ПМ-ПУ :: Дифференциальные уравнения
Составитель: д.ф.-м.н., профессор А.П.Жабко,
к.ф.-м.н., доцент С.А.Стрекопытов
Основная литература
- Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Зубов В.И. Теория колебаний. М., 1979.
- Зубов В.И. Колебания и волны. Л., 1989.
- Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., 1992.
- Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Дополнительная литература
- Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Высш. шк., 1972.
- Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. М., 1959.
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Начальные сведения.Глава 2. Методы интегрирования уравнений первого порядка
Неполные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное и обобщенное однородное уравнения. Линейные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.Глава 3. Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия и определения. Общее, частное и особое решения. Начальная и граничная задачи. Методы интегрирования уравнений высших порядков. Линейные уравнения.Глава 4. Системы дифференциальных уравнений
Основные понятия и определения. Нормальная система. Приведение уравнения n-го порядка к нормальной системе и обратная задача. Задача Коши. Понятие единственности решения.Глава 5. Теоремы существования и единственности
Последовательности функций. Равностепенная непрерывность, равномерная ограниченность, равномерная сходимость. Лемма об интегральном представлении решения задачи Коши. Ломаные Эйлера. Теорема Пеано о существовании решения. Теорема Пикара о существовании и единственности решения. Теорема Каратеодори. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме с голоморфными правыми частями. Теорема Коши о существовании голоморфного решения. Теория уравнений с регулярной особой точкой. Продолжение решений. Теорема об интервале существования решения.Глава 6. Общая теория линейных систем
Свойства линейных систем. Однородные линейные системы и свойства их решений. Понятие и критерии линейной независимости вектор-функций, скалярных функций. Необходимые и достаточные условия линейной независимости решений линейных однородных систем. Фундаментальная матрица. Формула Лиувилля. Общее решение и интегралы однородной линейной системы. Неоднородные линейные системы: структура общего решения, метод вариации произвольных постоянных, формула Коши.Глава 7. Линейные системы с постоянными коэффициентами
Матричные ряды и экспонента матрицы. Построение фундаментальной матрицы. Асимптотические свойства решений однородной линейной системы. Следствия для линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Построение фундаментальной матрицы на основе матричного тождества Гамильтона-Кэли. Метод неопределенных коэффициентов.Глава 8. Линейные системы с переменными коэффициентами
Линейные системы с периодическими коэффициентами.Глава 9. Зависимость решений от параметров
Системы дифференциальных уравнений с параметрами. Лемма Гронуолла. Непрерывная зависимость решений от правых частей нормальной системы, начальных данных и параметров. Интегральная непрерывность решений. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам. Система в вариациях. Существование общего решения и общего интеграла нормальной системы. Теорема о голоморфности решения относительно параметров. Метод малого параметра Пуанкаре для построения решения начальной задачи и периодического решения. Квазилинейные системы.Глава 10. Уравнения в частных производных первого порядка
Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка. Общее решение. Характеристики Коши. Решение начальной задачи. Нелинейное уравнение в частных производных первого порядка.Дифференциальные уравнения и теория устойчивости
Год (
По возрастанию |
По убыванию
)
Альсевич Л.А., Мазаник С.А., Расолько Г.А., Черенкова Л.П. Год: 2012
Даны краткие теоретические сведения и решения типовых задач. Задачи повышенной сложности сопровождаются указаниями. Приведено большое количество задач прикладного характера, снабженных необходимыми сведениями из соответствующих областей физики, механики, биологии, экономики. Приведены задания для контрольных и лабораторных работ.
Аносов Д.В. Год: 2010. Издание: 2-е изд. стер.
Арнольд В.И. Год: 2012
За сорок лет, прошедших со времени выхода первого издания, этот учебник успел стать классическим.Большое внимание уделяется геометрическомусмыслу основных понятий. В книге прослеживается тесная связь предмета с приложениями, в особенности с механикой. При изложении делается упор не на формулы, а на геометрический смысл основных определений и теорем. Автор знакомит…
Арнольд В.И. Год: 2012. Издание: 4-е изд.
В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследованияобыкновенных дифференциальных уравнений. Элементарные методы интегрирования рассматриваются с точки зрения общематематических понятий (разрешение особенностей, группы Ли симметрий, диаграммы Ньютона и т.
Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Год: 2009. Издание: 3-е изд. стер.
Теория особенностей дифференцируемых отображений — бурно развивающаяся область современной математики, являющаяся грандиозным обобщением исследования функций на максимум и минимум и имеющая многочисленные приложения в математике, естествознании и технике (так называемые теории бифуркаций и катастроф). Первая часть книги посвящена теории устойчивости гладких отображений,…
Астровский А.И., Гайшун И.В. Год: 2013
В монографии дано систематическое применение техники квазидифференцирования в задачах наблюдения и управления линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, что привело к новым, более сильным по сравнению с известными, условиям наблюдаемости и управляемости, а также позволило разработать достаточно эффективные процедуры построения канонических. ..
Березкина Н.С., Минюк С.А. Год: 2007
Изложены необходимые основы математического аппарата теории дифференциальных, линейных разностных уравнений и систем и даны примеры его использования в современных экономических приложениях. Представлены решения большого количества типичных задач, дана подборка задач для самостоятельного решения.
Бибиков Ю.Н., Букаты В.Р. Год: 2020
В учебном пособии излагаются положения теории и методы интегрирования дифференциальных уравнений Пфаффа на плоскости и в пространстве. Обычно уравнения Пфаффа на плоскости называют обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка в симметричной форме. В отличие от общепринятого, подход к изложению материала основан на понимании решения как параметризованной…
Бибиков Ю. Н. Год: 2011. Издание: 2-е изд., стереотип.
Пособие содержит все традиционные разделы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Большое внимание уделено вопросам существования, единственности и продолжаемости решений, зависимости их от начальных данных и параметров. В теории линейных уравнений и систем дополнительно рассматриваются системы с периодическими коэффициентами, функция Грина краевой задачи. Излагаются…
Бибиков Ю. Н., Букаты В. Р. Год: 2021. Издание: 2-е изд., стер.
В учебном пособии излагаются положения теории и методы интегрирования дифференциальных уравнений Пфаффа на плоскости и в пространстве. Обычно уравнения Пфаффа на плоскости называют обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка в симметричной форме. В отличие от общепринятого, подход к изложению материала основан на понимании решения как параметризованной…
Болибрух А.А. Год: 2009
В лекциях начала аналитической теории дифференциальных уравнений излагаются с точки зрения расслоений с мероморфными связностями на римановой сфере. Этот подход позволяет добиться значительного прогресса в решении таких знаменитых старых задач, как проблема Римана–Гильберта и задача о биркгофовой стандартной форме, а также в исследовании изомонодромных деформаций фуксовых…
Болотюк В.А., Болотюк Л.А., Швед Е.А., Швец Ю.В. Год: 2014. Издание: 1-е изд.
Настоящий практикум представляет собой сборник индивидуальных заданий (типовых расчетов) из курса высшей математики по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Излагаемые основные понятия сопровождаются большим количеством примеров с подробными решениями. Практикум содержит индивидуальные задания по темам «Дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные…
Болотюк В. А., Болотюк Л. А., Швед Е. А., Швец Ю. В. Год: 2020
Настоящий практикум представляет собой сборник индивидуальных заданий (типовых расчетов) из курса высшей математики по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Излагаемые основные понятия сопровождаются большим количеством примеров с подробными решениями. Практикум содержит индивидуальные задания по темам «Дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные…
Брагина О.И., Панкратова Т.Ф., Рябова А.В. Год: 2013
Предлагаемое пособие предназначено для студентов технических специальностей первого курса.
Бурова И.Г. Год: 2013
Предлагаемое издание содержит теоретические и практические рекомендации по аппроксимации функций вещественными и комплексными сплайнами. Предлагаются неявные интерполяционные методы для решения задачи Коши. Предназначено для студентов, изучающих вычислительную математику, а также аспирантов и научных сотрудников, применяющих численные методы.
Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Год: 2005. Издание: 2-е изд.
Пособие охватывает все разделы курсов «Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление». По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения приводятся решения стандартных и нестандартных задач даются задачи с ответами для самостоятельной работы. Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика».
Васильева Е.В. Год: 2015. Издание: 1-е изд.
Монография посвящена проблеме существования бесконечного числа устойчивых периодических решений в окрестности гомоклинического решения периодической системы дифференциальных уравнений. Решенная автором работы весьма тонкая и сложная проблема существования в окрестности гомоклинического решения бесконечного числа устойчивых периодических решений с отделенными от нуля…
Веденяпин А.Д., Поливенко В.К. Год: 2008
Настоящий практикум содержит общие задания и методические указания к их выполнению в объеме программы по обыкновенным дифференциальным уравнениям университетов и технических вузов. Может служить руководством для преподавателей, ведущих практические и лабораторные занятия, а также для самостоятельного изучения студентом. Допущено Научно-методическим советом по математике…
Воропаева Н.В., Соболев В.А. Год: 2009
Галкин В.А. Год: 2001
Изложена теория корректности задач для уравнения Смолуховского, моделирующего процессы коагуляции (слияния) частиц в дисперсных системах. Рассмотрены пространственно однородные и неоднородные задачи. Доказаны теоремы глобальной разрешимости и корректности задач Коши. Описываются эффекты перехода соотношения сохранения в соотношение диссипации и выявляются их связь…
Дифференциальные уравнения|ИТММ ННГУ
Кафедра теории управления и динамики систем
Специальность: Прикладная математика и информатика
Преподаватель: Гринес Е.А. Губина Е.В. Кадина Е. Ю.
«Дифференциальные уравнения» являются одной из базовых дисциплин в общем образовании математика-прикладника.
Опираясь на фундаментальные сведения из математического анализа, геометрии и высшей алгебры, «Дифференциальные уравнения» дают прикладнику одно из мощных средств анализа явлений и процессов различной природы математическими методами. Ознакомить студентов с начальными навыками математического моделирования, показать возникающие принципиальные трудности при переходе от реального объекта к его математической идеализации, показать разницу между «хорошими» и «плохими моделями» – важные естественнонаучные задачи курса.
