Как найти произведение двух матриц: условие, алгоритм, примеры
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Алгебра Правила умножения матриц с примерами
В данной публикации мы рассмотрим условие и правила (алгоритм), с помощью которых можно найти произведение двух матриц. Также приведем примеры для лучшего понимания.
- Условие умножения матриц
- Алгоритм нахождения произведения матриц
Условие умножения матриц
Умножить две матрицы можно только в том случае, если число столбцов первой (m) равняется числу строк второй (n).
Например, матрицы ниже можно перемножить, т.к. mA = nB = 2.
При этом очень важен порядок множителей. Так например, если рассмотренные выше матрицы поменять местами, найти их произведение уже не получится.
Следствие: квадратные матрицы можно умножать в любом порядке, но при перестановке сомножителей результат будет разным. Т.е. MN ≠ NM (практически всегда).
Алгоритм нахождения произведения матриц
1. Матрица второго порядка и вектор-столбец
Пример:
2. Две матрицы второго порядка
Пример:
3. Матрицы третьего порядка
Пример:
С помощью такого же алгоритма умножаются две матрицы “три на три” и более старших порядков.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Конспект урока “Действия над матрицами”
Конспект урока по теме «Действия над матрицами»
Учитель
математики: Григорьева Е.
Д.
Цели:
Образовательные:
– рассмотреть операции сложения, вычитания, умножения матрицы на число и матрицы на матрицу, возведение в степень, нахождение обратной матрицы;
Развивающие:
– содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
– отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора заданий, соответствующего уровню мыслительной деятельности;
– формировать и развивать умения и навыки: обобщение, поиск способов решения.
Воспитательные:
– воспитание личных качеств, обеспечивающих успешность творческой деятельности;
– воспитание требовательности, принципиальности, самокритичности, благородства, чувства товарищества.
Тип урока: комбинированный.
Структура урока.
1) Организационный этап.
2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной
деятельности учащихся.
3) Актуализация знаний.
4) Изучение нового материала.
5) Закрепление изученного материала.
6) Домашнее задание.
1. Организационный этап.
Приветствия учащихся; проверка их явки и готовности аудитории к уроку.
2. Постановка цели и задач урока.
Сообщает тему и цели практического занятия. Слушают, записывают в тетрадь.
3. Актуализация знаний.
Организует фронтальный опрос по теоретическим вопросам с использованием записей на диске.
Продумывают ответы, работают с лекционным материалом, анализируют, сравнивают, обобщают, отвечают на вопросы преподавателя, аргументируют ответы.
Беседа.
4. Изучение нового материала.
Операции над матрицами, свойства операций.
В этой статье мы
разберемся как проводится операция сложения над матицами одного порядка,
операция умножения матрицы на число и операция умножения матриц подходящего
порядка, аксиоматически зададим свойства операций, а также обсудим приоритет
операций над матрицами.
Сразу заметим, что все нижесказанное относится к матрицам, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа.
Операция сложения двух матриц.
Определение операции сложения двух матриц.
Операция сложения определена ТОЛЬКО ДЛЯ МАТРИЦ ОДНОГО ПОРЯДКА. Другими словами, нельзя найти сумму матриц разной размерности и вообще нельзя говорить о сложении матриц разной размерности. Также нельзя говорить о сумме матрицы и числа или о сумме матрицы и какого-нибудь другого элемента.
Определение.
Сумма двух матриц и – это матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, то есть, .
Таким образом, результатом операции сложения двух матриц является матрица того же порядка.
Свойства операции сложения матриц.
Какими же
свойствами обладает операция сложения матриц? На этот вопрос достаточно легко
ответить, отталкиваясь от определения суммы двух матриц данного порядка и
вспомнив свойства операции сложения действительных (или комплексных) чисел.
1. Для матриц А, В и С одного порядка характерно свойство ассоциативности сложенияА+(В+С)=(А+В)+С.
2. Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А+О=А.
3. Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица (–А), их суммой является нулевая матрица: А+(-А)=О.
4. Для матриц А и В данного порядка справедливо свойство коммутативности сложения А+В=В+А.
Операция умножения матрицы на число.
Операция умножения матрицы на число определена ДЛЯ МАТРИЦ ЛЮБОГО ПОРЯДКА.
Определение.
Произведение
матрицы и
действительного (или комплексного) числа –
это матрица, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов
исходной матрицы на число , то есть, .
Таким образом, результатом умножения матрицы на число является матрица того же порядка.
Свойства операции умножения матрицы на число.
1. Для матриц одного порядка А и
2. Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и выполняется свойство дистрибутивности .
3. Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и справедливо свойство ассоциативности умножения .
4. Нейтральным числом по умножению на произвольную матрицу А является единица, то есть, .
