Теория дифференциальные уравнения: Дифференциальные уравнения (учебное пособие для студентов)

Содержание

ПМ-ПУ :: Дифференциальные уравнения

Составитель: д.ф.-м.н., профессор А.П.Жабко,
к.ф.-м.н., доцент С.А.Стрекопытов

Основная литература

  1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
  2. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
  3. Зубов В.И. Теория колебаний. М., 1979.
  4. Зубов В.И. Колебания и волны. Л., 1989.
  5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., 1992.
  6. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Дополнительная литература

  1. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Высш. шк., 1972.
  2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
  3. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. М., 1959.

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Начальные сведения. Понятие уравнения и его решения. Поле направлений. Геометрическая и механическая интерпретация уравнения и решения. Формы задания решения. Задача Коши. Общее, частное и особое решения. Верхнее и нижнее решения. Первый интеграл.

Глава 2. Методы интегрирования уравнений первого порядка

Неполные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное и обобщенное однородное уравнения. Линейные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Глава 3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия и определения. Общее, частное и особое решения. Начальная и граничная задачи. Методы интегрирования уравнений высших порядков. Линейные уравнения.

Глава 4. Системы дифференциальных уравнений

Основные понятия и определения. Нормальная система. Приведение уравнения n-го порядка к нормальной системе и обратная задача. Задача Коши. Понятие единственности решения.
Общее, частное и особое решения. Интеграл системы. Первые интегралы. Общий интеграл. Групповое свойство решений в форме Коши. Автономные и периодические системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство. Точки покоя и периодические траектории. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений. Качественное поведение на плоскости траекторий линейной стационарной системы.

Глава 5. Теоремы существования и единственности

Последовательности функций. Равностепенная непрерывность, равномерная ограниченность, равномерная сходимость. Лемма об интегральном представлении решения задачи Коши. Ломаные Эйлера. Теорема Пеано о существовании решения. Теорема Пикара о существовании и единственности решения. Теорема Каратеодори. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме с голоморфными правыми частями. Теорема Коши о существовании голоморфного решения. Теория уравнений с регулярной особой точкой. Продолжение решений. Теорема об интервале существования решения.
Теорема Винтнера о существовании решения на всей оси.

Глава 6. Общая теория линейных систем

Свойства линейных систем. Однородные линейные системы и свойства их решений. Понятие и критерии линейной независимости вектор-функций, скалярных функций. Необходимые и достаточные условия линейной независимости решений линейных однородных систем. Фундаментальная матрица. Формула Лиувилля. Общее решение и интегралы однородной линейной системы. Неоднородные линейные системы: структура общего решения, метод вариации произвольных постоянных, формула Коши.

Глава 7. Линейные системы с постоянными коэффициентами

Матричные ряды и экспонента матрицы. Построение фундаментальной матрицы. Асимптотические свойства решений однородной линейной системы. Следствия для линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Построение фундаментальной матрицы на основе матричного тождества Гамильтона-Кэли. Метод неопределенных коэффициентов.

Глава 8. Линейные системы с переменными коэффициентами

Линейные системы с периодическими коэффициентами. Логарифм матрицы. Теория Флоке. Колебательные движения в линейных периодических системах. Резонанс. Случай Лаппо-Данилевского. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

Глава 9. Зависимость решений от параметров

Системы дифференциальных уравнений с параметрами. Лемма Гронуолла. Непрерывная зависимость решений от правых частей нормальной системы, начальных данных и параметров. Интегральная непрерывность решений. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам. Система в вариациях. Существование общего решения и общего интеграла нормальной системы. Теорема о голоморфности решения относительно параметров. Метод малого параметра Пуанкаре для построения решения начальной задачи и периодического решения. Квазилинейные системы.

Глава 10. Уравнения в частных производных первого порядка

Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка. Общее решение. Характеристики Коши. Решение начальной задачи. Нелинейное уравнение в частных производных первого порядка. Полный, особый и общий интегралы. Системы квазилинейных уравнений первого порядка с одинаковой главной частью. Метод Лагранжа-Шарпи.

Дифференциальные уравнения и теория устойчивости

Год ( По возрастанию | По убыванию )

Альсевич Л.А., Мазаник С.А., Расолько Г.А., Черенкова Л.П. Год: 2012

Даны краткие теоретические сведения и решения типовых задач. Задачи повышенной сложности сопровождаются указаниями. Приведено большое количество задач прикладного характера, снабженных необходимыми сведениями из соответствующих областей физики, механики, биологии, экономики. Приведены задания для контрольных и лабораторных работ.

Аносов Д.В. Год: 2010. Издание: 2-е изд. стер.

В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других — как геометрические соображения помогают понять свойства их решений.

(С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых…

Арнольд В.И. Год: 2012

За сорок лет, прошедших со времени выхода первого издания, этот учебник успел стать классическим.Большое внимание уделяется геометрическомусмыслу основных понятий. В книге прослеживается тесная связь предмета с приложениями, в особенности с механикой. При изложении делается упор не на формулы, а на геометрический смысл основных определений и теорем. Автор знакомит…

Арнольд В.И. Год: 2012. Издание: 4-е изд.

В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследованияобыкновенных дифференциальных уравнений. Элементарные методы интегрирования рассматриваются с точки зрения общематематических понятий (разрешение особенностей, группы Ли симметрий, диаграммы Ньютона и т. д.). Теорияуравненийс частнымипроизводными первогопорядка изложена на основе геометрии контактной…

Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Год: 2009. Издание: 3-е изд. стер.

Теория особенностей дифференцируемых отображений — бурно развивающаяся область современной математики, являющаяся грандиозным обобщением исследования функций на максимум и минимум и имеющая многочисленные приложения в математике, естествознании и технике (так называемые теории бифуркаций и катастроф). Первая часть книги посвящена теории устойчивости гладких отображений,…

Астровский А.И., Гайшун И.В. Год: 2013

В монографии дано систематическое применение техники квазидифференцирования в задачах наблюдения и управления линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, что привело к новым, более сильным по сравнению с известными, условиям наблюдаемости и управляемости, а также позволило разработать достаточно эффективные процедуры построения канонических. ..

Березкина Н.С., Минюк С.А. Год: 2007

Изложены необходимые основы математического аппарата теории дифференциальных, линейных разностных уравнений и систем и даны примеры его использования в современных экономических приложениях. Представлены решения большого количества типичных задач, дана подборка задач для самостоятельного решения.

Бибиков Ю.Н., Букаты В.Р. Год: 2020

В учебном пособии излагаются положения теории и методы интегрирования дифференциальных уравнений Пфаффа на плоскости и в пространстве. Обычно уравнения Пфаффа на плоскости называют обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка в симметричной форме. В отличие от общепринятого, подход к изложению материала основан на понимании решения как параметризованной…

Бибиков Ю. Н. Год: 2011. Издание: 2-е изд., стереотип.

Пособие содержит все традиционные разделы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Большое внимание уделено вопросам существования, единственности и продолжаемости решений, зависимости их от начальных данных и параметров. В теории линейных уравнений и систем дополнительно рассматриваются системы с периодическими коэффициентами, функция Грина краевой задачи. Излагаются…

Бибиков Ю. Н., Букаты В. Р. Год: 2021. Издание: 2-е изд., стер.

В учебном пособии излагаются положения теории и методы интегрирования дифференциальных уравнений Пфаффа на плоскости и в пространстве. Обычно уравнения Пфаффа на плоскости называют обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка в симметричной форме. В отличие от общепринятого, подход к изложению материала основан на понимании решения как параметризованной…

Болибрух А.А. Год: 2009

В лекциях начала аналитической теории дифференциальных уравнений излагаются с точки зрения расслоений с мероморфными связностями на римановой сфере. Этот подход позволяет добиться значительного прогресса в решении таких знаменитых старых задач, как проблема Римана–Гильберта и задача о биркгофовой стандартной форме, а также в исследовании изомонодромных деформаций фуксовых…

Болотюк В.А., Болотюк Л.А., Швед Е.А., Швец Ю.В. Год: 2014. Издание: 1-е изд.

Настоящий практикум представляет собой сборник индивидуальных заданий (типовых расчетов) из курса высшей математики по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Излагаемые основные понятия сопровождаются большим количеством примеров с подробными решениями. Практикум содержит индивидуальные задания по темам «Дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные…

Болотюк В. А., Болотюк Л. А., Швед Е. А., Швец Ю. В. Год: 2020

Настоящий практикум представляет собой сборник индивидуальных заданий (типовых расчетов) из курса высшей математики по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Излагаемые основные понятия сопровождаются большим количеством примеров с подробными решениями. Практикум содержит индивидуальные задания по темам «Дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные…

Брагина О.И., Панкратова Т.Ф., Рябова А.В. Год: 2013

Предлагаемое пособие предназначено для студентов технических специальностей первого курса.

Бурова И.Г. Год: 2013

Предлагаемое издание содержит теоретические и практические рекомендации по аппроксимации функций вещественными и комплексными сплайнами. Предлагаются неявные интерполяционные методы для решения задачи Коши. Предназначено для студентов, изучающих вычислительную математику, а также аспирантов и научных сотрудников, применяющих численные методы.

Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Год: 2005. Издание: 2-е изд.

Пособие охватывает все разделы курсов «Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление». По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения приводятся решения стандартных и нестандартных задач даются задачи с ответами для самостоятельной работы. Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика».

Васильева Е.В. Год: 2015. Издание: 1-е изд.

Монография посвящена проблеме существования бесконечного числа устойчивых периодических решений в окрестности гомоклинического решения периодической системы дифференциальных уравнений. Решенная автором работы весьма тонкая и сложная проблема существования в окрестности гомоклинического решения бесконечного числа устойчивых периодических решений с отделенными от нуля…

Веденяпин А.Д., Поливенко В.К. Год: 2008

Настоящий практикум содержит общие задания и методические указания к их выполнению в объеме программы по обыкновенным дифференциальным уравнениям университетов и технических вузов. Может служить руководством для преподавателей, ведущих практические и лабораторные занятия, а также для самостоятельного изучения студентом. Допущено Научно-методическим советом по математике…

Воропаева Н.В., Соболев В.А. Год: 2009

Галкин В.А. Год: 2001

Изложена теория корректности задач для уравнения Смолуховского, моделирующего процессы коагуляции (слияния) частиц в дисперсных системах. Рассмотрены пространственно однородные и неоднородные задачи. Доказаны теоремы глобальной разрешимости и корректности задач Коши. Описываются эффекты перехода соотношения сохранения в соотношение диссипации и выявляются их связь…

Дифференциальные уравнения|ИТММ ННГУ

Кафедра теории управления и динамики систем

Специальность: Прикладная математика и информатика

Преподаватель: Гринес Е.А. Губина Е.В. Кадина Е. Ю.

«Дифференциальные уравнения» являются одной из базовых дисциплин в общем образовании математика-прикладника.

Опираясь на фундаментальные сведения из математического анализа, геометрии и высшей алгебры, «Дифференциальные уравнения» дают прикладнику одно из мощных средств анализа явлений и процессов различной природы математическими методами. Ознакомить студентов с начальными навыками математического моделирования, показать возникающие принципиальные трудности при переходе  от реального объекта к его математической идеализации, показать разницу между «хорошими» и «плохими моделями» – важные естественнонаучные задачи курса.

