Уравнение бернулли для идеального газа: 4. Уравнение Бернулли для трубки тока идеального газа

Чтобы вывести уравнение Бернулли, примените второй закон Ньютона (a = F/m) вдоль линии тока s. Ускорение есть полная производная от скорости ветра: a = dM/dt = ∂M/∂t + M·∂M/∂s. Рассмотрим частный случай потока, стационарного в любом месте (∂M/∂t = 0), хотя поток может быть разным в разных местах (∂M/∂s ≠ 0). Таким образом 9{2}+P / \rho+|g| \cdot z=C_{B}\)

, где C _B — постоянная интегрирования.

Этот результат применим только к установившемуся несжимаемому течению вдоль линии тока. Не используйте его в ситуациях, когда важны дополнительные силы, такие как турбулентное сопротивление, а также ветряные турбины или вентиляторы.

В гидравлике гравитационный термин определяется изменением глубины воды, особенно при рассмотрении линии тока вдоль поверхности воды. В метеорологии аналогичная ситуация возникает, когда холодный воздух поднимается в более теплую среду; а именно, это плотная жидкость, поднимающаяся против силы тяжести. Однако сила тяжести, ощущаемая поднимающимся холодным воздухом, уменьшается из-за его плавучести в окружающем воздухе. Чтобы компенсировать это, гравитационный фактор в уравнении Бернулли можно заменить на 9{2}+\frac{P}{\rho}+|g| \frac{\Delta \theta_{v}}{T_{v}} \cdot z=C_{B}\tag{17.36}\end{align}\)

, где ∆θ _v — виртуальная потенциальная температура разница между теплым воздухом наверху и холодным воздухом внизу, а T _v – абсолютная виртуальная температура воздуха (К). Таким образом, гравитационный член отличен от нуля, когда интересующая линия тока окружена воздухом с различной виртуальной потенциальной температурой для воздуха, текущего вверх или вниз.

Образец заявления

Скорость потока холодного воздуха 10 мс ^–1 изменяется на 2 мс ^–1 после прохождения гидравлического прыжка. Этот воздух на 10°C холоднее окружающего. Как высоко может прыгать гидравлический прыжок?

Find the Answer

Given: M ₁ = 10 m s ^–1 , M ₂ = 2 m s ^–1 , ∆T = 10K, z ₁ = 0.

Найти: z ₂ = ? м выше начальной з.

Предположим: ∆θ _v = ∆T и |g|/T _v = 0,0333 м·с ^–2 ·K ^–1 . P ≈ постоянный на линии тока вдоль кровли холодного воздуха.

Использовать экв. (17.36), учитывая, что C _B – P/ρ постоянна:

• В точке 1: 0,5 ·(10 м с ^–1 ) ² + 0 = C _B – P/ρ = 50 м ² с ^–2
• At 2: 0,5·(2 м с ^–1 ) ² +(0,0333 м·с ^–2 ·K ^–1 )·(10K)·z ² =50 м
  9 2с ^–2

Решение для z ₂ : z ₂ = [M ₁ ² - M ₂ ² ] · T _V /(2 · * * * * * * * = 144 м

Проверить: Блоки в норме. Величина в порядке.

Экспозиция: Гидравлические прыжки очень турбулентны и могут рассеивать часть механической энергии в виде тепла. Таким образом, фактическая высота прыжка будет меньше.

Для использования экв. (17.36), сначала измерьте все члены в левой части уравнения в некотором начальном (или выше по течению) месте в потоке. Назовите эту точку 1. Используйте ее для расчета начального значения C 9{2}\right]+\Delta\left[\frac{P}{\rho}\right]+\Delta\left[|g| \cdot \frac{\Delta \theta_{v}}{T_{v}} \cdot z\right]=0\tag{17,38}\end{align}\)

Внимание: ∆[(0,5)·M ² ] ≠ (0,5)·[∆M] ² .