Хорошо известно, что математическая модель какого-либо нетривиального явления или процесса лишь в исключительных случаях допускает достаточно полный анализ классическими методами теории дифференциальных уравнений. Поэтому, чтобы эти классические методы не оставались «вещью в себе» для математика-прикладника, часть времени выделяется на то, чтобы показать, как синтез классических методов теории дифференциальных уравнений с современными идеями качественных, численных и асимптотических методов, позволяет получать представление о поведении решений достаточно сложных модельных уравнений.
Содержание
1. Введение
Основные понятия и определения. Примеры описаний в форме возникновения дифференциальных уравнений. Задачи анализа и геометрии. Математические модели детерминированных явлений: вторая гипотеза Ньютона, математический маятник (линейная и нелинейная постановка задачи), колебательный контур с индуктивностью и емкостью, сравнение с моделью математического маятника, экспоненциальная модель и примеры ее использования. Идеология построения адекватных моделей сложных явлений: математическое моделирование в системе хищник-жертва, задача об орбите спутника в реальном поле тяготения Земли.
2. Уравнения первого порядка
Поле направлений, изоклины, ломаные Эйлера. Численное решение дифференциального уравнения, как задача математического моделирования. Методы первого, второго и старших порядков. Теорема о независимых интегралах уравнения первого порядка. Теорема Коши-Пикара.
Теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий. Дифференцируемость решений по начальным условиям и параметрам.
Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные уравнения и приводящиеся к ним. Уравнения Бернулли и Риккати, методы их решения, наличие особых решений.
Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним.
Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Постановка задачи Коши и поля направлений, теорема о существовании и единственности решений задачи Коши. Уравнения Лагранжа и Клеро.
3. Уравнения n-го порядка
Задача Коши, граничные задачи. Общий интеграл, общее решение, промежуточные интегралы, понижение порядка уравнения с помощью интегралов. Интегрирование уравнений. Приведение уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка.
4. Нормальные системы уравнений
Теорема Пикара-Коши для нормальной системы. Свойства решений нормальной системы. Теорема о степени гладкости решений. Теорема Пеано. Теорема Коши о существовании голоморфных решений нормальной системы. Теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров. Теоремы о дифференцируемости решений по начальным условиям и параметрам. Теория интегралов нормальной системы.
5. Линейные уравнения и системы
Линейные модели и принцип линеаризации. Теорема Пикара-Коши для линейных уравнений и систем. Фундаментальная система решений, теорема о существовании ФСР. Общее решение однородных уравнений и систем. Общее решение неоднородных уравнений и систем. Метод вариации постоянных, метод Коши. Формула Остроградского-Лиувилля. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения, построение фундаментальной системы решений. Линейный осциллятор, понятие о резонансе. Линейные системы с периодическими коэффициентами.
6. Системы уравнений
Система уравнений первого порядка. Система уравнений высших порядков. Каноническая система уравнений высших порядков. Автономная система и ее свойства. Динамические системы, связь между фазовыми кривыми и интегральными кривыми, автономные динамические системы, фазовая плоскость, интегральные многообразия. Системы в симметрической форме.
7. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
Определения. Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости, устойчивости по первому приближению, теорема Четаева о неустойчивости, примеры. Изучение окрестности положений равновесия автономной динамической системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости, понятие о грубой системе, понятие предельного цикла динамической системы.
8. Построение приближенных дифференциальных уравнений
Обзор методов приближенного построения решений квазиинтегрируемых систем: прямые оценки, метод малого параметра, метод усреднения. Схема Ван-дер-Поля.
9. Уравнения в частных производных
Особенности решений, сравнение с обыкновенными уравнениями, примеры. Задача Коши. Уравнения первого порядка: линейные уравнения (характеристики, теорема об общем решении, решение задачи Коши), квазилинейные уравнения (решение в неявной форме, общее и специальное решение, решение задачи Коши). Геометрические представления в трехмерном пространстве (непрерывное векторное поле, линии поля, геометрические свойства интегральных поверхностей, характеристики и интегральные поверхности).
Отчетность
- Семестр 3: Зач
- Семестр 4: Зач Экз
Дифференциальные уравнения и их приложения
Основателем научной школы является крупный ученый, работавший в области дифференциальных уравнений профессор, заслуженный деятель науки РСФСР Иринарх Петрович Макаров.
И.П. Макаров учился в аспирантуре МГУ под руководством известного специалиста в области КТДУ профессора В.В. Немыцкого, представителя большой научной школы академика Н.Н. Лузина. И.П. Макаров избрал темой исследования «Устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения систем дифференциальных уравнений с бесконечной матрицей». Им введены определения устойчивости и асимптотической устойчивости невозмущенного движения систем дифференциальных уравнений с бесконечной матрицей линейного приближения, отличные от существующих. Особенность выполненных исследований состоит в том, что аппарат функций Ляпунова не применялся, условия устойчивости были сформулированы в терминах коэффициентов правой части системы дифференциальных уравнений.
К изучению свойств решений систем бесконечного порядка И.П. Макаров неоднократно возвращался и позже. Им, доказаны теоремы о существовании и единственности периодического решения счетной системы.
И.П. Макаровым изучались условия существования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Был предложен способ построения неограниченной области, названной трубкой устойчивости, проекция которой на фазовое пространство ограничена, не зависит от аргумента и представляет собой n-мерный куб. Найдены условия положительной инвариантности трубки устойчивости, конвергенции интегральных кривых в трубке устойчивости, а также условия, при которых интегральная кривая, имеющая начальную точку вне трубки устойчивости, не войдет в нее при неограниченном возрастании аргумента. Найдены условия единственности и устойчивости периодического решения в трубке устойчивости.
Для исследования устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений введено понятие кусочно-гладкой функции Ляпунова, с помощью которой доказаны теоремы об устойчивости, об устойчивости в целом нулевого решения некоторых специальных систем.
И.П. Макаров исследовал проблемы существования предельных циклов систем на плоскости. Им введены понятия альфарегулярного предельного цикла и устойчивости (неустойчивости) такого цикла. Определены условия, при выполнении которых заранее заданная замкнутая кривая является устойчивым альфарегулярным предельным циклом, получена оценка сверху числа альфарегулярных предельных циклов.
Особо следует отметить исследования проф. И.П. Макарова совместно с акад. Б.В. Гнеденко системы дифференциальных уравнений (возможно счетного порядка) с периодическими коэффициентами вероятностного характера, описывающей систему массового обслуживания с потерями как процесс гибели–размножения.
Научные интересы И.П. Макарова касались не только нерешенных проблем теории дифференциальных уравнений. Им был предложен элементарный вывод критерия Рауса – Гурвица, разработана методика применения метода неподвижной точки к доказательству теорем существования решения уравнения, проведены исследования по сходимости числовых рядов.
Всего И.П. Макаровым было опубликовано свыше 50 работ.
С 1952 года он являлся научным руководителем аспирантуры по специальности 01.01.02 «дифференциальные уравнения». Учениками профессора И.П. Макарова защищено 30 диссертационных работ, в том числе 4 докторских.
Особой заслугой профессора И.П. Макарова явилось создание в 1955 году Рязанского физико-математического общества, бессменным председателем которого он являлся в течение 20 лет, затем общество возглавил профессор М.Т. Терехин. На заседаниях общества с докладами по вопросам современной математики и методики преподавания математики выступали профессора В.В. Немыцкий, И.К. Андронов, И.Я. Верченко, А.Д. Мышкис, А.А. Шестаков, В.М. Миллионщиков, Н.Х. Розов, академик Б.В. Гнеденко, математики Рязани и других городов.
При научной школе со времени основания работает научно-исследовательский семинар по качественной теории дифференциальных уравнений. Работой семинара руководили проф. И.П. Макаров, проф. М.Т. Терёхин, в настоящее время – проф. С.С. Мамонов. В работе семинара участвуют преподаватели нашего вуза, ученые из Рязани и других городов. На семинаре обсуждаются доклады по новым актуальным результатам исследований.
Под редакцией И.П. Макарова был организован выпуск межвузовских сборников научных трудов по качественной теории дифференциальных уравнений, по теории уравнений в частных производных и по методике преподавания теории дифференциальных уравнений в педвузах.
И.П. Макаровым было организовано несколько Всесоюзных конференций по качественной теории дифференциальных уравнений.
Работа И.П. Макарова отмечена многими правительственными наградами. Имя И.П. Макарова занесено в Почетную книгу ветеранов народного просвещения Рязанской области.
Многогранная организаторская и научная работа заслуженного деятеля науки РСФСР, профессора И.П. Макарова была продолжена его учеником профессором Михаилом Тихоновичем Терёхиным.
С 1968 года М.Т. Терёхин руководил аспирантурой по специальности 01.01.02 «дифференциальные уравнения». Под его руководством защищено 45 кандидатских диссертаций, один из его учеников защитил докторскую диссертацию. Его ученики работают во всех вузах Рязани, а также в Астрахани, Барнауле, Белгороде, Бирске, Вологде, Курске, Москве, Чебоксарах, Уфе.
Под руководством профессора М.Т. Терёхина научная школа по теории дифференциальных уравнений и их приложений укрепила связи с научными центрами Москвы, С.-Петербурга, Минска, Тулы, Перми, Ижевска, Нижнего Новгорода, Самары, Воронежа, Казани, Саранска, Тамбова, Твери.
Профессор М.Т. Терёхин избран членом-корреспондентом Российской академии естественных наук, действительным членом Российской Академии естествознания. Он ведёт активную научно-организационную деятельность. Под его руководством продолжена издательская деятельности научной школы. В качестве главного редактора он руководил выпуском сборника «Дифференциальные уравнения (качественная теория)» (1984-1997 гг.), журнала «Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения» (1998-2012 гг.), в качестве ответственного редактора – выпуском тематического номера «Дифференциальные уравнения» журнала «Вестник РАЕН» (с 2013 года по настоящее время). М.Т. Терёхин член редколлегии журналов «Вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина», «Труды Средневолжского математического общества», «Известия Тульского государственного университета. Серия дифференциальные уравнения и прикладные задачи». М.Т. Терёхин участвует в работе диссертационного совета в РГРТУ, многие годы руководит еженедельным научно-исследовательским семинаром по качественной теории дифференциальных уравнений. С 1989 года проф. М.Т. Терёхин руководит научно-исследовательской лабораторией по качественной теории дифференциальных уравнений РГУ имени С. А. Есенина.
