Умножение матриц для чайников: умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

Комплексное руководство по сверточным нейронным сетям для чайников

В сфере Искусственного интеллекта наблюдается стремительный рывок в устранении разрыва между возможностями человека и машин. И ученые, и любители, работая над многочисленными проблемами в этой области, делают удивительные вещи. Одним из многих таких направлений является Computer Vision (компьютерное зрение).

Повестка дня в этой области состоит в том, чтобы дать возможность машинам видеть мир так, как это делают люди, воспринимать его схожим образом и даже использовать знания для множества задач, таких как Распознавание Изображений и Видео, Анализ и Классификация Изображений, Восстановление Медиа, Системы Рекомендаций, Обработка Естественного языка и т.д. Достижения в области Computer Vision и Deep Learning были разрабатывались и совершенствовались с течением времени, главным образом благодаря совершенно конкретному алгоритму — Сверточной нейронной сети (Convolutional Neural Network).

 

Введение

CNN-последовательность для классификации рукописных цифр

Сверточная нейронная сеть (Convolutional Neural Network — ConvNet/CNN) — это Deep Learning-алгоритм, который может принимать входное изображение, присваивать важность (усваиваемые веса и смещения) различным областям/объектам в изображении и может отличать одно от другого. Предварительной обработки в ConvNet требуется значительно меньше по сравнению с другими алгоритмами классификации. В то время как в примитивных методах фильтры сконструированы вручную, ConvNets при достаточном обучении способны изучать эти фильтры/характеристики.

Архитектура ConvNet схожа с архитектурой связности нейронов в человеческом мозге и была вдохновлена ​​организацией зрительной коры. Отдельные нейроны реагируют на раздражители только в ограниченной зоне поля зрения, известной как рецептивное поле. Совокупность таких полей накладывается, чтобы покрыть всю зону поля зрения.

 

ConvNets или Feed-Forward Neural Nets (FF, FFNN — Нейронные сети прямого распространения)?

Сглаживание матрицы изображения 3х3 по вектору 9х1

На изображении не что иное, как матрица пиксельных значений, верно? Так почему бы просто не сгладить изображение (например, матрицу изображения 3×3 по вектору 9×1) и передать его в многослойный персептрон для классификации? Ну… Все не так просто.

В случае очень простых двоичных изображений этот метод может показывать среднюю оценку точности при прогнозировании классов, но когда речь идет о сложных изображениях, имеющих повсеместную зависимость от пикселей, ни о какой точности не может идти и речи.

ConvNet хорошо умеет захватывать пространственно-временные зависимости в изображении с помощью соответствующих фильтров. Архитектура обеспечивает лучшее совпадение с набором данных изображения благодаря уменьшению количества задействованных параметров и возможности повторного использования весов. Другими словами, сеть можно научить лучше понимать сложность изображения.

 

Входное изображение

RGB-картинка 4x4x3

На рисунке у нас есть RGB-изображение, разделенное по трем цветовым плоскостям — красной, зеленой и синей. Существует несколько таких цветовых пространств, в которых существуют изображения: Grayscale (оттенки серого), RGB, HSV, CMYK и т.д.

Можете представить, что станет с вычислительными ресурсами, когда изображения достигнут размеров, скажем, 8K (7680 × 4320). ConvNet нужен, чтобы преобразовать изображения в ту форму, которую легче обрабатывать без потери характеристик, которые имеют решающую роль для получения хорошего прогноза. Это важно, когда мы хотим разработать архитектуру, которая будет не просто хороша в обучении, но еще и масштабируема для массивных наборов данных.

 

Сверточный слой — Кернел (the kernel)

Свертывание изображения 5x5x1 с кернелом размерностью 3x3x1 для получения свернутой функции 3x3x1

Размеры изображения = 5 (высота) x 5 (ширина) x 1 (количество каналов, например, RGB)
На гифке выше видно, что зеленая часть напоминает наше входное изображение 5x5x1, I. Элемент, участвующий в выполнении операции свертки в первой части сверточного слоя, называется кернелом/фильтром, K, показан желтым цветом. Мы выбрали K в качестве матрицы 3x3x1.

