Уравнения / Натуральные числа и действия над ними / Справочник по математике 5-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Натуральные числа и действия над ними
- Уравнения
Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Например: + 5 = 10. Чтобы решить данное уравнение, требуется найти такое число, при подстановке которого в данное равенство вместо буквы (то есть найти значение переменной), числовое равенство будет верным. В нашем случае вместо необходимо подставить 5. Говорят, что число 5 – корень уравнения + 5 = 10.
| Корень уравнения – это число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство. |
Корень уравнения – это решение уравнения.
Для решения уравнений используют правило нахождения неизвестного:
1) слагаемого: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Решим уравнение + 125 = 200;
= 200 – 125;
= 75.
Ответ: = 75.
2) уменьшаемого: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Решим уравнение – 24 = 36;
= 36 + 24;
= 60.
Ответ: = 60.
3) вычитаемого: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Решим уравнение 135 – = 115;
= 135 – 115;
= 20.
Ответ: = 20.
4) множителя: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Решим уравнение 6 = 42;
= 42 : 6;
= 7.
Ответ: = 7.
5) делимого: чтобы найти неизвестное делимое
Решим уравнение : 12 = 5;
= 5 12;
= 60.
Ответ: = 60.
6) делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
Решим уравнение 184 : = 46;
= 184 : 46;
= 4.
Ответ: = 4.
При решении уравнений проводится проверка решения, для этого найденный корень (или корни) подставляются в уравнение вместо переменной. Если числовое равенство получается верным, то решение найдено верно. При оформлении решения проверка записывается под
е. одна строка один знак равенства).
Например, решим уравнение + 36 = 45 и проведем проверку:
+ 36 = 45;
= 45 – 36;
9 + 36 = 45;
45 = 45 – верно.
Ответ: = 9.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Понятие о натуральном числе
Сложение натуральных чисел
Вычитание натуральных чисел
Умножение натуральных чисел
Деление натуральных чисел
Порядок выполнения действий
Степень числа. Квадрат и куб числа
Меньше или больше
Меньше или больше на сколько? во сколько раз?
Формулы
Натуральные числа и действия над ними
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 624, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1254, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1382, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1661, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1663, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 7, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Номер 505, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 628, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1001, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1215, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 568, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 637, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 660, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1154, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 204, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 416, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 706, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1156, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1411, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 26, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 54, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 62, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 70, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 92, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 102, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 106, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 377, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 689, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 815, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Уравнение пропорции.
Решить уравнение пропорцией.- Альфашкола
- Статьи
- Как решать уравнения с помощью пропорции?
Существует правило для решения уравнений пропорцией. Вспомним основное свойство пропорции:
Напомним, что такое крайние и средние члены пропорции:
Пример 1. Найдите \(x\) из уравнения:
Решение:
\(\frac{x}{12} =\frac{2}{6} \)
Переможим крест накрест:
\(x*6=12*2\)
\(6x=24\)
\(x = 24:6\)
\(x =4\)
Ответ: \(x=4 \).
Пример 2. Найдите \(x\) из уравнения:
\(\frac{1}{5} =\frac{7}{x} \)
\(1*x=5*7\)
\(x=35\)
Ответ: \(x=35.
\).
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Насим Закиевич Галиуллин
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Казанский федеральный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по французскому языку 5-11 классы.
С 2018 по 2020 год 6 месяцев в году проводил во Франции. Работал, проходил языковую стажировку. Каждый день слышал разговорную речь и говорил сам. Полученные знания и опыт пытаюсь передать своим ученикам. Считаю, что знание иностранного языка помогает лучше понять и родной язык.
Севиль Эннановна Калафатова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Крымский федеральный университет им. Вернадского
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-8 классов.
Развитие логического и аналитического мышления, дисциплина ума – следствия изучения математики. Буду рада помочь успешно усвоить материал школьной программы. Стану другом и наставником для вашего ребёнка! Приглашаю каждого на занятия!
Роман Михайлович Мясников
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-9 классов. Докажу, что математика – это просто. Использую классическую методику преподавания. Мои ученики получают высокие балы по ОГЭ.
За несколько уроков изменю ваше мнение о математике!
Похожие статьи
- Жизни математиков (часть 1)
- Объем куба
- Вычитание трехзначных чисел в столбик
- Факультет МИЭП (МГИМО)
- Арифметическая прогрессия
- Учимся решать задачи на координатной решетке
- Задачи на совместную работу (вариант 3)
- Атопический дерматит: как позаботиться о ребенке?
Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Электричество и магнетизм
На практике очень часто встречаются сложные (разветвленные) электрические цепи, для расчета которых удобно использовать правила Кирхгофа (рис.
4.22).
Рис. 4.22. Г. Кирхгоф (1824–1887) — немецкий физик
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда и того естественного требования, чтобы при стационарных процессах ни в одной точке проводника не накапливались и не уменьшались заряды. Это правило относится к узлам, то есть к таким точкам в разветвленной цепи, в которой сходится не менее трех проводников.
Первое правило Кирхгофа гласит:
|
Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, то есть количество зарядов, приходящих в данную точку цепи в единицу времени, равно количеству зарядов, уходящих из данной точки за то же время
|
При этом токи, подходящие к узлу и отходящие от него, имеют противоположные знаки (рис.
4.23).
Рис. 4.23. Сумма токов, сходящихся в узле равна нулю
Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома и относится к любому замкнутому контуру разветвленной цепи.
Второе правило Кирхгофа гласит:
|
В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре (рис. 4.24)
|
Рис. 4.24. Пример разветвленной электрической цепи.
Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два независимых контура (например, abcd и adef)
Правила Кирхгофа позволяют определить силу и направление тока в любой части разветвленной цепи, если известны сопротивления ее участков и включенные в них ЭДС.
Число уравнений, составляемых по первому и второму правилам Кирхгофа, должно равняться числу искомых величин. Используя первое правило Кирхгофа для разветвленной цепи, содержащей m узлов и n ветвей (участков), можно написать (m – 1) независимых уравнений, а используя второе правило, (n – m + 1) независимых уравнений.
Приведем пример расчета токов в разветвленной цепи (рис. 4.25).
