Метод Крамера в Scilab | Презентация к уроку по информатике и икт на тему:
Слайд 1
Авторы проекта: Зыбина А.С. Пашикина С.И . Решение систем линейных уравнений с несколькими неизвестными методом Крамера в программе Scilab . Интегрированное занятие для дисциплин информатика и математика в СПО.
Слайд 2
Основные понятия Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: где – неизвестные, – коэффициенты ( ), – свободные члены. Тройка чисел называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными , если при подстановке их в уравнения системы вместо получают верные числовые равенства. Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной . Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной . Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют определенной ; если решений больше одного, то – неопределенной .
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной , в противном случае – неоднородной .
Слайд 3
Метод Крамера Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: (1) в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а определители получаются из определителя системы ∆ посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов. Теорема (правило Крамера ). Если определитель системы ∆≠0 , то рассматриваемая система (1) имеет одно и только одно решение, причём
Слайд 4
Решите систему методом Крамера : Решение: Вычислим определитель системы: Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера . Составим и вычислим необходимые определители :
Слайд 5
Решим систему методом Крамера : Находим неизвестные по формулам Крамера : Ответ:
Слайд 6
Решение систем линейных уравнений в программе SCILAB Для решения подобных систем уравнений в Scilab существует функция linsolve .
Обращение к ней выглядит следующим образом: linesolve ( K,k ) . K — таблица, составленная из коэффициентов уравнений системы, причем она сформирована таким образом, что каждая строка представляет собой список коэффициентов одного из уравнений системы, а каждый столбец — список коэффициентов при одноименных переменных, то есть если первым элементом в первой строке является коэффициент при y , то первыми элементами других строк также должны быть коэффициенты при y в соответствующих уравнениях. Общий вид K : K =
Слайд 7
Для решаемой системы: К= k — столбец, содержащий свободные (стоящие после знака «=») коэффициенты. Примечание: при задании в Scilab k должен быть именно столбцом , поэтому перечисление переменных нужно делать через «;» Общий вид: Для решаемой системы k = к = :
Слайд 8
После того как элементы списков K и k определены, приступим к решению системы в Scilab
Слайд 10
Второй корень ( 5.888D-16 ) нужно округлить. Получится 0. Таким образом, решение системы принимает вид: (4; 0; -1).
2+n-72)=1/(n+9)Правило Крамера для решения одновременных уравнений
В этом разделе вы узнаете, как решать систему одновременных уравнений с помощью правила Крамера.
Рассмотрим следующую систему трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z.
A 11 x + A 12 Y + A 13 Z = B 1
A 21 x + A 22 Y + A 23 Z = B 2
а 31 х + а 32 y + a 33 z = b 1
Теперь мы можем записать следующие определители, используя приведенные выше уравнения.
Тогда, правило Крамера, чтобы найти значения x, y и z:
x = Δ 1 /Δ
y = Δ 2 /Δ
z = Δ 3 /Δ
Если Δ = 0, система несовместна и имеет решение.
Пример 1:
Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера:
5x − 2y + 16 = 0
x + 3y − 7 = 0
Решение:
5x − 2y = -16 ——(1)
6 х 3 х 3 900 900 900 900 7 ——(2)По правилу Крамера,
x = Δ 1 / Δ = -34/17 = -2
y = 5 9 Δ 29000 17 = 3
Итак, значения x и y равны 2 и 3 соответственно.
Пример 2:
Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера:
(3/x) + 2y = 12
(2/x) + 3y = 13
Решение:
let 1/x = x 1.
Тогда
3x 1 + 2y = 12
2x 1 + 3y = 13
по правилу Cramer,
x 1 = Δ 1 /Δ = 10/5 = 2
1/x = 2 — –> x = 1/2
y = Δ 2 / Δ = 15/5 = 3
Итак, значения x и y равны 1/2 и 3 соответственно.