Профессор М.Т. Терёхин занимается исследованиями по следующим направлениям: существование и оценка числа предельных циклов систем второго порядка; существование и бифуркации периодических, почти периодических и ограниченных решений в критических случаях; неподвижные точки операторов; ветвление решений нелинейных уравнений; управляемость систем с неуправляемой линейной частью; устойчивость решений; свойства решений и периодические краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений, в том числе уравнений с отклоняющимся аргументом, с максимумами; решение прикладных задач экономики, биологии, механики. По результатам исследований им опубликовано около 200 работ.
В 1992 году Михаил Тихонович Терёхин защитил докторскую диссертацию в Санкт-Петербургском государственном университете.
С 1998 года проф. М.Т. Терёхин уделяет много внимания приведению исследований в области экономико- математического моделирования. Им организован ежегодный семинар по математическим методам в экономике.
Педагогическая и научная деятельность профессора М.Т. Терёхина отмечена правительственными и ведомственными наградами. Указом Президента Российской Федерации Терёхин Михаил Тихонович награждён за многолетнюю плодотворную работу и большой вклад в укрепление дружбы и сотрудничества между народами медалью Ордена “За заслуги перед Отечеством” II степени (2001).
В настоящее время организаторская и научная работа профессора М.Т. Терёхина продолжается его учеником профессором Мамоновым Сергеем Станиславовичем.
С.С. Мамонов защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (1 марта 2011г.) в Тульском государственном университете, в том же году ему присвоено ученая степень доктора физико-математических наук. Им написано свыше 100 научных и учебно-методических работ, в том числе две работы опубликованы за рубежом. Круг научных работ С.С. Мамонова связан с изучением нелинейных колебаний систем дифференциальных уравнений, исследованием математических моделей радиофизических систем, применением систем матричных уравнений в качественной теории дифференциальных уравнений, построением математических моделей для изучения динамики движения парашютиста.
С.С. Мамонов является научным руководителем аспирантуры по специальности 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление», под его руководством защищены две работы на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
С.С. Мамонов является членом диссертационных советов: Д 212.271.05, созданного на базе ФГБОУ ВО «Тульский государственный университет» и Д 212.211.02, созданного на базе ФГБОУ ВО «Рязанский государственный радиотехнический университет», участвует в организации издательской деятельности.
В настоящее время научная школа ведет подготовку по направлениям 01.04.01 «Математика, профиль Математические методы в экономике» (магистратура), 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление» (аспирантура).
Научным руководителем магистратуры является Лискина Е.Ю. Под её руководством студенты магистратуры занимаются научными исследованиями по направлениям: эконометрическое моделирование социально-экономических процессов, применение методов теории игр к построению экономико-математических моделей, построение и исследование динамических моделей макро- и микроэкономических процессов. С результатами своих исследований магистранты регулярно выступают на различных всероссийских и международных конференциях: «Ломоносов» (МГУ имени М.В. Ломоносова), «Новые информационные технологии в научных исследованиях», «Современные технологии в науке и образовании» (РГРТУ), «Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук» (Тольяттинский государственный университет), «Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками» (Саратовский национальный исследовательский университет имени Н.Г. Чернышевского) и др.; публикуют статьи в рецензируемых научных журналах и сборниках, успешно участвуют в научных конкурсах.
Научные результаты других представителей научной школы представлены в списке опубликованных работ научной школы (п.4.6 настоящей таблицы).
1.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.
Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то оно называется Обыкновенным дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение (1.1) представляет пример такого уравнения.
Если же входящая в дифференциальное уравнение неизвестная функция зависит от нескольких независимых аргументов, то оно называется Уравнением в частных производных. Примером служит уравнение
, (1.2)
Которое содержит неизвестную функцию .
Порядком Дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящей в уравнение производной. Так дифференциальные уравнения (1.1) и (1.2) – это уравнения второго порядка.
Решением Дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.
Например, легко проверить, что функция является решением дифференциального уравнения . Процесс решения дифференциального уравнения называется Интегрированием уравнения.
В дальнейшем рассматриваются лишь обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы. Обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка
(1.3)
Содержит независимую переменную , неизвестную функцию и её производные , , …, .
График решения дифференциального уравнения Называется интегральной кривой. Уравнение считается проинтегрированным, если его решение найдено в явном виде или определяется неявно уравнением вида независимо от того, удается ли разрешить это уравнение относительно неизвестной функции или нет. Уравнение , которое определяет решение дифференциального уравнения, называется Интегралом этого дифференциального уравнения.
В данном пособии рассматриваются методы интегрирования и исследования дифференциальных уравнений первого порядка.
< Предыдущая | Следующая > |
---|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ • Большая российская энциклопедия
ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ обыкновенное, уравнение, содержащее искомую функцию одной независимой переменной, её производные разл.{(n–1)}).\tag2$$
Простейшие Д. у. появились в работах И. Ньютона: задача о нахождении первообразной (неопределённого интеграла) $x(t)$ для данной функции $f(t)$ эквивалентна решению уравнения $x'(t)=f(t)$. Термин «Д. у.» предложил Г. В. Лейбниц (1676).
Пример обыкновенного Д. у. даёт 2-й закон Ньютона, описывающий движение по прямой материальной точки под действием внешней силы. Если $m$ – масса точки, $x(t)$ – её текущая, изменяющаяся во времени $t$ координата на прямой, а $F$ – приложенная к точке сила (зависящая, вообще говоря, от времени, положения точки и её скорости), то закон движения $x(t)$ определяется Д. у. $mx”F(t, x, x’).\tag3$
Простейшее Д. у. $x’=0$, которое обращает в тождество любая постоянная функция $x(t)≡C$, показывает, что Д. у. (2), вообще говоря, имеет бесконечно много решений. Вся совокупность решений Д.{(n-1)}(t_0)=a_{n-1},\tag4$$где $t_0$ – фиксированное начальное значение аргумента $t$, а $a_0, a_1, a_2, …, a_{n–1}$ – заданные числа (начальные значения). Если $f$ – всюду определённая дифференцируемая функция $n+1$ переменных, то задача Коши (2), (4) при любом начальном значении аргумента и любых начальных значениях однозначно разрешима, т. е. имеет, и притом единственное, решение. Для 2-го закона Ньютона (3) это означает, что если в начальный момент времени $t_0$ заданы исходное положение точки $x(t_0)$ и её начальная скорость $x'(t_0)$, то движение точки $x(t)$ определяется однозначно.
Общее решение Д. у. первого порядка $x’=f(t, x),\tag5$где функция $f$ определена и дифференцируема на всей плоскости $(t,x)$, геометрически представляется однопараметрич. семейством гладких кривых $x=x(t,C)$, где $C$ – произвольная числовая постоянная, которые без самопересечений и взаимопересечений покрывают всю плоскость.{(k–1)}(t_0)=a_{k–1}, $$ Отыскание решения Д. у. (2), удовлетворяющего некоторым краевым условиям подобного типа, называют краевой задачей для Д. у. (2). Напр., ответ на вопрос, может ли материальная точка, движущаяся согласно закону Ньютона по прямой, в заранее предписанные моменты времени $t_0$ и $T$ оказаться в фиксированных положениях $x_0$ и $x_T$ на этой прямой, сводится к выяснению существования решения уравнения (3) с краевыми условиями $$ x(t_0)=x_0, x(T)=x_T,\tag 6 $$ т. е. к разрешимости краевой задачи (3), (6). Ответ на вопрос о существовании решения краевой задачи часто вызывает серьёзные трудности.
Наряду с Д. у. вида (2) рассматриваются системы обыкновенных Д. у. $$y_1’=f_1(t, y_1, y_2, …, y_n),\\ y’_2=f_2(t, y_1, y_2, …, y_n),\\ ………………………\\ y’_n=f_n(t, y_1, y_2, …, y_n).\tag7$$
Здесь $y1,y2,…, y_n$ – неизвестные функции одного и того же аргумента $t$, а $f_1, f_2, …, f_n$ – заданные функции $n+1$ аргумента.n$ (здесь $A(t)$ – заданная $n×n$ матрица, элементами которой являются функции, $F(t)$ – известная $n$-мерная вектор-функция), и автономные системы Д. у. – системы вида (7), для которых правые части не зависят явно от переменной $t$.
Начальная задача (задача Коши) для системы Д. у. (7) заключается в отыскании такого её решения, которое дополнительно удовлетворяет набору начальных условий $$y_1(t_0)=a_1, y_2(t_0)=a_2, …, y_n(t_0)=a_n, \tag 9$$ где $t_0$ – фиксированное начальное значение аргумента, а $(a_1,a_2,…,a_n)$ – набор заданных чисел (начальное значение решения). Если все входящие в систему (7) функции $f_1,f_2,…,f_n$ всюду определены и дифференцируемы, то задача Коши (7), (9) однозначно разрешима, т. е. имеет единственное решение. Для системы Д. у. (7) можно ставить и краевые задачи, в которых дополнит. условия накладываются на значения неизвестных функций при разных значениях независимой переменной.{(n–1)},$$ то оно сводится к системе Д. у. (7) частного вида $$y_1’=y_2, y_2’=y_3, …, y_{n-1}’=yn, =f(t, y_1, y_2, …, y_n).$$
Поскольку решения уравнения (2) или системы (7) обычно невозможно записать явно с помощью известных функций, возникает проблема выявления свойств решений Д. у. (периодичности, ограниченности, положительности, колеблемости, монотонности, поведения при неограниченном росте аргумента и т. д.) без знания представлений решений в виде формул, непосредственно на основе анализа только правых частей этих Д. у. Такими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений, основоположником которой был А. Пуанкаре.
