Топология электрических цепей: Топология электрических цепей. Схема замещения эл. цепи Графам - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Топология электрических цепей. Схема замещения эл. цепи Графам

Топологическое свойство цепей.

Для облегчения расчета составляется схема замещения электрической цепи, на схеме замещения изображаются все элементы цепи, влияниями которыми нельзя пренебречь, а также указывают электрическое соединение между ними.

Прежде чем перейти к структуре составления схем замещения напомним термины и определения:

Топология — это раздел математики, изучающий неколичественное соотношения между геометрическими объектами.
Схема – основное топологическое понятие теории цепей, это графическое изображение модели цепи, состоящая из ветвей и узлов.
Ветвь – участок цепи с неизменным током.
Узел – место соединение трёх и более ветвей (формально узлом можно считать место соединения двух ветвей, такой узел называют простым, например разделяющая точка соединения двух последовательных ветвей, для обозначения на схеме).
Граф – изображения цепи (ветви цепи) без информации об элементах цепи. Если в графе указан УПН (условно – графическое направления тока или напряжения), то такой граф называется направленным. Если цепи не связаны электрически (например: связаны только через магнитное поле) граф называется не связанным.

Основное топологическое понятия графа это — путь графа (последовательность ветвей, в которой ни один узел не повторяется). Ветви изображенные на рисунке ниже, вне зависимости от элементов, заменяются простой ветвью графа рис. 1 б).

Схемы замещения электрических цепей.

Рис.1

Замечание: при анализе простых электрических цепей с простой и наглядной схемой пользуются схемами замещения электрических цепей, к топологическим свойствам цепи прибегают при анализе сложных цепей с использованием вычислительной техники.

Вернутся в раздел ТОЭ

Топология электрической цепи

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.

Ветвью принято называть участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.

Узел – место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. По этой причине целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. В случае если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, принято называть графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, принято называть ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа

. Ветвям графа должна быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, принято называть ориентированным.

Подграфом графа принято называть часть графа, ᴛ.ᴇ. это должна быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

1. Путь – ϶ᴛᴏ упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. К примеру, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1

образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, путь – ϶ᴛᴏ совокупность ветвей, проходимых непрерывно.

2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. К примеру, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. В случае если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.

3. Дерево – ϶ᴛᴏ связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.

Рис.4

4. Ветви связи (дополнения дерева) – ϶ᴛᴏ ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

В случае если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева , а числа ветвей связи графа .

5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, должна быть отдельным узлом.

Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 S₁ иS₂ . При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5.

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

определение, элементы, схемы. Топология и методы расчета

Эта статья для тех, кто только начинает изучать теорию электрических цепей. Как всегда не будем лезть в дебри формул, но попытаемся объяснить основные понятия и суть вещей, важные для понимания. Итак, добро пожаловать в мир электрических цепей!

Хотите больше полезной информации и свежих новостей каждый день? Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Электрические цепи

Электрическая цепь – это совокупность устройств, по которым течет электрический ток.

Рассмотрим самую простую электрическую цепь. Из чего она состоит? В ней есть генератор – источник тока, приемник (например, лампочка или электродвигатель), а также система передачи (провода). Чтобы цепь стала именно цепью, а не набором проводов и батареек, ее элементы должны быть соединены между собой проводниками. Ток может течь только по замкнутой цепи. Дадим еще одно определение:

Электрическая цепь – это соединенные между собой источник тока, линии передачи и приемник.

Конечно, источник, приемник и провода – самый простой вариант для элементарной электрической цепи. В реальности в разные цепи входит еще множество элементов и вспомогательного оборудования: резисторы, конденсаторы, рубильники, амперметры, вольтметры, выключатели, контактные соединения, трансформаторы и прочее.

Электрическая цепь

Кстати, о том, что такое трансформатор, читайте в отдельном материале нашего блога.

По какому фундаментальному признаку можно разделить все цепи электрического тока? По тому же, что и ток! Есть цепи

постоянного тока, а есть – переменного.

В цепи постоянного тока он не меняет своего направления, полярность источника постоянна. Переменный же ток периодически изменяется во времени как по направлению, так и по величине.

Сейчас переменный ток используется повсеместно. О том, что для этого сделал Никола Тесла, читайте в нашей статье.

Элементы электрических цепей

Все элементы электрических цепей можно разделить на активные и пассивные. Активные элементы цепи – это те элементы, которые индуцируют ЭДС. К ним относятся источники тока, аккумуляторы, электродвигатели. Пассивные элементы – соединительные провода и электроприемники.

Приемники и источники тока, с точки зрения топологии цепей, являются двухполюсными элементами (двухполюсниками). Для их работы необходимо два полюса, через которые они передают или принимают электрическую энергию. Устройства, по которым ток идет от источника к приемнику, являются четырехполюсниками. Чтобы передать энергию от одного двухполюсника к другому им необходимо минимум 4 контакта, соответственно для приема и передачи.

Резисторы – элементы электрической цепи, которые обладают сопротивлением. Вообще, все элементы реальных цепей, вплоть до самого маленького соединительного провода, имеют сопротивление. Однако в большинстве случаев этим можно пренебречь и при расчете считать элементы электрической цепи идеальными.

Существуют условные обозначения для изображения элементов цепи на схемах.

Кстати, подробнее про силу тока, напряжение, сопротивление и закон Ома для элементов электрической цепи читайте в отдельной статье.

Вольт-амперная характеристика – фундаментальная характеристика элементов цепи. Это зависимость напряжения на зажимах элемента от тока, который проходит через него. Если вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию, то говорят, что элемент линейный. Цепь, состоящая из линейных элементов – линейная электрическая цепь. Нелинейная электрическая цепь – такая цепь, сопротивление участков которой зависит от значений и направления токов.

Какие есть способы соединения элементов электрической цепи? Какой бы сложной ни была схема, элементы в ней соединены либо последовательно, либо параллельно.

При решении задач и анализе схем используют следующие понятия:

Ветвь – такой участок цепи, вдоль которого течет один и тот же ток;
Узел – соединение ветвей цепи;
Контур – последовательность ветвей, которая образует замкнутый путь. При этом один из узлов является как началом, так и концом пути, а другие узлы встречаются в контуре только один раз.

Чтобы понять, что есть что, взглянем на рисунок:

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Классификация электрических цепей

По назначению электрические цепи бывают:

Силовые электрические цепи;
Электрические цепи управления;
Электрические цепи измерения;

Силовые цепи предназначены для передачи и распределения электрической энергии. Именно силовые цепи ведут ток к потребителю.

Также цепи разделяют по силе тока в них. Например, если ток в цепи превышает 5 ампер, то цепь силовая. Когда вы щелкаете чайник, включенный в розетку, Вы замыкаете силовую электрическую цепь.

Электрические цепи управления не являются силовыми и предназначены для приведения в действие или изменения параметров работы электрических устройств и оборудования. Пример цепи управления – аппаратура контроля, управления и сигнализации.

Электрические цепи измерения предназначены для фиксации изменений параметров работы электрического оборудования.

Расчет электрических цепей

Рассчитать цепь – значит найти все токи в ней. Существуют разные методы расчета электрических цепей: законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Рассмотрим применение метода контурных токов на примере конкретной цепи.

Сначала выделим контуры и обозначим ток в них. Направление тока можно выбирать произвольно. В нашем случае – по часовой стрелке. Затем для каждого контура составим уравнения по 2 закону Кирхгофа. Уравнения составляются так: Ток контура умножается на сопротивление контура, к полученному выражению добавляются произведения тока других контуров и общих сопротивлений этих контуров. Для нашей схемы:

Полученная система решается с подставкой исходных данных задачи. Токи в ветвях исходной цепи находим как алгебраическую сумму контурных токов

Какую бы цепь Вам ни понадобилось рассчитать, наши специалисты всегда помогут справится с заданиями. Мы найдем все токи по правилу Кирхгофа и решим любой пример на переходные процессы в электрических цепях. Получайте удовольствие от учебы вместе с нами!

Расчет электрических цепей произвольной топологии

Расчет электрических цепей в продуктах APM

Программа APM ECA предоставляет средства для формирования и расчета сетевых моделей динамических систем. Расчет динамики системы проводится с использованием неявных и полунеявных схем различных порядков. Встроенные инструменты формирования подсистем позволяют создавать составные модели, включающие в себя в качестве отдельных элементов другие динамические и электрические системы. Программа включает средства расширения функциональности за счет включения дополнительных элементов, функциональное описание которых осуществляется средствами языков программирования Python или Julia.

