Уравнение для чайников: Дифференцированные уравнения для чайников. Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача коши

Теорема Виета и обратная формула Виета для чайников

О чем статья

Что такое теорема Виета

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .

Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .

По формулам корней квадратного уравнения:

, .

1. Найдём сумму корней:

.

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

= .

Шаг 1. Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

= = .

Шаг 2. У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

= = . Сокращаем дробь на 2 и получаем:

.

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

=

= = = = = .

Докажем это уравнение:

.

Шаг 1. Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

.

Шаг 2. Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:

.

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

= .

Шаг 3. Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:

= .

Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

.

Шаг 5. Сокращаем «4a» и получаем .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа и такие:

и , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

;

.

Шаг 3. Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

или . Откуда и получается: или .

Примеры с решениями по теореме Виета

Пример 1

Задание

Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения , не находя корней уравнения.

Решение

Шаг 1. Вспомним формулу дискриминанта . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, , – это заменяет , а . Отсюда следует:

. Получается:

. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение .

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

.

Ответ

7; 12; 25.

Пример 2

Задание

Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

и

Пример 3

Задание

Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:

Решение

. Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.

Ответ

Нет корней.

Пример 4

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

, а произведение .

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше: 

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
2. Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
3. Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений

На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Для краткости их часто называют просто линейными уравнениями. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.

Начнем с систематизации и повторения.

На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения 

любоедифференциальное уравнение первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, которые мы рассмотрели на первом уроке – Дифференциальные уравнения первого порядка. Советую посетить этот урок чайникам и всем читателям, которые чувствуют, что их знания и навыки в теме пока не очень хороши.

Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем,  а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и образцами решения однородных уравнений можно ознакомиться на втором уроке – 

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение второго порядка.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид: Что мы видим? 1) В линейное уравнение входит первая производная . 2) В линейное уравнение входит произведение , где  – одинокая буковка «игрек» (функция), а  – выражение, зависящее 

только от «икс». 3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение , тоже зависящее только от«икс». В частности,  может быть константой.

Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака.

Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные  модификации линейного уравнения.

– Как уже отмечалось, выражение  может быть некоторой константой  (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид: 

– Выражение  тоже может быть некоторой константой , тогда линейное уравнение принимает вид: . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще:  или .

– Рядом с производной может находиться множитель , зависящий только от «икс»:  – это тоже линейное уравнение.

Поехали.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .

Как решить линейное уравнение?

Существуют два способа решения. Первый способ – это так называемый метод вариации произвольной постоянной. Второй способ связан с заменой переменной, его также иногда называют методом Бернулли. В данной статье я не буду рассматривать метод вариации произвольной постоянной. Нет, он не сложнее,  дело в том, что его значительно труднее объяснить, поэтому как-нибудь в другой            раз. А вот метод замены переменной алгоритмически прост и понятен, и решение уравнения принимает чёткий трафаретный характер.

В который раз у меня хорошая новость! Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой:

, где  и  – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».

Коль скоро проводится замена , то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем  и  в наше уравнение :

В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «у» и «вэ», которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие действия.

После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах: У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:

Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:

Приравниваем к нулю то, что находится в скобках: .

Если , тогда из нашего уравнения  получаем:  или просто .

Уравнения записываем в систему: .

Именно в таком порядке.

Система опять же решается стандартно.

Сначала из первого уравнения находим функцию . Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, поэтому его решение я приведу без комментариев.

Функция  найдена. Обратите внимание, что константу  на данном этапе мы не приписываем. 

Далее подставляем найденную функцию  во второе уравнение системы :

Да тут ништяк, экспоненты сокращаются, и получается диффур, даже не простейший, а для студенток муз-педа.

Из второго уравнения находим функцию . Функция  найдена. А вот здесь уже добавляем константу .

Ха. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось: .  Обе функции найдены:   

Записываем общее решение:

В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:

Ответ: общее решение 

Проверка выполняется по той же технологии, которую мы рассматривали на уроке

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Берём полученный ответ  и находим производную:

Подставим  и  в исходное уравнение : Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно.

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения 

Решение: Данное уравнение имеет «классический» вид  линейного уравнения. Проведем замену:  и подставим  и  в исходное уравнение :

После подстановки проведем вынесение множителя за скобки,  какие два слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли:

Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках: , автоматически получая и второе уравнение системы:

В результате: .

Из первого уравнения найдем функцию :  – найденную функцию   подставим во второе уравнение системы : Теперь находим функцию . Уравнение опять получилось простенькое:

Обе функции найдены:  Таким образом: Общее решение: 

Ответ: общее решение: 

Желающие могут выполнить проверку, для проверки в ответе лучше предварительно раскрыть скобки.

Пример 3

Найти общее решение дифференциального уравнения 

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Если у вас возникли (или возникнут) проблемы технического характера, пожалуйста, вернитесь к первому уроку Дифференциальные уравнения первого порядка.

Как видите, алгоритм решения линейного уравнения довольно прост. В чем особенность решения линейных уравнений? Особенность состоит в том, что практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие, например, от однородных уравнений, где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде общего интеграла. 

