Табулирование трансцендентных функций: Табулирование трансцендентных функций. – курсовая работа

Оглавление

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА №1 ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ

ТАБУЛИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

ВАРИАНТ 16

Работу выполнил

студент 3 курса группы 09-315

Халиков Р.Р.

Проверила

доцент Глазырина Л.Л.

Казань ­- 2015

Постановка задачи. 3

Вывод. 9

Листинг программы: 10

12

Список используемой литературы 12

Одна из специальных функций математической физики – интегральный синус, определяется следующим образом:

.

Цель задания – изучить и сравнить различные способы приближенного вычисления этой функции.

Для этого:

1) Протабулировать Si(x) на отрезке [a,b] с шагом h с точностью ɛ, основываясь на ряде Тейлора, предварительно вычислив его:

, где a=0,b=4,h=0.4, ɛ=10^-6 , и получить, таким образом, таблицу:

x0	x0	…	x0
f0	f0	…	f0

, , i=0,…,n.

2) По полученной таблице значений построить интерполяционный полином Лагранжа, приближающий Si(x): .

Затем вычислить погрешность интерполирования , где z_n(x) – погрешность.

3) Проделать описанные выше действия, взяв в качестве узлов интерполяции равномерно распределенные узлы {x_i}, i =0,n и корни полинома Чебышева, вычисляемые по формуле:

Решение задачи

Для вычисления интерполяционного полинома Лагранжа необходимо построить табличную функцию:

, где a=0, b=4, h=0.4, ɛ=10^-6 .

Чтобы избежать переполнения в переменных при вычислении факториала, избавимся от него, представив a_n в виде произведения a_n-1 на некое q_nтакое, что: .

Находим и так далее, пока:

.

В нашем случае: .

Таблица и график сумм (равнораспределенные узлы):

Xi	S(Xi)
0	0
0. 4	0.396462
0.8	0.772096
1.2	1.108047
1.6	1.389181
2	1.605413
2.4	1.752486
2.8	1.832097
3. 2	1.851401
3.6	1.821948
4	1.758203

Посчитав интерполяционный полином Лагранжа по формуле:

,

получим общую таблицу:

xi	S(xi)	Ln(xi)	S(xi)-Ln(xi)
0	0	0	0
0. 4	0.396462	0.395663	0.000798
0.8	0.772096	0.772096	0
1.2	1.108047	1.108316	0.000269
1.6	1.389181	1.389181	0
2	1. 605413	1.605223	0.00019
2.4	1.752486	1.752486	0
2.8	1.832097	1.832355	0.000259
3.2	1.851401	1.851401	0
3. 6	1.821948	1.821205	0.000742
4	1.758203	1.758203	0

Таблица и график погрешностей (равнораспределенные узлы):

0	0
0.4	0.000798
0.8	0
1. 2	0.000269
1.6	0
2	0.00019
2.4	0
2.8	0.000259
3.2	0
3.6	0.000742
4	0

Максимальная погрешность для n=5 составила 0. 000798.

Вычисляем максимальную погрешность для n<35 по формуле: .

Получим зависимость:

Отсюда мы можем заметить, что с увеличением n погрешность постепенно уменьшается, затем резко возрастает.

Эффект неустойчивости возникает при n=33, максимальная погрешность в этом случае составила 0.0016526.

2 часть задания.

Далее построим интерполяционный полином Лагранжа, взяв в качестве узлов корни полинома Чебышева, вычисляемые по следующей формуле:

, i=0, …, n, где n=5.

Таблица значений функций, значений интерполяционных полиномов Лагранжа и погрешностей (для чебышевских узлов):

x_ch	S_ch	Ln(x_ch)	S_ch-L_ch
0	0	0. 000405	0.000405
0.4	0.396462	0.396154	0.000308
0.8	0.772096	0.772407	0.000311
1.2	1.108047	1.108371	0.000324
1. 6	1.389181	1.389034	0.000147
2	1.605413	1.605003	0.00041
2.4	1.752486	1.752342	0.000144
2.8	1.832097	1.832409	0. 000312
3.2	1.851401	1.851695	0.000294
3.6	1.821948	1.821661	0.000287
4	1.758203	1.758574	0.000371

График погрешностей (узлы Чебышева):

0	0. 000405
0.4	0.000308
0.8	0.000311
1.2	0.000324
1.6	0.000147
2	0.00041
2.4	0.000144
2.8	0. 000312
3.2	0.000294
3.6	0.000287
4	0.000371

По Чебышевским узлам максимальная погрешность при n=5 составила 0.00041 вместо 0.000798 в предыдущем случае, что доказывает, что чебышевские узлы дают меньшую погрешность и, соответственно, более точный результат.

Зависимость максимальной погрешности от n (для чебышевских узлов):

Как мы видим, погрешность значительно ниже, при использовании чебышевских узлов мы получаем наиболее точные результаты.

Вывод.

В ходе исследования было экспериментально доказано, что интерполирование с использованием чебышевских узлов более точно, чем интерполирование с использованием равнораспределенных узлов.

При увеличении числа точек интерполирования,при использовании равнораспределенных узлов наблюдается убывание погрешности, затем при n=33 погрешность резко возрастает. При использовании чебышевских узлов погрешность всегда убывает.

«Приближенное решение уравнений на языке Visual Basic».

«Приближенное решение квадратных уравнений на языке Visual Basic».

Цель работы – познакомиться с языками программирования, разработкой и исследованием моделей на компьютере.