Возможности программы позволяют моделировать широкий спектр процессов и явлений, поскольку любой системе интегро-дифференциально-алгебраических уравнений можно поставить в соответствие некоторую сетевую модель динамической системы. Такого рода модели являются естественным описанием процессов управления и фильтрации, колебательных процессов в механических системах, информационных процессов в системах связи.

Машинное обучение

Одной из важнейших тенденция современного проектирования технических систем является включение в конструкцию адаптивных элементов, закон функционирование которых определяется не только (а иногда даже не столько) конструктивными параметрами, определяемыми на стадии проектирования, а определяется в процессе функционирования системы в реальной или смоделированной среде исходя из условия достижения определенных технико-экономических показателей. К таким элементам можно отнести различного рода статистические классификаторы, системы идентификации (включая нейронные сети), распознавания образов и т.д.

Включение адаптивных элементов в разрабатываемую динамическую или стационарную систему обычно состоит из следующих этапов:

определение структуры адаптивной системы. В настоящее время наибольшее практическое применение получили сетевые системы (в частности, нейронные сети), осуществляющую последовательное, слой за слоем, преобразование многомерного входного значения в одно- или многомерное выходное значение;
выбор «критерия качества» функционирования системы. На данном критически важном этапе устанавливается критерий, исходя из которого будут выбраны значения свободных параметров системы. В зависимости от целей дальнейшего использования таким критерием может выступать среднеквадратичное отклонения наблюдаемого отклика адаптивной системы от известного целевого (как, например, в задаче адаптивной фильтрации), среднее значение некоторой вырабатываемой величины и др. ;
обучение. На этом этапе проводится симуляция работы системы и определение ее свободных параметров исходя из условия достижения установленного критерия качества. Данная процедура является вычислительно трудоемкой и для эффективного решения требует использования специализированных алгоритмов;
оценка результатов. После процедуры обучения проводится повторная симуляция поведения системы в условиях, более приближенных к реальным. В зависимости от результатов, полученных на данном этапе принимается решение о необходимости повторного обучения, либо изменения структуры адаптивной системы;
включение обученной системы в качестве составного элемента в основную (реальную или моделируемую) систему.

Параметрическая оптимизация

При проектировании динамических систем достаточно частой является проблема выбора значений конструктивных параметров, при которых будут достигаться наилучшие функциональные показатели. Традиционно данная задача решается путем последовательного моделирования поведения системы при различных значениях конструктивных параметров с последующим выбором наилучшей из использованных альтернатив. Современные вычислительные средства позволяют автоматизировать данную процедуру за счет применения методов численной оптимизации, оставляя за проектировщиком только лишь обязанность указания критерия оценки качества системы при некотором наборе значений конструктивных параметров, а также ограничений на возможные значения данных параметров. В качестве подобных ограничений чаще всего выступают номенклатурные ограничения, то есть возможность выбора ограничивается некоторым наперед известным набором возможных сочетаний значений параметров, либо интервальные ограничения, то есть указание допустимого диапазона значений для каждого из параметров.

Легко заметить, что задача параметрической оптимизации имеет много общего с задачей машинного обучения. Действительно, если представить модель динамической системы как некий «черный ящик», на вход которого подается вектор значений оптимизируемых параметров, а на выходе – оцениваемые параметров функционирования этой системы, то такой «ящик» можно рассматривать как элемент адаптивной сетевой системы. Важно при этом отметить, что в этом случае вполне допустимо в качестве критериев оценки качества функционирования динамической системы использовать не только некоторые числовые (например, интегральные) характеристики, а принимать решение исходя, например, из ширины спектра наблюдаемого выходного сигнала. Иными словами, такой подход позволяет формулировать достаточно сложные составные критерии оценки качества функционирования системы.

Параметрическая оптимизация и машинное обучение в среде АПМ

С использованием программного обеспечения APM ECA, разработанного НТЦ «АПМ», возможно выполнение всех этапов проектирования динамических систем с обучаемыми элементами. Возможности программы позволяют проектировать и обучать различные виды нейронных сетей, линейных и нелинейные регрессионные модели и классификаторы, решать задачи кластеризации и понижения размерности данных. Важной отличительной особенностью программного продукта является возможность объединения моделей динамических систем и моделей адаптивных сетевых систем. Это позволяет, например, в качестве критериев качества функционирования использовать значения динамических характеристик проектируемой системы – время переходного процесса, среднюю вырабатываемую мощность, потери на трение и др., а также эффективно формулировать и решать задачу параметрической оптимизации для различных подмножеств конструктивных параметров системы.

Сетевая адаптивная модель представляется в виде соединенных блоков (элементов), каждый из которых осуществляет преобразование входной тензорной (вектор, матрица или многомерный массив в общем случае) величины в выходную. Элементы модели разделяются на следующие категории:

Источники – элементы, не имеющие входов и выдающие значения основании установленных параметров.
Приемники – элементы, не имеющие выходов и осуществляющие действия, не влияющие на функционирование системы (например, вывод значения на график или в файл).
Преобразующие элементы, не имеющие свободных параметров и осуществляющие заданное преобразование входной величины в выходную (конкатенация значений, вычисление расстояния, суммирование и т. д.). Осуществляемое преобразование может быть как детерминированным, так и стохастическим.
Обучаемые элементы. Обладают свободными параметрами, которые настраиваются в процессе обучения для достижения установленного критерия качества.
Адаптивные элементы. Обладают внутренним состоянием, изменяемым в соответствии с собственным критерием качества.
«Учителя» – элементы, оценивающие «качество» системы.

Сетевая модель может иметь произвольную глубину (под глубиной сетевой модели понимается максимальное расстояние от приемника до элемента типа «учитель»). Алгоритм обучения выбирается на основании анализа структуры модели, дифференцируемости входящих в ее структуру элементов и установленных критериев оценки качества функционирования системы. Пользователь может устанавливать поэлементную либо пакетную стратегию обучения, размер пакета и параметры регуляризации.

Возможности APM ECA могут быть использованы для разработки адаптивных, в том числе нейросетевых систем управления, непрерывных и дискретных фильтров, а также решения задач идентификации динамических систем с их последующим использованием в качестве составных элементов в других моделях, распознавания образов, систем диагностики состояния и др. Программный продукт включает инструменты расширения функциональности путем добавления пользовательских элементов, функционирование которых описывается средствами языков программирования Python или Julia.

Топология цепей Основные определения Схема электрической цепи

Топология цепей Основные определения Схема электрической цепи — это условное графическое изображение электрической цепи.

Топология цепей Основные определения

Топология цепей Основные определения В неразветвленной цепи один и тот же ток замыкается через все элементы цепи. В разветвленных цепях токи через различные элементы могут иметь различные значения. Соединение группы идеализированных двухполюсных элементов, при котором через них замыкается один и тот же ток, называется последовательным. Соединение группы двухполюсных элементов, при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением, называется параллельным. Комбинация последовательного и параллельного соединений элементов называется смешанным соединением

Топология цепей Основные определения

Топология цепей Основные определения Ветвь представляет собой участок электрической цепи, вдоль которого замыкается один и тот же ток. Место соединения ветвей между собой называется узлом, причем место соединения двух ветвей называют устранимым узлом. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи так, что ни одна ветвь и ни один узел не встречаются дважды, называется контуром. Контур характеризуют направлением обхода (порядком перечисления ветвей), которое выбирают произвольно и указывают изогнутой стрелкой. Топологическое описание цепи, при котором необходимо принимать во внимание все узлы, в том числе и устранимые, будем называть расширенным. Топологическое описание цепи, при котором устранимые узлы во внимание не принимаются, будем называть сокращенным.

Понятие о компонентных и топологических уравнениях Компонентные уравнения (уравнения ветвей) представляют собой математические модели соответствующих ветвей и выражают ток или напряжение каждой ветви через параметры элементов этой ветви. Топологические уравнения устанавливают связь между токами или напряжениями различных ветвей, причем вид и число топологических уравнений не зависят от того, какие именно элементы входят в состав ветвей цепи.