Приведенные выше уравнения Бернулли НЕ работают:

• везде, где поток турбулентный
• за препятствиями, создающими турбулентный след или вызывающими внезапные изменения потока
• в местах подвода или потери тепла
• в местах ввода механической энергии (например, вентилятор) или потерь (например, ветряная турбина)
• у земли, где сопротивление замедляет ветер
• при скорости потока > 20 м с ^–1
• , где плотность приблизительно не постоянна

Следовательно, существует множество атмосферных ситуаций, для которых приведенные выше уравнения слишком упрощены.

Образец заявки

Ветер на постоянной высоте замедляется с 15 до 10 м/с при прохождении через ветряную турбину. Какая противоположная разность чистого давления вызвала бы такое же замедление при ламинарном течении?

Найдите ответ.

Найти: ∆P = ? Па

Предположим, что ρ = 1 кг м ^–3 = постоянная.

Решить уравнение (17.38) для ∆P: ∆P = – ρ · ∆[(0,5)·M ² ]

∆P = – (1 кг м ^–3 ) · (0,5)·[(10м с ​​ ^{– 1} ) ² – (15 м с ^–1 ) ² ] = 62,4 Па

Проверка: Блоки в норме. Величина в порядке.

Экспозиция: Процесс извлечения механической энергии из ветра имеет тот же эффект, что и встречная разность давлений. Эта разница давлений невелика по сравнению с атмосферным давлением окружающей среды P = 100 000 Па.

Фактическое изменение давления на ветряной турбине показано на нижнем рисунке.

17.9.1.2. Сжимаемый поток

Для многих реальных атмосферных условий, когда скорость ветра может быть любой, следует использовать более общую форму уравнения Бернулли, включающую тепловые процессы. 9{2}+\mathfrak{R}_{d} \cdot T_{v} \cdot \ln (P)+|g| \frac{\Delta \theta_{v}}{T_{v}} \cdot z=C_{B}\tag{17.39}\end{align}\)

, где ℜ _d = 287 м ² ·s ^–2 ·K ^–1 – постоянная идеального газа для сухого воздуха, где C _B постоянна в процессе (т. е. начальное C _B = конечное C _B ).

Образец заявки

Воздух с давлением 100 кПа изначально находится в состоянии покоя. Он ускоряется над плоской снежной поверхностью при температуре 0 ° C, когда его всасывает в систему вентиляции дома. Если конечная скорость 10 м с ^–1 , какое давление воздуха на входе вентилятора? Найти ответ

Найти: P ₂ = ? кПа

Предположим, что снег поддерживает постоянную температуру воздуха T _v = 0°C. Используйте уравнение (17.39) для изотермического процесса:

[0,5M ₂ ² – 0] + ℜ _d ·T _v ·[ln(P ₂ )–ln(P ₁ )] = 0

Используйте ln(a) – ln(b) = ln(a/b). Затем возьмите exp с обеих сторон и переставьте: P ₂ = P ₁ ·exp[–0.5M ₂ ² / (ℜ _d ·T _v )] 15 8

3

3

3

3

3

3 = = (100кПа)·exp[–0,5(10м с ​​ ^–1 ) ² /{(287м ² ·с ^–2 ·K ^–1 )·(273K)}] = (100кПа )·exp[–0,000638] = (100 кПа)· (0,9994) = 99,94 кПа.

9{2}+C_{v} \cdot T+\frac{P}{\rho}+|g| \frac{\Delta \theta_{v}}{T_{v}} \cdot z=C_{B}\tag{17.43}\end{align}\)

энергия: кинетическая + внутренняя + поток + потенциальная = постоянная

Опять же, C _B постоянна во время адиабатического процесса.

Образец заявки

Небольшое расстояние за двигателем реактивного самолета, летящего в горизонтальном полете, температура выхлопных газов 400 °C и скорость реактивной струи 200 м с ^–1 . Какова конечная температура выхлопного воздуха после того, как выхлоп струи замедлится до нуля, если пренебречь проводимостью и турбулентным перемешиванием. 9Найти ответ ₂ = ? °С. Предположим, что процесс адиабатический.

