Они записаны с помощью математики, никогда прежде не появлявшейся в уравнениях физики — Римановой геометрии. Буквы с индексами есть не что иное как тензоры: \( \displaystyle R_{\mu \nu}\) — тензор Риччи, \( \displaystyle g_{\mu \nu}\) — метрический тензор, \( \displaystyle T_{\mu \nu}\) — тензор энергии-импульса. Само тензорное исчисление появилось всего несколькими годами ранее теории относительности.
Индексы \( \displaystyle\mu \) и \( \displaystyle \nu\) в уравнениях Эйнштейна могут принимать значения от единицы до четырех, соответственно тензоры можно представить матрицами 4х4. Поскольку они симметричны относительно диагонали, независимы друг от друга оказываются только десять компонент. Таким образом, в развернутом виде имеем систему из десяти нелинейных дифференциальных уравнений — уравнений Эйнштейна.
Задачей решения уравнений Эйнштейна является нахождение явного вида метрического тензора \( \displaystyle g_{\mu \nu}\), полностью характеризующего геометрию пространства-времени.
геометрия (левая часть) = энергия (правая часть)
Искривленная геометрия в свою очередь определяет траектории движения материальных тел. То есть согласно Эйнштейну — гравитация это и есть пространство-время. Просто оно в отличие от Ньютоновской теории не является статическим неизменным объектом, а может деформироваться, искривляться.
Метрический тензор — решение уравнений Эйнштейна — в общем случае разный в разных точках пространства, то есть является функцией координат.
2}\)
Но в приближении малых масс и скоростей они повторяют результаты Ньютоновской теории. Из-за множества тензорных компонент аналитические вычисления крайне запутаны, благо сейчас все моделирование можно производить на компьютере.
Это объясняется тем, что все физические величины обычно выражаются в виде функций от пространственных координат и времени \( \displaystyle x=f(t)\). Что делать когда само пространство \( \displaystyle x\) и время \( \displaystyle t\) теряют классический смысл? По-сути стоит задача построить квантовую теорию самого пространства-времени. Наивные подходы, вводящие минимальную длину и минимальный промежуток времени, несостоятельны вследствие относительности этих величин (изменении при преобразованиях Лоренца).
Среди физиков бытует мнение, что квантовая механика более тесно связана с гравитацией чем предполагалось ранее и их объединение приведет к качественно новой теории.
почему E=mc2 или как Эйнштейн пришел к теории относительности — T&P
Построив модель пространства и времени, Эйнштейн проложил путь к пониманию того, как загораются и светят звезды, открыл глубинные причины работы электродвигателей и генераторов электрического тока и, по сути, заложил фундамент всей современной физики. В своей книге «Почему Е=mc2?» ученые Брайан Кокс и Джефф Форшоу не ставят под сомнение теорию Эйнштейна, а учат не доверять тому, что мы называем здравым смыслом. Публикуем главы о пространстве и времени, а, вернее, о том, почему нам нужно отказаться от сложившихся о них представлениях.
«Почему Е=mc2?».
Что для вас значат слова «пространство» и «время»? Возможно, вы представляете себе пространство как тьму между звездами, которую видите, глядя на небо холодной зимней ночью? Или как пустоту между Землей и Луной, в которой мчится космический корабль со звездами и полосами, пилотируемый парнем по имени Базз (Buzz Aldrin, пилот лунного модуля «Аполлон-11»)? Время можно представить как тиканье ваших часов или осеннее превращение листьев из зеленых в красные и желтые, когда Солнце проходит по небу все ниже в пятимиллиардный раз.
Мы все интуитивно ощущаем пространство и время; они — неотъемлемая часть нашего существования. Мы движемся через пространство на поверхности голубой планеты, пока время ведет свой отсчет.
Ряд научных открытий, сделанных в последние годы XIX столетия на первый взгляд в совершенно не связанных между собой областях, побудил физиков пересмотреть простые и интуитивные картины пространства и времени. В начале XX века Герман Минковский, коллега и учитель Альберта Эйнштейна, написал свой знаменитый некролог древней сфере с орбитами, по которым путешествовали планеты: «Отныне пространство само по себе и время само по себе превратились не более чем в тени, и имеется только своего рода смешение этих двух понятий». Что Минковский подразумевал под смешением пространства и времени? Чтобы разобраться в сути этого почти мистического утверждения, необходимо понять специальную теорию относительности Эйнштейна, которая представила миру наиболее известное из всех уравнений, E = mc2, и навсегда поместила в центр нашего понимания устройства Вселенной величину, обозначаемую символом c — скорость света.