Пример 3:
Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Cramer:
3x + 3y – z = 11
2x – Y + 2Z = 9
4x + 3y + 2z = 25
666. Решение:
Δ = 3(-2-6) – 3(4-8) – 1(6+4)
= 3(-8) – 3(-4) – 1(10)
= -24 + 12 – 10
= -34 + 12
= -22
Δ 1 = 11(-2-6) – 3(18-50) = 1(27+25)
2 (-8) – 3(-32) – 1(52)= -88 + 96 – 52
= -140 + 96
Δ 1 = -44
Δ 2 = 5 – 0 – 1 (54) – 1 – 1 36)
= 3 (-32) -11 (-4) -1 (14)
= -96 + 44 -14
= -110 + 44
Δ 2 = -66
Δ 3 = 3(-25 – 27) – 3(50 – 36) + 11(6 + 4)
= 3(-52) – 3(14) + 11(10)
= -156 – 42 + 110
= -198 + 110
Δ 3 = -88
По правилу Крамера
z = Δ 3 /Δ = -88/(-22) = 4
Итак, значения x, y и z равны 2, 3 и 4 соответственно.
Пример 4:
Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера:
(3/x) – (4/y) – (2/z) – 1 = 0 + (2/y) + (1/z) – 2 = 0
(2/x) – (5/y) – (4/z) + 1 = 0
Решение:
Пусть 1/x = a, 1/y = b и 1/z = c
3a – 4b + 2c = 1 —–(1)
a + 2b + c = 2 —–(2)
2a – 5b – 4c = -1 —–(3 )
Δ = 3(-8+5) + 4(-4-2) – 2(-5-4)
= 3(-3) + 4(-6) – 2(-9)
= -9 – 24 + 18
Δ = -15
Δ 1 = 1(-8+5) + 4(-8+1) -2(-10+2)
= 1(-3 ) + 4(-7) – 2(-8)
= -3 – 28 + 16
Δ 1 = -15
Δ 2 = 3(-8+1) – 1(-4 = 2) – 2(-1-4)
3(-7) – 1(-6) – 2(-5)
= -21 + 6 + 10
= -21 + 16
Δ 2 = -5
= 3 9 (-2+10) + 4(-1-4) + 1(-5-4)
= 3(8) + 4(-5) + 1(-9)
= 24 – 20 – 9
= -5
Δ 3 = -5
По правилу Крамера,
a = Δ 1 /Δ = -15/(-15) = 1
b = Δ 2 /Δ = -5/(-15) = 1/3
c = Δ 3 /Δ = -5 /(-15) = 1/3
Тогда
x = 1/a = 1/1 = 1
y = 1 / (1/3) = 3
z = 1 / (1/3) = 3
Итак, значения x, y и z равны 1, 3 и 3 соответственно.
Если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, помимо материалов, указанных выше, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Пожалуйста, присылайте свои отзывы на [email protected]
Мы всегда ценим ваши отзывы.
©Все права защищены. onlinemath5all.com
Правило Габриэля Крамера
Применение закона напряжения Кирхгофа к каждой петле в схеме гитарного усилителя приводит к одному уравнению на петлю. Эти уравнения необходимо решать одновременно, чтобы определить искомый ответ, которым обычно является выходное напряжение как функция входного напряжения. Давайте рассмотрим пример и решим его, используя грубый, но работающий метод, известный как простая замена. Позже мы продемонстрируем, как концепция, называемая правилом Крамера, может облегчить жизнь и сделать ее менее подверженной математическим ошибкам.
Проблема
Рассмотрим звуковой стек Sovtek MIG 50 Master Volume, который такой же, как у Fender Bassman 5F6-A, за исключением номиналов партий.
На низких частотах конденсатор с отводом высоких частот действует как разомкнутая цепь. Если мы установим регуляторы высоких и средних частот на минимум, а регулятор низких частот на максимум, то эффективная схема показана ниже. Какова связь между выходным напряжением и входным напряжением в этих условиях?
Новый! Электроника гитарного усилителя: Fender Deluxe – от передней панели телевизора до узкой панели, от коричневой до черной реверберации |
Раствор
Для MIG 50 значения деталей следующие: R 1 = 51 кОм, C 1 = 0,022 мкФ и C 2 = 0,047 мкФ. С регулятором низких частот 1M на максимуме и регулятором средних частот 25k на минимуме они включены последовательно и, таким образом, образуют эквивалентное сопротивление R 9.0008 БМ = 1,025М. Формируем две петли, одну для текущего i 1 и другую для i 2
Сопротивления конденсаторов чисто мнимые.
