Главная
Умножение производная: Производная произведения функций (u*v)’

Умножение производная: Производная произведения функций (u*v)’

Теория и задачи механики сплошных сред

Теория и задачи механики сплошных сред
  

Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. Учебник. – М.: Мир, 1974. – 319с.

В книге сжато излагаются общие принципы механики сплошной среды и описываются наиболее употребительные модели сплошных сред. Изложение сопровождается тщательно подобранными задачами общим числом около пятисот; примерно две трети из них приводятся с решениями. Это позволяет использовать книгу как своеобразный сборник задач по курсу механики сплошной среды.

Книга написана ясно и четко. Высокие методические достоинства позволяют использовать ее как учебное пособие для технических вузок и университетов по курсу механики сплошной среды.



Оглавление

Предисловие редактора перевода
Предисловие
Глава 1. Математические основы
1.1. Тензоры и механика сплошной среды
1.2. Тензоры. Декартовы тензоры. Ранг тензора
1.3. Векторы и скаляры
1.4. Векторное сложение. Умножение вектора на скаляр
1.5. Скалярное и векторное произведения векторов
1.6. Диады и диадики
1.7. Системы координат. Базисные векторы. Триэдр единичных векторов
1.8. Линейные векторные функции. Диадики как линейные векторные операторы
1.9. Индексные обозначения. Интервал изменения индексов и соглашение о суммировании
1.10. Соглашение о суммировании в символических обозначениях
1.11. Преобразование координат. Общее понятие тензора
1.12. Метрический тензор. Декартовы тензоры
1.13. Законы преобразования декартовых тензоров. Дельта Кронекера. Условия ортогональности
1.14. Сложение декартовых тензоров. Умножение на скаляр
1.15. Умножение тензоров
1.16. Векторное произведение. Тензор Леви-Чивиты. Бивектор
1.17. Матрицы Матричные представления декартовых тензоров
1. 18. Симметрия диадиков, матриц и тензоров
1.19. Главные значения и главные направления симметричных тензоров второго ранга
1.20. Степени тензоров второго ранга. Соотношение Гамильтона — Кэли
1.21. Тензорные поля. Дифференцирование тензоров
1.22. Криволинейные интегралы. Теорема Стокса
1.23. Теорема Гаусса — Остроградского
Глава 2. Анализ напряженного состояния
2.1. Понятие сплошной среды
2.2. Однородность. Изотропия. Массовая плотность
2.3. Массовые силы. Поверхностные силы
2.4. Принцип напряжения Коши. Вектор напряжения
2.5. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений
2.6. Связь между тензором напряжений и вектором напряжения
2.7. Равновесие сил и моментов. Симметрия тензора напряжений
2.8. Законы преобразования напряжений
2.9. Поверхности напряжений Коши
2.10. Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений. Эллипсоид напряжений
2.11. Максимальное и минимальное касательное напряжение
2.12. Круги Мора для напряжения
2. 13. Плоское напряженное состояние
2.14. Девиатор и шаровой тензор напряжений
Глава 3. Деформации
3.2. Конфигурация сплошной среды. Деформация и течение
3.3. Радиус-вектор. Вектор перемещения
3.4. Лагранжево и эйлерово описания движения
3.5. Градиенты деформации. Градиенты перемещения
3.6. Тензоры деформаций. Тензоры конечных деформаций
3.7. Теория малых деформаций. Тензоры бесконечно малых деформаций
3.8. Относительное перемещение. Тензор линейного поворота. Вектор поворота
3.9. Геометрический смысл тензоров линейных деформаций
3.10. Коэффициент длины. Интерпретация конечных деформаций
3.11. Тензоры коэффициентов длины. Тензор поворота
3.12. Свойства преобразований тензоров деформаций
3.13. Главные деформации. Инварианты деформации. Кубическое расширение
3.14. Шаровой тензор и девиатор деформаций
3.15. Плоская деформация. Круги Мора для деформации
3.16. Уравнения совместности для линейных деформаций
Глава 4. Движение и течение
4. 1. Движение. Течение. Материальная производная
4.2. Скорость. Ускорение. Мгновенное поле скоростей
4.3. Траектории. Линии тока. Установившееся движение
4.4. Скорость деформации. Завихренность. Приращения деформации
4.5. Физическая интерпретация тензоров скоростей деформации и завихренности
4.6. Материальные производные по времени от элемента объема, элемента поверхности и линейного элемента
4.7. Материальные производные по времени от интеграла по объему, интеграла по поверхности и линейного интеграла
Глава 5. Основные законы механики сплошной среды
5.1. Сохранение массы. Уравнение неразрывности
5.2. Теорема об изменении количества движения. Уравнения движения. Уравнения равновесия
5.3. Теорема об изменении момента количества движения
5.4. Сохранение энергии. Первый закон термодинамики. Уравнение энергии
5.5. Уравнения состояния. Энтропия. Второй закон термодинамики
5.6. Неравенство Клаузиуса — Дюгема. Диссипативная функция
5.7. Определяющие уравнения. Термомеханический и механический континуумы
Глава 6. Линейная теория упругости
6.1. Обобщенный закон Гука. Функция энергии деформации
6.2. Изотропные и анизотропные среды. Симметрия упругих свойств
6.3. Изотропные среды. Упругие постоянные
6.4. Постановка статических и динамических задач теории упругости
6.5. Теорема о суперпозиции. Единственность решений. Принцип Сен-Венана
6.6. Плоские задачи теории упругости. Плоское напряженное состояние и плоская деформация
6.7. Функция напряжений Эри
6.8. Двумерные статические задачи теории упругости в полярных координатах
6.9. Гикерупругость. Гипоупругость
6.10. Линейная термоупругость
Глава 7. Жидкости
7.1. Давление жидкости. Тензор вязких напряжений. Баротропное течение
7.2. Определяющие уравнения. Стоксовы жидкости. Ньютоновы жидкости
7.3. Основные уравнения ньютоновой жидкости. Уравнения Навье — Стокса — Дюгема
7.4. Установившееся течение. Гидростатика. Безвихревое течение
7. 5. Идеальная жидкость. Уравнение Бернулли. Циркуляция
7.6. Потенциальное течение. Плоское потенциальное течение
Глава 8. Теория пластичности
8.2. Идеализированные диаграммы пластического поведения
8.3. Условия пластичности. Критерии Треска и Мизеса
8.4. Пространство напряжений. П-плоскость. Поверхность текучести
8.5. Поведение материала за пределом текучести. Изотропное и кинематическое упрочнение
8.6. Соотношения между напряжениями и деформациями в пластическом состоянии. Теория пластического потенциала
8.7. Эквивалентное напряжение. Эквивалентное приращение пластической деформации
8.8. Работа на пластических деформациях. Гипотезы упрочнения
8.9. Деформационная теория пластичности
8.10. Задачи упругопластичности
8.11. Элементарная теория линий скольжения при плоской пластической деформации
Глава 9. Линейная вязкоупругость
9.1. Вязкоупругое поведение материала
9.2. Простейшие механические модели вязкоупругого поведения
9.3. 2

