Тема производные: Производная, основные темы

Производная. Функции одной переменной. (Тема 3)

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Производная

функции одной переменной

2. Основные обозначения

Функция у = f(x) задана на множестве Х
Пусть х0 Х . Найдем у0 = f(x0).
Придадим аргументу приращение Δх так,
чтобы x х0 х Х
Найдем у = f(x0+Δх).
Обозначим
y f ( x0 x) f ( x0 )
Δу – приращение функции.
y
Найдем
lim
x 0
x

3.

Определение производнойПроизводной функции у = f(x) в точке х0
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента в этой точке
при Δх→0 (если он существует).
dy
df
Обозначения: f´(x) или y´x или
или
dx
dx
Символическая запись определения:
f ( x0 x) f ( x0 )
y
f ( x0 ) lim
lim
(*)
x 0 x
x 0
x

4. Частные случаи определения

Если в точке х0 предел (*) бесконечен, то говорят,
что в точке х0 функция имеет бесконечную
производную: f ( x0 )
Если в точке х0 предел (*) – правосторонний, т.е.
найден при Δх→0+, то найденная производная
называется правой и обозначается f ( x0 )
Аналогично определяется левая производная
функции в точке: f ( x0 )
Если функция имеет в точке производную, то она
имеет в этой точке правую и левую производные, и
все они равны между собой – достаточное
условие дифференцируемости функции.

5. Дифференцирование функции

Операция нахождения производной функции
называется дифференцированием.
Если функция имеет конечную производную в
точке, то называется дифференцируемой в этой
точке; функция, дифференцируемая в каждой
точке промежутка, называется
дифференцируемой на этом промежутке.
Дифференцируемость (гладкость) – одно из
основных свойств функции.
Если функция f(x) дифференцируема на
множестве Х, то ее производная f´(x) является
функцией, определенной на множестве Х.

6. Связь дифференцируемости и непрерывности функции

Теорема: Если функция дифференцируема в
точке х0, то она в этой точке непрерывна.
Обратное утверждение неверно.
Непрерывность – необходимое условие
дифференцируемости.
Теорема: Если функция разрывна в точке, то
в этой точке ее производная бесконечна или
не существует

7. Геометрический смысл производной

Пусть
Тогда
М (х0, f(x0))
N (х0+Δх, f(x0+Δх))
Δх = МА
Δу = NА
y NА
tg
x MA
При Δх → 0 0
tg tg 0
y
tg 0
x

8.

Геометрический смысл производнойЗначение производной функции в точке равно
угловому коэффициенту касательной,
проведенной в данной точке к графику функции:
f ( x0 ) kкасат tg 0
Угол наклона касательной к графику в точке х0:
0 arctg _ f ( x0 )
Уравнение касательной к графику функции в
точке х0:
у f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )

9. Физический смысл производной

Механический смысл производной:
Производная s´(t0) пути по времени в момент t0
есть мгновенная скорость движения
материальной точки в момент времени.
Производная пути по времени есть скорость
движения материальной точки по прямой:
s´(t)=v(t)
Обобщенный физический смысл:
Если течение некоторого процесса описывает
функция у=f(x), то производная этой функции
f´(x) описывает скорость протекания этого
процесса.

10. Правила дифференцирования

Производная суммы равна сумме производных:
Производная произведения находится по формуле:
(u v)’ u’ v’
(uv)’ u’ v uv’
В частности, постоянный множитель выносится за
знак производной:
(сu )’ с u ‘
Производная частного находится по формуле:
u ‘ v uv’
u
2
v
v
‘
Производная сложной функции равна произведению
производных всех преобразований, начиная с
последнего: y f (u ), u g ( x) y’ f ‘ (u ) g ‘ ( x)

11.

Дифференцирование функций, заданных неявноЕсли функция у от х задана уравнением F(x,y)=0,
то она задана неявно.
Для нахождения производной неявно заданной
функции, надо:
продифференцировать по х обе части уравнения;
из полученного уравнения выразить у´.
1.
2.

12. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Если функция у от х задана уравнениями
x (t ),
_ t T
y (t ),
то говорят, что она задана параметрически (t –
параметр уравнений).
Производную функции, заданной параметрически,
находят по формуле
yt
y x
xt

13. Производные высших порядков

Производная f´(x) сама является функцией
аргумента х, для нее можно найти производную
(f´(x))´ – производная второго порядка.
2
d f
Обозначение: f´´(x) или f(2)(x) или fII(х) или
dx 2
Производная второй производной есть
производная третьего порядка и т.д.
Производной n-го порядка называется
производная от производной (n-1)-го порядка

English     Русский Правила

Тема 4.

Производная

Определение Производной функции в точке (обозначается или ) называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при , если этот предел существует:

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.

Основные правила дифференцирования

1. 

2.  ( – постоянная)

3. 

4. 

5. Производная сложной функции: если , то , где производные функций в правой части равенства берутся по аргументам и соответственно.

Таблица производных наиболее часто используемых функций

1.   ( – постоянная)

2. 

3. 

4.  ( – постоянная)

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

Определение Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции: , при y > 0. Нахождение производных от многих функций значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. При этом логарифмическую производную применяют формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при

y > 0.