Понятие о компонентных и топологических уравнениях

Понятие о компонентных и топологических уравнениях Компонентные уравнения невырожденной ветви устанавливают связь между ее током и напряжением и могут быть записаны в двух формах: 1) ток ветви определяется через напряжение ветви; 2) напряжение ветви находится через ток. Компонентное уравнение вырожденной ветви задает напряжение или ток ветви, но не позволяет по известному напряжению ветви найти ее ток или по заданному току определить напряжение.

ЗАКОНЫ КИРХГОФА Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в каждом из узлов цепи: алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов моделирующей цепи, в любой момент времени равна нулю. уравнение баланса токов в узле l и k— номера узлов и ветвей; q и p— число узлов и ветвей. В уравнение баланса токов, составленное для l-го узла, входят только токи ветвей, подключенных к этому узлу, причем токи ветвей, направленных к узлу, берутся со знаком минус, а токи ветвей, направленных от узла, – со знаком плюс.

ЗАКОНЫ КИРХГОФА для узла(1) для узла (2) для узла (3) для узла (0) Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в каждом из узлов цепи: алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов моделирующей цепи, в любой момент времени равна нулю.

ЗАКОНЫ КИРХГОФА Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями ветвей, входящих в произвольный контур: алгебраическая сумма мгновенных значении напряжений всех ветвей, входящих в любой контур ноле лир уютен цепи. в каждый момент времени равна нулю. уравнение баланса напряжений ветвей l и k— номера контуров и ветвей; N и p— число контуров и ветвей. В уравнение баланса напряжений, составленное для l-го контура, входят только напряжения ветвей, входящих в этот контур, причем если положительное направление напряжения совпадает с направлением обхода контура, то оно входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

ЗАКОНЫ КИРХГОФА для контура (1) для контура (2) для контура (3) Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на всех элементах любого контура моделирующей цепи, за исключением источников напряжения в каждый момент времени, равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС источников напряжения, действующих в этом контуре.

ЗАКОНЫ КИРХГОФА

ЗАКОНЫ КИРХГОФА Уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить для любой совокупности элементов, образующих путь для электрического тока от произвольно выбранного узла (а) электрической цепи к узлу (б) с учетом напряжения между конечными точками этого пути uаб

ЗАКОНЫ КИРХГОФА Для контуров, в которых есть источники тока, уравнения баланса напряжений составляют по общему правилу, причем напряжение источника тока учитывается в левой части уравнения.

ГРАФЫ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

ГРАФЫ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

ГРАФЫ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным. Подграфом графа называется часть графа, т. е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

ГРАФЫ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рисунке ветви 2 -6 -5; 4 -5; 3 -6 -4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно. 2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рисунке можно определить контуры, образованные ветвями 2 -4 -6; 3 -5 -6; 2 -3 -5 -4. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.

ГРАФЫ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа могут служить фигуры.

ГРАФЫ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа. Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева а числа ветвей связи графа

ГРАФЫ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом. Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа S 1 и S 2. При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6 -4 -5 и 6 -2 -1 -5.

ГРАФЫ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений: • главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи; • главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева.

Топологический граф электрических цепей

Графом электрической цепи называется условное изображение электрической цепи, в котором каждая ветвь цепи заменяется отрезком линии. При этом идеальный источник напряжения учитывается как короткозамкнутая ветвь, а идеальный источник тока – как разомкнутая ветвь.

Ветвью графа называется отрезок линии, соответствующий ветви электрической схемы.

Узлом графа называется точка соединения трех и более ветвей.

Граф, ветвям которого заданы определенные направления, указанные стрелкой, называется направленным. Направления ветвей графа, которые указывают стрелками, совпадают с положительными направлениями токов, протекающих по соответствующим ветвям цепи. Граф, у которого не указаны направления ветвей, называется ненаправленным.

Граф строится в соответствии с эквивалентной схемой цепи путем замены каждой её ветви отрезком линии, которая рассматривается как ветвь графа. При этом каждый узел цепи преобразуется в узел графа. Нумерация ветвей и узлов графа такая же, что нумерация ветвей и узлов цепи.

Деревом графа называется его часть, содержащая все узлы, но не содержащая ни одного контура. Ветви графа, образующие дерево, называются ветвями дерева. Число ветвей дерева определяется по формуле , где – число узлов графа. В качестве ветвей дерева запрещается выбирать ветви, содержащие источник тока.

Главными ветвями графа называются ветви, не вошедшие в дерево. Число главных ветвей определяется по формуле , где – число ветвей графа.

Главными контурами графа называются контура, образованные путем последовательного добавлением к дереву графа его главных ветвей. Число главных контуров равно числу главных ветвей .

На рис. 3.4, а изображена схема электрической цепи, а на рис. 3.4, б её направленный граф. В качестве дерева выбраны ветви 2 и 4. Ветви 1, 3, 5 являются главными ветвями графа, которые совместно с ветвями дерева образуют три главных (независимых) контура I, II и III.

Таким образом, граф можно рассматривать как упрощенную модель электрической цепи, отражающую ее структуру.

Топологические понятия схемы электрической цепи

Введем основные топологические понятия схемы электрической цепи.

Граф схемы – это такое графическое (топологическое) представление схемы, при котором ветви схемы изображаются отрезками (или дугами), а узлы – точками. Отрезки называют ветвями графа, а точки – узлами графа. Такое представление является наглядным изображением взаимных соединений ветвей схемы.

Условимся ветвь с идеальным источником тока не включать в граф схемы, так как внутренняя проводимость идеального источника тока равна нулю и соответственно сопротивление таких ветвей бесконечно велико.

Для схемы, изображенной на рисунке 3.14, граф имеет вид (рис.3.15а)

Если условные положительные направления токов в электрической схеме перенести на граф, то получим направленный граф (рис.3.15б).

На рисунке 3.16 представлены схема электрической цепи и ее направленный граф

При описании графа цепи полезно использовать понятие дерева графа.

Дерево графа – это связанная часть графа, включающая все узлы и не имеющая ни одного контура.

Дерево графа с узлами содержит ( ) ветвь. Один и тот же граф может иметь различные деревья. Например, для графа, изображенного на рис.3.16, деревья могут принимать следующий вид

Связи графа – это ветви, дополняющие дерево до исходного графа. Число связей , где – число ветвей, – число узлов.

Законы Кирхгофа

При расчете электрических цепей используются законы Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа формулируется применительно к узлам электрической цепи и следует из принципа непрерывности электрического тока: алгебраическая сумма токов всех ветвей, имеющих общий узел, равна нулю

Принято знак “плюс” приписывать току ветви, условное положительное направление которого направлено от узла, “минус” – к узлу. Например:

Второй закон Кирхгофа формулируется применительно к контурам электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжений во всех ветвях любого контура электрической цепи равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре

При использовании второго закона Кирхгофа задаются произвольным положительным направлением обхода контура. Напряжения и э.д.с., условные положительные направления которых совпадают с направлением обхода, берутся со знаком “плюс”, в противном случае напряжения и э.д.с берутся со знаком “минус”.

Особо отметим, что при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа контур может проходить не только по ветвям графа схемы, но и иметь вид, подобный указанному пунктиром на рис.3.17.

По первому закону Кирхгофа можно составить линейно независимых уравнений для узла.

По второму закону Кирхгофа число линейно независимых уравнений равно числу связей графа . Действительно, любая связь графа образует контур с ветвями дерева и каждый такой контур отличается от остальных контуров по крайней мере ветвью, образующей связь. Таким образом, число независимых контуров .

Общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу ветвей графа . Если неизвестными электрической схемы являются напряжения и токи в ветвях, то для записи полной системы уравнений необходимо добавить уравнения, связывающие напряжения и токи на элементах электрической цепи (число таких уравнений равно числу пассивных элементов схемы электрической цепи).

Выражая напряжения на элементах через токи в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, получим систему уравнений относительно неизвестных токов в ветвях.

При расчете электрической цепи с зависимыми источниками уравнения формируются в два этапа :

· составляются уравнения цепи в предположении, что все источники независимые;

· слагаемые уравнений, соответствующие зависимым источникам, выражаются через управляющие токи и напряжения.

Пример. Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения токов в ветвях электрической схемы (рис.3.16), считая известными параметры элементов схемы , , , , .

Граф этой схемы имеет вид

Число узлов = 5, число ветвей

= 7.