Кернел/Фильтр, К =
1 0 1
0 1 0
1 0 1

Кернел смещается 9 раз, так как длина страйда (Stride) = 1, каждый раз выполняя операцию умножения матриц между K и частью P изображения, над которым кернел ​​зависает.

Передвижение кернела

Фильтр двигается вправо с определенным значением страйда до тех пор, пока он не проанализирует всю ширину. Двигаясь дальше, он переходит к началу (слева) изображения с тем же значением шага и повторяет процесс до тех пор, пока не будет пройдено все изображение.

Операция свертки на матрице изображения MxNx3 с кернелом размерностью 3x3x3

В случае, когда у изображения несколько каналов (например, RGB), кернел ​​имеет ту же глубину, что и входное изображение. Матричное умножение выполняется между стэками Kn и In ([K1, I1]; [K2, I2]; [K3, I3]), и все результаты суммируются со смещением, чтобы выдать нам сжатый выходной сигнал одной глубины.

Операция свертки с длиной страйда = 2

Цель операции свертки — извлечь из входного изображения высокоуровневые признаки, например, линии, края. ConvNets вовсе не обязательно должны быть ограничены только одним сверточным слоем. Традиционно, первый ConvLayer отвечает за захват низкоуровневых признаков, таких как края, цвет, градиентная ориентация и т. д. Благодаря добавленным слоям архитектура адаптируется также к высокоуровневым признакам, выдавая нам сеть, которая имеет столь же здравое понимание изображений в наборе данных, что и мы.

Эта операция может давать два типа результатов: один, в котором свернутый признак имеет меньшую размерность по сравнению с входным, в другом же размерность либо увеличивается, либо остается неизменной. Это делается путем применения паддинга без дополнения (Valid Padding) в случае первого или паддинга с дополнением нулями (Same Padding) в случае последнего.

Same-паддинг: изображение 5x5x1 дополняется (is padded) нулями, чтобы создать изображение 6x6x1

Когда мы преобразуем изображение 5x5x1 в изображение 6x6x1, а затем применяем к нему кернел размерностью ​​3x3x1, мы обнаруживаем, что размер свернутой матрицы — 5x5x1. Отсюда и название — Same-паддинг.

В то же время если мы выполним ту же операцию без паддинга, мы получим матрицу, которая имеет размеры самого кернела (3x3x1) — Valid-паддинг.

В данном репозитории хранится множество таких GIF-файлов, которые помогут вам лучше понять, как взаимодействуют паддинг и длина страйда для достижения результатов, соответствующих нашим потребностям.

 

Пулинговый слой (Pooling Layer)

3×3 преобразуется с помощью пулинга в сложную функцию 5×5

Подобно сверточному слою, пулинговый слой необходим для уменьшения размера свернутого элемента в пространстве. Это помогает уменьшить вычислительную мощность, необходимую для обработки данных, за счет уменьшения размерности. Кроме того, это важно и для извлечения доминирующих признаков, инвариантных вращения и позиционирования, таким образом поддерживая процесс эффективного обучения модели.

Существует два типа пулинга: максимальный (Max Pooling) и средний (Average Pooling). Максимальный пулинг возвращает максимальное значение из части изображения, покрываемой кернелом. А Средний пулинг возвращает среднее всех значений из части изображения, покрываемой кернелом.

Максимальный пулинг также выступает в роли шумоподавителя (Noise Suppressant). Он полностью исключает шумовые сигналы, а также совмещает подавление шума с уменьшением размерности. Средний же пулинг просто использует уменьшение размерности как способ подавления шума. То есть можно сказать, что Max Pooling работает намного лучше, чем Average Pooling.

Типы пулинга

Сверточный слой и пулинговый слой вместе образуют i-й слой сверточной нейронной сети. В зависимости от сложности изображений количество таких слоев может быть увеличено с целью еще более точного захвата деталей низкого уровня, но ценой большей вычислительной мощности.