Из свойств
операции умножения матрицы на число следует, что умножение нулевой матрицы на
число ноль даст нулевую матрицу, а произведение произвольного числа и нулевой
матрицы есть нулевая матрица.
Операция умножения двух матриц.
Определение операции умножения двух матриц.
Операция умножения двух матриц А и В определяется только для случая, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В.
Определение.
Произведение матрицы А порядка и матрицы В порядка – это такая матрица С порядка , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В
Таким образом, результатом операции умножения матрицы порядка на матрицу порядка является матрица порядка .
Свойства операции умножения матриц.
Если матрицы А, В и С подходящих порядков, то справедливы следующие свойства операции умножения матриц.
1.
Свойство ассоциативности умножения
матриц .
2. Два свойства дистрибутивности и .
3. В общем случае операция умножения матриц некоммутативна .
4. Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо равенство , а для произвольной матрицы А порядка n на p – равенство .
Следует отметить, что при подходящих порядках произведение нулевой матрицы О на матрицуА дает нулевую матрицу. Произведение А на О также дает нулевую матрицу, если порядки позволяют проводить операцию умножения матриц.
Среди квадратных матриц существуют так называемые перестановочные матрицы, операция умножения для них коммутативна, то есть . Примером перестановочных матриц является пара единичной матрицы и любой другой матрицы того же порядка, так как справедливо .
5. Закрепление
изученного материала.
Сложение матриц – решения примеров.
Рассмотрим несколько примеров сложения матриц.
Пример.
Найдите сумму матриц и .
Решение.
Порядки
матриц А и В совпадают и равны 4 на 2,
поэтому мы можем проводить операцию сложения матриц и в результате должны
получить матрицу порядка 4 на 2. Согласно
определению операции сложения двух матриц, сложение производим поэлементно:
Пример.
Найдите сумму двух матриц и элементами которых являются комплексные числа.
Решение.
Так как порядки
матриц равны, то мы можем выполнить сложение.
Пример.
Выполните сложение трех матриц .
Решение.
Сначала сложим
матрицу А с В, затем к полученной матрице
прибавим С:
Получили нулевую матрицу.
Умножение матрицы на число – примеры и их решение.
Разберемся с проведением
операция умножения матрицы на число на примерах.
Пример.
Найдите произведение числа 2 и матрицы .
Решение.
Чтобы умножить
матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число:
Пример.
Выполните умножение матрицы на число .
Решение.
Умножаем каждый
элемент заданной матрицы на данное число:
Умножение матрицы на матрицу – решения примеров.
Разберемся с умножением матриц на примерах, после этого перейдем к перечислению свойств операции умножения матриц.
Пример.
Найдите все элементы матрицы С, которая получается при умножении матриц и .
Решение.
Порядок
матрицы А равен p=3 на n=2,
порядок матрицы В равен n=2 на q=4,
следовательно, порядок порядок произведения этих матриц будет p=3 на q=4.
Воспользуемся формулой
Последовательно
принимаем значения i от 1 до 3 (так
как p=3) для каждого j от 1 до 4(так
как q=4), а n=2 в нашем случае, тогда
Так вычислены все
элементы матрицы С, и матрица, полученная при умножении двух
заданных матриц, имеет вид .
Пример.
Выполните умножение матриц и .
Решение.
Порядки исходных
матриц позволяют провести операцию умножения. В результате мы должны получить
матрицу порядка 2 на 3.
Пример.
Даны матрицы и . Найдите произведение матриц А и В, а также матриц В и А.
Решение.
Так как порядок
матрицы А равен 3 на 1, а
матрицы В равен 1 на 3, то А⋅В будет
иметь порядок 3 на 3, а произведение матриц В и A будет
иметь порядок 1 на 1.
Как видите, . Это одно из свойств операции умножения матриц.
Пример.
Даны матрицы . Выполните с заданными матрицами указанные действия .
Решение.
Начинаем с умножения
матрицы А на матрицу В:
Теперь умножаем
единичную матрицу второго порядка Е на два:
Складываем две
полученные матрицы:
Осталось выполнить
операцию умножения полученной матрицы на матрицу А:
Следует заметить,
что операции вычитания матриц одного порядка А и В как
таковой не существует.
Разность двух матриц по сути есть сумма матрицы А и
матрицы В, предварительно умноженной на минус единицу: .
Операция возведения квадратной матрицы в натуральную степень так же не самостоятельна, так как является последовательным умножением матриц.
Подведем итог.
На множестве матриц определены три операции: сложение матриц одного порядка, умножение матрицы на число и умножение матриц подходящих порядков.
6. Домашнее задание.