Правило произведения высших производных

Эта статья посвящена правилу дифференцирования , то есть правилу дифференцирования функции, выраженной через другие функции, производные которых известны.
Посмотреть другие правила дифференциации

Содержание

  • 1 Заявление
    • 1.1 Одностороннее исполнение
  • 2 Частные случаи
  • 3 Связанные правила
    • 3.1 Подобные правила в исчислении с одной переменной
    • 3.2 Аналогичные правила в многомерном исчислении
    • 3.3 Подобные правила в высшей математике
  • 4 Значение
    • 4.1 Качественное и экзистенциальное значение
    • 4.2 Вычислительная значимость

Заявление

Тип версии Заявление
определенная точка, именованные функции Это утверждает, что если и являются раз дифференцируемыми функциями при , то поточечное произведение также раз дифференцируемо при , и мы имеем:

Здесь обозначает производную от (с и т. д.), обозначает производную от , а является биномиальным коэффициентом. Это те же самые коэффициенты, которые появляются в разложении .
общая точка, именованные функции, обозначение точки		 Если и являются функциями одной переменной, то везде, где правая часть имеет смысл, верно следующее: Если и являются функциями одной переменной, везде, где правая часть имеет смысл, верно следующее:
Чистая нотация Лейбница Предположим, что и обе переменные функционально зависят от . Тогда

Односторонний вариант

Существуют аналоги каждого из утверждений с односторонними производными. Заполните позже

Частные случаи

Стоимость Формула для
1 (это обычное правило продукта для дифференциации).
2 .
3 .
4
5

Связанные правила

Подобные правила в исчислении одной переменной

  • Правило произведения для дифференцирования
  • Цепное правило для высших производных
  • Цепное правило для дифференцирования
  • Повторное дифференцирование линейно

Подобные правила в исчислении многих переменных

  • Правило произведения для высших частных производных

Подобные правила в высшей математике

  • Биномиальная формула для степеней вывода

Значимость 9007 Качественная 908 и экзистенциальная версии собственное качественное значение:

Тип версии Значение
определенная точка, именованные функции Это говорит нам о том, что если и оба раза дифференцируемы в точке, то и .
общая точка, именованные функции, обозначение точки Это говорит нам о том, что если и оба времени дифференцируемы на открытом интервале, то и .
общая точка, именованные функции, бесточечная нотация Это показывает, что поведение определяется природой производных (с точностью до ) от и . В частности, если и обе непрерывные функции на интервале, то и .

