Ответы на тестовые задания
Номер теста | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Правильный ответ | 1 | 4 | 3 | 2 | 2 | 4 | 1 |
2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
(1)
связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные
Порядком
дифференциального уравнения называется порядок старшей
производной, входящей в уравнение.
Пример 1. Примерами дифференциальных уравнений первого порядка являются: xy + sin x y = 0, yy + (x2 + y2)y = ex; дифференциальных уравнений второго порядка являются: y
Решением дифференциального уравнения (1) называется такая дифференцируемая функция y = (x), которая вместе со своими производными при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество. График этой функции называетсяинтегральной кривой. Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением
дифференциального уравнения
-го
порядка называется функция y = (x; C1; C
Если решение задано в неявном виде (х; у) = 0, то оно называется интегралом уравнения (1).
Общее решение, заданное в неявном виде F(x; y; C1; C2; ; Cn) = 0, называется
Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка формулируется следующим образом: найти частное решение y = y(x) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
Пример 2. Проверить, является ли функция y = Cx3 решением дифференциального уравнения 3
Решение
По условию: y = Cx3. Дифференцируя по переменной x, получаем y = (Cx3) = 3Cx2. Подставляя выражения y и y в данное дифференциальное уравнение, получаем тождество 3Cx3 – x 3Cx2 = 0. Следовательно, функция y = Cx3 является общим решением дифференциального уравнения 3y – xy = 0.
Пример 3. По общему решению y = Cx3 некоторого дифференциального уравнения найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y
Решение
Подставим y = 3 и x = 1 в общее решение и найдем значение C : 3 = = C 13, C = 3.При подстановке C = 3 в общее решение, получаем частное решение y = 3x3.
Пример 4. Из общего интеграла x2 + y2 = C некоторого дифференциального уравнения
найти частный интеграл, удовлетворяющий
начальным условиям y(4)
= –3.
Решение
Подставим y = –3 и x = 4 в общий интеграл и найдем значение C : 42 + (–3)2 = C
Тест 1. Дифференциальным уравнением является уравнение:
1) x + 4 = 7;
2)
3)
4)
5)
Тест 2. Дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 3. Дифференциальным уравнением второго порядка является:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест
4.
Дифференциальным
уравнением третьего порядка является:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 5. Решением дифференциального уравнения является функция:
1)
3)
4)
Тест 6. Общим решением некоторого дифференциального уравнения является функция y = Cx3, тогда частным решением этого дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальным условиям y(1) = 3, является:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 7. Общий интеграл некоторого дифференциального уравнения имеет вид x2 + y2 = C, тогда частным интегралом этого дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальным условиям
1)
2)
3)
4)
5)
Дифференциальные уравнения и краевые задачи
Главная / Математика / Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Тест 4 Упражнение 1:Номер 1
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Ответ:
 5 
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение . Ответ:
 3 
Номер 3
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение .
Ответ:
 4 
Упражнение 2:
Номер 1
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение . Ответ:
 3 
Номер 2
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение .
Ответ:
 2 
Номер 3
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение . Ответ:
 1 
Упражнение 3:
Номер 1
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение .
Ответ:
 -1 
Номер 2
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение . Ответ:
 -1 
Номер 3
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение .
Ответ:
 -1 
Упражнение 4:
Номер 1
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение . Ответ:
 5 
Номер 2
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение .
Ответ:
 3 
Номер 3
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение . Ответ:
 4 
Упражнение 5:
Номер 1
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение .
Ответ:
 -1 
Номер 2
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение . Ответ:
 -1 
Номер 3
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение .
Ответ:
 -1 
Упражнение 6:
Номер 1
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение , если: Ответ:
 6 
Номер 2
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение , если: Ответ:
 6 
Номер 3
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение , если: Ответ:
 6 
Упражнение 7:
Номер 1
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение , если: Ответ:
 -1 
Номер 2
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение , если: Ответ:
 4,5 
Номер 3
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение , если: Ответ:
 7 
Упражнение 8:
Номер 1
Дана система дифференциальных уравнений:
\\
\frac{dx_1}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{bx_3}\\
\frac{dx_2}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{ax_3}\\
\frac{dx_3}{dt}=\frac{ax_2+bx_1}{x_3}\\
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение , если: Ответ:
 -5 
Номер 2
Дана система дифференциальных уравнений:
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение , если: Ответ:
 1 
Номер 3
Дана система дифференциальных уравнений:
Показать, что первыми интегралами системы являются выражения вида:
\\
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=A\\
\delta x_1+\varepsilon x_3=B\\
x_2=C\\
В ответе указать значение , если: Ответ:
 5 
Простые тесты устойчивости для дифференциальных уравнений задержки второго порядка | Березанский
Простые тесты устойчивости для дифференциальных уравнений задержки второго порядка
Аннотация
Для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений запаздывания второго порядка с затухающими членами получены экспоненциальная устойчивость и условия глобальной асимптотической устойчивости.
Результаты основаны на новых достаточных условиях устойчивости для систем линейных уравнений. Результаты иллюстрируются численными примерами, а также приводится перечень соответствующих проблем для будущего исследования.
Предложена подстановка, в которой используются параметры исходной модели. Используя этот подход, широкий класс неавтономных линейных уравнений второго порядка с задержками был исследован и получены явные легко проверяемые достаточные условия устойчивости. Приводится естественное продолжение этого подхода к анализу устойчивости моделей высокого порядка. Для нелинейных неавтономных уравнений второго порядка с задержками применен метод линеаризации и получены результаты для линейных моделей. Приведенные тесты стабильности применимы к некоторым моделям фрезерования и к неавтономной модели бизнес-цикла Kaлдора – Kaлецкого. Мы предлагаем, чтобы аналогичная методика была разработана для линейных уравнений с условием линейной задержки или без задержки.
Ключевые слова
дифференциальные уравнения запаздывания второго порядка; экспоненциальная устойчивость; редукция систем
Литература
Berezansky L.
, Diblik J., and Smarda Z. Positive Solutions of Second-order Delay Differential Equations with a Damping Term. Computers and Mathematics with Applications, 2010, 60, pp. 1332– 1342. DOI: 10.1016/j.camwa.2010.06.014
Berezansky L., Braverman E., Domoshnitsky A. Stability of the Second Order Delay Differential Equations with a Damping Term. Differential Equations and Dynamical Systems, 2008, vol. 16, issue 3, pp. 185–205. DOI: 10.1007/s12591-008-0012-4
Cahlon B., Schmidt D. Stability Criteria for Certain Second-order Delay Differential Equations with Mixed Coefficients. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2004, vol. 170, issue 1, pp. 79–102. DOI: 10.1016/j.cam.2003.12.043
Cahlon B. Unconditional Stability for Certain Delay Differential Equations. Dynamic Systems Applications, 1996, vol. 5, pp. 583–594.
Gyori I., Hartung F. Asymptotically Exponential Solutions in Nonlinear Integral and Differential Equations. Journal of Differential Equations, 2010, vol.