Специальная теория относительности Эйнштейна — это фактически описание пространства и времени. Центральное место в ней занимает понятие особой скорости, которую невозможно превзойти никаким ускорением, каким бы сильным оно ни было. Эта скорость — скорость света в вакууме, составляющая 299 792 458 метров в секунду. Путешествуя с такой скоростью, луч света, покинувший Землю, через восемь минут пролетит мимо Солнца, за 100 тысяч лет пересечет нашу Галактику Млечный Путь, а через два миллиона лет достигнет ближайшей соседней галактики — Туманности Андромеды. Сегодня ночью крупнейшие телескопы Земли будут вглядываться в черноту межзвездного пространства и ловить древние лучи света от дальних, давно умерших звезд на краю наблюдаемой Вселенной. Эти лучи начали свое путешествие более 10 миллиардов лет назад, за несколько миллиардов лет до возникновения Земли из сжимающегося облака межзвездной пыли. Скорость света велика, но далеко не бесконечна. По сравнению c огромными расстояниями между звездами и галактиками она может казаться удручающе низкой — настолько, что мы в состоянии ускорить очень малые объекты до скоростей, отличающихся от скорости света на доли процента, с помощью такой техники, как 27-километровый Большой адронный коллайдер в Европейском центре ядерных исследований в Женеве.
Если бы можно было превышать скорость света, то мы могли бы построить машину времени, переносящую нас в любую точку истории
Существование специальной, предельной космической скорости — достаточно странная концепция. Как мы узнаем позже из этой книги, связь этой скорости со скоростью света — своего рода подмена понятий. Предельная космическая скорость играет гораздо более важную роль во Вселенной Эйнштейна, и есть веская причина, по которой луч света перемещается именно с данной скоростью. Однако мы к этому еще вернемся. А пока достаточно сказать, что по достижении объектами этой особой скорости начинают происходить странные вещи. Как можно предотвратить превышение объектом этой скорости? Это выглядит так, словно существует универсальный закон физики, не позволяющий вашей машине разогнаться свыше 90 километров в час, независимо от мощности двигателя. Но в отличие от ограничения скорости автомобиля выполнение этого закона обеспечивается не какой-то неземной полицией.
Его нарушение становится абсолютно невозможным благодаря самому построению ткани пространства и времени, и это исключительное везение, поскольку в противном случае мы имели бы дело с очень неприятными последствиями. Позже мы увидим, что если бы можно было превышать скорость света, то мы могли бы построить машину времени, переносящую нас в любую точку истории. Например, мы могли бы отправиться в период до нашего рождения и случайно или преднамеренно помешать встрече родителей.
Это неплохой сюжет для фантастической литературы, но не для создания Вселенной. И действительно, Эйнштейн выяснил, что Вселенная устроена совсем не так. Пространство и время настолько тонко переплетены, что подобные парадоксы недопустимы. Однако все имеет свою цену, и в данном случае эта цена — наш отказ от глубоко укоренившихся представлений о пространстве и времени. Во Вселенной Эйнштейна движущиеся часы идут медленнее, движущиеся объекты сокращаются в размере и мы можем путешествовать на миллиарды лет в будущее.
Это Вселенная, где человеческая жизнь может растянуться почти до бесконечности. Мы могли бы наблюдать угасание Солнца, испарение океанов, погружение Солнечной системы в вечную ночь, рождение звезд из облаков межзвездной пыли, формирование планет и, возможно, зарождение жизни в новых, пока еще не сформировавшихся мирах. Вселенная Эйнштейна позволяет нам путешествовать в далекое будущее, вместе с тем удерживая двери в прошлое плотно закрытыми.