Фундаментальным и практически значимым разделом Д. у. является теория устойчивости, ведущая своё начало от работ А. М. Ляпунова. Пусть изучение конкретной проблемы приводит к «эталонной» задаче Коши (7), (9), решение $y(t)$ которой определено на бесконечном промежутке времени $t⩾t_0$. В прикладных проблемах (напр., в задачах управления движением) как начальные значения (9) решения, так и правые части уравнений (7) принципиально не могут быть указаны абсолютно точно, малые погрешности (возмущения) в их определении неизбежны, поэтому «реальное» решение $y*(t)$ будет отличаться от решения «эталонной» задачи и возникает вопрос, как влияют малые возмущения в данных задачи Коши на отклонение «реальных» решений $y*(t)$ от эталонного решения $y(t)$. Если малые возмущения начальных значений (9) приводят к малым отклонениям любого «реального» решения $y*(t)$ от решения $y(t)$ при всех $t⩾t_0$, то решение $y(t)$ называется устойчивым по Ляпунову и его можно (с достаточной степенью точности) использовать в качестве «эталонного» решения рассматриваемой практич. задачи. В механике, физике, технике широко используются условия, обеспечивающие устойчивость по Ляпунову положений равновесия или стационарных режимов. Если малые погрешности в правых частях уравнений (7) приводят к малым отклонениям любого «реального» решения $y*(t)$ от решения $y(t)$ при всех $t⩾t_0$, то решение $y(t)$ называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях. Такое решение можно использовать в качестве «эталонного» в задаче, когда, напр., не удаётся учесть флуктуации сил, действующих на движущееся тело.
Любой реальный объект имеет специфич. характеристики, которые описываются определёнными параметрами. Поэтому в его математич. модель должен входить (векторный) параметр $ε=(ε_1,…,ε_k), так что вместо системы Д. у. (8) следует рассматривать систему $y’=f(t,y,ε)$. Значения этих параметров могут быть известны неточно, и возникает вопрос о нахождении условий, обеспечивающих устойчивость решений по отношению к малым возмущениям параметров. Более общий характер имеет задача выяснения зависимости решений от изменения параметров и, в частности, нахождения т. н. бифуркационных значений параметров, при прохождении которых кардинально меняются свойства решений. Иногда уравнение $y’=f(t, y, ε )$ имеет простое решение при $ε=0$. В этом случае для решения уравнения при малых $ε≠0$ используются асимптотич. методы, в частности возмущений теория.
В реальных прикладных, прежде всего технических, вопросах часто важна не только качественная, но и количественная информация о решении Д. у., нужно знать (с достаточной точностью) значения решения при разл. значениях аргумента. Поэтому большое внимание уделяется численным методам решения дифференциальных уравнений.
Обыкновенные Д. у. допускают разнообразные обобщения. В Д. у. (5) предполагается, что значения функции $x(t)$ и её производной $x′(t)$ берутся при одном и том же значении $t$. Уравнение $x'(t)=f(t,t-τ ,x(t), x(t-τ))$, где присутствуют значения неизвестной функции при разл. значениях аргумента $t$ и $t-τ, τ≠0$, называется Д. у. с отклоняющимся аргументом. Задачами изучения Д. у. $x’=f(t, x, u)$, где $u$ – т. н. управляющий параметр, в качестве которого выбираются функции $u=u(t)$, подчинённые разл. условиям, занимается теория систем управления. Интенсивно развивается возникшая на базе обыкновенных Д. у. теория динамических систем. Аналитич. теория обыкновенных Д. у. изучает свойства решений в случае, когда в уравнении (2) участвуют комплексные функции комплексного переменного. К функциональному анализу примыкает т. н. теория абстрактных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Практич. значение Д. у. состоит в том, что часто объективные законы в естествознании, социально-экономич. науках и технике удаётся записать в форме Д. у. и эти уравнения, т. о., оказываются адекватным средством для количественного описания этих законов. Напр., вычисление траекторий космич. полётов осуществляется путём изучения и решения Д. у. Хорошо известно предсказание Дж. К. Адамса (1843–45) и У. Леверье (1846) существования планеты Нептун, осуществлённое с помощью Д. у. и лишь затем подтверждённое прямыми астрономич. наблюдениями нем. астронома И. Галле (1846).
Дифференциальные уравнения (основные понятия) [wiki.eduVdom.com]
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут входить дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.{(n)})=0 \qquad (1)$$
y(x)
– неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x (штрих означает дифференцирование по x).Число n
(порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) – порядок дифференциального уравнения (1).
Дифференциальные уравнения в частных производных — дифференциальные уравнения, содержащие неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.
Интегрирование дифференциального уравнения
Основное задачей теории дифференциальных уравнений является поиск всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла, поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс поиска всех решений – интегрированием дифференциального уравнения.
Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которых данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.
Пример решения дифференциального уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка: $${y}” + y = 0 \qquad (2)$$
Одним из решенией (интегралом) этого дифференциального уравнения второго порядка, будет функция: $y = \sin{x}$
Поскольку после подстановки $y = \sin{x}$ , равенство (2) принимает вид: ${(\sin{x})}” + \sin{x} = 0$, т.е. становится тождеством.
Функции $y = \frac{1}{2}\sin{x} \,,\,\, y = \cos{x} \,,\,\, y = 3\cos{x}$ – тоже решения уравнения (2), но функция $y=\sin{x}+\frac{1}{2}$ не является решением.
Основные понятия дифференциальных уравнений
subjects/diffury/дифференциальные_уравнения.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:24 — ¶
Качественная теория дифференциальных уравнений
Математическая дисциплина, изучающая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений.
Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены в конце XIX века А. Пуанкаре (см. [2]) и А. Ляпунова (см. [3], [4]). Пуанкаре широко использовал геометрические методы, рассматривая решения систем дифференциальных уравнений как кривые в соответствующем пространстве.На этой основе он создал общую теорию поведения решений дифференциальных уравнений второго порядка и решил ряд фундаментальных задач о зависимости решений от параметров (см. Ниже). Ляпунов изучал поведение решений в окрестности положения равновесия. Он основал современную теорию устойчивости движения (см. Теория устойчивости).
Геометрический подход Пуанкаре был разработан в 1920-х годах Джорджем Биркгофом, который открыл много важных фактов в качественной теории многомерных систем дифференциальных уравнений (см. [5], [6]).{n}, $$
где $ P (x) $ квадрат $ n \ times n $ матрица. Предполагается, что $ P (x) $ ограничен. (В неограниченном случае было проведено всего несколько узкоспециализированных исследований. {A x}, $$
где $ Q (x) $ это $ \ omega $ – периодический и $ A $ постоянная матрица.Кроме того, если $ P (x) $ реально, то $ A $ и $ Q (x) $ не всегда можно выбрать настоящую; однако в этом случае $ Q (x) $ имеет период $ 2 \ omega $. Из (3) следует, что система (1) с периодической $ P (x) $ приводимо (теорема Ляпунова). Формула (3) показывает, что для вычисления характеристических показателей достаточно знать $ \ phi (\ omega) $, то есть нужно вычислить $ n $ различные решения на интервале $ 0 \ leq x \ leq \ omega $. Линейные системы с периодическими коэффициентами изучены очень подробно (см. [8], а также Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами).
Ляпунов доказал (и в этом суть его первого метода теории устойчивости), что регулярная система устойчива по отношению к аналитическим нелинейным возмущениям.
Одной из интересных проблем качественной теории линейных дифференциальных уравнений является проблема колебательного характера решений таких уравнений (см. {2}} + р (х) у = 0 $$
имеет бесконечное количество нулей на интервале $ 0 Наиболее подробно изучены автономные системы (см. Автономная система): $$ \ tag {5} \ frac {dy} {dx}
= Y (y).
$$ Пространство векторов $ y $
для системы (5) называется фазовым пространством. Систему (4) можно привести к автономному виду (5), увеличив порядок на единицу. Автономная система вида (5) определяет динамическую систему, если все ее решения могут быть продолжены на всю ось $ – \ infty Пусть $ y = y (x, y _ {0}) $
– решение (5) с начальными данными $ x = 0 $,
$ y = y _ {0} $.Кривая $ y = y (x, y _ {0}) $,
$ – \ infty Важной задачей качественной теории нелинейных систем является изучение асимптотического поведения всех решений при $ x \ rightarrow \ pm \ infty $.
Для автономных систем вида (5) эта задача сводится к изучению структуры предельных множеств всех полутраекторий и способов приближения траекторий к этим множествам. Предельное множество каждой полутраектории замкнуто и инвариантно.(Подмножество фазового пространства называется инвариантным, если оно состоит из полных траекторий.) Если полутраектория ограничена, то ее предельное множество связно. Если $ n = 2 $,
то есть, когда фазовое пространство является плоскостью, Пуанкаре (см.) и И. Бендиксон (см. [11]) дали исчерпывающее описание возможных расположений траекторий. При предположении, что уравнение $ Y (y) = 0 $
имеет только конечное число решений в любой ограниченной части плоскости, они доказали, что предельное множество любой ограниченной полутраектории может быть только одного из следующих трех типов: 1) единственное состояние равновесия; 2) одиночная замкнутая траектория; или 3) конечное число состояний равновесия и траекторий, сходящихся к этим состояниям равновесия как $ x \ rightarrow \ pm \ infty $.Пуанкаре и А. Данжуа [12] рассмотрели случай уравнения первого порядка типа (4), правая часть которого периодична по обоим аргументам $ y $
и $ x $.
Такие уравнения удобно рассматривать на торе (см. Дифференциальные уравнения на торе). Структура решений в этом случае существенно зависит от числа вращения, определяемого формулой $$
\ mu = \
\ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} \ \ frac {y (x, y _ {0})} {x}
.
$$ Если $ \ mu $
рационально, то существует периодическое решение; если $ \ mu $
иррационально, то все решения являются квазипериодическими функциями с двумя частотами. Для $ n> 2 $
невозможно дать столь четкое описание поведения траекторий. Однако имеется много информации об ограничивающем поведении многомерных автономных систем. Таким образом, есть следующие результаты, принадлежащие Биркгофу. Пусть замкнутое ограниченное инвариантное множество фазового пространства называется минимальным, если оно не содержит собственного подмножества с такими же свойствами. Тогда каждое минимальное множество является замыканием рекуррентной траектории. Таким образом, предельное множество каждой ограниченной полутраектории содержит рекуррентную траекторию.{1} $.
