Умножение матрицы на число c: Алгоритм умножения матриц на языке C — Программирование на C, C# и Java

Матрицы обычно представляются прямоугольными массивы чисел, наряду с тем, что выглядит разумным понятием сложения, и несколько своеобразное понятие умножения.

Отдельные матрицы часто обозначаются прописными буквами, и имеют соответствующий размер. Матрица А с m строками и n столбцами называется m-by-n , где m и n — положительные целые числа. Матрица 1 на 1 определена и в некотором роде действует как одно число. Матрицы 1 на n и n на 1 часто используются для представления строк и векторы-столбцы соответственно. Векторы, даже если их можно рассматривать как матрицы часто обозначаются строчными буквами буквы, поскольку часто существует важное семантическое различие между объекты, представленные векторами, и объекты, представленные полные матрицы.

Отдельные элементы матрицы обычно являются числами или скаляров на математическом языке. Чаще всего они обозначаются строчными буквами с нижним индексом, Например, _и относится к элементу матрицы А в строке i, столбце j. Другие обозначения, такие как А _и и Также иногда используются A[i,j]. «Числа» могут быть целыми, рациональными, действительными или комплексными значениями. (а иногда и более экзотические объекты). В этом курсе мы обычно считаем, что матрицы содержат либо вещественные или комплексные значения.

Примеры матриц

[ 7 3 2 ] [-1,23 2,71 6,43 8,34 ] [ 2 + 3j ]
[ 1 17 16 ] [ 2,22 3,14 -2,71 1,41 ] [ 8 - 7j ]
[ 4 23 13 ] [ 7,66 -1,77 -1,49 3,27 ] [-4 + 5j ]
 

Сложение определяется между матрицами одного и того же размер. В частности, добавление двух матриц размером m на n дает третья матрица размером m на n, элементы которой являются суммой числа в соответствующих местах в матрицах слагаемых. То есть, С = А + В определяется

c _ij = a _ij + b _ij .

Это иногда называют «точечным» сложением или «сложение по компонентам». Поскольку он определяется добавлением компонентов, добавление матрицы коммутативный , А + В = В + А, и ассоциативный , (А + В) + С = А + (В + С), так же, как обычное сложение чисел.

Пример добавления матрицы

[ 3 4 5 ] [ 2 -1 -1 ] [ 5 3 -4 ]
[-1 7 -2 ] + [ 7 0 -4 ] = [ 6 7 -6 ]
[ 5 0 -3 ] [ 4 8 5 ] [ 98 2 ]
 

Поточечное умножение можно определить аналогично, но это оказывается не очень полезной концепцией. Умножение матрицы на скаляр чаще всего используемое понятие, и достигается путем умножения каждой матрицы элемент скаляром. То есть С = кА куда С и A – матрицы и k – скаляр, определяется как

c _ij = k * a _ij

         [ 1,0 2,0 ] [ 3,14 6,28 ]
3,14 * [ 3,0 -1,0 ] = [ 9.42 -3.14 ]
         [-3,0 -2,0] [-9,42 -6,28]
 

Умножение матриц на матрицы тщательно определено, так что умножение матриц можно использовать для представления систем линейных уравнения. Так случилось, что как только это сделано, умножение матриц также может использоваться для представления других отношений. Чтобы обеспечить некоторую интуицию, стоящую за определением, вспомним, что линейный уравнения принимают общий вид

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _n x _n = c.