К концу этой книги мы увидим, как Эйнштейн был вынужден прийти к столь фантастической картине Вселенной и как ее корректность была неоднократно доказана в ходе большого количества научных экспериментов и технологического применения. Например, спутниковая навигационная система в автомобиле разработана с учетом того факта, что время на орбите спутников и на земной поверхности движется с разной скоростью. Картина Эйнштейна радикальна: пространство и время — совсем не то, чем нам кажутся.
Представьте, что вы читаете книгу во время полета в самолете.
В 12:00 вы взглянули на часы и решили сделать перерыв и прогуляться по салону, чтобы поговорить с другом, сидящим на десять рядов впереди. В 12:15 вы вернулись на место, сели и вновь взяли в руки книгу. Здравый смысл подсказывает, что вы вернулись на то же место: то есть прошли те же десять рядов назад, а когда вернулись, ваша книга находилась там же, где вы ее оставили. А теперь давайте немного задумаемся над концепцией «то же самое место». Поскольку интуитивно понятно, что мы имеем в виду, говоря о некоем месте, все это может восприниматься как чрезмерный педантизм. Мы можем пригласить друга на бокал пива в бар, и бар никуда не переедет к тому времени, когда мы до него дойдем. Он будет на том же месте, где мы его оставили, вполне возможно, накануне вечером. В этой вводной главе многие вещи наверняка покажутся вам излишне педантичными, но все же продолжайте читать. Тщательное обдумывание этих на первый взгляд очевидных концепций проведет нас по стопам Аристотеля, Галилео Галилея, Исаака Ньютона и Эйнштейна.
Если вы ляжете вечером в постель и проспите восемь часов, то к моменту пробуждения переместитесь более чем на 800 тысяч километров
Так как же точно определить, что мы подразумеваем под «тем же самым местом»? Мы уже знаем, как сделать это на поверхности Земли. Земной шар покрыт воображаемыми линиями параллелей и меридианов, так что любое место на его поверхности можно описать двумя числами, представляющими собой координаты. Например, британский город Манчестер расположен в точке с координатами 53 градуса 30 минут северной широты и 2 градуса 15 минут западной долготы. Эти два числа говорят нам о том, где именно находится Манчестер, при условии согласования положения экватора и нулевого меридиана. Следовательно, положение любой точки как на поверхности Земли, так и за ее пределами можно зафиксировать с помощью воображаемой трехмерной сетки, распространяющейся от поверхности Земли вверх. На самом деле такая сетка может проходить и вниз, через центр Земли, и выходить на другой ее стороне.
С ее помощью можно описать положение любой точки — на поверхности Земли, под землей или в воздухе. В действительности нам нет необходимости останавливаться на нашей планете. Сетку можно протянуть до Луны, Юпитера, Нептуна, за пределы Млечного Пути, вплоть до самого края наблюдаемой Вселенной. Такая большая, возможно, бесконечно большая сетка позволяет вычислить местоположение любого объекта во Вселенной, что, перефразируя Вуди Аллена, может очень пригодиться тому, кто не в состоянии вспомнить, куда что положил. Стало быть, эта сетка определяет область, где находится все сущее, своего рода гигантскую коробку, содержащую все объекты Вселенной. У нас даже может возникнуть соблазн назвать эту гигантскую область пространством.
Но вернемся к вопросу, что означает «одно и то же место», и к примеру с самолетом. Можно предположить, что в 12:00 и 12:15 вы находились в одной и той же точке пространства. Теперь представим, как выглядит последовательность событий с позиции человека, который наблюдает за самолетом с поверхности Земли.
Если самолет пролетает над его головой со скоростью, скажем, около тысячи километров в час, то за период с 12:00 до 12:15 вы переместились, с его точки зрения, на 250 километров. Другими словами, в 12:00 и 12:15 вы находились в разных точках пространства. Так кто же прав? Кто двигался, а кто оставался на одном и том же месте?
Если вы не в состоянии ответить на этот будто бы простой вопрос, то вы оказались в хорошей компании. Аристотель, один из величайших мыслителей Древней Греции, был бы абсолютно неправ, поскольку однозначно бы заявил, что движется пассажир самолета. Аристотель считал, что Земля неподвижна и находится в центре Вселенной, а Солнце, Луна, планеты и звезды вращаются вокруг Земли, будучи закреплены на 55 концентрических прозрачных сферах, вложенных друг в друга, как матрешки. Таким образом, Аристотель разделял наше интуитивное представление о пространстве как некой области, в которой размещены Земля и небесные сферы. Для современного человека картина Вселенной, состоящей из Земли и вращающихся небесных сфер, выглядит совершенно нелепой.
