Типы уравнений высших порядков: Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах

Подробнее, см. Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах

Уравнения, содержащие переменную и старшую производную

Разрешенные относительно старшей производной

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Разрешенные относительно переменной

Рассмотрим дифференциальное уравнение, в котором независимая переменная x является функцией от старшей производной:
.
Это уравнение можно решить параметрическим методом. Для этого вводим параметр . В результате получаем:
;
.
Из последнего уравнения . Интегрируя, получаем зависимость производной от x в параметрическом виде:
.
Продолжая интегрирование аналогичным образом, получим зависимость y от x в параметрическом виде.

Общий случай

Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только независимую переменную и старшую производную общего вида:
.
Его можно решить в квадратурах в параметрическом виде, если удастся подобрать такие функции и , для которых .

Если такие функции найдены, то положим . Тогда исходное уравнение выполняется автоматически. Дифференцируя первую функцию, находим связь между дифференциалами переменных x и t: . Тогда
.
Интегрируя последнее соотношение, получаем решение для производной более низкого порядка в параметрическом виде. Продолжая действовать подобным способом, получим общее решение в квадратурах.

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-1

Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-1-го порядков:
.
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению
.
Тогда положим
.
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению .

Тогда
;
.
Интегрируя эти уравнения, получим параметрическое представление производной порядка n – 2. Продолжая подобным образом, получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t.
Подробнее, см. здесь.

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-2

Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-2-го порядков:
.
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению
.
Положим
.
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению.

Тогда
;
;
;
;
.
Интегрируя, получим параметрическое представление производных порядка n, n – 1 и n – 2. Далее интегрируем как в предыдущем случае ⇑. В результате получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t.
Подробнее, см. здесь.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде

Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь – функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде

Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде

Для решения этого уравнения, делаем подстановку
.
Считаем, что является функцией от . Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде

Однородные дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения, однородные относительно функции и ее производных

Дифференциальное уравнение

является однородным относительно функции и ее производных, если оно обладает свойством:
.
Здесь t – число или любая функция; число p называют показателем однородности.

Чтобы распознать такое уравнение, нужно сделать замену
.
Если после преобразований t сократится, то это однородное уравнение.

Для его решения делаем подстановку
,
где – функция от . Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков

Обобщенно однородные уравнения относительно переменных

Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения, которые не меняют вида, если сделать замену переменных: , где c – постоянная; s – измерение однородности для переменной y. При такой замене производная порядка m умножается на :
.
Если записать исходное уравнение в общем виде:
,
то оно является обобщенно однородным относительно переменных, если обладает свойством:
,
где t – число или любая функция; p – показатель однородности.

При подобные уравнения можно назвать однородными дифференциальными уравнениями относительно переменных.

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу, если искать решение в параметрическом виде, и перейти от зависимой переменной (функции) y к новой зависимой переменной (новой функции) с помощью подстановок:
, где t – параметр.
В результате для функции получим дифференциальное уравнение n – го порядка, которое не содержит переменную t в явном виде. Далее понижаем порядок изложенным выше методом ⇑.
См. Обобщенно однородные дифференциальные уравнения относительно переменных высших порядков

Дифференциальные уравнения с полной производной

Это уравнения, которые можно привести к полной производной:
.
Отсюда сразу получаем первый интеграл:
.
Он представляет собой дифференциальное уравнение, на единицу меньшего порядка по сравнению с исходным уравнением .

В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Разделим его на . Тогда
.
Отсюда получаем первый интеграл, который является дифференциальным уравнением первого порядка:
.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1)   ,
где – функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2)   ,
где – произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка – это n линейно независимых решений этого уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где – общее решение однородного уравнения (1).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:
(3)   .
Здесь – действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений  , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2)   .

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(4)   .

Если это уравнение имеет различные корни  , то фундаментальная система решений имеет вид:
.

Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения    и  , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .

Кратным корням    кратности соответствуют линейно независимых решений:  .

Кратным комплексным корням    кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:  
.

См. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение вида
,
где   – многочлены степеней s1 и s2; – постоянные.

Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s – наибольшее из s1 и s2.

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:
.

После этого получаем общее решение:
.

См. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Здесь возможны три способа решения.

1) Метод Бернулли.
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
.
Затем делаем подстановку
,
где – функция от переменной x. Получаем дифференциальное уравнение для u, которое содержит только производные от u по x. Выполняя подстановку , получаем уравнение n – 1 – го порядка.

См. Решение дифференциальных уравнений высших порядков методом Бернулли

2) Метод линейной подстановки.
Сделаем подстановку
,
где – один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

См. Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами
Пример решения ЛНДУ с действительными корнями характеристического уравнения
Пример решения ЛНДУ с комплексными корнями характеристического уравнения

3) Метод вариации постоянных Лагранжа.
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2)   .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x. Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где – неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .

См. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа
Примеры решений ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа

Уравнение Эйлера

Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .

См. Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения
Примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера
Пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера методом вариации постоянных

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Дифференциальные уравнения высших порядков – интернет энциклопедия для студентов

Определение и формулы дифференциальных уравнений высших порядков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением n-го порядка \(\ (n>1) \) называется уравнение вида: \(\ f\left(x ; y ; y^{\prime} ; \ldots ; y^{(n)}\right)=0 \) (1)

Здесь \(\ x \) – независимая переменная, \(\ y=y(x) \) – искомая функция, определенная и n раз дифференцируемая на промежутке \(\ (a ; b) \)

Решение дифференциальных уравнений высших порядковd

Функция \(\ y=y(x) \) называется решением дифференциального уравнения (1), если она обращает это уравнение в тождество. {y}+C_{1}}+C_{1}}\right|=\pm x+C_{2} \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Общее решение дифференциального уравнения Однородные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения второго порядка

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно – исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Дифференциальные уравнения высших порядков – Интегралы и дифференциальные уравнения

Лекция 12. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальное уравнение n – ого порядка в общем виде записывается так:

.

Дифференциальное уравнение n – ого порядка в виде, разрешенном относительно старшей производной, выглядит так:

.

Решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция , обращающая его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция  такая, что

1) при любом наборе констант  эта функция является решением,

2) для любого набора начальных условий из области существования решения  найдется набор констант , при котором функция  удовлетворяет заданным начальным условиям, т.е. .

Заметим, что общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка зависит ровно от n констант.

Частным решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется какое-либо из решений, входящих в общее решение (при конкретном выборе констант).

Общим интегралом дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция , сохраняющая свои значения на решениях дифференциального уравнения.

Интегральной кривой называется график частного решения.

Общее решение представляет собой совокупность интегральных кривых.

Обычно рассматривается одна из трех задач:

1) Найти общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка,

2) Задача Коши – найти частное решение дифференциального уравнения n – ого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям,

3) Краевая задача – найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, одна часть которых задана в точке , а другая часть в точке.

Теорема Коши (существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n – ого порядка  ).

Пусть функция  и ее частные производные по переменным  определены и непрерывны в некоторой области .

Тогда для любой внутренней точки  существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этим начальным условиям, т. е.  

(через любую внутреннюю точку  проходит единственная интегральная кривая).

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка . Область существования и единственности решения  заполнена непересекающимися интегральными кривыми. Через любую точку  проходит единственная интегральная кривая. Однако через «точку »  проходит бесконечно много интегральных кривых, все они различаются значениями . Заметим, что в  «точка »  представляет собой прямую .

Понижение порядка дифференциальных уравнений.

Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. Причем однородные, линейные и Бернулли тоже сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-го порядка – проблема. Поэтому стараются понизить порядок дифференциального уравнения, если это возможно, чтобы свести его к известным типам уравнений первого порядка.

Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядка зависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение.

.

Но это – очевидный случай. Рассмотрим менее очевидные случаи.

Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

1) Уравнение не содержит явно y , его вид  или .

Здесь применяется подстановка  – вводится новая функция  старой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка .

Пример. Найти общее решение уравнения  и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

 – общее решение. Найдем частное решение. . Частное решение .

2) Уравнение не содержит явно x , его вид  или .

Здесь применяется подстановка  – вводится новая функция  новой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка .

Пример. Найти общее решение уравнения  и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Либо – решение, либо ,

– общее решение.

Найдем частное решение. ,

– частное решение.

2) Однородное уравнение относительно .

Уравнение называется однородным относительно , если при замене  уравнение не изменится.

Здесь применяется подстановка .

Пример. Найти общее решение уравнения

    – решение. ,

Лекция “2.3. Особенности наращивания инженерной защиты” также может быть Вам полезна.

– общее решение.

3) Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций.

Пример. .

Запишем уравнение в виде

Существуют еще несколько случаев, которые встречаются реже и здесь не рассматриваются.

Введение в линейные уравнения второго порядка

Введение в линейные уравнения высшего порядка Уравнения

       При решении уравнений более высокого порядка дифференциальных уравнений, первый шаг состоит в том, чтобы найти характеристическое уравнение и решить за 0. характеристическое уравнение представляет собой переписанную функцию, в которой y определенного производная становится переменной r на соответствующую мощность. Вот пример характеристики уравнение, составленное из дифференциального уравнения:

Чтобы найти характеристику уравнения, лучше всего думать о производной как о новой степени r; секунда производная идет на r ² , первая производная идет к r, и ты с никакая производная не идет к r ⁰ =1.