Рис. 4.25. Пример разветвленной цепи
Направления действия ЭДС показаны синими стрелками. В этой цепи у нас имеется два узла — точки b и d (m = 2), и три ветви — участок b–а–d с током I1, участок b–d с током I2 и участок b–c–d с током I3 (n = 3). Значит, мы можем написать одно (m – 1 = 2 – 1 = 1) уравнение на основе первого правила Кирхгофа и два (n – m + 1 = 3 – 2 + 1 = 2) уравнения на основе второго правила Кирхгофа.
Как же это делается на практике?
Шаг первый. Выберем направления токов, текущих в каждой из ветвей цепи. Как эти направления выбрать — совершенно неважно. Если мы угадали, в окончательном результате значение этого тока получится положительным, если нет и направление должно быть обратным — значение этого тока получится отрицательным. В нашем примере мы выбрали направления токов как показано на рисунке. Важно подчеркнуть, что направления действия ЭДС не произвольны, они определяются способом подключения полюсов источников тока (см. рис. 4.25).
Шаг второй. Записываем первое правило Кирхгофа для всех узлов кроме одного (в последнем узле, выбор которого произволен, это правило будет выполняться автоматически). В нашем случае мы можем записать уравнение для узла b, куда входит ток I2 и выходят токи I1 и I3
|
(4. |
45)Шаг третий. Нам осталось написать уравнения (в нашем случае – два) для второго правила Кирхгофа. Для этого надо выбрать два независимых замкнутых контура. В рассматриваемом примере имеются три такие возможности: путь по левому контуру b–a–d–b, путь по правому контуру b–c–d–b и путь вокруг всей цепи b–a–d–c–b. Достаточно взять любые два из них, тогда для третьего контура второе правило Кирхгофа будет выполнено автоматически. Направление обхода контура роли не играет, но при обходе ток будет браться со знаком плюс, если он течет в направлении обхода, и со знаком минус, если ток течет в противоположном направлении. Это же относится к знакам ЭДС.
Возьмем для начала контур b–a–d–b. Мы выходим из точки b и движемся против часовой стрелки. На нашем пути встретятся два тока, I1 и I2, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода.
ЭДС также действует в этом же направлении. Поэтому второе правило Кирхгофа для этого участка цепи записывается как
|
(4.46) |
В качестве второго замкнутого пути для разнообразия выберем путь b–a–d–c–b вокруг всей цепи. На этом пути мы встречаем два тока I1 и I3, из которых первый войдет со знаком плюс, а второй — со знаком минус. Мы встретимся также с двумя ЭДС, из которых войдет в уравнения со знаком плюс, а — со знаком минус. Уравнение для этого замкнутого пути имеет вид
|
(4.47) |
Шаг четвертый. Мы нашли три уравнения для трех неизвестных токов в цепи.
Решение произвольной системы линейных уравнений описывается в курсе математики. Для наших целей (цепь достаточна проста) можно просто выразить I3 через I1 из уравнения (4.47)
|
(4.48) |
I2 через I1 с помощью уравнения (4.46)
|
(4.49) |
и подставить (4.48), (4.49) в уравнение первого правила Кирхгофа (4.45). Это уравнение содержит лишь неизвестное I1, которое находится без труда
|
(4.50) |
Подставляя это выражение в (4.
48), (4.49), находим соответственно токи I2, I3
|
(4.51) |
Шаг пятый. В найденные формулы подставляют численные значения, коль скоро они заданы. Подсчитаем для примера токи в нашей цепи при одинаковых сопротивлениях R1 = R2 = R3 = 10 Ом, но разных ЭДС Имеем:
|
(4.52) |
Последнее значение получилось отрицательным при данных численных характеристиках цепи. Значит, на самом деле направление тока обратно показанному на рисунке. Это естественно: мощный левый источник посылает ток 0,75 А, часть которого (0,45 А) ответвляется в среднюю ветвь, а остаток — 0,3 А — продолжает течь в том же направлении, чему не может воспрепятствовать маломощная правая батарея.
Примечание. Правила Кирхгофа позволяют в принципе рассчитать сколь угодно сложные цепи. Но вычисления могут быть довольно сложными. Поэтому рекомендуется сначала поискать возможную симметрию цепи. Иногда из соображений симметрии более или менее очевидно, что какие-то токи равны между собой или какие-то напряжения равны нулю (и тогда данный участок цепи можно исключить из рассмотрения). Если такое возможно, вычисления существенно упрощаются.
В нашем примере мы пренебрегли внутренним сопротивлением источников тока. При их наличии они также должны включаться в уравнения второго правила Кирхгофа.
Пример. Два одинаковых источника тока с ЭДС и внутренним сопротивлением r соединяются в батарею. Возможны два варианта соединения — последовательное и параллельное (рис. 4.26). При каком соединении ток в нагрузке R будет наибольшим?
Рис. 4.26. Последовательное (1) и параллельное (2) соединение источников тока
Решение.
Расчет особенно прост для последовательного соединения: уравнение первого правила Кирхгофа отсутствует, так как в цепи нет узлов. Единственное уравнение второго закона дает
|
(4.53) |
Для упрощения расчета параллельного соединения примем во внимание, что из соображений симметрии токи через источники должны быть равны и совпадать по направлению. Тогда первое правило Кирхгофа дает
|
(4.54) |
Второе правило Кирхгофа, записанное для пути через нижний источник и нагрузку, имеет вид
|
(4.55) |
Отсюда следует, что
|
(4. |
56)
Сравнивая (4.53) и (4.56), находим, что при R > r ток последовательной батареи больше (Iпосл > Iпарал) а при R < r он меньше (Iпосл < Iпарал) тока от параллельной батареи. При равенстве внутреннего сопротивления и нагрузки R = r обе батареи дают одинаковый ток.
Решение линейных уравнений – Полный курс алгебры
Навыки
в н
A L G E B R A
Содержание | Дом
9
Закон обратного
Четыре формы уравнений
Транспонирование
Логическая последовательность операторов
Транспонирование или замена сторон
Форма x = 0
Раздел 2 :
Отмена
Неизвестность с обеих сторон
Уравнения простых дробей
УРАВНЕНИЕ – это алгебраическое выражение, в котором глагол равен “равно” = .
Уравнение включает неизвестное число, обычно называемое x . Вот простой пример:
х + 4 = 10.
“Некоторое число плюс 4 равно 10.”
Мы говорим, что уравнение имеет две стороны: левая сторона, x + 4, и правая сторона, 10.
Поскольку x представляется в первой степени, мы называем это линейным уравнением. Линейное уравнение также называют уравнением первой степени.