249, issue 6, pp. 1322–1352. DOI: 10.1016/j.jde.2010.06.017
Тест дифференциальные уравнения – Школьные Знания.com
Углы треугольника относятся как2:3:10.Найдите внешние углы
Обчисліть 16 % від 42
Охарактеризуйте логічну та історичну схеми розширення поняття числа. Яка схема покладена в основу вчення про число у шкільному курсі математики? Зазна … чте схему вивчення числових систем у шкільному курсі математики за діючими програмами
ку́а́рма́ґа́нд? к≈10
З ринку принесли 20 кавунів. 4- важили по 2,8 кг, 6-по 2,3 кг,2- по 2,4 кг,а решта по 2,3 кг.Обчислити середню масу кавунів.
Вопрос 1 Известно, что а < 0, b < 0. Выбери верные утверждения. Укажите один или несколько правильных вариантов ответа: a · (-b) < 0 (-a) · … b > 0 (-a) · (-b) > 0 a · b > 0
Два велосипедисти виїхали одночасно з одного пункта в протилежних напрямках і через 3 години відстань між ними становила 78 км.
Знайдіть швидкість, з
… якою рухався кожний велосипедист, якщо перший їхав повільніше другого на 4 км/год.
Решите пж это срочно!!!На картинке дальше +16постройте график и сделайте уравнения в тетради и скиньте мне фото
Помогите, очень срочно пожалуйста ❤️Построить матрицу смежности для данного графа:
помогите пожалуйста
1.Осьовим перерізом циліндра є прямокутник зі сторонами 8 і 14. Визначте радіус основи цього циліндра, якщо його твірна дорівнює 8
… .
2. Підприємець щокварталу (1 квартал = 3 місяці) сплачує податок, який складається з ЄСВ у розмірі 1320 грн. за кожен місяць і податку на прибуток у розмірі 5% від отриманого за квартал прибутку. За деякий квартал підприємець сплатив податок на загальну суму 6253 грн.1)Яку суму (у гривнях) становив податок на прибуток?2)Скільки тисяч гривень прибутку отримав за цей квартал підприємець?
3.Із наступного року планується почати виробництво нових машин-трансформерів. Згідно з бізнес-планом, у січні планується виготовити 150 таких машин, а кожного наступного місяця виробляти на 25 машин більше, ніж попереднього.
Визначте кількість таких машин, які планується виготовити:1)у грудні (12-ий місяць року)2)за увесь рік (за 12 місяців)
4.Під час водного шоу два дельфіни по прямій почали рухатися одночасно назустріч один одному зі сталими швидкостями 8 м/с і 12 м/с. 1)Скільки метрів за перші 6 секунд проплив дельфін, швидкість якого була більша?2)Визначте відповідь (у метрах), яка була між дельфінами на момент початку їхнього руху, якщо вони зустрілися через 23 секунди?
Тест Пенлеве нелинейной системы дифференциальных уравнений со сложным хаотическим поведением
Репозиторий БГУИР: Тест Пенлеве нелинейной системы дифференциальных уравнений со сложным хаотическим поведением Skip navigationPlease use this identifier to cite or link to this item:
https://libeldoc.bsuir.by/handle/123456789/6399
| Title: | Тест Пенлеве нелинейной системы дифференциальных уравнений со сложным хаотическим поведением |
| Other Titles: | The Painleve’ test for nonlinear system of differential equations with complex chaotich behavior |
| Authors: | Цегельник, В. В. |
| Keywords: | научные публикации дифференциальные уравнения |
| Issue Date: | 2016 |
| Publisher: | НИЯУ МИФИ |
| Citation: | Цегельник, В. В. Тест Пенлеве нелинейной системы дифференциальных уравнений со сложным хаотическим поведением / В. В. Цегельник // Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование: сборник докладов. – 5-я международная конференция, (Москва, 5 – 7 апреля 2016 г.) / Сост.: И .Ю. Гаюр и др., под ред. Н. А. Кудряшова и др. – Москва: НИЯУ МИФИ, 2016. – С. 107 – 108. |
| Abstract: | Проведен Пенлеве-анализ решений нелинейной автономной системы
дифференциальных уравнений третьего порядка с квадратичными нелинейностями
правых частей. Указанная система при определенных значениях двух, входящих в нее
постоянных параметров, обладает сложным хаотическим поведением. Установлено,
что при значениях параметров, соответствующих сложному хаотическому поведению,
система не обладает свойством Пенлеве. The Painleve’-analysis was performed for solutions of a nonlinear third-order autonomous
system of differential equations with quadratic nonlinearities on their right-hand sides.At
certain values of two constant parameters incorporated into the system, the later exhibits
chaotic behavior. When the parameters attain the values correspondig to the complex
chaotic behavior, the system was found not posses thePainleve’ property. |
| URI: | https://libeldoc.bsuir.by/handle/123456789/6399 |
| Appears in Collections: | Публикации в изданиях других стран |
Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
Тест по дисциплине «Метод конечных элементов для решения задач в строительстве» для ЮУрГУ
Тестовые задания по дисциплине «МКЭ и ЧМРСК»
Тест № 1
Дифференциальные уравнений с частными производными имеют число решений :
а) конечное;
б) бесконечное;
в) зависящее от порядка дифференциального уравнения.
Тест № 2
Обыкновенные дифференциальные уравнения имеют число решений :
а) только конечное ; б) бесконечное;
в) конечное и зависящее от порядка дифференциального уравнения.
Тест № 3
Оператор FRAME при создании анимационной картины в системе
MathCAD определяет:
а) только полное число кадров; б) только скорость кадров;
в) полное число кадров и скорость кадров.
Тест № 4
Уравнение колебаний закрепленной струны является дифференциальным уравнением:
а) эллиптического типа; б) параболического типа; в) гиперболического типа.
Тест № 5
Встроенные операторы дифференцирования системы MathCAD позволяют производить над функцией:
а) численные расчеты производных;
б) аналитические расчеты производных; в) логические расчеты производных.
Тест № 6
Условие сходимости Куранта для решения задачи закрепленной струны содержит:
а) только шаг дискретизации по времени;
б) только шаг дискретизации по координате;
в) шаг дискретизации по времени и шаг дискретизации по координате.
Тест № 7
Волновое уравнение имеет простейший вид дифференциального уравнения: а) эллиптического типа;
б) параболического типа; в) гиперболического типа.
Тест № 8
Метод конечных разностей позволяет свести дифференциальное уравнение с частными производными к системе:
а) интегро-дифференциальных уравнений; б) интегральных уравнений;
в) алгебраических уравнений.
Тест № 9
Основное уравнение, определяющее теплоперенос является дифференциальным уравнением в частных производных:
а) эллиптического типа; б) параболического типа; в) гиперболического типа.
Тест № 10
Геометрия ячейки сетки в методе конечных разностей определяется: а) эллипсом;
б) треугольником;
в) прямоугольником.