Число уравнений по первому закону Кирхгофа . Для узлов с первого по четвертый имеем:

Число независимых контуров = 3 равно числу связей. Выберем независимые контуры, каждый из которых образован одной связью (тонкие линии на рисунке графа) и ветвями дерева (утолщенные линии). Направления обхода контуров примем совпадающими с условными положительными направлениями токов в связях. Выражая напряжения на отдельных элементах цепи через токи ветвей, получим три уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа:

Решая полученную систему из семи уравнений, можно определить токи во всех ветвях схемы.

Топология электрической сети

– обзор

17.5.1 Активный одиночный сбалансированный смеситель с использованием BJT

На рисунке 17.16 показана топология базовой схемы активного SBM на основе дифференциальной пары BJT, Q ₁ и Q ₂, смещенный транзистором источника тока Q ₃. Функциональные блоки, показанные на рисунке 17.15, для иллюстрации наложены на рисунок 17.16. Транзистор источника тока, Q ₃, устанавливает общий ток в двух верхних транзисторах, которые затем конкурируют за долю этого тока.Поскольку общий ток фиксирован Q ₃, больший ток в Q ₁ означает меньший ток в Q ₂, и наоборот, отсюда дифференциальная работа этой схемы. Нагрузочные резисторы R _L преобразуют токи коллектора в напряжения. Коэффициент усиления дифференциальной пары зависит от крутизны, g _m, двух транзисторов, которая, в свою очередь, зависит от их тока коллектора, I _C, согласно g _m = I _C/ V _T.Таким образом, схему на рис. 17.16 можно использовать в качестве смесителя, когда ток в Q ₃ модулируется напряжением радиочастотного сигнала. Мы подаем сигнал гетеродина как дифференциальное напряжение на базы Q ₁ и Q ₂, а сигнал ПЧ принимаем как дифференциальное напряжение на коллекторах Q ₁ и Q . ₂. Сопротивление дегенеративной обратной связи R _e добавлено к источнику тока для улучшения его линейности.

Рисунок 17.16. Односбалансированный активный микшер с использованием BJT.

Коллекторные токи транзистора, I _C1 и I _C2, будут состоять из составляющей смещения постоянного тока плюс составляющей сигнала. Для целей этого анализа мы проигнорируем компоненты смещения постоянного тока и просто рассмотрим компоненты сигналов любых напряжений и токов, которые мы представим строчными буквами v и i соответственно.

Предположим, что два транзистора Q ₁ и Q ₂ на рисунке 17.16 имеют идентичные вольт-амперные характеристики, отношения между токами коллектора малых сигналов и напряжениями база-эмиттер Q ₁ и Q ₂ следующие:

(17.5.1) iC1 = ISe ( vBE1 / VT)

(17.5.2) iC2 = ISe (vBE2 / VT)

, где I _S – ток насыщения, а В _T – тепловое напряжение, определяемое V _T = kT / q ≈ 26 мВ при комнатной температуре (около T = 290 K).

В качестве альтернативы мы можем написать:

(17.5.3) vBE1 = VTlniC1IS

(17.5.4) vBE2 = VTlniC2IS

Напряжение в точке общего эмиттера, v _EE, на рисунке 17.16 представлено выражением :

(17.5.5) vEE = vLO¯ − vBE1 = vLO − vBE2

Из уравнения (17.5.5) мы можем записать:

(17.5.6) vLO − vLO¯ = vBE2 − vBE1

vLO− vLO¯ – это напряжение дифференциального входного сигнала гетеродина, Δ v _LO, поэтому, применив уравнение (17.5.3), мы можем записать:

(17.5.7) ΔvLO = vLO − vLO¯ = VTlniC2IS − VTlniC1iS

(17.5.8) ΔvLO = VTlniC2iC1

Следовательно,

(17.5.9) iC1iC2 = e (−ΔvLO / VT)

Для большинства современных СВЧ-транзисторов усиление велико, поэтому обычно можно игнорировать базовый ток, то есть i _E ≈ i _C. Следовательно, из рисунка 17.16 мы можем написать:

(17.5.10) iEE = iC1 + iC2

Объединив уравнения (17.5.9) и (17.5.10), мы можем теперь записать токи сигналов коллектора Q ₁ и Q ₂ на рисунке 17.16 через Δ v _LO и I _EE как:

(17.5.11) iC1 = iEE1 + e (ΔvLO / VT)

(17.5.12) iC2 = iEE1 + e ( −ΔvLO / VT)

Разницу между двумя токами коллектора теперь можно записать следующим образом:

(17.5.13) ΔiIF12 = iC1 − iC2

(17.5.14) = IEE11 + e (ΔvLO / VT) – 11 + e (−ΔvLO / VT)

Что можно переписать как:

(17.5.15) ΔiIF12 = iEEe (−ΔvLO / 2VT) −e (ΔvLO / 2VT) e (−ΔvLO / 2VT) + e ( ΔvLO / 2VT)

Уравнение (17.5.15) можно более точно выразить, используя определение функции гиперболического тангенса (tanh), которая определяется как:

(17.5.16) tanh (x) = ex − e − xex + e − x

Мы можем теперь перепишите уравнение (17.5.13) как:

(17.5.17) ΔiIF12 = iEEtanhΔvLO2VT

Теперь, если мы предположим, что ток смещения I _EE модулируется v _RF, как показано на На рисунке 17.16 мы можем заменить простой член I _EE в уравнении (17.5.17) по ( I _{EE _o} + g _{m ₃} v _RF), где I _{EE _o} – это постоянный ток смещения . _{м ₃} – крутизна транзистора источника тока, Q ₃. Теперь мы можем написать:

(17.5.18) ΔiIF12 = IEEo + gm3vRFtanhΔvLO2VT

Который может быть расширен до:

(17.5.19) ΔiIF12 = IEEotanhΔvLO2VT + gm3vRFtanhΔvLO2VT (расширение серии Mac3vRFtanhΔvLOur2VT)

следующим образом [5]:

(17.5.20) tanh (x) = x − 13×3 + 215×5−17315×7 + 622835×9 + ⋯

Из уравнения (17.5.20) мы можем показать, что tanh (x) ≈x для малых значений x (т. Е. Для значений x до x = 0,5 имеем tanh (x) / x> 0,92). Таким образом, мы можем аппроксимировать tanh в уравнении (17.5.19) в предположении, что v _RF и v _LO малы (т.е. менее В _T = 26 мВ при комнатной температуре) . Следовательно, мы имеем:

(17.5.21) ΔiIF12≈IEEoΔvLO2VT + gm3ΔvLOvRF2VT

Первый член в уравнении (17.5.21) представляет компонент утечки гетеродина, который пропорционален току смещения постоянного тока, i _{EE _o}. Второй член содержит интересующий нас продукт, а именно ( v _RF Δ v _LO).

SBM, показанный на рис. 17.16, имеет преимущество простоты и относительно низкого коэффициента шума, поскольку здесь меньше компонентов, генерирующих шум, чем в конструкции с двойной балансировкой.С другой стороны, прямое прохождение частотных компонентов гетеродина может быть серьезной проблемой в некоторых приложениях и является существенным недостатком топологии SBM. Хотя эти нежелательные частотные составляющие обычно имеют гораздо более высокую частоту, чем ПЧ, и поэтому могут быть отфильтрованы, дополнительная энергия нежелательного сигнала может повлиять на линейность схемы и вызвать насыщение последующих каскадов схемы. Еще один недостаток SBM на рисунке 17.16 состоит в том, что вход RF является несимметричным, а не балансным.Это делает его восприимчивым к синфазному шуму и помехам [9].

Границы | Подход с топологией схемы к классификации изменений в структуре биомолекул

1. Введение

Топология – это математическое понятие, которое относится к определенным свойствам объектов, которые остаются неизменными при непрерывных операциях, таких как растяжение, изгиб или сжатие [1]. Объекты, которые трансформируются друг в друга посредством таких непрерывных деформаций, попадают в один и тот же топологический класс. Например, круги и треугольники топологически похожи, поскольку они могут взаимно преобразовываться, изгибаясь или растягиваясь.Существует тесная взаимосвязь между функциональными и физическими свойствами молекулярных структур и их топологическими особенностями [2, 3]. Более того, топология предоставляет элементарные правила, которые помогают нам конструировать молекулы желаемым образом и синтезировать новые структуры [4–6]. Новые свойства можно увидеть в таких синтетических молекулах, которым нет аналогов в биохимическом мире [7, 8].

