Гироскопы с примерами решения задач
Гироскопы.Свободный гироскоп.
Гироскоп – это массивное аксиально-симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии.
В этом случае моменты всех внешних сил, включая и силу тяжести, относительно центра масс гироскопа равны нулю. Это можно реализовать, например, поместив гироскоп в карданов подвес, изображенный на рис.89.
Рис.89
При этом
, , (1)
и момент импульса сохраняется:
(2)
Гироскоп ведет себя так же, как и свободнее тело вращения. В зависимости от начальных условий возможны два варианта поведения гироскопа:
1. Если гироскоп раскручен вокруг оси симметрии, то направления момента импульса и угловой скорости совпадают:
(3)
и направление оси симметрии гироскопа остается неизменным. В этом можно убедиться, поворачивая подставку, на которой расположен карданов подвес – при произвольных поворотах подставки ось гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве. По этой же причине волчок, “запущенный” на листе картона и подброшенный вверх (рис.90), сохраняет направление своей оси во время полета, и, падая острием на картон, продолжает устойчиво вращаться, пока не израсходуется запас его кинетической энергии.
Рис.90
Свободный гироскоп, раскрученный вокруг оси симметрии, обладает весьма значительной устойчивостью. Из основного уравнения моментов следует, что изменение момента импульса
(4)
Если интервал времени мал, то и мало, то есть при кратковременных воздействиях даже очень больших сил движение гироскопа изменяется незначительно. Гироскоп как бы сопротивляется попыткам изменить его момент импульса и кажется “затвердевшим”.
Возьмем гироскоп конусообразной формы, опирающийся на стержень подставки в своем центре масс О (рис. 91). Если тело гироскопа не вращается, то оно находится в состоянии безразличного равновесия, и малейший толчок сдвигает его с места. Если же это тело привести в быстрое вращение вокруг своей оси, то даже сильные удары деревянным молотком не смогут сколько-нибудь значительно изменить направление оси гироскопа в пространстве. Устойчивость свободного гироскопа используется в различных технических устройствах, например, в автопилоте.
Рис.91
2. Если свободный гироскоп раскручен так, что вектор мгновенной угловой скорости и ось симметрии гироскопа не совпадают (как правило, это несовпадение при быстром вращении бывает незначительным), то наблюдается движение, описанное как “свободная регулярная прецессия”. Применительно же к гироскопу его называют нутацией. При этом ось симметрии гироскопа, векторы и лежат в одной плоскости, которая вращается вокруг направления с угловой скоростью, равной где – момент инерции гироскопа относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии. Эта угловая скорость (назовем ее скоростью нутации) при быстром собственном вращении гироскопа оказывается достаточно большой, и нутация воспринимается глазом как мелкое дрожание оси симметрии гироскопа.
Нутационное движение легко продемонстрировать с помощью гироскопа, показанного на рис. 91 – оно возникает при ударах молотком по стержню вращающегося вокруг своей оси гироскопа. При этом чем сильнее раскручен гироскоп, тем больше его момент импульса – тем больше скорость нутации и тем “мельче” дрожания оси фигуры. Этот опыт демонстрирует еще одну характерную особенность нутации – с течением времени она постепенно уменьшается и исчезает. Это – следствие неизбежного трения в опоре гироскопа.
Наша Земля – своего рода гироскоп, и ей тоже свойственно нутационное движение. Это связано с тем, что Земля несколько приплюснута с полюсов, в силу чего моменты инерции относительно оси симметрии и относительно оси, лежащей в экваториальной плоскости различаются. При этом а . В системе отсчета, связанной с Землей, ось вращения движется по поверхности конуса вокруг оси симметрии Земли с угловой скоростью , то есть она совершает один оборот примерно за 300 дней. На самом деле в силу, как предполагается, неабсолютной жесткости Земли, это время оказывается больше – оно составляет около 440 суток. При этом расстояние точки земной поверхности, через которую проходит ось вращении, от точки, через которую проходит ось симметрии (Северный полюс), равно всего нескольким метрам. Нутационное движение Земли не затухает – по-видимому, его поддерживают сезонные изменения, происходящие на поверхности
Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Элементарная теория.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления. Опыты показывают, что в этом случае гироскоп ведет себя весьма необычным образом.
Если к оси шарнирно закрепленного в точке О гироскопа (рис. 92) прикрепить пружину и тянуть за нее вверх с силой , то ось гироскопа будет перемещаться не в направлении силы, а перпендикулярно к ней, вбок. Это движение называется прецессией гироскопа под действием внешней силы.
Рис.92
Опытным путем можно установить, что угловая скорость прецессии зависит не только от величины силы (рис.92), но и от того, к какой точке оси гироскопа эта сила приложена: с увеличением и ее плеча относительно точки закрепления О скорость прецессии увеличивается. При этом оказывается, что чем сильнее раскручен гироскоп, тем меньше угловая скорость прецессии при данных и .
В качестве силы , вызывающей прецессию, может выступать сила тяжести, если точка закрепления гироскопа не совпадает с центром масс. Так, если стержень с быстро вращающимся диском подвесить на нитке (рис. 93), то он не опускается вниз, как это можно было бы предположить, а совершает прецессионное движение вокруг нитки. Наблюдение прецессии гироскопа под действием силы тяжести в некотором смысле даже удобнее – линия действия силы “автоматически” смещается вместе с осью гироскопа, сохраняя свою ориентацию в пространстве.
Рис.93
Можно привести и другие примеры прецессии – например, движение оси хорошо известной детской игрушки – юлы с заостренным концом (рис.94). Юла, раскрученная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести (рис.94).
Рис.94
Точное решение задачи о движении гироскопа в поле внешних сил довольно выражение для угловой скорости прецессии можно легко получить в рамках так называемой элементарной теории гироскопа. В этой теории делается допущение, что мгновенная угловая скорость вращения гироскопа и его момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа. Другими словами, предполагается, что угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси значительно больше угловой скорости прецессии:
(5)
так что вкладом в , обусловленным прецессионным движением гироскопа, можно пренебречь. В этом приближении момент импульса гироскопа, очевидно, равен
(6)
где – момент инерции относительно оси симметрии.
Итак, рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 95).
Рис.95
Момент силы тяжести относительно точки S
(7)
где – угол между вертикалью и осью симметрии гироскопа. Вектор M направлен по нормали к плоскости, в которой лежат ось симметрии гироскопа и вертикаль, проведенная через точку S (рис. 95). Сила реакции опоры проходит через S, и ее момент относительно этой точки равен нулю.
Изменение момента импульса L определяется выражением
(8)
При этом и L, и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью . Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие (5) и что Lпостоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа. Из рис.95 следует, что
(9)
В векторном виде
(10)
Сравнивая (8) и (10), получаем следующую связь между моментом силы M, моментом импульса L и угловой скоростью прецессии :
(11)
Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси.
Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное “выключение” M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.
Сила, вызывающая прецессионное движение, может иметь любую природу. Для поддержания этого движения важно, чтобы вектор момента силы M поворачивался вместе с осью гироскопа. Как уже было отмечено, в случае силы тяжести это достигается автоматически. При этом из (11) (см. также рис. 95) можно получить:
(12)
Если учесть, что в нашем приближении справедливо соотношение (6), то для угловой скорости прецессии получим
(13)
Следует отметить, что не зависит от угла наклона оси гироскопа и обратно пропорциональна , что хорошо согласуется с опытными данными.
Прецессия гироскопа пол действием внешних сил. Отход от элементарной теории. Нутации.
Опыт показывает, что прецессионное движение гироскопа под действием внешних сил в общем случае сложнее, чем то, которое было описано выше в рамках элементарной теории. Если сообщить гироскопу толчок, изменяющий угол (см. рис.95), то прецессия перестанет быть равномерной (часто говорят: регулярной), а будет сопровождаться мелкими вращениями и дрожаниями вершины гироскопа – нутациями. Для их описания необходимо учесть несовпадение вектора полного момента импульса L, мгновенной угловой скорости вращения и оси симметрии гироскопа.