Хорошо известно, что математическая модель какого-либо нетривиального явления или процесса лишь в исключительных случаях допускает достаточно полный анализ классическими методами теории дифференциальных уравнений. Поэтому, чтобы эти классические методы не оставались «вещью в себе» для математика-прикладника, часть  времени выделяется на то, чтобы показать, как синтез классических методов теории дифференциальных уравнений с современными идеями качественных, численных и асимптотических методов, позволяет получать представление о поведении решений достаточно сложных модельных уравнений.

Содержание

1. Введение

Основные понятия и определения. Примеры описаний в форме возникновения дифференциальных уравнений. Задачи анализа и геометрии. Математические модели детерминированных явлений: вторая гипотеза Ньютона, математический маятник (линейная и нелинейная постановка задачи), колебательный контур с индуктивностью и емкостью, сравнение с моделью математического маятника, экспоненциальная модель и примеры ее использования. Идеология построения адекватных моделей сложных явлений: математическое моделирование в системе хищник-жертва, задача об орбите спутника в реальном поле тяготения Земли.

2. Уравнения первого порядка

Поле направлений, изоклины, ломаные Эйлера. Численное решение дифференциального уравнения, как задача математического моделирования. Методы первого, второго и старших порядков. Теорема о независимых интегралах уравнения первого порядка. Теорема Коши-Пикара.

Теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий. Дифференцируемость решений по начальным условиям и параметрам.

Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные уравнения и приводящиеся к ним. Уравнения Бернулли и Риккати, методы их решения, наличие особых решений.

Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним.

Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Постановка задачи Коши и поля направлений, теорема о существовании и единственности решений задачи Коши. Уравнения Лагранжа и Клеро.

3. Уравнения n-го порядка

Задача Коши, граничные задачи. Общий интеграл, общее решение, промежуточные интегралы, понижение порядка уравнения с помощью интегралов. Интегрирование уравнений. Приведение уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка.

4. Нормальные системы уравнений

Теорема Пикара-Коши для нормальной системы. Свойства решений нормальной системы. Теорема о степени гладкости решений. Теорема Пеано. Теорема Коши о существовании голоморфных решений нормальной системы. Теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров. Теоремы о дифференцируемости решений по начальным условиям и параметрам. Теория интегралов нормальной системы.

5. Линейные уравнения и системы

Линейные модели и принцип линеаризации. Теорема Пикара-Коши для линейных уравнений и систем. Фундаментальная система решений, теорема о  существовании ФСР. Общее решение однородных уравнений и систем. Общее решение неоднородных уравнений и систем. Метод вариации постоянных, метод Коши. Формула Остроградского-Лиувилля. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения, построение фундаментальной системы решений. Линейный осциллятор, понятие о резонансе. Линейные системы с периодическими коэффициентами.

6. Системы уравнений

Система уравнений первого порядка. Система уравнений высших порядков. Каноническая система уравнений высших порядков. Автономная система и ее свойства. Динамические системы, связь между фазовыми кривыми и интегральными кривыми, автономные динамические системы, фазовая плоскость, интегральные многообразия. Системы в симметрической форме.

7. Устойчивость решений дифференциальных уравнений

Определения. Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости, устойчивости по первому приближению, теорема Четаева о неустойчивости, примеры. Изучение окрестности положений равновесия автономной динамической системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости, понятие о грубой системе, понятие предельного цикла динамической системы.

8. Построение приближенных дифференциальных уравнений

Обзор методов приближенного построения решений квазиинтегрируемых систем: прямые оценки, метод малого параметра, метод усреднения. Схема Ван-дер-Поля.

9. Уравнения в частных производных

Особенности решений, сравнение с обыкновенными уравнениями, примеры. Задача Коши. Уравнения первого порядка: линейные уравнения (характеристики, теорема об общем решении, решение задачи Коши), квазилинейные уравнения (решение в неявной форме, общее и специальное решение, решение задачи Коши). Геометрические представления в трехмерном пространстве (непрерывное векторное поле, линии поля, геометрические свойства интегральных поверхностей, характеристики и интегральные поверхности).

Отчетность

  • Семестр 3: Зач
  • Семестр 4: Зач Экз

Дифференциальные уравнения и их приложения

Основателем научной школы является крупный ученый, работавший в области дифференциальных уравнений  профессор, заслуженный деятель науки РСФСР Иринарх Петрович Макаров.

И.П. Макаров учился в аспирантуре МГУ под руководством известного специалиста в области КТДУ профессора В.В. Немыцкого, представителя большой научной школы академика Н.Н. Лузина. И.П. Макаров избрал темой исследования «Устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения систем дифференциальных уравнений с бесконечной матрицей». Им введены определения устойчивости и асимптотической устойчивости невозмущенного движения систем дифференциальных уравнений с бесконечной матрицей линейного приближения, отличные от существующих. Особенность выполненных исследований состоит в том, что аппарат функций Ляпунова не применялся, условия устойчивости были сформулированы в терминах коэффициентов правой части системы дифференциальных уравнений.

К изучению свойств решений систем бесконечного порядка И.П. Макаров неоднократно возвращался и позже. Им, доказаны теоремы о существовании и единственности периодического решения счетной системы.

И.П. Макаровым изучались условия существования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Был предложен способ построения неограниченной области, названной трубкой устойчивости, проекция которой на фазовое пространство ограничена, не зависит от аргумента и представляет собой n-мерный куб. Найдены условия положительной инвариантности трубки устойчивости, конвергенции интегральных кривых в трубке устойчивости, а также условия, при которых интегральная кривая, имеющая начальную точку вне трубки устойчивости, не войдет в нее при неограниченном возрастании аргумента. Найдены условия единственности и устойчивости периодического решения в трубке устойчивости.

Для исследования устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений введено понятие кусочно-гладкой функции Ляпунова, с помощью которой доказаны теоремы об устойчивости, об устойчивости в целом нулевого решения некоторых специальных систем.

И.П. Макаров исследовал проблемы существования предельных циклов систем на плоскости. Им введены понятия альфарегулярного предельного цикла и устойчивости (неустойчивости) такого цикла. Определены условия, при выполнении которых заранее заданная замкнутая кривая является устойчивым альфарегулярным предельным циклом, получена оценка сверху числа альфарегулярных предельных циклов.

Особо следует отметить исследования проф. И.П. Макарова совместно с акад. Б.В. Гнеденко системы дифференциальных уравнений (возможно счетного порядка) с периодическими коэффициентами вероятностного характера, описывающей систему массового обслуживания с потерями как процесс гибели–размножения.

Научные интересы И.П. Макарова касались не только нерешенных проблем теории дифференциальных уравнений. Им был предложен элементарный вывод критерия Рауса – Гурвица, разработана методика применения метода неподвижной точки к доказательству теорем существования решения уравнения, проведены исследования по сходимости числовых рядов.

Всего И.П. Макаровым было опубликовано свыше 50 работ.

С 1952 года он являлся научным руководителем аспирантуры по специальности 01.01.02 «дифференциальные уравнения». Учениками профессора И.П. Макарова защищено 30 диссертационных работ, в том числе 4 докторских.

Особой заслугой профессора И.П. Макарова явилось создание в 1955 году Рязанского физико-математического общества, бессменным председателем которого он являлся в течение 20 лет, затем общество возглавил профессор М.Т. Терехин. На заседаниях общества с докладами по вопросам современной математики и методики преподавания математики выступали профессора В.В. Немыцкий, И.К. Андронов, И.Я. Верченко, А.Д. Мышкис, А.А. Шестаков, В.М. Миллионщиков,  Н.Х. Розов, академик Б.В. Гнеденко, математики Рязани и других городов.

При научной школе со времени основания работает научно-исследовательский семинар по качественной теории дифференциальных уравнений. Работой семинара руководили проф. И.П. Макаров, проф. М.Т. Терёхин, в настоящее время – проф. С.С. Мамонов. В работе семинара участвуют преподаватели нашего вуза, ученые из Рязани и других городов. На семинаре обсуждаются доклады по новым актуальным результатам исследований.

 Под редакцией И.П. Макарова был организован выпуск межвузовских сборников научных трудов по качественной теории дифференциальных уравнений, по теории уравнений в частных производных и по методике преподавания теории дифференциальных уравнений в педвузах.

И.П. Макаровым было организовано несколько Всесоюзных конференций по качественной теории дифференциальных уравнений.

Работа И.П. Макарова отмечена многими правительственными наградами. Имя И.П. Макарова занесено в Почетную книгу ветеранов народного просвещения Рязанской области.

Многогранная организаторская и научная работа заслуженного деятеля науки РСФСР, профессора И.П. Макарова была продолжена его учеником профессором Михаилом Тихоновичем Терёхиным.

С 1968 года М.Т. Терёхин руководил аспирантурой по специальности 01.01.02 «дифференциальные уравнения». Под его руководством защищено 45 кандидатских диссертаций, один из его учеников защитил докторскую диссертацию. Его ученики работают во всех вузах Рязани, а также в Астрахани, Барнауле, Белгороде, Бирске, Вологде, Курске, Москве, Чебоксарах, Уфе.

Под руководством профессора М.Т. Терёхина научная школа по теории дифференциальных уравнений и их приложений укрепила связи с научными центрами Москвы, С.-Петербурга, Минска, Тулы, Перми, Ижевска, Нижнего Новгорода, Самары, Воронежа, Казани, Саранска, Тамбова, Твери.

Профессор М.Т. Терёхин избран членом-корреспондентом Российской академии естественных наук, действительным членом Российской Академии естествознания. Он ведёт активную научно-организационную деятельность. Под его руководством продолжена издательская деятельности научной школы. В качестве главного редактора он руководил выпуском сборника «Дифференциальные уравнения (качественная теория)» (1984-1997 гг.),  журнала «Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения» (1998-2012 гг.), в качестве ответственного редактора – выпуском тематического номера «Дифференциальные уравнения» журнала «Вестник РАЕН» (с 2013 года по настоящее время). М.Т. Терёхин член редколлегии журналов «Вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина», «Труды Средневолжского математического общества», «Известия Тульского государственного университета. Серия дифференциальные уравнения и прикладные задачи». М.Т. Терёхин участвует в работе диссертационного совета в РГРТУ, многие годы руководит еженедельным научно-исследовательским семинаром по качественной теории дифференциальных уравнений. С 1989 года проф. М.Т. Терёхин руководит научно-исследовательской лабораторией по качественной теории дифференциальных уравнений РГУ имени С. А. Есенина.

Профессор М.Т. Терёхин  занимается исследованиями по следующим направлениям: существование и оценка числа предельных циклов систем второго порядка; существование и бифуркации периодических, почти периодических и ограниченных решений в критических случаях; неподвижные точки операторов; ветвление решений нелинейных уравнений; управляемость систем с неуправляемой линейной частью; устойчивость решений; свойства решений и периодические краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений, в том числе уравнений с отклоняющимся аргументом, с максимумами; решение прикладных задач экономики, биологии, механики. По результатам исследований им опубликовано около 200 работ.

В 1992 году Михаил Тихонович Терёхин защитил докторскую диссертацию в Санкт-Петербургском государственном университете.

С 1998 года проф. М.Т. Терёхин уделяет много внимания приведению исследований в области экономико- математического моделирования. Им организован ежегодный семинар по математическим методам в экономике.