В химии есть общие основы, такие как теория групп, которые помогают исследовать топологические и геометрические свойства молекул.Однако в биологии нам не хватает подобных основ. Разнообразие и сложность биологических молекул затрудняет сведение структурных и функциональных свойств молекул к простым правилам симметрии. Следовательно, создание топологического языка для биохимии и биохимической инженерии представляет собой интересную научную задачу. Такая структура могла бы стать мощным инструментом для объединения всего разнообразия молекул в рамках согласованной закрытой теории. Можно представить себе множество приложений, поскольку связь между топологией и биомолекулярной функцией или дисфункцией часто рассматривается в вопросах здоровья и болезней [9, 10].Топологические подходы уже реализованы в мощных алгоритмах машинного обучения для правильного прогнозирования аффинности связывания белок-лиганд, изменений свободной энергии сворачивания глобулярных белков, вызванных мутациями, и изменений свободной энергии сворачивания белков мембран [11, 12].

Топология биологической цепи – это математический подход, который описывает отношения между внутримолекулярными контактами внутри свернутой молекулы [13–20]. В этом контексте попарные отношения между контактами могут быть определены с использованием логических правил теории множеств [13, 14].Независимо от типа молекулы или ее сложности, два контакта могут иметь одно из нескольких общих соотношений симметрии друг с другом. Для бинарных контактов они могут быть параллельными, последовательными или перекрестными, или в соответствующих согласованных расположениях, если два контакта находятся на одной площадке. На рисунке 1 показаны эти схемы и соответствующие матрицы, показывающие возможность подключения сайтов. Полноту этих соотношений можно доказать [13], и их можно рассматривать как необходимые и достаточные для описания топологии свернутых молекул (образованных двух- или многовалентными контактами).Топология схемы формирует набор правил, которые можно использовать для поиска неизвестных топологических отношений между контактами из известных отношений. В этом подходе топология представлена в матричной форме, а эквивалентные топологии выводятся из идентичных матричных представлений. Топология биологической схемы позволяет определить топологию более сложной молекулы, полученной в результате комбинации более простых молекул. Скорости сворачивания и количество путей разворачивания макромолекулы можно оценить, используя правила топологии схемы [14].

Рисунок 1 . Пять типов отношений топологии схемы представляют собой матрицу связности S и соответствующий граф.

Топология схемы биомолекул подвержена изменениям во время сворачивания / разворачивания и биохимических реакций, а также в процессе эволюции. Здесь мы спрашиваем, как изменяется топология при основных молекулярных операциях, таких как перестановка контактов, дублирование или устранение. Мы разрабатываем простой алгебраический формализм для описания эффекта этих операций.Вкратце, каждое топологическое состояние может быть описано матрицей связности, а топологические изменения могут быть описаны как преобразования матрицы, для которых линейная алгебра уже предоставляет все необходимые инструменты. Мы показываем, что результат операций с молекулами со сложной топологией может быть легко предсказан с помощью этого подхода. Наши результаты имеют отношение к пониманию эволюции и структурного сходства белков и других биологических молекул, и они могут помочь в качестве руководства для молекулярных инженеров, заинтересованных в разработке свернутых молекул, активных материалов и интеллектуальных структур.

2. Топология схем и молекулярные операции

Мы представим здесь новый способ описания как топологического состояния свернутого линейного полимера, так и молекулярных операций в структуре. Как топологическое состояние, так и изменения этого состояния представлены с использованием матриц перестановок (представления S _n) и связаны с хорошо известными инструментами матричного умножения.

2.1. Топология цепи

Далее мы переопределяем базовые концепции топологии схемы, чтобы дать возможность использовать простые алгебраические операции, а не полагаться на комбинаторные алгоритмы.В этом обобщенном подходе мы показываем, что любая структура линейной молекулы может быть однозначно представлена матрицей перестановок S и вектором d , называемым матрицей связности и основной цепью , соответственно.

Математическая перестановка – это обмен элементами. Абстрактная карта часто обозначается греческой буквой (мы часто будем использовать π) и отображает целое число на другое целое число π ( i ) = j . Если и только если перестановка меняет местами только два элемента, она называется транспозицией.Абстрактная перестановка может быть представлена матрицей перестановок. Матрица перестановок меняет местами элементы вектора в соответствии с перестановкой. Он имеет только элементы 1 и 0, а сумма каждой строки и сумма каждого столбца равна 1. В случае топологии схемы никакая матрица перестановок не может использоваться. Прежде всего, S должен быть симметричным, т.е. состоять только из коммутирующих транспозиций. Матрица

Например,

заменяет элемент 1 на 2 и оставляет элемент 3 неизменным [он часто представляется как (12) (3) или (12)].В топологии биологической схемы это представляет собой соединение между элементами 1 и 2 основной цепи d .

Основная цепь d – это вектор, который содержит информацию о базовой молекулярной структуре. Он может состоять из индексов всех аминокислот в белке или нуклеотидов в последовательности ДНК, или это может быть длина строки / цепи до определенной точки d _i. d не обязательно должен быть полным (т.е. он не обязательно должен содержать весь массив индексов), например, d = (2, 5, 20, 21) является допустимым вектором магистрали.Кроме того, значения не обязательно должны быть уникальными. Это означает, например, что d = (1, 2, 2, 3) также приемлемо, а в некоторых случаях даже требуется. Если элементы d являются расстояниями, то d _i может быть любым действительным числом, например, d = (1,23, 1,938, 5,392). Если элемент не заменяется матрицей связности (например, элементом 3 в уравнении 1), то его можно безопасно исключить из представления без изменения состояния молекулы:

При таком изменении пары (S, d) сама молекула не изменяется, но представление минимизируется.Более подробное обсуждение преобразований можно найти в следующем разделе.

Пара (S, d) определяет состояние линейной молекулы (например, белка, ДНК), где d определяет сайты связывания, а S – возможность соединения этих сайтов связывания. На рисунке 1 показана система с двумя связями со всеми возможными отношениями. Возможные отношения: ряд (S), крест (X) и параллель (P). Ниже обсуждаются два особых отношения связности (согласованные параллельные и согласованные серии). Обратите внимание, что только P не является рефлексивным и имеет обратную зависимость P ^-1, для более подробной информации см. Mashaghi et al.[13].

Для большинства отношений связности карта связности S идентична карте контактов, однако два особых отношения связности приводят к разным матрицам: согласованная параллельная (CP) и согласованная серия (CS). Для контакта с остатками 1 и 2 и контакта 2 с 3 (CS) карта контактов дается

Однако это не матрица перестановок, поэтому она запрещена в качестве матрицы связности. Чтобы представить эту систему в структуре топологии схемы, d должен содержать контактный участок 2 дважды, один из которых контактирует с 1, а другой с 3.Можно представить себе это как вымышленное разделение сайта 2 на два отдельных и разных сайта, 2 и 2 ‘, формирование связи и последующее объединение их посредством 2 = 2’. Следовательно, правильная матрица связи и магистраль для CS – это

S = (0100100000010010) d = (1223). (4)

На рисунке 1 также показано правильное представление для CP .

Требование уникальности требует дополнительных ограничений на d и S. Если d содержит каждое значение только один раз, то для уникальности достаточно упорядочения; однако, если это не так, то несколько эквивалентных конфигураций d приведут к другому S (например, замена индекса 2 на 3 в уравнении 4).Мы определяем упорядоченное состояние следующим образом: для всех i и j с i < j мы имеем d _i ≤ d _j и if d _i = d _j, тогда следует, что π ( i ) <π ( j ), где π – это перестановка, представленная S. Например,

S = (0010000110000100) d = (1223) (5)

– это то же состояние, что и в уравнении (4), однако для d ₂ = d ₃, но 4 = π (2) ≮ π (3) = 1, поэтому единственное правильное представление находится в уравнении (4).

Кроме того, мы также устанавливаем правило, согласно которому не может быть контакта между идентичными сайтами и что любая связь может возникнуть не более одного раза. Это означает, что контакт типа

S = (0110) d = (11), (6)

никогда не допускается. С этим ограничением (заказан d , заказ S для d _i = d _j и отсутствие контактов между равными сайтами) S считается уменьшенным. Это дает уникальность, а порядок согласовывается с ранее определенными порядками [20].Для полного доказательства см. Дополнительную информацию.

Наконец, мы вводим матрицу отношений [13]. Матрица отношений представляет собой матрицу n × n , которая содержит отношение между связями, где n – количество контактов. Отношения являются известными X, P, P ⁻¹, S …. Это представление в основном предназначено для отображения, потому что оно меньше S и связь между связями может быть прочитана немедленно.