Степенью любого уравнения является наивысший показатель степени, встречающийся у неизвестного числа. Уравнение первой степени называется линейным , потому что, как мы увидим много позже, его график представляет собой прямую линию .
Уравнение — это утверждение — станет истинным только тогда, когда неизвестное имеет определенное значение, которое мы называем решением уравнения.
Решение этого уравнения, очевидно, 6:
6 + 4 = 10.
6 — это единственное значение x , для которого утверждение « x + 4 = 10» будет верным.
Мы говорим, что x = 6 удовлетворяет уравнению.
Теперь алгебра зависит от того, как все выглядит. Что касается того, как все выглядит, то мы будем знать, что решили уравнение, когда мы изолируем x слева.
Почему слева? Потому что так мы читаем, слева направо. “ x равно…”
В стандартной форме линейного уравнения — x + b = 0 — x отображается слева.
На самом деле, мы видели, что для любого уравнения, которое выглядит так:
| х + а | = | б , |
| решение всегда будет выглядеть так: | ||
| x | = | б − а . |
| Если | |||
| х + 4 | = | 10, | |
| затем | |||
| х | = | 10 − 4 | |
| = | 6. | ||
Закон обратного
Есть две пары обратных операций. Сложение и вычитание, умножение и деление.
Формально, чтобы решить уравнение, мы должны изолировать неизвестное с одной стороны уравнения.
ax − b + c = d .
Мы должны переправить a, b , c на другую сторону, чтобы x были одни.
Вопрос:
Как переложить число из одной части уравнения
в другую?
Ответ:
Записав его на другой стороне с обратной операцией.
Это закон обратного. Это следует из двух правил урока 5.
Пример 1. Решите это уравнение:
| а х – б + в | = | д . |
| Решение. Поскольку b — это вычесть слева, мы добавим справа: | ||
| a x + c | = | д + б . |
| Поскольку c равно , прибавив слева, мы вычтем из справа: | ||
| топор | = | д + б – в . |
| И, наконец, с a умножаем слева, делим на справа: | ||
| x | = | d + b − c a |
Мы решили уравнение.
Четыре формы уравнений
Таким образом, решение любого линейного уравнения будет состоять из четырех форм, соответствующих четырем арифметическим операциям. Ниже приведены основные правила решения любого линейного уравнения. В каждом случае мы будем сдвигать и на другую сторону.
1. Если x + a = b , то x = b − a .
“Если к числу добавить с одной стороны уравнения,
мы можем вычесть с другой стороны.”
2. Если x − a = b , то x = b + a .
“Если число равно вычесть с одной стороны уравнения,
можно прибавить к другой стороне уравнения».
| 3. Если x = b , то x = | б а | . | |
“Если число умножить на одну часть уравнения,
мы можем разделить его с другой стороны.”
| 4. Если | x а | = b , затем x = ab . |
“Если число делит с одной стороны уравнения, то
мы можем умножить на с другой стороны.
”
В любом случае и были сдвинуты на другую сторону с помощью обратной операции. Любое линейное уравнение можно будет решить, применяя одно или несколько из этих правил.
Транспонирование
Когда используются операции сложения или вычитания (Формы 1 и 2), мы называем это транспонированием.
Мы можем переместить член в другую часть уравнения
, изменив его знак .
+ a переходит на другую сторону как − и .
− a переходит на другую сторону как + a .
Транспонирование — одна из наиболее характерных операций алгебры, и считается, что это значение слова алгебра арабского происхождения. (Арабские математики изучили алгебру в Индии, откуда они принесли ее в Европу.) Транспонирование — это метод тех, кто на самом деле использует алгебру в науке и математике, потому что это искусно. И, как мы сейчас увидим, он сохраняет четкую логическую последовательность утверждений.
Более того, это подчеркивает, что вы делаете алгебру глазами. Когда ты увидишь
| х + а | = | б , |
| тогда вы сразу видите что + идет на другую сторону как – а : | ||
| x | = | б − а . |
Однако часто учат писать — a с обеих сторон, рисовать линию и добавлять.
Во-первых, вы никогда не увидите этого ни в одном тексте по исчислению. То, что вы увидите, — это логическая последовательность утверждений, к которой мы вот-вот придем.
Более того, мы доказали, что можем просто транспонировать. Нет необходимости доказывать это снова каждый раз, когда вы решаете уравнение.
(Вы должны доказывать теорему Пифагора каждый раз, когда применяете ее? Нет, не нужно.
)
Если вы хотите представить, что вы вычли из с обеих сторон, прекрасно. Но приходиться писать не умело.
Вот что вы увидите в своем тексте исчисления.
Логическая последовательность операторов
Рассмотрим снова уравнение примера 1.
ax − b + c = d .
Это алгебраическое предложение — это утверждение — будет логически влечь за собой другие утверждения. Теперь мы увидим логическую последовательность, ведущую к последнему утверждению, которое является решением.
| (1) | топор − б + в | = | д | |
| подразумевает | (2) | топор | = | г + б − в |
| подразумевает | (3) | х | = | д + б − в . a |
Исходное уравнение (1) «трансформируется» путем перестановки членов. Оператор (1) подразумевает оператор (2).
Затем этот оператор преобразуется путем деления на 9.0023 и . Из утверждения (2) следует утверждение (3), которое является решением.
Таким образом, мы решаем уравнение, преобразовывая его — изменяя его внешний вид — оператор за оператором, строка за строкой в соответствии с правилами алгебры, пока x , наконец, не будет изолировано слева. Так пишутся книги по математике (но, к сожалению, не книги по алгебре!). Каждая строка — это собственное читаемое утверждение, которое следует из строки выше — без зачеркивания.
Другими словами, что такое расчет? Это дискретное преобразование символов. В арифметике мы преобразуем «19 + 5» в «24». В алгебре мы преобразуем « x + a = b » в « x = b − a ».
Задача 1.
Напишите логическую последовательность утверждений, которые будут решать это уравнение для x :
абвх − д + e − f = 0
Чтобы увидеть ответ, проведите мышью слева направо
по цветной области.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите “Обновить” (“Reload”).
Сначала решай задачу сам!
| (1) | abcx − d + e − f | = | 0 | |
| подразумевает | (2) | абс | = | d − e + f |
| подразумевает | (3) | х | = | d − e + f . абв |
Сначала транспонируйте терма .
Линия (2).