Определение Функция y(x) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно у.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной

Определение Внутренняя точка интервала называется точкой максимума (минимума)

функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство ( ). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.

Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции:

Если ( ) в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале. Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции.

Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:

1. Найти область определения функции;

2. Найти производную функции;

3. Приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;

4. Определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.

Необходимое условие экстремума функции:

Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .

Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, на­зывают точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.

Достаточные условия экстремума функции:

Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.

Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки .

Определение График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала.

Определение График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции:

Если в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале; если же , то в интервале график функции вогнутый.

Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Если ─ абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются

критическими точками второго рода.

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.

Определение Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х,у) на кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат, (т. е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая является

вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если:

или

Прямая является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует или

Прямая является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы:

или

При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана:

1. Найти область определения функции.

2. Определить четность (нечетность), периодичность функции.

3. Найти точки разрыва.

4. Определить точки пересечения графика с осями координат.

5. Найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.

6. Определить интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.

8. Определить асимптоты.

9. Найти предельные значения функции при аргументе, стремящемся к границам области определения.

Производные дизайны, темы, шаблоны и загружаемые графические элементы на Dribbble

1. Посмотреть Лента Финансы

   Лента Финансы

2. Посмотреть Биквекс

   Биктекс

3. Посмотреть Биквекс

   Биктекс

4. Просмотр производных

   Производные

5. Посмотреть DueDEX – Биржа крипто-деривативов | Мобильный

   DueDEX – Биржа крипто-деривативов | Мобильный

6. Посмотреть приложение для торговли крипто-опционами

   Приложение для торговли крипто-опционами

7. Посмотреть торговлю деривативами криптовалюты на мобильном телефоне | Обмен | DueDEX

   Торговля производными криптовалютами на мобильных устройствах | Обмен | DueDEX

8. Посмотреть мобильное приложение для торговли крипто-опционами

   Мобильное приложение для торговли крипто-опционами

9. Посмотреть фьючерсы Daxwise

   Фьючерсы Daxwise

10. Просмотр криптовалютной биржи деривативов | Мобильный трейдинг | DueDEX

    Криптовалютная биржа деривативов | Мобильный трейдинг | DueDEX

11. Посмотреть DueDEX – Биржа крипто-деривативов

    DueDEX – Биржа крипто-деривативов

12. Посмотреть поэтику деривативов — Коллектив Number6

    Поэтика производных — Коллектив Number6

13. Просмотр значков деривативов

    Иконки производных инструментов

14. Просмотр значков деривативов

    Иконки производных инструментов

15. Просмотреть деривативы на сырую нефть DMCC

    Производные сырые продукты DMCC

16. Просмотреть торговлю крипто-деривативами | DueDEX

    Торговля крипто-деривативами | DueDEX

17. Посмотреть дизайн интерфейса покупки/продажи

    Дизайн интерфейса покупки/продажи

18. Посмотреть торговый терминал | Биржа криптовалютных деривативов | DueDEX

    Торговый терминал | Биржа криптовалютных деривативов | DueDEX

19. Посмотреть dynamX – биржа крипто-фьючерсов и деривативов 📈

    dynamX – Биржа крипто-фьючерсов и деривативов 📈

20. Посмотреть афишу выставки деривативов

    Плакат выставки деривативов

21. Просмотр производных от погоды

    Погодные производные

22. Посмотреть деривативы Invisible Friends – Zenitsu

    Невидимые друзья Производные – Zenitsu

23. Посмотреть протокол шампанского

    Шампанское Протокол

24. Просмотр монолитных производных

    Монолитные производные

Зарегистрируйтесь, чтобы продолжить или войдите

Загрузка еще…

Производные дизайны, темы, шаблоны и загружаемые графические элементы на Dribbble

1. Посмотреть логотип оленя и его производные

   Логотип оленя и его производные

2. Посмотреть коллекцию производных NFT ToadHeadz

   Коллекция производных инструментов ToadHeadz NFT

3. Посмотреть ПРОИЗВОДНЫЙ

   ПРОИЗВОДНАЯ

4. Посмотреть Красная Панда Ронин Фурри

   Красная панда Ронин Фурри

5. Просмотр We Gonna Make Dribbble Shots – WGMInterfaces Производное искусство

   Мы собираемся сделать Dribbble Shots — производное искусство WGMInterfaces

6. Посмотреть производную от меча

   Производный меч

7. Посмотреть производную

   Производная

8. Посмотреть производную

   Производная

9. Посмотреть обед на траве в современной версии

   Обед на траве Современная версия

10. Посмотреть аналитику LRW

    Анализ ЖРО

11. Посмотреть производный логоизм

    Производный логоизм

12. Посмотреть безнадежно производный вариант

    Безнадежно производная вариация

13. Посмотреть безнадежно производный

    Безнадежный производный

14. Посмотреть производные логотипы

    Производные логотипы

15. Посмотреть производный дудл-арт NFT 2022 года

    2022 NFT Производный Doodle Art

16. Посмотреть производный дудл-арт NFT 2022 года

    2022 NFT Производный Doodle Art

17. Посмотреть производный дудл-арт NFT 2022 года

    2022 NFT Производный Doodle Art

18. Посмотреть производную 🎨

    Производная 🎨

19. Ознакомьтесь с концепцией адаптации приложения для обмена деривативами.