       Тогда мы можем решить факторинг, завершение квадрат или квадратичная формула. При работе с уравнениями второго порядка характеристическое уравнение сведется к полиномам. Вот типы решений, которые мы будем иметь, в зависимости от какие значения, которые мы получаем для r. (обратите внимание, что заглавная А и В произвольные константы, а строчные буквы a и b — значения от р):

• Отдельный Реальный: если у нас есть настоящие, неравные корни, решения экспоненциальные функции:

y = Ae ^ax + Be

bx

• Повторяется Корни: они умножаются на степени х, пока мы не достигнем наивысший показатель:
  

y = Ae ^ax + Bxe ^ax

• Чистый Мнимые: чистые мнимые корни дают комбинацию sin x и cos x:

y = Acos bx + Bsin bx

• Комплекс: Если у нас есть 2 комплексных корня, решения представляют собой комбинации экспоненциальные функции, умноженные на sin или cos:

у = Ae ^топор cos bx + Be ^ax sin bx

• г = 0: Решение представляет собой константу
.

При работе с этими задачами мы можем использовать А и В или с ₁ и с ₂ для обозначения произвольных констант; либо хорошо, это все зависит от личного предпочтение.

       Давайте пройдемся по некоторым примеры:

Пример 1: Различные вещественные корни

       Найдите общее решение задачи дифференциальное уравнение второго порядка:

       Во-первых, нам нужно найти характеристическое уравнение:

       Теперь нам нужно решить. Мы можно сделать это, разложив на множители:

       Мы видим, что если r = 2 или -1, функция будет равна 0. Это два разных действительных корня, поэтому мы будем используйте соответствующую форму для их заполнения:

Пример 2: Различные вещественные корни

       Найдите общее решение задачи дифференциальное уравнение второго порядка:

       Нам нужно найти характеристическое уравнение и решить:

       У нас есть два различных, действительных корни:

Пример 3: Повторяющиеся корни

       Найдите общее решение для дифференциальное уравнение второго порядка:

       Во-первых, нам нужно найти характеристическое уравнение и решить:

       У нас есть r = 3, но оно находится в функция во второй степени; следовательно, мы имеем r = 3, с кратность 2.

Это повторяющийся корень:

Пример 4: Повторяющиеся корни

       Найдите общее решение для дифференциальное уравнение второго порядка:

       Нам нужно найти характеристическое уравнение, а затем решить:

       У нас есть решение -1, с кратностью 2:

       Давайте посмотрим, если мы имели более высокую кратность. Если бы это уравнение оказалось равным
(г + 1) ³ , или г = -1 (кратность 3), форма ответа будет следующей:

Пример 5: Чистые мнимые корни

       Найдите общее решение задачи дифференциальное уравнение второго порядка:

       Во-первых, нам нужно найти характеристическое уравнение и решить:

       Для этого мы получаем положительный и отрицательный 3i, поскольку в нем использовался квадратный корень из отрицательного числа; поэтому мы имеют чисто мнимые корни:

Пример 6: Чистые мнимые корни

       Найдите общее решение задачи дифференциальное уравнение второго порядка:

       Во-первых, нам нужно найти характеристическое уравнение и решим:

       Получим чисто мнимый корень из 4i:

Пример 7: Комплексные корни

       Найдите общее решение задачи дифференциальное уравнение второго порядка:

       Во-первых, нам нужно найти характеристическое уравнение:

       Теперь нам нужно решить. Мы мы не можем факторизовать это уравнение, но мы можем решить, заполнив квадрат:

       Мы определяем, что r равно a постоянный плюс и минус мнимое число. Ответ написан в форма:

       Константа идет с e, а мнимое число идет с sin и cos.

Пример 8: Комплексные корни

       Найдите общее решение задачи дифференциальное уравнение второго порядка:

Во-первых, нам нужно найти характеристическое уравнение и решить. Как и в предыдущем случае, нам нужно будет заполнить квадрат:

       У нас есть комплексный корень:

Пример 9: r = 0

       Найдите общее решение задачи дифференциальное уравнение высшего порядка:

       Сначала нам нужно найти характеристическое уравнение:

       Теперь нам нужно найти 0. Для начала мы можем факторизовать r из всего уравнения:

Теперь у нас есть три корня: 0, 2 и -3. 2 и -3 являются различными действительными корнями, а 0 представлен изолированным постоянный. Все это складывается вместе:

Пример 10: r = 0

       Найдите общее решение задачи дифференциальное уравнение высшего порядка:

       Сначала нам нужно найти характеристическое уравнение и решить:

       Имеем r = 0, и повторяющийся корень из r = 4 с кратностью 2:

Пример 11: Частные решения

       Найти конкретное решение к дифференциальному уравнению высшего порядка:

       Начнем с поиска общее решение, как и прежде: найти характеристическое уравнение, решить его, а затем с помощью корней определить уравнение:

       Начальные условия включить оба y и у’; поэтому нам нужно будет взять производную от y:

       Теперь мы можем подключить наш начальные значения и решить для A и Б. Начнем с y:

       B отменяется на 0, но мы выяснили, что A = 5. Подставим наши начальные значения в y’:

       Теперь, когда мы знаем A и B, у нас есть частное решение:

Пример 12: Частные решения

       Найти конкретное решение к дифференциальному уравнению высшего порядка:

       Эта задача начинается сразу как и другие: найти характеристическое уравнение, решить, а затем сделать уравнение, основанное на корнях:

       Начальные условия включить оба y и ты, так нам нужно будет найти первую производную:

       Теперь мы можем использовать начальный условия, которые необходимо решить для A и Б. Начнем с y:

       Давайте посмотрим на y’:

       На данный момент мы знаем, что A+B = 12 и -3A+2B = -1. мы не можем определить А или Б из любой из них сам по себе, но мы можем использовать их обоих для этого. Если мы умножаем уравнение A+B = 12 на 3, получаем затем можно добавить к -3A+2B = -1, что будет давайте решим для B:

       После сложения обоих уравнений вместе, А сокращаются, и у нас остается:

       Теперь мы знаем, что B = 7. Теперь мы можем вернитесь к A+B = 12 или -3A+2B = -1 и решите для A:

       Теперь, когда у нас есть A и B, мы можем сделать конкретное решение:

Дифференциальные уравнения высшего порядка – Дифференциальные уравнения

Все ресурсы по дифференциальным уравнениям

1 Диагностический тест 29 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Дифференциальные уравнения Помощь » Дифференциальные уравнения высшего порядка

Для задачи с начальными значениями

Что делать, если следующие интервалы, содержащие НЕ, гарантируют существование единственного решения?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Приведя уравнение к стандартной форме, получим, что

Нужно найти, где эти коэффициенты одновременно непрерывны. Вот где

. Вариант, который не является подмножеством этих вариантов:

Сообщить об ошибке

Решить задачу с начальным значением для

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Это линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Во-первых, нам нужно характеристическое уравнение, которое только что получено путем преобразования производных порядков в степени, чтобы получить следующее:

Затем мы решаем характеристическое уравнение и находим, что (если хотите, используйте квадратичную формулу) Это позволяет нам узнать что в основе фундаментального множества решений этой задачи (решений однородной задачи) лежит .

Поскольку данная задача была однородной, решение представляет собой просто линейную комбинацию этих функций. Таким образом, . Подставив наше начальное условие, мы находим, что . Чтобы подключить второе начальное условие, мы берем производную и находим это . Подстановка второго начального условия дает . Решение этой простой системы линейных уравнений показывает нам, что

Оставляя нам окончательный ответ

(Обратите внимание, было бы очень просто найти правильный ответ, просто взяв производные и подставив их, но это не слишком полезно для вопросов без множественного выбора)

Сообщить об ошибке

Найдите общее решение  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Это линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Во-первых, нам нужно характеристическое уравнение, которое только что было получено путем преобразования порядков производных в степени, чтобы получить следующее:

 Чтобы разложить это на множители, в этом случае мы можем использовать разложение по группам. В более общем плане мы можем использовать схему Хорнера/синтетическое деление для проверки возможных корней. Здесь показаны оба метода.

 В качестве альтернативы, теорема о рациональном корне предлагает попробовать -1 или 1 в качестве корня этого уравнения. Используя схему Хорнера, мы видим

     

Что говорит нам о полиномиальных факторах   и . Это означает, что фундаментальный набор решений равен

. Поскольку данная задача была однородной, решение представляет собой просто линейную комбинацию этих функций. Таким образом, . Поскольку это не проблема с начальным значением, а просто требуется общее решение, мы закончили.

 

Сообщить об ошибке

Решить задачу с начальным значением  для  и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

 

Пояснение:

Это линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Во-первых, нам нужно характеристическое уравнение, которое только что получено путем преобразования порядков производных в степени, чтобы получить следующее:

Затем мы решаем характеристическое уравнение и находим, что задача (решения однородной задачи) содержит .

