Уравнение по формуле крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Разработка урока по алгебре в 7 классе по теме «Нестандартный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными»

Автор: Бородина Марина Юрьевна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №33 (167) август 2017 г.

Дата публикации: 22.08.2017 2017-08-22

Статья просмотрена: 1074 раза

Скачать электронную версию

Скачать Часть 1 (pdf)

Библиографическое описание:

Бородина, М. Ю. Разработка урока по алгебре в 7 классе по теме «Нестандартный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными» / М. Ю. Бородина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 33 (167). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/167/45372/ (дата обращения: 27.10.2022).



В данной статье предлагается разработка урока алгебры в 7 классе по учебнику А. Г. Мордковича. Школьникам скоро предстоит сдавать экзамены, и многие из них хотят, как можно хорошо и быстро научиться решать задачи. И в таких случаях можно применять нестандартные решения. Задания: «Решить систему уравнений» входят в задания экзамена как после 9 класса, так и после 11 класса. Данное изучение лучше применить на втором уроке в теме «Решение систем уравнений способ сложения».

Цель: Познакомиться с нестандартным решением систем линейных уравнений.

Задача: Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера и сравнить с другими методами решения.

Ход урока

1. Сегодня на уроке мы рассмотрим нестандартный способ решения систем уранений с двумя переменными и сравним данный способ решения с другими решенями. Но сначала повторим темы прошлых уроков:

– Что значит «решить систему линейных уравнений»? (Найти все его корни, или показать, что их нет.)

– Что является решением системы с двумя переменными? (Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.)

– Какие способы решения систем уравнений мы применяли? (способ сравнения; графический способ; способ подстановки; способ сложения)

К доске вызываются четыре ученика и решают систему различными способами, а остальные по вариантам. После решения ученики рассказывают алгоритм решения, в случае затруднения помогает класс.

2. При решении систем уравнений с двумя переменными можно применить еще один способ, применяя метод Крамера. Габриэль Крамер (Gabriel Cramer) (31. 07.1704 — 04.01.1752). Швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры.

Данный метод значительно ускоряет процесс решения систем линейных уравнений и очень удобно применять его для систем с громоздкими вычислениями.

Метод Крамера применяется в Высшей математике при решении системы линейных уравнений с тремя неизвестными или решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Вам будет интересно научиться применять решение, не просто школьного курса, а решение, которые применяют студенты первых курсов высших заведений.

В данном методе при решении используют понятие определителя системы:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается Δ(дельта) и вычисляется по формуле.

где, _, — заданные числа_; х и у- неизвестные, числа — называются коэффициентами, а числа — свободными членами.

Δ = = а₁₁ · а₂₂ — а₁₂ · а₂₁.

Для нахождения неизвестных н6ам нужно найти еще два определителя и , путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

= = в₁ · а₂₂ — а₁₂ · в₂.

= а₁₁ · в₂ — в₁ · а₂₁.

Формула Крамера для нахождения неизвестных: х = ; у = .

Найти значения неизвестных можно только при условии, когда определитель не равен нулю (Δ≠0).

Замечание: если определитель системы равен нулю, то система может иметь бесконечно много решений или не имеет решений.

Пример:

Δ = = 3·4–2·5 = 12–10=2≠0

Найдем еще два определителя и , путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

= 2;

Формула Крамера для нахождения неизвестных: х = ; у = . Ответ: (1;-2).

3. Решите систему уравнений способ сложения и методом Крамера:

а) ; б) ; в)

Решив системы, сделаем вывод: какой способ решается быстрее и легче?

– способ сравнения: выразим переменную у через х, решим уравнение через х, приравняв правые части уравнения, и найдем переменную у;

– графический способ: выразим переменную у через х, построим график. Но на графике не всегда можно увидеть точное решение;

– способ подстановки: выразим одну переменную через другую, подставим и решим уравнение, найдем другую переменную;

– способ сложения: умножим уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными; сложим левые и правые части уравнений системы; решим получившееся уравнение с одной переменной и найдем другую переменную;

– методом Крамера: по формулам найдем три определителя и переменные.