Педагогическая и научная деятельность профессора М.Т. Терёхина отмечена правительственными и ведомственными наградами. Указом Президента Российской Федерации Терёхин Михаил Тихонович награждён за многолетнюю плодотворную работу и большой вклад в укрепление дружбы и сотрудничества между народами медалью Ордена “За заслуги перед Отечеством” II степени (2001).

В настоящее время организаторская и научная работа профессора М.Т. Терёхина продолжается его учеником профессором Мамоновым Сергеем Станиславовичем.

С.С. Мамонов защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (1 марта 2011г.) в Тульском государственном университете, в том же году ему присвоено ученая степень доктора физико-математических наук. Им написано свыше 100 научных и учебно-методических работ, в том числе две работы опубликованы за рубежом. Круг научных работ С.С. Мамонова связан с изучением нелинейных колебаний систем дифференциальных уравнений, исследованием математических моделей радиофизических систем, применением систем матричных уравнений в качественной теории дифференциальных уравнений, построением математических моделей для изучения динамики движения парашютиста.  

  С.С. Мамонов является научным руководителем аспирантуры по специальности 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление», под его руководством защищены две работы на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

С.С. Мамонов является членом диссертационных советов: Д 212.271.05, созданного на базе ФГБОУ ВО «Тульский государственный университет» и Д 212.211.02, созданного на базе ФГБОУ ВО «Рязанский государственный радиотехнический университет», участвует в организации издательской деятельности. 

В настоящее время научная школа ведет подготовку по направлениям 01.04.01 «Математика, профиль Математические методы в экономике» (магистратура), 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление» (аспирантура).

Научным руководителем магистратуры является Лискина Е.Ю. Под её руководством студенты магистратуры занимаются научными исследованиями по направлениям: эконометрическое моделирование социально-экономических процессов, применение методов теории игр к построению экономико-математических моделей, построение и исследование динамических моделей макро- и микроэкономических процессов. С результатами своих исследований магистранты регулярно выступают на различных всероссийских и международных конференциях: «Ломоносов» (МГУ имени М.В. Ломоносова), «Новые информационные технологии в научных исследованиях», «Современные технологии в науке и образовании» (РГРТУ), «Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук» (Тольяттинский государственный университет), «Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками» (Саратовский национальный исследовательский университет имени Н.Г. Чернышевского) и др.; публикуют статьи в рецензируемых научных журналах и сборниках, успешно участвуют в научных конкурсах.

  Научные результаты других представителей научной школы представлены в списке опубликованных работ научной школы (п.4.6 настоящей таблицы).

1.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.

Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то оно называется Обыкновенным дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение (1.1) представляет пример такого уравнения.

Если же входящая в дифференциальное уравнение неизвестная функция зависит от нескольких независимых аргументов, то оно называется Уравнением в частных производных. Примером служит уравнение

, (1.2)

Которое содержит неизвестную функцию .

Порядком Дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящей в уравнение производной. Так дифференциальные уравнения (1.1) и (1.2) – это уравнения второго порядка.

Решением Дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Например, легко проверить, что функция является решением дифференциального уравнения . Процесс решения дифференциального уравнения называется Интегрированием уравнения.

В дальнейшем рассматриваются лишь обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы. Обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка

(1.3)

Содержит независимую переменную , неизвестную функцию и её производные , , …, .

График решения дифференциального уравнения Называется интегральной кривой. Уравнение считается проинтегрированным, если его решение найдено в явном виде или определяется неявно уравнением вида независимо от того, удается ли разрешить это уравнение относительно неизвестной функции или нет. Уравнение , которое определяет решение дифференциального уравнения, называется Интегралом этого дифференциального уравнения.

В данном пособии рассматриваются методы интегрирования и исследования дифференциальных уравнений первого порядка.

< Предыдущая   Следующая >

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ • Большая российская энциклопедия

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ обык­но­вен­ное, урав­не­ние, со­дер­жа­щее ис­ко­мую функ­цию од­ной не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной, её про­из­вод­ные разл.{(n–1)}).\tag2$$

Про­стей­шие Д. у. поя­ви­лись в ра­бо­тах И. Нью­то­на: за­да­ча о на­хо­ж­де­нии пер­во­об­раз­ной (не­оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла) $x(t)$ для дан­ной функ­ции $f(t)$ эк­ви­ва­лент­на ре­ше­нию урав­не­ния $x'(t)=f(t)$. Тер­мин «Д. у.» пред­ло­жил Г. В. Лейб­ниц (1676).

При­мер обык­но­вен­но­го Д. у. да­ёт 2-й за­кон Нью­то­на, опи­сы­ваю­щий дви­же­ние по пря­мой ма­те­ри­аль­ной точ­ки под дей­ст­ви­ем внеш­ней си­лы. Ес­ли $m$ – мас­са точ­ки, $x(t)$ – её те­ку­щая, из­ме­няю­щая­ся во вре­ме­ни $t$ ко­ор­ди­на­та на пря­мой, а $F$ – при­ло­жен­ная к точ­ке си­ла (за­ви­ся­щая, во­об­ще го­во­ря, от вре­ме­ни, по­ло­же­ния точ­ки и её ско­ро­сти), то за­кон дви­же­ния $x(t)$ оп­ре­де­ля­ет­ся Д. у. $mx”F(t, x, x’).\tag3$

Про­стей­шее Д. у. $x’=0$, ко­то­рое об­ра­ща­ет в то­ж­де­ст­во лю­бая по­сто­ян­ная функ­ция $x(t)≡C$, по­ка­зы­ва­ет, что Д. у. (2), во­об­ще го­во­ря, име­ет бес­ко­неч­но мно­го ре­ше­ний. Вся со­во­куп­ность ре­ше­ний Д.{(n-1)}(t_0)=a_{n-1},\tag4$$где $t_0$ – фик­си­ро­ван­ное на­чаль­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та $t$, а $a_0, a_1, a_2, …, a_{n–1}$ – за­дан­ные чис­ла (на­чаль­ные зна­че­ния). Ес­ли $f$ – всю­ду оп­ре­де­лён­ная диф­фе­рен­ци­руе­мая функ­ция $n+1$ пе­ре­мен­ных, то за­да­ча Ко­ши (2), (4) при лю­бом на­чаль­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та и лю­бых на­чаль­ных зна­че­ни­ях од­но­знач­но раз­ре­ши­ма, т. е. име­ет, и при­том един­ст­вен­ное, ре­ше­ние. Для 2-го за­ко­на Нью­то­на (3) это оз­на­ча­ет, что ес­ли в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни $t_0$ за­да­ны ис­ход­ное по­ло­же­ние точ­ки $x(t_0)$ и её на­чаль­ная ско­рость $x'(t_0)$, то дви­же­ние точ­ки $x(t)$ оп­ре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но.

Об­щее ре­ше­ние Д. у. пер­во­го по­ряд­ка $x’=f(t, x),\tag5$где функ­ция $f$ оп­ре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­руе­ма на всей плос­ко­сти $(t,x)$, гео­мет­ри­че­ски пред­став­ля­ет­ся од­но­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­вом глад­ких кри­вых $x=x(t,C)$, где $C$ – про­из­воль­ная чи­сло­вая по­сто­ян­ная, ко­то­рые без са­мо­пе­ре­се­че­ний и взаи­мо­пе­ре­се­че­ний по­кры­ва­ют всю плос­кость.{(k–1)}(t_0)=a_{k–1}, $$  Оты­ска­ние ре­ше­ния Д. у. (2), удов­ле­тво­ряю­ще­го не­ко­то­рым крае­вым ус­ло­ви­ям по­доб­но­го ти­па, на­зы­ва­ют крае­вой за­да­чей для Д. у. (2). Напр., от­вет на во­прос, мо­жет ли ма­те­ри­аль­ная точ­ка, дви­жу­щая­ся со­глас­но за­ко­ну Нью­то­на по пря­мой, в за­ра­нее пред­пи­сан­ные мо­мен­ты вре­ме­ни $t_0$ и $T$ ока­зать­ся в фик­си­ро­ван­ных по­ло­же­ни­ях $x_0$ и $x_T$ на этой пря­мой, сво­дит­ся к вы­яс­не­нию су­ще­ст­во­ва­ния ре­ше­ния урав­не­ния (3) с крае­вы­ми ус­ло­вия­ми $$ x(t_0)=x_0, x(T)=x_T,\tag 6 $$ т. е. к раз­ре­ши­мо­сти крае­вой за­да­чи (3), (6). От­вет на во­прос о су­ще­ст­во­ва­нии ре­ше­ния крае­вой за­да­чи час­то вы­зы­ва­ет серь­ёз­ные труд­но­сти. 

На­ря­ду с Д. у. ви­да (2) рас­смат­ри­ва­ют­ся сис­те­мы обык­но­вен­ных Д. у. $$y_1’=f_1(t, y_1, y_2, …, y_n),\\ y’_2=f_2(t, y_1, y_2, …, y_n),\\ ………………………\\ y’_n=f_n(t, y_1, y_2, …, y_n).\tag7$$

Здесь $y1,y2,…, y_n$ – не­из­вест­ные функ­ции од­но­го и то­го же ар­гу­мен­та $t$, а $f_1, f_2, …, f_n$ – за­дан­ные функ­ции $n+1$ ар­гу­мен­та.n$  (здесь $A(t)$ – за­дан­ная $n×n$ мат­ри­ца, эле­мен­та­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся функ­ции, $F(t)$ – из­вест­ная $n$-мер­ная век­тор-функ­ция), и ав­то­ном­ные сис­те­мы Д. у. – сис­те­мы ви­да (7), для ко­то­рых пра­вые час­ти не за­ви­сят яв­но от пе­ре­мен­ной $t$. 

На­чаль­ная за­да­ча (за­да­ча Ко­ши) для сис­те­мы Д. у. (7) за­клю­ча­ет­ся в оты­ска­нии та­ко­го её ре­ше­ния, ко­то­рое до­пол­ни­тель­но удов­ле­тво­ря­ет на­бо­ру на­чаль­ных ус­ло­вий $$y_1(t_0)=a_1, y_2(t_0)=a_2, …, y_n(t_0)=a_n, \tag 9$$ где $t_0$ – фик­си­ро­ван­ное на­чаль­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та, а $(a_1,a_2,…,a_n)$ – на­бор за­дан­ных чи­сел (на­чаль­ное зна­че­ние ре­ше­ния). Ес­ли все вхо­дя­щие в сис­те­му (7) функ­ции $f_1,f_2,…,f_n$ всю­ду оп­ре­де­ле­ны и диф­фе­рен­ци­руе­мы, то за­да­ча Ко­ши (7), (9) од­но­знач­но раз­ре­ши­ма, т. е. име­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние. Для сис­те­мы Д. у. (7) мож­но ста­вить и крае­вые за­да­чи, в ко­то­рых до­пол­нит. ус­ло­вия на­кла­ды­ва­ют­ся на зна­че­ния не­из­вест­ных функ­ций при раз­ных зна­че­ни­ях не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной.{(n–1)},$$ то оно сво­дит­ся к сис­те­ме Д. у. (7) ча­ст­но­го ви­да $$y_1’=y_2, y_2’=y_3, …, y_{n-1}’=yn, =f(t, y_1, y_2, …, y_n).$$

По­сколь­ку ре­ше­ния урав­не­ния (2) или сис­те­мы (7) обыч­но не­воз­мож­но за­пи­сать яв­но с по­мо­щью из­вест­ных функ­ций, воз­ни­ка­ет про­бле­ма вы­яв­ле­ния свойств ре­ше­ний Д. у. (пе­рио­дич­но­сти, ог­ра­ни­чен­но­сти, по­ло­жи­тель­но­сти, ко­леб­ле­мо­сти, мо­но­тон­но­сти, по­ве­де­ния при не­ог­ра­ни­чен­ном рос­те ар­гу­мен­та и т. д.) без зна­ния пред­став­ле­ний ре­ше­ний в ви­де фор­мул, не­по­сред­ст­вен­но на ос­но­ве ана­ли­за толь­ко пра­вых час­тей этих Д. у. Та­ки­ми во­про­са­ми за­ни­ма­ет­ся ка­че­ст­вен­ная тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, ос­но­во­по­лож­ни­ком ко­то­рой был А. Пу­ан­ка­ре.