Тест № 11
Если а — коэффициент, зависящий от упругих свойств закрепленной струны, h – шаг дискретизации по координате, τ – шаг дискретизации по времени, то выражение, определяющее условие сходимости Куранта для решения задачи закрепленной струны имеет вид:
а) а· / h > 0 ; б) а· / h < 0; в) а· / h = 0.
Тест № 12
Геометрия ячейки сетки в методе конечных разностей определяется: а) прямоугольником;
б) треугольником; в) кругом.
Темы дистанционных экзаменов по дифференциальным уравнениям: 4 темы
Дистанционный экзамен
Предмет: Дифференциальные уравнения
Выполнена: 24 февраля 2018 г.
Цена: 1200 р.
Дистанционный экзамен
Предмет: Дифференциальные уравнения
Выполнена: 15 декабря 2017 г.
Цена: 1200 р.
Дистанционный экзамен
Предмет: Дифференциальные уравнения
Выполнена: 15 декабря 2017 г.
Цена: 1200 р.
Дистанционный экзамен
Предмет: Дифференциальные уравнения
Выполнена: 28 мая 2015 г.
Цена: 1200 р.
Практические тесты по дифференциальным уравнениям
Все ресурсы по дифференциальным уравнениям
Пройдите бесплатный диагностический тест Varsity Learning Tools для дифференциальных уравнений, чтобы определить, какой академический концепции, которые вы понимаете, а какие требуют вашего постоянного внимания. Каждая проблема дифференциальных уравнений связана с основной концепцией, которая проверяется. Результаты диагностического теста дифференциальных уравнений показывают, как вы выполняли каждую часть теста.Затем вы можете использовать результаты для создания индивидуального учебного плана, основанного на вашей конкретной области потребностей.
вопросов : 10
Среднее затраченное время : 44 минуты
Все ресурсы по дифференциальным уравнениям
Наши совершенно бесплатные практические тесты по дифференциальным уравнениям – идеальный способ улучшить свои навыки.
Брать
один из наших многочисленных практических тестов по дифференциальным уравнениям для ответов на часто задаваемые вопросы. Ты
получат невероятно подробные результаты подсчета очков в конце вашего практического теста по дифференциальным уравнениям, чтобы
поможет вам определить свои сильные и слабые стороны. Выберите один из наших практических тестов по дифференциальным уравнениям прямо сейчас
и начнем!
Практические тесты по концепции
дифференциальные-уравнения-дифференциальные-уравнения первого порядкаВопросы : 2
Сложность теста :
дифференциальные_уравнения-линейные-точные-уравненияВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальные_уравнения-разделимые-переменныеВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальные_уравнения-дифференциальные-уравнения высшего порядкаВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 8 минут
дифференциальные_уравнения-линейные-уравненияВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 23 минуты
дифференциальные-уравнения-моделирование-дифференциальные-уравнения высшего порядкаВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальные уравнения неопределенные коэффициентыВопросы : 1
Сложность теста :
Дифференциальные-уравнения-вариации-параметровВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальные-уравнения-введение-в-дифференциальные-уравненияВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 11 секунд
дифференциальные_уравнения-определения-терминологияВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальные уравнения-задачи-начальное значениеВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 16 секунд
дифференциальные_уравнения-математические-моделиВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 40 секунд
дифференциальные-уравнения-численные-решения-обыкновенных-дифференциальных-уравненийВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальное уравнение-метод ЭйлераВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальные-уравнения-многоступенчатые-методыВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 16 секунд
дифференциальные_уравнения-краевые-задачи второго порядкаВопросы : 2
Сложность теста :
дифференциальная-система-линейных-дифференциальных-уравнений первого порядкаВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 часа 17 минут
дифференциальные_уравнения-однородные-линейные-системыВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальные_уравнения-матрица-экспонентыВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальные уравнения-неоднородные-линейные-системыВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 час 27 минут
дифференциальное уравнение-преобразование-ЛапласаВопросы : 2
Сложность теста :
дифференциальное-определение-преобразования-ЛапласаВопросы : 1
Сложность теста :
дифференциальные уравнения-преобразования-периодических функцийВопросы : 1
Сложность теста :
Все ресурсы по дифференциальным уравнениям
Практические тесты
дифференциальное_уравнение_6Вопросы : 12
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 6 минут
дифференциальное_уравнение_5Вопросы : 12
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 10 минут
дифференциальное_уравнение_4Вопросы : 12
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 3 минуты
дифференциальные_уравнения_3Вопросы : 12
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 37 секунд
дифференциальные_уравнения_2Вопросы : 12
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 час 23 минуты
дифференциальные_уравнения_1Вопросы : 12
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 час 13 минут
% PDF-1.
2
%
24 0 объект
>
эндобдж
xref
24 145
0000000016 00000 н.
0000003249 00000 н.
0000003749 00000 н.
0000003918 00000 н.
0000004156 00000 н.
0000004339 00000 н.
0000004632 00000 н.
0000004897 00000 н.
0000005181 00000 п.
0000005521 00000 п.
0000005803 00000 н.
0000005996 00000 н.
0000006225 00000 н.
0000006463 00000 н.
0000006747 00000 н.
0000006977 00000 н.
0000007321 00000 н.
0000007555 00000 н.
0000007833 00000 п.
0000008015 00000 н.
0000008302 00000 н.
0000008659 00000 н.
0000008980 00000 н.
0000009164 00000 п.
0000009444 00000 п.
0000009734 00000 н.
0000010033 00000 п.
0000010366 00000 п.
0000010682 00000 п.
0000010969 00000 п.
0000011298 00000 п.
0000011550 00000 п.
0000011826 00000 п.
0000012103 00000 п.
0000012395 00000 п.
0000012718 00000 п.
0000012895 00000 п.
0000013128 00000 п.
0000013384 00000 п.
0000013619 00000 п.
0000013821 00000 п.
0000014051 00000 п.
0000014402 00000 п.
0000014687 00000 п.
0000015037 00000 п.
0000015320 00000 н.
0000015612 00000 п.
0000015960 00000 п.
0000016086 00000 п.
0000016137 00000 п.
0000016441 00000 п.
0000016819 00000 п.
0000017039 00000 п.
0000017376 00000 п.
0000017710 00000 п.
0000017954 00000 п.
0000018240 00000 п.
0000018437 00000 п.
0000018670 00000 п.
0000018946 00000 п.
0000019113 00000 п.
0000019315 00000 п.
0000019629 00000 п.
0000019906 00000 п.
0000020185 00000 п.
0000020454 00000 п.
0000020670 00000 п.
0000020965 00000 п.
0000021016 00000 п.
0000021317 00000 п.
0000021532 00000 п.
0000021816 00000 п.
0000022068 00000 п.
0000022235 00000 п.
0000022297 00000 п.
0000022521 00000 п.
0000022808 00000 п.
0000022860 00000 п.
0000023068 00000 п.
0000023237 00000 п.
0000023499 00000 н.
0000023693 00000 п.