Для $ n = 2 $,
А.А. Андронов, Л. Понтрягин [13] сформулировал необходимые и достаточные условия устойчивости конструкции. В частности, они показали, что в любой ограниченной части плоскости существует лишь конечное число периодических решений. Для $ n> 2 $
поведение структурно-устойчивой системы значительно сложнее. С. Смейл [14] привел пример структурно-устойчивой системы, имеющей бесконечное число периодических решений в ограниченной части фазового пространства. Изучению глобальных свойств конкретных систем дифференциальных уравнений посвящены многочисленные исследования. В связи с исследованиями по теории автоматического управления в 50-е годы возник новый раздел качественной теории дифференциальных уравнений – теория устойчивости движения в целом. Важную роль в теории колебаний играют диссипативные системы: системы вида (4), для которых все решения с увеличением времени попадают в некоторую ограниченную область.Свойства диссипативных систем изучены очень подробно. Построены относительно надежные методы, позволяющие установить диссипативность конкретных систем (см. [15]). Одной из проблем качественной теории дифференциальных уравнений является проблема существования периодических решений. Для доказательства существования таких решений часто используются топологические устройства, в частности различные критерии существования неподвижной точки. Многие теоремы такого рода доказаны применением (обобщениями) геометрического принципа Пуанкаре – Биркгофа. {2} – 1) \ dot {x} + x = k b \ lambda \
\ sin \ lambda t,
$$ следующие интересные факты установлены для больших значений параметра $ k $ (
помимо ряда других результатов см. [17]).При специальном выборе параметра $ b $
уравнение имеет два асимптотически устойчивых решения с периодами $ (2 n + 1) 2 \ pi / \ lambda $
и $ (2 n – 1) 2 \ pi / \ lambda $,
где $ n $
– достаточно большое целое число, и «большинство» оставшихся решений сходится к этим двум. Кроме того, существует счетное множество неустойчивых периодических решений и континуум рекуррентных непериодических. Основная статья: Локальные нормальные формы для динамических систем.{n},
$$ где вектор-функция $ Y $
в определенном смысле мала по сравнению с $ y $.
Исследование поведения решений уравнения (6) в окрестности состояния равновесия $ y = 0 $
фактически является предметом локальной качественной теории дифференциальных уравнений. Проблемы устойчивости нулевого решения уравнения (6) являются центральными в этой теории. Нулевое решение называется устойчивым, если решение $ y = y (x, y _ {0}) $
непрерывна относительно $ y _ {0} $
при $ y _ {0} = 0 $
равномерно по $ x \ geq 0 $. В локальной качественной теории дифференциальных уравнений наиболее полно исследован случай, когда матрица $ P (x) $
постоянно. К этому случаю сводится задача исследования окрестности состояний равновесия и периодических решений автономной системы. Описание поведения решений (6) в окрестности $ y = 0 $
относительно просто, если $ P $
является константой, и все его собственные значения имеют ненулевые действительные части. В этом случае дело сводится к следующему основному результату Ляпунова – Перрона (см. [18]).Предположим, что $ k $
собственные значения постоянной матрицы $ P $
имеют отрицательные действительные части, а остальные $ n – k $
иметь положительные реальные части. Тогда существует в $ y $ –
пространство двух многообразий $ M $
и $ N $
размеров $ k $
и $ n – k $,
соответственно, такие, что если $ y _ {0} \ in M $,
тогда $ y (x, y _ {0}) \ rightarrow 0 $
как $ x \ rightarrow + \ infty $,
и если $ y _ {0} \ in N $,
тогда $ y (x, y _ {0}) \ rightarrow 0 $
как $ x \ rightarrow – \ infty $;
все остальные решения покидают окрестность начала координат при $ x $
увеличивается или как $ x $
уменьшается.Случай, когда $ P $
имеет собственные значения с нулевыми действительными частями, называется критическим. Ляпунов дал исчерпывающее описание поведения решений (6) в окрестности начала координат, если постоянная матрица $ P $
имеет одно нулевое или два чисто мнимых собственных значения, все остальные собственные значения имеют отрицательные действительные части, а вектор-функция $ Y $
не зависит от $ x $
и является аналитическим (см. [3]). Основные результаты в локальной качественной теории автономных систем второго порядка принадлежат Пуанкаре, Ляпунову [3], [4], Бендиксону [11] и М.{м / 2} $.
Предположим, что состояние равновесия, находящееся в начале координат, является изолированным. Тогда в системе (7) либо существует решение, сходящееся к нулю, либо существует замкнутая траектория в каждой окрестности начала координат. Во втором случае либо все траектории в окрестности начала координат замкнуты (расположение типа центр), либо в любой окрестности начала координат есть замкнутые и незамкнутые траектории (расположение типа центр-фокус). Было показано, что для аналитического $ Y $
и $ Z $
расположение центра фокуса невозможно (см. [20]). Кроме того, если траектория сходится к началу координат, то либо у нее есть касательная в начале координат, либо полярный угол вдоль нее неограничен. В последнем случае расположение фокусное. Только прямые, на которых величина $ Q _ {m} y – P _ {m} z $
нули могут касаться траекторий, сходящихся к началу координат. Такие линии называются исключительными направлениями. Для достаточно гладкого $ Y $
и $ Z $,
разработаны алгоритмы, позволяющие определять наличие и количество траекторий, входящих в начало координат в заданном исключительном направлении.Это позволяет в тех случаях, когда существуют траектории, входящие в начало координат с четко определенной касательной, полностью описать поведение траекторий в окрестности начала координат. Если исключительные направления отсутствуют или все решения “проходят мимо” (то есть нет траекторий, входящих в начало координат с четко определенной касательной), тогда возникает проблема центра и фокуса. Одна из центральных проблем качественной теории дифференциальных уравнений – это вопрос о поведении решений системы вблизи заданной в предположении, что свойства последней известны. Рассмотрим систему $$ \ tag {8} \ frac {dy} {dx}
= Y (y, x) + \ mu R (y, x, \ mu),
$$ где $ \ mu $
является параметром. Предположим, что порождающая система, т.е. система (8) при $ \ mu = 0 $,
обладает некоторой собственностью. Возникает вопрос, сохраняется ли это свойство при малых $ \ mu $.Классическим примером такой проблемы является проблема Пуанкаре (см. [2]) о существовании периодических решений. Предположим, что векторы $ Y $
и $ R $
иметь период $ \ omega $
относительно $ x $
и что порождающая система имеет $ \ omega $ –
периодическое решение. В этом случае задача сводится к изучению квазилинейной системы $$ \ tag {9} \ frac {dy} {dx}
= Ау + \ му R (у, х, \ му),
$$ где $ A $
постоянная матрица. Оказывается, если собственные значения $ A $
отличны от $ 2 \ pi k i / \ omega $,
где $ k $
– целое число, то (9) при достаточно малых $ \ mu $
уникальный $ \ omega $ –
периодическое решение $ \ phi (x, \ mu) $,
непрерывно в $ \ mu $
и с $ \ phi (x, 0) = 0 $.Если $ A $
имеет собственные значения вида $ 2 \ pi k i / \ omega $,
вопрос о существовании и количестве периодических решений существенно зависит от вида возмущения $ R (y, x, \ mu) $.
При решении проблемы существования периодических решений для этого случая чрезвычайно полезен метод усреднения (см. Метод усреднения Крылова – Боголюбова). Аналогичные вопросы можно задавать и для других типов решений: ограниченных, рекуррентных, почти периодических и т. Д.Например, если вектор $ R $
равномерно почти периодична по $ x $
и если все собственные значения $ A $
имеют ненулевые действительные части, то при достаточно малых $ \ mu $
Уравнение (9) имеет единственное почти периодическое решение (см. [21]). Метод малого параметра (см. Малый параметр, метод) также используется для изучения вопросов существования интегральных множеств для системы (8) с заданными свойствами. С этой точки зрения Н.Н. Боголюбов (см. [21]) рассмотрел следующую систему, важную для приложений: $$ \ tag {10} \ frac {d \ phi} {d t}
знак равно
а + \ му \ фи (х, \ фи, т, \ му),
$$ $$ \ frac {dx} {dt}
= A x + \ mu R (x, \ phi, t, \ mu),
$$ где $ \ phi $
это $ k $ –
размерный, $ x $
это $ n $ –
размерный и $ a $
является константой $ k $ –
размерный вектор, и все собственные значения постоянной матрицы $ A $
имеют ненулевые действительные части.Векторы $ R $
и $ \ phi $
имеют период $ 2 \ pi $
в компонентах вектора $ \ phi $.
Когда $ \ mu = 0 $,
система (10) имеет интегральную поверхность $ x = 0 $.
Боголюбов доказал, что при достаточно малых $ \ mu $ (
10) имеет цельную поверхность $$
х = е (т, \ фи, \ му),
$$ где $ f $
имеет период $ 2 \ pi $
в компонентах $ \ phi $
и $ f (t, \ phi, 0) = 0 $.