Не нужно писать термин 0 справа.
Затем разделите на коэффициент x .
Задача 2. Напишите логическую последовательность утверждений, которые будут решать это уравнение для x :
| (1) | 2 x + 5 | = | 27 | |
| подразумевает | (2) | 2 х | = | 27 – 5 = 22 |
| подразумевает | (3) | х | = | 22 2 |
| подразумевает | (4) | х | = | 11. |
В задачах 3, 4 и 5 дано только решение. Студент должен написать логическую последовательность утверждений, которая приводит к этому.
Задача 3. Решите для x : ( p − q ) x + r = с
| х = | с − r р − q |
Задача 4. Решить для x :
аб ( с + d ) х – е + f = 0
| х = | e − f ab ( c + d ) |
Задача 5. Решите для x : 2 x + 1 = 0
х = -½
Каждое из приведенных выше уравнений имеет стандартную форму, а именно:
ax + b = 0,
а не означает а . Это означает коэффициент x . И b не означает b . Это означает любые условия.
Вот почему это называется формой. Что бы ни выглядело как .
| Проблема 6 . Решите: | топор + б | = | 0. | |
| х | = | — | б а | |
Это простое уравнение иллюстрирует выполнение алгебры глазами. Студент должен немедленно увидеть решение. Вы должны увидеть , что b пойдет на другую сторону как − b , и на будут делиться.
Это навык в алгебре.
Задача 7. Решите для x : x = 0 ( a 0).
Теперь, когда произведение двух чисел равно 0, то хотя бы одно из них должно быть равно 0. (Урок 6.) Поэтому любое уравнение такой формы имеет решение,
х = 0,
Мы могли бы решить это формально, конечно, разделив на и .
| x = | 0 а | = 0, |
| (Урок 6.) | ||
Задача 8. Решите для x :
| 4 х − 2 | = | −2 |
| 4 x | = | -2 + 2 = 0 |
| x | = | 0. |
Задача 9. Напишите последовательность утверждений, которые будут решать это уравнение:
| (1) | 6 − х | = | 9 |
| (2) | − х | = | 9 − 6 |
| (3) | − х | = | 3 |
| (4) | х | = | −3. |
Когда мы переходим от строки (1) к строке (2), слева остается x . Ибо члены в строке (1) равны 6 и − x .
Мы “решили” уравнение, когда выделили x — а не – x — слева. Поэтому переходим от строки (3) к строке (4), меняя знаки с обеих сторон. (Урок 5.)
В качестве альтернативы мы могли бы исключить − x слева, немедленно изменив все знаки:
| (1) | 6 − х | = | 9 |
| (2) | −6 + х | = | −9 |
| (3) | х | = | -9 + 6 = -3. |
| Задача 10. Решите для x : | 3 − х | = | −5 |
| х | = | 8. | |
Задача 11. Решить для x :
| 4 − (2 x − 1) | = | −11. |
| 4 − 2 x + 1 | = | −11. |
| 5 − 2 x | = | −11 |
| −2 x | = | −11 − 5 |
| 2 x | = | 16 |
| x | = | 8. |
Задача 12. Решить для x :
| 3 x − 15 2x + 1 | = 0, |
( Подсказка : Сравните Урок 6, Задача 18.
)
х = 5,
Транспонирование по сравнению с заменой сторон
| Пример 2. | а + б = в – х |
Мы можем легко решить это — в одну строку — просто переставив x влево, а то, что слева, вправо:
x = c − a − б .
| Пример 3. | а + б = в + х |
В этом примере + x находится справа. Так как мы хотим + x слева, мы можем добиться этого, поменяв местами стороны:
в + х = а + б
Примечание: Когда мы поменяемся сторонами, знаки не изменятся.
При перестановке в решение легко следует:
с + х = а + б – с .
Таким образом, когда − x находится справа, его можно просто переставить. Но когда + x справа, мы можем поменяться сторонами.
Задача 13. Решите для х :
| р + к | = | р − x − с | |
| Транспонировать: | |||
| х | = | r − s − p − q | |
Задача 14. Решить для x :
| р − к + р | = | с + х | |
| Стороны обмена: | |||
| с + х | = | р − к + р | |
| х | = | р − q + р − с | |
Задача 15.
Решите для x :
| 0 | = | пикселей + кв | |
| пикселей + q | = | 0 | |
| пикселей | = | — | q |
| x | = | — | к р |
Задача 16. Решить для x :
| −2 | = | −5 x + 1 |
| 5 x | = | 1 + 2 = 3 |
| x | = | 3 5 |
Задача 17.
Решите для x :
| р | = | q − топор . |
| топор | = | − |
| x | = | q − p а |
Задача 18. Найти cos θ (“косинус thay -ta”).
| А | = | 8 − 2 потому что θ. |
Следует заметить, что это уравнение имеет точно такую же форму , что и задача 17. cos θ — неизвестное. Вы решите ее точно так же, как задачу 17.
| 2 cos θ | = | 8 – А |
| cos θ | = | 8 − А 2 |
Алгебра состоит в распознавании формы.
А их только конечное число.
Раздел 2 :
Отмена
Неизвестность с обеих сторон
Уравнения простых дробей
Содержание | Дом
Copyright © 2021 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Электронная почта: [email protected]
Основы алгебры — правила, операции и формулы
Алгебра — это область математики, которая занимается представлением ситуации с использованием математических символов, переменных и арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление, ведущих к формированию соответствующих математических выражений . В этом уроке мы рассмотрим все правила алгебры, операции и формулы.
| 1. | Основы алгебры |
| 2. | Правила алгебры |
| 3. | Алгебраические операции |
4. | Алгебраические формулы |
| 5. | Решенные примеры по основам алгебры |
| 6. | практических вопросов по основам алгебры |
| 7. | Часто задаваемые вопросы по основам алгебры |
Основы алгебры
Нам необходимо знать основную терминологию, относящуюся к алгебре, чтобы понимать ее основы. Выражение, состоящее из 4 основных частей, переменных, операторов, показателей степени, коэффициентов и констант вместе с символом равенства, известно как алгебраическое уравнение. Возьмем уравнение: ax 2 + bx + c = d. В алгебре в начале записывается член с наибольшим показателем, а далее члены записываются в уменьшающих степенях.
На изображении выше ax 2 + bx + c = d 4 условия. Алгебраическое уравнение может иметь разные члены, похожие или разные. Подобные члены в уравнении – это те, которые составляют одни и те же переменные и показатели.