0000023745 00000 п.
0000023953 00000 п.
0000024031 00000 п.
0000024105 00000 п.
0000024338 00000 п.
0000024408 00000 п.
0000024689 00000 п.
0000024917 00000 п.
0000024968 00000 п.
0000025020 00000 н.
0000025301 00000 п.
0000025490 00000 н.
0000025763 00000 п.
0000025993 00000 п.
0000026057 00000 п.
0000026702 00000 п.
0000026910 00000 п.
0000027122 00000 п.
0000027815 00000 н.
0000027867 00000 н.
0000028255 00000 п.
0000028588 00000 п.
0000028702 00000 п.
0000028875 00000 п.
0000029229 00000 н.
0000029565 00000 п.
0000029936 00000 н.
0000030112 00000 п.
0000030427 00000 п.
0000030705 00000 п.
0000031043 00000 п.
0000031334 00000 п.
0000031595 00000 п.
0000031906 00000 п.
0000032074 00000 п.
0000032424 00000 п.
0000032747 00000 п.
0000033037 00000 п.
0000033331 00000 п.
0000033611 00000 п.
0000035905 00000 п.
0000036263 00000 п.
0000036491 00000 п.
0000036542 00000 п.
0000036612 00000 п.
0000036664 00000 н.
0000036838 00000 п.
0000036876 00000 п.
0000037101 00000 п.
0000037537 00000 п.
0000037589 00000 п.
0000037655 00000 п.
0000037706 00000 п.
0000037997 00000 п.
0000038223 00000 п.
0000038293 00000 п.
0000038345 00000 п.
0000038545 00000 п.
0000038749 00000 п.
0000039432 00000 п.
0000039549 00000 п.
0000003334 00000 н.
0000003727 00000 н.
трейлер
]
>>
startxref
0
%% EOF
25 0 объект
>
эндобдж
167 0 объект
>
поток
Hl1K @
Глава 6 Дифференциальные уравнения | Исчисление и анализ
Введение
Дифференциальные уравнения возникают почти каждый раз, когда мы пытаемся моделировать реальные мировые явления с помощью математики.Напомним, что производная измеряет одну величину в отношении Другой. Второй закон Ньютона гласит:
Скорость изменения количества движения тела равна приложенной внешняя сила.
Импульс тела является произведением массы \ (m \) и скорость \ (v \) (в одном измерении). Таким образом, если
тело испытывает силу \ (F \), то можно записать закон Ньютона
математически как
\ [
{d \ over dt} (mv) = F.т г (х) дх.
\]
Важно, чтобы мы знали значение \ (f \) в какой-то момент, или
иначе мы не можем точно сказать, что такое \ (f \).
Нам нужна постоянная интеграции . Ниже у нас есть изображение, на котором мы можем видеть, что все эти функции имеют одну и ту же производную, поэтому, чтобы выбрать, какая из них является правильной для нашей ситуации, мы должны знать точку, через которую проходит функция.
Вот веб-страница с другими примерами дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения на Mathisfun.com
Культурное наследие математики
Кэтрин Джонсон (1918-2020)
В 1962 году США решили отправить людей на Луну.
Добраться до Луны и обратно потребовало бы много работы. Кэтрин изучала, как использовать геометрию для космических путешествий. Она выяснила, по каким путям космический корабль выйдет на орбиту (вокруг Земли) и приземлится на Луну. НАСА использовало математику Кэтрин, и это сработало.
https://www.nasa.gov/audience/forstudents/k-4/stories/nasa-knows/who-was-katherine-johnson-k4
Пути, по которым тела движутся под действием гравитационного притяжения, представляют собой так называемые конические сечения.
Гипатия (370-415)
Гипатия была известна больше своей работой в математике, чем в астрономии, прежде всего своей работой над идеями конических сечений, введенными Аполлонием.Она редактировала работу «О кониках Аполлония», в которой конусы разделялись плоскостью на разные части. Эта концепция развила идеи гипербол, парабол и эллипсов.
https://www.agnesscott.edu/lriddle/women/hypatia.htm
Разделимые уравнения
Следующий наиболее простой вид дифференциального уравнения, который мы можем
решить – это одна из форм
\ [
{d y \ over dx} = f (x) g (y), \ tag {6.
2}
\]
тогда мы можем написать
\ [
\ int {dy \ над g (y)} = \ int f (x) dx.\]
Нам все еще нужно граничное условие (будем считать, что \ (x \) и
\ (y \) здесь пространственные переменные). Мы можем интегрировать оба из них в
принцип, чтобы получить решение.
Снаряд, движущийся вверх, подвергается действию силы тяжести, равной к \ (m g \), где \ (m \) – его масса, а \ (g \) – ускорение, обусловленное сила тяжести. Он также замедляется сопротивлением воздуха, равным \ (mkv \), где \ (v \) – его скорость, а \ (k \) – некоторое положительное вещественное число. постоянная, зависящая от геометрии снаряда.Скорость снаряд в момент \ (t = 0 \) равен \ (u \) (это начальное значение состояние ).
Второй закон Ньютона гласит \ [ {d \ over dt} (mv) = -mkv-mg. \] Поскольку \ (m \) в этом уравнении постоянна (снаряд не изменить массу во время полета) мы можем сократить \ (m \) с обеих сторон на получать \ [ {dv \ over dt} = – (kv + g).
\]
Это отделимо. Переставляя, мы получаем уравнение
\ [
\ int {dv \ over kv + g} = – \ int dt.
\]
Интегрируя обе стороны, мы имеем
\ [
{1 \ над k} \ log (kv + g) = -t + C,
\]
где \ (C \) – постоянная интегрирования, которую мы находим с помощью
начальное состояние.Когда \ (t = 0 \) \ (v = u \), так что
\ [
{1 \ over k} \ log (ku + g) = C.
\]
Таким образом
\ [
{1 \ над k} \ log (kv + g) = -t + {1 \ over k} \ log (ku + g).
\]
Преобразуя приведенное выше уравнение, мы имеем
\ [\ begin {eqnarray *}
t & = & {1 \ over k} (\ log (ku + g) – \ log (kv + g)) \\
& = & {1 \ над k} \ log \ left ({ku + g \ over kv + g} \ right).
\ end {eqnarray *} \]
Таким образом
\ [
\ exp (kt) = \ left ({ku + g \ over kv + g} \ right).
\]
Умножая обе части на \ (kv + g \), имеем
\ [
kv \ ехр (kt) + g \ exp (kt) = ku + g.\]
Следовательно
\ [
kv \ exp (kt) = ku + g (1- \ exp (kt)),
\]
чтобы
\ [
v = u \ exp (-kt) + {g \ over k} (\ exp (-kt) -1).
\] Вы можете найти больше примеров разделимых уравнений и их решений на
Math34.
net.
Пример 6.2 Найти общее решение сепарабельного дифференциального уравнения \ [ у ‘= у (1-у). \]
Уравнение разделяется с \ (f (x) = 1 \) и \ (g (y) = y (1-y) \).