Выполнение описанного выше процесса позволяет модели успешно изучить признаки. Далее мы сглаживаем окончательный результат и передаем его в обычную нейронную сеть в целях классификации.

 

Классификация — Полностью Связанный Слой (Fully Connected Layer, FC Layer)

Добавление FC Layer — это (обычно) дешевый способ изучить нелинейные комбинации высокоуровневых признаков, представленных выходными данными сверточного слоя. FC Layer изучает возможную нелинейную функцию в этом пространстве.

Теперь, когда мы преобразовали наше входное изображение в подходящий формат для нашего многослойного персептрона, мы сведем изображение в вектор-столбец. Сглаженный вывод подается в нейронную сеть с прямой связью, и затем к каждой итерации обучения применяется обратное распространение. После серии эпох (epochs) модель способна различать доминирующие и некоторые низкоуровневые признаки изображений и классифицировать их с помощью техники Softmax.

Существуют множество архитектур доступных CNN, которые сыграли ключевую роль в построении алгоритмов, которые обеспечивают сейчас и будут обеспечивать работу Искусственного интеллекта как такового в ближайщем будущем. Некоторые из них перечисляю ниже:

1. LeNet
2. AlexNet
3. VGGNet
4. GoogLeNet
5. RESNET
6. ZFNet

GitHub Notebook — Распознавание рукописных цифр с использованием набора данных MNIST с TensorFlow

 

Источник

Учебник по NumPy – Визуализация примеров для быстрого изучения

Пакет NumPy является незаменимым помощником Python. Он тянет на себе анализ данных, машинное обучение и научные вычисления, а также существенно облегчает обработку векторов и матриц. Некоторые ведущие пакеты Python используют NumPy как основной элемент своей инфраструктуры. К их числу относятся scikit-learn, SciPy, pandas и tensorflow. Помимо возможности разобрать по косточкам числовые данные, умение работать с NumPy дает значительное преимущество при отладке более сложных сценариев библиотек.

Содержание

• Создание массивов NumPy
• Арифметические операции над массивами NumPy
• Индексация массива NumPy
• Агрегирование в NumPy
• Создание матриц NumPy на примерах
• Арифметические операции над матрицами NumPy
• dot() Скалярное произведение NumPy
• Индексация матрицы NumPy
• Агрегирование матриц NumPy
• Транспонирование и изменение формы матриц в numpy
• Примеры работы с NumPy
• Таблицы NumPy — примеры использования таблиц
• Аудио и временные ряды в NumPy
• Обработка изображений в NumPy
• Обработка текста в NumPy на примерах

В данной статье будут рассмотрены основные способы использования NumPy на примерах, а также типы представления данных (таблицы, картинки, текст и так далее) перед их последующей подачей модели машинного обучения.

Python

import numpy as np

import numpy as np

Создание массивов NumPy

Можно создать массив NumPy (он же ndarray), передав ему список Python, используя np.array(). В данном случае Python создает массив, который выглядит следующим образом:

Нередки случаи, когда необходимо, чтобы NumPy инициализировал значения массива.

Есть вопросы по Python?

На нашем форуме вы можете задать любой вопрос и получить ответ от всего нашего сообщества!

Python Форум Помощи

Telegram Чат & Канал

Вступите в наш дружный чат по Python и начните общение с единомышленниками! Станьте частью большого сообщества!

Паблик VK

Одно из самых больших сообществ по Python в социальной сети ВК. Видео уроки и книги для вас!

Подписаться

Для этого NumPy использует такие методы, как ones(), zeros() и random.random(). Требуется просто передать им количество элементов, которые необходимо сгенерировать:

После создания массивов можно манипулировать ими довольно любопытными способами.

Арифметические операции над массивами NumPy

Создадим два массива NumPy и продемонстрируем выгоду их использования.

Массивы будут называться data и ones:

При сложении массивов складываются значения каждого ряда. Это сделать очень просто, достаточно написать data + ones:

Новичкам может прийтись по душе тот факт, что использование абстракций подобного рода не требует написания циклов for с вычислениями. Это отличная абстракция, которая позволяет оценить поставленную задачу на более высоком уровне.