Точная теория гироскопа выходит за рамки курса общей физики. Из соотношения следует, что конец вектора L движется в направлении M, то есть перпендикулярно к вертикали и к оси гироскопа. Это значит, что проекции вектора L на вертикаль и на ось гироскопа остаются постоянными. Еще одной постоянной является энергия
(14)
где – кинетическая энергия гироскопа. Выражая , и через углы Эйлера и их производные, можно, с помощью уравнений Эйлера, описать движение тела аналитически.
Результат такого описания оказывается следующим: вектор момента импульса L описывает неподвижный в пространстве конус прецессии, и при этом ось симметрии гироскопа движется вокруг вектора L по поверхности конуса нутаций. Вершина конуса нутаций, как и вершина конуса прецессии, находится в точке закрепления гироскопа, а ось конуса нутаций совпадает по направлению с L и движется вместе с ним. Угловая скорость нутаций определяется выражением
, (15)
где и – моменты инерции тела гироскопа относительно оси симметрии и относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной оси симметрии, – угловая скорость вращения вокруг оси симметрии.
Таким образом, ось гироскопа участвует в двух движениях: нутационном и прецессионном. Траектории абсолютного движения вершины гироскопа представляют собой замысловатые линии, примеры которых представлены на рис. 96.
Рис.96
Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от начальных условий. В случае рис. 96,а гироскоп был раскручен вокруг оси симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и осторожно отпущен. В случае рис. 96,б ему, кроме того, был сообщен некоторый толчок вперед, а в случае рис. 96,в – толчок назад по ходу прецессии. Кривые на рис. 96 вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или иную сторону. И лишь сообщивгироскопу начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза.
Может показаться странным: почему гироскоп, будучи раскручен, установлен под углом к вертикали и отпущен, не падает под действием силы тяжести, а движется вбок? Откуда берется кинетическая энергия прецессионного движения?
Ответы на эти вопросы можно получить только в рамках точной теории гироскопам. На самом деле гироскоп действительно начинает падать, а прецессионное движение появляется как следствие закона сохранения момента импульса. В самом деле, отклонение оси гироскопа вниз приводит к уменьшению проекции момента импульса на вертикальное направление. Это уменьшение должно быть скомпенсировано моментом импульса, связанным с прецессионным движением оси гироскопа. С энергетической точки зрения кинетическая энергия прецессии появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопам.
Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после “запуска” гироскопа нутации исчезают и остается чистая прецессия (рис. 97). При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали оказывается больше, чем он был вначале , то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается. Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь возможность прецессировать вокруг вертикальной оси.
Рис.97
Гироскопические силы.
Обратимся к простому опыту: возьмем в руки вал АВ с насаженным на него колесом С (рис. 98). Пока колесо не раскручено, не представляет никакого труда поворачивать вал в пространстве произвольным образом. Но если колесо раскручено, то попытки повернуть вал, например, в горизонтальной плоскости с небольшой угловой скоростью приводят к интересному эффекту: вал стремится вырваться из рук и повернуться в вертикальной плоскости; он действует на кисти рук с определенными силами и (рис. 98). Требуется приложить ощутимое физическое усилие, чтобы удержать вал с вращающимся колесом в горизонтальной плоскости.
Рис. 98
Рассмотрим эффекты, возникающие при вынужденном вращении оси гироскопа, более подробно. Пусть ось гироскопа будет укреплена в U-образной раме, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси OO’ (рис. 99). Такой гироскоп обычно называют несвободным – его ось лежит в горизонтальной плоскости и выйти из нее не может.
Рис. 99
Раскрутим гироскоп вокруг его вокруг его оси симметрии до большой угловой скорости (момент импульса L) и станем поворачивать раму с укрепленным в ней гироскопом вокруг вертикальной оси OO’ с некоторой угловой скоростью как показано на рис. 99. Момент импульса L, получит при этом приращение которое должно быть обеспечено моментом сил M, приложенным к оси гироскопа. Момент M, в свою очередь, создан парой сил возникающих при вынужденном повороте оси гироскопа и действующих на ось со стороны рамы. По третьему закону Ньютона ось действует на раму с силами (рис. 99). Эти силы называются гироскопическими; они создают гироскопический момент . Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом. Именно эти гироскопические силы мы и чувствуем, пытаясь повернуть ось вращающегося колеса (рис. 98).
Гироскопический момент нетрудно рассчитать. Положим, согласно элементарной теории, что
(16)
где – момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, а – угловая скорость собственного вращения. Тогда момент внешних сил, действующих на ось, будет равен
(17)
где – угловая скорость вынужденного поворота (иногда говорят: вынужденной прецессии). Со стороны оси на подшипники действует противоположный момент
(18)
Таким образом, вал гироскопа, изображенного на рис. 99, будет прижиматься кверху в подшипнике В и оказывать давление на нижнюю часть подшипника А.
Направление гироскопических сил можно легко найти с помощью правила, сформулированного Н.Е. Жуковским: гироскопические силы стремятся совместить момент импульса L гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота. Это правило можно наглядно продемонстрировать с помощью устройства, представленного на рис. 100.
Рис. 100
Ось гироскопа закреплена в кольце, которое может свободно поворачиваться в обойме. Приведем обойму во вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (вынужденный поворот), и кольцо с гироскопом будет поворачиваться в обойме до тех пор, пока направления L и не совпадут. Такой эффект лежит в основе известного магнитомеханического явления – намагничивания железного стержня при его вращении вокруг собственной оси – при этом спины электронов выстраиваются вдоль оси стержня (опыт Барнетта).
Гироскопические усилия испытывают подшипники осей быстро вращающихся частей машины при повороте самой машины (турбины на корабле, винта на самолете и т.д.). При значительных величинах угловой скорости вынужденной прецессии и собственного вращения а также больших размерах маховика эти силы могут даже разрушить подшипники. Рассмотрим некоторые примеры проявления гироскопических сил.
Пример 29. Легкий одномоторный самолет с правым винтом совершает левый вираж (рис. 101). Гироскопический момент передается через подшипники А и В на корпус самолета и действует на него, стремясь совместить ось собственного вращения винта (вектор ) с осью вынужденной прецессии (вектор ). Самолет начинает задирать нос кверху, и летчик должен “дать ручку от себя”, то есть опустить вниз руль высоты. Таким образом, момент гироскопических сил будет компенсирован моментом аэродинамических сил.
Рис. 101
Пример 30. При килевой качке корабля (с носа на корму и обратно) ротор быстроходной турбины участвует в двух движениях: во вращении вокруг своей оси с угловой скоростью и в повороте вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной валу турбины, с угловой скоростью (рис. 102). При этом вал турбины будет давить на подшипники с силами лежащими в горизонтальной плоскости. При качке эти силы, как и гироскопический момент, периодически меняют свое направление на противоположное и могут вызвать “рыскание” корабля, если он не слишком велик (например, буксира).
Рис. 102
Допустим, что масса турбины m=3000 кг ее радиус инерции Rин = 0,5 м, скорость вращения турбины n=3000 об/мин, максимальная угловая скорость корпуса судна при килевой качке =5 град/с, расстояние между подшипниками l=2 м. Максимальное значение гироскопической силы, действующей на каждый из подшипников, составляет
(19)
После подстановки числовых данных получим то есть около 1 тонны.
Пример 31. Гироскопические силы могут вызвать так называемые колебания “шимми” колес автомобиля (рис. 103) [В.А. Павлов, 1985]. Колесу, вращающемуся вокруг оси AA’ с угловой скоростью в момент наезда на препятствие сообщается дополнительная скорость вынужденного поворота вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. При этом возникает момент гироскопических сил, и колесо начнет поворачиваться вокруг оси BB’. Приобретая угловую скорость поворота вокруг оси BB’, колесо снова начнет поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка, деформируя упругие элементы подвески и вызывая силы, стремящиеся вернуть колесо в прежнее вертикальное положение. Далее ситуация повторяется. Если в конструкции автомобиля не принять специальных мер, возникшие колебания “шимми” могут привести к срыву покрышки с обода колеса и к поломке деталей его крепления.