Фун­да­мен­таль­ным и прак­ти­че­ски зна­чи­мым раз­де­лом Д. у. яв­ля­ет­ся тео­рия ус­той­чи­во­сти, ве­ду­щая своё на­ча­ло от ра­бот А. М. Ля­пу­но­ва. Пусть изу­че­ние кон­крет­ной про­бле­мы при­во­дит к «эта­лон­ной» за­да­че Ко­ши (7), (9), ре­ше­ние $y(t)$ ко­то­рой оп­ре­де­ле­но на бес­ко­неч­ном про­ме­жут­ке вре­ме­ни $t⩾t_0$. В при­клад­ных про­бле­мах (напр., в за­да­чах управ­ле­ния дви­же­ни­ем) как на­чаль­ные зна­че­ния (9) ре­ше­ния, так и пра­вые час­ти урав­не­ний (7) прин­ци­пи­аль­но не мо­гут быть ука­за­ны аб­со­лют­но точ­но, ма­лые по­греш­но­сти (воз­му­ще­ния) в их оп­ре­де­ле­нии не­из­беж­ны, по­это­му «ре­аль­ное» ре­ше­ние $y*(t)$ бу­дет от­ли­чать­ся от ре­ше­ния «эта­лон­ной» за­да­чи и воз­ни­ка­ет во­прос, как влия­ют ма­лые воз­му­ще­ния в дан­ных за­да­чи Ко­ши на от­кло­не­ние «ре­аль­ных» ре­ше­ний $y*(t)$ от эта­лон­но­го ре­ше­ния $y(t)$. Ес­ли ма­лые воз­му­ще­ния на­чаль­ных зна­че­ний (9) при­во­дят к ма­лым от­кло­не­ни­ям лю­бо­го «ре­аль­но­го» ре­ше­ния $y*(t)$ от ре­ше­ния $y(t)$ при всех $t⩾t_0$, то ре­ше­ние $y(t)$ на­зы­ва­ет­ся ус­той­чи­вым по Ля­пу­но­ву и его мож­но (с дос­та­точ­ной сте­пе­нью точ­но­сти) ис­поль­зо­вать в ка­че­ст­ве «эта­лон­но­го» ре­ше­ния рас­смат­ри­вае­мой прак­тич. за­да­чи. В ме­ха­ни­ке, фи­зи­ке, тех­ни­ке ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся ус­ло­вия, обес­пе­чи­ваю­щие ус­той­чи­вость по Ля­пу­но­ву по­ло­же­ний рав­но­ве­сия или ста­цио­нар­ных ре­жи­мов. Ес­ли ма­лые по­греш­но­сти в пра­вых час­тях урав­не­ний (7) при­во­дят к ма­лым от­кло­не­ни­ям лю­бо­го «ре­аль­но­го» ре­ше­ния $y*(t)$ от ре­ше­ния $y(t)$ при всех $t⩾t_0$, то ре­ше­ние $y(t)$ на­зы­ва­ет­ся ус­той­чи­вым при по­сто­ян­но дей­ст­вую­щих воз­му­ще­ни­ях. Та­кое ре­ше­ние мож­но ис­поль­зо­вать в ка­че­ст­ве «эта­лон­но­го» в за­да­че, ко­гда, напр., не уда­ёт­ся учесть флук­туа­ции сил, дей­ст­вую­щих на дви­жу­щее­ся те­ло.

Лю­бой ре­аль­ный объ­ект име­ет спе­цифич. ха­рак­те­ри­сти­ки, ко­то­рые опи­сы­ва­ют­ся оп­ре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми. По­это­му в его ма­те­ма­тич. мо­дель дол­жен вхо­дить (век­тор­ный) па­ра­метр $ε=(ε_1,…,ε_k), так что вме­сто сис­те­мы Д. у. (8) сле­ду­ет рас­смат­ри­вать сис­те­му $y’=f(t,y,ε)$. Зна­че­ния этих па­ра­мет­ров мо­гут быть из­вест­ны не­точ­но, и воз­ни­ка­ет во­прос о на­хо­ж­де­нии ус­ло­вий, обес­пе­чи­ваю­щих ус­той­чи­вость ре­ше­ний по от­но­ше­нию к ма­лым воз­му­ще­ни­ям па­ра­мет­ров. Бо­лее об­щий ха­рак­тер име­ет за­да­ча вы­яс­не­ния за­ви­си­мо­сти ре­ше­ний от из­ме­не­ния па­ра­мет­ров и, в ча­ст­но­сти, на­хо­ж­де­ния т. н. би­фур­ка­ци­он­ных зна­че­ний па­ра­мет­ров, при про­хо­ж­де­нии ко­то­рых кар­ди­наль­но ме­ня­ют­ся свой­ст­ва ре­ше­ний. Ино­гда урав­не­ние $y’=f(t, y, ε )$ име­ет про­стое ре­ше­ние при $ε=0$. В этом слу­чае для ре­ше­ния урав­не­ния при ма­лых $ε≠0$ ис­поль­зу­ют­ся асим­пто­тич. ме­то­ды, в ча­ст­но­сти воз­му­ще­ний тео­рия.

В ре­аль­ных при­клад­ных, пре­ж­де все­го тех­ни­че­ских, во­про­сах час­то важ­на не толь­ко ка­че­ст­вен­ная, но и ко­ли­че­ст­вен­ная ин­фор­ма­ция о ре­ше­нии Д. у., нуж­но знать (с дос­та­точ­ной точ­но­стью) зна­че­ния ре­ше­ния при разл. зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та. По­это­му боль­шое вни­ма­ние уде­ля­ет­ся чис­лен­ным ме­то­дам ре­ше­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний.

Обык­но­вен­ные Д. у. до­пус­ка­ют раз­но­об­раз­ные обоб­ще­ния. В Д. у. (5) пред­по­ла­га­ет­ся, что зна­че­ния функ­ции $x(t)$ и её про­из­вод­ной $x′(t)$ бе­рут­ся при од­ном и том же зна­че­нии $t$. Урав­не­ние $x'(t)=f(t,t-τ ,x(t), x(t-τ))$, где при­сут­ст­ву­ют зна­че­ния не­из­вест­ной функ­ции при разл. зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та $t$ и $t-τ, τ≠0$, на­зы­ва­ет­ся Д. у. с от­кло­няю­щим­ся ар­гу­мен­том. За­да­ча­ми изу­че­ния Д. у. $x’=f(t, x, u)$, где $u$ – т. н. управ­ляю­щий па­ра­метр, в ка­че­ст­ве ко­то­ро­го вы­би­ра­ют­ся функ­ции $u=u(t)$, под­чи­нён­ные разл. ус­ло­ви­ям, за­ни­ма­ет­ся тео­рия сис­тем управ­ле­ния. Ин­тен­сив­но раз­ви­ва­ет­ся воз­ник­шая на ба­зе обык­но­вен­ных Д. у. тео­рия ди­на­ми­че­ских сис­тем. Ана­ли­тич. тео­рия обык­но­вен­ных Д. у. изу­ча­ет свой­ст­ва ре­ше­ний в слу­чае, ко­гда в урав­не­нии (2) уча­ст­ву­ют ком­плекс­ные функ­ции ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го. К функ­цио­наль­но­му ана­ли­зу при­мы­ка­ет т. н. тео­рия аб­ст­ракт­ных обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний.

Прак­тич. зна­че­ние Д. у. со­сто­ит в том, что час­то объ­ек­тив­ные за­ко­ны в ес­те­ст­во­зна­нии, со­ци­аль­но-эко­но­мич. нау­ках и тех­ни­ке уда­ёт­ся за­пи­сать в фор­ме Д. у. и эти урав­не­ния, т. о., ока­зы­ва­ют­ся аде­к­ват­ным сред­ст­вом для ко­ли­че­ст­вен­но­го опи­са­ния этих за­ко­нов. Напр., вы­чис­ле­ние тра­ек­то­рий кос­мич. по­лётов осу­ще­ст­в­ля­ет­ся пу­тём изу­че­ния и ре­ше­ния Д. у. Хо­ро­шо из­вест­но пред­ска­за­ние Дж. К. Адам­са (1843–45) и У. Ле­ве­рье (1846) су­ще­ст­во­ва­ния пла­не­ты Неп­тун, осу­ще­ст­в­лён­ное с по­мо­щью Д. у. и лишь за­тем под­твер­ждён­ное пря­мы­ми ас­тро­но­мич. на­блю­де­ния­ми нем. ас­тро­но­ма И. Гал­ле (1846).

Дифференциальные уравнения (основные понятия) [wiki.eduVdom.com]

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут входить дифференциалы.

Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.{(n)})=0 \qquad (1)$$

  • y(x) – неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x (штрих означает дифференцирование по x).

  • Число n (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) – порядок дифференциального уравнения (1).

Дифференциальные уравнения в частных производных — дифференциальные уравнения, содержащие неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Интегрирование дифференциального уравнения

Основное задачей теории дифференциальных уравнений является поиск всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла, поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс поиска всех решений – интегрированием дифференциального уравнения.

Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которых данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка: $${y}” + y = 0 \qquad (2)$$

Одним из решенией (интегралом) этого дифференциального уравнения второго порядка, будет функция: $y = \sin{x}$

Поскольку после подстановки $y = \sin{x}$ , равенство (2) принимает вид: ${(\sin{x})}” + \sin{x} = 0$, т.е. становится тождеством.

Функции $y = \frac{1}{2}\sin{x} \,,\,\, y = \cos{x} \,,\,\, y = 3\cos{x}$ – тоже решения уравнения (2), но функция $y=\sin{x}+\frac{1}{2}$ не является решением.

Основные понятия дифференциальных уравнений

subjects/diffury/дифференциальные_уравнения.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:24 —

Качественная теория дифференциальных уравнений


Математическая дисциплина, изучающая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений.

Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены в конце XIX века А. Пуанкаре (см. [2]) и А. Ляпунова (см. [3], [4]). Пуанкаре широко использовал геометрические методы, рассматривая решения систем дифференциальных уравнений как кривые в соответствующем пространстве.На этой основе он создал общую теорию поведения решений дифференциальных уравнений второго порядка и решил ряд фундаментальных задач о зависимости решений от параметров (см. Ниже). Ляпунов изучал поведение решений в окрестности положения равновесия. Он основал современную теорию устойчивости движения (см. Теория устойчивости).