На языке алгебры формальные модели записываются с помощью уравнений, точное решение которых основывается на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, позволяющих выразить переменную величину с помощью формулы.

Для большинства уравнений приходится использовать методы приближенного решения с заданной точностью

Основные этапы работы:

•        знакомство с языками программирования;

•        знакомство с методами решения математических задач в программе Excel;

•        содержательная постановка задачи;

•        описательная модель;

•        формальная модель;

•        компьютерная модель.

Написанную программу планируется использовать на уроках математики в качестве учебного пособия.

На языке алгебры формальные модели записываются с помощью уравнений, точное решение которых основывается на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, позволяющих выразить переменную величину с помощью формулы.

Точные решения существуют только для некоторых уравнений определенного вида (линейные, квадратные, тригонометрические и др.), поэтому для большинства уравнений приходится использовать методы приближенного решения с заданной точностью (графические или численные).

Например, нельзя найти корень уравнения х3-cosx=0 путем равносильных алгебраических преобразований. Однако такие уравнения можно решать приближенно графическими и численными методами

1.1. Постановка задачи.

 

Пусть имеется уравнение вида

f (x) = 0.                                                         (1)

где f (x)  – заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций – показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)

Решить уравнение – значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

         Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

         Поставим задачу найти такое приближенное значение корня x_пр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство │x* – x_{пр│< e , где e (эпсилон) – малая положительная величина – допустимая ошибка, которую мы можем заранее задать по своему усмотрению. Если корень найден с точностью e, то принято писать x* = xпр ± e.}

         Будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

 

1.2. Этапы приближенного решения нелинейных уравнений.

 

         Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

1.     Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f (x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).

2.     Уточнение корней до заданной точности.

 

         Отделение корней можно проводить графически и аналитически.

         Для того чтобы графически отделить корни уравнения (1), необходимо построить график функции . Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения (рис. 1).

Рис. 1. Графическое отделение корней (1-ый способ).

         На практике же бывает удобнее заменить уравнение (1) равносильным ему уравнением

,                                                 (2)

где  и  – более простые функции, чем . Абсциссы точек пересечения графиков функций  и  дают корни уравнения (2), а значит и исходного уравнения (1) (рис.2).

Рис 2. Графическое отделение корней (2-ой способ).

 

Пример 1. Отделить графически корень уравнения .

Решение. Для решения задачи построим график функции  (рис. 3).

Рис. 3. График функции .

 

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку , второй – отрезку . Так как рассматриваемое уравнение имеет третью степень, то должен существовать еще один корень на интервале .

Пример 2. Отделить графически корень уравнения .

Решение. Преобразуем уравнение к виду  и построим графики функций  и  (рис. 4).

Рис. 4. Графическое отделение корней.

 

Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит отрезку .

 

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.

Теорема 1. Если непрерывная функция  принимает на концах отрезка  значения разных знаков, т.е. , то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения (1) (рис. 5).

Рис. 5. Существование корня на отрезке.

 

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке  функция  принимает на концах отрезка  значения разных знаков, а производная  сохраняет знак внутри отрезка , то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f (x) = 0 (рис. 6).

Рис. 6. Существование единственного корня на отрезке.

 

Пример 3. Подтвердить аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня уравнения .

Решение. Для отрезка  имеем: ;  Значит, . Следовательно, корень отделён правильно.

 

         Уточнение корней до заданной точности заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Наиболее распространенными являются метод деления отрезка пополам, метод касательных (Ньютона), метод секущих (хорд).

 

1.3. Уточнение корней методом деления отрезка пополам.

 

Метод деления отрезка пополам имеет другие названия: метод половинного деления, метод дихотомии, метод проб, метод бисекций.

Пусть корень уравнения f (x) = 0 отделен на отрезке , т.е. .

Алгоритм приближенного вычисления корня методом половинного деления.

Исходные данные:

f (x) – функция;

ε – требуемая точность;

a, b – границы заданного интервала (границы поиска корня).

Результат: x_пр – приближенный корень уравнения f (x) = 0.

Метод решения:

Шаг 1. Выбрать середину  отрезка  в качестве приближенного корня.

Шаг 2. Если , то c – искомый корень уравнения, на этом прекращаем вычисления. В противном случае перейти к шагу 3.

Шаг 3. Точный корень уравнения x^* отличается от c не более чем на половину длины отрезка, т.е. не более чем на  (полученная точность). Проверяем условие . Если условие не выполняется, т.е. полученная точность нас не устраивает (она больше, чем требуемая), то перейти к шагу 4; в противном случае прекратить вычисления, поскольку мы достигли требуемой точности, и приближенным корнем уравнения f (x) = 0 считать середину c  отрезка .

Шаг 4. Определить интервал дальнейшего поиска корня. Из двух образовавшихся при делении отрезков переходим к той из его половин  и , на концах которого функция принимает значения разных знаков.

Случай 1 (рис. 7). Корень на отрезке . , граница b сдвигается влево – заменить b на с: b:= c.

Случай 2 (рис. 7). Корень на отрезке . , граница a сдвигается вправо – заменить a на с: a:= c.

 

Рис. 7. Графическая иллюстрация метода половинного деления.

 

Перейти к шагу 1.

 

Алгоритм деления отрезка пополам довольно медленный, но зато абсолютно застрахован от неудач. Основное достоинство метода состоит в том, что его скорость сходимости не зависит от вида функции f (x). Данный метод не имеет дополнительных условий сходимости, кроме .