Но подумайте сами, к какому выводу вы могли прийти, если бы никто не сказал вам, что Земля вращается вокруг Солнца, а звезды представляют собой не что иное, как очень удаленные солнца, среди которых есть звезды в тысячи раз ярче ближайшей к нам звезды, хотя они и расположены в миллиардах километров от Земли? Безусловно, у нас не было бы ощущения, что Земля дрейфует в невообразимо огромной Вселенной. Наше современное мировоззрение сформировалось ценой больших усилий и зачастую противоречит здравому смыслу. Если бы картина мира, которую мы создавали на протяжении тысячелетий экспериментов и размышлений, была очевидной, то великие умы прошлого (такие как Аристотель) сами бы разгадали эту загадку. Стоит вспомнить об этом, когда какая-либо из описанных в книге концепций покажется вам слишком сложной. Величайшие умы прошлого согласились бы с вами.
стол Эйнштейна через несколько часов после его смерти
Чтобы найти изъян в ответе Аристотеля, давайте на минуту примем его картину мира и посмотрим, к чему это приведет.
Согласно Аристотелю, мы должны заполнить пространство линиями воображаемой сетки, связанной с Землей, и определить с ее помощью, кто где находится и кто движется, а кто нет. Если представить себе пространство как заполненный объектами ящик, с Землей, зафиксированной в центре, то будет очевидно, что именно вы, пассажир самолета, меняете свое местоположение в ящике, тогда как наблюдающий за вашим полетом человек стоит не шевелясь на поверхности Земли, неподвижно висящей в пространстве. Другими словами, имеется абсолютное движение, а значит, и абсолютное пространство. Объект пребывает в абсолютном движении, если со временем меняет свое местоположение в пространстве, которое вычисляется с помощью воображаемой сетки, привязанной к центру Земли.
Безусловно, проблема такой картины в том, что Земля не покоится неподвижно в центре Вселенной, а представляет собой вращающийся шар, движущийся по орбите вокруг Солнца. Фактически Земля движется относительно Солнца со скоростью около 107 тысяч километров в час.
Если вы ляжете вечером в постель и проспите восемь часов, то к моменту пробуждения переместитесь более чем на 800 тысяч километров. Вы даже вправе заявить, что примерно через 365 дней ваша спальня вновь окажется в той же точке пространства, так как Земля завершит полный оборот вокруг Солнца. Следовательно, вы можете решить лишь немного изменить картину Аристотеля, оставив нетронутым сам дух его учения. Почему бы просто не перенести центр координатной сетки на Солнце? Увы, эта достаточно простая мысль тоже неверна, поскольку Солнце также движется по орбите вокруг центра Млечного Пути. Млечный Путь — это наш локальный остров во Вселенной, состоящий из более чем 200 миллиардов звезд. Только представьте, насколько велика наша Галактика и сколько времени требуется, чтобы ее обойти. Солнце с Землей на буксире двигается по Млечному Пути со скоростью около 782 тысячи километров в час на расстоянии примерно в 250 квадриллионов километров от центра Галактики. При подобной скорости понадобится около 226 миллионов лет, чтобы совершить полный оборот.
В таком случае, может, достаточно будет еще одного шага, чтобы сохранить картину мира Аристотеля? Разместим начало сетки в центре Млечного Пути и посмотрим, что же было в вашей спальне, когда место, в котором она находится, пребывало в этой точке пространства в прошлый раз. А в прошлый раз на этом месте динозавр ранним утром поглощал листья доисторических деревьев. Но и эта картина ошибочна. В действительности галактики «разбегаются», удаляясь друг от друга, и чем дальше от нас расположена галактика, тем быстрее она удаляется. Наше движение среди мириады галактик, образующих Вселенную, представить себе крайне трудно.
Наука приветствует неопределенность и признает, что это ключ к новым открытиям
Так что в картине мира Аристотеля наблюдается явная проблема, поскольку она не позволяет точно определить, что значит «оставаться в неподвижности». Другими словами, невозможно рассчитать, где нужно разместить центр воображаемой координатной сетки, а стало быть, и решить, что находится в движении, а что стоит на месте.