Геометрический подход Пуанкаре был разработан в 1920-х годах Джорджем Биркгофом, который открыл много важных фактов в качественной теории многомерных систем дифференциальных уравнений (см. [5], [6]).{n}, $$

где $ P (x) $ квадрат $ n \ times n $ матрица. Предполагается, что $ P (x) $ ограничен. (В неограниченном случае было проведено всего несколько узкоспециализированных исследований. {A x}, $$

где $ Q (x) $ это $ \ omega $ – периодический и $ A $ постоянная матрица.Кроме того, если $ P (x) $ реально, то $ A $ и $ Q (x) $ не всегда можно выбрать настоящую; однако в этом случае $ Q (x) $ имеет период $ 2 \ omega $. Из (3) следует, что система (1) с периодической $ P (x) $ приводимо (теорема Ляпунова). Формула (3) показывает, что для вычисления характеристических показателей достаточно знать $ \ phi (\ omega) $, то есть нужно вычислить $ n $ различные решения на интервале $ 0 \ leq x \ leq \ omega $. Линейные системы с периодическими коэффициентами изучены очень подробно (см. [8], а также Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами).

Ляпунов доказал (и в этом суть его первого метода теории устойчивости), что регулярная система устойчива по отношению к аналитическим нелинейным возмущениям.

Одной из интересных проблем качественной теории линейных дифференциальных уравнений является проблема колебательного характера решений таких уравнений (см. {2}} + р (х) у = 0 $$

имеет бесконечное количество нулей на интервале $ 0

Наиболее подробно изучены автономные системы (см. Автономная система):

$$ \ tag {5} \ frac {dy} {dx} = Y (y). $$

Пространство векторов $ y $ для системы (5) называется фазовым пространством. Систему (4) можно привести к автономному виду (5), увеличив порядок на единицу. Автономная система вида (5) определяет динамическую систему, если все ее решения могут быть продолжены на всю ось $ – \ infty

Пусть $ y = y (x, y _ {0}) $ – решение (5) с начальными данными $ x = 0 $, $ y = y _ {0} $.Кривая $ y = y (x, y _ {0}) $, $ – \ infty

Важной задачей качественной теории нелинейных систем является изучение асимптотического поведения всех решений при $ x \ rightarrow \ pm \ infty $. Для автономных систем вида (5) эта задача сводится к изучению структуры предельных множеств всех полутраекторий и способов приближения траекторий к этим множествам. Предельное множество каждой полутраектории замкнуто и инвариантно.(Подмножество фазового пространства называется инвариантным, если оно состоит из полных траекторий.) Если полутраектория ограничена, то ее предельное множество связно.

Если $ n = 2 $, то есть, когда фазовое пространство является плоскостью, Пуанкаре (см.) и И. Бендиксон (см. [11]) дали исчерпывающее описание возможных расположений траекторий. При предположении, что уравнение $ Y (y) = 0 $ имеет только конечное число решений в любой ограниченной части плоскости, они доказали, что предельное множество любой ограниченной полутраектории может быть только одного из следующих трех типов: 1) единственное состояние равновесия; 2) одиночная замкнутая траектория; или 3) конечное число состояний равновесия и траекторий, сходящихся к этим состояниям равновесия как $ x \ rightarrow \ pm \ infty $.Пуанкаре

и А. Данжуа [12] рассмотрели случай уравнения первого порядка типа (4), правая часть которого периодична по обоим аргументам $ y $ и $ x $. Такие уравнения удобно рассматривать на торе (см. Дифференциальные уравнения на торе). Структура решений в этом случае существенно зависит от числа вращения, определяемого формулой

$$ \ mu = \ \ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} \ \ frac {y (x, y _ {0})} {x} . $$

Если $ \ mu $ рационально, то существует периодическое решение; если $ \ mu $ иррационально, то все решения являются квазипериодическими функциями с двумя частотами.

Для $ n> 2 $ невозможно дать столь четкое описание поведения траекторий. Однако имеется много информации об ограничивающем поведении многомерных автономных систем. Таким образом, есть следующие результаты, принадлежащие Биркгофу. Пусть замкнутое ограниченное инвариантное множество фазового пространства называется минимальным, если оно не содержит собственного подмножества с такими же свойствами. Тогда каждое минимальное множество является замыканием рекуррентной траектории. Таким образом, предельное множество каждой ограниченной полутраектории содержит рекуррентную траекторию.{1} $. Для $ n = 2 $, А.А. Андронов, Л. Понтрягин [13] сформулировал необходимые и достаточные условия устойчивости конструкции. В частности, они показали, что в любой ограниченной части плоскости существует лишь конечное число периодических решений. Для $ n> 2 $ поведение структурно-устойчивой системы значительно сложнее. С. Смейл [14] привел пример структурно-устойчивой системы, имеющей бесконечное число периодических решений в ограниченной части фазового пространства.

Изучению глобальных свойств конкретных систем дифференциальных уравнений посвящены многочисленные исследования. В связи с исследованиями по теории автоматического управления в 50-е годы возник новый раздел качественной теории дифференциальных уравнений – теория устойчивости движения в целом. Важную роль в теории колебаний играют диссипативные системы: системы вида (4), для которых все решения с увеличением времени попадают в некоторую ограниченную область.Свойства диссипативных систем изучены очень подробно. Построены относительно надежные методы, позволяющие установить диссипативность конкретных систем (см. [15]).

Одной из проблем качественной теории дифференциальных уравнений является проблема существования периодических решений. Для доказательства существования таких решений часто используются топологические устройства, в частности различные критерии существования неподвижной точки. Многие теоремы такого рода доказаны применением (обобщениями) геометрического принципа Пуанкаре – Биркгофа. {2} – 1) \ dot {x} + x = k b \ lambda \ \ sin \ lambda t, $$

следующие интересные факты установлены для больших значений параметра $ k $ ( помимо ряда других результатов см. [17]).При специальном выборе параметра $ b $ уравнение имеет два асимптотически устойчивых решения с периодами $ (2 n + 1) 2 \ pi / \ lambda $ и $ (2 n – 1) 2 \ pi / \ lambda $, где $ n $ – достаточно большое целое число, и «большинство» оставшихся решений сходится к этим двум. Кроме того, существует счетное множество неустойчивых периодических решений и континуум рекуррентных непериодических.

Локальная теория.

Основная статья: Локальные нормальные формы для динамических систем.{n}, $$

где вектор-функция $ Y $ в определенном смысле мала по сравнению с $ y $. Исследование поведения решений уравнения (6) в окрестности состояния равновесия $ y = 0 $ фактически является предметом локальной качественной теории дифференциальных уравнений.

Проблемы устойчивости нулевого решения уравнения (6) являются центральными в этой теории. Нулевое решение называется устойчивым, если решение $ y = y (x, y _ {0}) $ непрерывна относительно $ y _ {0} $ при $ y _ {0} = 0 $ равномерно по $ x \ geq 0 $.

В локальной качественной теории дифференциальных уравнений наиболее полно исследован случай, когда матрица $ P (x) $ постоянно. К этому случаю сводится задача исследования окрестности состояний равновесия и периодических решений автономной системы.

Описание поведения решений (6) в окрестности $ y = 0 $ относительно просто, если $ P $ является константой, и все его собственные значения имеют ненулевые действительные части. В этом случае дело сводится к следующему основному результату Ляпунова – Перрона (см. [18]).Предположим, что $ k $ собственные значения постоянной матрицы $ P $ имеют отрицательные действительные части, а остальные $ n – k $ иметь положительные реальные части. Тогда существует в $ y $ – пространство двух многообразий $ M $ и $ N $ размеров $ k $ и $ n – k $, соответственно, такие, что если $ y _ {0} \ in M ​​$, тогда $ y (x, y _ {0}) \ rightarrow 0 $ как $ x \ rightarrow + \ infty $, и если $ y _ {0} \ in N $, тогда $ y (x, y _ {0}) \ rightarrow 0 $ как $ x \ rightarrow – \ infty $; все остальные решения покидают окрестность начала координат при $ x $ увеличивается или как $ x $ уменьшается.Случай, когда $ P $ имеет собственные значения с нулевыми действительными частями, называется критическим.

Ляпунов дал исчерпывающее описание поведения решений (6) в окрестности начала координат, если постоянная матрица $ P $ имеет одно нулевое или два чисто мнимых собственных значения, все остальные собственные значения имеют отрицательные действительные части, а вектор-функция $ Y $ не зависит от $ x $ и является аналитическим (см. [3]). Основные результаты в локальной качественной теории автономных систем второго порядка принадлежат Пуанкаре, Ляпунову [3], [4], Бендиксону [11] и М.{м / 2} $. Предположим, что состояние равновесия, находящееся в начале координат, является изолированным. Тогда в системе (7) либо существует решение, сходящееся к нулю, либо существует замкнутая траектория в каждой окрестности начала координат. Во втором случае либо все траектории в окрестности начала координат замкнуты (расположение типа центр), либо в любой окрестности начала координат есть замкнутые и незамкнутые траектории (расположение типа центр-фокус). Было показано, что для аналитического $ Y $ и $ Z $ расположение центра фокуса невозможно (см. [20]).

Кроме того, если траектория сходится к началу координат, то либо у нее есть касательная в начале координат, либо полярный угол вдоль нее неограничен. В последнем случае расположение фокусное. Только прямые, на которых величина $ Q _ {m} y – P _ {m} z $ нули могут касаться траекторий, сходящихся к началу координат. Такие линии называются исключительными направлениями. Для достаточно гладкого $ Y $ и $ Z $, разработаны алгоритмы, позволяющие определять наличие и количество траекторий, входящих в начало координат в заданном исключительном направлении.Это позволяет в тех случаях, когда существуют траектории, входящие в начало координат с четко определенной касательной, полностью описать поведение траекторий в окрестности начала координат.

Если исключительные направления отсутствуют или все решения “проходят мимо” (то есть нет траекторий, входящих в начало координат с четко определенной касательной), тогда возникает проблема центра и фокуса.

Зависимость поведения решений от параметров системы.

Одна из центральных проблем качественной теории дифференциальных уравнений – это вопрос о поведении решений системы вблизи заданной в предположении, что свойства последней известны. Рассмотрим систему

$$ \ tag {8} \ frac {dy} {dx} = Y (y, x) + \ mu R (y, x, \ mu), $$

где $ \ mu $ является параметром. Предположим, что порождающая система, т.е. система (8) при $ \ mu = 0 $, обладает некоторой собственностью. Возникает вопрос, сохраняется ли это свойство при малых $ \ mu $.Классическим примером такой проблемы является проблема Пуанкаре (см. [2]) о существовании периодических решений. Предположим, что векторы $ Y $ и $ R $ иметь период $ \ omega $ относительно $ x $ и что порождающая система имеет $ \ omega $ – периодическое решение. В этом случае задача сводится к изучению квазилинейной системы

$$ \ tag {9} \ frac {dy} {dx} = Ау + \ му R (у, х, \ му), $$

где $ A $ постоянная матрица. Оказывается, если собственные значения $ A $ отличны от $ 2 \ pi k i / \ omega $, где $ k $ – целое число, то (9) при достаточно малых $ \ mu $ уникальный $ \ omega $ – периодическое решение $ \ phi (x, \ mu) $, непрерывно в $ \ mu $ и с $ \ phi (x, 0) = 0 $.Если $ A $ имеет собственные значения вида $ 2 \ pi k i / \ omega $, вопрос о существовании и количестве периодических решений существенно зависит от вида возмущения $ R (y, x, \ mu) $. При решении проблемы существования периодических решений для этого случая чрезвычайно полезен метод усреднения (см. Метод усреднения Крылова – Боголюбова).