С другой стороны, разные члены в уравнении представляют собой разные переменные и показатели.
Правила алгебры
Существует пять основных правил алгебры. Это:
- Коммутативное правило сложения г.
- Коммутативное правило умножения
- Ассоциативное правило сложения
- Ассоциативное правило умножения
- Распределительное правило умножения
Коммутативное правило сложения
В алгебре коммутативное правило сложения гласит, что при добавлении двух членов порядок добавления не имеет значения. Уравнение для того же записывается как (a + b) = (b + a). Например, (х 3 + 2х) = (2х + х 3 )
Коммутативное правило умножения
Коммутативное правило умножения гласит, что при умножении двух членов порядок умножения не имеет значения. Уравнение для того же записывается как (a × b) = (b × a). Например, (x 4 – 2x) × 3x = 3x × (x 4 – 2x).
LHS = (x 4 – 2x) × 3x = (3x 5 – 6x 2 )
RHS = 3x × (x 4 – 2x) = (3x 5 – 6x 2 )
Здесь LHS = RHS, это доказывает, что их значения равны.
Ассоциативное правило сложения
В алгебре ассоциативное правило сложения гласит, что при добавлении трех или более терминов порядок добавления не имеет значения. Уравнение для того же записывается как a + (b + c) = (a + b) + c. Например, x 5 + (3x 2 + 2) = (x 5 + 3x 2 ) + 2
Ассоциативное правило умножения
Точно так же ассоциативное правило умножения утверждает, что когда три или умножается больше терминов, порядок умножения не имеет значения. Уравнение для того же записывается как a × (b × c) = (a × b) × c. Например, х 3 × (2x 4 × x) = (x 3 × 2x 4 ) × x.
Распределительное правило умножения
Распределительное правило умножения гласит, что когда мы умножаем число на сложение двух чисел, результат получается таким же, как сумма их произведений на число по отдельности.
Это распределение умножения над сложением. Уравнение для того же записывается как a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Например, х 2 × (2x + 1) = (x 2 × 2x) + (x 2 × 1).
Алгебраические операции
Четыре основных алгебраических операции:
- Сложение
- Вычитание
- Умножение
- Подразделение
В каждой из выполняемых алгебраических операций мы всегда классифицируем члены в наших алгебраических уравнениях как похожие и разные члены.
Сложение
Когда два или более термина в алгебраическом уравнении разделены знаком плюс “+”, алгебраической операцией является сложение. Мы всегда добавляем похожие термины и неодинаковые термины отдельно, так как они рассматриваются как две разные величины. Математически две разные величины не могут быть сложены вместе.
- Пример сложения подобных терминов: 5b + 3b = 8b
- Пример сложения непохожих терминов: 25x + 35y
Как видно из примеров, одинаковые термины при добавлении дают один и тот же термин, в то время как непохожие термины не могут быть добавлены дальше.
Вычитание
Когда два или более членов в любом алгебраическом уравнении разделены знаком минус “-“, алгебраической операцией является вычитание. Как и в случае сложения, термины дифференцируются как похожие или неодинаковые термины, а затем вычитаются дальше.
- Пример вычитания подобных членов: 3x 2 – x 2 = 2x 2
- Пример вычитания разнородных терминов: 6bc – 9ab
Умножение
Когда два или более члена в алгебраическом уравнении разделены знаком умножения “×”, выполняется алгебраическая операция умножения. При умножении одинаковых или разных терминов мы используем законы экспоненты.
- Пример умножения одинаковых членов: 16f × 4f = 64f 2
- Пример умножения разнородных членов: x × y 3 = xy 3
Деление
Когда два или более членов в любом алгебраическом уравнении разделены знаком деления “/”, выполняется алгебраическая операция деления.
При разделении подобных терминов подобные термины могут быть упрощены, в то время как в случае разнородных терминов термины не могут быть легко упрощены далее.
- Пример разделения подобных терминов: 8b/2b = 4 г.
- Примеры разделения разных терминов: x 2 /2y 2
Алгебраические формулы
Алгебраические формулы , которые используются чаще и должны быть сохранены в памяти:
Часто задаваемые вопросы по основам алгебры
Каковы основные правила алгебры?
Основные правила алгебры:
- Коммутативное правило сложения
- Коммутативное правило умножения
- Ассоциативное правило сложения
- Ассоциативное правило умножения
- Распределительное правило умножения
Что такое золотое правило алгебры?
Золотое правило алгебры — уравновешивать обе части уравнения, т.
е. какая бы операция ни использовалась в одной части уравнения, то же самое будет использоваться и в другой части.
Что такое четыре алгебраических операции?
- Дополнение
- Вычитание
- Умножение
- Подразделение
Как вы добавляете и вычитаете похожие термины?
При добавлении или вычитании одинаковых членов коэффициенты добавляются или вычитаются и записываются перед одинаковыми членами.
Можем ли мы сложить или вычесть два непохожих термина?
Нет, мы не можем складывать или вычитать два непохожих термина.
Преподавание линейных уравнений по математике
Назад к фигурнымМатематика
Фигурный посох
Чтение через 10 мин
Для многих учащихся 8-х классов и старше числа и фигуры, о которых они узнали, действительно начинают складываться воедино, когда они составляют и решают линейные уравнения.
Эта тема объединяет идеи об алгебре, геометрии и функциях, и многим детям — и взрослым! — может быть трудно усвоить ее. В этой статье объясняется, что такое линейное уравнение, и рассматриваются различные примеры. Затем он предлагает уроки для введения и развития концепции линейных уравнений с одной переменной для ваших студентов.
Что такое линейное уравнение?
Как и любое другое уравнение, линейное уравнение состоит из двух выражений, равных друг другу. Есть некоторые ключевые особенности, общие для всех линейных уравнений:
- Линейное уравнение имеет только одну или две переменные.
- Ни одна переменная в линейном уравнении не возводится в степень больше 1 и не используется в качестве знаменателя дроби.
- Когда вы находите пары значений, которые делают линейное уравнение верным, и наносите эти пары на координатную сетку, все точки лежат на одной линии. График линейного уравнения представляет собой прямую линию.
Линейное уравнение с двумя переменными может быть описано как линейная зависимость между x и y , то есть двумя переменными, в которых значение одной из них (обычно y ) зависит от значение другого (обычно x ).