Так же есть методы хорд и касательных.

Графическое решение таких уравнений можно осуществить путем построения компьютерных моделей:

•            построением графика функции в системе объектно-ориентированного программирования Visual Basic или Turbo Delphi

•            в электронных таблицах Microsoft Excel или OpenOffice. org Calc путем построения диаграммы типа График

 

Найдем корень уравнения х3-cosx=0 приближенными методами (графическим и численным методом деления пополам числового отрезка аргумента)

Формальная модель задана уравнением, для нахождения корня уравнения разработаем компьютерную модель на языке Visual Basic.

Графический метод

1 Dim Graph2 As Graphics

   Dim Pen1 As New Pen (Color.Black, 2)

Dim drawBrush As New SolidBrush (Color.Black)

Dim drawFont As New Font (“Arial”, 10)

Dim X, Y As Single

‘Графическое решение уравнения

Private Sub Button1_Click(…)

Graph2=Me.PictureBox1.CreateGraphics()

Graph2.Clear (Color.White)

‘Печать шкал математической системы координат в компьютерной системе координат

For X=-150 To 150 Step 50

Graph2.DrawString (X/100, drawFont,_

drawBrush,  X+150, 50)

Next X

For Y=0 To 200 Step 50

Graph2.DrawString ((Y-150)/100, drawFont,_

drawBrush, 150, 200-Y)

Next Y

‘Преобразование компьютерной системы координат в математическую систему координат

Graph2. 3-Math.Cos(X)

Graph2.DrawEllipse (Pen1, X*100, Y*100, 1, 1)

Next X

End Sub

График функции пересекает ось Х один раз, следовательно, уравнение имеет один корень. По графику грубо приближенно можно определить, что х≈0.8 cм

,,

УТОЧНЕНИЕ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

При решении уравнения, как правило, заранее задается допустимая погрешность е приближенного значения корня E. В процессе уточнения корней требуется найти их приближенные значения, отличающиеся от точных не более чем на е.

 

Описанный выше способ табулирования может рассматриваться и как способ уточнения корня (хотя и крайне неэффективный). При этом можно либо постепенно уменьшать шаг табулирования, приближая его к значению е, либо сделать это сразу, полагая h = е. В любом случае получим b – а < е. Тогда в качестве искомого значения корня можно выбрать середину этого отрезка, т. е. положить E = (а + b)/2.

 

Гораздо более эффективным является так называемый метод половинного деления.

 

Пусть уравнение F(x)=0 имеет на отрезке [а; b] единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок [а; b] пополам точкой с = (а + b)/2. Если F(c) <> 0 (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: F(x) Меняет знак либо на отрезке [а; с] (рис. 2.6, а), либо на отрезке [a; b] (рис. 2.6, б). Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

 

 

Рис. 2.6. К решению уравнения F(x) методом половинного деления:

а — функция F(x) меняет знак на отрезке [а; с];

б — функция F(x) меняет знак на отрезке [c; b]

 

Метод половинного деления вполне можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно, если на каком-то этапе процесса получен отрезок [а; b], содержащий корень, то, приняв приближенно х = (а + b)/2, получим ошибку, не превышающую значения

 (заметим, что речь в данном случае идет о погрешности метода). Метод половинного деления требует утомительных ручных вычислений, однако он легко реализуется с помощью программы на компьютере (блок-схему алгоритма см. на рис. 2.7). Отметим, что даже если на каком-то этапе деления отрезка пополам получится F(c) = 0, это не приведет к сбою алгоритма.

 

 

Рис. 2.7. Блок-схема алгоритма уточнения корня уравнения F(x)=0 на отрезке [а; b] с точностью е методом половинного деления

Использование метода половинного деления в написании программы.

Написание программы и составление интерфейса

Поместить на форму:

текстовые поля TextBox1 и TextBox2 для ввода числовых значений концов отрезка А и В;

текстовое поле TextBox3 для ввода точности вычислений Р;

надпись Label1 для вывода значений корня;

четыре надписи для вывода обозначений;

кнопку Button2 для запуска обработчика событий

Ввести программный код, позволяющий вычислить корень уравнения методом половинного деления с использованием цикла с постусловием, который будет выполняться, пока выполняется условие (В-А)/2>P:

‘численное решение уравнения

Dim A, B, C, P As Single

Private Sub Button2_Click(…)

A=Val (TextBox1. 3-Math.Cos(C) ) <0

Then

B=C

Else

A=C

End If

Loop White (B-A)/2>P

Label1.Text=(A+B)/2

End Sub

Из графика функции видно, что корень находится на отрезке [0,5;1].Введем в текстовые поля значения концов числового отрезка, а также точность вычислений (например, 0,0001).

На надпись будет выведено значение корня: x≈ 0,8654175

 

Точность вычисления корня зависит не только от параметров используемого численного метода, но и от типа переменной. В нашем случае имеет смысл говорить о математической точности результата, которая не может превышать точность числового метода, т.е. х≈0,8654.

Табулирование шести трансцендентов Пенлеве

• title={Табулирование 6 трансцендентов Пенлева{\’e}, автор={Дэвид Гуззетти}, журнал={Нелинейность}, год = {2012}, объем = {25}, страницы = {3235 – 3276} }
  • D. Guzzetti
  • Опубликовано 23 октября 2012 г.
  • Физика
  • Нелинейность

  В статье приведены таблицы критического поведения при x = 0, 1, ∞ для 6-функций Пенлеве. Формулы связи для основных решений также представлены в параметрической форме.