Аналогичные вопросы можно задавать и для других типов решений: ограниченных, рекуррентных, почти периодических и т. Д.Например, если вектор $ R $ равномерно почти периодична по $ x $ и если все собственные значения $ A $ имеют ненулевые действительные части, то при достаточно малых $ \ mu $ Уравнение (9) имеет единственное почти периодическое решение (см. [21]).

Метод малого параметра (см. Малый параметр, метод) также используется для изучения вопросов существования интегральных множеств для системы (8) с заданными свойствами. С этой точки зрения Н.Н. Боголюбов (см. [21]) рассмотрел следующую систему, важную для приложений:

$$ \ tag {10} \ frac {d \ phi} {d t} знак равно а + \ му \ фи (х, \ фи, т, \ му), $$

$$ \ frac {dx} {dt} = A x + \ mu R (x, \ phi, t, \ mu), $$

где $ \ phi $ это $ k $ – размерный, $ x $ это $ n $ – размерный и $ a $ является константой $ k $ – размерный вектор, и все собственные значения постоянной матрицы $ A $ имеют ненулевые действительные части.Векторы $ R $ и $ \ phi $ имеют период $ 2 \ pi $ в компонентах вектора $ \ phi $. Когда $ \ mu = 0 $, система (10) имеет интегральную поверхность $ x = 0 $. Боголюбов доказал, что при достаточно малых $ \ mu $ ( 10) имеет цельную поверхность

$$ х = е (т, \ фи, \ му), $$

где $ f $ имеет период $ 2 \ pi $ в компонентах $ \ phi $ и $ f (t, \ phi, 0) = 0 $. Кроме того, если $ \ phi $ и $ R $ $ \ omega $ – периодический по $ t $, тогда и $ f $.Если все собственные значения $ A $ имеют отрицательные действительные части, то интегральная поверхность $ x = f $ асимптотически устойчива. Если следует, в частности, что если в системе (8) вектор $ Y $ не зависит от $ x $, а если при $ \ mu = 0 $ эта система имеет периодическое решение, асимптотически устойчивое в первом приближении, то при достаточно малых $ \ mu $ система (8) имеет в $ y, x $ пространство двумерное асимптотически устойчивое цилиндрическое интегральное многообразие.

Список литературы
[3] , , , ,
[1a] H.Пуанкаре, “Mémoire sur les courbes définiés par une équation différentielle” J. de Math. , 7 (1881) стр. 375–422
[1b] Х. Пуанкаре, «Mémoire sur les courbes définiés par une équation différentielle» J. de Math. , 8 (1882) стр. 251–296
[1c] Х. Пуанкаре, “Mémoire sur les courbes définiés par une équation différentielle” J. de Math. , 1 (1885) стр.167–244
[1d] Х. Пуанкаре, “Mémoire sur les courbes définiés par une équation différentielle” J. de Math. , 2 (1886) pp. 151–217
[2] Х. Пуанкаре, «Новые методы механической обработки», 1-3 , Бланшар (1987)
AM Ляпунов, “Устойчивость движения”, Акад. Press (1966)
[4] A.М. Ляпунов, Матем. Сб. , 17 : 2 (1893) стр. 253–333
[5] Г.Д. Биркгоф, «Динамические системы», Amer. Математика. Soc. (1927)
[6] Г.Д. Биркгоф, «Поверхностные преобразования и их динамические приложения» Acta Math. , 43 (1920) стр. 1–119
[7] N.P. Еругин, «Сводимые системы», Москва-Ленинград (1946)
[8] Н.П. Еругин, “Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами”, Акад. Press (1966)
[9] M.G. Флоке, “Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques”, Ann. Sci. Ecole Norm. Как дела. Сер. 2 , 12 (1883) стр. 47–89
[10] J.Ch. Штурм, “Sur les équations linéaires du second ordre”, J.Математика. Pures et Appl. , 1 (1836) pp. 106–186
[11] I. Bendixson, “Sur les Courbes définies par des équations différentielles” Acta Math. , 24 (1901) pp. 1–88
[12] A. Denjoy, “Sur les Courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore” J. Math. Pures et Appl. Сер. 9 , 11 : 3 (1932) стр. 333–375
[13] A.Андронов А. Понтрягин, “Системы брутто” Докл. Акад. АН СССР, , 14 : 5 (1937) с. 247–250
[14] С. Смейл, «Дифференцируемые динамические системы» Бюлл. Амер. Математика. Soc. , 73 (1967) стр. 747–817
[15] В.А. Плисс, “Нелокальные задачи теории колебаний”, Акад. Press (1966)
[16] N.Левинсон, О. Смит, “Общее уравнение релаксационных колебаний” Duke Math. J. , 9 : 2 (1942) стр. 382–403
[17] Дж. Литтлвуд, «О нелинейных дифференциальных уравнениях второго порядка III: уравнение для больших и его обобщения» Acta Математика. , 97 : 3–4 (1957) pp. 267–308
[18] О. Перрон, «Ueber Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungenssysteme» Math.З. , 29 (1928) с. 129–160
[19] М. Фроммер, УМН. НАУК, , 9, (1941), с. 212–253,
[20], , Х. Дюлак, «Предельные значения циклов», Бюлл. Soc. Математика. Франция , 51 (1923) стр. 45–188
[21] N.N. Боголюбов, «О некоторых статистических методах в математической физике», Киев (1945)
[22] V.Немыцкий В. Степанов, “Качественная теория дифференциальных уравнений”, Принстонский ун-т. Press (1960)
[23] А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И. Гордон, А.Г. Майер, “Качественная теория динамических систем второго порядка”, Wiley (1973)
[24] E.A. Коддингтон, Н. Левинсон, “Теория обыкновенных дифференциальных уравнений”, McGraw-Hill (1955)
[25] S.Лефшец, “Дифференциальные уравнения: геометрическая теория”, Interscience (1957)

Для нелинейных систем, зависящих от вектора параметров $ \ mu $,

$$ \ frac {dy} {dx} = Y (y, \ mu), $$

наличие предельных множеств и их тип в зависимости от $ \ mu $ изучается в теории бифуркаций. Помимо ветвления решений стационарного уравнения (положений равновесия) можно также анализировать периодические, квазипериодические и хаотические решения.В точке бифуркации новый набор пределов может разветвляться, и наборы пределов могут переходить из стабильного в нестабильное или наоборот, см. [A1]. Новым шагом в качественной теории дифференциальных уравнений является переход к нормальной форме. Вблизи равновесия или периодического решения можно разложить правую часть уравнения в степенной ряд. Сделав усечение, можно преобразовать систему к одной из стандартных форм, которые классифицируются по способу элементарных катастроф, см. [A2].Более того, анализ траекторий вблизи положения равновесия может быть ограничен траекториями, образующими многообразие, которое в состоянии равновесия касается собственного пространства собственных значений с исчезающими действительными частями. Такой подход называется теорией центрального многообразия, см. [A3]. Открытие хаотической динамики нелинейных систем внесло новые элементы в теорию дифференциальных уравнений. О существовании непериодических решений уравнения типа Ван-дер-Поля с периодическим воздействием см. [A4].Для диссипативных систем существуют устойчивые непериодические предельные множества, известные как странные аттракторы (см. Странный аттрактор), см. [A5]. Общее введение в качественную теорию обыкновенных дифференциальных уравнений см. В [a6].

Список литературы
[a1] S.-N. Чоу, Дж. Хейл, “Методы теории бифуркаций”, Springer (1982)
[a2] В.И. Арнольд, “Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Springer (1983)
[a3] J.Карр, «Приложения теории центрального многообразия», Springer (1981)
[a4] М. Леви, «Качественный анализ периодически вынужденных релаксационных колебаний» Memoires Amer. Математика. Soc. , 244 (1981)
[a5] Дж. Гукенхаймер, П. Холмс, «Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей», Springer (1983)
[ a6] F. Verhulst, “Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы”, Springer (1990)
[a7] D.Аносов В.И. (ред.) В.И. Арнольд (ред.), Динамические системы , I: Обыкновенные дифференциальные уравнения и гладкие динамические системы , Springer (1988)
[a8] В.И. Арнольд, «Динамические системы», III , Springer (1988)
[a9] J.K. Хейл, “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, Wiley (1969)

Как процитировать эту статью:
Качественная теория дифференциальных уравнений. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Qualitative_theory_of_differential_equations&oldid=48367

математика | Определение, история и значение

Математика , наука о структуре, порядке и отношениях, которая возникла из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов. Он имеет дело с логическим рассуждением и количественным расчетом, и его развитие повлекло за собой все большую степень идеализации и абстракции предмета.С 17 века математика была незаменимым дополнением к физическим наукам и технологиям, а в последнее время она стала играть аналогичную роль в количественных аспектах наук о жизни.

Британская викторина

Математика: факт или вымысел?

Сойдутся ли в конце концов параллельные линии? Есть ли у прямоугольника три прямых угла? В этой математической викторине отсортируйте факты от вымысла и посмотрите, все ли у вас есть правильные ответы.

Во многих культурах – под влиянием потребностей практических занятий, таких как торговля и сельское хозяйство, – математика далеко вышла за рамки простого счета. Этот рост был самым большим в обществах, достаточно сложных, чтобы поддерживать эту деятельность и предоставлять досуг для размышлений и возможность опираться на достижения более ранних математиков.

Все математические системы (например, евклидова геометрия) представляют собой комбинации наборов аксиом и теорем, которые могут быть логически выведены из аксиом.Исследования логической и философской основы математики сводятся к вопросу о том, обеспечивают ли аксиомы данной системы ее полноту и непротиворечивость. Для полного рассмотрения этого аспекта, см. Математику , основы.

Эта статья посвящена истории математики с древнейших времен до наших дней. Вследствие экспоненциального роста науки большая часть математики развивалась с 15 века нашей эры, и историческим фактом является то, что с 15 века до конца 20 века новые разработки в математике были в основном сконцентрированы в Европе и Северной Америке. .По этим причинам основная часть данной статьи посвящена европейским разработкам с 1500 года.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Это, однако, не означает, что события в других местах были несущественными. Действительно, чтобы понять историю математики в Европе, необходимо знать ее историю, по крайней мере, в древней Месопотамии и Египте, в Древней Греции и в исламской цивилизации с 9 по 15 века. То, как эти цивилизации влияли друг на друга, и важный непосредственный вклад Греции и ислама в более поздние события обсуждаются в первых частях этой статьи.

Вклад Индии в развитие современной математики был сделан благодаря значительному влиянию достижений Индии на исламскую математику в годы ее становления. Отдельная статья, «Математика Южной Азии», посвящена ранней истории математики на Индийском субконтиненте и развитию там современной десятичной системы счисления с разрядами. Статья «Восточноазиатская математика» охватывает в основном независимое развитие математики в Китае, Японии, Корее и Вьетнаме.

Основным разделам математики посвящено несколько статей. См. Алгебру ; анализ; арифметика; комбинаторика; теория игры; геометрия; теория чисел; численный анализ; оптимизация; теория вероятности; теория множеств; статистика; тригонометрия.