Кроме того, если $ \ phi $
и $ R $
$ \ omega $ –
периодический по $ t $,
тогда и $ f $.Если все собственные значения $ A $
имеют отрицательные действительные части, то интегральная поверхность $ x = f $
асимптотически устойчива. Если следует, в частности, что если в системе (8) вектор $ Y $
не зависит от $ x $,
а если при $ \ mu = 0 $
эта система имеет периодическое решение, асимптотически устойчивое в первом приближении, то при достаточно малых $ \ mu $
система (8) имеет в $ y, x $
пространство двумерное асимптотически устойчивое цилиндрическое интегральное многообразие. Для нелинейных систем, зависящих от вектора параметров $ \ mu $, $$ \ frac {dy} {dx}
= Y (y, \ mu),
$$ наличие предельных множеств и их тип в зависимости от $ \ mu $
изучается в теории бифуркаций. Помимо ветвления решений стационарного уравнения (положений равновесия) можно также анализировать периодические, квазипериодические и хаотические решения.В точке бифуркации новый набор пределов может разветвляться, и наборы пределов могут переходить из стабильного в нестабильное или наоборот, см. [A1]. Новым шагом в качественной теории дифференциальных уравнений является переход к нормальной форме. Вблизи равновесия или периодического решения можно разложить правую часть уравнения в степенной ряд. Сделав усечение, можно преобразовать систему к одной из стандартных форм, которые классифицируются по способу элементарных катастроф, см. [A2].Более того, анализ траекторий вблизи положения равновесия может быть ограничен траекториями, образующими многообразие, которое в состоянии равновесия касается собственного пространства собственных значений с исчезающими действительными частями. Такой подход называется теорией центрального многообразия, см. [A3]. Открытие хаотической динамики нелинейных систем внесло новые элементы в теорию дифференциальных уравнений. О существовании непериодических решений уравнения типа Ван-дер-Поля с периодическим воздействием см. [A4].Для диссипативных систем существуют устойчивые непериодические предельные множества, известные как странные аттракторы (см. Странный аттрактор), см. [A5]. Общее введение в качественную теорию обыкновенных дифференциальных уравнений см. В [a6]. Как процитировать эту статью: Математика , наука о структуре, порядке и отношениях, которая возникла из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов. Он имеет дело с логическим рассуждением и количественным расчетом, и его развитие повлекло за собой все большую степень идеализации и абстракции предмета.С 17 века математика была незаменимым дополнением к физическим наукам и технологиям, а в последнее время она стала играть аналогичную роль в количественных аспектах наук о жизни. Британская викторина Математика: факт или вымысел? Сойдутся ли в конце концов параллельные линии? Есть ли у прямоугольника три прямых угла? В этой математической викторине отсортируйте факты от вымысла и посмотрите, все ли у вас есть правильные ответы. Во многих культурах – под влиянием потребностей практических занятий, таких как торговля и сельское хозяйство, – математика далеко вышла за рамки простого счета. Этот рост был самым большим в обществах, достаточно сложных, чтобы поддерживать эту деятельность и предоставлять досуг для размышлений и возможность опираться на достижения более ранних математиков. Все математические системы (например, евклидова геометрия) представляют собой комбинации наборов аксиом и теорем, которые могут быть логически выведены из аксиом.Исследования логической и философской основы математики сводятся к вопросу о том, обеспечивают ли аксиомы данной системы ее полноту и непротиворечивость. Для полного рассмотрения этого аспекта, см. Математику , основы. Эта статья посвящена истории математики с древнейших времен до наших дней. Вследствие экспоненциального роста науки большая часть математики развивалась с 15 века нашей эры, и историческим фактом является то, что с 15 века до конца 20 века новые разработки в математике были в основном сконцентрированы в Европе и Северной Америке. .По этим причинам основная часть данной статьи посвящена европейским разработкам с 1500 года. Это, однако, не означает, что события в других местах были несущественными. Действительно, чтобы понять историю математики в Европе, необходимо знать ее историю, по крайней мере, в древней Месопотамии и Египте, в Древней Греции и в исламской цивилизации с 9 по 15 века. То, как эти цивилизации влияли друг на друга, и важный непосредственный вклад Греции и ислама в более поздние события обсуждаются в первых частях этой статьи. Вклад Индии в развитие современной математики был сделан благодаря значительному влиянию достижений Индии на исламскую математику в годы ее становления. Отдельная статья, «Математика Южной Азии», посвящена ранней истории математики на Индийском субконтиненте и развитию там современной десятичной системы счисления с разрядами. Статья «Восточноазиатская математика» охватывает в основном независимое развитие математики в Китае, Японии, Корее и Вьетнаме. Основным разделам математики посвящено несколько статей. См. Алгебру ; анализ; арифметика; комбинаторика; теория игры; геометрия; теория чисел; численный анализ; оптимизация; теория вероятности; теория множеств; статистика; тригонометрия. Дифференциальное уравнение , математическое утверждение, содержащее одну или несколько производных, то есть членов, представляющих скорости изменения непрерывно изменяющихся величин.Дифференциальные уравнения очень распространены в науке и технике, а также во многих других областях количественного исследования, потому что то, что можно непосредственно наблюдать и измерять для систем, претерпевающих изменения, – это скорость их изменения. Решение дифференциального уравнения, как правило, представляет собой уравнение, выражающее функциональную зависимость одной переменной от одной или нескольких других; обычно он содержит постоянные члены, которых нет в исходном дифференциальном уравнении. Другими словами, решение дифференциального уравнения дает функцию, которую можно использовать для прогнозирования поведения исходной системы, по крайней мере, в пределах определенных ограничений. Подробнее по этой теме анализ: Ньютон и дифференциальные уравнения … применение анализа – это дифференциальные уравнения, которые связывают скорости изменения различных величин с их текущими значениями, … Дифференциальные уравнения подразделяются на несколько широких категорий, которые, в свою очередь, делятся на множество подкатегорий.Наиболее важными категориями являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Когда функция, входящая в уравнение, зависит только от одной переменной, ее производные являются обыкновенными производными, а дифференциальное уравнение классифицируется как обыкновенное дифференциальное уравнение. С другой стороны, если функция зависит от нескольких независимых переменных, так что ее производные являются частными производными, дифференциальное уравнение классифицируется как уравнение в частных производных. Ниже приведены примеры обыкновенных дифференциальных уравнений: В них y обозначает функцию, а t или x является независимой переменной.Символы k и m используются здесь для обозначения определенных констант. Каким бы ни был тип, дифференциальное уравнение считается имеющим n -й порядок, если оно включает производную n -го порядка, но не имеет производной более высокого порядка. Уравнение является примером уравнения в частных производных второго порядка. Теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных заметно различаются, и по этой причине эти две категории рассматриваются отдельно. Вместо одного дифференциального уравнения объектом исследования может быть одновременная система таких уравнений. Формулировка законов динамики часто приводит к таким системам. Во многих случаях одно дифференциальное уравнение n -го порядка предпочтительно заменяется системой n одновременных уравнений, каждое из которых имеет первый порядок, так что можно применять методы линейной алгебры. Обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором, например, функция и независимая переменная обозначены как y и x , по сути, является неявным обобщением основных характеристик y как функции x . Предположительно, эти характеристики были бы более доступны для анализа, если бы можно было получить явную формулу для y . Такая формула или, по крайней мере, уравнение в x и y (без производных), которое выводится из дифференциального уравнения, называется решением дифференциального уравнения.Процесс вывода решения из уравнения с помощью приложений алгебры и исчисления называется решением или интегрированием уравнения. Следует, однако, отметить, что дифференциальные уравнения, которые могут быть решены в явном виде, составляют незначительное меньшинство. Таким образом, большинство функций необходимо изучать косвенными методами. Даже его существование должно быть доказано, когда нет возможности предъявить его для проверки. На практике методы численного анализа с использованием компьютеров используются для получения полезных приближенных решений. Что такое дифференциальное уравнение? Линейные уравнения второго порядка Решения и специальные функции степенного ряда Численные методы Ряд Фурье: основные понятия Задачи Штурма – Лиувилля и краевые задачи Уравнения с частными производными и задачи с граничными значениями Преобразования Лапласа Системы уравнений первого порядка Нелинейная теория Приложение: Обзор линейной алгебры В этой главе рассматривается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, как линейных, так и нелинейных. В разделах 1–4 устанавливаются теоремы существования и единственности обыкновенных дифференциальных уравнений. В первом разделе приведены некоторые примеры уравнений первого порядка, в основном нелинейных, для иллюстрации определенных типов поведения решений. Во втором разделе показано, что при наличии непрерывности векторнозначного $ F $, удовлетворяющего «условию Липшица», система первого порядка $ y ‘= F (t, y) $ имеет единственное локальное решение, удовлетворяющее начальному условие $ y (t_0) = y_0 $.Уравнения {th} $ – порядка как частный случай. Раздел 3 показывает, что решения системы хорошо зависят от начального условия и любых параметров, которые присутствуют в $ F $. В разделе 4 эти результаты применяются к существованию интегральных кривых для векторного поля и к построению систем координат из семейств интегральных кривых. Разделы 5–8 относятся к линейным системам. Раздел 5 показывает, что локальные решения линейных систем могут быть расширены до глобальных решений и что в однородном случае векторное пространство глобальных решений имеет размерность, равную размеру системы.{th} $ – линейные уравнения и линейные системы первого порядка. «Жорданова каноническая форма» квадратной матрицы играет роль в случае системы. В разделе 8 обсуждаются решения в виде степенных рядов однородных линейных уравнений второго порядка, коэффициенты которых задаются сходящимися степенными рядами, а также решения, возникающие в случае регулярных особых точек. Упоминаются два вида специальных функций, которые являются результатом этого исследования – многочлены Лежандра и функции Бесселя. Опубликовано: 1 января 2016 г. Впервые доступно в Project Euclid: 26 июля 2018 г. Идентификатор цифрового объекта: 10.3792 / euclid / 9781429799997-4 Права: Copyright © 2016, Энтони В. Кнапп. Интеграция дифференциальных уравнений – центральная проблема математики, и несколько подходов были разработаны на основе изучения аналитических, алгебраических и алгоритмических аспектов предмета.Одна из них – это дифференциальная теория Галуа, разработанная Колчиным и его школой, а другая берет свое начало от теории солитонов и метода обратных спектральных преобразований, который родился в работах Крускала, Забуски, Гарднера, Грина и Миуры. Также было разработано много других подходов, но до сих пор между ними нет пересечения. Это уникальное введение в предмет, наконец, сводит их вместе с целью инициирования взаимодействия и сотрудничества между этими различными математическими сообществами.Коллекция включает курс приглашенных лекций LMS Майкла Ф. Сингера, а также несколько более коротких курсов лекций и обзорных статей, основанных на мини-программе, проводимой в Международном центре математических наук (ICMS) в Эдинбурге. ‘… полезная книга, которая служит введением как в теорию Галуа (линейных) дифференциальных уравнений, так и в некоторые другие алгебраические подходы к таким уравнениям .Библиотеки обязательно захотят иметь копию ».