Сейчас
\ (g (y) = 0 \) тогда и только тогда, когда \ (y = 0 \) или \ (y = 1 \).Таким образом, уравнение может быть
решается разделением переменных в трех интервалах \ (y <0 \),
\ (0 
Потом,
\ [
\ left | \ frac {y} {1-y} \ right | = C_2 \ exp (x).
\]
Теперь \ (y / (1-y) \) положительно, если \ (0
Теперь \ (y / (1-y) \) отрицательно, если \ (y <0 \) или \ (y> 1 \).В данном случае
\ [
\ left | \ frac {y} {1-y} \ right | = – \ frac {y} {1-y} = C_2 \ exp (x),
\]
чтобы
\ [
y = \ frac {C_2 \ exp (x)} {C_2 \ exp (x) -1} = \ frac {\ exp (x)} {\ exp (x) -1 / C_2} \ quad C_2> 0.
\]
Теперь, если \ (\ exp (x)> 1 / C_2 \), т.е. \ (x> – \ log (C_2) \), то \ (y> 1 \), и если \ (x <\ log (C_2 ) \), то \ (y <0 \). Следовательно, у нас будет вертикальная асимптота в \ (y \) в точке \ (x = - \ log (C_2) \).
Замечание На изображении выше вы можете увидеть, где находятся асимптоты по странному переходу на графике.
Я оставил это, чтобы вы могли видеть, как решение меняется с отрицательного на значение больше 1, когда мы продвигаемся через \ (- \ log (C_2) \). Ситуация, показанная в предыдущем примере, типична для разделяемых
уравнения. Случай \ (g (y) = 0 \) всегда нужно рассматривать отдельно.
Обратите внимание, что если \ (g (y) = 0 \), то \ (y ‘= 0 \) благодаря дифференциалу
Уравнение (6.2). Значит, значения \ (y \), для которых \ (g (y) = 0 \), постоянны
стационарные решения уравнения.
Определение 6.2 стационарное или равновесное решение для дифференциального уравнения \ (y ‘= f (x) g (y) \) – любое решение \ (y (x) = Constant \). Стационарный решения могут быть найдены путем решения для \ (y \) уравнения \ (g (y) = 0 \).
Мы можем получить качественное (поведенческое) понимание решений такого рода уравнения путем рисования так называемых полей направления.
Определение 6.3 Поле направления в области \ (S \) декартовой плоскости является картой
который сопоставляет каждой точке региона линию, проходящую через эту
точка.
Кривая \ ({\ bf r} = {\ bf r} (t) \) на декартовой плоскости является
интегральная кривая поля направлений, если ее касательные совпадают
точно с линиями поля направления вдоль кривой.
Линии поля направления можно рассматривать как касательные к гипотетические кривые. Идея касательной тесно связана с идея наклона (также известная как производная). Поэтому вместо того, чтобы думать о линиях в поле направления мы можем думать о наклоне линий. (Мы разрешаем здесь бесконечный спуск.) И наклон задается числом.
Итак, на плоскости \ ((x, y) \) мы можем отождествить поле направлений с функция \ (f (x, y) \). Идея наклона приводит нас к уравнению \ (\ frac {dy} {dx} = g (x, y) \).
Следовательно, интегральные кривые для поля направлений в точности соответствуют решения этого дифференциального уравнения.Пример 6.3 Нарисуйте поле направления для уравнения \ (y ‘= y (1-y) \).
Имеем \ (g (x, y) = y (1-y) \). Мы уже видели в Пример 6.
2 \ over a + bx} \)Линейные уравнения первого порядка
Определение 6.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид \ [ {d y \ over dx} + p (x) y (x) = q (x). \] Они называются linear , потому что \ (y \) появляется со степенью 1 на правая сторона. Собственно предыдущий пример тоже такого типа, но более легко разрешимо как разделимое уравнение.
Основная идея за решением этих уравнений состоит в том, чтобы преобразовать уравнение в \ [ {d y \ over dx} + p (x) y (x) = q (x), \ tag {6.3} \] и попытаться превратить левую часть в производную от Изделие .
Напомним, что
\ [
{d \ over dx} (I (x) y (x)) = I (x) {dy \ over dx} + y (x) {dI \ over dx}.
\]
Умножим (6.3) на \ (I (x) \) (мы используем \ (I \), потому что это будет
называется интегрирующим коэффициентом ), а затем попробуйте заставить его выглядеть
как в приведенном выше уравнении.
Умножение на \ (I (x) \) дает
\ [
I (x) {d y \ over dx} + I (x) p (x) y (x) = I (x) q (x)
\]
Мы хотим \[
I (x) {d y \ over dx} + I (x) p (x) y (x) \ Equiv I (x) {dy \ over dx} + y (x) {dI \ over dx}.\]
Чтобы это было правдой, нам нужно
\ [
I (x) p (x) = {dI \ over dx}.
\]
Это разделимое уравнение:
\ [
\ int {dI \ over I} = \ int p (x) dx,
\]
который мы решаем дать
\ [
\ журнал I = \ int p (x) dx,
\]
чтобы
\ [
Я (х) = \ exp \ left (\ int p (x) dx \ right). \ tag {6.4}
\]
Определение 6.5 Функция
\ [
Я (х) = \ ехр \ слева (\ int p (x) dx \ справа)
\]
называется интегрирующим коэффициентом для дифференциального уравнения
\ [
{d y \ over dx} + p (x) y (x) = q (x).\]
Таким образом, мы имеем следующую теорему:
Теорема 6.1 (интегрирующий множитель) Предположим, что у нас есть линейное дифференциальное уравнение \ [ {dy \ over dx} + p (x) y (x) = q (x). \] Тогда, если \ (I \) задается уравнением (6.
4), мы можем переписать приведенное выше уравнение как
\ [
{d \ over dx} (I (x) y (x)) = I (x) q (x).
\]
Общее решение этого дифференциального уравнения есть
\ [
y (x) = {C \ над I (x)} + {\ int I (x) q (x) dx \ over I (x)},
\]
где \ (C \) – произвольная постоянная интегрирования.Пример 6.4 Давайте попробуем это в Примере 6.2. Уравнение, которое у нас было, было \ [ {d v \ over dt} = -kv-g. \]
Переставляем последнее уравнение в нашу стандартную форму.
\ [
{d v \ over dt} + kv = -g.
\]
которое является линейным дифференциальным уравнением для \ (v \). Функция
\ (p (x) = k \) и \ (q (x) = – g \). Следовательно
\ [
Я (т) = \ ехр (\ int (к) dt) = \ ехр (кт).
\]
потом
\ [
{d \ over dt} (\ exp (kt) v) = k \ exp (kt) v + \ exp (kt) {dv \ over dx} = \ exp (kt) \ left ({dv \ over dt} + kv \ справа) = -g \ exp (kt).\]
Если мы проинтегрируем обе стороны, мы получим
\ [
\ exp (kt) v = – {g \ over k} \ exp (kt) + C,
\] где \ (c \) – постоянная интегрирования.