Дифференциальное уравнение | Britannica

Дифференциальное уравнение , математическое утверждение, содержащее одну или несколько производных, то есть членов, представляющих скорости изменения непрерывно изменяющихся величин.Дифференциальные уравнения очень распространены в науке и технике, а также во многих других областях количественного исследования, потому что то, что можно непосредственно наблюдать и измерять для систем, претерпевающих изменения, – это скорость их изменения. Решение дифференциального уравнения, как правило, представляет собой уравнение, выражающее функциональную зависимость одной переменной от одной или нескольких других; обычно он содержит постоянные члены, которых нет в исходном дифференциальном уравнении. Другими словами, решение дифференциального уравнения дает функцию, которую можно использовать для прогнозирования поведения исходной системы, по крайней мере, в пределах определенных ограничений.

Подробнее по этой теме

анализ: Ньютон и дифференциальные уравнения

… применение анализа – это дифференциальные уравнения, которые связывают скорости изменения различных величин с их текущими значениями, …

Дифференциальные уравнения подразделяются на несколько широких категорий, которые, в свою очередь, делятся на множество подкатегорий.Наиболее важными категориями являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Когда функция, входящая в уравнение, зависит только от одной переменной, ее производные являются обыкновенными производными, а дифференциальное уравнение классифицируется как обыкновенное дифференциальное уравнение. С другой стороны, если функция зависит от нескольких независимых переменных, так что ее производные являются частными производными, дифференциальное уравнение классифицируется как уравнение в частных производных. Ниже приведены примеры обыкновенных дифференциальных уравнений:

В них y обозначает функцию, а t или x является независимой переменной.Символы k и m используются здесь для обозначения определенных констант.

Каким бы ни был тип, дифференциальное уравнение считается имеющим n -й порядок, если оно включает производную n -го порядка, но не имеет производной более высокого порядка. Уравнение является примером уравнения в частных производных второго порядка. Теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных заметно различаются, и по этой причине эти две категории рассматриваются отдельно.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Вместо одного дифференциального уравнения объектом исследования может быть одновременная система таких уравнений. Формулировка законов динамики часто приводит к таким системам. Во многих случаях одно дифференциальное уравнение n -го порядка предпочтительно заменяется системой n одновременных уравнений, каждое из которых имеет первый порядок, так что можно применять методы линейной алгебры.

Обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором, например, функция и независимая переменная обозначены как y и x , по сути, является неявным обобщением основных характеристик y как функции x . Предположительно, эти характеристики были бы более доступны для анализа, если бы можно было получить явную формулу для y . Такая формула или, по крайней мере, уравнение в x и y (без производных), которое выводится из дифференциального уравнения, называется решением дифференциального уравнения.Процесс вывода решения из уравнения с помощью приложений алгебры и исчисления называется решением или интегрированием уравнения. Следует, однако, отметить, что дифференциальные уравнения, которые могут быть решены в явном виде, составляют незначительное меньшинство. Таким образом, большинство функций необходимо изучать косвенными методами. Даже его существование должно быть доказано, когда нет возможности предъявить его для проверки. На практике методы численного анализа с использованием компьютеров используются для получения полезных приближенных решений.

Теория, методика и практика с границами Va

Содержание

Что такое дифференциальное уравнение?
Вступительные замечания
Вкус обыкновенных дифференциальных уравнений
Природа решений
Разделимые уравнения
Линейные уравнения первого порядка
Точные уравнения
траекторий Ортогональные кривые
Однородные уравнения
Интегрирующие факторы
Уменьшение порядка
Висячие цепи и кривые преследования
Электрические цепи
Анатомия приложения
Проблемы для обзора и обнаружения

Линейные уравнения второго порядка
Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Метод неопределенных коэффициентов
Метод изменения параметров
Использование известного решения для поиска других
Вибрация Колебания
Закон тяготения Ньютона и законы Кеплера
Уравнения высшего порядка
Историческая справка: Эйлер
Анатомия приложения
Проблемы для обзора и открытия

Решения и специальные функции степенного ряда
Введение и обзор степенного ряда
Решения серии
уравнений первого порядка
Линейные уравнения второго порядка: обыкновенные точки
Правильные особые точки
Подробнее о регулярных особых точках
Гипергеометрическое уравнение Гаусса
Историческая заметка: Гаусс
Историческая заметка: Абель
Анатомия приложения
Проблемы для просмотра и обнаружения

Численные методы
Вводные замечания
Метод Эйлера
Член ошибки
Улучшенный метод Эйлера
Метод Рунге – Кутта
Анатомия проблемы обнаружения 9

Ряд Фурье: основные понятия
Коэффициенты Фурье
Некоторые замечания о сходимости
Четные и нечетные функции: ряды косинуса и синуса
Ряды Фурье с произвольными интервалами
Ортогональные функции
Историческое примечание: проблемы анатомии Римана
для обзора и открытия

Задачи Штурма – Лиувилля и краевые задачи
Что такое задача Штурма – Лиувилля?
Анализ задачи Штурма – Лиувилля
Приложения теории Штурма – Лиувилля
Сингулярный Штурм – Лиувилля
Анатомия приложения
Задачи для просмотра и обнаружения

Уравнения с частными производными и задачи с граничными значениями
Введение и исторические замечания
Собственные значения, собственные функции и колеблющаяся струна
Уравнение тепла
Задача Дирихле для диска
Историческая записка Фурихле
Историческая справка: Дирихле
Проблемы для просмотра и обнаружения
Анатомия приложения

Преобразования Лапласа
Введение
Приложения к дифференциальным уравнениям
Производные и интегралы преобразований Лапласа
Свертки
Единичные ступенчатые и импульсные функции
Аналитическое приложение
Историческое приложение
Задачи для просмотра и обнаружения

Системы уравнений первого порядка
Вводные замечания
Линейные системы
Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами
Нелинейные системы: уравнения Хищника-жертвы Вольтерры
Анатомия 9 для приложения Дискавери

Нелинейная теория
Некоторые мотивирующие примеры
Специализация
Типы критических точек: стабильность
Критические точки и устойчивость линейных систем
Устойчивость по прямому методу систем Ляпунова Простые
критических точек Простые
критических точек
Нелинейная механика: консервативные системы
Периодические решения: теорема Пуанкаре – Бендиксона
Историческая справка: Пуанкаре
Анатомия приложения
Проблемы для обзора и открытия

Приложение: Обзор линейной алгебры

Глава IV.Теория обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

Аннотация

В этой главе рассматривается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, как линейных, так и нелинейных.

В разделах 1–4 устанавливаются теоремы существования и единственности обыкновенных дифференциальных уравнений. В первом разделе приведены некоторые примеры уравнений первого порядка, в основном нелинейных, для иллюстрации определенных типов поведения решений. Во втором разделе показано, что при наличии непрерывности векторнозначного $ F $, удовлетворяющего «условию Липшица», система первого порядка $ y ‘= F (t, y) $ имеет единственное локальное решение, удовлетворяющее начальному условие $ y (t_0) = y_0 $.Уравнения {th} $ – порядка как частный случай. Раздел 3 показывает, что решения системы хорошо зависят от начального условия и любых параметров, которые присутствуют в $ F $. В разделе 4 эти результаты применяются к существованию интегральных кривых для векторного поля и к построению систем координат из семейств интегральных кривых.

Разделы 5–8 относятся к линейным системам. Раздел 5 показывает, что локальные решения линейных систем могут быть расширены до глобальных решений и что в однородном случае векторное пространство глобальных решений имеет размерность, равную размеру системы.{th} $ – линейные уравнения и линейные системы первого порядка. «Жорданова каноническая форма» квадратной матрицы играет роль в случае системы. В разделе 8 обсуждаются решения в виде степенных рядов однородных линейных уравнений второго порядка, коэффициенты которых задаются сходящимися степенными рядами, а также решения, возникающие в случае регулярных особых точек. Упоминаются два вида специальных функций, которые являются результатом этого исследования – многочлены Лежандра и функции Бесселя.

Информация

Опубликовано: 1 января 2016 г.

Впервые доступно в Project Euclid: 26 июля 2018 г.

Идентификатор цифрового объекта: 10.3792 / euclid / 9781429799997-4

Права: Copyright © 2016, Энтони В. Кнапп.

Дифференциальные уравнения алгебраической теории | Дифференциальные и интегральные уравнения, динамические системы и управление

  • Интеграция дифференциальных уравнений – центральная проблема математики, и несколько подходов были разработаны на основе изучения аналитических, алгебраических и алгоритмических аспектов предмета.Одна из них – это дифференциальная теория Галуа, разработанная Колчиным и его школой, а другая берет свое начало от теории солитонов и метода обратных спектральных преобразований, который родился в работах Крускала, Забуски, Гарднера, Грина и Миуры. Также было разработано много других подходов, но до сих пор между ними нет пересечения. Это уникальное введение в предмет, наконец, сводит их вместе с целью инициирования взаимодействия и сотрудничества между этими различными математическими сообществами.Коллекция включает курс приглашенных лекций LMS Майкла Ф. Сингера, а также несколько более коротких курсов лекций и обзорных статей, основанных на мини-программе, проводимой в Международном центре математических наук (ICMS) в Эдинбурге.

    • Содержит курс приглашенных лекций LMS профессора Майкла Ф. Сингера
    • Объединяет различные подходы к проблеме интегрируемости
    • Введение, подходящее для аспирантов и академических исследователей
    Подробнее

    Обзоры и подтверждения

    ‘… полезная книга, которая служит введением как в теорию Галуа (линейных) дифференциальных уравнений, так и в некоторые другие алгебраические подходы к таким уравнениям .Библиотеки обязательно захотят иметь копию ». MAA Reviews

    ‘… полезно для дипломированных математиков, работающих с дифференциальными системами и их инвариантами. Текст охватывает большую область исследования на относительно небольшом количестве страниц и содержит множество примеров ». Информационный бюллетень EMS

    Больше отзывов

    Отзывы клиентов

    Еще не рассмотрено

    Оставьте отзыв первым

    Отзыв не размещен из-за ненормативной лексики

    ×

    Подробная информация о продукте

    • Дата публикации: декабрь 2008 г.
    • формат: Мягкая обложка
    • isbn: 9780521720083
    • длина: 248 страниц
    • размеры: 228 x 152 x 13 мм
    • вес: 0.35кг
    • наличие: в наличии
  • Содержание

    Предисловие
    1. Теория Галуа линейных дифференциальных уравнений Майкл Ф. Сингер
    2. Решение в замкнутой форме Феликс Ульмер и Жак-Артур Вейль
    3. Факторизация линейных систем Сергей П. Царев
    4. Введение к D-модулям Антон Лейкин
    5. Символьное представление и классификация интегрируемых систем А. В. Михайлов, В. С. Новиков, Цзин Пинг Ван
    6. Поиск интегрируемых (P) ДУ Ярмо Хиетаринта
    7.Вокруг дифференциальной теории Галуа Ананд Пиллэй.

  • Редакторы

    Малькольм А. Х. Маккаллум , Лондонский университет королевы Марии
    Малькольм А. Х. Маккаллум – профессор прикладной математики Лондонского университета королевы Марии.

    Александр В. Михайлов , Университет Лидса
    Александр В. Михайлов – профессор математической физики в Университете Лидса.