Рис. 103
Пример 32. С гироскопическим эффектом мы сталкиваемся и при езде на велосипеде (рис. 104). Совершая, например, поворот направо, велосипедист инстинктивно смещает центр тяжести своего тела вправо, как бы заваливая велосипед. Возникшее принудительное вращение велосипеда с угловой скоростью приводит к появлению гироскопических сил с моментом . На заднем колесе этот момент будет погашен в подшипниках, жестко связанных с рамой. Переднее же колесо, имеющее по отношению к раме свободу вращения в рулевой колонке, под действием гироскопического момента начнет поворачиваться как раз в том направлении, которое было необходимо для правого поворота велосипеда. Опытные велосипедисты совершают подобные повороты, что называется, “без рук”.
Рис. 104
Вопрос о возникновении гироскопических сил можно рассматривать и с другой точки зрения. Можно считать, что гироскоп, изображенный на рис. 99, участвует в двух одновременных движениях: относительном вращении вокруг собственной оси с угловой скоростью и переносном, вынужденном повороте вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . Таким образом, элементарные массы , на которые можно разбить диск гироскопа (маленькие кружки на рис. 56), должны испытывать кориолисовы ускорения
(20)
Эти ускорения будут максимальны для масс, находящихся в данный момент времени на вертикальном диаметре диска, и равны нулю для масс, которые находятся на горизонтальном диаметре (рис. 105).
Рис. 105
В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью (в этой системе отсчета ось гироскопа неподвижна), на массы будут действовать кориолисовы силы инерции
(21)
Эти силы создают момент который стремится повернуть ось гироскопа таким образом, чтобы вектор совместился с . Момент должен быть уравновешен моментом сил реакции действующих на ось гироскопа со стороны подшипников. По третьему закону Ньютона, ось будет действовать на подшипники, а через них и на раму, в которой эта ось закреплена, с гироскопическими силами . Поэтому и говорят, что гироскопические силы обусловлены силами Кориолиса.
Возникновение кориолисовых сил можно легко продемонстрировать, если вместо жесткого диска (рис. 105) взять гибкий резиновый лепесток (рис. 106). При повороте вала с раскрученным лепестком вокруг вертикальной оси лепесток изгибается при прохождении через вертикальное положение так, как изображено на рис. 106.
Рис. 106
Волчки.
Волчки кардинально отличаются от гироскопов тем, что в общем случае они не имеют ни одной неподвижной точки. Произвольное движение волчков имеет весьма сложный характер: будучи раскручены вокруг оси симметрии и поставлены на плоскость, они прецессируют, “бегают” по плоскости, выписывая замысловатые фигуры, а иногда даже переворачиваются с одного конца на другой. Не вдаваясь в детали такого необычного поведения волчков, отметим лишь, что немаловажную роль здесь играет сила трения, возникающая в точке соприкосновения волчка и плоскости.
Кратко остановимся на вопросе об устойчивости вращения симметричного волчка произвольной формы. Опыт показывает, что если симметричный волчок привести во вращение вокруг оси симметрии и установить на плоскость в вертикальном положении, то это вращение в зависимости от формы волчка и угловой скорости вращения будет либо устойчивым, либо неустойчивым.
Пусть имеется симметричный волчок, изображенный на рис. 107. Введем следующие обозначения: О – центр масс волчка, h – расстояние от центра масс до точки опоры; K – центр кривизны волчка в точке опоры, r – радиус кривизны; – момент инерции относительно оси симметрии, – момент инерции относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии.
Рис. 107
Анализ устойчивости вращения волчка приводит к диаграмме, изображенной на рис. 108. Здесь по оси абсцисс отложено отношение , а по оси ординат – отношение .
Рис. 108
Проведем гиперболу и прямую . Эти линии делят область положительных значений , на 4 части.
Область I соответствует неустойчивому вращению волчка при всех угловых скоростях, область II – устойчивому вращению при достаточно больших угловых скоростях . Область III соответствует устойчивому вращению при малых угловых скоростях , область IV – устойчивому вращению при произвольных . Критическая угловая скорость зависит от моментов инерции , , расстояний , и веса тела [К. Магнус, 1974]:
(22)
Рассмотрим, например, китайский волчок, раскрученный до и поставленный на плоскость вертикально, как показано на рис. 109,а. Пусть . Поскольку то этой ситуации соответствует точка 1 в области III на рис. 59, то есть область устойчивого вращения лишь при малых . Таким образом, в нашем случае вращение будет неустойчивым, и волчок перевернется на ножку (точка 2 в области II на рис. 108).
Рис. 109
Бесплатная лекция: “Деформации послевоенного сталинизма” также доступна.
Следует обратить внимание, что в процессе переворачивания волчка результирующий момент импульса сохраняет свое первоначальное направление, то есть вектор L, все время направлен вертикально вверх. Это означает, что в ситуации, изображенной на рис. 109,б, когда ось волчка горизонтальна, вращение вокруг оси симметрии волчка отсутствует! Далее, при опрокидывании на ножку, вращение вокруг оси симметрии будет противоположно исходному (если смотреть все время со стороны ножки, рис. 109,в).
В случае яйцеобразного волчка поверхность тела в окрестности точки опоры не является сферой, но существуют два взаимно перпендикулярных направления, для которых радиус кривизны в точке опоры принимает экстремальные (минимальное и максимальное) значения. Опыты показывают, что в случае, изображенном на рис. 109,а, вращение будет неустойчивым, и волчок принимает вертикальное положение, раскручиваясь вокруг оси симметрии и продолжая устойчивое вращение на более остром конце. Это вращение будет продолжаться до тех пор, пока силы трения не погасят в достаточной мере кинетическую энергию волчка, угловая скорость уменьшится (станет меньше ), и волчок упадет.
Рис. 110
Физические основы механики
Гироскопом называется массивное осесимметричное тело (симметричный волчок), быстро вращающееся вокруг оси симметрии, причем ось вращения может изменять положение в пространстве. Ось симметрии называется осью фигуры гироскопа.
Видео 7. 6. Что же такое гироскоп?
Рис. 7.17. Движение системы гироскопов
Ось симметрии является одной из главных осей гироскопа. Поэтому его момент импульса совпадает по направлению с осью вращения.
Для того, чтобы изменить положение в пространстве положение оси фигуры гироскопа, необходимо подействовать на него моментом внешних сил.
Видео 7.7. Гироскопические силы:большой гироскоп рвет веревку
Рис. 7.18. Направление векторов при вращении гироскопа
При этом наблюдается явление, получившее название гироскопического: под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси 1 вокруг оси 2 (рис. 7.19), наблюдается поворот оси фигуры вокруг оси 3.
Рис. 7.19. Движение оси фигуры гироскопа под действием момента внешних сил
Видео 7.8. Гироскоп с перегрузами: направление и скорость прецессии, нутации
Гироскопические явления проявляются всюду, где имеются быстро вращающиеся тела, ось которых может поворачиваться в пространстве.
Рис. 7.20. Реакция гироскопа на внешнее воздействие
Странное на первый взгляд поведение гироскопа, рис. 7.19 и 7.20, полностью объясняется уравнением динамики вращательного движения твердого тела
Видео 7.9. «Любвеобильный» гироскоп: ось гироскопа бежит вдоль направляющей, не покидая её
Видео 7.10. Действие момента силы трения: «Колумбово» яйцо
Если гироскоп привести в быстрое вращение, он будет обладать значительным моментом импульса. Если на гироскоп будет действовать внешняя сила в течение времени , то приращение момента импульса будет
Если сила действует в течение короткого времени , то
Другими словами, при коротких воздействиях (толчках) момент импульса гироскопа практически не меняется. С этим связана замечательная устойчивость гироскопа по отношению к внешним воздействиям, которая используется в различных приборах, таких как гирокомпасы, гиростабилизированные платформы и т.