Умножение матриц. Типы, формулы и условия
Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел или символов, которые обычно располагаются в строках и столбцах. Порядок матрицы определяется количеством строк и столбцов. в матрице, и каждое число известно как элемент. Множественное число матриц – это матрицы. Размер матрицы называется матрицей «n на m» и записывается как m × n, где n — количество строк и m — количество столбцов. Например, у нас есть матрица 3×2, потому что количество строк здесь равно 3, а количество столбцов равно 2.
Какие существуют типы матриц?
Существуют различные типы матриц. Here they are –
Row matrix
Column matrix
Null matrix
Square matrix
Diagonal matrix
Upper triangular matrix
Lower triangular matrix
Симметричная матрица
Антисимметричная матрица
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
Мы знаем, что такое матрица.
Давайте найдем произведение двух или более матриц! Умножить матрицу на одно число очень легко и просто:
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
Вот расчеты:
2 х 4 = 8 | 2 х 0 = 0 |
2 х 1 = 2 | -9 = 2 | 9 -9 = 9
Мы называем число (в данном случае «2») скаляром, поэтому это известно как «скалярное умножение».
Умножение матрицы на другую матрицу
Это бинарная операция, которая создает одну матрицу, беря две или более разных матриц. Мы знаем, что матрица может быть определена как массив чисел.
Когда мы умножаем матрицу на скалярное значение, тогда процесс известен как скалярное умножение.
В математике одна матрица за другой матрицей.
Давайте обсудим, как умножить матрицу на другую матрицу, его алгоритм, формулу, умножение матриц 2×2 и 3×3. Чтобы умножить матрицу на другую матрицу, нам нужно следовать правилу «ТОЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ».
Умножение матриц
Теперь давайте научимся умножать две или более матриц. Давайте рассмотрим матрицу A, которая представляет собой матрицу a × b, и рассмотрим другую матрицу B, которая является матрицей b × c. Тогда матрица C, которая является произведением матрицы A и матрицы B, может быть записана как = AB определяется как A × B matrix. Элемент в матрице продукта C, Cxy может быть определен как 9{b}A_{kx}B_{ky}\] для значений x = 1…… a и y= 1…….c
Формула умножения матриц Давайте рассмотрим пример, чтобы понять формулу. Допустим, у нас есть A и B в виде двух матриц, таких, что
(изображение будет добавлено в ближайшее время)
(изображение будет добавлено в ближайшее время)
Тогда матрица C (матрица произведения) = AB может быть обозначена как
(изображение будет добавлено в ближайшее время) )
Элемент матрицы C (матрица произведения), где C — произведение матрицы A X B.
Элемент матрицы произведения C, Cxy может быть определен как 9{b}A_{kx}B_{ky}\] для значений x = 1…… a и y= 1…….c
Условия для умножения матриц —
Когда мы выполняем умножение матриц, оставьте эти два условия в разум:
Количество столбцов первой матрицы в процессе умножения должно равняться количеству строк второй матрицы.
Результат (произведение) будет иметь то же количество строк, что и в первой матрице, и то же количество столбцов, что и во второй матрице.
Основы умножения матриц
Произведение C любых двух матриц, предположим A и B, может быть определено как Cik=aij x bjk
Здесь
(Изображение будет добавлено позже)
суммируется для все возможные значения i и k, а в приведенных выше обозначениях используется соглашение о суммировании Эйнштейна.
Соглашение о суммировании Эйнштейна может быть определено как суммирование по повторяющимся индексам без наличия явного знака суммы, и этот метод обычно используется как в матричном, так и в тензорном анализе. (n x m) (m X P) = (n x p) Здесь (a x b) обозначает матрицу с количеством строк, равным a, и количеством столбцов, равным b. Выписывая произведение явно, получаем
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
Где каждое из значений может быть записано как,
(Изображение будет добавлено в ближайшее время)
Умножение матрицы 2 × 2. Мы рассмотрим простое умножение матрицы 2 × 2
A = \[\begin{bmatrix} 3 и 7\\ 4 и 9 \end{bmatrix}\] и другая матрица B = \[\begin{bmatrix} 6 и 2\\ 5 и 8 \end{bmatrix} \]
Теперь мы можем вычислить каждый из элементов матрицы произведения AB следующим образом:
Произведение AB11 = 3 × 6 + 7 × 5 = 53
Произведение AB12 = 3 × 2 + 7 × 8 = 62
Произведение AB21 = 4 × 6 + 9 × 5 = 69
+ Произведение AB22 = 4 × 8 80
Следовательно, матрица AB равна,
AB = \[\begin{bmatrix} 53 & 62\\ 69 & 80 \end{bmatrix}\]
10 Решенных вопросов 50 0 ) Умножьте приведенную ниже матрицу на 2
A = \[\begin{bmatrix} 3 & 4 & 9\\ 12 &11 &35 \end{bmatrix}\]
Решение) Умножая данную матрицу на 2,
Мы знаем, что в этом случае нужно произвести скалярное умножение,
A =
[\begin{bmatrix} 3 & 4 & 9\\ 12 &11 &35 \end{bmatrix}\]
При умножении на 2 мы получаем произведение как ,
A = \[\begin{bmatrix } 6 & 8 & 18\\ 24 & 22 &70 \end{bmatrix}\]
Вопрос 2.