Генерал решение (кратное обеим сторонам \ (\ exp (-kt) \))
\ [
v = – {g \ over k} + C \ exp (-kt).
\]
Теперь мы используем начальное условие, что \ (v = u \), когда \ (t = 0 \), чтобы дать \ [
и = – {д \ над к} + С,
\] другими словами
\ [
С = и + {g \ over k}.
\]
Разделив обе части на \ (\ exp (kt) \), получим
\ [
v = u \ exp (-kt) + {g \ over k} (1- \ exp (-kt)),
\]
что является тем же результатом, что и раньше.2}.
\]
Теперь воспользуемся граничным условием \ (y (1) = 0 \), чтобы найти конкретное
решение, что дает \ (C = -1 / 5 \).
Вы можете найти больше примеров линейных дифференциальных уравнений первого порядка. на math34.net.
Однородные уравнения
Определение 6.6 Однородные дифференциальные уравнения представляют собой уравнения вида \ [ {d y \ over dx} = f \ left ({y \ over x} \ right). \]
В этом случае мы положим \ (v = y / x \) так, чтобы \ (y = vx \).
С> 0 \). Следовательно
\ [
v = \ pm \ sqrt {2 \ log Ax},
\]
где \ (A \) – произвольная положительная постоянная интегрирования. Чтобы это имело смысл, мы требуем, чтобы \ (2 \ log A | x |> 0 \), так что \ (| x |> 1 / A \). тем не мение
\ (v = y / x \), так что
\ [
y = \ pm x \ sqrt {2 \ log A | x |}, \ quad | x |> 1 / A,
\] общее решение дифференциального уравнения. Мы выберем ветвь решения в зависимости от того, где находится начальное условие. Например, \ (y (x)> 0 \) для положительного \ (x \), тогда мы должны выбрать положительный квадратный корень.Но если \ (y (x) <0 \) для положительного \ (x \), мы должны выбрать отрицательный квадратный корень. На рисунке ниже мы изображаем решения, где \ (y (1) = 1 \) (синий) и \ (y (1) = - 1 \) (красный).
Вы можете найти больше примеров однородных уравнений и их решений. в Math34.net
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 6.
2} + b {d y \ over dx} + cy = g (x),
\]
где \ (a, b, c \ in \ mathbb {R} \) и \ (g (x) \) является функцией от \ (x \).2},
\]
а также
\ [
v = {dx \ over dt}.
\]
Закон Гука для моделирования движения пружины
Для пружины у нас есть Закон Гука , который гласит, что если мы продлим пружина на величину \ (x \) из своего естественного положения покоя, затем сила сопротивления растяжению пружины равна \ (- kx \), где \ (k \) – постоянная, называемая жесткостью пружины.
Таким образом, если у нас есть масса \ (m \) на пружине, то сила, направленная вниз, будет
быть \ (мг \) и направленная вверх сила из-за натяжения пружины, когда
увеличенное расстояние \ (l \) будет \ (kl \).2} = – {k \ over m} x. \ tag {6.5}
\]
Это известное дифференциальное уравнение называется уравнением простое гармоническое движение . Это пример секунд
линейное дифференциальное уравнение порядка с постоянными коэффициентами .
Вот объяснение от человека с американским акцентом.
Мы решаем подобные уравнения, используя свойство экспоненциальной
функция, которую мы обнаружили ранее – что это собственных функций оператора дифференцирования.2 = \ pm i \ sqrt {{k \ over m}}.
\]
Следовательно, решение дифференциального уравнения есть
\ [
x = A \ exp \ left (i \ sqrt {{k \ over m}} \ right) + B \ exp \ left (-i \ sqrt {{k \ over m}} \ right),
\]
для произвольной постоянной \ (A, B \) (определяется начальным
условия). Используя уравнения
\ [
\ ехр (я \ тета) = \ соз \ тета + я \ грех \ тета,
\]
мы можем переписать это как
\ [\ begin {eqnarray *}
x & = & A \ left [\ cos \ left (\ sqrt {{k \ over m}} \ right) + i \ sin \ left (\ sqrt {{k \ over m}} \ right) \ right] + B \ left [\ cos \ left (- \ sqrt {{k \ over m}} \ right) + i \ sin \ left (- \ sqrt {{k \ over m}} \ right) \ right] \\
& = & A \ left [\ cos \ left (\ sqrt {{k \ over m}} \ right) + i \ sin \ left (\ sqrt {{k \ over m}} \ right) \ right] + B \ left [\ cos \ left (\ sqrt {{k \ over m}} \ right) -i \ sin \ left (\ sqrt {{k \ over m}} \ right) \ right] \\
& = & (A + B) \ cos \ left (\ sqrt {{k \ over m}} \ right) + i (AB) \ sin \ left (- \ sqrt {{k \ over m}} \ right) .
2 + 2 \ лямбда + 3 = 0,
\] с решением \ (\ lambda = -1 \ pm i \ sqrt {2} \). Итак \ (\ lambda_R = -1 \)
и \ (\ lambda_I = \ sqrt {2} \). Отсюда общее решение этого
дифференциальное уравнение \ [
y = \ exp (-x) (A \ cos (\ sqrt {2} x) + B \ sin (\ sqrt {2} x)).
\] Предположим, что \ (y (0) = 1 \) и \ (y ‘(0) = 0 \). Потом \[
у (0) = А = 1,
\] а также \[
y ‘(0) = – A + \ sqrt {2} B = 0,
\] так что \ (B = 1 / \ sqrt {2} \). Следовательно, решение в этом случае \ [
y = \ exp (-x) \ left (\ cos (\ sqrt {2} x) + {1 \ over \ sqrt {2}} \ sin (\ sqrt {2} x) \ right).n \), для \ (n \ ge 0 \).
бакалавриат – Экзамен на дом по обыкновенным дифференциальным уравнениям?
Комментарий-ответ, но слишком длинный для комментария:
Я думаю, вы неправильно об этом думаете.
Тесты – одни из САМЫХ ценных часов в курсе. Это выступления с высокими ставками (например, в музыке или спорте). Подготовка к ним требует много знаний. Тогда фактическое выполнение и последующая обратная связь часто являются гораздо более ценным обучением, чем обычные упражнения, из-за заботы о результате.Вам следует максимизировать полезность тестирования по сравнению с другим часом лекции (который, вероятно, имеет меньшее влияние на обучение, даже чем час работы с задачами сверления).
Вдобавок, забирая домой вы пытаетесь получить дополнительный час своего времени. Кроме того, очень трудно контролировать захват дома с помощью посторонней помощи (книга, сосед по комнате, онлайн). Можно ли ожидать, что они будут строго придерживаться ограничений по времени при прохождении теста дома? Если без ограничений, то теперь вы отнимаете у них больше времени.