Видео 7.11. Модель гирокомпаса, гиростабилизация
Видео 7.12. Большой гирокомпас
7.21. Гиростабилизатор орбитальной станции
В гироскопах, применяющихся в авиации и космонавтике, используется карданов подвес, который позволяет сохранять направление оси вращения гироскопа независимо от ориентации самого подвеса:
Видео 7.13. Гироскопы в цирке: езда на одном колесе по проволоке
Дополнительная информация
http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. — стр. 245–249 (§ 47): кинематическая теорема Эйлера о вращениях твердого тела вокруг неподвижной точки.
Рассмотрим движение гироскопа с неподвижной точкой опоры, как показано на на рис. 7.22.
Движение гироскопа под действием внешней силы называется вынужденной прецессией.
Рис. 7.22. Вынужденная прецессия гироскопа: 1 — общий вид; 2 — вид сверху
Приложим в точке А силу .
Таким образом, прецессия гироскопа представляет собой движение под действием внешних сил, происходящее таким образом, что ось фигуры описывает коническую поверхность.
Рис. 7.23. К выводу формулы прецессии гироскопа.
Объяснение этого явления заключается в следующем. Момент силы относительно точки
Приращение момента импульса гироскопа за время равно
Это приращение перпендикулярно моменту импульса и, следовательно, меняет его направление, но не величину.
Вектор момента импульса ведет себя подобно вектору скорости при движении частицы по окружности. В последнем случае приращения скорости перпендикулярно скорости частицы и равно по модулю
где
В случае гироскопа элементарное приращение момента импульса
и равно по модулю
причем
За время вектор момента импульса повернется на угол
Угловая скорость вращения плоскости, проходящей через ось конуса, описываемого осью фигуры, и ось фигуры, называется
Возникающие при определенных условиях колебания оси фигуры гироскопа в плоскости, проходящей через ось указанного выше конуса и саму ось фигуры, называются нутациями. Нутации могут быть вызваны, например, коротким толчком оси фигуры гироскопа вверх или вниз (см. рис. 7.24):
Рис. 7.24. Нутации гироскопа
Угловая скорость прецессии в рассматриваемом случае равна
Отметим важное свойство гироскопа — его безынерционность, заключающееся в том, что после прекращения действия внешней силы вращение оси фигуры прекращается.
Дополнительная информация
http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. — стр. 288–293 (§ 52): изложены основы точной теории гироскопа.
http://femto.com.ua/articles/part_1/0796.html — физическая энциклопедия. Описаны разнообразные механические гироскопы, которые используются для навигации — гирокомпасы.
http://femto.com.ua/articles/part_1/1901.html — физическая энциклопедия. Описан лазерный гироскоп для целей космической навигации.
Влияние гироскопических сил в технике иллюстрируется следующими рисунками.
Рис. 7.25. Гироскопические силы,действующие на самолет при вращении винта
Рис. 7.26. Перевертывание волчка под действием гироскопических сил
Рис. 7.27. Как поставить яйцо «на попа»
Дополнительная информация
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/10/mehanika_vrashchayushchegosya.htm — журнал «Квант» — механика волчка (С. Кривошлыков).
http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9809_096.pdf — Соросовский образовательный журнал, 1998 г., № 9, — в статье обсуждаются проблемы динамики вращающихся тел (кельтских камней), соприкасающихся с твердой поверхностью (А.П. Маркеев).
http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_35.djvu — Михайлов А.А. Земля и ее вращение, Библиотечка Квант, выпуск 35 стр. 50–56 — планета Земля — большой волчок, ее ось прецессирует в пространстве.
Приложение
О принципе работы колеса
Раз уж мы много говорили в этой главе о вращении тел, остановимся на самом великом и важном открытии человечества — изобретении колеса. Всем известно, что волочить груз гораздо труднее, чем перевозить его на колесах. Встает вопрос, почему? Колесо, играющее огромную роль в современной технике, по праву считается одним из гениальнейших изобретений человечества.
Передвижение груза с помощью катка. Прототипом колеса был каток, подкладываемый под груз. Его первые применения теряются во мгле веков.
Пример. Груз массой M положен на цилиндрический каток массой и радиусом , который может двигаться по плоскому горизонтальному настилу. К грузу приложена горизонтальная сила (рис. 7.28). Найдем ускорения груза и катка. Силой трения качения пренебречь. Считать, что движение системы происходит без проскальзывания.
Рис. 7.28. Передвижение груза с помощью катка
Обозначим силу трения между катком и грузом и — между катком и настилом. За положительное направление примем направление внешней силы . Тогда положительным значениям и соответствуют направления сил трения, показанные на рис. 7.28.
Таким образом, на груз действуют силы и , а на каток — силы и . Обозначим a ускорение груза и a1 — ускорение катка. Кроме того, каток вращается по часовой стрелке с угловым ускорением .
Уравнения поступательного движения принимают вид:
- для груза
- для катка
Уравнение вращательного движения катка записывается так:
Обратимся теперь к условиям отсутствия проскальзывания.
Верхняя точка катка приобретает из-за вращения противоположно направленное линейное ускорение и то же ускорение поступательного движения. Чтобы не было проскальзывания между катком и грузом, полное ускорение верхней точки должно быть равно ускорению груза:
Из полученных уравнений для ускорений следует, что ускорение катка в два раза меньше ускорения груза:
и, соответственно,
Из непосредственного опыта каждый знает, что каток действительно отстает от груза.
Подставляя соотношения для ускорений в уравнения движения и решая их относительно неизвестных , , , получаем следующие выражение для ускорения груза
Обе силы трения и оказываются при этом положительными, так что на рис. 12 их направления выбраны правильно:
Как видно, радиус катка особой роли не играет: отношение зависит только от его формы. При данных массе и радиусе момент инерции катка максимален, когда каток представляет собой трубу: . В этом случае сила трения между катком и настилом отсутствует ( = 0) а уравнения для ускорения груза и силы трения между грузом и катком принимают вид:
При уменьшении массы катка сила трения уменьшается, ускорение груза увеличивается — груз легче перемещать.
В случае катка-цилиндра (бревна) /2 и мы находим силы трения
и ускорение груза.
Сравнивая с результатами для катка-трубы, видим, что эффективно масса катка как бы уменьшилась: ускорение груза возрастает при прочих равных условиях.
Главный итог рассмотренного примера: ускорение отлично от нуля (то есть груз начинает двигаться) при сколь угодно малой внешней силе. При волочении же груза по настилу для его смещения необходимо приложить как минимум силу .
Второй вывод: ускорение вовсе не зависит от величины трения между частями данной системы. Коэффициент трения не вошел в найденные решения, он появится только в условиях отсутствия проскальзывания, которые сводятся к тому, что приложенная сила не должна быть слишком велика.
Полученный результат, что каток как бы полностью «уничтожает» силу трения, не удивителен. Действительно, в отсутствие относительного перемещения соприкасающихся поверхностей силы трения не совершают работы. На самом деле каток «заменяет» трение скольжения на трение качения, которым мы пренебрегли. В реальном случае минимальная сила, необходимая для движения системы, отлична от нуля, хотя и гораздо меньше, чем при волочении груза по настилу. В современной технике принцип действия катка реализуется в шарикоподшипниках.
Качественное рассмотрение работы колеса. Разобравшись с катком, перейдем к колесу. Первое колесо в виде деревянного диска, насаженного на ось, появилось, по-видимому, в IV тысячелетии до н. э. в цивилизациях Древнего Востока. Во II тыс. до н.э. конструкция колеса совершенствуется: появляются спицы, ступица и гнутый обод. Изобретение колеса дало гигантский толчок развитию ремесел и транспорта. Однако многие не понимают самого принципа действия колеса. В ряде учебников и энциклопедий можно найти неверное утверждение, что колесо, подобно катку, также дает выигрыш, заменяя силу трения скольжения на силу трения качения. Иногда приходится слышать ссылки на использование смазки или подшипников, но дело не в этом, поскольку колесо с очевидностью появилось раньше, чем додумались до смазки (и, тем более, подшипников).
Действие колеса проще всего понять, исходя из энергетических соображений. Древние повозки устроены просто: кузов прикрепляется к деревянной оси радиусом (общая масса кузова с осью равна M). На ось насаживаются колеса массой и радиусом R (рис. 7.29).