Наконец, мы предложим простой способ сравнения различных состояний:

• идентично: d = d ′ и S = S ′

• частично эквивалентно: S = S ′, и d и d ′ упорядочены аналогичным образом, где S и d исключают любые элементы без соединений.

• неэквивалент: в противном случае.

Описание топологического состояния белка с использованием пары (S, d) предоставляет мощный инструмент для выполнения преобразований с использованием алгебраических операций, которые хорошо известны и легко доступны.Различные типы преобразований обсуждаются в следующем разделе.

2.2. Молекулярные операции

2.2.1. Общий

Молекулярная операция – это любая карта, такая что T: (S, d) ↦ (S ‘, d’). Мы можем в общих чертах классифицировать эти операции как перегруппировки или как операции, при которых изменяется топологическое состояние молекулы (молекулярная операция), или как комбинацию обоих типов. Очевидно, что нас интересуют молекулярные операции, в которых как прообраз, так и изображение упорядочиваются и уменьшаются.Ограничение необходимо, потому что оно напрямую приведет к уникальному отображению, которое явно описывает изменение (без каких-либо дополнительных комбинаторных (пере) конфигураций]. Сначала мы опишем три типа преобразований, которые дадут им ясную интерпретацию.

Первый набор преобразований – это преобразования типа 0. Деформации типа 0 не изменяют топологическое состояние молекулы и образуют группу, состоящую из переупорядочения, расширения и уменьшения d .

Первая подгруппа состоит из упорядочивающих преобразований. Если d не упорядочен, то его можно упорядочить, используя матрицу перестановки O , которая меняет местами соответствующие элементы в d . Это должно привести к изменению S, чтобы система оставалась неизменной. Изменение описывается как S ′ = OSO-1. Таким образом, пара (S, d) и (S ‘, d’) = (OSO-1, Od) описывают одно и то же состояние, но являются разными представлениями. Визуально это можно представить как перемаркировку остатков в белке без изменения последовательности или связности.

Например, мы рассматриваем состояние, в котором остаток 1 с 2, а также остатки 3 и 4 имеют общую связь. Система описывается следующими S и d

S = (0010000110000100) d = (1324). (7)

d , однако, не заказывается, что может привести к путанице, поскольку S может быть ошибочно принят за состояние X . При повторном заказе необходимо поменять элементы d ₂ и d ₃. Соответствующая матрица перестановок O задается как

О = (1000001001000001) (8)

, и мы можем вычислить преобразованные d ′ и S ′

d ′ = O (1324) = (1234), (9) S ′ = (1000001001000001) (0010000110000100) (1000001001000001) -1 (10) = (1000001001000001) (0100000110000010) (11) = (0100100000010010) (12)

Пара (S ‘, d’) четко описывает одно и то же состояние, однако тот факт, что d упорядочен, упрощает интерпретацию и предотвращает ошибки чтения.Это особенно важно, когда преобразования других типов (см. Ниже) производят неупорядоченное d , которое можно не заметить.

Другая группа преобразований типа 0 увеличивает или уменьшает длину d , но не меняет топологическое состояние молекулы. Сокращение, например, можно использовать для устранения несвязанных сайтов контактов, чтобы получить меньшую букву S, по-прежнему содержащую всю необходимую информацию. Расширение делает наоборот. Он может, например, добавить еще одну запись в d , чтобы можно было образовать дополнительные связи, или он может повторно ввести целые блоки белка, которые были проигнорированы, потому что они могли не иметь значения.Пример преобразования типа 0 дается

S = (010100001) ↦S ′ = (0110). (13)

Молекулярные операции, которые буквально изменяют молекулу, можно разделить на (i) трансформации, которые изменяют контакты (Тип I), и (ii) трансформации, которые изменяют скелет (Тип II).

1. Преобразования I типа приводят к изменению контактов. Это означает, что либо образуются новые контакты (создание), либо существующие контакты разрываются (аннигиляция), либо и то, и другое. Обе операции выполняются с одним и тем же оператором, который представляет собой матрицу перестановки, которая перемещает затронутые элементы.Матрица оператора умножается на матрицу S, но нужно быть осторожным, чтобы сначала выполнить аннигиляцию (и). В некоторых случаях конечное состояние неупорядочено и должно быть переупорядочено снова. Переупорядочение является преобразованием типа 0 и требует (S ′, d ′) = (OSO-1, Od). Для простого случая S = (23), когда связь (23) разорвана и связь (12) создается, мы используем

S ′ = T (12) T (23) S = (010100001) (100001010) (100001010) = (010100001) (14)

Если, с другой стороны, известны начальное и конечное состояния, полная матрица преобразования может быть вычислена напрямую с помощью T = S′S-1 = S′S.Это также дает кратчайший путь от S к S ‘, потому что любое транспонирование является обратным. Например, преобразование (12) (34) (56) ↦ (12) (36) даст T = (12) (36) · (12) (34) (56) = (12) (12) (34) (56) (36) = (12) (12) (36) (34) (56) = (36) (34) (56). Это показывает, что необходимо выполнить не более трех операций. (Тот же результат будет получен с использованием матриц).

Как уже упоминалось, если результирующее состояние неупорядочено, его необходимо снова переупорядочить. В противном случае могут возникнуть операции, которые фактически не изменят систему.Это только в том случае, если d содержит значение несколько раз. Например, рассмотрим d = (1, 2, 2) и S = (12). Аннигиляция (12) и создание (13) дали бы S ′ = (13). Однако это не упорядочено, потому что для i = 2 <3 = j даст d ₂ = 2 = d ₃, но π (2) = 2> π (3) = 1, что противоречит предположению об упорядоченности (S, d). Переупорядочение даст S ″ = OS′O-1 = (23) (13) (23) = (12) = S, то есть то же самое, что и исходное состояние.Таким образом, описанная трансформация – это фактически только карта единства.

2. Преобразования типа II: эти типы преобразований буквально изменяют основу молекулы. Таким образом, карта действует в основном на d , который впоследствии необходимо заказывать заново. Для простых категорий, как показано ниже, легко доступны простые преобразования, но теоретически возможна почти любая карта на d . Например, когда деталь вырезается и прикрепляется заново, тогда: d = (1, 2, 3, 4) ↦ d = (1, 2, 4, 3).Однако этот d должен быть переупорядочен на O = (34), и, в свою очередь, S ‘= OSO-1 также изменяется.

Биологические различия между типом I и типом II очевидны, однако с математической точки зрения они могут быть эквивалентными. Пока появляется одно и то же результирующее состояние, карта математически идентична и взаимозаменяема. Если преобразование типа I и преобразование типа II эквивалентны и одно из них может быть намного сложнее выполнить, его можно легко воспроизвести с помощью другого преобразования.Это сравнимо с преобразованием координат: можно либо повернуть точку в пространстве относительно фиксированной системы координат, либо повернуть координаты и оставить точку фиксированной. Оба преобразования дают один и тот же результат, но математическая процедура различается. То же самое можно сказать о преобразованиях типа I и типа II.

Далее мы переопределяем наиболее важные молекулярные операции, используя логику топологии схемы. В частности, мы рассматриваем циклическую и стандартную перестановку, инверсию, дублирование и исключение.Эти операции имеют большое значение для биомолекулярной эволюции, конформационной динамики и сворачивания, а также структурного сравнения. Мы подробно обсуждаем эти операции в контексте топологии биологических цепей и демонстрируем конкретные приложения для анализа структуры белков и РНК. В дополнительной информации мы представляем полную математическую структуру, приводя конкретные примеры в основном тексте.

2.2.2. Перестановка

Перестановка изменяет контакты посредством реструктуризации или переупорядочивания, в результате чего создается новая структура с другими возможностями подключения.Математически это может быть молекулярная операция типа I или типа II, однако проще рассматривать это преобразование как молекулярную операцию типа II. Это не обязательно означает, что биологически это преобразование типа II, просто его проще вычислить как таковое. То, что такие изменения имеют отношение к биомолекулам, хорошо установлено, и даже были предложены алгоритмические подходы для обнаружения перестановок [21–23]. Здесь мы сосредоточимся на двух типах перестановок, а именно на стандартной перестановке и круговой перестановке.