  View on IOP Publishing

  arxiv.org

  Обзор шестого уравнения Пенлеве

  Для трансцендентов Пенлеве VI мы даем унитарное описание критического поведения, формулы связи, их полное табулирование и асимптотическое распределение полюсов, близких к…

  C A ] 1 O ct 2 01 2 Обзор шестого уравнения Пенлеве

  • D. Guzzetti

  • Математика

  • 2014
  • 0020 Для трансцендентов Пенлеве 6 мы даем унитарное описание критического поведения, формулы связи, их полное табулирование и асимптотическое распределение полюсов вблизи a…

    Аналитические решения q-P(A1) вблизи его критических точек

    • Н. Джоши, Питер Роффельсен

    • Математика, физика

    • 2015

    бесконечность. Мы…

    Распределение полюсов трансцендентов ПВИ вблизи критической точки

    • Д. Гузетти

    • Математика

    • 2011

    Логарифмические решения пятого уравнения Пенлеве

    0
  • С. Симомура

  • Математика

  • 2017

  Для пятого уравнения Пенлеве вблизи начала координат представлены два вида логарифмических решений, которые представляются соответственно сходящимися рядами с множителями, допускающими асимптотическую…

  Классические конформные блоки и Пенлеве В.И.

  • Литвинов А., Лукьянов С., Некрасов Н., Замолодчиков А.

  • Математика

  • 2014
  A предел конформного Вирасоро блоки. Отметим, что классический предел простейшего нетривиального уравнения расщепления нуль-векторов на сфере приводит к…

  Изомонодромия, трансценденты Пенлеве и рассеяние на черных дырах

  • Фабио Новаес, Б. Кунья

  • Физика

  • 2014

  Резюме Мы применяем метод изомонодромии для изучения рассеяния общей черной дыры Керра-NUT-(A)dS. Для общих значений сборов проблема связана с проблемой соединения…

  Критического поведения пятого Пейлев.0007

  Для пятого уравнения Пенлеве мы приводим семейства решений сходящихся рядов вблизи начала координат и соответствующие данные монодромии для ассоциированной изомонодромной линейной системы. Эти…

  Доказательство гипотезы Дамена и Бьюкерса о подсчете интегральных уравнений Лама с конечной монодромией

  • Zhijie Chen, Ting-Jung Kuo, Changshou Lin

  • Математика

  • 2024 0 В В этой статье мы доказываем гипотезу Дамена и Бойкерса о том, что число интегральных уравнений Ламе с индексом n по модулю скалярной эквивалентности с диэдром группы монодромии DN порядка 2N равно

    Трехпараметрические решения уравнения типа Ф.

    В. Шлезингера вблизи бесконечно удаленной точки и данные монодромии
    • С. Шимомура

    • Математика

      Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения 9012 80041 900 04

    Для уравнения типа Шлезингера, связанного с пятым уравнением Пенлеве (V) изомонодромной деформацией, представлено трехпараметрическое семейство матричных решений вдоль мнимой оси вблизи точки …

    Рациональные решения уравнения Пенлеве VI

    • М. Маццокко

    • Математика

    • 2000

    что есть рациональные решения. Приведем для них формулу с точностью до бирационального канонического…

    Процедура согласования шестого уравнения Пенлеве

    • Д. Гузетти

    • Математика

    • 2006

    В рамках метода изомонодромной деформации мы представляем конструктивную процедуру для получения критического поведения трансцендентов Пенлеве VI и решения проблемы связности. Это…

    Логарифмическая асимптотика шестого уравнения Пенлеве

    • Д. Гузетти

    • Математика

    • 2008

    микрофонная асимптотика при критической точки, и мы характеризуем асимптотическое поведение в…

    Трансценденты Пенлеве VI, мероморфные в фиксированной сингулярности

    • Кадзуо Канеко

    • Математика, философия

    • 2006

    фиксированная сингулярность. Мы вычислим линейную монодромию для наших решений. Покажем соотношение…

    Формулы связи для асимптотики пятого трансцендента Пенлеве на вещественной оси

    • Ф. В. Андреев, А. В. Китаев

    • Математика

    • 2000

    уравнение. Имея в виду уже известное и…

    О критическом поведении, проблеме связи и эллиптическом представлении уравнения Пенлеве VI

    • Д. Гузетти

    • Математика

    • 2001

    В этой статье мы находим класс решений шестого уравнения Пенлеве, возникающего в теории уравнений ВДВВ. Этот класс охватывает почти все данные монодромии, связанные с уравнением, кроме…

    Распределение полюсов трансцендентов PVI вблизи критической точки

    • D. Guzzetti

    • Математика

    • 2011

    7 90 К классификации всех критических моделей поведения и формул связи

    • Д. Гуззетти

    • Математика

    • 2012

    Критическое поведение класса трех вещественных параметров решений шестого уравнения Пенлеве вычислено и параметризовано в терминах $2 данных монодромии связанного уравнения Пенлеве \times 2$ matrix…

    Проблема монодромии и граничные условия для некоторых уравнений Пенлеве

    • М. Джимбо

    • Математика

    • 1982

    Введение интерес среди математиков и математических физиков в последние годы ([1]-[8]). Но их свойства как…