Помимо сложения, здесь также можно выполнить следующие простые арифметические операции:

Довольно часто требуется выполнить какую-то арифметическую операцию между массивом и простым числом. Ее также можно назвать операцией между вектором и скалярной величиной. К примеру, предположим, в массиве указано расстояние в милях, и его нужно перевести в километры. Для этого нужно выполнить операцию data * 1.6:

Как можно увидеть в примере выше, NumPy сам понял, что умножить на указанное число нужно каждый элемент массива. Данный концепт называется трансляцией, или broadcating. Трансляция бывает весьма полезна.

Индексация массива NumPy

Массив NumPy можно разделить на части и присвоить им индексы. Принцип работы похож на то, как это происходит со списками Python.

Агрегирование в NumPy

Дополнительным преимуществом NumPy является наличие в нем функций агрегирования:

Функциями min(),

max() и sum() дело не ограничивается.

К примеру:

• mean() позволяет получить среднее арифметическое;
• prod() выдает результат умножения всех элементов;
• std нужно для среднеквадратического отклонения.

Это лишь небольшая часть довольно обширного списка функций агрегирования в NumPy.

Использование нескольких размерностей NumPy

Все перечисленные выше примеры касаются векторов одной размерности. Главным преимуществом NumPy является его способность использовать отмеченные операции с любым количеством размерностей.

Создание матриц NumPy на примерах

Созданные в следующей форме списки из списков Python можно передать NumPy. Он создаст матрицу, которая будет представлять данные списки:

Python

np.array([[1,2],[3,4]])

np.array([[1,2],[3,4]])

Упомянутые ранее методы ones(), zeros() и random. random() можно использовать так долго, как того требует проект.

Достаточно только добавить им кортеж, в котором будут указаны размерности матрицы, которую мы создаем.

Арифметические операции над матрицами NumPy

Матрицы можно складывать и умножать при помощи арифметических операторов (+ - * /). Стоит, однако, помнить, что матрицы должны быть одного и того же размера. NumPy в данном случае использует операции координат:

Арифметические операции над матрицами разных размеров возможны в том случае, если размерность одной из матриц равно одному. Это значит, что в матрице только один столбец или один ряд. В таком случае для выполнения операции NumPy будет использовать правила трансляции:

dot() Скалярное произведение NumPy

Главное различие с обычными арифметическими операциями здесь в том, что при умножении матриц используется скалярное произведение. В NumPy каждая матрица может использовать метод dot(). Он применяется для проведения скалярных операций с рассматриваемыми матрицами:

На изображении выше под каждой фигурой указана ее размерность. Это сделано с целью отметить, что размерности обеих матриц должны совпадать с той стороны, где они соприкасаются. Визуально представить данную операцию можно следующим образом:

Индексация матрицы NumPy

Операции индексации и деления незаменимы, когда дело доходит до манипуляции с матрицами:

Агрегирование матриц NumPy

Агрегирование матриц происходит точно так же, как агрегирование векторов:

Используя параметр axis, можно агрегировать не только все значения внутри матрицы, но и значения за столбцами или рядами.

Транспонирование и изменение формы матриц в numpy

Нередки случаи, когда нужно повернуть матрицу. Это может потребоваться при вычислении скалярного произведения двух матриц. Тогда возникает необходимость наличия совпадающих размерностей. У массивов NumPy есть полезное свойство под названием T, что отвечает за транспонирование матрицы.

Некоторые более сложные ситуации требуют возможности переключения между размерностями рассматриваемой матрицы. Это типично для приложений с машинным обучением, где некая модель может запросить определенную форму вывода, которая является отличной от формы начального набора данных. В таких ситуациях пригодится метод reshape() из NumPy. Здесь от вас требуется только передать новые размерности для матрицы. Для размерности вы можете передать -1, и NumPy выведет ее верное значение, опираясь на данные рассматриваемой матрицы:

Еще больше размерностей NumPy

NumPy может произвести все вышеперечисленные операции для любого количества размерностей. Структура данных, расположенных центрально, называется ndarray, или n-мерным массивом.