Рис. 7.29. Передвижение движение груза с помощью колеса
Предположим, что такую повозку везут по деревянному же настилу (тогда во всех соприкасающихся местах имеем тот же коэффициент трения ). Сначала заклиним колеса и, действуя силой , протащим повозку на расстояние s. Поскольку повозка скользит по настилу, сила трения достигает своего максимально возможного значения
Работа против этой силы равна
(так как обычно масса колес много меньше массы повозки <<M).
Освободим теперь колеса и снова протащим повозку на то же расстояние s. Если колеса не скользят по настилу, то в нижней точке колеса сила трения не совершает работы. Но трение скольжения возникает между осью и колесом в нижней части оси радиусом . Там тоже имеется сила нормального давления. Она будет несколько отличаться от прежней за счет веса колес и других причин, которые мы обсудим ниже, но при небольшой массе колес и небольшом коэффициенте трения можно считать ее примерно равной . Поэтому между осью и колесом действует та же самая сила трения
Подчеркнем еще раз: колесо само по себе не уменьшает силу трения. Но работа A’ против этой силы будет теперь гораздо меньше, чем в случае волочения повозки с заклиненными колесами. Действительно, когда повозка проходит расстояние S, ее колеса совершают оборотов. Значит, трущиеся об ось колеса поверхности сдвинутся друг относительно друга на меньшее расстояние . Поэтому работа против сил трения также будет в соответствующее число раз меньше:
Таким образом, надев колеса на оси, мы уменьшаем не силу трения, как в случае с катком, а путь, на котором она действует. Скажем, колесо радиусом R = 0,5 м и осью радиусом = 2 см уменьшает работу на 96 %. С остальными 4 % успешно справляются смазка и подшипники, уменьшающие само трение (смазка, кроме того, предотвращает износ ходовой части повозки). Теперь понятно, почему в старых экипажах и боевых колесницах делали такие большие колеса. Современные продуктовые коляски в супермаркетах могут катиться лишь благодаря подшипникам.
Из полученной формулы для работы при качении следует, что при = R (колеса без оси, вмонтированные в корпус и трущиеся об него) будет совершена та же работа, что и при волочении повозки. Весь выигрыш заключен в отношении радиусов /R, то есть колесо — по сути дела рычаг непрерывного действия с плечами и R. Благодаря «сворачиванию» рычага в окружность его не надо возвращать в начальное положение: это достигается автоматически. Трудно представить себе техническое изобретение, более гениальное по простоте и эффективности!
Количественная теория колеса. Рассмотрим силы, действующие на нашу повозку (см. рис. 7.29).
Силы, действующие на колесо: сила трения со стороны оси, сила нормального давления со стороны оси, сила трения со стороны настила. Эти силы показаны на рис. 7.29 соответственно синей, зеленой и оранжевой стрелками. Заметим, что мы не предполагаем, что ось соприкасается с колесом в своей нижней точке: угол описывает смещение назад точки соприкосновения оси с колесом (соответственно, точки приложения сил , ). Значение угла также должно быть найдено из решений уравнений движения. Кроме того, на колесо действует сила тяжести и нормальное давление со стороны настила, но они сейчас нам не важны и на рисунке не показаны.
Выбирая ось х в горизонтальном направлении, а ось у — в вертикальном, записываем проекцию уравнения поступательного движения колеса на ось x :
Предполагая отсутствие проскальзывания в точке соприкосновения колеса с настилом (то есть ), записываем уравнение вращательного движения колеса:
Силы, действующие на повозку (показаны соответственно красной, фиолетовой, темно-синей и темно-зеленой стрелками на рис. 7.29): внешняя сила , сила тяжести и силы , со стороны оси. Записываем уравнения поступательного движения повозки в проекциях на оси x, y :
Мы имеем пять уравнений для пяти неизвестных: , , , , . Их все можно найти, решая систему уравнений. Мы хотим получить лишь ответ на вопрос: при какой минимальной силе повозка сдвинется с места? Для этого надо положить , при этом ускорение = 0. Имеем тогда систему уравнений:
Здесь мы уже учли выражение закона трения скольжения. Из двух первых уравнений следует:
откуда можно найти тригонометрические функции угла :
Тогда из двух последних уравнений следует искомое выражение:
Любопытно, что масса колес не вошла в конечный ответ для .
В предельном случае = R имеем , что соответствует, в сущности, отсутствию колес и перетаскивание повозки волоком. В обратном предельном случае
минимальная сила также стремится к нулю. При малых коэффициентах трения квадратный корень в знаменателе приближенно равен единице, и
Выше мы качественно получили этот результат из энергетических соображений.
Дополнительная информация
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1970/12/pochemu_ustojchiv_velosiped.html — Объяснение устойчивости велосипеда (Д. Джоунс).
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1980/05/ustojchivost_avtomobilya.html — Журнал «Квант» — устойчивость езды на автомобиле (Л. Гродко).
Физика гироскопа
Физика гироскопа — одна из самых сложных концепций для понимания простыми словами. Когда люди видят вращающийся гироскоп, прецессирующий вокруг оси, неизбежно возникает вопрос, почему это происходит, поскольку это противоречит интуиции. Но, как оказалось, есть довольно простой способ понять физику гироскопов, не прибегая к математике.
Но прежде чем я углублюсь в детали, было бы неплохо посмотреть, как работает гироскоп (если вы еще этого не сделали). Посмотрите видео ниже с игрушечным гироскопом в действии.
Как вы, наверное, заметили, гироскоп может вести себя очень похоже на волчок. Поэтому физику гироскопов можно применить непосредственно к волчку.
Для начала давайте проиллюстрируем типичный гироскоп, используя схему, показанную ниже.
Где:
w s – постоянная скорость вращения колеса, в радианах/сек.
w p — постоянная скорость прецессии, в радианах в секунду.
L длина стержня
r радиус колеса
θ угол между вертикалью и стержнем (постоянная)
Когда колесо вращается со скоростью w s , гироскоп прецессирует со скоростью w p вокруг оси вращения в основании (с постоянной величиной θ ).
Вопрос, почему гироскоп не падает под действием силы тяжести?!
Причина в следующем:
Из-за комбинированного вращения w s и w p частицы в верхней половине вращающегося колеса испытывают нормальную к колесу составляющую a 1 (с распределением как показано на рисунке ниже), а частицы в нижней половине колеса испытывают составляющую ускорения a 2 , перпендикулярную колесу, в противоположном направлении (с распределением, как показано). Согласно второму закону Ньютона это означает, что результирующая сила F 1 должна действовать на частицы в верхней половине колеса, а результирующая сила F 2 должна действовать на частицы в нижней половине колеса. Эти силы действуют в противоположных направлениях. Следовательно, для поддержания этих сил необходим вращающий момент по часовой стрелке M . Сила тяжести, действующая на гироскоп, создает необходимый крутящий момент по часовой стрелке M .
Другими словами, благодаря природе кинематики частицы в колесе испытывают ускорение таким образом, что сила тяжести способна поддерживать угол θ гироскопа во время его прецессии. Это самое основное объяснение физики гироскопа.
В качестве аналогии рассмотрим частицу, движущуюся по окружности с постоянной скоростью. Ускорение частицы направлено к центру окружности (центростремительное ускорение), которое перпендикулярно скорости частицы (касательно окружности). Это может показаться нелогичным, но урок здесь состоит в том, что ускорение объекта может действовать в направлении, которое сильно отличается от направления движения. Это может привести к некоторой интересной физике, например, к гироскопу, который не падает из-за гравитации во время прецессии.
Итак, теперь, когда у нас есть интуитивное «чувство» физики, мы можем полностью проанализировать ее, используя математический подход. Отсюда определим уравнение движения гироскопа.
Физика гироскопа – анализ
Общая схема анализа физики показана ниже.
где g — ускорение свободного падения, точка G — центр масс колеса, а точка P — точка опоры у основания.
Глобальные оси XYZ зафиксированы на земле и имеют начало в P .
I , J и K определяются как единичные векторы, указывающие вдоль положительных осей X , Y и Z соответственно.