Обратите внимание, что левую часть можно рассматривать как скалярное произведение двух n-компонентные векторы а и Икс. Умножение матриц определено так, что элемент (i,j) продукта АБ является скалярным произведением i-й строки А с j-й столбец Б. Обратите внимание, что это подразумевает, что количество столбцов A должен равняться количеству строк Б. Таким образом, если А – матрица размером m на k, и B – матрица размером k на n, тогда продукт С = АВ представляет собой матрицу размера m на n, определяемую формулой

c _ij = ∑ _k a _ik b _kj

Примеры умножения матриц

[ 1 2 3 ] [ 1 1 1 ] [-2 3 8 ]
[ 3 2 1 ] * [ 0 1 2 ] = [ 2 5 8 ]
[ 1 0 1 ] [-1 0 1 ] [ 0 1 2 ]
 

                  [ 1 ]
[ 1 2 3 ] * [ 2 ] = [ 14 ]
                  [ 3 ]
 

[ 1 ] [ 1 2 3 4 5 ]
[ 2 ] [ 2 4 6 8 10 ]
[ 3 ] * [ 1 2 3 4 5] = [ 3 6 912 15 ]
[ 4 ] [ 4 8 12 16 20 ]
[ 5 ] [ 5 10 15 20 25 ]
 

Второй и третий примеры представляют то, что иногда называют соответственно, внутренние и внешние произведения векторов (в данном случае с собой). Назвать второй пример внутренним продуктом несколько неправильно, поскольку результатом является матрица 1 на 1, а не скаляр, который немного отличается (см. обсуждение ниже). В третьем примере строки (и столбцы) являются кратными друг другу. Это отражает тот факт, что мы действительно не начать с большого количества информации, и хотя мы создали большую матрицу, это, в некотором смысле, которое может быть уточнено, избыточно.

При таком определении умножения матриц форма АХ = С (часто пишется Ах = с), где A – матрица размером m на n коэффициентов, Икс представляет собой матрицу размера n на 1, представляющую вектор-столбец неизвестных, и С представляет собой матрицу m на 1, представляющую вектор-столбец постоянных членов определяется и порождает систему m уравнений в n неизвестных, когда умножение осуществляется символически.

Умножение матриц ассоциативно, (АВ)С = А(ВС) (попробуйте доказать это для интересного упражнения), но это НЕ коммутативный, т. е. АВ, вообще говоря, не равно БА, или даже определено, за исключением особых обстоятельств. Одним из таких обстоятельств являются матрицы 1 на 1, для которых сложение и умножение действуют так же, как сложение и умножение содержащийся элемент. Формальный способ заявить об этом состоит в том, что алгебраические системы сложения и умножения скаляров, и сложение и умножение матриц 1 на 1 этих скаляров изоморфен при естественном отображении.

Обратите внимание, что это не то же самое, что сказать, что матрицы 1 на 1 то же самое , что и скаляры. Они не. В частности, умножение определена произвольная матрица на скаляр, но умножение произвольная матрица матрицей 1-1 не является (размеры не будут совпадать в целом). Однако обратите внимание, что вектор-столбец C можно умножить справа матрицей 1 на 1 [к], C[k] и вектор-строка R можно умножить слева, [к] Р. Результат в этом случае соответствует скалярному умножению. Иногда это приводит к сокращенной записи, которая выглядит так, как будто матрица 1 на 1 рассматривалась как скаляр. На самом деле весь вопрос иногда заметают под ковер, и такие выражения, как х ^т у, где х и у являются векторами-столбцами одинакового размера, используются для представления скалярного произведения x ⋅ y, который имеет скалярное значение. Верхний индекс «t» означает транспонирование матрицы , что вы и получаете когда вы меняете местами строки и столбцы матрицы, поэтому m-by-n marix становится n-by-m.

Матричная алгебра

Определения матричного сложения и умножения позволяют квадрату матрицы одинакового размера, которые нужно сложить и перемножить, чтобы получить квадратная матрица того же размера. Это наводит на мысль, что матрицы можно рассматривать как обобщение понятия числа. Мы можем следить за этим посмотрев, сколько аналогичных свойств мы можем найти.