MAA Reviews ‘… полезно для дипломированных математиков, работающих с дифференциальными системами и их инвариантами. Текст охватывает большую область исследования на относительно небольшом количестве страниц и содержит множество примеров ».
Информационный бюллетень EMS Оставьте отзыв первым Отзыв не размещен из-за ненормативной лексики Предисловие Малькольм А. Х. Маккаллум , Лондонский университет королевы Марии Александр В. Михайлов , Университет Лидса Майкл Ф.Певец, Феликс Ульмер, Жак-Артур Вейль, Сергей П. Царев, Антон Лейкин, А.В. Михайлов, В.С. Новиков, Цзин Пинг Ван, Ярмо Хиетаринта, Ананд Пиллэй Локальная теория.
Зависимость поведения решений от параметров системы.
Список литературы
[1a] H.Пуанкаре, “Mémoire sur les courbes définiés par une équation différentielle” J. de Math. , 7 (1881) стр. 375–422 [1b] Х. Пуанкаре, «Mémoire sur les courbes définiés par une équation différentielle» J. de Math. , 8 (1882) стр. 251–296 [1c] Х. Пуанкаре, “Mémoire sur les courbes définiés par une équation différentielle” J. de Math. , 1 (1885) стр.167–244 [1d] Х. Пуанкаре, “Mémoire sur les courbes définiés par une équation différentielle” J. de Math. , 2 (1886) pp. 151–217 [2] Х. Пуанкаре, «Новые методы механической обработки», 1-3 , Бланшар (1987) [3] AM Ляпунов, “Устойчивость движения”, Акад. Press (1966) [4] A.М. Ляпунов, Матем. Сб. , 17 : 2 (1893) стр. 253–333 [5] Г.Д. Биркгоф, «Динамические системы», Amer. Математика. Soc. (1927) [6] Г.Д. Биркгоф, «Поверхностные преобразования и их динамические приложения» Acta Math. , 43 (1920) стр. 1–119 [7] N.P. Еругин, «Сводимые системы», Москва-Ленинград (1946) [8] Н.П. Еругин, “Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами”, Акад. Press (1966) [9] M.G. Флоке, “Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques”, Ann. Sci. Ecole Norm. Как дела. Сер. 2 , 12 (1883) стр. 47–89 [10] J.Ch. Штурм, “Sur les équations linéaires du second ordre”, J.Математика. Pures et Appl. , 1 (1836) pp. 106–186 [11] I. Bendixson, “Sur les Courbes définies par des équations différentielles” Acta Math. , 24 (1901) pp. 1–88 [12] A. Denjoy, “Sur les Courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore” J. Math. Pures et Appl. Сер. 9 , 11 : 3 (1932) стр. 333–375 [13] A.Андронов А. Понтрягин, “Системы брутто” Докл. Акад. АН СССР, , 14 : 5 (1937) с. 247–250 [14] С. Смейл, «Дифференцируемые динамические системы» Бюлл. Амер. Математика. Soc. , 73 (1967) стр. 747–817 [15] В.А. Плисс, “Нелокальные задачи теории колебаний”, Акад. Press (1966) [16] N.Левинсон, О. Смит, “Общее уравнение релаксационных колебаний” Duke Math. J. , 9 : 2 (1942) стр. 382–403 [17] Дж. Литтлвуд, «О нелинейных дифференциальных уравнениях второго порядка III: уравнение для больших и его обобщения» Acta Математика. , 97 : 3–4 (1957) pp. 267–308 [18] О. Перрон, «Ueber Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungenssysteme» Math.З. , 29 (1928) с. 129–160 , [19] М. Фроммер, УМН. НАУК, , 9, (1941), с. 212–253, ,, [20], ,, Х. Дюлак, «Предельные значения циклов», Бюлл. Soc. Математика. Франция , 51 (1923) стр. 45–188 [21] N.N. Боголюбов, «О некоторых статистических методах в математической физике», Киев (1945) [22] V.Немыцкий В. Степанов, “Качественная теория дифференциальных уравнений”, Принстонский ун-т. Press (1960) [23] А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И. Гордон, А.Г. Майер, “Качественная теория динамических систем второго порядка”, Wiley (1973) [24] E.A. Коддингтон, Н. Левинсон, “Теория обыкновенных дифференциальных уравнений”, McGraw-Hill (1955) [25] S.Лефшец, “Дифференциальные уравнения: геометрическая теория”, Interscience (1957) Список литературы
[a1] S.-N. Чоу, Дж. Хейл, “Методы теории бифуркаций”, Springer (1982) [a2] В.И. Арнольд, “Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Springer (1983) [a3] J.Карр, «Приложения теории центрального многообразия», Springer (1981) [a4] М. Леви, «Качественный анализ периодически вынужденных релаксационных колебаний» Memoires Amer. Математика. Soc. , 244 (1981) [a5] Дж. Гукенхаймер, П. Холмс, «Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей», Springer (1983) [ a6] F. Verhulst, “Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы”, Springer (1990) [a7] D.Аносов В.И. (ред.) В.И. Арнольд (ред.), Динамические системы , I: Обыкновенные дифференциальные уравнения и гладкие динамические системы , Springer (1988) [a8] В.И. Арнольд, «Динамические системы», III , Springer (1988) [a9] J.K. Хейл, “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, Wiley (1969)
Качественная теория дифференциальных уравнений. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Qualitative_theory_of_differential_equations&oldid=48367 математика | Определение, история и значение
Дифференциальное уравнение | Britannica
Теория, методика и практика с границами Va
Содержание
Вступительные замечания
Вкус обыкновенных дифференциальных уравнений
Природа решений
Разделимые уравнения
Линейные уравнения первого порядка
Точные уравнения
траекторий Ортогональные кривые
Однородные уравнения
Интегрирующие факторы
Уменьшение порядка
Висячие цепи и кривые преследования
Электрические цепи
Анатомия приложения
Проблемы для обзора и обнаружения
Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Метод неопределенных коэффициентов
Метод изменения параметров
Использование известного решения для поиска других
Вибрация Колебания
Закон тяготения Ньютона и законы Кеплера
Уравнения высшего порядка
Историческая справка: Эйлер
Анатомия приложения
Проблемы для обзора и открытия
Введение и обзор степенного ряда
Решения серии уравнений первого порядка
Линейные уравнения второго порядка: обыкновенные точки
Правильные особые точки
Подробнее о регулярных особых точках
Гипергеометрическое уравнение Гаусса
Историческая заметка: Гаусс
Историческая заметка: Абель
Анатомия приложения
Проблемы для просмотра и обнаружения
Вводные замечания
Метод Эйлера
Член ошибки
Улучшенный метод Эйлера
Метод Рунге – Кутта
Анатомия проблемы обнаружения 9
Коэффициенты Фурье
Некоторые замечания о сходимости
Четные и нечетные функции: ряды косинуса и синуса
Ряды Фурье с произвольными интервалами
Ортогональные функции
Историческое примечание: проблемы анатомии Римана
для обзора и открытия
Что такое задача Штурма – Лиувилля?
Анализ задачи Штурма – Лиувилля
Приложения теории Штурма – Лиувилля
Сингулярный Штурм – Лиувилля
Анатомия приложения
Задачи для просмотра и обнаружения
Введение и исторические замечания
Собственные значения, собственные функции и колеблющаяся струна
Уравнение тепла
Задача Дирихле для диска
Историческая записка Фурихле
Историческая справка: Дирихле
Проблемы для просмотра и обнаружения
Анатомия приложения
Введение
Приложения к дифференциальным уравнениям
Производные и интегралы преобразований Лапласа
Свертки
Единичные ступенчатые и импульсные функции
Аналитическое приложение
Историческое приложение
Задачи для просмотра и обнаружения
Вводные замечания
Линейные системы
Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами
Нелинейные системы: уравнения Хищника-жертвы Вольтерры
Анатомия 9 для приложения Дискавери
Некоторые мотивирующие примеры
Специализация
Типы критических точек: стабильность
Критические точки и устойчивость линейных систем
Устойчивость по прямому методу систем Ляпунова Простые
критических точек Простые
критических точек
Нелинейная механика: консервативные системы
Периодические решения: теорема Пуанкаре – Бендиксона
Историческая справка: Пуанкаре
Анатомия приложения
Проблемы для обзора и открытия Глава IV.Теория обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
Аннотация
Информация
Дифференциальные уравнения алгебраической теории | Дифференциальные и интегральные уравнения, динамические системы и управление
Подробнее Обзоры и подтверждения
Отзывы клиентов
Еще не рассмотрено
Подробная информация о продукте
Содержание
1. Теория Галуа линейных дифференциальных уравнений Майкл Ф. Сингер
2. Решение в замкнутой форме Феликс Ульмер и Жак-Артур Вейль
3. Факторизация линейных систем Сергей П. Царев
4. Введение к D-модулям Антон Лейкин
5. Символьное представление и классификация интегрируемых систем А. В. Михайлов, В. С. Новиков, Цзин Пинг Ван
6. Поиск интегрируемых (P) ДУ Ярмо Хиетаринта
7.Вокруг дифференциальной теории Галуа Ананд Пиллэй. Редакторы
Малькольм А. Х. Маккаллум – профессор прикладной математики Лондонского университета королевы Марии.