В этом случае x является независимой переменной, а y зависит от нее, поэтому y называется зависимой переменной.
Независимо от того, помечено ли это значение x , независимая переменная обычно откладывается по горизонтальной оси. Большинство линейных уравнений являются функциями. Другими словами, каждому значению x соответствует только одно значение y . Когда вы присваиваете значение независимой переменной x , вы можете вычислить значение зависимой переменной y . Затем вы можете нанести точки, названные каждой парой ( x , y ) на координатной сетке.
Описание линейных отношений
Учащиеся уже должны знать, что любые две точки определяют прямую. Таким образом, для построения графика линейного уравнения на самом деле требуется только найти две пары значений и провести линию через точки, которые они описывают. Все остальные точки на линии дадут значения 92 234 x 92 235 и 92 234 y 92 235, которые удовлетворяют уравнению.
Графики линейных уравнений всегда являются линиями. Однако важно помнить, что не каждая точка на линии, описываемой уравнением, обязательно будет решением задачи, описываемой уравнением. Например, задача может не иметь смысла для отрицательных чисел (скажем, если независимой переменной является время) или очень больших чисел (скажем, для чисел больше 100, если зависимой переменной является оценка в классе).
Как выглядит линейное уравнение?
Пример 1: расстояние = скорость × время В этом уравнении для любой постоянной скорости зависимость между расстоянием и временем будет линейной. Однако расстояние обычно выражается положительным числом, поэтому на большинстве графиков этого отношения точки отображаются только в первом квадранте. Обратите внимание, что направление линии на графике ниже — снизу слева направо вверх. Линии, стремящиеся в этом направлении, имеют положительные склон . Положительный наклон указывает, что значения по обеим осям увеличиваются слева направо.
В этом уравнении, поскольку у вас никогда не будет отрицательного количества воды в ведре, на графике будут отображаться точки только в первый квадрант. Обратите внимание, что направление линии на этом графике — сверху слева вниз справа. Линии, стремящиеся в этом направлении, имеют отрицательный наклон. А отрицательный наклон указывает на то, что значения на оси y- уменьшаются по мере увеличения значений на оси x-.
Пример 3: количество углов многоугольника = количеству сторон этого многоугольника Опять же, на этом графике мы связываем значения, которые имеют смысл только в том случае, если они положительны, поэтому мы показываем точки только в первом квадранте. Кроме того, в этом случае, поскольку ни один многоугольник не имеет менее 3 сторон или углов, а количество сторон или углов многоугольника должно быть целым числом, мы показываем график, начинающийся с (3,3), и указываем пунктирной линией, что точки между нанесенными на график не имеют отношения к задаче.
Поскольку совершенно разумно иметь как положительные, так и отрицательные температуры, мы наносим точки на этом графике на полной координатной сетке. (Хотя это и не видно на графике, самая низкая возможная физическая температура составляет около –460° по Фаренгейту, поэтому не каждое решение на графике полезно!) линия относится к y- ось и наклон линии вверх или вниз, если смотреть на нее слева направо. С технической точки зрения, наклон показывает скорость, с которой зависимая переменная изменяется по отношению к изменению независимой переменной.
Расчет уклона
Выберите любые две точки на линии. Чтобы найти скорость изменения y , вычтите значение y первой точки из значения y второй точки: ( y 2 – y 1 ). Чтобы узнать, как быстро изменяется x , вычтите значение x первой точки из значения x второй точки: ( x 2 – x 1 ).
Чтобы найти скорость изменения y по отношению к изменению x , рассчитайте отношение: х 1 ).
Если мы обозначим точку A в качестве первой точки и точки B в качестве второй точки, наклон линии равен (–2 – 4)/(–1 – 2) = –6/–3 или 2. Не имеет значения какие точки на линии вы обозначили как A и B , при условии, что мы согласны с тем, какая точка является «первой» ( x 1 , y 1 ), а какая «второй» ( x 2 , y 2 ). Если мы обозначим точку B как первую точку, а точку A в качестве второй точки, значение наклона такое же: (4 – -2)/(2 – -1) = 6/3 или 2. Это также то же значение, которое вы получите, если выберете любую другую пару точек на линии для вычисления уклона.
Формула линейного уравнения Уравнение прямой можно записать в форме, которая делает наклон очевидным и позволяет рисовать линию без каких-либо вычислений.
Если учащимся удобно решать простое линейное уравнение, состоящее из двух шагов, они могут написать линейные уравнения в форме пересечения наклона. Форма линейного уравнения с пересечением наклона: y = m x + b . В уравнении x и y являются переменными. Числа м и b дают наклон линии ( м ) и значение y , когда x равно 0 ( b ). Значение y , когда x равно 0, называется y -перехватом , потому что (0, y ) — это точка, в которой линия пересекает ось y .
Вы можете нарисовать линию для уравнения, соответствующего этой линейной формуле, построив (0, b ), а затем используя m , чтобы найти другую точку. Например, если м равно 1/2, вы можете интерпретировать это как разницу в 1 среди y координат для каждой разницы в 2 среди x координат (то есть ( y 2 – y 1 )/( x 2 – x 1 ) = 1/2).
Отсчитайте +2 по оси x-, затем +1 по оси y-, чтобы добраться до другой точки: (2, b + 1).
Уравнение этой прямой: y + 3 = 2 x . В форме пересечения уклона уравнение имеет вид y = 2 x – 3. В этой форме вы можете легко увидеть, что уклон м = 2. Глядя на график, уклон действительно равен 2, так как для каждого + 2 изменения в и , есть +1 изменение в х . Теперь посмотрите на b в уравнении: –3 должно быть там, где линия пересекает ось y , и это так.
Положительный наклон Когда линия наклоняется вверх слева направо, она имеет положительный наклон. Это означает, что положительное изменение х связано с положительным изменением х . Чем круче наклон, тем больше скорость изменения х по отношению к изменению х . Уклон 6 круче, чем уклон 1, который, в свою очередь, круче, чем уклон 1/6.
Когда линия представляет точки реальных данных, нанесенные на координатную плоскость, положительный наклон указывает на положительную корреляцию, и чем круче наклон, тем сильнее положительная корреляция.