Переставить экв. (17,42): T ₂ = T ₁ + M ₁ ² /(2C _P )

T ₂ = (673K) + (200m S ^{- 2} 2 ₂ =. /(2· 1004 м ² ·с ^–2 ·К ^–1 )

= 673K ​​+ 19,9K = 693K = 420°C

Проверить: Единицы в норме. Величина в порядке.

Описание: Реактивный выхлоп турбулентный и быстро смешивается с более холодным окружающим воздухом, поэтому уравнение Бернулли не подходит. Дополнительную информацию см. в разделе «Динамическое нагревание» далее в этой главе.

17.9.1.

3. Сохранение энергии

Поскольку эти несколько предыдущих уравнений также учитывают температуру, мы не можем называть их уравнениями Бернулли. их уравнения сохранения энергии , которые учитывают механическую и тепловую энергию, следующие по линии тока.

Если мы распространим это дальше на бюджет энергии уравнение , то мы можем добавить эффекты чистого добавления тепловой энергии (теплоты на единицу массы) ∆q через излучение, конденсацию или испарение, теплопроводность, горение, и т. д. Мы также можем включить 90 126 работы вала на единицу массы 90 127 ∆SW, выполняемой в воздухе вентилятором, или энергию, извлекаемую из воздуха ветряной турбиной. 9{2}\right]+\Delta\left[C_{p} \cdot T\right]+\Delta\left[|g| \cdot \frac{\Delta \theta_{v}}{T_{v}} \cdot z\right]=\Delta q+\Delta S W\tag{17.45}\end{align}\)

Образец приложения

Электрический ветрогенератор мощностью 75 кВт с вентилятором радиусом 2,5 м используется в саду для смешивания воздуха с целью уменьшения повреждения плодов морозом. Вентилятор разгоняет воздух по горизонтали от 0 до 5 м с ^–1 . Найти изменение температуры на вентиляторе, пренебрегая смешиванием с окружающим воздухом.

Найдите ответ

Дано: Мощность = 75 кВт = 75000 кг·м ² ·с ^–3 , R = 2,5 м, М ₁ = 0, М ₂ = 1 м2 8 – 90 , ∆z = 0

Найти: ∆T = ? °C

Предположим, что вся электрическая энергия, используемая двигателем вентилятора, уходит на теплоту и работу вала.

Массовый расход через этот вентилятор:

ρ·M ₂ ·π·R ² = (1,225 кг м ^–3 )·(5м с ^–1 )·π·(2,5 м) ² =120 кг с ^–1

Таким образом: ∆q + ∆SW = мощность/(массовый расход) = 624 м (17.45): ∆T = (1/C _p )·[∆q +∆SW –0,5·(M ₂ ² –M ₁ ² )]

2 = (17.45) м ² ·с ^–2 ·К ^–1 )·[(624 м ² ·с ^–2 ) – 0,5·(5м с ^–1 ) 90 390 90 90 0 90 128 2 ^{2 2 0,61 К = 0,61°С}

Проверка: Блоки в норме. Величина в порядке.

Экспозиция: Несмотря на большое энергопотребление электродвигателя, нагрев распространяется на очень большой объем воздуха, проходящего через вентилятор. Следовательно, величина изменения температуры невелика.

17.9.2.1. Динамическое и статическое давление и температура

Рис. 17.34. Линии тока, показывающие застой при приближении воздуха к препятствию.

Набегающий поток Атмосферное давление вдали от любых препятствий называется статическое давление P _s . Аналогично, пусть T - температура набегающего потока (начальная).

Когда ветер приближается к препятствию, большая часть воздуха обтекает его, как показано на рис. 17.34. Однако для одной линии тока, которая сталкивается с препятствием, воздух замедляется от скорости восходящего потока M _{начальная} = Ms до конечной скорости M _final = 0. Эта конечная точка называется точкой торможения .