При рассмотрении решений несколькими способами ученики убеждаются, что метод Крамера упрощает время и трудности вычисления для нахождения неизвестных в решении систем уравнений.

4. Итоги урока:

— Сегодня на уроке мы обобщили все методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

— Какие способы решения вы знаете?

— Каким бы способом вы решали системы уравнений и почему?

— А какой способ решения вы бы применили на экзамене?

5. Домашнее задание: 1225(а, б), 1226.

Литература:

1. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И. и др. Алгебра 7 класс. Учебник. –М.: Просвещение 3-е изд. — М.: 2014. — 256 с.

2. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшее математике. 1 часть.- второе издание, испр.- М: Айрис-пресс, 2003.-288с.: ил.
3. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. математика: учебное пособие для техникумов. -М.: Высшая школа, 1991 480 с: ил.
4. Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры. — М: Просвещение, 1990–224с., ил.

Основные термины (генерируются автоматически): нахождение неизвестных, переменная, определитель системы, решение систем уравнений, решение системы, способ сложения, уравнение, графический способ, замена коэффициентов, какой способ решения.

Похожие статьи

Способы решения квадратных уравнений

Стандартные способы решения

квадратных уравнений из школьной программы

6. Решение уравнений способом “переброски”. Рассмотрим квадратное уравнение ах2

“Перебросим” коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0.

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных

уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона…

Оптимальные

способы решения квадратных уравнений

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Линейные

уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений. При решении уравнений используют свойства

Разделить обе части на коэффициент при переменной. Рассмотрим решение уравнения

Методическая разработка по математике. Тема: «

Решение…»

Рассмотрим решение систем показательных уравнений. Для решения необходимо преобразовать уравнения системы к более простому виду.

Преобразуем 2 уравнение системы к более простому виду: Введем новую переменную, т. к. 9 = и.

Аппроксимация полиномов n степени

методом наименьших…

Решим систему. Найдём определитель системы

Задача сводится к решению системы уравнений

Результат решения системы можно наблюдать в работе оконного приложения на языке программирования C#.

Введение адаптивных

методов обучения при решении…

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту…

Качественное исследование двумерной

системы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. (1).

Свойство 2. При нечетном и система (1) инвариантна при замене и на и .

Теорема 1. Пусть нечетные числа и , или , тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Способы решения квадратных уравнений

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы

6. Решение уравнений способом “переброски”. Рассмотрим квадратное уравнение ах2

“Перебросим” коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0.

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона…

Оптимальные

способы решения квадратных уравнений

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Линейные

уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений. При решении уравнений используют свойства

Разделить обе части на коэффициент при переменной. Рассмотрим решение уравнения

Методическая разработка по математике.

Тема: «Решение…»

Рассмотрим решение систем показательных уравнений. Для решения необходимо преобразовать уравнения системы к более простому виду.

Преобразуем 2 уравнение системы к более простому виду: Введем новую переменную, т. к. 9 = и.

Аппроксимация полиномов n степени

методом наименьших…

Решим систему. Найдём определитель системы

Задача сводится к решению системы уравнений

Результат решения системы можно наблюдать в работе оконного приложения на языке программирования C#.

Введение адаптивных

методов обучения при решении. ..

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту…

Качественное исследование двумерной

системы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. (1).

Свойство 2. При нечетном и система (1) инвариантна при замене и на и .

Теорема 1. Пусть нечетные числа и , или , тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Похожие статьи

Способы решения квадратных уравнений

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы

6. Решение уравнений способом “переброски”. Рассмотрим квадратное уравнение ах2

“Перебросим” коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0.

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона…

Оптимальные

способы решения квадратных уравнений

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Линейные

уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений. При решении уравнений используют свойства

Разделить обе части на коэффициент при переменной. Рассмотрим решение уравнения

Методическая разработка по математике. Тема: «

Решение…»

Рассмотрим решение систем показательных уравнений. Для решения необходимо преобразовать уравнения системы к более простому виду.

Преобразуем 2 уравнение системы к более простому виду: Введем новую переменную, т. к. 9 = и.

Аппроксимация полиномов n степени

методом наименьших…

Решим систему. Найдём определитель системы

Задача сводится к решению системы уравнений

Результат решения системы можно наблюдать в работе оконного приложения на языке программирования C#.

Введение адаптивных

методов обучения при решении…

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту…

Качественное исследование двумерной

системы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. (1).

Свойство 2. При нечетном и система (1) инвариантна при замене и на и .

Теорема 1. Пусть нечетные числа и , или , тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Способы решения квадратных уравнений

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы

6. Решение уравнений способом “переброски”. Рассмотрим квадратное уравнение ах2

“Перебросим” коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0.

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона…

Оптимальные

способы решения квадратных уравнений

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Линейные

уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений. При решении уравнений используют свойства

Разделить обе части на коэффициент при переменной. Рассмотрим решение уравнения

Методическая разработка по математике.

Тема: «Решение…»

Рассмотрим решение систем показательных уравнений. Для решения необходимо преобразовать уравнения системы к более простому виду.

Преобразуем 2 уравнение системы к более простому виду: Введем новую переменную, т. к. 9 = и.

Аппроксимация полиномов n степени

методом наименьших…

Решим систему. Найдём определитель системы

Задача сводится к решению системы уравнений

Результат решения системы можно наблюдать в работе оконного приложения на языке программирования C#.

Введение адаптивных

методов обучения при решении. ..

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту…

Качественное исследование двумерной

системы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. (1).

Свойство 2. При нечетном и система (1) инвариантна при замене и на и .

Теорема 1. Пусть нечетные числа и , или , тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Системы линейных алгебраических уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера

Похожие презентации:

СЛУ. Теорема Крамера. Метод обратной матрицы

Обратная матрица. Матричный способ решения линейной системы уравнений. Формулы Крамера

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, матричным методом, методом Гаусса

Системы линейных алгебраических уравнений

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

Системы линейных уравнений и методы их решения. (Тема 2)

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Линейная алгебра. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Матричные уравнения

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Лекция 4
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Линейное алгебраическое уравнение имеет вид:
Система m уравнений с n неизвестными:
Здесь aij и bi – произвольные числа, которые называются
соответственно коэффициентами системы при переменных xj
и свободными членами, i=1,2,…m, j=1,2…,,n .
• Обозначим матрицы:
• тогда A⋅ Χ = B – запись системы в матричной форме.
• Решением системы называется вектор X , который после
подстановки в систему превращает все ее уравнения в тождества.
• Система называется совместной, если имеет хотя бы одно решение,
и несовместной – если не имеет.
• Совместная система, имеющая единственное решение,
называется определенной, а если она имеет более одного решения то неопределенной.
• Если система неопределенная, то каждое ее решение называется
частным решением системы. Множество всех частных решений
системы называется ее общим решением.

Решить систему – это, значит, выяснить, совместна ли она,
а в случае совместности, найти ее общее решение.
Две системы, имеющие одинаковое общее решение
называются эквивалентными.
Система линейных уравнений называется однородной, если
все её свободные члены равны нулю, т.е. b1 = b2 = … = bm = 0
Однородная система является совместной, так как
x1 = x2 = … = xn = 0 всегда является решением системы.
Расширенной матрицей системы называется матрица Ab
системы с присоединенным столбцом свободных членов.
• § 2. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Рассмотрим частный случай системы линейных уравнений
когда m = n
• или в матричной форме A⋅ X = B.
• Основная матрица такой системы квадратная:
• Определитель этой матрицы ∆ называется определителем
системы. Если определитель системы не равен нулю, то
система называется невырожденной.
• Для получения решения исходной системы в этом случае,
предположим, что матрица A невырожденная, т. е.
определитель A ≠ 0, и для нее существует обратная матрица
A−1.
• Умножая обе части равенства A⋅ X = B слева на матрицу A−1,
получаем
• и решением системы будет вектор-столбец X = A−1B.
• Пример. Решить систему уравнений методом обратной
матрицы.

Решение. Представим систему в матричном виде:
• т.е. в матричной форме система имеет вид A⋅ X = B.
Найдем определитель системы A = −7. Так как A ≠ 0, то
матрица A-невырожденная, и для неё существует обратная
матрица – A−1. Для ее нахождения, вначале, транспонируем
матрицу A.
Затем найдем алгебраические дополнения к матрице AT .
Используя формулу X = A−1B, найдем решения системы:
• т.е. решение системы: x1 = 6, x2 = −5, x3 = −3. Произведем
проверку:
§ 3. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА
Матричное равенство X = A−1B запишем в виде
Здесь A1ib1 + A2ib2 +…+ Anibn есть разложение определителя
по элементам i − го столбца.
Тогда имеем
Полученные формулы называются формулами Крамера.
Таким образом, невырожденная система n линейных
уравнений с n неизвестными имеет единственное
решение, которое может быть найдено также по формулам
Крамера.
• Решить систему по формулам Крамера
1 1 3 0
1 2 1 1
2 3 2 2
Решение
=1

English     Русский Правила

линейная алгебра – Использование правила Крамера для системы уравнений с четырьмя переменными

спросил 2 года 8 месяцев назад

Изменено 2 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 219 раз

$\begingroup$

Учитывая следующую систему уравнений: \начать{выравнивать*} ш + х + у &= 3 \\ х + у + г &= 4 \\ х + у + 2z &= 10 \\ ш + х + г &= 20 \конец{выравнивание*} Найдите $w$ по правилу Крамера.
Ответ:
\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 1 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 0 и 1 \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 и 1 \\ 1 и 0 \end{vmatrix} = 1 – (1 – 2) + (0 – 1) \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= – \begin{vmatrix} 0 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ 1 и 0 \end{vmatrix} = -(0 – 2) + (0-1) = 1 \\ \begin{vmatrix} 0 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= – \begin{vmatrix} 0 и 2 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ 1 и 1 \end{vmatrix} = – ( 0 – 2) + (0 – 1) = 1 \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 1 и 1 и 1 \\ 0 и 1 и 1 и 2 \\ 1 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 – 1 + 1 = 1 \\ ш &= \ гидроразрыв { \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} } { 1 } = \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 3 \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} \конец{выравнивание*} \начать{выравнивать*} \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 0 и 0 и 1 \\ 0 и -1 и 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 и 1 \\ -1 и 1 \end{vmatrix} = ( 0 – 1 (-1) ) \\ \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= 4 \begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 1 \\ \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} 6 и 2 \\ 20 и 1 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 6 и 1 \\ 20 и 1 \\ \end{vmatrix} = 4(1-2) – (6 – 40) + 6 – 20 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= 4(-1) – 6 + 40 + 6 – 20 = 16 \\ \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -4 & -4 \\ \end{vmatrix} = 4 \begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 и -4 \\ \end{vmatrix} = 4( 2 + 2 ) = 16 \\ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 6 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} &= 3( 1 ) – 16 + 16 = 3 \\ W &= \frac{3}{1} \\ Вт &= 3 \конец{выравнивание*} У меня есть веская причина решить эту систему уравнений: $(ш,х,у,г) = (5,9,-11,6)$

Где я ошибся?