    Участники

    Майкл Ф.Певец, Феликс Ульмер, Жак-Артур Вейль, Сергей П. Царев, Антон Лейкин, А.В. Михайлов, В.С. Новиков, Цзин Пинг Ван, Ярмо Хиетаринта, Ананд Пиллэй

  • стр. Не найдена – Williams College

    ’62 Center for Театр и танец, 62 Центр
    Касса 597-2425
    Магазин костюмов 597-3373
    Менеджер мероприятий / Помощник менеджера 597-4808 597-4815 факс
    Производство 597-4474 факс
    Магазин сцен 597-2439
    ’68 Центр карьерного роста, Мирс 597-2311 597-4078 факс
    Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс
    Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672
    Прием, Вестон-холл 597-2211 597-4052 факс
    Программа позитивных действий, Хопкинс-холл, 597-4376
    Africana Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс
    Архивы и особые коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс
    Читальный зал 597-4200
    Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art / Lawrence 597-3578 597-3693 факс
    Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134
    Фотография Студия, Spencer Studio Art 597-2030
    Printmaking Studio, Spencer Studio Art 597-2496
    Скульптурная студия, Spencer Studio Art 597-3101
    Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224
    Видео / фотостудия, Spencer Studio Art 597-3193
    Азиатские исследования, Холландер 597-2391 597-3028 факс
    Астрономия / Астрофизика, Thompson Physics 597-2482 597-3200 факс
    Департамент легкой атлетики, физическое воспитание, отдых, Ласелл 597-2366 597-4272 факс
    Спортивный директор 597-3511
    Лодочный домик, Озеро Онота 443-9851
    Автобусы 597-2366
    Фитнес-центр 597-3182
    Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman 597-2433
    Intramurals, Атлетический центр Чандлера 597-3321
    Физическая культура 597-2141
    Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера 597-2419
    Sports Information, Hopkins Hall 597-4982 597-4158 факс
    Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс
    Площадки для игры в сквош 597-2485
    Поле для гольфа Taconic 458-3997
    Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology 597-2126
    Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124
    Биология, Thompson Biology 597-2126 597-3495 факс
    Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс
    Карты доступа / системы сигнализации 597-4970 / 4033
    Служба сопровождения, Хопкинс-холл 597-4400
    Офицеры и диспетчеры 597-4444
    Секретарь, удостоверения личности 597-4343
    Коммутатор 597-3131
    Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093
    Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс
    Компьютерный зал 597-2522
    Вестибюль 597-4383
    Центр экологических исследований, класс 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс
    Лаборатория наук об окружающей среде, Морли 597-2380
    Экологические исследования 597-2346
    Лаборатория ГИС 597-3183
    Центр иностранных языков, литератур и культур, Холландер 597-2391 597-3028 факс
    Арабоведение, Холландер 597-2391 597-3028 факс
    Сравнительная литература, Холландер 597-2391
    Критические языки, Холландер 597-2391 597-3028 факс
    Языковая лаборатория 597-3260
    Россия, Холландер 597-2391
    Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс
    Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс
    Читальный зал 597-4200
    Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс
    Еврейский религиозный центр, 24 Стетсон Корт 597-2483
    Мусульманская молельная комната, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
    Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
    Химия, Thompson Chemistry 597-2323 597-4150 факс
    Классика (греческий и латинский), Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Когнитивная наука, Бронфман 597-4594
    Маршал колледжа, Thompson Physics 597-2008
    Отношения с колледжем 597-4057
    Программа 25-го воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс
    Программа 50-го воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс
    Advancement Operations, Мирс-Вест 597-4154 597-4333 факс
    Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс
    Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс
    Связи с выпускниками, Мирс Вест 597-4151 597-4178 факс
    Почтовые службы для выпускников / разработчиков, Мирс-Уэст 597-4369
    Девелопмент, Vogt 597-4256
    Отношения с донорами, Vogt 597-3234 597-4039 факс
    Офис по планированию подарков, Vogt 597-3538 597-4039 факс
    Grants Office, Мирс-Уэст 597-4025 597-4333 факс
    Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс
    Parents Fund, Vogt 597-4357 597-4036 факс
    Prospect Management & Research, Мирс 597-4119 597-4178 факс
    Начало занятий и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс
    Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс
    Sports Information, Hopkins Hall 597-4982 597-4158 факс
    Веб-команда, Саутвортская школа
    Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278
    Компьютерные науки, Thompson Chemistry 597-3218 597-4250 факс
    Conferences & Events, Парески 597-2591 597-4748 факс
    Запросы Elm Tree House, Mt.Хоуп Фарм 597-2591
    Офис контролера, Хопкинс Холл 597-4412 597-4404 факс
    Счета к оплате и ввод данных, Хопкинс-холл 597-4453
    Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall 597-4396
    Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл 597-4023
    Purchasing Cards, Hopkins Hall 597-4413
    Студенческие ссуды, Хопкинс Холл 597-4683
    Dance, 62 Центр 597-2410
    Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс 597-3340 597-3456 факс
    Харди Хаус 597-2129
    Jenness House 597-3344
    Райс Хаус 597-2453
    Декан колледжа, Хопкинс-холл 597-4171 597-3507 факс
    Декан факультета Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс
    Столовая, капельницы 597-2121 597-4618 факс
    ’82 Гриль, Парески 597-4585
    Кондитерская, Парески 597-4511
    Общественное питание, факультет 597-2452
    Driscoll Dining Hall, Дрисколл 597-2238
    Eco Café, Научный центр 597-2383
    Grab ‘n Go, Парески 597-4398
    Lee Snack Bar, Парески 597-3487
    Обеденный зал Mission Park, Mission Park 597-2281
    Whitmans ‘, Парески 597-2889
    Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс
    Английский, Холландер 597-2114 597-4032 факс
    Сооружения, здание служебного помещения 597-2301
    College Car Request 597-2302
    Экстренная ситуация вечером / в выходные дни 597-4444
    Запросы на работу производственных помещений 597-4141 факс
    Особые мероприятия 597-4020
    Кладовая 597-2143 597-4013 факс
    Клуб преподавателей, Дом факультетов / Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс
    Бронирование 597-3089
    Fellowships Office, Hopkins Hall 597-3044 597-3507 факс
    Financial Aid, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс
    Geosciences, Clark Hall 597-2221 597-4116 факс
    Немецко-русский, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Глобальные исследования, Холландер 597-2247
    Программа магистратуры по истории искусств, Кларк 458-2317 факс
    Службы здравоохранения и хорошего самочувствия, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс
    Санитарное просвещение 597-3013
    Услуги интегративного благополучия (консультирование) 597-2353
    Чрезвычайные ситуации с угрозой жизни Позвоните 911
    Медицинские услуги 597-2206
    История, Холландер 597-2394 597-3673 факс
    История науки, Бронфман 597-4116 факс
    Лес Хопкинса 597-4353
    Центр Розенбурга 458-3080
    Отдел кадров, B&L Building 597-2681 597-3516 факс
    Услуги няни, корпус B&L 597-4587
    Льготы 597-4355
    Программа помощи сотрудникам 800-828-6025
    Занятость 597-2681
    Заработная плата 597-4162
    Ресурсы для супруга / партнера 597-4587
    Занятость студентов 597-4568
    Погодная линия (ICEY) 597-4239
    Humanities, Schapiro 597-2076
    Информационные технологии, Jesup 597-2094 597-4103 факс
    Пакеты для чтения курса, Drop Box для офисных услуг 597-4090
    Центр аренды оборудования, Додд Приложение 597-4091
    Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [электронная почта] 597-4090
    Медиа-сервисы и справочная служба 597-2112
    Служба поддержки студентов, [электронная почта] 597-3088
    Телекоммуникации / Телефоны 597-4090
    Междисциплинарные исследования, Холландер 597-2552
    Международное образование и учеба, Хопкинс-холл 597-4262 597-3507 факс
    Инвестиционный офис, Хопкинс Холл 597-4447
    Бостонский офис 617-502-2400 617-426-5784 факс
    Еврейские исследования, Мазер 597-3539
    Правосудие и закон, Холландер 597-2102
    Latina / o Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Исследования лидерства, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Морские исследования, Бронфман 597-2297
    Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс
    Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс
    Concertline (записанная информация) 597-3146
    Неврология, Thompson Biology 597-4107 597-2085 факс
    Окли Центр, Окли 597-2177 597-4126 факс
    Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл 597-4376 597-4015 факс
    Управление счетов студентов, Хопкинс-холл 597-4396 597-4404 факс
    Performance Studies, ’62 Center 597-4366
    Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Физика, Thompson Physics 597-2482 597-4116 факс
    Планетарий / Обсерватория Хопкинса 597-3030
    Театр старой обсерватории Хопкинса 597-4828
    Бронирование 597-2188
    Политическая экономия, Шапиро 597-2327
    Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс
    Офис президента, Хопкинс-холл 597-4233 597-4015 факс
    Дом Президента 597-2388 597-4848 факс
    Услуги печати / почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House 597-2022
    Программа обучения, Бронфман 597-4522 597-2085 факс
    Офис Провоста, Хопкинс Холл 597-4352 597-3553 факс
    Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс
    Недвижимость, B&L Building 597-2195 / 4238 597-5031 факс
    Ипотека для преподавателей / сотрудников 597-4238
    Арендное жилье для преподавателей / сотрудников 597-2195
    Офис регистратора, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс
    Религия, Холландер 597-2076 597-4222 факс
    Romance Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Планировщик помещений 597-2555
    Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 Дом 597-3003
    Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс
    Службы доступа 597-2501
    Приобретения / Серийные номера 597-2506
    Службы каталогизации / метаданных 597-2507
    Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс
    Исследовательские и справочные службы 597-2515
    Стеллаж 597-4955 597-4948 факс
    Системы 597-2084
    Научная библиотека Шоу, Научный центр 597-4500 597-4600 факс
    Исследования в области науки и технологий, Бронфман 597-2239
    Научный центр, Бронфман 597-4116 факс
    Магазин электроники 597-2205
    Машинно-модельный цех 597-2230
    Безопасность 597-4444
    Специальные академические программы, Харди 597-3747 597-4530 факс
    Sports Information, Hopkins Hall 597-4982 597-4158 факс
    Студенческая жизнь, Парески 597-4747
    Планировщик помещений 597-2555
    Управление студенческими центрами 597-4191
    Организация студенческих мероприятий 597-2546
    Студенческий дом, Парески 597-2555
    Участие студентов 597-4749
    Программы проживания для старших классов 597-4625
    Студенческая почта, Паресский почтовый кабинет 597-2150
    Центр устойчивого развития / Зилха Центр, Харпер 597-4462
    Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131
    Книжный магазин Williams 458-8071 458-0249 факс
    Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс
    Trust & Estate Administration, Sears House 597-4259
    Учебники 597-2580
    вице-президент по кампусной жизни, Хопкинс-холл 597-2044 597-3996 факс
    Вице-президент по связям с колледжем, Мирс 597-4057 597-4178 факс
    Вице-президент по финансам и администрированию, Hopkins Hall 597-4421 597-4192 факс
    Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс
    Детский центр Williams College, Детский центр Williams 597-4008 597-4889 факс
    Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс
    Подготовка музея 597-2426
    Служба безопасности музея 597-2376
    Музейный магазин 597-3233
    Уильямс Интернэшнл 597-2161
    Williams Outing Club, Парески 597-2317
    Оборудование / стол для студентов 597-4784
    Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Вест 597-2192
    Williams Record, Парески 597-2400 597-2450 факс
    Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345
    Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum 860-572-5359 860-572-5329 факс
    Исследования женщин, гендера и сексуальности, Schapiro 597-3143 597-4620 факс
    Написание программ, Hopkins Hall 597-4615
    Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер 597-4462
    .

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *