Уравнение скорости и перемещения: Запишите уравнение перемещения при равноускоренном движении.

(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные за покупку книг)

Книги с самым высоким рейтингом по Simple Gravity Science

Книги с самым высоким рейтингом по продвинутой физике гравитации

Вопросы и комментарии

У вас есть вопросы, комментарии или мнения по этой теме? Если это так, отправьте электронное письмо с вашим отзывом. Я постараюсь вернуться к вам как можно скорее.

Поделиться этой страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:

Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/science/
gravity_derivations_displacement_velocity.htm

Разместите его в качестве ссылки на своем веб-сайте или в качестве ссылки в своем отчете, документе или диссертации.

Copyright © Ограничения

Где ты сейчас?

Школа Чемпионов

Гравитационные темы

Вывод уравнений перемещения-скорости гравитации

Перемещение, время и средняя скорость: значения и формулы

«Мы уже там?» Если вы когда-либо были пассажиром в ужасно долгом путешествии на летние каникулы или каникулы, вы знаете, насколько важны каждые миль. Возможно, вы попросили своего водителя немного ускориться, зная, что можете прибыть в пункт назначения немного раньше. И когда ответ на этот вопрос был ” Н о!” , возможно, вы изучали свой запланированный маршрут, ища более короткий путь, чтобы получить несколько дополнительных минут удовольствия.

Даже самые, казалось бы, простые сценарии движения, такие как скучная поездка в гораздо менее скучный тематический парк, сводятся к набору фундаментальных величин кинематики. Ваше путешествие к пониманию того, как устроен мир, начинается с изучения того, как движутся самые основные системы: почему физическое положение в пространстве, направление движения, скорость движения и время имеют значение. В этой статье мы рассмотрим определения, а также соответствующие формулы и примеры смещения, расстояния, времени и средней скорости. Прежде чем вы это узнаете, вы гораздо лучше поймете все причины ответа, «Мы доберемся, когда доберемся!»

Определение смещения в физике

Возможно, наиболее легко наблюдаемым аспектом движения являются изменения положения во времени. Всякий раз, когда вы встаете со стула и идете на кухню, едете на автобусе из дома в школу или идете от входной двери к почтовому ящику, вы меняете физическое положение своего тела в пространстве. Мы понимаем эту концепцию позиционного изменения как смещение.

Смещение — общее изменение положения объекта.

Перемещение является векторной величиной: оно имеет направление и величину.

Есть несколько способов измерить смещение. Мы можем использовать стандартную декартову координатную плоскость и вычислить разницу между различными точками. В качестве альтернативы мы можем рассчитать изменения положения различных зданий, городов, штатов или стран относительно друг друга на карте. Мы даже можем использовать координаты GPS. Независимо от того, как вы решите измерять, вам нужно помнить, чтобы сначала определить начало координат, положительное и отрицательное направления — не зная этих деталей, вы можете получить неверный расчет!

Расстояние по сравнению с перемещением

Вы должны быть хорошо знакомы с понятием расстояния от путешествий в повседневной жизни. Вы, наверное, знаете, сколько миль нужно, чтобы добраться до продуктового магазина от вашего дома, дома друга или члена большой семьи или другого места, которое вы часто посещаете. Теперь давайте определим, что мы подразумеваем под расстоянием в контексте физики.

Расстояние равно величине смещения.

Расстояние является скалярной величиной: оно имеет величину, но не имеет направления.

Теперь расстояние иногда путают с термином пройденного расстояния.

Пройденное расстояние — это длина пути от начала до конца.

Итак, в чем разница между всеми этими терминами? В отличие от смещения, которое может иметь отрицательное, положительное или нулевое значение, измерения расстояния всегда неотрицательны . Если это звучит немного запутанно, давайте проведем быстрый мысленный эксперимент. Представьте, что вы бегун, участвующий в гонке \(400\,\mathrm{m}\). Звучит пушка, и вы начинаете пробираться по трассе к финишу. Теперь длина вашего пути от начала до конца равна \(400\,\mathrm{m}, \), однако смещение от начала до конца равно \(0\,\mathrm{m} \) в каждом направлении.

Почему? Ну, ваша общая позиция не изменилась, так как вы закончили в той же позиции, что и начали. В результате расстояние между началом и концом также равно \(0\,\mathrm{m} \), поскольку расстояние является величиной смещения, а величина нуля равна нулю.

Рис. 1. Гонка на треке как пример зависимости пройденного расстояния от расстояния.