Расчетная значимость

Каждый из вариантов имеет свою расчетную значимость:

Тип версии Значение
определенная точка, именованные функции Это говорит нам о том, что знание значений (в смысле числовых значений ) и в точке позволяет нам вычислить значение, вставив его в формулу и выполнив ряд операций умножения и сложения.
общая точка, именованные функции Это говорит нам о том, что знание общих выражений для и позволяет нам вычислить общее выражение для .

Учебное пособие по правилу произведения, частному правилу и цепному правилу

Учебное пособие по правилу произведения, частному правилу и цепному правилу
Правило произведения
Правило частных
и Правило цепи

Правило продукта

Загрузка

Производная f(x) g(x) = (f ‘(x) g(x)) + (f(x) g'(x))

ПРИМЕР : производная от

.
(х + 5х -6х + 9)     (7х -х -8х + 1)

Равен

(3x + 10x -6)(7x – x -8x + 1) + (х + 5х -6х + 9)(21х -2х -8)


Частное правило

Производная f(x) г(х) равно

ПРИМЕР : производная от

.
( 5x + 2x + 9 )
(7x -3x + 8)

равно


Цепная линейка

Во-первых, мы должны обсудить концепцию композиции функции , что на самом деле означает функцию другой функции. Эту концепцию легче обсуждать в неформальной обстановке.
ВСЕ композиции из 2-х функций состоят из 2-х частей:
1) Функция внутри скобок и
2) Функция вне скобок.

В качестве примера разберем 4(x+5)
Говоря неформально, мы могли бы сказать, что «внутренняя функция» равна (x 3 +5), а
«внешняя функция» равна 4 (внутри) 2 .

Перед , используя цепное правило, давайте умножим это и , затем возьмем производную.
4 (х 3 +5) 2 = 4x 6 + 40 x 3 + 100
производная = 24x 5 + 120 x 2

Теперь , давайте продифференцируем то же уравнение, используя Цепное правило , которое гласит, что
производная составной функции равна:
(производная снаружи) (внутри) (производная внутри).
Используя цепное правило для дифференцирования 4 (x 3 +5) 2 получаем:

производное от внешнего = 4 2 = 8
внутри = x 3 + 5
производная от внутри = 3x 2
+5) (3x 2 )
В качестве двойной проверки мы умножаем это и получаем:
8x 3 +40 (3x 2 ) = 24 x 5 + 120 x 2 , ​​что в точности равно ответ мы получили, используя «длинный путь».


Сейчас вы можете подумать, что проблема мог бы решить с или без Правило цепи. Однако возьмем более сложный пример:

. ПРИМЕР:   Что является производной от (4X 3 + 5X 2 -7X +10) 14 ?
ОТВЕТ: 14 (4X 3 + 5X 2 -7X +10) 13 (12X 2 + 10X -7)
3 + 5X 2 -7X +10) до четырнадцатая степень и , затем , взяв производную, но вы можете понять, почему цепное правило сохраняет невероятное количество времени и труда.
И да, 14 (4X 3 + 5X 2 -7X +10) 13 (12X 2 + 10X -7) – это приемлемый ответ. В конце концов, как только мы определили производную, это гораздо больше. удобно «вставлять» значения x в компактную формулу, а не использовать несколько терминов чудовищность.

Цепное правило также может помочь нам найти другие производные.
Например, какова производная квадратного корня
из (X 3 + 2X + 6)   ИЛИ   (X 3 + 2X + 6) ?
ОТВЕТ:  (X 3 + 2X + 6) – (3X 2 + 2)

Другой пример иллюстрирует универсальность цепного правила.
Давайте введем новую производную
если f(x) = sin(x), то f ‘(x) = cos(x)
Теперь мы можем решать такие задачи, как эта составная функция:
какова производная sin(5x 3 + 2x) ?
ОТВЕТ: cos(5x 3 + 2x) (15x 2 + 2)

Цепное правило — мощный инструмент исчисления, и важно, чтобы вы его понимали.

Оставить комментарий