Поскольку данная задача была однородной, решение представляет собой просто линейную комбинацию этих функций. Таким образом, . Подставив наше начальное условие, мы находим, что . Чтобы подключить второе начальное условие, мы берем производную и находим это . Подстановка второго начального условия дает . Решение этой простой системы линейных уравнений показывает нам, что

Оставляя нам окончательный ответ

(Обратите внимание, было бы очень просто найти правильный ответ, просто взяв производные и подставив их, но это не слишком полезно для вопросов без множественного выбора)

Report an Error

Solve the following homogeneous differential equation:

Possible Answers:

 

where  and  are  constants 

 

where  and  are  constants 

 

where и — константы

где и — константы

Правильный ответ:

где и – константы

Объяснение:

Ода имеет характеристическое уравнение  .

Это дает двойной корень из r=2. Затем корни подставляются в общее решение однородного дифференциального уравнения с повторяющимся корнем.

 

  (для действительных кратных корней)

Таким образом, решение

Сообщить об ошибке

Решить общий вид дифференциального уравнения:

Возможные ответы:

, где и являются произвольными постоянными

, где и являются произвольной константы

, где и являются арбитрарными константами

, где и арбит. :

Где и  – произвольные константы 

Пояснение:

Это дифференциальное уравнение имеет характеристическое уравнение

 , что дает корни для r=2 и r=3. Как только установлено, что корни или являются действительными и неповторяющимися, используется общее решение для однородных линейных ОДУ. это уравнение задается как:

, где r является корнями характеристического уравнения.

Таким образом, решение

Сообщить об ошибке

Решите общую однородную часть следующего дифференциального уравнения:

Возможные ответы:

, где и являются произвольными, но не бессмысленными константами

, где и являются произвольными, но не бессмысленными константами

, где являются произвольными, но не бессмысленными константами

, где и являются арбитражными, но не значениями

, где и являются арбитражными, но не имеют смысла

. Правильный ответ:

Где и  – произвольные, но не бессмысленные константы 

Объяснение:

Начнем с того, что заметим, что однородное уравнение, которое мы пытаемся решить, имеет вид

.

Таким образом, это дифференциальное уравнение имеет характеристическое уравнение

.

Имеет корни r=3 и r=-4, поэтому общее однородное решение дается формулой:

Сообщить об ошибке

Решите следующее однородное дифференциальное уравнение:

Возможные ответы:

, где и есть константы

, где и являются константами

, где и являются константами

, где и являются константами

Правильный ответ:

, где и концентраты

, где и концентраты

, где и константы

9068

. Объяснение:

Это дифференциальное уравнение имеет характеристическое уравнение:

 Следует отметить, что это характеристическое уравнение имеет двойной корень   при r=5.

Таким образом, используется общее решение однородного дифференциального уравнения с повторяющимся корнем.

Это уравнение имеет вид

 в случае повторяющегося корня, такого как этот, и является повторяющимся корнем r=5.

Следовательно, решение

 

Сообщить об ошибке

Найдите общее решение следующего дифференциального уравнения

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Решение вспомогательного уравнения

Пробуя кандидатов на корни из теоремы о рациональных корнях, мы получили корень .

Полностью разложив на множители, мы имеем

Наше общее решение:

, где  – произвольные константы.

Сообщить об ошибке

Решить данное дифференциальное уравнение с неопределенными коэффициентами.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сначала решите однородную часть:

Следовательно, это повторный корень, таким образом, одно из дополнительных решений равно,

Теперь найдите оставшееся дополнительное решение.

Теперь решите для  и .

Где

и

Следовательно,

Теперь объедините оба дополняющих друг друга решения, чтобы получить общее решение.

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по дифференциальным уравнениям

1 Диагностический тест 29 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Дифференциальное уравнение второго порядка — Решатель, Типы, Примеры, Методы

Дифференциальное уравнение второго порядка — это особый тип дифференциального уравнения, которое состоит из производной функции второго порядка, и никакая другая производная этой функции более высокого порядка не фигурирует в уравнении. Он включает такие термины, как y”, d ² y/dx ² , y”(x) и т. д., которые указывают на производную второго порядка функции. Обычно мы записываем дифференциальное уравнение второго порядка в виде y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x), где p(x), q(x) и f(x) – функции х. Мы можем решить это дифференциальное уравнение, используя вспомогательное уравнение и различные методы, такие как метод неопределенных коэффициентов и варьирование параметров.

Дифференциальное уравнение y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, если функции p(x) и q(x) являются постоянными и оно называется дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами, если p(x) и q(x) непостоянны. В этой статье мы подробно разберем такие дифференциальные уравнения и их различные типы. Мы также изучим различные методы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, используя различные методы с помощью решенных примеров и нахождения вспомогательного уравнения.

1.	Что такое дифференциальное уравнение второго порядка?
2.	Определение дифференциального уравнения второго порядка
3.	Решение дифференциального уравнения второго порядка
4.	Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении второго порядка

Что такое дифференциальное уравнение второго порядка?