Рассмотрим линейное уравнение, в котором независимая переменная g — это количество использованного газа в галлонах, а зависимая переменная d — пройденное расстояние в милях. Если вы водите большую старую машину, у вас будет плохой расход бензина. Количество пройденных миль невелико по сравнению с количеством израсходованного газа, поэтому значение м является низким числом. Наклон линии достаточно плавный. Если вместо этого вы едете на легком экономичном автомобиле, вы увеличиваете расход бензина. Вы проезжаете больше миль относительно того же количества потребляемого газа, поэтому значение м больше и линия круче. Обе ставки положительны, потому что вы по-прежнему проезжаете положительное количество миль на каждый галлон бензина, который вы потребляете.
Когда линия наклонена вниз слева направо, она имеет отрицательный наклон. Это означает, что отрицательное изменение х связано с положительным изменением х . Когда линия представляет точки реальных данных, нанесенные на координатную плоскость, отрицательный наклон указывает на отрицательную корреляцию, и чем круче наклон, тем сильнее отрицательная корреляция.
Рассмотрим строку, представляющую количество перцев, оставшихся для посадки после нескольких минут, проведенных в саду. Если в саду может поместиться 18 кустов перца, а вы сажаете 1 куст перца в минуту, скорость, с которой опустеет сад, довольно высока, поэтому абсолютное значение м — большее число, а линия круче. Если вместо этого вы сажаете только 1 растение перца каждые 2 минуты, вы все равно опустошите садовую квартиру, но скорость, с которой вы это делаете, будет ниже. Абсолютное значение м ниже (1/2 вместо 1), и линия не такая крутая.
Когда y не изменяется при изменении x , график линии горизонтален. Горизонтальная линия имеет нулевой наклон.
Неопределенный наклонКогда x не изменяются при изменении y , график линии является вертикальным. Вы не можете вычислить наклон этой линии, потому что вам нужно разделить на 0. Обратите внимание, что вы можете думать об этих линиях как о «бесконечно крутых», либо положительно или отрицательно. Наклон вертикальной линии не определяется.
Линии с одинаковым уклономДве линии с одинаковым уклоном имеют одинаковую крутизну. Это означает одно из двух: либо линии параллельны, либо они являются одной и той же линией.
Во всех этих трех строках каждое изменение на 1 единицу в y связано с изменением на 1 единицу в x . Все три имеют наклон 1.
Решение двухшаговых линейных уравнений с рациональными числами Когда линейное уравнение имеет две переменные (как это обычно бывает), оно имеет бесконечное число решений.
Каждое решение представляет собой пару чисел ( x , y ), которые делают уравнение верным. Решение линейного уравнения обычно означает нахождение значения y для заданного значения x .
Когда уравнение уже имеет форму пересечения наклона
Если уравнение уже имеет форму y = m x + b , с 92 234 x 92 235 и 92 234 y 92 235 переменных и 92 234 m 92 235 и 92 234 b 92 235 рациональных чисел, решение для конкретных значений является простым. Выберите значение для x, и вычислите соответствующее значение для y . Вы заметите, что для x проще всего выбрать значение 0, потому что в этом случае y = b . Студентам может быть предложено составить таблицы значений для линейных уравнений. Это просто Т-таблицы со списками значений для x с соответствующими значениями для и .
Двухшаговые уравнения включают поиск значений для выражений, содержащих более одного члена .
Терм может быть числом, переменной или числами и переменными, перемноженными вместе. Члены выражения разделяются символами сложения или вычитания. 2 x — это выражение с одним членом. 2 x + 6 имеет два члена. Чтобы найти значение y по заданному значению x , подставьте x -значение в выражение.
Рассмотрим уравнение y = 2 x + 6. Найдите значение для y , когда x = 5:
| Подставьте значение для в уравнение | y = 2(5) + 6 |
| Умножить. | y = 10 + 6 |
| Доп. | y = 16 |
Когда уравнение не в форме пересечения наклона
Если линейное уравнение не представлено в виде отрезка наклона (то есть не записано как y = m x + b ), учащиеся могут составить таблицу значений, чтобы найти решения уравнения, но может быть проще сначала представить уравнение в форме пересечения наклона.
Это требует зеркального отображения операций с каждой стороны уравнения до тех пор, пока y не окажется в одной части уравнения, равным линейному выражению, включающему x . Вы можете манипулировать уравнением таким образом из-за свойств равенства:
- Если a = b , то a + c = b + c.
- Если a = b , то a – c = b – c.
- Если а = б , то акр = до н.э.
- Если a = b , то a ÷ c = b ÷ c (пока c ≠ 0).
Рассмотрим 2 92 234 x 92 235 + 92 234 y 92 235 – 6 = 0. Это уравнение не в форме пересечения наклона, но вы можете использовать свойства равенства, чтобы получить 92 234 y 92 235 на одной стороне уравнения.
- Вы можете вычесть y из обеих частей уравнения, чтобы получить 2 x – 6 = – y .
Затем умножьте обе части уравнения на –1, чтобы получить –2 92 234 x 92 235 + 6 = 92 234 года. - В качестве альтернативы можно вычесть 2 x и прибавить 6 к обеим частям уравнения, чтобы получить y = –2 x + 6.
Два уравнения: –2 x + 6 = y и y 96 –235 2 x эквивалентны. Вы можете превратить одно в другое, используя коммутативное свойство сложения, которое утверждает, что a + b = b + a , и симметричное свойство равенства, которое утверждает, что если a = б , затем б = а .
| Переместительное свойство сложения | –2x + 6 = y эквивалентно 6 – 2 x = y . |
| Симметричное свойство равенства | 6 – 2 x = y эквивалентно y = 6 – 2 x . |
Линейные уравнения: знакомство с концепцией
Материалы: Координатная сетка, которую могут видеть все учащиеся (сетка должна идти как минимум от –10 до +10 по обеим осям), инструмент для разметки сетки точками и строки
Подготовка: Поскольку учащиеся будут считывать точки с графиков и строить линии из списков точек, они (и вы) должны быть готовы использовать линейку для создания точных прямых линий.
При онлайн-обучении используйте цифровой инструмент, способный генерировать точки и линии.
Необходимые навыки и понятия: Учащиеся должны уметь наносить точки на координатную плоскость и должны быть знакомы с различными способами обозначения умножения и деления в уравнении. Они также должны быть знакомы с порядком операций и свойствами равенства.
- Аккуратно проведите линию через (0,0) и (2,2) на сетке. Не забудьте расширить его в обоих направлениях, чтобы на нем было много точек, которые легко назвать.