Когда воздух приближается к точке застоя, скорость ветра уменьшается, а давление увеличивается по мере сближения молекул воздуха. Это вызывает повышение температуры в соответствии с законом идеального газа. Повышенное давление называется динамическое давление P _dyn , а повышенная температура называется динамическая температура T _dyn . В критической точке, где скорость равна нулю, конечное динамическое давление называется давлением торможения P _o , а соответствующая динамическая температура обозначается символом To. Думайте о нижнем индексе «о» как о нулевой скорости ветра относительно препятствия.

Чтобы найти динамические эффекты при стагнации, используйте уравнение сохранения энергии (17.42) для ветра, дующего горизонтально (т. е. без изменения z), и предположите почти адиабатический процесс: 9{2}}{2 \cdot C_{p}}\tag{17.47}\end{align}\)

, где C _p = 1004 м ² ·s ^–2 ·K ^–1 для сухого воздуха. уравнение (17.47) действительно для дозвуковых скоростей (см. блок INFO).

Рис. 17.35 Повышение давления (∆P, зеленая сплошная линия) и температуры (∆T, оранжевая пунктирная линия) из-за динамического нагрева, когда воздух со скоростью M _s сталкивается с препятствием и застаивается. Условия внешнего набегающего потока для этого расчета: T = 290K и P _с = 100 кПа, что дает скорость звука c = 341 м с ^–1 .

Этот эффект называется динамическое нагревание или динамическое нагревание — эффект, который вы должны учитывать при развертывании термометров на ветру, потому что ветер будет застаиваться, когда он ударяет по термометру. Как показано на рис. 17.35, динамический нагрев (∆T = T _o – T) пренебрежимо мал (∆T ≤ 0,2°C) для скоростей потока M _с ≤ 20 м с ^–1 .

Тем не менее, для термометров на воздушном судне, движущемся на 100 м с ^–1 относительно воздуха, или для стационарных термометров, подвергающихся воздействию торнадо ветров М _с = 100 мс ^–1 , динамическое потепление составляет примерно ∆T ≈ 5°C. Для этих экстремальных ветров вы можете внести поправку на динамическое потепление, используя динамическую температуру T _o , измеренную термометром, и используя измеренную скорость ветра M _s , а затем решив уравнение. (17.47) для температуры набегающего потока T.

В главе «Бюджеты тепла» представлена ​​зависимость между температурой и давлением для адиабатического процесса сжатия. Используя это с приведенным выше уравнением, мы можем решить для 9{c_{p} / \Re}\tag{17.49}\end{align}\)

, где C _p /ℜ ≈ C _pd /ℜ _d = 3,5 для воздуха, P _s равно статическое (набегающее) давление, M _s – скорость ветра набегающего потока вдоль линии тока, C _p ≈ C _pd = 1004 Дж·кг ^–1 ·K ^–1 , T – набегающий поток температура, а нижний индекс d обозначает сухой воздух. На рис. 17.35 показано увеличение давления застоя с увеличением скорости потока.

Для скоростей ветра М _{с 9{2}\tag{17. 50}\end{align}\)}

, где ρ — плотность воздуха. Не используйте экв. (17.50), чтобы найти динамический нагрев в сочетании с законом идеального газа, потому что он пренебрегает большими изменениями плотности, которые происходят в высокоскоростных потоках, которые застаиваются.

Образец заявки

Вихревой ветер со скоростью 100 м с ^–1 и температурой 30°C дует в гараж и застаивается. Найдите стагнацию T и P. Какая результирующая сила давит на стену гаража размером 3 x 5 м?

Найди ответ

Дано: M _s =100 м s ^–1 , T=30°C, площадь стены A=3x5 =15 м ²

Найти: F _net = ? N. Предположим: ρ = 1,2 кг·м ^–3 , P = 100 кПа.

Использовать экв. (17.47): T _o = (30°C)+[(100м с ^–1 ) ² /(2 · 1004м ² ·с ^–2 ·K ^–1 ) 4 = 35°С.