(Верно, но какое странное заявление, вырванное из контекста!) Для частоты 100Гц, например, они
В первом контуре происходит одно повышение напряжения: входное напряжение. Есть два падения напряжения из-за R 1 и Z 2 , которые по закону Ома представляют собой полное сопротивление, умноженное на ток. Обратите внимание, что Z 2 имеет падение напряжения, вызванное током i 1 в первом контуре, но повышение напряжения вызвано током i 2 во втором контуре, который течет в противоположном направлении через конденсатор. Следовательно, ток i 2 необходимо вычесть из i 1 при определении падения напряжения. Согласно закону напряжения Кирхгофа, сумма повышений напряжения равна сумме падений напряжения:
Обратите внимание, что на втором шаге мы объединили токи вместе. Обычно это самая удобная форма.
Во втором контуре скачков напряжения нет, а падение напряжения на Z 2 обусловлено током i 2 минус ток i 1 :
Нас интересует выходное напряжение, которое по закону Ома равно R BM умножить на i 2 .
Итак, мы используем уравнение для второго цикла, чтобы получить
а затем подставить этот результат в уравнение для первого контура, тем самым исключив неизвестный ток i 1 что нам не нужно знать. Теперь у нас есть входное напряжение как функция только от тока i 2 .
что упрощает до
Мы переформулируем уравнение, чтобы вычислить ток как функцию входного напряжения:
По закону Ома выходное напряжение равно R BM i 2 .
Мы добились своего результата. Теперь у нас есть выходное напряжение как функция входного напряжения и импеданса. Неуклюжая процедура, которую мы использовали, устраняя один из неизвестных токов путем замены, была так же привлекательна, как холодная пайка на револьверной плате.
Электроника гитарного усилителя: основная теория
– освоить основы проектирования предусилителя, усилителя мощности и блока питания. |
Помимо низкой эстетической ценности, подобная процедура делает вас склонными к ошибкам. Что нам нужно, так это более элегантный подход, который с меньшей вероятностью приведет к ошибкам. Полномасштабная матричная математика является окончательным методом в этом отношении, но для ламповых усилителей вполне достаточно метода, известного как правило Крамера.
Правило Крамера
Правило Габриэля Крамера обрабатывает 90 процентов уравнений, которые мы видели в нашей задаче Sovtek MIG 50. Мы используем закон Кирхгофа о напряжении для обоих контуров, как и раньше. Тогда правило Крамера дает нам ток i 2 во втором контуре как функцию входного напряжения. В этот момент все, что мы делаем, это применяем закон Ома, чтобы получить результат.
Вот как это работает.
Нам все еще нужно применить закон Кирхгофа о напряжении к двум петлям. Каждое из двух результирующих уравнений имеет одно или несколько повышений напряжения, вызванных источниками напряжения, и падения напряжения, вызванные импедансами и токами.
Любое из напряжений может быть равно нулю. Каждое из импедансов Z 11 , Z 12 , Z 21 и Z 22 может быть единичным значением, суммой импедансов или нулем.
Основы проектирования систем гитарных усилителей – спроектируйте свой усилитель, используя структурированную профессиональную методологию. |
Мы складываем эти два уравнения в матрицу, подобную этой
Математикам эта матрица говорит ровно то же самое. Это просто выражает наши два отдельных уравнения как одно большое уравнение только с одним знаком равенства. В матрице импеданса есть две диагонали, одна идет от верхнего левого угла Z 11 к нижнему правому углу Z 22 . Вторая диагональ идет от нижней левой точки Z 21 до верхней правой точки Z 9.
Обычно нас интересует только один из неизвестных токов, поэтому нужен только один дополнительный определитель. Чтобы вычислить i 1 , мы заменяем столбец напряжений первым столбцом матрицы:
Чтобы получить i 2 , подставляем напряжения во второй столбец:
Тогда неизвестные токи
Электроника гитарного усилителя: моделирование цепей – узнайте, работает ли ваша конструкция, измеряя производительность в каждой точке усилителя. |
Проблема
Снова решите проблему со стеком Sovtek MIG 50, но на этот раз с помощью правила Крамера.
Решение
Мы использовали закон Кирхгофа о напряжении, чтобы получить следующие формулы для первого и второго контуров:
Таким образом, матрица импеданса
Определитель
что упрощает до
Чтобы получить i 2 , подставляем столбец напряжений во второй столбец матрицы и вычисляем определитель.