Рассмотрим что-нибудь с дробями

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию 

Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик.

Обратите внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого в данном случае можно не делать, но я все-таки  рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде :

Данное ДУ является линейным, проведем замену:  Типовой вынос за скобки:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :  – подставим найденную функцию во второе уравнение системы и найдем функцию :

Здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала.

Обе функции найдены, таким образом, общее решение:

На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Как находить частное решения для диффура первого порядка, мы очень подробно рассмотрели на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка.

В данном случае:

Ответ: частное решение: 

А вот проверку частного решения еще раз повторим. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие ?  – да, начальное условие выполнено.

Теперь берём полученный ответ  и находим производную. Используем правило дифференцирования частного:

Подставим  и  в исходное уравнение : Получено верное равенство, значит, задание выполнено верно.

Пример 5

Найти решение задачи Коши , 

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Перейдем к рассмотрению «частных видов» линейных уравнений, о которых шла речь в начале урока.

Пример 6

Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения , 

Решение: В данном уравнении слагаемые опять не на своих местах, поэтому сначала пытаемся максимально близко приблизить диффур к виду :

Что здесь особенного? Во-первых, в правой части у нас константа . Это допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель , который зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает быть линейным.

Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом начале.

Проведем замену: 

Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам слагаемых недоступно:

Вот теперь проводим вынесение множителя скобки: Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию , но еще и «икс». Всё, что можно вынести за скобки – выносим.

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :  – подставим во второе уравнение системы:

Таким образом, общее решение:  Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение: 

Пример 7

Найти частное решение ДУ , 

Это пример для самостоятельного решения.

Какие трудности встречаются в ходе решения линейного уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении функции  (в то время как с нахождением функции  обычно проблем не возникает).

Рассмотрим пару примеров с такими интегралами.

 Пример 8

Найти общее решение ДУ

Решение: Сначала приводим линейное уравнение к родному виду : 

Уравнение кажется простым, но, как я уже отмечал, впечатление может быть обманчивым. Не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным, а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы.

Проведем замену:  Составим и решим систему: .

Из первого уравнения найдем :  – подставим найденную функцию во второе уравнение:

Такой интеграл, кстати, еще нигде не встречался в моих уроках. Он берется по частям. Вспоминаем формулу интегрирования по частям: . Но, вот незадача, буквы  и  у нас уже заняты, и использовать те же самые буквы в формуле – не есть хорошо. Что делать? Используем ту же формулу, но с другими буквенными обозначениями. Можно выбрать любые другие буквы, я привык записывать правило с «а» и «бэ»:

Интегрируем по частям:

Если возникли трудности или недопонимание, освежите знания на уроках Метод замены переменной и Интегрирование по частям.

Таким образом:

Ответ: общее решение: 

Давненько я не вспоминал интегрирование по частям, даже ностальгия появилась. А поэтому еще один пример для самостоятельного решения. Какой пример? Конечно же, с логарифмом! Ну а чего еще от меня можно было ожидать? =)

Пример 9

Найти общее решение дифференциального уравнения

В предложенном примере проявлена небольшая вольность для любознательных фанатов матана. Нет, алгоритм остался точно таким же, просто я сразу начал решать диффур, не перенеся предварительно  в правую часть. Полное решение и ответ в конце урока.

В моей коллекции есть уравнения и с более трудными интегралами, но сейчас речь идет о дифференциальных уравнениях. В этой связи я намеренно не включил в урок такие задачи, все-таки интегралы изучаются в другой теме.

Надеюсь, мои примеры и объяснения были полезны, до скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену:  Составим и решим систему: Из первого уравнения найдем :  – подставим во второе уравнение системы: Таким образом:  Ответ: общее  решение: 

Пример 5: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:  Составим и решим систему:  .   Из первого уравнения найдем :  – подставим во второе уравнение системы: Общее решение:  Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: Ответ: частное решение: 

Пример 7: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:  (раскрыли только левые скобки!) Составим и решим систему:  .  Из первого уравнения найдем :  – подставим во второе уравнение: (Примечание: здесь использовано основное логарифмическое тождество:  ). Таким образом, общее решение: Найдем частное, соответствующее заданному начальному условию: Ответ: частное решение:

Пример 9: Решение: Данное ДУ является линейным, проведем замену:  Решим систему: Из первого уравнения найдем :    – подставим во второе уравнение: Интегрируем по частям: Таким образом:  Ответ: общее решение: 

83

Основы решения уравнений алгебры I

Авторы: Мэри Джейн Стерлинг и

Обновлено: 26 марта 2016 г. )

Алгебра I: 1001 практических задач для чайников (+ бесплатная онлайн-практика)

Исследуйте книгу Купить на Amazon

Одна из самых распространенных задач в алгебре I — решить уравнение. Решение уравнения означает определение числа или чисел, которыми можно заменить переменную, чтобы сделать утверждение верным. Вы обнаружите, что разложение на множители и свойство умножения нуля будут вашим первым подходом, а затем вы также будете иметь квадратную формулу для использования в некоторых из более сложных уравнений второй степени. Многочлены можно решать с помощью синтетического деления, чтобы облегчить факторинг.