Кроме того, домашние тесты часто приводят к тому, что преподаватели задают неидеальные вопросы (например, слишком похожие на исследовательские проекты).Здесь дело обстоит не так – ваш вопрос в порядке. Однако ваше желание задать какой-то странный вопрос, который сложно обмануть, может уже уводить вас от того, что было бы нормальным лучшим вопросом в контролируемой обстановке.
Как правило, книги ODE содержат слишком много содержания для четверти или одного семестра. Не закрывать все – это нормально. Так что, если вы уже отказались от некоторых уроков, просто сбрей еще один. И хорошо выучите суть темы. А хорошие тесты – ключ к хорошему обучению.Не сбривайте это ОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Это ключевая часть курса! Очень высокий прирост. Но, конечно же, есть и другой урок (существование, вронскианцы, хищники-жертвы, трансформации, штурм Луисвилля, сериалы и т. Д.), Которые вы можете пропустить, чтобы использовать время в классе для экзамена.
И мне нравятся все темы, и я хотел бы, чтобы вы все осветили. Но нужно расставить приоритеты. У вас есть спасательная шлюпка с 15 местами и 25 людьми, выберите 15 лучших, чтобы жить. ODE с постоянным коэффициентом 2-го порядка с функцией принуждения будет использоваться повсюду в приложениях по физике, технике и химии.Так и живет. Некоторые другие темы уходят в воду. И время испытаний должно жить. Это «высокий выигрыш».
Теоретически вы могли бы охватить больше контента, посоветовав детям выучить урок без лекции. Но у меня такое впечатление, что вы здесь не тренируете суперзвезд. Они будут недовольны, если не будут потрачены на лекции и вопросы и ответы по этой теме. Так что просто относитесь к этому как к проблеме оптимизации и делайте немного меньше, но делайте это хорошо.
[Модератор может сократить мой другой ответ.]
Точные дифференциальные уравнения
Определение точного уравнения
Дифференциальное уравнение типа
\ [{P \ left ({x, y} \ right) dx + Q \ left ({x, y} \ right) dy} = {0} \]
называется точным дифференциальным уравнением, если существует функция двух переменных \ (u \ left ({x, y} \ right) \) с непрерывными частными производными такая, что
\ [{du \ left ({x, y} \ right) \ text {=}} \ kern0pt {P \ left ({x, y} \ right) dx + Q \ left ({x, y} \ right ) dy.} \]
Общее решение точного уравнения дается
\ [u \ left ({x, y} \ right) = C, \]
где \ (C \) – произвольная постоянная.
Тест на точность
Пусть функции \ (P \ left ({x, y} \ right) \) и \ (Q \ left ({x, y} \ right) \) имеют непрерывные частные производные в некоторой области \ (D. \) Дифференциальное уравнение \ (P \ left ({x, y} \ right) dx + \) \ (Q \ left ({x, y} \ right) dy \) \ (= 0 \) является точным уравнением, если и только если
\ [\ frac {{\ partial Q}} {{\ partial x}} = \ frac {{\ partial P}} {{\ partial y}}. \]
Алгоритм решения точного дифференциального уравнения
- Сначала необходимо убедиться, что дифференциальное уравнение является точным, используя тест на точность:
\ [\ frac {{\ partial Q}} {{\ partial x}} = \ frac {{\ partial P}} {{\ partial y}}.\]
- Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, определяющих функцию \ (u \ left ({x, y} \ right): \)
\ [\ left \ {\ begin {array} {l} \ frac {{\ partial u}} {{\ partial x}} = P \ left ({x, y} \ right) \\ \ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} = Q \ left ({x, y} \ right) \ end {array} \ right .. \]
- Проинтегрируем первое уравнение по переменной \ (x. \) Вместо константы \ (C, \) запишем неизвестную функцию от \ (y: \)
\ [{u \ left ({x, y} \ right) \ text {=}} \ kern0pt {\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left (y \ right ).} \]
- Дифференцируя по \ (y, \), подставляем функцию \ (u \ left ({x, y} \ right) \) во второе уравнение:
\ [ {\ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {\ partial} {{\ partial y}} \ left [{\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left (y \ right)} \ right]} = {Q \ left ({x, y} \ right).} \]
Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции \ ({\ varphi \ left (y \ right)}: \)\ [ {\ varphi ’\ left (y \ right)} = {Q \ left ({x, y} \ right)} – {\ frac {\ partial} {{\ partial y}} \ left ({\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx } } \верно).} \]
- Интегрируя последнее выражение, мы находим функцию \ ({\ varphi \ left (y \ right)} \) и, следовательно, функцию \ (u \ left ({x, y} \ right): \)
\ [{u \ left ({x, y} \ right) \ text {=}} \ kern0pt {\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left (y \ right ).} \]
- Общее решение точного дифференциального уравнения дается выражением
\ [u \ left ({x, y} \ right) = C. \]
Примечание:
На шаге \ (3, \) мы можем интегрировать второе уравнение по переменной \ (y \) вместо интегрирования первого уравнения по \ (x.3} = C, \]
где \ (C \) – произвольная постоянная.
| Раздел № | Мои конспекты лекций | Решения | Переуступка | Описание / Подсказки / Помощь в системе Mathematica |
| П. 2,2 | [13-23] | PH- [1-3] | 9, 11, 15, 21, 25, 35 * | разделение переменных |
| П.2,3 | [24–28] | PH- [4-6] | 7, 9, 11, 15, 21, 23 * | метод интегрирующих факторов |
| П. 2,4 | [24–28] | PH- [7-9] | 11, 13, 17, 23, 29 | точные уравнения |
| П. 2,5 | [29–37] | PH- [10-13] | 7, 9, 11, 13 | специальные интегрирующие факторы |
| П. 2,6 | [29–37] | PH- [14-16] | 9, 15, 17, 41 | трюки трансформации |
| П.3,4 | [41-45] | PH- [17-21] | 1 *, 5 *, 19 *, 23 *, 33 *, 35 * | Ньютоновская механика |
| П. 4,2 | [46–55] | PH- [22-23] | 1, 5, 13, 17, 27, 29 | однородные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и вещественными корнями |
| П. 4,3 | [46–55] | PH- [24-26] | 1, 5, 13, 21, 32 *, 33 *, 35 * | однородные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и комплексными корнями |
| П.6,2 | [46–55] | PH- [27-30] | 1, 9, 13, 15, 17, 35 * | однородные ОДУ с постоянным коэффициентом более высокого порядка. |