Дифференциальное уравнение — это уравнение, состоящее из функции и ее производной. Дифференциальное уравнение, состоящее из функции и ее производной второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. Математически это записывается как y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x), что является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, если f(x) не равно нулевой функции а p(x), q(x) — функции от x. Его также можно записать как F(x, y, y’, y”) = 0. Далее, давайте изучим определения различных типов дифференциальных уравнений второго порядка.

Определение дифференциального уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка определяется как дифференциальное уравнение, которое включает функцию и ее производную второго порядка, и никакие другие производные этой функции более высокого порядка не могут фигурировать в уравнении. Он может быть разных типов в зависимости от мощности производной и задействованных функций. Эти дифференциальные уравнения можно решить с помощью вспомогательного уравнения. Давайте рассмотрим некоторые специальные типы дифференциальных уравнений второго порядка, приведенные ниже:

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка записывается как y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x), где степень второй производной y” равен единице, делающей уравнение линейным. Некоторые из его примеров: y” + 6x = 5, y” + xy’ + y = 0 и т. д.

Однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) называется однородным дифференциальным уравнением второго порядка, если f(x) является нулевой функцией и, следовательно, математически имеет форму y” + p(x)y’ + q (x)y = 0. Некоторые из его примеров: y” + y’ – 6y = 0, y” – 9y’ + 20y = 0 и т. д.

Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Дифференциальное уравнение вида y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) называется быть неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, если f(x) не является нулевой функцией. Некоторые из его примеров: y” + y’ – 6y = x, y” – 9y’ + 20y = sin x и т. д.

Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение y” + p( x)y’ + q(x)y = f(x) называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, если функции p(x) и q(x) являются константами. Некоторые из его примеров: y” + y’ – 6y = x, y” – 9y’ + 20y = sin x и т. д.

Дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

Дифференциальное уравнение y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) называется уравнением второго порядка дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, если функции p(x) и q(x) не являются постоянными функциями, а являются функциями от x. Некоторые из его примеров: y” + xy’ – y sinx = x, y” – 9x ² y’ + 2e ^x y = 0 и т. д.

Решение дифференциального уравнения второго порядка

Теперь, когда мы поняли смысл дифференциальных уравнений второго порядка и их различных форм, мы приступим к изучению того, как их решать. Здесь мы сосредоточимся на том, чтобы научиться решать дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с использованием метода неопределенных коэффициентов. Во-первых, давайте разберемся, как решать однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка

Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет форму y” + py’ + qy = 0, где p, q — константы. Чтобы решить эту проблему, мы предполагаем общее решение y = e ^rx данного дифференциального уравнения, где r — любая константа, и выполните указанные шаги:

• Шаг 1: Дифференцируйте предполагаемое решение y = e ^rx и найдите y’ = re ^rx , y’ ‘ = r ² e ^rx , где r – произвольная константа.
• Шаг 2: Подставим производные в данное дифференциальное уравнение y” + py’ + qy = 0. Имеем r ² e ^rx + pre ^rx + qe ^rx = 0 ⇒ e ^rx (r ² + rp + q) = 0 ⇒ r ² + rp + q = 0, что называется вспомогательным уравнением или уравнением характеристики.
• Шаг 3: Решить вспомогательное уравнение r ² + rp + q = 0 и найти его корни r ₁ и r ₂ .
  • Если r ₁ и r ₂ — вещественные и различные корни, то общее решение имеет вид y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x}
  • Если р ₁ = r ₂ = r, тогда общее решение y = Ae ^rx + Bxe ^rx
  • Если r ₁ = a + bi и r ₂ = a – bi комплексные корни, то общее решение имеет вид y = e ^ax (A sin bx + B cos bx)

Рассмотрим несколько примеров каждого типа, чтобы понять, как найти решение однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Пример 1: Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка y” – 6y’ + 5y = 0

Решение: Принять y = e ^rx и найти его первую и вторую производную: y’ = re ^rx , y” = r ² e ^rx

Далее подставляем значения y, y’ и y” в y” – 6y’ + 5y = 0. Имеем

r ² e ^rx – 6re ^rx + 5e ^rx = 0

⇒ e ^rx (r ² – 6r + 5) = 0

⇒ r ² – 6r + 5 = 0 → характеристическое уравнение

⇒ (r – 5) (r – 1) = 0

⇒ r = 1, 5

Поскольку корни характеристического уравнения различны и действительны, следовательно общее решение данного дифференциального уравнения: y = Ae ^x + Be ^5x

y = e ^rx и найти его первую и вторую производные: y’ = re ^rx , y” = r ² e ^rx

Затем подставьте значения y, y’ и y” в y” – 8y’ + 16y = 0. Имеем,

R ² E ^RX – 8RE ^RX + 16E ^RX = 0

⇒ E ^RX (R ² – 8R + 16) = 0

⇒ R ² – 8R + 16 16) = 0

⇒ R ² – 8R + 16) = 0 → Вспомогательное уравнение

⇒ (r – 4) (r – 4) = 0

⇒ r = 4, 4

Так как корни характеристического уравнения тождественны и вещественны, то общее решение данного дифференциала уравнение y = Ae ^4x + Bxe ^4x