Угловая скорость колеса относительно земли равна
Угловое ускорение колеса относительно земли равно
Глядя на первый член:
Глядя на второй член:
Следовательно,
Угловая скорость стержня относительно земли равна
Угловое ускорение стержня относительно земли равно нулю, поскольку w r постоянно и не меняет направление.
Обратите внимание, что члены dJ/dt и dK/dt (приведенные выше) рассчитываются с использованием векторного дифференцирования. Чтобы узнать больше об этом, посетите страницу векторной производной.
Анализ колеса
Проанализируем силы и моменты, действующие на колесо, вследствие контакта со стержнем. Схема свободного тела колеса (изолированного от стержня) приведена ниже. Обратите внимание, что локальные оси xyz определены, как показано, и присоединены к колесу, так что оно перемещается вместе с колесом, и имеет начало в точке G .
Где:
M x – момент, действующий в местной x – направление, в точке G
M y – момент, действующий в местном y -направлении, в точке G
M z – момент, действующий в местном z -направлении, в точке G
F GX — сила, действующая в глобальном направлении X , в точке G
F GY сила, действующая в глобальном масштабе Y -направление, на точку G
F GZ сила, действующая в глобальном Z направлении, в точке G
Примените второй закон Ньютона к колесу:
Где:
m w масса колеса
a GX ускорение точки G в общем направлении X
и GY — ускорение точки G в общем направлении Y
a GZ ускорение точки G в глобальном Z -направлении
Поскольку точка G движется по горизонтальной окружности с постоянной скоростью, у нас нет тангенциального ускорения, поэтому a GX = 0, а F GX = 0. Таким образом, нам нужно рассмотреть только второе и третье уравнение.
Второе уравнение:
Поскольку точка G движется по горизонтальному кругу с постоянной скоростью, мы имеем центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение направлено к центру вращения, поэтому
Третье уравнение:
Поскольку точка G движется по горизонтальной окружности с постоянной скоростью, мы имеем a GZ = 0. Таким образом,
Следовательно,
Затем примените уравнения движения Эйлера для твердого тела, учитывая, что xyz выровнены с главными направлениями инерции колеса (рассматриваемого как сплошной диск).
У нас есть,
Сейчас,
Это угловая скорость колеса (относительно земли), разрешенная по местным осям xyz .
Кроме того,
Это угловое ускорение колеса (относительно земли), разрешенное по местной xyz оси.
Thus, the second and third of Euler’s equations are equal to zero, therefore Σ M Gy = M y = 0, and Σ M Gz = M z = 0. В результате второе и третье уравнения не дают вклада в решение. (Обратите внимание, что F GX , F GY и F GZ не создают момент (крутящий момент) относительно точки G , так как они определены как совпадающие с точкой G – т.е. длина плеча момента равна нулю).
Следовательно, нам нужно рассмотреть только первое уравнение:
Где:
Σ M Gx — сумма моментов относительно точки G в локальном направлении x . Обратите внимание, что Σ M Gx = M x .
I Gx , I Gy и I Gz — главные моменты инерции колеса относительно точки G относительно местных направлений x , y и z (соответственно).
По симметрии (рассматривать колесо как тонкий круглый диск),
и
Следовательно,
Анализ стержней
Здесь анализируются моменты, действующие на стержень относительно точки P . Схема свободного тела стержня (изолированного от колеса) приведена ниже. Обратите внимание, что локальные оси xyz определены, как показано, и присоединены к стержню, так что он перемещается вместе со стержнем и имеет начало в точке P . Оси xyz совмещены с главными направлениями инерции стержня.
Обратите внимание, что точка P рассматривается как шарнир без трения. Поэтому он не оказывает никакого момента (крутящего момента) на стержень. Так как мы суммируем моменты около P (что является фиксированной точкой), мы можем напрямую использовать уравнения моментов (Эйлера).
Сейчас,
Это угловая скорость стержня (относительно земли), разрешенная по местным осям xyz , и
Это угловое ускорение стержня (относительно земли), разрешенное по местным осям xyz .
Таким образом, второе и третье уравнения Эйлера равны нулю и не дают вклада в решение.
Следовательно, нам нужно рассмотреть только первое уравнение:
Где:
Σ M Px сумма моментов относительно точки P , в локальном направлении x
I PX , I PY , и I PZ являются основными моментами инерции стержня около точки P О местном x 202017 Y 202020. и . z направлений (соответственно).
По симметрии,
и
где m r – масса стержня.
Следовательно,
Объединяем уравнения (1)-(4) и получаем:
Это хорошее компактное уравнение. Мы можем найти любое из значений θ , w p или w s , если известны два других значения.
Мы можем написать более общее уравнение, в котором колесо гироскопа заменим любым осесимметричным вращающимся телом (с симметрией относительно локальной и ось):
Где:
Если предположить, что массой стержня можно пренебречь, то m r = I r = I Py = 0. гироскопическое движение с незначительной массой стержня:
В следующем разделе мы рассмотрим гироскопическую стабильность, которая является очень важным и практическим применением гироскопов.
Гироскопическая устойчивость
На странице углового момента мы получили следующее уравнение для твердого тела:
Член слева определяется как внешний импульс, действующий на твердое тело (между начальным моментом времени t i и конечным моментом времени t f ), обусловленный суммой внешних моментов ( крутящий момент), действующий на твердое тело. Члены справа представляют собой окончательный вектор углового момента ( H f ) и вектор начального углового момента ( H i ).
Хотя вышеприведенное уравнение было получено для твердого тела, оно также применимо к любой системе частиц (независимо от того, составляют ли они твердое или нежесткое тело). Доказательство этого обычно можно найти в учебниках классической механики.
Как объясняется на странице углового момента, приведенное выше уравнение применимо для двух случаев, когда локальные оси xyz берут свое начало в центре масс G твердого тела или в фиксированной точке O твердого тела (если оно есть). В оставшейся части этого раздела мы будем применять первое, поэтому моменты, члены инерции и угловой момент относятся к G .
Чтобы проиллюстрировать концепцию гироскопической устойчивости, предположим, что у нас есть осесимметричный твердый объект (например, колесо), вращающийся в пространстве с угловой скоростью w в данный момент времени.
На приведенном выше рисунке изменение вектора углового момента между временем t i и t f определяется как ΔH , и согласно приведенному выше уравнению ΔH равен внешнему импульсу (из-за суммы внешних моментов, действующих между временем t
8 t i и т f ).
Для данного ΔH (равного внешнему импульсу) угол φ уменьшается по мере увеличения H i . Это означает, что чем больше величина начального углового момента ( H i ), тем меньше угол φ для данного внешнего импульса. Теперь величина вектора углового момента H пропорциональна величине вектора угловой скорости w . Следовательно, чем быстрее вращается объект, тем меньше результирующий угол φ для данного внешнего импульса.
Если на объект не действуют внешние моменты (моменты), то говорят, что объект движется без крутящего момента. Таким образом, из приведенного выше уравнения H i = H f , и φ = 0. Таким образом, вектор углового момента имеет постоянную величину и направление, а угловой момент сохраняется.
Для осесимметричного твердого объекта, испытывающего движение без крутящего момента, ось прецессии видится (с точки зрения наблюдателя) совпадающей с вектором углового момента, и эта ось прецессии определяет среднюю ориентацию объекта. А так как эта ось прецессии определяет среднюю ориентацию объекта, то небольшое изменение направления вектора углового момента (соответствующее малому φ , из-за внешнего импульса) означает небольшое изменение средней ориентации объекта. Это, конечно, означает, что после приложения внешнего импульса объект снова испытывает движение без крутящего момента.
Следовательно, быстро вращающийся осесимметричный объект, испытывающий движение без крутящего момента, способен сохранять свою ось прецессии (и, следовательно, среднюю ориентацию) с очень небольшим изменением, если приложен внешний импульс.