Используйте экв. (17.48): P _o = (100 кПа)·[(35+273)/(30+273)] ^3,5 = 105,9 кПа.

Сравните с ур. (17.50): P _o = (100 кПа) + [(0,5 · 1,2 кг м ^–3 )·(100 м с ^–1 ) ² ]·(1 кПа/1000Па)= 106 кПа

F _NET = ∆P · A = (6 кН M ^–2 ) · (15 М ² ) = 90 кН

6667777777777777777 год. Физика ок.

Экспозиция: Эта сила эквивалентна весу более 1000 человек и действует на все стены и крышу. Этого достаточно, чтобы снести всю крышу дома. Потом стены рушатся, а крыша падает на пол.

Спрятаться в подвале. Быстро.

Предыдущие три уравнения показывают, что увеличение давления из-за стагнации (∆P = P _o – P _s ) мало (∆P < 0,25 кПа) по сравнению с атмосферным давлением окружающей среды (P _s = 100 кПа ) для скоростей ветра М _с < 20 м с ^–1 .

Динамические эффекты затрудняют измерение статического давления на ветру. Когда ветер попадает на датчик давления, он замедляется и вызывает увеличение давления. По этой причине приборы статического давления спроектированы таким образом, чтобы свести к минимуму замедление потока и динамические ошибки за счет наличия портов давления (отверстий) по сторонам датчика, где нет потока к датчику или от него.

Динамическое давление можно использовать для измерения скорости ветра. Инструментом, который делает это, является трубка Пито . Авиационные приборы измеряют давление застоя, когда трубка Пито обращена вперед к потоку, и статическое давление, когда другой порт обращен к потоку сбоку, чтобы свести к минимуму динамические эффекты. Затем прибор вычисляет «приведенную воздушную скорость» по уравнению. (17,49 или 17,50) с использованием перепада давления Пито – статического давления .

Во время смерчей и ураганов, если сильный ветер сталкивается с открытой дверью гаража или окном дома, ветер, стремящийся проникнуть в здание, вызывает динамическое увеличение давления внутри здания. Как обсуждается в Примере применения, результирующая разность давлений на крыше и стенах здания может привести к тому, что они взорвутся так быстро, что будет казаться, что здание взорвется. 9{1 / 2}\tag{17.42}\end{align}\)

, где k = C _p /C _v — отношение удельных теплоемкостей воздуха, ℜ — постоянная закона идеального газа, а T является абсолютной температурой. [См. вставку INFO в Главе 3, раздел 3.2.3, для обзора удельных теплоемкостей при постоянном давлении C _p и постоянном объеме C _v .] Для сухого воздуха константы таковы: k = C _pd /C _vd = 1,4 и ℜ _d = 287,053 (m ² с ^–2 )·K ^–1 . Таким образом, скорость звука увеличивается пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры.

Скорость M любого объекта, например самолета или воздушной посылки, можно сравнить со скоростью звука:

\(\ \begin{align} M a=M / c\tag{17.43}\end{align }\)

где Ма - безразмерное число Маха . Таким образом, объект, движущийся со скоростью 1 Маха, движется со скоростью звука.

Рис. 17.д. Скорость звука в сухом воздухе.

17.9.2.2. Эффект Вентури

Уравнение Бернулли говорит, что если скорость увеличивается в области сужения потока, то давление уменьшается. Это называется 9{2}\right]\tag{17.52}\end{align}\)

К сожалению, щелевые потоки часто не имеют постоянной глубины, потому что температурная инверсия, закрывающая эти потоки, является не жесткими крышками.

Образец заявки

Если полоса ветра шириной 20 км и скоростью 5 м с ^–1 должна сжаться, чтобы пройти через щель шириной 2 км, каково падение давления в щели по сравнению с потоком без щели?

Найдите ответ

Дано: D _s = 20 км, D _д = 2 км, М _с = 5 м с ^–1 .

Найти: M _d = ? м с ^–1 .

Допустим: ρ = 1,2 кг·м ^–3 .