1. Матрицы замкнуты при сложении: сумма двух матрицы есть матрица.
2. Мы уже отмечали, что сложение матриц коммутативно, точно так же, как сложение чисел, т. е. А + В = В + А.
3. Кроме того, сложение матриц, как и сложение чисел, является ассоциативным, т. е. (А + В) + С = А + (В + С).
4. Матрица всех нулей, добавленных к любой другой матрице, является исходной матрицей, то есть, А + [0] = А и это единственная такая матрица. Таким образом, существует уникальная аддитивная единичная матрица, аналогичная числу ноль.
5. Для любой матрицы матрица, члены которой являются отрицанием члены оригинала дают нулевую матрицу при добавлении к ней. То есть для любой матрицы А есть матрица (-А), такой, что А + (-А) = [0]. Это единственная такая матрица. Таким образом, как и для чисел, у нас есть единственная аддитивная обратная.
6. Если мы можем перемножить две матрицы, произведение будет матрицей: матрицы замкнуты относительно умножения.
7. Как отмечалось выше, умножение матриц, как и умножение чисел, ассоциативный, т. (АВ)С = А(ВС). В отличие от чисел, умножение матриц обычно не является коммутативным. (хотя некоторые пары матриц коммутируют).
8. Матрица, состоящая из 1s по главной диагонали и 0 в другом месте, при умножении на квадратную матрицу того же размера справа или слева дает исходную матрицу. Такая матрица называется тождественная матрица , I, и является уникальным для данного размера. Условие обычно записывается как АИ = А = ИА. Таким образом, существует уникальная мультипликативная единичная матрица, аналогичная номер 1. Например, единичная матрица 3×3:

   [ 1 0 0 ]
   [ 0 1 0 ]
   [ 0 0 1 ]
    

   Матрица идентичности также сохраняет векторы, Ix = x или любой другой матрица, для которой определено умножение на нее.
9. Оказывается, для «большинства», но не для всех квадратных матриц существует матрица, которая при умножении слева или справа на исходная матрица, дает единичную матрицу. Такая матрица называется обратным, А ^-1 , и написано условие АА ^-1 = I = А ^-1 А. Такая инверсия, если она существует, единственна, и каждая левая инверсия является также правая инверсия и, следовательно, инверсия (и наоборот). Можно показать, что матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда некоторая система вида Ах = с имеет единственное решение, и, кроме того, если существует единственное решение для любого c, существует единственное решение для каждого c. Матрицы, для которых соответствующая линейная система либо не имеет, либо много решений (и, следовательно, не существует обратного) называются единственное число . Таким образом, как и числа, квадратные матрицы обычно имеют уникальную обратную. Дополнительная сложность заключается в том, что не только элемент 0, но и больший класс сингулярных матриц не имеет обратной.
10. Матричное умножение распределяется по сложению как слева, так и справа.
    То есть, А (В + С) = АВ + АС и (А + В)С = АС + ВС. Это аналогично дистрибутивному свойству умножения над сложением. для чисел.

Собирая вместе все вышеперечисленные свойства, заметим, что при исключение коммутативного умножения и некоторых дополнительных элементов без обратных действует набор квадратных матриц заданного размера точно так же, как числа по отношению к основным алгебраическим операциям сложение и умножение. Математики обратили внимание на это (и на многие другие примеры множеств объекты плюс операции с аналогичной структурой, которую они имеют открыли) и разработали целую область математики посвященный им. Эта область называется абстрактная алгебра, и это лежит в основе современная физика и большая часть современной математики. Ниже мы упомянем несколько концепций, представляющих общий интерес. (не беспокойтесь, вас не попросят определить их на экзамене).

Вспышки в темноте: несколько концепций абстрактной алгебры

Например, любой набор и связанная с ним бинарная операция, удовлетворяющая замыкание, ассоциативность, элемент идентичности, и единственный обратный называется группа. Если операция коммутативна, группа является абелевой группой. Знакомые группы — это целые, рациональные, действительные и комплексные числа. (и целые числа по модулю n) при сложении. Квадратные матрицы заданного размера, таким образом, являются добавляемой группой.