Пример 3: Решить дифференциальное уравнение второго порядка 9y” + 12y’ + 29y = 0 производная: y’ = re ^rx , y” = r ² e ^rx

Затем подставьте значения y, y’ и y” в 9y” + 12y’ + 29y = 0 Имеем,

9r ² e ^rx + 12re ^rx + 29e ^rx = 0

⇒ E ^RX (9R ² + 12R + 29) = 0

⇒ 9R ² + 12R + 29 = 0 → Характерное уравнение

⇒ R = [-12 ± √ (12 ² – 4 × 9 × 29)]/(2 × 9)

⇒ r = (-2/3) ± (5/3)i

Так как корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то общее решение уравнения данное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y = e ^{(-2/3) x} [A sin (5/3) x + B cos (5/3) x].

Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Чтобы найти решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка y” + py’ + qy = f(x), общее решение имеет вид y = y _c + y _p , где y _c — дополнительное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка y” + py’ + qy = 0, а y _p — частное решение неоднородного дифференциального уравнения y” + py’ + qy = f( Икс). Поскольку y _c является решением однородного дифференциального уравнения, мы можем определить его значение, используя методы, которые мы обсуждали в предыдущем разделе. Теперь, чтобы найти частное решение y _p , мы можем угадать решение в зависимости от значения f(x). В приведенной ниже таблице показано возможное частное решение y _p , соответствующее каждому f(x).

ф(х)	г р
быть топор	Ае топор
ax n + (младшие степени x)	C n x n + C n-1 x n-1 + . .. + C 0
P cos ax или Q sin ax	А cos ось + B sin ось

В случае, если f(x) имеет вид, отличный от приведенного в таблице выше, то для решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка можно использовать метод вариации параметров. Кроме того, если f(x) представляет собой комбинацию суммы функций, приведенных в таблице, то мы можем определить частное решение для каждой функции в отдельности, а затем взять их сумму, чтобы найти окончательное частное решение данного уравнения. Рассмотрим теперь несколько примеров дифференциальных уравнений второго порядка и решим их методом неопределенных коэффициентов:

Пример 1: Найдите полное решение дифференциального уравнения второго порядка y” – 6y’ + 5y = e ^-3x .

Решение: Чтобы найти полное решение, сначала найдем общее решение однородного дифференциального уравнения y” – 6y’ + 5y = 0.

Мы решили это уравнение в предыдущем разделе в решенных примерах (Пример 1) и, следовательно, дополнительное решение: y _c = Ae ^x + Be ^5x

Далее мы найдем частное решение y _p . Поскольку f(x) = e ^-3x имеет форму be ^x , предположим, что y _p = Ae ^-3x . Теперь, дифференцируя y _p , мы имеем

y _p ‘ = -3Ae ^-3x и y _p ” = 9Ae ^-3x . Подставив эти значения в данное дифференциальное уравнение второго порядка, получим0007 -3x

⇒ 9ae ^-3x -6 (-3ae ^-3x ) + 5ae ^-3x = E ^-3x

⇒ ^-3x (9 + 18 + 5) = = = e ^-3x

⇒ 32 A e ^-3x = e ^-3x

⇒ A = 1/32

Следовательно, частное решение y
p 6) e

Ответ: Следовательно, полное решение данного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка y” – 6y’ + 5y = e ^-3x is y = Ae ^x + Be ^5x + (1/32) e ^-3x

Пример 2: Решите дифференциальное уравнение второго порядка y” – 6y’ + 5y = cos 2x + e ^-3x

Решение: Поскольку мы решили однородное дифференциальное уравнение y” – 6y’ + 5y = 0 в предыдущем разделе (пример 1), мы имеем дополнительное решение y _c = Ae ^x + Be ^5x

Далее найдем частное решение данного дифференциального уравнения отдельно для cos 2x и e ^-3x , то есть определить частное решение y” – 6y’ + 5y = cos 2x и y” – 6y’ + 5y = e ^-3x по отдельности. Из приведенного выше примера 1 мы имеем частное решение дифференциального уравнения y” – 6y’ + 5y = e ^-3x , соответствующее e ^-3x как (1/32) e ^-3x . Теперь найдем частное решение уравнения y” – 6y’ + 5y = cos 2x с помощью таблицы. Предположим, что частное решение имеет вид Y _p = A cos 2x + B sin 2x. Дифференцируя это, мы имеем Y _p ‘ = -2A sin 2x + 2B cos 2x и Y _p ” = -4A cos 2x – 4B sin 2x. Подставив эти значения в дифференциальное уравнение y” – 6y’ + 5y = cos 2x, получим