- Скажем: Назовите несколько точек на этой прямой. Учащиеся должны составить список точек с целочисленными координатами. Если нет, потратьте некоторое время на присвоение имен точкам на сетке, прежде чем продолжить этот урок. Если учащиеся называют нецелые точки, например (1,5, 1,5), уделите время объяснению, почему они тоже находятся на прямой.
- Спросите: Можете ли вы дать мне правило, как найти y, когда мы знаем x в этой строке? Обсудите, как связаны координаты, затем попросите учащихся записать правило в виде уравнения.
Уравнение для этой линии: y = x . - Скажем: Это была линия для уравнения y = x. H Как бы вы нарисовали линию для уравнения y = x + 3? Предложите учащимся самостоятельно провести линию. Если это возможно, попросите их объединиться в пары и сравнить их линии. Организуйте обсуждение различных линий, нарисованных учащимися, выделяя сходства и различия. Затем покажите один из способов рисования линии: подставьте несколько значений вместо 9.2234 x в уравнение, найдите соответствующие значения для y , а затем нанесите эти пары координат. Две точки дают вам достаточно информации для проведения линии, но поскольку возможны ошибки, а человеческий рисунок не идеален, безопаснее создать по крайней мере три точки. Отобразите T-таблицу со связанными значениями x и y и нарисуйте график линии.
- Скажем: Теперь, как бы вы нарисовали линию для уравнения y = 2 х + 3? Учащиеся, скорее всего, будут использовать стратегию составления Т-таблицы и вычисления баллов.
Если они забыли умножить свои значения x на 2 перед добавлением 3, напомните им о порядке операций (умножение или деление слева направо, затем сложение или вычитание слева направо). Попросите разных учащихся сформулировать разные точки зрения, обсуждая их рассуждения по ходу дела. - Спросите: Кто-нибудь может дать мне число от –5 до 5? А как насчет числа от –10 до 10? : Используйте эти числа для создания линейных уравнений. Первое число будет коэффициентом х , а второе будет добавлено к терму х . Создавайте уравнения, находите точки, затем рисуйте линии. Вы можете сделать это упражнение более похожим на игру, попросив учащихся бросать кубики с реальными или виртуальными числами. Если вы работали с наклоном, эти задачи также дадут вам возможность укрепить эту концепцию. (Спросите: как вы думаете, будет ли наклон этой линии положительным или отрицательным? Как вы думаете, будет ли он очень крутым или не таким крутым? Пройдет ли эта линия через начало координат?)
Линейные уравнения: развитие концепции
Материалы: Координатная сетка, которую могут видеть все учащиеся (сетка должна идти не менее от –10 до +10 по обеим осям), инструмент для разметки сетки точками и линиями
- Произнесите Когда мы создавали точки для линий на прошлом уроке, наши уравнения всегда выглядели одинаково.
Другими словами, они всегда были в одной и той же форме. Сегодня мы рассмотрим, как они могут выглядеть по-разному. - Скажем, Может кто-нибудь описать, как найти некоторые пары координат для линейного уравнения, 2 x + y = 15? Это двухшаговое уравнение. Решения включают присвоение значения x , затем умножение этого значения на 2, прежде чем пытаться выяснить, какое значение y удовлетворяло бы уравнению. Учащиеся могут использовать метод проб и ошибок или преобразовать уравнение, используя свойства равенства:
Напишите уравнение. 2 x + y = 15 Присвойте значение x . 2(3) + y = 15 Умножить. 6 + y = 15 Вычесть 6 с каждой стороны. 6 – 6 + y = 15 – 6 Вычесть. 
y = 9 Это решение дает нам точку (3,9). Продолжайте находить решения или согласовывать пары для этого уравнения до тех пор, пока вы не будете удовлетворены тем, что учащиеся довольны процессом. Затем нанесите точки на сетку и нарисуйте линию.
Скажем, Может кто-нибудь описать, как найти некоторые точки на линии, описываемой уравнением y + x/3 = 5?
Это решение дает нам точку (3,4).Напишите уравнение. y + x /3 = 5 Присвойте значение x . y + 3/3 = 5 Разделить. y + 1 = 5 Вычтите по 1 с каждой стороны. г + 1 – 1 = 5 – 1 Вычесть. y = 4 
Студенты могут заметить, что это не похоже на предыдущие линейные уравнения. Объясните, что, поскольку x /3 — это то же самое, что (1/3) x , x /3 по-прежнему является обычным термином. Продолжайте находить решения или согласовывать пары для этого уравнения до тех пор, пока вы не будете удовлетворены тем, что учащиеся довольны процессом. Затем нанесите точки на сетку и нарисуйте линию.- Скажем, Может кто-нибудь описать, как найти некоторые точки на линии, описываемой уравнением y – 6 = 2x?
Напишите уравнение. г – 6 = 2 x Присвойте значение x . y – 6 = 2(3)
Умножить. y – 6 = 6 Добавьте по 6 с каждой стороны. г – 6 + 6 = 6 + 6 Доп. 
y = 12 Это решение дает нам точку (3,12).
- К настоящему времени учащиеся должны были заметить, что простая замена x равна 0. Эта замена даст вам точку, в которой линия пересекает ось y . Предложите учащимся прийти к этому пониманию, если они не делают этого самостоятельно.
Когда учащиеся решают многошаговые уравнения, обратите особое внимание на то, соблюдают ли они порядок операций. Это важное алгебраическое понятие.
Кроме того, следите за тем, действительно ли учащиеся понимают, что свойства равенства говорят о том, что если вы делаете что-то с одной частью уравнения, вы ДОЛЖНЫ сделать то же самое с другой частью уравнения. То, что вы делаете, определяется действием, указанным уравнением. Если число вычитается из и и вы хотите y , чтобы быть само по себе, добавьте это число к каждой части уравнения, и его противоположное число «переместится» на другую часть уравнения.
Точно так же, если y умножить на число, деление поможет вам получить y само по себе.
***
Ищете решение для учащихся 5-х классов и старше, которое поможет разблокировать изучение уравнений и формул линейных отношений и не только? Исследуйте Math 180 , революционный подход к математическому вмешательству.
Математика Мероприятия и уроки 6-8 классы 9-12 классы Вмешательство
Связанные материалыД-р Эми Эндо
Директор по исследованиям в области образования, дополнительный язык и интервенция, язык и грамотность