Точное решение дифференциального уравнения примеры решений: 44 важных примера подробных решений дифференциальных уравнений

Сообщество Экспонента

• вопрос
• 24.04.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое, Автоматизация испытаний

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

1 Ответ

• Simulink

24.04.2023

• вопрос
• 23.04.2023

ПЛИС и СнК

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog.

Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

1 Ответ

• вопрос
• 19.04.2023

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

• вопрос
• 14.04.2023

Глубокое и машинное обучение(ИИ), Математика и статистика, Системы управления

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

6 Ответов

• Simulink
• modeling
• газ

14. 04.2023

• вопрос
• 12.04.2023

Математика и статистика, Робототехника и беспилотники, Системы связи, Цифровая обработка сигналов

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…

2 Ответа

• вопрос
• 06.04.2023

Цифровая обработка сигналов

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

1 Ответ

• вопрос
• 04.04.2023

Цифровая обработка сигналов

  End

  End

3 Ответа

• вопрос
• 02.04.2023

Другое

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

• Публикация
• 29.03.2023

Глубокое и машинное обучение(ИИ)

Но давайте будем честными, для не технических менеджеров продуктов, дизайнеров и предпринимателей, внутреннее устройство ChatGPT может показаться как волшебный черный ящик. Не волнуйтесь! В этой статье я постараюсь объяснить технологию и модель, лежащие в осно.

..

Это перевод статьи: https://bootcamp.uxdesign.cc/how-chatgpt-really-works-explained-for-non-technical-people-71efb078a5c9

Автор: Guodong (Troy) Zhao

Выход ChatGPT, созданного OpenAI в конце прошлого года, был явлением феноменальным – даже моя бабушка спрашивает об этом. Его возможности генерировать язык, похожий на человеческий, вдохновляют людей экспериментировать с его потенциалом в различных продуктах. Его крайне успешный запуск даже поставил давление на гигантов технологической отрасли, таких как Google, чтобы спешить выпустить свою собственную версию ChatGPT.

• ИИ
• ChatGPT
• OpenAI
• Искусственный интеллект
• NLP
• GPT

29.03.2023

• вопрос
• 27.03.2023

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика, Автоматизация испытаний, Встраиваемые системы, Радиолокация, Другое, Изображения и видео

Прошу помочь в реализации программы написанной в AppDesigner.   оптический волновод , входные параметры, законы геометрической оптики , построение мод (волн) учитывая вышеперечисленные параметры,…

Прошу помочь в реализации программы написанной в AppDesigner.  оптический волновод , входные параметры, законы геометрической оптики , построение мод (волн) учитывая вышеперечисленные параметры,…

• оптика
• Оптические системы
• Волоконная оптика

27.03.2023

Операционное исчисление (обобщения и приложения)

Операционное исчисление (обобщения и приложения)