Формулы расстояния и смещения

Теперь, когда мы разобрались с различиями между расстоянием и перемещением, давайте посмотрим на формулы, которые нам нужно знать. Запишем формулу смещения математически как

\begin{align*} \text{смещение} &=\text{конечная позиция} – \text{начальная позиция} \\ \Delta x&=x_\text{f}-x_\text{i}, \ end{align*}

, где \(x_\text{i}\) — начальная позиция, а \(x_\text{f}\) — конечная позиция. Греческая буква \(\Дельта\), произносимая как «Дельта», указывает на изменение некоторой переменной . Таким образом, под \(\Delta x\) мы подразумеваем изменение положения или перемещение.

Если вы знаете длину каждого отрезка пути по прямой между несколькими парами точек, вы можете вычислить расстояние, просто найдя сумму всех отдельных длин. Мы также можем вычислить расстояние \(d\) между двумя точками на двумерной плоскости, используя формулу: 92.}} \end{align*}

Проще говоря, мы вычисляем величину вектора смещения , что приводит к скалярной величине. И расстояние, и перемещение измеряются в единицах длины с соответствующей базовой единицей СИ в метрах, представленной символом \(\mathrm{m}\).

Давайте рассмотрим пример сравнения формул смещения и расстояния, чтобы увидеть, как эти расчеты могут сильно отличаться на практике.

Предположим, вам нужно пойти в местный зоомагазин за припасами, расположенный в пяти милях от вашего дома. Вы начинаете свое путешествие дома, едете на машине в магазин и возвращаетесь домой. Какой у вас пройденный путь и перемещение в конце пути?

Рис. 2: График, демонстрирующий расчеты расстояния, пройденного расстояния и перемещения для одной поездки.

Начнем с расчета пройденного расстояния. В этом случае вы проехали пять миль дважды, поэтому пройденное расстояние равно

\begin{align*} s &=\mathrm{5\, mi+5\, mi=10\, mi}. \end{align*}

Расстояние, которое вы преодолели от начала до конца поездки, составляет десять миль. Далее посчитаем смещение,

\begin{align*} \Delta x &= x_\text{f} – x_\text{i}=0\,\mathrm{mi} \end{align*}

Итак, несмотря на то, что вы проехали десять миль, ваше перемещение, как и расстояние, равно нулю миль, потому что вы оказались в том же положении, что и начали.

В предыдущем примере ваше перемещение равно нулю миль, потому что ваше начальное и конечное положения не изменились. Другими словами, ваше положение не изменилось с тех пор, как вы начали и закончили дома. Давайте рассмотрим другой пример, на этот раз с поездкой, заканчивающейся в позиции, отличной от исходной.

Вместо этого скажем, что после посещения того же зоомагазина, что и раньше, вы решили пойти в обход. На этот раз вы начинаете из дома, едете в зоомагазин, посещаете пекарню, а затем едете в школу. Пекарня находится в трех милях от зоомагазина, а школа — в десяти милях от пекарни. Найдите пройденное расстояние и свое перемещение в конце пути. Также рассчитайте расстояние до начальной точки.

Рис. 3: График, демонстрирующий расчеты расстояния, пройденного расстояния и перемещения для многоэтапной поездки.

Опять же, давайте просуммируем длину между каждой позицией для трех этапов пути, чтобы узнать пройденное расстояние:

\begin{align*} s&=\mathrm{5\, mi+3\, mi+ 10\, ми=18\, ми}. \end{align*}

Наконец, давайте найдем разницу в расположении между школой и домом, чтобы получить общее смещение:

\begin{align*} \Delta x &=\mathrm{-2\, mi-0\ , mi=-2\, mi}. \end{выравнивание*}

У нас отрицательное значение смещения после этой поездки, потому что школа расположена слева от нашего дома, а мы выбрали положительное направление вправо. Теперь, чтобы вычислить расстояние, мы должны взять величину нашего смещения следующим образом:

$$\begin{align}\mathrm{distance}&=|-2\,\mathrm{mi}| =2\,\mathrm{mi}\end{align}.$$

Наше расстояние в конце этой поездки до исходной позиции равно \( 2\,\mathrm{mi} \).

Смещение в предыдущем примере равно \(\mathrm{-2\, mi}\), поскольку и зоомагазин, и пекарня расположены на положительной оси \(x\) справа от \(x=0 \,\mathrm{mi}\), а школа расположена на отрицательной оси \(x\). Школа находится в двух милях от вашего дома, но в противоположном направлении от зоомагазина и пекарни. Давайте рассмотрим еще один пример сравнения вычислений расстояния и смещения.

В предыдущих примерах исходной позицией был ваш дом. Если ваше начальное положение — школа, найдите расстояние и чистое перемещение для поездки, начинающейся в школе, посещающей пекарню и заканчивающейся в зоомагазине.

