Теория интегралы: Интегралы в теории вероятностей

Содержание

Курс высшей математики, Т.2

В.И.Смирнов Курс высшей математики, Т.2.: Изд-во “Наука”. 1974. – 479 с.

Фундаментальный учебник по высшей математике, выдержавший более двадцати изданий, переведенный на множество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой – простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами. Книга состоит из пяти томов. Тома третий и четвертый – каждый из двух частей.

Для студентов университетов и технических вузов.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2. (n)=f(x).
18. Понижение порядка дифференциального уравнения.
19. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
20. Примеры.
21. Системы уравнений и уравнения высших порядков.
22. Линейные уравнения с частными производными.
23. Геометрическая интерпретация.
24. Примеры.
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
25. Линейные однородные уравнения второго порядка.
26. Линейные неоднородные уравнения второго порядка.
27. Линейные уравнения высших порядков.
28. Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
29. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
30. Частные случаи.

31. Корни решений и колеблющиеся решения
32. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
33. Линейные уравнения и колебательные явления.
34. Собственные и вынужденные колебания.
35. Синусоидальная внешняя сила и резонанс.

36. Предельные задачи.
37. Примеры.
38. Символический метод.
39. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
40. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
41. Пример.
42 Уравнение Эйлера.
43. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
44. Примеры
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степенного ряда
46. Примеры.
47. Разложение решения в обобщенный степенной ряд.
48. Уравнение Бесселя
49. Уравнения, приводящиеся к уравнению Бесселя
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
50. Метод последовательных приближений для линейных уравнений.
51. Случай нелинейного уравнения.
52. Дополнения к теореме существования и единственности.
53. Сходимость метода Эйлера — Коши.
54. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка.
55. Автономные системы.
56. Примеры.

ГЛАВА III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
58. Двукратный интеграл.
59. Вычисление двукратного интеграла.
60. Криволинейные координаты.
61. Трехкратный интеграл
62. Цилиндрические и сферические координаты.
63. Криволинейные координаты в пространстве.
64. Основные свойства кратных интегралов.
65. Площадь поверхности.
66. Интегралы по поверхности и формула Остроградского.
67. Интегралы по определенной стороне поверхности.
68. Моменты.
§ 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
69. Определение криволинейного интеграла.
70. Работа силового поля. Примеры.
71. Площадь и криволинейный интеграл.
72. Формула Грина
73. Формула Стокса.
74. Независимость криволинейного интеграла от пути на плоскости.
75. Случай многосвязной области.
76. Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве.
77. Установившееся течение жидкости.
78.

Интегрирующий множитель.
79. Уравнение в полных дифференциалах для случая трех переменных.
80. Замена переменных в двойном интеграле.
§ 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
81. Интегрирование под знаком интеграла.
82. Формула Дирихле.
83. Дифференцирование под знаком интеграла
84. Примеры.
85. Несобственные интегралы.
86. Неабсолютно сходящиеся интегралы.
87. Равномерно сходящиеся интегралы.
88. Примеры.
89. Несобственные кратные интегралы.
90. Примеры.
§ 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
92. Основные теоремы.
93. Счетные множества. Действия над точечными множествами.
94. Мера Жордана.
95. Квадрируемые множества.
96. Независимость от выбора осей.
97. Случай любого числа измерений.
98. Интегрируемые функции.
99. Вычисление двойного интеграла.
100. n-кратные интегралы.
101. Примеры.
102. Внешняя мера Лебега.
103. Измеримые множества.
104. Измеримые функции.
105.

Дополнительные сведения.
106. Интеграл Лебега.
107. Свойства интеграла Лебега.
108. Интегралы от неограниченных функций.
109. Предельный переход под знаком интеграла.
110. Теорема Фубини.
111. Интегралы по множеству бесконечной меры.
ГЛАВА IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ
112. Сложение и вычитание векторов.
113. Умножение вектора на скаляр. Компланарность векторов.
114. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
115. Скалярное произведение.
116. Векторное произведение.
117. Соотношения между скалярным к векторным произведениями.
118. Скорости точек вращающегося твердого тела; момент вектора.
§ 11 ТЕОРИЯ ПОЛЯ
119. Дифференцирование вектора
120. Скалярное поле и его градиент.
121. Векторное поле; расходимость и вихрь.
122. Потенциальное и соленоидальное поля.
123. Направленный элемент поверхности.
124. Некоторые формулы векторного анализа.
125. Движение твердого тела и малая деформация.
126.