    Т-функциональное решение шестого трансцендента Пенлеве

    • Брежнев Ю.В. \mathcal{P}_6 $$ в классе Пикара-Хитчина-Окамото в форме Пенлеве как логарифмическая производная…

      Библиотека Ферма | Можно ли взять логарифм или синус измеряемой величины или единицы? Пространственный анализ с участием трансцендентных функций, аннотированная / поясненная версия.

      r 2010 Американское химическое общество и Отдел химического образования, Inc. 88 No. 1 January 2011

      _

      Journal of Chemical Education 67

      10.1021/ed1000476 Опубликовано в Интернете 13/10/2010

      В классе

      Можно ли вычислить логарифм 0 Измеренное количество или единица? Пространственный

      Анализ, включающий трансцендентальные функции

      Ch

      

      erif F. Matta*

      Факультет химии и физики, Университет Маунт-Сент-Винсент, Галифакс, Новая Каролина, Канада B3M 2J6

      и Химический факультет, Университет Далхаузи, Галифакс, Новая Каролина 4J3 B3H, Канада

      *cherif. [email protected]

      Лу Масса

      Хантер-колледж и Высшая школа Городского университета Нью-Йорка (CUNY), Нью-Йорк,

      Нью-Йорк 10021, США

      Анна В. Губская

      Кафедра химии и физики, Университет Маунт-Сент-Винсент, Галифакс, Новая Каролина, Канада B3M 2J6

      Eva Knoll

      Педагогический факультет Университета Маунт-Сент-Винсент, Галифакс, Новая Каролина, Канада B3M 2J6

      Анализ размерностей (1) занимает центральное место в физических науках

      , поскольку он обеспечивает как более глубокое понимание физики, так и

      позволяет обнаруживать несовместимые по размерам производные уравнения, требуя, чтобы две стороны равенства имели одинаковые

      размеры (необходимое, но недостаточное условие для

      измерений).0021

      правильность полученного уравнения). Этот анализ, как правило, не преподается систематическим образом, которого он заслуживает на курсах бакалавриата

      , и он не занимает видное место в стандартных учебниках по физической

      или аналитической химии. Некоторые авторы, признавая важность анализа размерностей, посвящают этой теме отдельную главу или приложение, например, первую главу книги Дональда Мензеля «

      Математическая физика», озаглавленную «Физические измерения».0021

      ний и фундаментальные единицы» (2). Обсуждение, однако, обычно

      сосредоточено на уравнениях, которые редко включают трансцендентные функции

      , такие как логарифмы, возведение в степень, тригонометрические и гиперболические

      функции.

      В этой статье слова «размеры» и «единицы измерения» часто используются

      взаимозаменяемо, потому что их поведение в анализе размерностей

      идентично, а единицей является измерение, «одетое» в заданную

      величину, или, говоря словами Хакалы, измерение является «обобщением

      единицы измерения. То есть размерность физической величины

      связана с природой, а не с количеством

      величины» (3). Например, объем может быть выражен в кубических

      метрах (м

      3

      ), кубических футах (футах

      3

      ) и т. д. Все они имеют одинаковую

      размер кубической длины [л]

      3

      . Различные единицы связаны постоянным безразмерным числом

      . Так что пока есть концептуальная

      различие между единицей и размером, их взаимозаменяемость

      равносильна изменению символа данной физической величины,

      так как безразмерное число, переводящее одну единицу в другую

      , не фигурирует в размерном анализе.

      В литературе на протяжении более шести

      десятилетий ведутся бурные дебаты о судьбе размерностей (и единиц), когда величины

      с размерностями являются аргументами логарифмов (или возведения в степень)

      (4-10, см. также ссылку 11). Этот же вопрос недавно стал предметом обсуждения и разногласий в Интернете (12).

      Некоторые из этих взглядов верны, некоторые ошибочны, а некоторые

      верны по неправильным причинам.

      Цели этой статьи: (i) обобщить проблему, (ii) выявить некоторые распространенные ловушки и

      неправильные представления, и (iii) обобщить обсуждение, включив в него

      трансцендентные функции, отличные от логарифмов и возведения в степень,

      , которые ранее не обсуждались (например, тригонометрические и

      гиперболические функции).

      Принцип размерной однородности Бриджмена

      Правило размерной однородности необходимо ввести на раннем этапе обучения студентов физических наук:

      Величины A и B по обе стороны от сложения и вычитания

      операторы, а также равенство и неравенство должны иметь одинаковые

      размерности, то есть в каждом из следующих выражений A

      и B однородны по размерам:

      A + B

      A – B

      A = B

      A > B

      A < B

      и т. д.:

      г

      г

      Правило 1 является обобщением свойства оператора

      выражения dim (A ( B)=dimA = dim B, показывающего, что размерная

      алгебра операторов отличается, например, от алгебры чисел, как

      обсуждается в этом журнале (13). №

      A

      2

      =B þ B

      2

      для безразмерных (чистых) чисел это выражение

      бессмысленно, если A и B представляют собой физические величины, которые являются

      по существу произведением физического измерения 90 и 22 выражается в системе единиц (1, 14). Таким образом, хотя

      v þ s ¼ gt þ

      1

      2

      gt

      2

      ð2Þ

      где v = 902gt и 1 202gt =190/2gt

      , является численно правильным, это уравнение

      лишено физического смысла (1), если только размерность или единица измерения для

      68 Journal of Chemical Education

      _

      Vol. 88 № 1 Январь 2011 г.