Матрица 2×2
\[\begin{bmatrix} 1 и 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]
при умножении на другую матрицу 2×2
\[\begin{bmatrix} 5 и 6\\ 7 & 8 \end{bmatrix}\]
тогда результирующая матрица может быть записана как
Решение:
\[\begin{bmatrix} 1\times 5+2\times 7 & 1\times 6+2\times 8 \\ 3\times 5+4\times 7 & 3\times 6+4\times 8 \end{bmatrix}\]
, что можно упростить и записать как:
\[\begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 и 50 \end{bmatrix}\]
Вопрос 3. Для матрицы 2×3
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\]
при умножении на 3×1 matrix
\[\begin{bmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix}\]
тогда результирующая матрица может быть записана как
\[\begin{bmatrix} 1\times 9+ 2\times 8+3\times 7\\ 4\times 9+5\times 8+6\times 7 \end{bmatrix}\]
, что можно упростить и записать как
\[\begin{bmatrix} 46 \\ 118 \end{bmatrix}\]
Ключевые моменты, которые следует помнить при выполнении умножения матриц
При выполнении умножения матриц необходимо помнить о двух условиях:
Количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк в вторая матрица, т.
е. при умножении матрицы A порядка m×n на другую матрицу B порядка p×q n должно быть равно p.Количество строк результирующей матрицы после умножения должно быть равно количеству строк первой матрицы в порядке умножения, а количество столбцов результирующей матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы в порядок умножения.
е. при умножении матрицы A порядка m×n на другую матрицу B порядка p×q n должно быть равно p.Как умножать матрицы в Excel – Excelchat
Если вы хотите найти произведение двух матриц, вам нужно умножить элементы каждой строки в матрице на 1 с элементами каждого столбца в матрице 2. И при этом может быть утомительной работой, умножение матриц — это вариант, который мы все должны изучить. Знание того, как решать матричные задачи, может помочь вам сэкономить много времени при выполнении более сложных математических операций. Но даже если вы знаете, что такое матрица, необходимо иметь краткий обзор того, как она выглядит. Ниже простое напоминание о том, как выглядит матрица;
Рисунок 1: Пример матрицы
Чтобы решить приведенную выше матрицу, как уже объяснялось, нам придется умножить каждый элемент в строке 1 матрицы A на каждый элемент столбца 1 матрицы B.
Чтобы легко умножить матрицу, мы можем использовать функцию МУМНОЖ. Эта функция вернет матричное произведение двух массивов, как показано на рисунке выше.
Общий синтаксис формулы показан ниже;
=МУМНОЖ (массив1, массив2)
Где;
- Array1 – массив матриц для умножения
- Array2 — это второй массив матриц для умножения.
Рис. 2: Умножение матрицы 2 x 2
В этом примере мы хотим перемножить матрицу массив1 и матрицу массив2 с помощью функции МУМНОЖ . Для этого введите приведенную ниже формулу в формате массива;
{=МУМНОЖ (B6:D7, F6:G8)}
Чтобы ввести приведенную выше формулу в формате массива, необходимо нажать Ctrl + Shift + Enter
Пример 2Рис. 3: Матрица A и B
На приведенном выше рисунке у нас есть матрица A и матрица B, и мы хотим найти произведение двух матриц.
Важно помнить, что умножение двух матриц возвращает матрицу 2×2. Это связано с тем, что матрица A имеет две строки, а матрица B — 2 столбца.
Чтобы умножить две матрицы, нам сначала нужно выбрать область на рабочем листе, где должно быть произведение. Площадь должна быть две клетки в ширину и две в высоту.
Рис. 4. Результат массива матричного произведения
После выбора области, в которой будет содержаться произведение, теперь нам нужно ввести формулу умножения матрицы массива.
Рис. 5: Матричный продукт
Последнее, что нам сейчас нужно сделать, это нажать Ctrl + Shift + Enter , чтобы получить произведение матриц. Эта процедура имеет решающее значение, учитывая, что это формула массива.
Теперь, когда у вас есть матричное произведение, легко найти и определитель матрицы.
Мгновенное подключение к эксперту через нашу службу Excelchat В большинстве случаев проблема, которую вам нужно будет решить, будет более сложной, чем простое применение формулы или функции.