Уравнение непрерывности.
127. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости.
128. Уравнения распространения звука.
129. Уравнение теплопроводности.
130. Уравнения Максвелла.
131. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах.
132. Операция дифференцирования для случая переменного поля.
ГЛАВА V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
133. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта.
134. Эвольвента.
135. Естественное уравнение кривой.
136. Основные элементы кривой в пространстве.
137. Формулы Френе.
138. Соприкасающаяся плоскость.
139. Винтовые линии.
140. Поле единичных векторов.
§ 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
141. Параметрические уравнения поверхности.
142. Первая дифференциальная форма Гаусса.
143. Вторая дифференциальная форма Гаусса.
144. О кривизне линий, начерченных на поверхности.
145. Индикатриса Дюпена и формула Эйлера.
146. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений.
147.

Линии кривизны.
148. Теорема Дюпена.
149. Примеры.
150. Гауссова кривизна.
151. Вариация элемента площади и средняя кривизна.
152. Огибающая семейства поверхностей и кривых.
153. Развертывающиеся поверхности.
ГЛАВА VI. РЯДЫ ФУРЬЕ
154. Ортогональность тригонометрических функций.
155. Теорема Дирихле.
156. Примеры.
157. Разложение в промежутке (0, п).
158. Периодические функции периода 2l.
159. Средняя квадратичная погрешность.
160. Общие ортогональные системы функций.
161. Класс L2
162. Сходимость в среднем.
163. Ортонормированные системы в L2.
§ 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ
164. Разложение в ряд Фурье.
165. Вторая теорема о среднем.
166. Интеграл Дирихле.
167. Теорема Дирихле.
168. Приближение к непрерывной функции полиномами.
169. Формула замкнутости.
170. Характер сходимости рядов Фурье.
171. Улучшение сходимости рядов Фурье.
172. Пример.
§ 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
173.

Формула Фурье.
174. Ряды Фурье в комплексной форме.
176. Кратные ряды Фурье.
ГЛАВА VII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

176. Уравнение колебаний струны.
177. Решение Даламбера.
178. Частные случаи.
179. Ограниченная струна.
180. Способ Фурье.
181. Гармоники и стоячие волны.
182. Вынужденные колебания.
183. Сосредоточенная сила.
184. Формула Пуассона.
185. Цилиндрические волны.
186. Случай n-мерного пространства.
187. Неоднородное волновое уравнение.
188. Точечный источник.
189. Поперечные колебания мембран.
190. Прямоугольная мембрана.
191. Круглая мембрана.
192. Теорема единственности.
193. Применение интеграла Фурье.
§ 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ
195. Установившиеся процессы.
196. Устанавливающиеся процессы.
197. Примеры.
198. Обобщенное уравнение колебаний струны.
199. Неограниченная цепь в общем случае.
200. Способ Фурье для ограниченной цепи.
201.

Обобщенное волновое уравнение.
§ 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
202. Гармонические функции.
203. Формула Грина.
204. Основные свойства гармонических функций.
205. Решение задачи Дирихле для круга.
206. Интеграл Пуассона.
207. Задача Дирихле для сферы.
208. Функция Грина.
209. Случай полупространства.
210. Потенциал объемных масс.
211. Уравнение Пуассона.
212. Формула Кирхгофа.
§ 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
214. Неограниченный стержень.
215. Стержень, ограниченный с одного конца.
216. Стержень, ограниченный с обоих концов.
217. Дополнительные замечания.
218. Случай сферы.
219. Теорема единственности.

Глава 11. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля.

§1. Криволинейный интеграл первого рода и его приложения.

В задачах 11.1-11.6 вычислить криволинейные интегралы первого рода по указанной кривой :

11. 1 , где

11.2 , где

11.3 , где

11.4 , где

11.5 , где -отрезок с концами и.

11.6 , где – граница треугольника с вершинами , и .

11.7, где ,

11.8, где,

11.9, где ,,

11.10, где ,,

11.11 , где – часть логарифмической спирали , находящаяся внутри круга .

11.12 , где – часть спирали Архимеда , находящаяся внутри круга .

11.13 , где – окружность .