      _

      pubs.acs.org/jchemeduc

      _

      r 2010 Американское химическое общество и Отдел химического образования, Inc. определено и, далее, что эти

      совместимы при прикладных операциях по правилу 1.

      Это утверждение знакомого выражения, что нельзя складывать,

      вычитать или сравнивать яблоки и апельсины. Анализ размерностей — это

      метод, используемый для обеспечения размерной однородности путем явной

      размерной достоверности уравнения путем приписывания, когда это необходимо,

      правильной размерности константам пропорциональности (2). Применение этих правил может быть полезным для обнаружения ошибок в производных

      уравнение. И наоборот, их удовлетворение, хотя и необходимое, не является достаточным, чтобы гарантировать правильность уравнения.

      Очевидные проблемы размерного анализа, включающие

      Трансцендентные функции

      По определению трансцендентные функции, такие как логарифм

      (по любому основанию), возведение в степень, тригонометрические функции и

      гиперболические функции воздействуют на безразмерные числа 20 20 0 ценности. Теперь мы исследуем некоторые распространенные примеры ошибок.0021

      концепций, связанных с этими функциями, и разрешение таких

      заблуждений.

      Логарифмы

      Уравнение Аррениуса. Если аргумент функции уже

      безразмерен, как, например, аргумент экспоненциальной

      функции в уравнении Аррениуса 0 ð3Þ

      , то по правилу 1 и k, и предэкспоненциальный множитель A

      обязательно должны иметь те же размерности (обратного времени)

      , потому что экспоненциальный множитель безразмерен. Трудность возникает

      , когда в аргумент трансцендентной функции приходится вставлять величину с размерностью (выраженную в

      заданной системе единиц).

      Логарифм определяется как обратная операция возведения в степень-

      ция (12), то есть

      y = log

      b

      x if x = b0021

      ð4Þ

      где b, x, andy — действительные числа, b — основание логарифма.

      Это определение исключает связь любого физического измерения

      с любой из трех переменных, b, x, andy, чтобы не нарушать правило 1.

      Рассмотрим следующий пример, рассмотренный Молинье (8) граммы¼logð10  граммÞ

      ¼ logð10Þþlogðgram Þ

      = 1 þ logðgramÞ

      ð5Þ

      , где логарифм основан на 10. Предположение Молинье о том, что

      последнее равенство определяет значение log 10 грамм ошибочно принимается за

      по следующей причине. Если мы последуем этому предложению, то если мы

      применим определение в уравнении 4, можно спросить: каков показатель степени y

      (число), до которого следует возвести основание b, что даст

      граммов? Поскольку на этот вопрос нет разумных ответов, количество (логарифм грамм) бессмысленно, как и уравнение 5 в целом.

      Представление о том, что в логарифмических соотношениях измерения равны

      переносятся аддитивно (15) — это заблуждение: размеры

      вообще не переносятся в логарифмической функции.

      Чтобы линеаризовать уравнение Аррениуса (уравнение 3), его часто модифицируют

      путем логарифмирования обеих частей: 20 Но, на самом деле это должно было быть записано как (14)

      ln

      k

      k

      ¼ ln

      A

      k

      –

      E

      a

      RT

      ð7Þ

      где k

      – удельная константа скорости в выбранной системе единиц.

      Таким образом, зависимость логарифма от используемой единицы

      не имеет значения, поскольку аргумент логарифма в уравнении 7 равен

      отношению двух переменных, имеющих одну и ту же единицу измерения, то есть чистое число

      . Рекомендуется метод выражения аргументов

      логарифмов в уравнении Аррениуса, показанный в уравнении 7.0021

      исправляется при табулировании или графическом отображении данных, поскольку это позволяет избежать возможных неясностей

      . Таким образом, числовое значение физической величины (измеренной)

      отделяется от ее размерности, так что (11)

      физическая величина = единица = числовое значение ð8Þ

      , как, например, в ΔH

      f

      /(кДж моль

      -1

      )=-285,9. Это известно как

      количественное исчисление, важность которого была подчеркнута

      некоторое время назад в этом Журнале и был принят как традиционный стиль

      Журнала (11).

      Дифференциальная форма уравнения Аррениуса: 020 dln k

      dT

      ð9Þ

      что является еще одной обманчивой формой, которая может создать впечатление, что

      логарифмируют размерную величину, то есть скорость

      постоянная k. Формулы этой формы встречаются в изобилии в физических

      науках, и решение этой очевидной проблемы заключается в тождестве

      (1)

      dln k

      dT

      =

      1

      k

      k

      1

      dk

      dT

      ð10Þ

      где размерности k сокращены и что эквивалентно

      dln(k/k

      )/dT, т. е. логарифмирование безразмерного

      номер.

      В дополнение к логарифмам также бессмысленно включать

      размерные величины в качестве аргументов тригонометрических или

      гиперболических функций, поскольку они определяются как отношения (синус

      угла есть отношение длины противоположной стороны к

      длине гипотенузы, косинус есть отношение длины

      прилежащей стороны к длине гипотенузы и т. д.)0021

      числовые или тригонометрические функции, не могут работать с величинами по

      , к которым присоединены физические размеры.

      pH, pK

      a

      , log IC

      50

      и так далее. Миллс подчеркивал, что

      правильное определение pH (7, 16, 17): 3

      !