В большинстве случаев для указания новой размерности требуется просто добавить запятую к параметрам

функции NumPy:

На заметку: Стоит иметь в виду, что при выводе 3-мерного массива NumPy результат, представленный в виде текста, выглядит иначе, нежели показано в примере выше. Порядок вывода n-мерного массива NumPy следующий — последняя ось зацикливается быстрее всего, а первая медленнее всего. Это значит, что вывод np.ones((4,3,2)) будет иметь вид:

array([[[1., 1.], [1., 1.], [1., 1.]], [[1., 1.], [1., 1.], [1., 1.]], [[1., 1.], [1., 1.], [1., 1.]], [[1., 1.], [1., 1.], [1., 1.]]])

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

array([[[1. , 1.],         [1., 1.],         [1., 1.]],          [[1., 1.],         [1., 1.],         [1., 1.]],          [[1., 1.],         [1., 1.],         [1., 1.]],          [[1., 1.],         [1., 1.],         [1., 1.]]])

Примеры работы с NumPy

Подытожим все вышесказанное. Вот несколько примеров полезных инструментов NumPy, которые могут значительно облегчить процесс написания кода.

Математические формулы NumPy

Необходимость внедрения математических формул, которые будут работать с матрицами и векторами, является главной причиной использования NumPy. Именно поэтому NumPy пользуется большой популярностью среди представителей науки. В качестве примера рассмотрим формулу среднеквадратичной ошибки, которая является центральной для контролируемых моделей машинного обучения, что решают проблемы регрессии:

Реализовать данную формулу в NumPy довольно легко:

Главное достоинство NumPy в том, что его не заботит, если predictions и labels содержат одно или тысячи значение (до тех пор, пока они оба одного размера). Рассмотрим пример, последовательно изучив четыре операции в следующей строке кода:

У обоих векторов predictions и labels по три значения. Это значит, что в данном случае n равно трем. После выполнения указанного выше вычитания мы получим значения, которые будут выглядеть следующим образом:

Затем мы можем возвести значения вектора в квадрат:

Теперь мы вычисляем эти значения:

Таким образом мы получаем значение ошибки некого прогноза и score за качество модели.

Представление данных NumPy

Задумайтесь о всех тех типах данных, которыми вам понадобится оперировать, создавая различные модели работы (электронные таблицы, изображения, аудио и так далее). Очень многие типы могут быть представлены как n-мерные массивы:

Таблицы NumPy — примеры использования таблиц

Таблица значений является двумерной матрицей. Каждый лист таблицы может быть отдельной переменной. Для работы с таблицами в Python чаще всего используется pandas.DataFrame, что задействует NumPy и строит поверх него.

Аудио и временные ряды в NumPy

По сути аудио файл  — это одномерный массив семплов. Каждый семпл представляет собой число, которое является крошечным фрагментов аудио сигнала. Аудио CD-качества может содержать 44 100 семплов в секунду, каждый из которых является целым числом в промежутке между -32767 и 32768. Это значит, что десятисекундный WAVE-файл CD-качества можно поместить в массив NumPy длиной в 10 * 44 100 = 441 000 семплов.

Хотите извлечь первую секунду аудио? Просто загрузите файл в массив NumPy под названием audio, после чего получите audio[: 44100].

Фрагмент аудио файла выглядит следующим образом:

То же самое касается данных временных рядов, например, изменения стоимости акций со временем.

Обработка изображений в NumPy

Изображение является матрицей пикселей по размеру (высота х ширина).

Если изображение черно-белое, то есть представленное в полутонах, каждый пиксель может быть представлен как единственное число. Обычно между 0 (черный) и 255 (белый). Хотите обрезать квадрат размером 10 х 10 пикселей в верхнем левом углу картинки? Просто попросите в NumPy image[:10, :10].