11.14 , где – половина лемнискаты Бернулли , .

11.15 Найти длину дуги кривой :

а) , ;

б) , , ;

в) , , , ; г) .

11.16 Найти массу, распределённую по участку кривой , , если плотность в каждой точке кривой равна квадрату абсциссы этой точки.

11.17 Найти массу, распределённую по полуокружности , расположенной в верхней полуплоскости, если плотность в каждой точке полуокружности равна кубу ординаты этой точки.

11.18 Найти массу, распределённую по дуге кривой : , , , , плотность которой меняется по закону .

11.19 Найти координаты центра массы, распределённой по кривой с плотностью , если:

а) ;

б) ,,;

в) ,.

11.20Найти моменты инерции однородной дуги плотности :

а) относительно оси ;

б) , относительно оси ;

в) ,, относительно оси ;

г)относительно оси

§2. Криволинейный интеграл второго рода и его приложения.

В задачах 11.21-11.24 вычислить криволинейные интегралы по кривой , пробегаемой в направлении возрастания её параметра :

11. 21 , где – дуга параболы , .

11.22 , где – дуга параболы , .

11.23 , где – кривая , .

11.24 , где – кривая , .

11.25 Вычислить криволинейный интеграл по отрезку , ориентированному в направлении от точки к точке :

а) , , ;

б) , , .

11.26 Вычислить криволинейный интеграл по кривой , пробегаемой от точки к точке :

а) , – дуга параболы , ,;

б) , – дуга параболы , ,.

В задачах 11.27-11.30 вычислить криволинейный интеграл по кривой, пробегаемой в направлении возрастания её параметра :

11.27, – дуга окружности ,, .

11.28, где – дуга циклоиды , , .

11.29, где – кривая ,, , .

11.30, где – дуга винтовой линии , , , .

В задачах 11.31-11.32 вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.

11.31 , где – контур треугольника с вершинами ,.

11.32 , – контур, составленный линиями , , .

В задачах 11.33-11.36, применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.

11.33 , где – эллипс .

11.34 , где – окружность .

11.35 , где – контур, образованный синусоидой и отрезком оси при .

11.36 , где – граница треугольника

с вершинами , и .

В задачах 11.37-11.38 убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой с началом в точке и концом в точке .

11.37 , ,.

11.38 ,,.

В задачах 11.39-11.42 найти функцию по заданному полному дифференциалу этой функции:

11.39 .

11.40 .

11.41 .

11.42 .

В задачах 11.43-11.46 найти площадь области , ограниченной плоскими кривыми:

11.43, . 11.44, , .

11.45, () (эллипс).

11.46, (астроида).

В задачах 11.47-11.50 найти работу силового поля вдоль дуги кривой , если:

11.47 , , , .

11.48 , , , .

11.49 , , , , .

11.50 , , , , .

Интегральная теория ⋅ Интеграл спиральной динамики

Перейти к содержимому

Интегральная теорияАллард де Раниц2021-05-27T10:59:08+01:00

Интегральная теория — наряду с системами ценностей и динамикой изменений — является третьим фундаментальным столпом интегральной спиральной динамики. Основная часть мысли SDi предполагает, что все аспекты нашей жизни и рабочей среды имеют внутреннее измерение (субъективные ценности и мотивы) и внешнее измерение (объективно измеримое поведение и проявления) как на индивидуальном, так и на коллективном уровне.
Когда мы изучаем реальность в этих четырех измерениях, становится ясно, что развитие является единым и связным целым. В некотором смысле Интегральная Теория создает карту, которая показывает нам, где на спирали «располагается» человек или организация. Затем он сообщает нам, на какие аспекты они хотят обратить внимание сейчас или позже. Интегральная теория учит нас тому, что организационное развитие всегда связано с личным и межчеловеческим развитием и что рост и изменение как личности, так и организации находятся в постоянном взаимодействии с окружающей средой. Большим преимуществом интегральной теории является то, что она структурирована, прагматична и легко объяснима. Вы можете найти дополнительную информацию ниже.