Понимание физики гироскопов помогает понять, почему установка вращающегося колеса (приводимого в действие двигателем) на карданный подвес (металлический каркас) так полезна для навигации. Вращающееся колесо установлено на подвесе таким образом, чтобы на него не воздействовал внешний крутящий момент. Следовательно, учитывая уже присущую ему стабильность ориентации (а также тот факт, что внешний крутящий момент почти полностью устранен), в результате гироскоп испытывает крайне незначительное изменение ориентации. Вот почему гироскопы обычно используются в навигации, например, на лодках и кораблях. Они, как правило, остаются на одном уровне, даже если лодка или корабль меняют ориентацию (либо по тангажу, либо по крену). На рисунке ниже показан блок гироскоп-кардан.
Источник: http://en.wikipedia.org/wiki/Gyroscope. Автор: http://en.wikipedia.org/wiki/User:Kieff/Gallery
Гироскопическая стабильность также объясняет, почему вращающийся осесимметричный снаряд, такой как футбольный мяч, может иметь свою симметричную (длинную) ось, выровненную с траекторией полета, не кувыркаясь из стороны в сторону во время полета. Вращение создает гироскопический отклик на аэродинамические силы, действующие на снаряд, в результате чего длинная ось снаряда выравнивается с траекторией полета. Используемая здесь физика представляет собой комбинацию гироскопического анализа и анализа аэродинамической силы из-за сопротивления и (потенциально) эффекта Магнуса. Это довольно сложно и здесь обсуждаться не будет. Тем не менее, в Интернете доступно много литературы по физике гироскопов, связанной со вращением снаряда и гироскопической стабильностью, если вы хотите продолжить изучение этой темы.
Далее в анализе мы покажем, что для осесимметричного твердого тела, совершающего движение без крутящего момента, ось прецессии видится (с точки зрения наблюдателя в инерциальной системе отсчета) совпадающей с вектором углового момента, который мы знаем, фиксировано в инерциальном (наземном) пространстве, с постоянной величиной и направлением.
Движение без крутящего момента
Рассмотрим рисунок ниже с локальными осями xyz , как показано.
Найдем уравнение, связывающее угол θ (между H и w s ) с векторами H и w s . Простой способ сделать это с векторным скалярным произведением:
Где:
H заменено на H G (поскольку мы используем угловой момент относительно центра масс G объекта)
j — единичный вектор, направленный вдоль положительной г ось
| Н Г | величина вектора H G
Продифференцируйте приведенное выше уравнение по времени, чтобы получить
, что дает следующее уравнение для dθ/dt :
Со страницы векторной производной мы знаем, что:
Со страницы углового момента:
Где:
и , k — единичные векторы, указывающие вдоль положительных осей x и z соответственно.
w x , w y , w z – компоненты вектора угловой скорости объекта (относительно земли), разрешенные по , z направлений соответственно
I x , I y , I z — главные моменты инерции относительно направлений x , y , z соответственно.
Подставим эти три уравнения в уравнение для dθ/dt и получим
Это информативное уравнение, полученное в результате проведенного здесь анализа. Это говорит нам, что для I x = I z , dθ/dt = 0 (при вращении объекта в пространстве). Но если мы выберем α = 0, то ось прецессии совпадает с вектором углового момента H G , и в результате w x = dθ/dt = 0 (что упрощает расчеты). Следовательно, угол θ постоянен, и поэтому с точки зрения наблюдателя в инерциальной системе отсчета ось прецессии оказывается совпадающей с вектором углового момента. Но с математической точки зрения не имеет значения, какую ось мы выберем в качестве оси прецессии, поскольку это просто составляющая вращения. Возможность произвольного выбора оси прецессии аналогична тому, как вы можете произвольно выбирать направления x, y для расчета силы. В конечном итоге ответ тот же, и результирующая сила не изменится. Чтобы понять это лучше, вы можете прочитать на Углы Эйлера , которые обычно используются для определения угловой ориентации тела с использованием концепции прецессии, вращения и нутации (которые использовались в представленном здесь анализе).
Использование вышеупомянутого результата для I x = I Z ≡ I W , теперь давайте найдем уравнение, касающееся W S и W P . Поскольку θ всегда постоянно, мы можем выразить угловой момент следующим образом через его x,y,z Компоненты:
Сейчас, раньше
, который может быть записан как (чтобы соответствовать обозначениям, использованным ранее):
Мы можем приравнять компоненты i,j,k , чтобы получить:
Но из геометрии тоже можно написать:
Решая приведенные выше уравнения для w p и w s получаем
Следовательно, w p и w s являются постоянными.
Если мы исключим H G из двух приведенных выше уравнений, мы получим
Обратите внимание, что это то же самое, что и уравнение, приведенное ранее для равномерного гироскопического движения с незначительной массой стержня:
для случая L = 0. Для L = 0 это уравнение сводится к движению осесимметричного тела без крутящего момента.
В следующем разделе содержится дополнительная информация, о которой стоит упомянуть.
Физика гироскопа – дополнительная информация
Осесимметричный объект, испытывающий движение без крутящего момента, который испытывает чистое вращение w s вокруг своей оси симметрии (без прецессии, w p = 0), будет иметь вектор углового момента, выровненный со спином оси, что легко понять. Однако, если этот объект временно подвергнут внешнему моменту, он, вероятно, начнет прецессию, а также вращение, и его (новая) ось прецессии совпадет с новым вектором углового момента, который больше не будет совпадать с осью вращения. Для расчета нового движения объекта за счет приложенного внешнего момента необходимо решить уравнения движения Эйлера. Это позволит вам математически определить новые величины w s , w p и θ , из-за приложенного внешнего момента. После приложения внешнего момента эти величины будут соответствовать безмоментному движению.
В таких задачах, как анализ физики гироскопов, решение уравнений движения Эйлера необходимо при применении моментов, поскольку эти уравнения учитывают их непосредственно.
При движении без крутящего момента единственная внешняя сила, действующая на объект, — это не более силы тяжести, которая действует через центр масс ( G ) объекта. Говорят, что объект испытывает движение без крутящего момента, поскольку никакой крутящий момент (момент) не может вращать объект вокруг его центра масс, и, таким образом, угловой момент относительно центра масс не изменяется. Поэтому можно предположить (в целях визуализации), что центр вращения объекта расположен в его центре масс G , поскольку это предположение не влияет на расчеты углового момента (около G ). Вот почему в задачах о движении без крутящего момента вектор угловой скорости обычно изображают проходящим через центр масс анализируемого объекта.
В следующем разделе мы проанализируем общий случай движения гироскопа. Это, несомненно, очень полезно, поскольку может применяться ко многим различным проблемам.
Общее движение гироскопа
В этом заключительном разделе мы проанализируем общий случай движения гироскопа, как показано на главной странице гироскопа. Показанная там вершина гироскопа иллюстрирует состояние общего движения. Кинематические уравнения уже выведены на главной странице гироскопа, поэтому мы можем использовать их напрямую.
Предположим, что нигде нет трения.
Анализ колеса
На верхней странице гироскопа угловая скорость колеса гироскопа определяется уравнением (1) на этой странице:
где переменные в этом уравнении определены на главной странице гироскопа. Обратите внимание, что термин слева был заменен на w w , чтобы соответствовать используемым здесь обозначениям.
На главной странице гироскопа угловое ускорение колеса гироскопа определяется уравнением (2) на этой странице:
где переменные в этом уравнении определены на главной странице гироскопа. Обратите внимание, что термин слева был заменен на α w , чтобы соответствовать используемым здесь обозначениям.
На верхней странице гироскопа точку O на колесе можно рассматривать как центр масс колеса ( G ). Следовательно, для обозначения a o в левой части уравнения (5) на верхней странице гироскопа можно заменить на а Г .
После применения некоторой алгебраической обработки уравнения (5) и упрощения, мы получаем ускорение центра масс G колеса гироскопа:
где переменные в этом уравнении определены на главной странице гироскопа.
Рассмотрим следующую схему колеса гироскопа (использовавшегося ранее) с ранее определенными переменными. Здесь будет использоваться тот же базовый анализ, что и ранее. Теперь, несмотря на то, что колесо гироскопа вращается в пространстве, описанную ниже установку можно использовать с локальными xyz всегда ориентируется, как показано, для каждой стадии движения. Это можно сделать, поскольку колесо осесимметрично, так что главные моменты инерции не меняются относительно xyz при вращении колеса.