Александр В. Михайлов – профессор математической физики в Университете Лидса. Участники
. стр. Не найдена – Williams College
’62 Center for Театр и танец, 62 Центр Касса 597-2425 Магазин костюмов 597-3373 Менеджер мероприятий / Помощник менеджера 597-4808 597-4815 факс Производство 597-4474 факс Магазин сцен 597-2439 ’68 Центр карьерного роста, Мирс 597-2311 597-4078 факс Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672 Прием, Вестон-холл 597-2211 597-4052 факс Программа позитивных действий, Хопкинс-холл, 597-4376 Africana Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс Архивы и особые коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс Читальный зал 597-4200 Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art / Lawrence 597-3578 597-3693 факс Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134 Фотография Студия, Spencer Studio Art 597-2030 Printmaking Studio, Spencer Studio Art 597-2496 Скульптурная студия, Spencer Studio Art 597-3101 Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224 Видео / фотостудия, Spencer Studio Art 597-3193 Азиатские исследования, Холландер 597-2391 597-3028 факс Астрономия / Астрофизика, Thompson Physics 597-2482 597-3200 факс Департамент легкой атлетики, физическое воспитание, отдых, Ласелл 597-2366 597-4272 факс Спортивный директор 597-3511 Лодочный домик, Озеро Онота 443-9851 Автобусы 597-2366 Фитнес-центр 597-3182 Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman 597-2433 Intramurals, Атлетический центр Чандлера 597-3321 Физическая культура 597-2141 Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера 597-2419 Sports Information, Hopkins Hall 597-4982 597-4158 факс Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс Площадки для игры в сквош 597-2485 Поле для гольфа Taconic 458-3997 Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology 597-2126 Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124 Биология, Thompson Biology 597-2126 597-3495 факс Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс Карты доступа / системы сигнализации 597-4970 / 4033 Служба сопровождения, Хопкинс-холл 597-4400 Офицеры и диспетчеры 597-4444 Секретарь, удостоверения личности 597-4343 Коммутатор 597-3131 Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093 Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс Компьютерный зал 597-2522 Вестибюль 597-4383 Центр экологических исследований, класс 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс Лаборатория наук об окружающей среде, Морли 597-2380 Экологические исследования 597-2346 Лаборатория ГИС 597-3183 Центр иностранных языков, литератур и культур, Холландер 597-2391 597-3028 факс Арабоведение, Холландер 597-2391 597-3028 факс Сравнительная литература, Холландер 597-2391 Критические языки, Холландер 597-2391 597-3028 факс Языковая лаборатория 597-3260 Россия, Холландер 597-2391 Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс Читальный зал 597-4200 Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс Еврейский религиозный центр, 24 Стетсон Корт 597-2483 Мусульманская молельная комната, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483 Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483 Химия, Thompson Chemistry 597-2323 597-4150 факс Классика (греческий и латинский), Hollander 597-2242 597-4222 факс Когнитивная наука, Бронфман 597-4594 Маршал колледжа, Thompson Physics 597-2008 Отношения с колледжем 597-4057 Программа 25-го воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс Программа 50-го воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс Advancement Operations, Мирс-Вест 597-4154 597-4333 факс Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс Связи с выпускниками, Мирс Вест 597-4151 597-4178 факс Почтовые службы для выпускников / разработчиков, Мирс-Уэст 597-4369 Девелопмент, Vogt 597-4256 Отношения с донорами, Vogt 597-3234 597-4039 факс Офис по планированию подарков, Vogt 597-3538 597-4039 факс Grants Office, Мирс-Уэст 597-4025 597-4333 факс Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс Parents Fund, Vogt 597-4357 597-4036 факс Prospect Management & Research, Мирс 597-4119 597-4178 факс Начало занятий и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс Sports Information, Hopkins Hall 597-4982 597-4158 факс Веб-команда, Саутвортская школа Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278 Компьютерные науки, Thompson Chemistry 597-3218 597-4250 факс Conferences & Events, Парески 597-2591 597-4748 факс Запросы Elm Tree House, Mt.Хоуп Фарм 597-2591 Офис контролера, Хопкинс Холл 597-4412 597-4404 факс Счета к оплате и ввод данных, Хопкинс-холл 597-4453 Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall 597-4396 Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл 597-4023 Purchasing Cards, Hopkins Hall 597-4413 Студенческие ссуды, Хопкинс Холл 597-4683 Dance, 62 Центр 597-2410 Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс 597-3340 597-3456 факс Харди Хаус 597-2129 Jenness House 597-3344 Райс Хаус 597-2453 Декан колледжа, Хопкинс-холл 597-4171 597-3507 факс Декан факультета Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс Столовая, капельницы 597-2121 597-4618 факс ’82 Гриль, Парески 597-4585 Кондитерская, Парески 597-4511 Общественное питание, факультет 597-2452 Driscoll Dining Hall, Дрисколл 597-2238 Eco Café, Научный центр 597-2383 Grab ‘n Go, Парески 597-4398 Lee Snack Bar, Парески 597-3487 Обеденный зал Mission Park, Mission Park 597-2281 Whitmans ‘, Парески 597-2889 Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс Английский, Холландер 597-2114 597-4032 факс Сооружения, здание служебного помещения 597-2301 College Car Request 597-2302 Экстренная ситуация вечером / в выходные дни 597-4444 Запросы на работу производственных помещений 597-4141 факс Особые мероприятия 597-4020 Кладовая 597-2143 597-4013 факс Клуб преподавателей, Дом факультетов / Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс Бронирование 597-3089 Fellowships Office, Hopkins Hall 597-3044 597-3507 факс Financial Aid, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс Geosciences, Clark Hall 597-2221 597-4116 факс Немецко-русский, Hollander 597-2391 597-3028 факс Глобальные исследования, Холландер 597-2247 Программа магистратуры по истории искусств, Кларк 458-2317 факс Службы здравоохранения и хорошего самочувствия, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс Санитарное просвещение 597-3013 Услуги интегративного благополучия (консультирование) 597-2353 Чрезвычайные ситуации с угрозой жизни Позвоните 911 Медицинские услуги 597-2206 История, Холландер 597-2394 597-3673 факс История науки, Бронфман 597-4116 факс Лес Хопкинса 597-4353 Центр Розенбурга 458-3080 Отдел кадров, B&L Building 597-2681 597-3516 факс Услуги няни, корпус B&L 597-4587 Льготы 597-4355 Программа помощи сотрудникам 800-828-6025 Занятость 597-2681 Заработная плата 597-4162 Ресурсы для супруга / партнера 597-4587 Занятость студентов 597-4568 Погодная линия (ICEY) 597-4239 Humanities, Schapiro 597-2076 Информационные технологии, Jesup 597-2094 597-4103 факс Пакеты для чтения курса, Drop Box для офисных услуг 597-4090 Центр аренды оборудования, Додд Приложение 597-4091 Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [электронная почта] 597-4090 Медиа-сервисы и справочная служба 597-2112 Служба поддержки студентов, [электронная почта] 597-3088 Телекоммуникации / Телефоны 597-4090 Междисциплинарные исследования, Холландер 597-2552 Международное образование и учеба, Хопкинс-холл 597-4262 597-3507 факс Инвестиционный офис, Хопкинс Холл 597-4447 Бостонский офис 617-502-2400 617-426-5784 факс Еврейские исследования, Мазер 597-3539 Правосудие и закон, Холландер 597-2102 Latina / o Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс Исследования лидерства, Шапиро 597-2074 597-4620 факс Морские исследования, Бронфман 597-2297 Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс Concertline (записанная информация) 597-3146 Неврология, Thompson Biology 597-4107 597-2085 факс Окли Центр, Окли 597-2177 597-4126 факс Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл 597-4376 597-4015 факс Управление счетов студентов, Хопкинс-холл 597-4396 597-4404 факс Performance Studies, ’62 Center 597-4366 Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс Физика, Thompson Physics 597-2482 597-4116 факс Планетарий / Обсерватория Хопкинса 597-3030 Театр старой обсерватории Хопкинса 597-4828 Бронирование 597-2188 Политическая экономия, Шапиро 597-2327 Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс Офис президента, Хопкинс-холл 597-4233 597-4015 факс Дом Президента 597-2388 597-4848 факс Услуги печати / почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House 597-2022 Программа обучения, Бронфман 597-4522 597-2085 факс Офис Провоста, Хопкинс Холл 597-4352 597-3553 факс Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс Недвижимость, B&L Building 597-2195 / 4238 597-5031 факс Ипотека для преподавателей / сотрудников 597-4238 Арендное жилье для преподавателей / сотрудников 597-2195 Офис регистратора, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс Религия, Холландер 597-2076 597-4222 факс Romance Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс Планировщик помещений 597-2555 Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 Дом 597-3003 Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс Службы доступа 597-2501 Приобретения / Серийные номера 597-2506 Службы каталогизации / метаданных 597-2507 Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс Исследовательские и справочные службы 597-2515 Стеллаж 597-4955 597-4948 факс Системы 597-2084 Научная библиотека Шоу, Научный центр 597-4500 597-4600 факс Исследования в области науки и технологий, Бронфман 597-2239 Научный центр, Бронфман 597-4116 факс Магазин электроники 597-2205 Машинно-модельный цех 597-2230 Безопасность 597-4444 Специальные академические программы, Харди 597-3747 597-4530 факс Sports Information, Hopkins Hall 597-4982 597-4158 факс Студенческая жизнь, Парески 597-4747 Планировщик помещений 597-2555 Управление студенческими центрами 597-4191 Организация студенческих мероприятий 597-2546 Студенческий дом, Парески 597-2555 Участие студентов 597-4749 Программы проживания для старших классов 597-4625 Студенческая почта, Паресский почтовый кабинет 597-2150 Центр устойчивого развития / Зилха Центр, Харпер 597-4462 Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131 Книжный магазин Williams 458-8071 458-0249 факс Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс Trust & Estate Administration, Sears House 597-4259 Учебники 597-2580 вице-президент по кампусной жизни, Хопкинс-холл 597-2044 597-3996 факс Вице-президент по связям с колледжем, Мирс 597-4057 597-4178 факс Вице-президент по финансам и администрированию, Hopkins Hall 597-4421 597-4192 факс Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс Детский центр Williams College, Детский центр Williams 597-4008 597-4889 факс Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс Подготовка музея 597-2426 Служба безопасности музея 597-2376 Музейный магазин 597-3233 Уильямс Интернэшнл 597-2161 Williams Outing Club, Парески 597-2317 Оборудование / стол для студентов 597-4784 Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Вест 597-2192 Williams Record, Парески 597-2400 597-2450 факс Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345 Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum 860-572-5359 860-572-5329 факс Исследования женщин, гендера и сексуальности, Schapiro 597-3143 597-4620 факс Написание программ, Hopkins Hall 597-4615 Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер 597-4462