Линейные уравнения

линейные уравнения имеют форму AX + B = C , , где x является некоторым переменным, и A , B , и C C1. Чтобы решить линейное уравнение, вы выполняете ряд против с :

• Если к термину, содержащему x , , добавить число, вы вычтете это число из обеих частей уравнения.

• Если число вычитается из термина, содержащего переменную, вы добавляете.

• Если число умножается на переменную, вы делите.

• Если число делит переменную, вы умножаете.

Просто убедитесь, что все, что вы делаете с одной частью уравнения, вы делаете и с другой. Думайте об уравнении как о двух выражениях, вращающихся по обе стороны шкалы баланса: вам нужно удерживать стороны на одном и том же уровне вес т .

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0. Уравнение может иметь два решения, только одно решение (двойной корень) или не иметь решений среди действительных чисел. Там, где реального решения нет, в картину вводятся мнимые числа. Квадратные уравнения легче всего решаются с помощью трехчленных множителей, но квадратная формула также является хорошим средством для поиска решений.

Многочлены

Многочлен — это гладкая кривая, которая продолжается бесконечно, от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Решить полином означает установить уравнение равным 0 и определить, какие числа, если таковые имеются, создают истинное утверждение. Любые числа, удовлетворяющие этому уравнению, дают вам важную информацию: они говорят вам, где график многочлена пересекает или касается оси x – .

Об этой статье

Эта статья из книги:

• Алгебра I: 1001 практических задач для чайников (+ бесплатная онлайн-практика),

много других книг

For Dummies . Она преподавала в Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет, преподавая алгебру, бизнес-расчеты, геометрию и конечную математику.

Этот артикул находится в категории:

• Алгебра,

Дифференциальные уравнения для чайников | Уайли

• Загрузить флаер продукта
• Описание
• Об авторе
• Разрешения
• Содержание

Выбранный тип: Электронная книга

21,9 австралийских долларов9

^* Цена и налог информация

Стивен Хольцнер

ISBN: 978-0-470-39566-0 июнь 2008 г. 368 страниц

• Электронная книга

  Всего от 21,9 австралийских долларов9

• Печать

  Всего от 32,95 австралийских долларов

Электронная книга com, you will access either Wiley Reader or the VitalSource Bookshelf Software.</li> <li>E-books have DRM protection on them, which means only the person who purchases and downloads the e-book can access it.</li> <li>E-books are non-returnable and non-refundable.</li> <li>To learn more about our e-books, please refer to our&nbsp;<a href="https://www.wiley.com/wiley-ebooks" target="_blank">FAQ</a>.</li> </ul> ” data-original-title=”” title=””/>

21,99 австралийских долларов

Мягкая обложка

32,95 австралийских долларов

Загрузить рекламный проспект

Загрузить рекламный проспект

Загрузить флаер продукта для загрузки PDF в новой вкладке. Это фиктивное описание. Загрузить флаер продукта — загрузить PDF в новой вкладке. Это фиктивное описание. Загрузить флаер продукта — загрузить PDF в новой вкладке. Это фиктивное описание. Загрузить флаер продукта — загрузить PDF в новой вкладке. Это фиктивное описание.

Описание

Увлекательный и простой способ понять и решить сложные уравнения

Многие фундаментальные законы физики, химии, биологии и экономики можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений. В этом простом английском руководстве рассматриваются многие области применения этого математического инструмента и показано, как дифференциальные уравнения могут помочь нам понять окружающий мир. Дифференциальные уравнения для чайников является идеальным компаньоном для курса дифференциальных уравнений в колледже и является идеальным дополнительным ресурсом для других классов исчисления, а также курсов науки и техники. Он предлагает пошаговые методы, практические советы, многочисленные упражнения и четкие, краткие примеры, которые помогут читателям улучшить свои навыки решения дифференциальных уравнений и повысить свои результаты тестов.

Об авторе

Стивен Хольцнер — отмеченный наградами автор книг по естественным наукам, математике и техническим наукам. Он изучал дифференциальные уравнения в Массачусетском технологическом институте и в Корнельском университете, где получил степень доктора философии. Он работал преподавателем в Массачусетском технологическом институте и Корнельском университете и написал такие бестселлеры, как «Физика для чайников», и «Рабочая тетрадь по физике для чайников».

Разрешения

Запросить разрешение на повторное использование контента с этого сайта

Содержание

Введение.

Часть I. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Глава 1: Добро пожаловать в мир дифференциальных уравнений.

Глава 2. Рассмотрение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Глава 3. Разбор сепарабельных дифференциальных уравнений первого порядка.

Глава 4. Изучение точных дифференциальных уравнений первого порядка и метода Эйлера.

Часть II: Обзор дифференциальных уравнений второго и более высокого порядка.

Глава 5. Исследование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Глава 6. Изучение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Глава 7. Обработка линейных однородных дифференциальных уравнений высшего порядка.

Глава 8. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высшего порядка.

Часть III: Власть: передовые методы.

Глава 9. Серьёзное отношение к степенным рядам и обычным точкам.