Вот как выглядит фрагмент изображения:

Если изображение цветное, каждый пиксель представлен тремя числами. Здесь за основу берется цветовая модель RGB — красный (R), зеленый (G) и синий (B).

В данном случае нам понадобится третья размерность, так как каждая клетка вмещает только одно число. Таким образом, цветная картинка будет представлена массивом ndarray с размерностями: (высота х ширина х 3).

Обработка текста в NumPy на примерах

Когда дело доходит до текста, подход несколько меняется. Цифровое представление текста предполагает создание некого python словаря, то есть инвентаря всех уникальных слов, которые бы распознавались моделью, а также векторно  (embedding step).

Попробуем представить в цифровой форме цитату из стихотворения арабского поэта Антара ибн Шаддада, переведенную на английский язык:

“Have the bards who preceded me left any theme unsung?” 

Перед переводом данного предложения в нужную цифровую форму модель должна будет проанализировать огромное количество текста. Здесь можно обработать небольшой набор данный, после чего использовать его для создания словаря из 71 290 слов.

Предложение может быть разбито на массив токенов, что будут словами или частями слов в зависимости от установленных общих правил:

Затем в данной таблице словаря вместо каждого слова мы ставим его id:

Однако данные id все еще не обладают достаточным количеством информации о модели как таковой. Поэтому перед передачей последовательности слов в модель токены/слова должны быть заменены их векторными представлениями. В данном случае используется 50-мерное векторное представление Word2vec.

Здесь ясно видно, что у массива NumPy есть несколько размерностей [embedding_dimension x sequence_length]. На практике все выглядит несколько иначе, однако данное визуальное представление более понятно для разъяснения общих принципов работы.

Для лучшей производительности модели глубокого обучения обычно сохраняют первую размерность для пакета. Это происходит из-за того, что тренировка модели происходит быстрее, если несколько примеров проходят тренировку параллельно. Здесь особенно полезным будет reshape(). Например, такая модель, как BERT, будет ожидать ввода в форме: [batch_size, sequence_length, embedding_size].

Теперь мы получили числовой том, с которым модель может работать и делать полезные вещи. Некоторые строки остались пустыми, однако они могут быть заполнены другими примерами, на которых модель может тренироваться или

делать прогнозы.

(На заметку: Поэма, строчку из которой мы использовали в примере, увековечила своего автора в веках. Будучи незаконнорожденным сыном главы племени от рабыни, Антара ибн Шаддан мастерски владел языком поэзии. Вокруг исторической фигуры поэта сложились мифы и легенды, а его стихи стали частью классической арабской литературы).

Vasile Buldumac

Являюсь администратором нескольких порталов по обучению языков программирования Python, Golang и Kotlin. В составе небольшой команды единомышленников, мы занимаемся популяризацией языков программирования на русскоязычную аудиторию. Большая часть статей была адаптирована нами на русский язык и распространяется бесплатно.

E-mail: [email protected]

Образование
Universitatea Tehnică a Moldovei (utm.md)

• 2014 — 2018 Технический Университет Молдовы, ИТ-Инженер. Тема дипломной работы «Автоматизация покупки и продажи криптовалюты используя технический анализ»
• 2018 — 2020 Технический Университет Молдовы, Магистр, Магистерская диссертация «Идентификация человека в киберпространстве по фотографии лица»

Как умножать матрицы друг на друга

Умножение матриц очень полезно при решении систем уравнений. Это потому, что вы можете умножить матрицу на обратную по обе стороны от знака равенства, чтобы в конечном итоге получить переменную матрицу с одной стороны и решение системы с другой.

К сожалению, перемножить две матрицы вместе не так просто, как перемножить соответствующие элементы. Каждый элемент каждой матрицы в какой-то момент умножается на каждый член другой.

При умножении матриц матрицы записываются рядом друг с другом без промежуточного символа. Если вы хотите перемножить матрицы A и B, чтобы получить их произведение AB, количество столбцов в A должно совпадать с количеством строк в B. Каждый элемент в первой строке A умножается на каждый соответствующий элемент из первого столбца B , а затем все эти продукты складываются вместе, чтобы получить элемент в первой строке, первом столбце AB. Это называется скалярным произведением первой строки A на первый столбец B. Чтобы найти значение в первой строке во втором столбце, возьмите скалярное произведение первой строки A на второй столбец B.