      ð11Þ

      Таким образом, прежде чем логарифмировать, нужно разделить концен-

      преобразование на единицу концентрации, используемой для получения размерности –

      меньшее или безразмерное число. Аналогичное деление на соответствующие единицы

      необходимо перед применением отрицательного логарифма к

      величинам, таким как константа диссоциации кислоты (K

      a

      ) или

      50% ингибирующих концентраций и так далее. Аргумент

      логарифм коэффициента разбиения (например, P

      o/w

      =

      C

      o

      /C

      w

      ) уже безразмерно, поскольку является отношением концентраций

      .

      r 2010 Американское химическое общество и Отдел химического образования, Inc. 88 № 1 Январь 2011

      _

      Журнал химического образования 69

      В классе

      Относительные и абсолютные единицы как аргументы трансцендентности.0021

      Стоматологические функции

      Что происходит с размерами или единицами измерения

      при использовании калькулятора, когда в качестве аргумента трансцендентной функции

      вставляется измеряемая величина? Чтобы разработать ответ на такой вопрос студента

      , мы можем задать ему следующий вопрос:

      Какова длина стороны квадрата, периметр которого

      равен по величине его площади? Неверный подход – на

      написать:

      4x ¼ x

      2

      ð12Þ

      где x — длина стороны, потому что если мы решим для x, то любой

      квадрат со стороной = 4 будет удовлетворять уравнению 12, но 4 каких единиц?

      Другими словами, любой квадрат может быть решением этой проблемы,

      при условии, что единица определяется как одна четвертая длины его стороны. Ошибка

      заключается, конечно же, в игнорировании размеров или единиц измерения.

      Вместо этого, если первоначальная единица длины u изменяется на такую, которая

      в y раз больше исходной единицы, то есть u

      = yu, тогда уравнение 12 принимает вид

      (4x  yu)=(x  yu)

      2

      , что упрощается до x = 4/yu, раствор

      , который дает периметр, равный 16/ю, но поверхность, равную

      16/у

      2

      u

      2

      .

      Применение правила 1 к приведенной выше задаче помогает получить

      правильный ответ. Чтобы сбалансировать единицы или размеры в соответствии с правилом 1

      , уравнение необходимо переписать как

      4u  x ¼ x

      2

      ð13Þ

      Решение для x:

      x ¼ 4u

      x½L¼fx½Lg

      2

      4 ¼ x½Lð14Þ

      где количество в квадратных скобках [L] относится к размеру

      длины (или любой из его заменителей). Правило 1 требует, чтобы обе стороны

      уравнения 14 имели одинаковые размеры, а поскольку левая сторона0021

      со стороны руки – это чистое число, поэтому должно быть количество справа –

      со стороны руки (но это не так). Следовательно,

      x ¼ x

      ½L

      – 1

      ð15Þ

      , где x

      — чистое безразмерное число. Если мы теперь подставим x

      в уравнение 12 вместо x, мы получим

      4x

      ¼ x

      2

      ð16Þ

      уравнение, которое кажется идентичным уравнению 12, но с существенным отличием: выражает уравнение 12 в относительной безразмерной форме

      и всегда будет правдой. Уравнения, подобные 16, которые остаются неизменными

      при масштабировании аунитиса, известны как «полные уравнения» (1).

      Атомные единицы, которые часто используются в молекулярной и атомной

      физике и квантовой химии, являются относительными (безразмерными) единицами

      , поскольку они обеспечивают числовые коэффициенты отношения интересующей

      величины к стандартному эталонному значению (18 ). Другие безразмерные единицы

      включают радианы, проценты, моли, биты и т. д.

      далее.

      В оптике, чтобы описать синусоидальное возмущение как функцию

      расстояния от выбранного или начала, нужно сначала умножить x[L] на

      «число распространения», k[L]

      -1

      , прежде чем вставить в аргумент

      функции синуса (19). Таким образом,

      ψðx, tÞ¼A sin kðx – vtÞð17Þ

      где ψ — возмущение в указанных размерах и единицах

      (например, напряженность электрического или магнитного поля), A — максимальная

      возмущение или амплитуда в тех же единицах, что и возмущение

      , а sin k(x – vt) безразмерен и обеспечивает

      временную и пространственную периодичность возмущения. В словах

      Гехта (19):

      Необходимо ввести константу k просто потому, что мы не можем

      взять синус величины, имеющей физические единицы. Синус представляет собой отношение

      двух длин и, следовательно, безразмерен. Соответственно, kx правильно в

      радиан, что не является реальной физической единицей [поскольку это отношение].

      Таким образом, всякий раз, когда в аргумент

      трансцендентной функции нужно вставить количество, оно либо безразмерно с самого начала

      , либо должно быть обезразмерено. Другими словами, измерения

      должны быть оставлены на пороге трансцендентных функций.

      Ошибочность аргумента, основанного на расширении Тейлора

      Википедия — сайт, набирающий широкую популярность среди

      студентов и преподавателей, а также другие подобные онлайн-публикации

      больше нельзя игнорировать. Несмотря на то, что в целом они очень полезны, в некоторых

      раз эти не рецензируемые онлайн-публикации могут увековечить

      неверные (но кажущиеся правдоподобными) взгляды и анализы. Примером

      ошибочного аргумента, который, тем не менее, приводит к правильному заключению, является статья Википедии по состоянию на сентябрь 2010 г., в которой

      отклоняется вставка размерной величины в

      .0021

      аргумент трансцендентной функции на основе разложения Тейлора

      этих функций (20). Статья в Википедии

      утверждает, что тейлоровское разложение трансцендентных функций приводит к

      терминам различных размерностей, которые нельзя складывать или вычитать

      (правило 1), и, следовательно, аргумент не может быть размерен. Приведенный пример

      : (20) :

      lnð3kgÞ¼3kg-

      9kg

      2

      2

      þ ::: ð18Þ

      Расширение Тейлора, записанное в уравнении 18, неверно и обманчиво.