Введение в Интегральную Теорию
Интегральная Теория — это всесторонняя теория, разработанная американским философом Кеном Уилбером и основанная на элементарных идеях нескольких основных философских традиций мира. Базовой структурой интегральной теории является модель четырех квадрантов, или AQAL (аббревиатура от All Quadrants, All Levels) (см. изображение выше). Модель описывает, что мы можем смотреть на нашу реальность через индивидуальную, коллективную, субъективную и/или объективную линзу. Все эти четыре квадранта отражают реальность по-своему, уникально и ценно. Что очень важно в этой модели, так это то, что все квадранты должны быть рассмотрены и изучены, чтобы иметь полное представление о реальности. Когда мы рассматриваем реальность только из одного квадранта, наш взгляд будет неполным. Часто вопрос или проблема в одном квадранте является результатом или причиной проблемы или решения в другом квадранте, которые до этого момента не рассматривались. Важно понимать, что все квадранты одинаково важны для полного понимания процессов изменений и развития и осуществления соответствующих вмешательств для достижения желаемых результатов. Интегральная теория показывает нам карты того, на какие аспекты следует обращать внимание, а какие — вне личности и организации. Это разъясняет, почему все может быть успешным только тогда, когда все и все включены.

Применение интегральной теории; пример
Например, руководство ИТ-организации хочет, чтобы работодатели определенного отдела работали более компетентно и проявляли больше предприимчивости. Эти компетенции, которые относятся к более оранжевой системе ценностей, соответствуют квадранту в верхнем правом углу модели (индивидуально-целевые). Чтобы реализовать это изменение, нам нужно выяснить, соответствуют ли желаемые поведенческие переменные текущим мотивам этих сотрудников (квадрант внизу слева: коллективно-субъективный). В случае с небольшим количеством сотрудников Orange Value Systems или вообще без них это может превратиться в очень сложный процесс. Во-первых, для этих сотрудников необходимо активировать систему ценностей Orange. И когда, например, активна доминирующая фиолетовая групповая культура (квадрант нижний левый: коллективно-субъективный), а организационные процедуры в основном организованы на основе синей системы ценностей (правый нижний квадрант: коллективно-целевой), относительно простое изменение может быть сложным. Почему? В практическом применении это изменение на оранжевый будет иметь много эффектов в одном отдельном квадранте из-за изменений в других квадрантах.

Понимание Интегральной Теории

Интегральная Теория (AQAL – Все Квадранты, Все Уровни, Все Линии, Все Состояния, Все Типы, как она называется полностью) знает горизонтальное и вертикальное измерения. Квадранты (все квадранты) являются основой горизонтальной оси интегральной теории. В квадрантах мы находим вертикальную структуру Уровней, Состояний, Линий и Типов для отображения уровней развития. На этом веб-сайте нет возможности подробно объяснить их все. Однако ниже мы объясним эти четыре категории. Для получения более подробной информации мы хотели бы обратиться к книгам (ссылка на страницы книг), статьям (ссылка на страницы статей), веб-сайтам (ссылка на ссылки на страницы) и видео (ссылка на страницы видео и Clips/SDi General) о Integral Теория. Настоятельно рекомендуемые статьи об интегральной теории — это статья Integral Naked и статья Шона Эсбьерна-Харгенса.

Люди развиваются шаг за шагом (по этапам) от одного уровня развития к следующему уровню развития. Эти уровни сознания постоянны. Как только вы освоите уровень, например, чтение и письмо, при нормальных последствиях это будет постоянное изменение. В сочетании с системами ценностей это развитие проявляется как сознание определенной системы ценностей. Например, когда человек из-за меняющихся жизненных условий и после переживания дисгармонии адаптируется от доминирующей Оранжевой системы ценностей к доминирующей Зеленой системе ценностей в качестве своего основного мировоззрения.

Линии относятся к различному типу интеллекта, развитого людьми, например когнитивный, эмоциональный, духовный, физический, реляционный и моральный интеллект и т. д. Например, у некоторых людей хорошо развито логическое мышление, но плохо развито логическое мышление. работать со своими эмоциями и выражать их. В некоторых системах ценностей предпочтение будет отдаваться некоторым линиям. Все линии важны во всех системах ценностей. Однако, в зависимости от контекста, система ценностей будет выбирать определенные строки выше других строк, чтобы считать адаптацию успешной или нет.