-4A cos 2x – 4B sin 2x – 6(-2A sin 2x + 2B cos 2x) + 5(A cos 2x + B sin 2x) = cos 2x

⇒ -4A cos 2x – 4B sin 2x + 12A sin 2x – 12B cos 2x + 5A cos 2x + 5B sin 2x = cos 2x

⇒ (A – 12B) cos 2x + (B + 12A) sin 2x = cos 2x

⇒ A – 12B = 1 и B + 12A = 0

⇒ A = 1/145 и B = -12/145

⇒ Y _p = (1/145) cos 2x – (12/145) sin 2x

Теперь, взяв сумму обоих частных решений, окончательное частное решение данного дифференциального уравнения второго порядка y” – 6y’ + 5y = cos 2x + e ^-3x is y _p = (1/32) e ^-3x + (1/145) cos 2x – (12/145) sin 2x.

Ответ: Следовательно, полное решение дифференциального уравнения y” – 6y’ + 5y = cos 2x + e ^-3x равно y = y _c + y _p = Ae ^x + Be ^5x + (1/32) e ^-3x + (1/145) cos 2x – (12/145) sin 2x

Важные замечания по дифференциальному уравнению второго порядка

• Если y ₁ и y ₂ — два линейно независимых решения однородного дифференциального уравнения второго порядка y” + py’ + qy = 0, то частное решение соответствующего неоднородного дифференциального уравнения второго порядка уравнение y” + py’ + qy = f(x) можно определить по формуле y _p = -y ₁ ∫[y ₂ f(x)/W(y ₁ , y ₂ )] dx + y ₂ ∫[y 9×05 1 _{W (Y 1 , Y 2 )] DX, где W (Y 1 , Y 2 ) = Y 1 Y 2 ‘ – Y 2 Y 1 ‘ вронский. Такой метод нахождения решения называется методом вариации параметров.}
• Метод нахождения решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами сложен и основан на угадывании решения.

☛ Похожие темы:

• Правила дифференциации
• Формула дифференцирования и интегрирования
• Формула правила продукта

Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении второго порядка

Что такое дифференциальное уравнение второго порядка в математическом анализе?

Дифференциальное уравнение второго порядка определяется как дифференциальное уравнение, которое включает функцию и ее производную второго порядка, и никакая другая производная функции более высокого порядка не может фигурировать в уравнении. Он включает такие термины, как y”, d ² y/dx ² , y”(x) и т. д. Оно может быть разных типов, например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка, однородное и неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка и дифференциальное уравнение второго порядка. с переменными и постоянными коэффициентами.

Как решить дифференциальное уравнение второго порядка?

Дифференциальные уравнения второго порядка можно решать с помощью различных методов, таких как метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров. Решение неоднородного дифференциала второго порядка представляет собой сумму дополнительного и частного решения и задается как y = y _с + у _р .

Что такое дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?

Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами — это дифференциальное уравнение вида y” + py’ + qy = f(x), где p, q — постоянные коэффициенты.

Что такое однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка?

Дифференциальное уравнение второго порядка вида y” + py’ + qy = f(x) является однородным, если f(x) является нулевой функцией, и неоднородным, если f(x) не является нулевой функцией и некоторая ненулевая функция от x.

Почему дифференциальное уравнение второго порядка имеет два решения?

Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь бесконечно много решений, так как произвольные константы могут принимать любые значения. Мы находим два линейно независимых решения дифференциального уравнения второго порядка, так как их комбинация дает все возможные решения уравнения, и найти только одно решение недостаточно.

Как найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка?

Частное решение дифференциального уравнения второго порядка можно определить с помощью приведенной ниже таблицы:

ф(х)	г р
быть топор	Ае топор
ax n + (младшие степени x)	C n x n + C n-1 x n-1 + … + C 0
P cos ax или Q sin ax	А cos ось + B sin ось

Частное решение также можно найти по формуле y ₂ ∫[y ₁ f(x)/W(y ₁ , y ₂ )] dx, где y ₁ и y ₂ — два линейно независимых решения второго порядка однородного уравнения дифференциальное уравнение y” + py’ + qy = 0

Как определить, является ли дифференциальное уравнение второго порядка линейным?

Чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение второго порядка линейным, мы можем проверить степень второй производной в уравнении.