      Если мы запишем формальное разложение Тейлора,

      2

      3

      г

      2

      f ðxÞ

      dx

      2

      þ

      Dx

      3

      6

      3

    0 d
    020 f РxÞ

    dx

    3

    þ :::

    ¼ f ðxÞþ

    X

    ¥

    n = 1

    Dx

    н!

    3

    d

    n

    f ðx ð

    dx

    n

    ð19Þ

    показывает, что каждый член должен иметь размерность, f

    расширение имеет те же размеры как f(x), поскольку

    размерностей (∂x

    n

    /1)  (1/dx

    n

    ) сократить, как обсуждалось в ссылке 14.

    Следовательно, сложение (или вычитание) членов в разложении Тейлора

    допустимо в числовом и размерном отношении, а уравнение

    удовлетворяет размерной однородности (правило 1). Тот же аргумент

    распространяется на все трансцендентные и алгебраические функции, которые можно разложить в ряды Тейлора. Причина

    необходимости включения только безразмерных действительных чисел в

    аргументы трансцендентной функции обусловлены не размерной

    неоднородностью разложения Тейлора, а скорее

    отсутствием физического смысла включения измерений и единиц

    70 Journal of Chemical Education . 88 № 1, январь 2011 г.

    _

    pubs.acs.org/jchemeduc

    _

    r 2010 Американское химическое общество и Отдел химического образования, Inc.

    В классе

    в аргументах этой функции.

    Студенты, изучающие физику, должны четко понимать это различие.

    Выводы

    Анализу измерений обычно не придается

    должного внимания в системе высшего образования. В этой статье мы уделили особое

    внимание анализу размерностей, когда уравнения

    включают трансцендентные функции, потому что это первично. 0021

    — одна из наименее часто обсуждаемых тем в многомерном анализе

    . Когда в аргумент трансцендентной функции нужно вставить физическую величину, нужно позаботиться о том, чтобы сначала преобразовать их в безразмерные отношения.

    Мы рассмотрели распространенные заблуждения и ошибки

    , связанные с анализом размерностей с использованием этих функций,

    и, в частности, пример вводящего в заблуждение аргумента, связанного с

    к расширению Тейлора, что приводит к правильным выводам, но для

    неправильным причинам. Ошибочность последнего аргумента,

    обнародованного в Интернете, подчеркивает важность осторожности при использовании не рецензируемых онлайновых

    публикаций в системе последипломного образования. Невозможно переоценить важность глубокого понимания размерного анализа для будущих ученых, которые будут

    выводить, а также применять формулы и функции.0021

    подчёркнутый.

    Благодарность

    Авторы благодарны за отличные предложения, сделанные

    тремя анонимными рецензентами, которые помогли значительно улучшить эту статью

    . Авторы также благодарят профессоров Кэтрин

    В. Дарвеш и Майкла Боуэна (оба из Университета Маунт-Сент-Винсент

    ) и г-на Хьюго Бохторкеса (кандидата наук,

    Университет Далхаузи) за полезные обсуждения и предложения.

    Л. М. благодарит Городской университет Нью-Йорка CUNY-PSC, фонд

    для грантовой поддержки. C.F.M. выражает благодарность Канадскому совету по естественным наукам и инженерным исследованиям

    (NSERC), Канадскому фонду инноваций

    (CFI) и Университету Маунт-Сент-Винсент

    за финансовую поддержку.

    Процитированная литература

    1. Bridgman, P.W. Dimension Analysis; Издательство Йельского университета:

    New Haven, 1931.

    2. Менцель, Д. Х. Математическая физика; Dover Publications, Inc.:

    Нью-Йорк, 1961.

    3. Hakala, R.W.J. Chem. Образовательный 1964, 41, 380–384.

    4. ДеПьерро, Э.; Гарафало, Ф .; Туми, RJ Chem. Образовательный 2008, 85,

    1226–1228.

    5. Freeman, R. D.J. Chem. Образовательный 1997, 74, 899.

    6. Molyneux, P.J. Chem. Образовательный 1995, 72, 955–956.

    7. Mills, I.M.J. Chem. Образовательный 1995, 72, 954–955.

    8. Molyneux, P.J. Chem. Образовательный 1991, 68, 467–469.

    9. Boggs, J.E.J. Chem. Образовательный 1958, 35, 30–31.

    10. Copley, G.N.J. Chem. Образовательный 1958, 35, 366–367.

    11. White, M.A.J. Chem. Образовательный 1998, 75, 607–609.

    12. Форум по физике. Какая единица измерения будет после того, как вы возьмете натуральный

    логарифм? http://www.physicsforums.com/showthread.php?

    p=1279091#post1279091 (по состоянию на октябрь 2010 г.).

    13. Musulin, B.J. Chem. Образовательный 1964, 41, 622.

    14. Берберан-Сантос, М. Н.; Полиани, LJ Math. хим. 1999, 26,

    255–261.

    15. Денкер, Дж. С. Безразмерные единицы, http://www.av8n.com/physics/

    безразмерные единицы.htm. post1279091 (по состоянию на октябрь 2010 г.).

    16.