Штокало И.З. Операционное исчисление (обобщения и приложения). Киев: Наукова думка, 1972. – 304 с. Основное внимание уделяется вопросам теоретического обоснования операционного исчисления и его многочисленным приложениям. Книга рассчитана на научных работников, инженеров, аспирантов и студентов технических вузов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ОПЕРАЦИОННОГО (СИМВОЛИЧЕСКОГО) ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Возникновение первых идей § 2. Хевисайд и возникновение операционного исчисления § 3. Новые идеи в операционном исчислении ГЛАВА II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПЕРАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ § 1. Некоторые предварительные операционные преобразования и их применение § 2. Основные понятия и определения § 3. Об интеграле Лапласа § 4. Об интеграле Бромвича § 5. Некоторые свойства начальных и преобразованных функций § 6. Дифференцирование оригинала (Вид изображения, соответствующего производной от исходного оригинала f(f)) § 7. Дифференцирование изображения (Вид оригинала, соответствующего производной от первоначального изображения F(p)) § 8. Интегрирование оригинала (Вид изображения, соответствующего интегралу от исходного оригинала f(t)) § 9. Интегрирование изображения (Вид оригинала, соответствующего интегралу от первоначального изображения F{p)) § 10. Свойство сдвига (теорема запаздывания) § 11. Свойство смещения (теорема затухания) § 12. Свойство частичного вырождения оригинала (теорема опережения) § 13. Свойство свертки, или складки (теорема умножения изображений) § 14. Обобщенная теорема умножения изображений § 15. Обобщенная теорема умножения оригиналов § 16. Разложение оригиналов и изображений в ряды (теоремы разложений) § 17. Изображение периодического оригинала § 18. Предельные соотношения § 19. Дифференцирование и интегрирование по параметру § 20. Вывод изображений некоторых функций ГЛАВА III. ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ § 1. Решение линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а также их систем § 2. Примеры решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ГЛАВА IV. ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННОГО СИМВОЛИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ, КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИМИ И ОГРАНИЧЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ § 1. Линейные дифференциальные уравнения с коэффициентами, мало отличающимися от постоянных § 2. Лемма о квазипериодичности некоторого типа матриц § 3. Аналитичность вектора относительно … § 4. Вид решений линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами § 5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с коэффициентами, мало отличающимися от постоянных ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ § 1. Определение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их классификация § 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом § 3. Основная начальная задача. Метод шагов § 4. Решение систем с постоянными коэффициентами и запаздыванием § 5. Представление решения систем с запаздыванием в виде определенного интеграла § 6. Экспоненциальные решения систем с запаздыванием § 7. Разложение решения систем с запаздыванием в ряды по основным решениям ГЛАВА VI. УСТАНОВЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ § 1. «Полное» преобразование основной системы уравнений. Вид ее формального решения § 2. Асимптотический характер приближенного решения основной системы уравнений § 3. Критерий устойчивости точного решения основной системы уравнений при … § 4. Критерий неустойчивости решения основной системы уравнений § 5. Некоторые приложения ГЛАВА VII. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА С КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ПЕРЕМЕННЫЕ ЧАСТИ КОТОРЫХ ОБРАЗОВАНЫ ОГРАНИЧЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ § 1. Устойчивость решения рассматриваемого уравнения при … § 2. Вид формального решения рассматриваемого уравнения § 3. Асимптотический характер приближенного решения рассматриваемого уравнения БИБЛИОГРАФИЯ

2.

7: Точные дифференциальные уравнения — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

380

• Ларри Грин
• Общественный колледж Лейк-Тахо

Рассмотрим уравнение

\[ f(x,y) = C. \номер\]

Взяв градиент, мы получим

\[ f_x(x,y)\hat{\textbf{i}} + f_y(x,y)\hat{\textbf{j}} = 0.\nonumber \]

Мы можем записать это уравнение в дифференциальной форме как

\[ f_x(x,y)\, dx+ f_y(x,y)\, dy = 0.\nonnumber \]

Теперь разделите на \( dx \) (здесь мы не претендуем на строгость), чтобы получить

\[ f_x(x,y)+ f_y(x,y) \dfrac{dy}{dx} = 0.\nonumber \]

Это дифференциальное уравнение первого порядка. Цель этого раздела — вернуться назад. То есть, если дифференциальное уравнение имеет форму, указанную выше, мы ищем исходную функцию \ (f (x, y) \) (называемую потенциальной функцией ). Дифференциальное уравнение с потенциальной функцией называется точным . Если у вас было векторное исчисление, это то же самое, что найти потенциальные функции и использовать фундаментальную теорему линейных интегралов.