| Событие | Тест I | 8 сентября | Разделы 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 3.4, 4.2, 4.3, 6.2 | решения дифференциальных уравнений первого порядка и однородные ОДУ с постоянными коэффициентами. |
| П. 6,1 | [56-65] | PH- [31-33] | 1, 5, 7, 9, 17, 23 | теория линейных ОДУ. |
| П. 6,3 | [75-88] | PH- [34-37] | 5, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 27 | аннигиляторы; способ найти конкретное решение. |
| П. 4,4 | [75-88] | PH- [38-39] | 9, 11, 15, 17, 21, 23, 27, 31 | неопределенные коэффициенты (в разделе 6.3 обосновывается, откуда приходит предположение для конкретного решения). |
| П.4,5 | [91-93] | PH- [40-43] | 1, 3, 17, 21, 25, 29, 43 * | принцип суперпозиции. |
| П. 4,6 | [89-90] | PH- [44-48] | 1, 5, 15 | вариация параметров (для вещей, не охваченных неопределенными коэффициентами) |
| П. 4,7 | [94-101] | PH- [49-50] | 45, 47 | переменные коэффициенты. |
| П.4,9 | [102-108] | PH- [51-52] | 3, 5, 9 *, 11 * [используйте математическую программу для № 3 и 5] | пружины и колебания. |
| П. 4,10 | [102-108] | PH- [53-58] | 9 *, 11 * | вынужденные колебания. |
| П. 5,7 | [102-108] | PH- [59-62] | 3 *, 5 *, 7 *, 9 *, 11 *, 13 * | Цепи RLC и аналог пружин с вынужденными колебаниями |
| Событие | Тест II | Сентябрь29 | Разделы 6.1, 6.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.9, 4.10, 5.7 | решения неоднородных ODE с постоянным коэффициентом и избранные приложения к пружинам и цепям RLC, переменный коэффициент DEqns. |
| П. 7,2 | [109-114] | PH- [63-64] | 9, 13, 15, 17, 19, 21, 23 | Преобразования Лапласа |
| П. 7,3 | [115-121] | PH- [65-66] | 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 25 | Свойства преобразований Лапласа |
| П.7,4 | [122-126] | PH- [67-71] | 1, 3, 21, 23, 27, 33, 35 | Обратные преобразования Лапласа |
| П. 7,5 | [127-133] | РН- [72-76] | 3, 9, 11, 35 | Как решать дифференциальные уравнения с помощью преобразований Лапласа |
| П. 7,6 | [134-140] | PH- [77-81] | 5, 7, 9, 11, 17, 19, 33, 39, 59 | разрывные функции (на мой взгляд, это самая интересная особенность метода Лапласа) |
| П.7,8 | [145-154] | PH- [82-84] | 1, 5, 29 | Дельта Дирака “функции” |
| П. 8,2 | [155-160] | PH- [85-89] | 1, 5, 9, 11, 15, 25, 29, 31, 33 | освежитель серии power |
| П. 8,3 | [161–165] | PH- [90-97] | 1, 9, 13, 17, 19, 21, 27 | решения серии power по DEqns |
| П.8,4 | [166-170] | PH- [98-103] | 7, 11, 13, 17, 21, 31 * | аналитические коэффициенты |
| П. 8,5 | [94-101] | PH- [104-105] | 1, 5, 13 | Задача Коши-Эйлера |
| П. 8,6 | [171-178] | PH- [106-114] | 1, 17, 21, 23, 25, 27, 33, 41 | Метод Фробениуса |
| П. 8,7 | [171-178] | PH- [106-114] | 5, 11, 15 (на заметку, найдите решение для Джинни) | поиск второго линейно независимого решения |
| Событие | Тест III | Ноябрь3 | Разделы 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.8, 8.2, 8.3, 8.4, 8.6, 8.7 | Преобразование Лапласа и последовательные решения для ODE |
| П. 10,2 | . | PH- [118-126] | 1, 5, 9, 13, 15, 21, 23, 29, 33 | разделение переменных для УЧП с хорошими граничными условиями |
| П. 10,3 | . | PH- [127-132] | 1, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 21, 29 | Ряд Фурье |
| П.10,4 | . | PH- [133-134] | 5, 13, 17 | Ряды косинусов и синусов Фурье |
| П. 10,5 | . | PH- [135-144] | 3, 7, 15 | уравнение теплопроводности |
| П. 10,6 | . | PH- [145-149] | 1, 13, 15 | волновое уравнение |
| П. 10,7 | . | PH- [150-161] | 1, 3, 7, 9, 11 | Уравнение Лапласа |
| Событие | Тест IV | забрать домой | Разделы 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7 | PDE с хорошими решениями. |
Линейная алгебра и дифференциальные уравнения // Сеть блогов // University of Notre Dame
Экзамены: Будет 3 промежуточных экзамена и заключительный экзамен. Экзамены могут быть составлены только по официальной причине Университета. Конфликты с другими экзаменами должны быть разрешены задолго до даты экзамена. Проверьте расписание экзаменов и обратитесь в деканат, как только вам станет известно о подобном конфликте.Калькуляторы не допускаются к экзаменам.
Midterm 1: вторник, 24 сентября, 8:00 – 9:15, 110 Mendoza College of Business
Midterm 2: четверг, 31 октября, 8:00 – 9:15, 101 DeBartolo Hall
Midterm 3: вторник, 19 ноября, 8:00 – 9:15, 101 DeBartolo Hall
Заключительный экзамен: четверг, 19 декабря, 13:45 – 15:45
Среднесрочный обзор 1: Экзамен будет охватывать разделы 1.1-1.5, 1.7-1.9, 2.1-2.3, 2.8, 2.9 Лей и др ..
Практический экзамен здесь, здесь, здесь, здесь, здесь. В понедельник, 23 сентября, в DeBartolo 102 с 19:00 до 21:00 состоится обзорная сессия с профессором Смарандаче и Майклом Перлманом.
Среднесрочные решения 1 здесь.
Midterm 2 Обзор:Экзамен будет охватывать разделы 3.1–3.3, 4.1–4.7 и 5.1–5.5 Лея и др. Практический экзамен здесь, здесь, здесь, здесь
В среду, 30 октября, в DBRT 101 с 19:00 до 21:00 состоится обзорная сессия с профессором Мэйпсом и Кайлом Гэнноном.
Среднесрочные решения 2 уже здесь.
Midterm 3 Обзор:Экзамен будет охватывать разделы 6.1-6.5 Lay et al. и разделы 1.1–1.3 и 2.1–2.4 Бойса и ДиПримы. Практический экзамен здесь, здесь, здесь.
18 ноября в DBRT 101 с 19:00 до 21:00 состоится обзорная сессия с профессорами Шахом и Ичао Ли.
Среднесрочные решения 3 уже здесь.
Финал будет охватывать весь материал, кроме Boyce и DiPrima 3.7–3.8. Без проверки к Заключительному экзамену (они не допускаются в дни чтения и экзамена)Заключительный экзамен будет состоять из 25 вопросов с несколькими вариантами ответов, охватывающих материал всего курса, включая линейную алгебру и дифференциальные уравнения.Калькуляторы не допускаются.
практических экзаменов здесь (1c, 2a, 3c, 4e, 5a, 6-, 7d, 8a, 9d, 10c, 11c, 12c, 13e, 14e, 15a, 16b, 17e, 18a, 19b, 20b, 21e, 22d , 23e, 24c, 25a) и здесь (1d, 2e, 3a, 4e, 5a, 6e, 7d, 8b, 9a, 10c, 11e, 12a, 13e, 14d, 15c, 16c, 17e, 18c, 19b, 20d) , здесь, здесь, здесь
.