Теория дифференциальных уравнений: определения и понятия
С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.
Дифференциальное уравнение
Определение 1Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.
Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.
Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.
Пример 1Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:
1) y’+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, α∈R
Пример 2Уравнения в частных производных 2-го порядка:
1) ∂2u∂t2=v2·∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2, u=u(x,y,z,t), v∈R;2) ∂2u∂x2-∂2u∂y2=0, u=u(x,y)
С порядками ДУ разобрались.
Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y’,y”,…,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,…,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0 – это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).
Интегрирование дифференциального уравнения
Определение 2Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.
Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.
Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.
В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y’,y”,.
Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.
Пример 3Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y’=x.
У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.
Пример 4Функция y=x33 является решением ДУ y’=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y’=x33=13·3×2=x2.
Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.
Общее решение ДУ
Определение 4Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.
Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.
Пример 5Общее решение дифференциального уравнения y’=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная.
Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения
Частное решение ДУ
Определение 5Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.
Пример 6Для ДУ y’=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y’=x33+23’=x2 и y(1)=133+23=1.
К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:
- задачи Коши;
- задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
- краевые задачи.
Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:
f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f”(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1
где f0; f1; f2; …; fn-1 – это некоторые числа.
Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 – заданные числа.
Такие задачи также часто называют граничными задачами.
Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:
fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)
При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) – это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.
Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.
В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.
Характеристическое уравнение ЛНДУ
n-ой степени с постоянными коэффициентами Определение 6
..+f1·k+f0=0.Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Теория дифференциальных уравнений: определения и понятия
С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.
Дифференциальное уравнение
Определение 1Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.
Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.
Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:
1) y’+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, α∈R
Пример 2Уравнения в частных производных 2-го порядка:
1) ∂2u∂t2=v2·∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2, u=u(x,y,z,t), v∈R;2) ∂2u∂x2-∂2u∂y2=0, u=u(x,y)
С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y’,y”,…,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,…,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0 – это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).
Интегрирование дифференциального уравнения
Определение 2Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.
Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.
В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y’,y”,…,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.
Определение 3Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.
Пример 3Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y’=x.
У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.
Пример 4Функция y=x33 является решением ДУ y’=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y’=x33=13·3×2=x2.
Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.
Общее решение ДУ
Определение 4Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.
Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.
Пример 5Общее решение дифференциального уравнения y’=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.
Частное решение ДУ
Определение 5Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.
Пример 6Для ДУ y’=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y’=x33+23’=x2 и y(1)=133+23=1.
К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:
- задачи Коши;
- задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
- краевые задачи.
Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ.
Начальные условия задаются следующим образом:
f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f”(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1
где f0; f1; f2; …; fn-1 – это некоторые числа.
Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 – заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.
Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:
fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)
При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) – это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.
Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.
В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.
Характеристическое уравнение ЛНДУ
n-ой степени с постоянными коэффициентами Определение 6Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0.
Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Математика | Определение, история и значение
Вавилонская математическая табличка
Просмотреть все медиа
- Ключевые люди:
- Глэдис Уэст Исаак Ньютон Галилео Бертран Рассел Альфред Норт Уайтхед
- Похожие темы:
- анализ теория вероятности Информатика комбинаторика процент
Просмотреть весь соответствующий контент →
Резюме
Прочтите краткий обзор этой темы
математика , наука о структуре, порядке и отношениях, развившаяся из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов.
Он имеет дело с логическими рассуждениями и количественными расчетами, и его развитие связано с возрастающей степенью идеализации и абстракции его предмета. С 17 века математика была незаменимым дополнением к физическим наукам и технике, а в более поздние времена она взяла на себя аналогичную роль в количественных аспектах наук о жизни.
Во многих культурах — под влиянием потребностей практических занятий, таких как торговля и сельское хозяйство — математика развилась далеко за пределы простого счета. Этот рост был самым большим в обществах, достаточно сложных, чтобы поддерживать эту деятельность и предоставлять досуг для размышлений и возможность развивать достижения более ранних математиков.
Все математические системы (например, евклидова геометрия) представляют собой комбинации наборов аксиом и теорем, которые могут быть логически выведены из аксиом. Исследования логических и философских основ математики сводятся к вопросам о том, обеспечивают ли аксиомы данной системы ее полноту и непротиворечивость.
Для полного рассмотрения этого аспекта см. математика, основы.
Эта статья предлагает историю математики с древнейших времен до наших дней. Вследствие экспоненциального роста науки большая часть математики развивалась с 15 века н. . По этим причинам основная часть этой статьи посвящена европейским событиям, начиная с 1500 г.
Однако это не означает, что события в других местах были незначительными. Действительно, чтобы понять историю математики в Европе, необходимо знать ее историю хотя бы в древней Месопотамии и Египте, в древней Греции и в исламской цивилизации IX–XV вв. То, как эти цивилизации влияли друг на друга, и важный непосредственный вклад Греции и ислама в более поздние события обсуждаются в первых частях этой статьи.
Вклад Индии в развитие современной математики был сделан благодаря значительному влиянию индийских достижений на исламскую математику в годы ее становления. Отдельная статья «Математика Южной Азии» посвящена ранней истории математики на Индийском субконтиненте и развитию там современной десятичной позиционной системы счисления.
Статья «Математика Восточной Азии» посвящена преимущественно независимому развитию математики в Китае, Японии, Корее и Вьетнаме.
Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться сейчас
Основные разделы математики рассматриваются в нескольких статьях. См. алгебра; анализ; арифметика; комбинаторика; теория игры; геометрия; теория чисел; числовой анализ; оптимизация; теория вероятности; теория множеств; статистика; тригонометрия.
алгебраическая геометрия – Как теория категорий используется для изучения дифференциальных уравнений?
спросил
92,~t(x,y,z)=1.
\метка{эквалайзер}
\end{уравнение}
Затем можно было бы узнать больше о наборе решений, сопоставив диаграмму эквалайзера с другими категориями. В более общем смысле, наборы решений полиномиальных уравнений (и, в более общем смысле, алгебраических многообразий) являются центральным объектом изучения алгебраической геометрии.
Поскольку дифференциальные уравнения занимают центральное место во всех областях физики, я предполагаю, что было предпринято много попыток обобщить эти идеи на наборы их решений. Однако у меня еще недостаточно знаний об алгебраической геометрии, теории топосов или синтетической дифференциальной геометрии. Поэтому я был бы признателен, если бы кто-нибудь мог примерно объяснить, где и как теория категорий используется для изучения дифференциальных уравнений.
Может ли теория категорий действительно помочь решить дифференциальных уравнений (например, путем сопоставления диаграмм уравнений с другими категориями, аналогично тому, как проблемы топологии часто решаются путем сопоставления топологических пространств с алгебраическими в алгебраической топологии) или она может «только предоставить схемы для обобщения дифференциальных уравнений на другие пространства/категории?
Меня особенно интересуют названия областей, которые я должен изучить, если я хочу лучше понять это.
Также приветствуются рекомендации по литературе.
РЕДАКТИРОВАТЬ : Я нашел книгу Виноградова под названием «Когомологический анализ уравнений в частных производных и вторичное исчисление», где «главным результатом […] является вторичное исчисление на диффиеях».
Тем не менее, материал очень глубокий, и поэтому я еще не могу полностью сказать, могут ли эти «новые геометрические объекты, являющиеся аналогами алгебраических многообразий», использоваться для помощи в решении УЧП или они служат для структурирования теории УЧП или результат в других приложениях, о которых я не знаю. Таким образом, дополнительная информация будет очень признательна!
- обыкновенные дифференциальные уравнения
- алгебраическая геометрия
- запрос-справка
- теория категорий
- синтетическая дифференциальная геометрия
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Существует это наблюдение Марвана.
Замечание о категории УЧП, что конструкция расслоения струй в обычной дифференциальной геометрии имеет структуру комонады, категория коалгебр Эйленберга-Мура которой эквивалентна
к категории Виноградова УЧП.
Это «синтетическое» обобщение конструкции струйного расслоения демонстрирует в качестве базового изменения комонаду вдоль единицы функтора «бесконечно малой формы», которая затем может быть показана как дифференциально-геометрический аналог операции Симпсона «форма де Рама» в алгебраическая геометрия.
Редактировать В ответ на запрос @Exchange о более свежих разработках на ум приходит работа Хавкина и Шрайбера в том же ключе, что и работа, предпринятая вышеперечисленными авторами.
Они смогли расширить работу Марвана и представить формальную теорию УЧП в синтетической дифференциальной геометрии. Используя теорию топосов, Хавкин и Скрайбер демонстрируют синтетическое обобщение конструкции пучка струй. При таком обобщении авторы показывают, что это всегда эквивалентно категории Эйленберга-Мура над синтетической струйной комонадой.
Они расширяют этот результат, показывая, что всякий раз, когда единица операции «бесконечно малая форма» $\scr{S}$ является эпиморфной, категория формально интегрируемых УЧП с независимыми переменными со значениями в некотором $\Sigma$ также эквивалентна просто категория среза над $\scr{S} \Sigma$. Это дает, в частности, удобное представление категорий УЧП в общем контексте.
Для получения более подробной информации см. статью за 2017 год
Дайте мне знать, если вам нужна дополнительная информация,
Лучший
Кевин
$\endgroup$
9
$\begingroup$
Я только что понял, что производные категории и методы гомологической алгебры могут помочь в решении дифференциальных уравнений. Это очень большая тема под названием алгебраический анализ , которые используют инструменты $D$-модулей и теории пучков.
См. этот вопрос Mathoverflow, этот другой вопрос MO (первый ответ) и эту книгу о D-модулях, в которых широко используется язык категорий. Кроме того, Борель и Коутиньо написали по книге, возможно, вы сможете найти дополнительную информацию об этом.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
В другом направлении можно использовать дифференциальные уравнения для решения категориальной задачи.
Если кто-то хочет деформировать-квантовать группу Пуассона-Ли, решающим шагом является деформация бесконечно малой моноидальной категории в косую моноидальную категорию, и это сводится к нахождению ассоциатора Дринфельда, то есть степенного ряда из двух (не -коммутирующие) переменные $X,Y$, проверяющие некоторые условия, которые я не буду здесь писать.
Оказывается, из решения уравнения $\frac{d \psi}{dz} = \psi \cdot \alpha$ можно построить ассоциатор, где $\alpha = \sum_{a,b} d( log(z_a – z_b))t_{a,b} \in H^1(X_A, \mathbb R) \otimes \mathfrak t_A$, где $X_A$ — конфигурационное пространство $A$ ($A$ — конечное множество) точек в $\mathbb C$, а $\mathfrak t_A$ — алгебра Ли Дринфельда-Хоно.