вот некоторые свойства функции $ \ Phi $, которые можно показать из ее определения. Вероятность меньше значения z
Вероятность больше значения z
Вероятность между значениями z
Вероятность вне диапазона значений z
Обычное распространение | Гауссовский | Нормальные случайные величины
4.2.3 Нормальное (гауссово) распределение
$ = 1. $
Последнее равенство выполняется, потому что мы интегрируем стандартный нормальный PDF из $ – \ infty $ в $ \ infty $. Таким образом,
заключаем, что для стандартной нормальной случайной величины $ Z $ имеем
$$ \ textrm {Var} (Z) = 1. $$
Пока что мы показали следующее:
CDF стандартного нормального $ F_X (x) $ $ = P (X \ leq x) $ $ = P (\ sigma Z + \ mu \ leq x) \ hspace {20pt} \ big (\ textrm {where} Z \ sim N (0,1) \ big) $ $ = P \ left (Z \ leq \ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ $ = \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right).