Опять же, начиная с расчета расстояния:

\begin{align*} d&=\mathrm{10\, mi+3\, mi=13\, mi}.\end{align*}

И, наконец, расчет смещения:

\begin{align*} \Delta x &=8\, \mathrm{mi}-(-2\,\mathrm{mi})=10\, \mathrm{mi}. \end{выравнивание*}

На этот раз наше смещение от начала координат положительное.

Давайте вспомним, что мы уже узнали о расстоянии и смещении.

• Расстояние представляет собой величину смещения и всегда неотрицательна.
• Пройденное расстояние — это длина пути от начала до конца.
• Расстояние не учитывает направление и является скалярной величиной.
• Смещение — это изменение положения между двумя точками, которое может быть нулевым, положительным или отрицательным.
• Перемещение зависит от направления и является векторной величиной.

Формула времени в физике

Понятие времени уже стало очень привычной частью повседневной жизни. У вас есть школьное расписание для смены занятий в определенные часы дня, будильник, установленный на определенный час, чтобы вставать по утрам, и представление о том, какую часть дня будут занимать определенные задачи. В физике время является важной переменной для понимания всех видов физических систем, и, в частности, его можно наблюдать по изменению некоторой величины.

Время — это измерение того, сколько времени требуется для события или наблюдаемого изменения.

Мы измеряем время в секундах, \(\mathrm{s}\), так как это основная единица времени в системе СИ. В практическом смысле, например, во время лаборатории, мы измеряем течение времени секундомером или обычными часами. Мы также можем определить время, пройденное движущимся объектом, используя формулу

\begin{align} \mathrm{time} &=\frac{\text{пройденное расстояние}}{\text{скорость}}, \\t& =\фрак{с} {v}. \end{выравнивание}

Конечно, время является скалярной величиной, математически определяемой с использованием других скалярных величин и измеряемой относительно предыдущей отметки времени, выбранной на часах. Мы понимаем, что время постоянно движется вперед, без отрицательного направления или эквивалента, и нет возможности отменить то, что уже было сделано в прошлом. Мы используем время как меру того, как долго длилось событие.

Определение средней скорости

Объект, положение которого изменяется, имеет измеримую скорость изменения, известную как скорость.

Скорость — скорость изменения положения.

Скорость — это еще один способ сказать: «Объект перемещается на это большое расстояние за каждую единицу времени». Средняя скорость — это просто средняя скорость изменения положения за весь период времени, в отличие от i мгновенной скорости , которая измеряется в определенный момент времени с использованием заданной функции скорости.

Скорость против скорости

Так же, как существует ключевое различие между расстоянием и перемещением, такое же различие существует для скорости и скорости.

Скорость — величина скорости.

Скорость описывает, насколько быстро объект перемещается в пространстве относительно времени или какое расстояние объект преодолевает за определенный период времени. В повседневном языке мы могли бы использовать термины «скорость» и «скорость» взаимозаменяемо, но в физике мы делаем важное различие между ними. Скорость — скалярная величина, числовое значение без направления, а скорость — векторная величина, имеющая как величину, так и направление.

Формулы скорости и средней скорости

В зависимости от имеющейся системы и заданных начальных условий существует несколько формул, которые мы можем использовать в физике для определения средней скорости и скорости. Простейшая формула для средней скорости:

\begin{align*} \text{средняя скорость} &= \frac{\text{смещение}}{\text{прошедшее время}}, \\ v_{\mathrm{avg }}&=\frac{\Delta x}{\Delta t}, \\ v_{\mathrm{avg}}&=\frac{x_\text{f} – x_\text{i}}{t_\text {f} – t_\text{i}}. \end{выравнивание*}

Мы можем рассчитать среднюю скорость движущегося объекта, используя аналогичную формулу:

\begin{align*}\text{средняя скорость}&= \frac{\text{пройденное расстояние}}{\text{истекшее время} } =\frac{s}{t}.\end{align*}

И скорость, и скорость измеряются в единицах \(\mathrm{\frac{длина}{время}}\), наиболее распространенная единица измерения будучи \ (\ mathrm {\ frac {m} {s}} \). Давайте рассмотрим краткий пример расчета скорости движущегося автомобиля.

Обратите внимание, что пройденное расстояние обозначается \( с. \)

Допустим, вы ведете машину и проехали \( 10,2 \) миль за \( 25 \) минут. Какая у вас средняя скорость в милях в час?

Во-первых, мы хотим преобразовать \(\mathrm{25\, min}\) в \(\mathrm{h}\):

\begin{align*} \mathrm{\frac{1\, h} {60\, мин}\умножить на 25\, мин=0,42\, ч}. \end{align*}

Далее, мы хотим использовать формулу для средней скорости и решить:

\begin{align*} \text{средняя скорость}&=\frac{s}{t}, \\ & = \ mathrm {\ frac {10,2 \, mi} {0,42 \, h}}, \\ & = 24 \, \ mathrm {\ frac {mi} {h}}. \end{выравнивание*}

Таким образом, ваша средняя скорость равна \(24\, \mathrm{ми}/ч\). Поскольку скорость является скалярной величиной, мы ожидали, что этот ответ будет неотрицательным, так что это хорошо.