Система с множеством и двумя бинарными операциями (сложение и умножение) который удовлетворяет всем нашим условиям плюс коммутативность умножения и уникальный мультипликативный обратный для всех элементов, кроме аддитивного тождество (0) называется поле. Знакомые поля — это рациональные, действительные и комплексные числа. с умножением и сложением, но не с целыми числами (почему?). Поля оказываются относительно редкими по сравнению с группами среди математических системы, которые возникают в технике, физике и евклидовой геометрии. Квадратные матрицы — это почти, но не совсем поле. На самом деле они являются примером алгебраической структуры, называемой звенеть, для которого требуются все свойства поля, кроме коммутативное умножение и мультипликативное обратное. Несингулярные матрицы еще ближе (отсутствуют только коммутативные умножение) и принадлежат к алгебраическому классу, называемому кольцо деления.

Математики заинтересованы в доказательстве теорем о группах, кольцах, полях, и т.д. в целом. Выигрыш в том, что любое свойство, которое может быть доказано, скажем, кольца вообще, автоматически применяется ко всему, что является кольцом. Поскольку матрицы обладают многими абстрактными алгебраическими свойствами чисел, мы могли бы рассмотреть другие операции и теоремы, которые определенные для чисел, и спросите, есть ли полезные аналоги в матричной области. Например, как насчет экспоненциальная функция матрицы (e в степени матрицы)? Если мы подумаем об экспоненте как об обобщении многократного умножения, эта идея даже не кажется бессмысленной (e умножает на себя матрицу количество раз??). Однако оказывается, что матричную экспоненту можно определить не только (довольно прямым способом, который будет иметь для вас смысл, если вы семестр исчисления), но представляет собой решение некоторых важных уравнения в многомерных пространствах, которые в точности аналогичны уравнения с показательными решениями в одном измерении.

Или как насчет квадратный корень матрицы? Он однозначно определен? (вероятно, нет, учитывая, что он не уникален даже для действительных чисел). Является ли это полезным определением вообще? Если да, то сколько их может быть? Можно можно определить матричное исчисление? Полезны ли трехмерные (или более) вещи, такие как матрицы? концепция? (да, они идут под именем тензоры, и вы столкнетесь с ними в конце концов). Каковы их свойства? . ..

Хорошо, расслабься. Мы не собираемся идти туда, куда идут математики, на по крайней мере не очень далеко, но дело в том, что матрицы (и комплексные числа, и кватернионы, и многие другие математические построения, которые могут показаться экзотические и странные, когда вы впервые сталкиваетесь с ними, не просто произвольная эвристика для решения конкретной проблемы (например, системы линейных уравнений), но часто оказываются очень структурированными, из которых может быть несколько знаком из-за аналогов с цифрами (или векторы, или матрицы, как только вы их почувствуете).

Возвращение в реальность

Возвращаясь к конкретному, условность, которую мы разработали для представление линейных систем, Ах = с, имеет алгебраическую форму что идентично простому уравнению топор = с с х простая переменная. Решение последнего можно записать в закрытой форме, х = с/а = а ^-1 с. Если A неособый мы можем умножить обе части матричного уравнения слева на А ^-1 : A ^-1 Ax = x= A ^-1 c. Итак, если мы можем найти обратную матрицу, мы можем решить систему прямым умножение матриц.

Оказывается, найти обратную — такая же работа, как и решить системы методом гауссовой редукции (фактически прямая модификация Гауссова редукция – стандартный способ нахождения обратного), поэтому мы не экономим вычислительные усилия. Однако алгебраические манипуляции с уравнениями, включающими матрицы и векторы может упростить форму до того, как будут выполнены какие-либо вычисления, как и в случае обыкновенные уравнения. Это может сэкономить значительные вычислительные усилия, а также может генерировать представление, которое легче понять, или отображает структуру, не очевидную сразу в исходной форме. Хорошим примером этого является сама матричная запись, которая удивительно компактный, скрывающий множество деталей, которые не имеют значения, пока не придет время делать окончательное вычисление, но которое делает структуры и операции в многомерное пространство более понятным, если выразить их в виде аналогично привычному и более интуитивно понятному одномерная форма.