По второму закону Ньютона:
Подставим ускорение для центра масс G в приведенные выше три уравнения, и мы получим следующие уравнения силы для колеса гироскопа:
Угловая скорость и угловое ускорение колеса гироскопа даны относительно глобальных осей XYZ . С помощью тригонометрии мы разложим их на локальные оси xyz колеса гироскопа.
Получаем
и
Набор
Применим уравнения движения Эйлера к колесу гироскопа:
Далее рассмотрим следующую схему стержня с ранее определенными переменными. Здесь будет использоваться тот же базовый метод анализа, который использовался ранее.
Анализ стержней
Поскольку локальные оси xyz для стержня и колеса имеют одинаковую ориентацию, мы можем найти разрешенные компоненты угловой скорости и углового ускорения стержня, просто установив w s = 0 и α s = 0 в уравнениях для угловой скорости и углового ускорения колеса. Это дает нам
Для штанги
Обратите внимание, что поскольку точка P рассматривается как шарнир без трения, она не оказывает момента (крутящего момента) на стержень.
Поскольку мы суммируем моменты относительно P (что является фиксированной точкой), мы можем напрямую использовать уравнения моментов (Эйлера).
В уравнении для σ M PY выше, обратите внимание, что F GX , F GY , F GZ , а гравитация не показывает, что не осталось в восторге от LACER. О около того момента. и ось.
Подставьте уравнения силы и уравнения Эйлера для колеса гироскопа в приведенные выше три уравнения и упростите. Затем мы получаем последние три уравнения, с помощью которых можно решить общее движение гироскопа:
Согласно используемому правилу знаков,
Предположим, что у нас есть безмассовый стержень, где m r = 0.
Мы можем переписать уравнение (6) как
Следовательно,
где C 1 — константа.
Мы можем переписать уравнение (7) как
Следовательно,
где C 2 — константа.
Из уравнений (8) и (9) получаем
Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно установить граничные условия. Выберем следующее.
Для θ = θ или , набор w n = w p = 0 и w s = w , поэтому . Это приводит к
Подставить уравнение 10 (для w p ) в уравнение (5) и установить
Упростите уравнение (5), а затем выполните (очень утомительное) интегрирование, чтобы получить уравнение для w n . Мы получаем
Угловые скорости w n , w p и w s в уравнениях 10-12 могут быть численно интегрированы по времени для определения соответствующих углов ориентации как функции времени. Имя, данное этим трем углам ориентации (соответствующим w n , w p и w s ) — это Эйлеровых углов , которые являются распространенным способом определения ориентации любого твердое тело в трехмерном пространстве.
Уравнения 10-12 математически описывают движение любого осесимметричного тела, прикрепленного и вращающегося на безмассовом стержне, прикрепленном к шарниру без трения, при этом ось симметрии тела указывает в направлении оси стержня. Это, несомненно, хороший набор уравнений, вытекающий из анализа общего движения.
Уравнения 10-12 также применимы для осесимметричного волчка, вращающегося вокруг точки P , при этом точка P лежит на оси симметрии. В данном случае L — расстояние от точки P до центра масс G вершины. А условия инерции рассчитываются относительно центра масс G вершины (как это было сделано для колеса гироскопа).
Движение, предсказанное уравнениями 10-12, известно как движение возврата, основанное на ранее заданных граничных условиях.
Заключительные замечания
На этом анализ завершен. Как видите, физика гироскопов — сложный предмет, достойный более глубокого понимания. Мы надеемся, что вы получили реальное представление о том, как работают гироскопы, а также пробудили любопытство, чтобы изучить их самостоятельно.
Интуитивное объяснение гироскопов было дано в начале страницы. Это объяснение хорошо работает, чтобы объяснить, как гироскоп, испытывающий постоянные скорости прецессии и вращения, может поддерживать постоянный угол θ . Но в приведенном выше анализе гироскоп сначала падает с угла θ o , а затем начинает прецессировать, одновременно испытывая циклическое изменение угла θ . Интуиция не может объяснить, почему это происходит, что часто бывает в физике при решении сложных задач. Но, возможно, достойным объяснением этого является использование аналогии с пружиной. Если груз висит на пружине, находясь в равновесии, вертикальное положение груза не изменится. Но если эту массу поднять, а затем вывести из состояния покоя, она будет колебаться вертикально вверх и вниз. Система больше не находится в равновесии, и колебательное движение — это просто физический способ «исправить» дисбаланс сил. Та же основная идея применима к гироскопу, выведенному из состояния покоя, что, возможно, может помочь вам понять происходящую физику.
Вернуться на страницу Прочая физика
Вернуться на домашнюю страницу Real World Physics Problems
сообщить об этом объявлении
Гироскоп | Определение, физика и использование
гироскоп
Просмотреть все материалы
- Похожие темы:
- гирокомпас компас уравнение гироскопа кольцевой лазерный гироскоп кардан
Просмотреть весь связанный контент →
Резюме
Прочтите краткий обзор этой темы
гироскоп , устройство, содержащее быстро вращающееся колесо или вращающийся луч света, который используется для обнаружения отклонения объекта от его желаемой ориентации. Гироскопы применяются в компасе и автопилоте на кораблях и самолетах, в рулевых механизмах торпед, в инерциальных системах наведения, устанавливаемых на ракетах-носителях, баллистических ракетах и орбитальных спутниках.
Механические гироскопы
Механические гироскопы основаны на принципе, открытом в 19 веке Жаном-Бернаром-Леоном Фуко, французским физиком, который дал название гироскоп колесу или ротору, установленному в карданных кольцах. Угловой момент вращающегося ротора заставлял его сохранять свое положение даже при наклоне карданного узла. В 1850-х годах Фуко провел эксперимент с таким ротором и продемонстрировал, что прялка сохраняет свою первоначальную ориентацию в пространстве независимо от вращения Земли. Эта способность навела на мысль о ряде применений гироскопа в качестве указателя направления, и в 1908 немецкий изобретатель Х. Аншютц-Кемпфе разработал первый работоспособный гирокомпас для использования в подводном аппарате. В 1909 году американский изобретатель Элмер А. Сперри построил первый автопилот, использующий гироскоп для удержания самолета на курсе. Первый автопилот для судов был установлен на датском пассажирском судне немецкой компанией в 1916 году, и в том же году гироскоп был использован в конструкции первого авиагоризонта для самолетов.
Гироскопы использовались для автоматического управления и корректировки поворота и тангажа крылатых и баллистических ракет со времен немецких ракет Фау-1 и Фау-2 во время Второй мировой войны. Также во время той войны способность гироскопов определять направление с большой степенью точности в сочетании со сложными механизмами управления привела к разработке стабилизированных артиллерийских прицелов, бомбовых прицелов и платформ для размещения орудий и радиолокационных антенн на борту кораблей. Инерциальные системы наведения, используемые орбитальными космическими кораблями, требуют небольшой платформы, которая стабилизируется с исключительной степенью точности; это все еще делается традиционными гироскопами. Более крупные и тяжелые устройства, называемые импульсными колесами (или реактивными колесами), также используются в системах ориентации некоторых спутников.
Оптические гироскопы
Оптические гироскопы практически без движущихся частей используются в коммерческих реактивных лайнерах, ракетах-носителях и орбитальных спутниках. Такие устройства основаны на эффекте Саньяка, впервые продемонстрированном французским ученым Жоржем Саньяком в 1913 году. В демонстрации Саньяка луч света был разделен таким образом, что часть шла по часовой стрелке, а часть против часовой стрелки вокруг вращающейся платформы. Хотя оба луча двигались по замкнутому контуру, луч, идущий в направлении вращения платформы, возвращался в исходную точку немного позже, чем луч, идущий в направлении, противоположном вращению. В результате была обнаружена картина «краевой интерференции» (чередование светлых и темных полос), которая зависела от точной скорости вращения поворотного стола.
Гироскопы, использующие эффект Саньяка, начали появляться в 1960-х годах, после изобретения лазера и развития волоконной оптики.