Давайте рассмотрим пример расчета средней скорости с использованием уравнения для средней скорости.

Вы бежите \( 100.1\,\mathrm{m} \) к автобусной остановке, но бросаете блокнот на \( 72\,\mathrm{m}. \) Затем бежите обратно, чтобы забрать его в \ ( 23\,\mathrm{s}. \) Найдите свою среднюю скорость за 23-секундный интервал времени.

Рассчитаем скорость, используя \(x_\text{i}=0\, \mathrm{m}\) и \(x_\text{f}=72\, \mathrm{m}\):

\ begin{align*} v_\mathrm{avg}&=\frac{\Delta x}{\Delta t}, \\ v_\mathrm{avg}&=\mathrm{\frac{72\, m-0\, m}{23\, s}}, \\ v_\mathrm{avg}&=\mathrm{3.1\, \frac{m}{s}}. \end{align*}

Теперь, какой будет ваша средняя скорость, если вы также бросите перо в исходное положение и побежите за ним? Скажем, вам потребуется дополнительно \( 18\,\mathrm{s} \), чтобы вернуться в исходное положение. Давайте рассчитаем среднюю скорость вашего бега до автобусной остановки и обратно, чтобы забрать свой блокнот и ручку.

На этот раз общее истекшее время равно \(\mathrm{23\, с+18\, с=41\, с}\). Теперь найдем вашу среднюю скорость:

\begin{align*} v_\mathrm{avg}&=\mathrm{\frac{0\, m-0\, m}{41\, s}} \\ v_ \mathrm{avg}&=\mathrm{0\, \frac{m}{s}}. \end{align*}

Поскольку для этого расчета мы использовали только конечные точки, обе из которых равны нулю, средняя скорость также равна нулю. Какова средняя скорость? Используя формулу для средней скорости, при общем пройденном расстоянии \(\mathrm{200,2\, м}\) от бега туда и обратно между автобусной остановкой, мы получаем

\begin{align*} \text{средняя скорость}=\mathrm{\frac{200,2\, м}{41\, с}} =4,9\, \mathrm{\frac{м}{с}}. \end{align*}

Чтобы закончить наше обсуждение средней скорости, давайте кратко рассмотрим нахождение скоростей на графике.

График средней скорости

В дополнение к численному решению средней скорости также полезно графически отображать различные переменные движения, чтобы визуализировать проблему. Мы можем использовать позицию – временной график в качестве инструмента для изучения скорости объекта с учетом функции положения. Давайте используем следующий график, чтобы попрактиковаться в нахождении скорости между несколькими разными точками кривой.

Рис. 4: График положения в зависимости от времени, где наклон между любыми двумя точками равен средней скорости.

Мы можем найти среднюю скорость, рассчитав наклон между двумя точками на кривой. Рассчитаем среднюю скорость для трех разных отрезков графика по двум точкам с графика. Мы будем использовать нашу формулу \(v_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\) для каждого расчета.

Сначала найдем среднюю скорость между второй точкой \((4,8)\) и четвертой точкой \((12,2)\):

\begin{align*} v_{\mathrm{avg }} = \ mathrm {\ frac {2 \, m-8 \, m} {12 \, s-4 \, s} = -0,8 \, \ frac {m} {s}}. \end{align*}

Здесь средняя скорость отрицательна, и на графике мы видим нисходящий тренд. Далее найдем среднюю скорость между третьей точкой \((8,6)\) и пятой точкой \((18, 6)\):

\begin{align*} v_{\mathrm{avg}} = \mathrm{\frac{6\, m-6\, m}{18\, s-8\, s}=0\, \frac{m}{s}}. \end{выравнивание*}

Средняя скорость равна нулю, поскольку положение не изменяется. Наконец, посчитаем среднюю скорость между точками один \((1, 3)\) и два \((4,8)\):

\begin{align*} v_{\mathrm{avg}}= \mathrm {\ гидроразрыва {8 \, м-3 \, м} {4 \, с-1 \, с} = 2 \, \ гидроразрыва {м} {с}}. \end{align*}

Между точками один и два наблюдается восходящий тренд, поэтому средняя скорость положительна.

Смещение, время и средняя скорость — основные выводы

• Смещение — это общее изменение положения объекта.

• Расстояние — это величина смещения.

• Пройденное расстояние — это длина пути от начала до конца.

• Время — это мера того, сколько времени занимает событие или наблюдаемое изменение.