2.2.2.1. Стандартная перестановка

При стандартной перестановке два сайта меняются местами (заменяются друг другом), сохраняя при этом другие аспекты подключения. Рисунок 2A демонстрирует стандартную перестановку, в которой участки и и m меняются местами, тем самым преобразуя перекрестное отношение в последовательное отношение. Следуя конкретному примеру, показанному на рисунке 2A, перестановка происходит между средними узлами (1) и (3), которые находятся в перекрестном расположении. В результате симметрия двух контактов в новой молекуле будет последовательной.Соотношения симметрии контакта (2) и других контактов остаются неизменными, т.е. параллельно (1) и последовательно с (2), как и раньше.

Рисунок 2. (A) Стандартная перестановка имеет место, когда происходит обмен двумя ближайшими соседними узлами. aP ^-1 b , где a и b – абстрактные обозначения для облигации a и облигации b означает, что b находится параллельно с a . Здесь красный, черный и синий цвета обозначают определенную связь.Связи между облигациями представлены буквой, как описано в тексте. (B) Показаны согласованная параллель (CP) и согласованная серия (CS). (C) Круговая перестановка происходит за счет вращения конечной точки молекулы. Он может преобразовывать последовательную связь в параллельную и наоборот в зависимости от положения конечной точки.

Матричный формализм для стандартной перестановки описан в предыдущем разделе. В случае примера, описанного выше, исходное расположение контактов задается матрицей связи (которая в этом случае идентична карте контактов).

S = (000010001000010000000001100000000100) (15)

Например, первый сайт связан с пятым, поэтому в столбце 5 первой строки стоит 1 и так далее. Есть три контакта, каждый из которых содержит уникальные сайты, поэтому размер контактной матрицы составляет 6 × 6, и матрица, конечно, симметрична (если 2 контакта 3, то 3 будут контактировать с 2). По определению, ни один сайт не контактирует сам с собой. Матрица перестановок для обмена местами 4 и 5 равна

О = (100000010000001000000010000100000001) (16)

Тогда S ′ = OSO-1, что равно

S ′ = (000100001000010000100000000001000010) (17)

Таблица 1 суммирует все возможные результаты стандартной перестановки для системы, содержащей два контакта.Например, перекрестное, последовательное или параллельное отношение можно преобразовать в любое другое из трех отношений путем применения соответствующего преобразования. В контексте биологических молекул два контакта могут иметь общий контактный сайт, что приводит к отношениям согласованных параллелей (CP) или согласованных серий (CS), как показано на рисунке 2B. Влияние стандартной перестановки на эти отношения суммировано в Таблице 2, где каждый «сайт» представляет собой, например, вторичный структурный элемент или нуклеотид.Для двух контактов есть четыре сайта: два соседних внутренних сайта и два внешних сайта; сайты могут быть как соседними, так и несоседними.

Таблица 1 . Результат стандартной перестановки между каждой парой сайтов в пределах двух контактов.

Таблица 2 . Результат стандартной перестановки, начиная с согласованных параллельных (CP) или согласованных рядов (CS) отношений.

Инверсия может быть понята в терминах стандартных операций перестановки и обсуждается в дополнительной информации.

Далее мы проиллюстрируем концепцию стандартной перестановки на примере структуры белка. Для получения подробной информации о вычислительном подходе для создания диаграмм (см. Рисунок S2). В этом и других примерах мы предполагаем некоторое знакомство с биомолекулярной структурой; для читателей, менее знакомых с этой областью, отличные введения можно найти в ссылках [24, 25].

Простая принципиальная схема восьмицепочечного бета-бочкообразного белка показана на рисунке 3A (цвет добавлен, чтобы помочь визуализировать эффект перестановки), а структура белка показана на рисунке 3C.Каждая нить соединяется со следующей нитью в последовательности, а последняя нить соединяется с первой. Обратите внимание, что здесь мы изображаем сокращенные диаграммы, где каждая бета-нить соответствует узлу диаграммы. Стандартная перестановка сайтов 4 и 8 диаграммы бета-ствола дает греческий ключевой ствол (рис. 3В, структура белка показана на рис. 3D). Перестановка явно изменяет карту контактов (Рисунки 3E, F), а также влияет на карту отношений (Рисунки 3G, H), увеличивая количество параллельных и перекрестных отношений по сравнению с сериями.Таким образом, наша структура иллюстрирует подробные свойства структурной связи между двумя хорошо известными белковыми складками.

Рисунок 3 . Примеры принципиальных схем. Диаграммы были рассчитаны с отсечкой расстояния 3,5 Ангстрем и отсечки числа 6 (см. Пояснение на Рисунке S2). Карты были уменьшены таким образом, что каждый контактный сайт представлял узел (1, 2, 3, 4, и т. Д. .), А не связанные сайты были исключены. (A) Бета-баррель (PDB ID 1RBP) диаграмма. Сайты и контакты, участвующие в стандартной перестановке (4, 8), показаны зеленым и пурпурным. (B) Диаграмма бета-ствола с греческим ключом (4cv7). (C) Конструкция ствола Beta. (D) Конструкция корпуса греческого ключа. (E) Контактная карта структуры бета-ствола. Оси обозначают номер бета-цепи, контакты показаны белым. (F) Контактная карта греческой конструкции ствола ключа. (G) Соотношения между контактами бета-ствола, пронумерованные, как показано на (A). (H) Взаимоотношения между контактами корпуса греческого ключа, пронумерованные, как показано в (B) .

2.2.2.2. Круговая перестановка

При круговой перестановке два конца молекулы соединяются, и один разрез делается в другом месте молекулы, что приводит к топологии с идентичными контактами, но, в общем, к различным отношениям между ними. Для молекулы с двумя контактами это можно легко изобразить, как показано на рисунке 2C. Следовательно, круговая перестановка может преобразовать параллельное отношение в отношение ряда и наоборот, в зависимости от положения конечной точки обращения.Результирующая симметрия в конечном итоге зависит от расположения этой конечной точки по отношению к позициям контактных площадок. Топология может быть определена в соответствии со следующими правилами, используя визуализацию «точки на линии» на рисунках 1, 2A, B. Если два контакта изначально соединены последовательно, то размещение новой конечной точки в интервале любого контакта приводит к параллельной симметрии; в противном случае симметрия ряда сохраняется. Если два контакта параллельны, то размещение конечной точки в пределах интервала одного контакта, но не другого, приводит к последовательной симметрии; в противном случае получается параллельная симметрия.Отношения CP и CS можно рассматривать как параллельные и последовательные выше. Если два контакта находятся в перекрестной связи, любая круговая перестановка приведет к перекрестной связи.

Пример на рисунке 2C содержит всего четыре контактных сайта. Исходная матрица, изображающая два контакта параллельно –

S = (0001001001001000) (18)

, а матрица перестановок для одного поворота конечной точки по часовой стрелке равна

. О = (0001100001000010) (19)

Тогда S ′ = OSO-1 равно

S ′ = (0100100000010010) (20)

Стандартные и кольцевые перестановки имеют отношение к эволюции белков [26, 27], как показано на рисунке S3 и соответствующем обсуждении.

2.2.3. Ликвидация

Исключение – это удаление контакта или набора контактов. Устранение не меняет отношения симметрии между оставшимися контактами. На рисунке 4 показан простой пример, где мы начинаем с четырех контактов, а контакт (4) удаляется. Изображены матричные представления до и после исключения. Чтобы найти окончательное представление после исключения, мы опускаем строку и столбец, которым принадлежит (4). Матрицу для исключения можно найти в дополнительной информации.

Рисунок 4 . Удаление соответствует удалению контактов. В простейшем случае удаляется только один контакт. Результирующая матричная форма получается путем исключения строки и столбца устраненного контакта. Матричный формализм для процессов исключения можно найти в дополнительной информации.

Мы проиллюстрировали устранение на рисунке 5, показывая, что устранение четырех контактов в восьмицепочечной топологии бета-барреля приводит к фундаментальной топологии тРНК.Рисунки 5A, B показывают, что базовую топологию тРНК (очевидную при визуальном осмотре паттернов водородных связей) можно вывести, начав с топологии бета-бочки и введя четыре исключения, показанные пунктирными линиями на Рисунке 5A. Эта структура не содержит согласованных отношений, и на самом деле можно провести простую аналогию с электронными схемами с топологически эквивалентной схемой конденсатора, изображенной на вставке к рис. 5В. Рисунок 5C подтверждает, что контакты 2, 3 и 4 параллельны контакту 1, в то время как контакты 2, 3 и 4 включены последовательно друг с другом (каждый контакт по определению параллелен самому себе).Наша процедура анализа контактов тяжелого атома (рис. 5D) демонстрирует, что диаграмма на рис. 5В действительно является базовой топологией структуры тРНК в качестве примера.