Состояния относятся к сознанию и состоянию, в котором кто-либо находится. Например, бодрствование, сон или сновидения. Различные состояния на самом деле являются разными мирами, в которых мы можем жить. То, как мы большую часть времени воспринимаем наш мир, также является состоянием сознания. Большинство западных людей, например, смотрят на мир как на конкретный опыт, в котором вы можете держать объекты и буквально интерпретировать высказывания. Однако люди знают и другие состояния. Существуют состояния сознания, в которых тонким образом можно пережить другую реальность. Эти тонкие переживания иногда также называют пиковыми переживаниями. Пиковые переживания носят временный характер и дают людям возможность прозреть на уровни сознания, которые раньше были для них невидимы. Во время этих временных состояний сознания люди с большой ясностью обретают новое понимание, которое выходит за рамки привычных способов мышления, чувств и действий. Эти временные состояния сознания могут быть преобразованы в постоянные с помощью (долгосрочного) обучения, например, обучения медиации.

Типы — это определенные характеристики, связанные с личностью, организацией или обществом. В основном они остаются одинаковыми на разных стадиях развития. Например, различия между женским и мужским, типами личности по эннеаграмме и юнгианскими архетипами, а также I-vs. – Мы ст. Типы совершенно статичны и могут — при необходимости — развиваться в «более здоровом» проявлении, приспособленном к изменению и/или новым условиям жизни.

Поиск

Поиск:

Последние сообщения

Перейти к началу

Интегральная теория: удивительно простая, элегантная

Уровни

Уровни означают развитие через отдельные этапы. Такие уровни часто очерчены для отдельных людей и того, как мы понимаем, что происходит вокруг нас. Они существуют во всех интегральных квадрантах выше.

Примером уровней для отдельных людей является то, что развитие разворачивается в определенной, идентифицируемой и неизменной последовательности. Люди проходят определенные этапы или порядки, в рамках которых мы понимаем себя (и то, что мы переживаем в мире) в пределах описываемых параметров.

По мере того, как человек переходит от одной стадии к новому порядку, новый уровень включает в себя предыдущие порядки и, следовательно, должен быть более сложным, чтобы поддерживать это более всеобъемлющее понимание. Таким образом, человек будет осмысливать себя и мир целостным образом, когда на определенной стадии, а затем, в последующем порядке, это предшествующее понимание формирует часть (но не все) их нового осмысления.

То есть новая стадия смыслообразования выходит за пределы и включает в себя предыдущие шаги – она выходит за пределы своего предыдущего уровня знания, но все же включает в себя это знание. Такие когнитивные этапы также связаны с физическими представлениями — например, с восприятием и объективными утверждениями о том, почему мы должны или не должны действовать в связи с изменением климата и/или с тем, как люди определяют устойчивость.

Состояния, линии, типы

Другими аспектами интегральной теории являются состояния, линии и типы. Кратко:

Состояния — это временные способы бытия или внешние условия.
Концепция множественных линий распространена в развитии, которое может включать когнитивное, моральное и эмоциональное развитие. Например, Роберт Киган и Сюзанна Кук-Гройтер описали такие иерархии роста. Эти отдельные описания можно рассматривать как такие дискретные линии развития.
Типы описывают обычно фиксированные предпочтения. Например, утверждается, что тип Майерс-Бриггс человека не меняется. Тем не менее, непредпочтительный способ существования может быть изучен.

Сторонники интегральной теории считают, что использование всех элементов в любой ситуации увеличивает вероятность лучшего понимания и/или успешных результатов.
Интегральная теория может быть применена и применяется к широкому спектру человеческих усилий, включая устойчивость и смежные темы, лидерство, управление, организации и будущие исследования.

Революционная

Одной из отличительных черт интегральной теории является ее всеобъемлющая карта мира. Это помогает нам понять такие парадоксы, как рентабельность. В этом парадоксе мы говорим, что будем действовать, когда это будет в наших финансовых интересах. Однако существует множество примеров рентабельных, быстрых, безрисковых и прибыльных изменений, которые не были реализованы.

Уровни помогают нам понять совершенно разные точки зрения. Например, иногда я разочаровываюсь в догматическом, моем пути или пути, подходе. Google Glass — хороший пример. Технически блестящая, полезная идея, но, к сожалению, мы забыли об интеграции более сложных, изощренных и тонких перспектив. Человек, который носит это, шпионит за мной, будучи стеклянным отверстием?

Квадранты и несколько примеров из каждой области выше (щелкните, чтобы открыть).