Пример \(\PageIndex{1}\) 92y + x + \sin\, y = C. \nonumber \]

Всегда ли работает этот метод? Ответ – нет. Мы можем сказать, работает ли метод, если вспомним, что для функции с непрерывными частными производными смешанные частные производные не зависят от порядка. Это

\[ f_{xy} = f_{yx} .\nonumber \]

Если у нас есть дифференциальное уравнение

\[ M(x,y) + N(x,y)y’ = 0 \ nonumber \]

тогда мы говорим, что это точное дифференциальное уравнение if

\[ M_y(x,y) = N_x(x,y) . \номер\]

Теорема (Решения точных дифференциальных уравнений)

Пусть \(M\), \(N\), \(M_y\) и \(N_x\) непрерывны с

\[ M_y = N_x.\nonumber \ ]

Тогда существует функция \(f(x,y)\) с

\( f_x = M \) и \( f_y = N \)

такая, что

\[ f(x,y) = C \nonumber \]

является решением дифференциального уравнения

\[ M(x,y) + N(x,y)y’ = 0 .\nonumber \]

Пример \(\PageIndex{2}\)

Решение дифференциального уравнения 9{-2г}. \nonumber \]

Теперь вычислите

\[ M_y = 1 \;\;\; \текст{и} \;\;\; N_x = 2у. \nonumber \]

Поскольку они не равны, поиск потенциальной функции \(f\) безнадежен. Однако есть проблеск надежды, если мы вспомним, как мы решали линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Мы умножили обе части на интегрирующий множитель \(m\). Мы делаем это здесь, чтобы получить

\[ mM + mN_y’ = 0 .\nonumber \]

Чтобы быть точным, мы должны иметь

\[ (mM)_y = (mN)_x . \номер\]

Использование правила произведения дает

\[ m_yM + mM_y = m_xN + mN_x . \nonumber \]

Теперь у нас есть новое дифференциальное уравнение, которое, к сожалению, решить труднее, чем исходное дифференциальное уравнение. Упростим уравнение, предположив, что либо m является функцией только \(x\), либо только \(y\). Если это функция только от \(x\), то \( m_y = 0 \) и

\[ mM_y = m_xN + mN_x .\nonumber \]

Решая \(m_x\), получаем

\[ m_x = \dfrac{M_y-N_x}{N}. \номер\]

Если это функция только от \(y\), то мы сможем найти интегрирующий множитель, который включает только \(y\). Если это функция только \(y\), то \( m_x = 0\) и

\[ m_yM + mM_y = mN_x . \nonumber \]

Решая \(m_y\), получаем

\[ m_y = \dfrac{N_x-M_y}{M} m .\nonumber \]

Если это функция \(y\ ), то мы сможем найти интегрирующий множитель, который включает только \(y\).

Для нашего примера

\[ m_y = \dfrac{N_x – M_y}}{M} m = \dfrac{2y-1}{y} m = (2-\frac{1}{y})m . \ не число \] 9{2y} + ln\, y = 0. \номер\]

---

Эта страница под названием 2.7: Точные дифференциальные уравнения распространяется по незаявленной лицензии, ее автором, ремиксом и/или куратором был Ларри Грин.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Ларри Грин

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. Точные дифференциалы
   2. потенциальная функция

Примеры точных дифференциальных уравнений | Что такое примеры точных дифференциальных уравнений – примеры и решения 9{\int {Pdx} }}\]

, и теперь решение можно получить интегрированием.

На самом деле существует систематический подход к определению I.F. в общем случае (если такая И.Ф. вообще возможна). Однако мы не будем обсуждать этот подход здесь, поскольку он выходит за рамки нашей текущей области.

Давайте посмотрим на другой пример, где решение легко получается путем распознавания точных дифференциалов, присутствующих в уравнении.

Пример – 18

Решить ДУ \(\begin{align}x\cos \left( {\frac{y}{x}} \right)\left( {ydx + xdy} \right) = y\sin\left( {\frac{y}{x}} \right)\left({xdy – ydx} \right).\end{align}\) 92}}}} \right)\end{align}\]

Из таблицы 1 это можно записать как

\[\frac{{d(xy)}}{{xy}} = \tan \left ( {\frac{y}{x}} \right)d\left( {\frac{y}{x}} \right)\]

Теперь решение получается простым интегрированием обеих частей:

\[ \begin{array}{l} & \ln (xy) = \ln \left( {\sec \left({\frac{y}{x}} \right)} \right) + \ln C\\ \ Стрелка вправо & xy = C\sec \left( {\frac{y}{x}} \right)\end{массив}\]

Решить следующие ДУ:

Q.