Важные концепции и характеристики матриц

Существует ряд понятий и характеристик, которые повторяются неоднократно. при работе с матрицами и линейными системами. Некоторые из них перечислено ниже. Некоторые из них уже упоминались выше. Указатели на Википедию даны для тех, кто хочет узнать больше.

• Транспонирование матрицы: Определено выше. Транспонирование матрицы размером m на n А – матрица размером n на m А ^т получается путем записи столбцов А как ряды А ^т (или, что то же самое, столбцы как строки). Транспонирование обладает следующими хорошо известными свойствами:
  1. (А ^т ) ^т = А
  2. (АВ) ^т = В ^т А ^т
• Симметричная матрица является собственной транспонированной: А = А ^т так А _ij = А _ji . Он имеет зеркальную симметрию по главной диагонали.
• Единичная матрица: Определено выше. Квадратная матрица с 1с по главной диагонали ( _jj элементов) и 0s в другом месте.
• Обратная матрица: Как отмечалось выше, обратные существуют для неособых матрицы. «Почти все» квадратные матрицы со случайными коэффициентами будет несингулярным, особенно если случайные числа велики или «настоящая ценность». Обобщение, называемое псевдоинверсия, определяется для общих матриц размера m на n и, в частности, для переопределенные/несогласованные системы таким образом, что допускает «почти решение», которое в некотором роде оптимально близко (обычно методом наименьших квадратов) для представления путем умножения константы вектор псевдообратным.
• След: Сумма диагональных элементов матрицы. Он проявляется в некоторых доказательства и выводы.
• Преобразование матрицы: Тот факт, что умножение вектора на матрица (соответствующего размера) создает другой вектор, приводит к представление о матрицах как об операторах, преобразующих векторы в n-мерное пространство. Обратите внимание, что преобразования не ограничены для отображения n-пространства в n-пространство, но может как увеличивать, так и уменьшать размер пространства. Эта идея является одной из основ чрезвычайно важный раздел математики, называемый линейная алгебра. Если вы еще не прошли курс в нем, вы будете. Здесь отметим только, что знакомые преобразования, такие как вращения, отражения, проекции и масштабирование могут быть представлены матрицами, как и переводы, с использованием трюка, называемого однородные координаты.
• Собственные значения и собственные векторы: Учитывая матрицу A, вектор х со свойством Ax = λ x для некоторого скалярного числа x называется собственным вектором , и λ соответствующее собственное значение . В общем, невырожденная матрица размера n на n имеет n собственных векторов/собственных значений. Как правило, они будут комплексными, даже для действительных значений. матрицы. Однако действительные симметричные матрицы гарантированно имеют действительные собственные значения и собственные векторы; последние также ортогональны. В некоторых особых ситуациях возникает небольшое осложнение, в котором мы должны считать, что есть два или более одинаковых собственных значения (аналог квадратного уравнения с повторяющимися корнями). Однако в общем случае n-собственные векторы для невырожденных матриц размера n на n является сильной концепцией. Собственные векторы действительно проявляются при изучении матриц как преобразований, так как собственные векторы представляют элементы, которые не меняются (за исключением масштаба) при преобразовании. Они оказываются чрезвычайно полезными для понимания того, что определенные преобразований и в представлении их в интуитивно понятных, компактных формах. Можно использовать форму гауссовой редукции, чтобы найти собственные значения матрицы, а затем снова решить для каждого собственного вектора.
• Определитель: Чрезвычайно сложная величина, определенная для квадратной матрицы это сумма всех возможных произведений элементов, где каждая строка и происходит индекс столбца ровно один раз умножается на знак, обозначающий, является ли четным или нечетным необходимо количество перестановок строк, чтобы преобразовать единичную матрицу в селектор элементов для конкретного продукта.