Рисунок 5 . Топология тРНК (PDB ID 4kr2). (A, B) Устранение контактов в мотиве бета-ствола (A) приводит к мотиву тРНК (B) . Схема топологически эквивалентного конденсатора показана на вставке. (C) Матрица отношений для (B). (D) Контакты между рибонуклеотидами тРНК, PDB ID 4kr2.Отрезки: 3,5, 6. Для акцента добавлены цвета и штрихи. (E) Структура тРНК , окрашенная, как показано в (D) .

2.2.4. Дополнение

Добавление, обратное элиминированию, может быть выполнено либо путем добавления одного или нескольких контактов между (потенциальными) сайтами контакта, как это происходит при сворачивании белка, либо путем вставки: сплайсинга новой молекулы (основной цепи и контактов) в основную цепь существующий. В случае вставки отношения внутри каждой молекулы не меняются.Отношения между новой молекулой и молекулой, в которую она вставлена, будут последовательными или параллельными, в зависимости от места вставки.

2.2.5. Дублирование

Мы определяем дупликацию как присоединение копии исходной молекулы последовательно к самой молекуле. Ясно, что отношения между контактами внутри исходной молекулы или ее копии не меняются, в то время как все контакты между исходной и скопированной молекулами идут последовательно (см. Рис. 6). Другими словами,

В биологических полимерах две связанные молекулы могут быть соединены «линкерной» областью, и могут образовываться новые контакты между двумя молекулами или между любой молекулой и линкером.Рассмотрим диаграмму ствола греческого ключа, снова показанную на вставке к рис. 7C, и выполните два исключения, обозначенные пурпурным цветом. Результатом является диаграмма бета / гамма кристаллина, присутствующего в белке нитроллине (Рисунок 7C, рисунок на рисунке 7A). Дублирование (плюс устранение и добавление контакта) приводит к диаграмме кристаллина бета-B1, показанной на рисунке 7D (рисунок на рисунке 7B). Фактически, эволюционно бета / гамма кристаллины произошли от предкового однодоменного белка [28].

Рисунок 6 .Серийное дублирование: часть молекулы дублируется и вставляется вне оригинала в положение h . Отношения симметрии между дублированными и исходными контактами являются последовательными.

Рисунок 7 . Диаграммы кристаллина и нитроллина. (A) Нитроллин. (B) Бета-B1 кристаллин. (C) Принципиальная схема для нитроллина (3ent), рассчитанная с отсечками: 3,6, 5. Вставка: цилиндр греческого ключа с исключениями, ведущими к диаграмме нитроллина, показанной пурпурным цветом с серыми косыми чертами. (D) Бета-B1 кристаллин (1oki), с отсечками 3,6, 5 и включенными мостиковыми бета-сайтами. (E) Упрощенное представление молекулы кристаллина. Здесь std означает стандартную перестановку. (F) Упрощенное представление предполагаемой замены внутримолекулярных доменов. Цвет добавлен для выделения на всех диаграммах.

2.2.6. Дополнительное обсуждение

Обмен доменов – это белок-белковое взаимодействие, которое включает обмен контактами между белками, так что контакты, нарушенные в исходной белковой цепи, реформируются с соответствующей частью другого белка.Более простое представление – рассматривать каждый переставленный сегмент как узел, и в этом случае стандартная перестановка второго и четвертого узлов двух последовательно соединенных контактов приводит к двум параллельным контактам (рисунки 7E, F). Рассмотрим такое упрощенное представление бета / гамма-кристаллина, где каждый домен состоит из двух контактирующих субдоменов. Представьте себе перестановку домена между N-концевыми доменами, стандартную перестановку между узлами 2 и 6 (рисунки 7E, F). Скажем, молекулы связаны в эксперименте по вытягиванию одной молекулы, а С-концевой домен менее механически устойчив.Затем, после приложения силы, тянущей к двум концам, мы могли бы ожидать разворачивания сначала второго С-концевого домена, затем последовательно замененных N-концевых доменов, а затем первого С-концевого домена. Это именно та модель, которую предложили Гарсия-Манес и др. в недавней публикации [29], основанной на экспериментах по силовой спектроскопии одиночных молекул. Топология биологической цепи обеспечивает простую иллюстрацию этого прогноза, а также показывает, как наша структура может быть применена, чтобы обеспечить понимание, относящееся к интерпретации эксперимента.

Из рисунка 6А очевидно, что, исходя из мотива кристаллина, потеря только одного контакта может привести к топологически изолированной N-концевой шпильке, то есть единственному контакту между бета-цепями, не связанным с остальной частью белка. Фактически, отслоение N-концевой шпильки гамма-D кристаллина является ранним событием в моделировании развертывания этого белка по методу Монте-Карло [30]. Анализ топологии биологической цепи может помочь идентифицировать возможные механизмы разворачивания [14] и структурные слабости, которые могут привести к разворачиванию и агрегации в биологических белках.Высокое содержание параллельных и перекрестных связей в мотиве кристаллина может быть причиной его высокой стабильности во многих белках.

Таким образом, мы считаем, что наш метод представляет собой полезный и интуитивно понятный подход к созданию принципиальных схем, обеспечивающий понимание ключевых свойств биомолекулярных структур и взаимосвязей между ними. Мы планируем расширить и улучшить наш подход, чтобы обеспечить более автоматизированный биоинформатический анализ. Применяя наш подход к биологическим структурам в банке данных по белкам, мы отмечаем, что его также можно использовать в сочетании с инструментами молекулярной динамики и анализа для изучения динамических переходов в биомолекулах, включая переходную структуру в изначально неупорядоченных белках.

Полный код и документация доступны в Интернете.

3. Заключение

В этой статье мы разработали структуру, которая может использоваться для описания, сравнения и прогнозирования топологических свойств молекулы, которая подвергается определенным молекулярным операциям. В частности, мы рассмотрели несколько общих операций, а именно перестановку, дублирование, инверсию, добавление / вставку и исключение. Мы использовали примеры из структурной биологии, чтобы продемонстрировать, как отношения между молекулами могут быть поняты с точки зрения структуры топологии биологических цепей, и ввели простой набор инструментов для рисования, анализа и манипулирования диаграммами цепей белков.В целом мы представляем математический подход к анализу структуры белков и нуклеиновых кислот и структурных изменений, который также может быть применен к другим линейным полимерам. Мы ожидаем, что расширенный здесь формализм и будущие разработки будут иметь отношение к процессу конструирования и манипулирования молекулами в соответствии с правилами симметрии между их составными частями, и мы считаем, что наши методы и идеи могут помочь в развитии междисциплинарного сотрудничества и обучения в области математики, химии, биологии и т. Д. смежные дисциплины.

Заявление о доступности данных

Все наборы данных, созданные для этого исследования, включены в статью / дополнительные материалы.

Авторские взносы

AM задумал, спроектировал и руководил исследованием. ОС и АТ провели теоретический анализ. JW провел часть биомолекулярного моделирования и написал сценарий. OS, AT, JW и AM обсудили результаты и интерпретации. Все авторы участвовали в написании рукописи и одобрили окончательную версию.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

OS благодарит В. Сатарифарда за то, что он познакомил его с предметом, и Х. Антила, М. Миеттинена и А. Валлериани за их полезные обсуждения.

Дополнительные материалы

Дополнительные материалы к этой статье можно найти в Интернете по адресу: https: // www.frontiersin.org/articles/10.3389/fphy.2020.00005/full#supplementary-material

Список литературы

3. Флапан Э. Когда топология встречается с химией: топологический взгляд на молекулярную хиральность. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета (2000).

Google Scholar

4. Эйме Дж. Ф., Бевес Дж. Э., Ли Д. А., Макберни Р. Т., Риссанен К., Шульц Д. Синтетический молекулярный пятилистный узел. Нат Хем . (2011) 11 : 15–20. DOI: 10.1038 / nchem.1193

CrossRef Полный текст | Google Scholar

6.Coskun A, Banaszak M, Astumian RD, Stoddart JF, Grzybowski BA. Большие надежды: смогут ли искусственные молекулярные машины оправдать свои обещания? Chem Soc Rev. (2012) 41 : 19–30. DOI: 10.1039 / C1CS15262A