путем умножения каждого элемента в первой строке A на каждый элемент во втором столбце B, а затем сложить все эти продукты вместе. В конце концов, после вычисления всех возможных скалярных произведений ваша новая матрица должна иметь то же количество строк, что и A, и то же количество столбцов, что и B.

Например, чтобы умножить матрицу A с 3 строками и 2 столбцами на матрицу B с 2 строками и 4 столбцами, вы берете скалярное произведение первой строки A с каждым из столбцов B, получая 4 члена в первый ряд произведения АВ. Взяв скалярное произведение второй строки A с каждым из столбцов B, мы получим вторую строку произведения AB, содержащую еще 4 термина. И то же самое касается создания последнего ряда AB. В итоге вы получите матрицу из 3 строк и 4 столбцов.

Если матрица A имеет размеры m x n , а матрица B имеет размеры n x p, то AB является матрицей m- x -p . Этот рисунок дает вам визуальное представление матричного умножения.

Умножение двух совпадающих матриц.

Когда вы умножаете матрицы, вы не умножаете соответствующие части, как при сложении или вычитании. Кроме того, при умножении матриц AB не равно BA. На самом деле, только потому, что вы можете умножить А на В, не означает, что вы можете умножьте B на A. Количество столбцов в A может быть равно количеству строк в B, но количество столбцов в B может не равняться количеству строк в A. Например, вы можете умножить матрицу с 3 строки и 2 столбца на матрицу с 2 строками и 4 столбцами. Однако вы не можете выполнить умножение по-другому, потому что вы не можете умножить матрицу с 2 строками и 4 столбцами на матрицу с 3 строками и 2 столбцами. Если вы попытаетесь получить скалярное произведение, перемножив правильные термины вместе, а затем сложив их произведения, где-то по пути у вас закончатся термины!

Вот пример умножения матриц. Скажем, в задаче вас просят умножить следующие две матрицы:

.

Сначала проверьте, можете ли вы перемножать две матрицы. Матрица A равна 3 x 2, а B равна 2 x 4, поэтому вы можете перемножить их, чтобы получить матрицу 3 x 4 в качестве ответа. Теперь вы можете перейти к скалярному произведению каждой строки первой матрицы с каждым столбцом второй.

Процесс умножения АВ.

На этом рисунке показан процесс. Вы можете начать с умножения каждого члена в первой строке A на последовательные члены в столбцах матрицы B. Обратите внимание, что умножение каждой записи в первой строке на соответствующую запись в первом столбце и сложение этих произведений вместе дает вам строку один, столбец вход. Точно так же, умножая каждую запись во второй строке на соответствующую запись в третьем столбце, вы получаете запись второй строки и третьего столбца.

Вынимаем весь пух, матрица продукта

Эту статью можно найти в категории:

• Предварительное исчисление,

Умножение матриц | Математическая ассоциация Америки

Вы здесь

Главная » Умножение матриц

• Реконструкция изображения в линейной алгебре

  Капсулы MAA для занятий в классе и заметки

• Матричные шаблоны и неопределенные коэффициенты

  Капсулы MAA для занятий в классе и заметки

• Группы полиномиального перевода

  Капсулы MAA для занятий в классе и заметки

• Детерминантные локусы

  Капсулы MAA для занятий в классе и заметки

• Онлайн-лаборатория математики Калифорнийского университета в Санта-Барбаре

  Сообщество курсов

• Умножение матриц

  Сообщество курсов

• Как умножать матрицы

  Сообщество курсов

• Свойства умножения матриц

  Сообщество курсов

• Анимированная матрица-векторное умножение

  Сообщество курсов

• Анимированная матрица — умножение матриц (3×3)

  Сообщество курсов

• Math 220 Tutorials — коллекция анимаций для матричных и векторных операций.