• линейная алгебра
• системы уравнений
• определитель

$\endgroup$

$\begingroup$

Должно быть: $$w= \фракция{ \begin{vmatrix} 3 и 1 и 1 и 0 \\ 4 и 1 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} } { 1 }=$$

$$ = 3 \begin{vmatrix} 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 2 \\ 1 и 0 и 1 \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 2 \\ 20 и 0 и 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 и 1 и 1 \\ 10 и 1 и 2 \\ 20 и 1 и 1 \end{vmatrix}= $$ $$=3(1+2+0-1-1-0)-(4+40+0-20-10-0)+$$ $$+(4+40+10-20-10-8)=3-14+16=5. $$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

систем линейных уравнений — правило Крамера — 623 слова

Введение

Имя Габриэля Крамера (1704-1752) хорошо знакомо математикам. Крамер был хорошо известен своей страстью к математике, так что в нежном возрасте, когда ему было 18 лет, «он вместе с Каландрини занимал должность заведующего кафедрой математики» (Robertson 3). На этом этапе Крамер воспользовался своим положением, чтобы путешествовать по миру, посещая великих математиков, в том числе Эйлера, Иоганна и Даниила Бернулли. Помимо академического мастерства, он преуспел как редактор. Одной из его популярных публикаций была « Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique » (Robertson 4). Содержание этой книги основано на работах Ньютона о кубических кривых. Таким образом, представив работы Ньютона, он переходит к упрощению понимания этих кривых в следующей главе. В третьей главе Крамер классифицирует кривые относительно форм, и именно здесь он вводит свое знаменитое «правило Крамера». Здесь Крамер применяет несколько произвольных факторов в уравнении порядка n, чтобы проверить свою теорию. С этой целью Крамер «делает вывод, что уравнение степени n можно провести через n точек» (Robertson 5). Чтобы подтвердить свою точку зрения, Крамер принимает цифру 5 для n и демонстрирует, как уравнение может пересекать 5 точек. В своем решении Крамер формулирует пять линейных уравнений и находит решение, используя свою теорию. В этой статье основная цель состоит в том, чтобы продемонстрировать правило Крамера при поиске решений для двух систем, приведенных ниже:

Система 1

Система 2

Метод

Согласно Крамеру, первым шагом является преобразование линейных уравнений в матричную форму.

Для системы 1 линейные уравнения принимают матрицу

=

Таким образом, значения для a, b, c и d могут быть получены с использованием правила Крамера в соответствии с приведенными ниже уравнениями, где определитель обозначен буквой D.

Но D для этой матрицы получается путем уменьшения ее матрицы 4 на 4 до матрицы 2 на 2, как показано ниже.

Аналогично, значение для D _a получается из матрицы

Где первый столбец заменен матрицей ответов , в уравнении (1) выше.

Следовательно,

D _a = 33

Таким образом, a = 1

Для получения D _b второй столбец заменяется на Это дает;

Следовательно,

D _b = 33

Таким образом, b = 1

Чтобы получить D _b , третий столбец заменяется на . Это дает;

Следовательно,

D _c = 33

Таким образом, c = 1

Для получения D _b четвертый столбец заменяется на . Это дает;

Следовательно,

D _d = -33

Таким образом, d = -1

Система 2 следует аналогичной тенденции. Матричное формирование линейных уравнений представлено как:

Аналогичным образом значения p, q, r и s получаются с использованием приведенных выше уравнений 2.

Следовательно, D = 83

С другой стороны, для получения D _p столбец 1 заменяем матрицей для получения матрицы,

Таким образом, D _p = 166 и,

А, p = 166/83 = 2

Для получения D _q столбец 2 равен заменить на матрицу, чтобы получить матрицу

Таким образом, D _q = -166 и,

И, q = -166/83 = -2

Чтобы получить D _r , столбец 3 заменяется матрицей для получаем матрицу,

Таким образом, D _r = 83

А, r = 83/83 =1

Для получения D _s , столбец 4 заменяется матрицей для получения матрицы

Таким образом, D _s = -83

И, s= -83/83 = -1

Вывод

Для системы 1 значения для a, b, c и d равны 1, 1, 1 и -1 соответственно. С другой стороны, для системы 2 значения p, q, r и s равны 2, -2, 1 и -1 соответственно. Когда эти значения заменяются в исходных уравнениях, они подтверждают подлинность правила Крамера.