Самому Аристотелю не приходилось сталкиваться с данной проблемой, потому что его картина неподвижной Земли, окруженной вращающимися сферами, не оспаривалась почти две тысячи лет. Наверное, это следовало сделать, но, как мы уже говорили, подобные вещи не всегда очевидны даже для величайших умов. Клавдий Птолемей, которого мы знаем как просто Птолемея, работал во II столетии в великой Александрийской библиотеке и внимательно изучал ночное небо. Ученого беспокоило на первый взгляд необычное движение пяти известных на то время планет, или «блуждающих звезд» (название, от которого произошло слово «планета»). Многомесячные наблюдения с Земли показывали, что планеты не движутся на фоне звезд по ровному пути, а выписывают странные петли. Это необычное движение, обозначаемое термином «ретроградное», было известно за много тысячелетий до Птолемея. Древние египтяне описывали Марс как планету, которая «движется назад». Птолемей был согласен с Аристотелем в том, что планеты вращаются вокруг неподвижной Земли, но, чтобы объяснить ретроградное движение, ему пришлось прикрепить планеты к эксцентричным вращающимся колесам, которые, в свою очередь, были прикреплены к вращающимся сферам.
Такая весьма сложная, но далеко не элегантная модель позволяла объяснить движение планет по небу. Истинного объяснения ретроградного движения пришлось ждать до середины XVI века, когда Николай Коперник предложил более изящную (и более точную) версию, заключавшуюся в том, что Земля не покоится в центре Вселенной, а вращается вокруг Солнца вместе с остальными планетами. У работы Коперника нашлись серьезные противники, поэтому она была запрещена католической церковью, и запрет был снят только в 1835 году. Точные измерения Тихо Браге и работы Иоганна Кеплера, Галилео Галилея и Исаака Ньютона не только полностью подтвердили правоту Коперника, но и привели к созданию теории движения планет в виде законов Ньютона о движении и гравитации. Эти законы представляли собой лучшее описание движения «блуждающих звезд» и вообще всех объектов (от вращающихся галактик до артиллерийских снарядов) под воздействием гравитации. Такую картину мира не ставили под сомнение до 1915 года, когда была сформулирована общая теория относительности Эйнштейна.
Постоянно меняющееся представление о положении Земли, планет и их движении по небу должно послужить уроком для тех, кто абсолютно убежден в каком-то своем знании. Есть много теорий об окружающем мире, которые на первый взгляд кажутся самоочевидной истиной, и одна из них — о нашей неподвижности. Будущие наблюдения могут нас удивить и озадачить, что во многих случаях и происходит. Хотя мы не должны болезненно реагировать на то, что природа часто вступает в противоречие с интуитивными представлениями племени наблюдательных потомков приматов, представляющих собой углеродную форму жизни на небольшой каменной планете, вращающейся вокруг ничем не примечательной немолодой звезды на задворках Млечного Пути. Теории пространства и времени, которые мы обсуждаем в этой книге, на самом деле могут оказаться (и, скорее всего, окажутся) не более чем частными случаями пока еще не сформулированной более глубокой теории. Наука приветствует неопределенность и признает, что это ключ к новым открытиям.
Общая теория относительности Эйнштейна: гравитация как геометрия.
Общая теория относительности. . Общая теория относительности принимает форму уравнений поля, описывающих кривизну пространства-времени и распределение материи в пространстве-времени. Воздействие материи и пространства-времени друг на друга — это то, что мы воспринимаем как гравитацию.Теория пространственно-временного континуума уже существовала, но в общей теории относительности Эйнштейн смог описать гравитацию как искривление геометрии пространства-времени. Эйнштейн определил набор из
По мере того, как Эйнштейн разрабатывал свою общую теорию относительности, ему приходилось уточнять общепринятое понятие пространственно-временного континуума, придавая ему более точную математическую структуру.
Он также ввел еще один принцип, принцип ковариации . Этот принцип гласит, что законы физики должны иметь одинаковую форму во всех системах координат.
Другими словами, все координаты пространства-времени трактуются законами физики одинаково — в форме уравнений поля Эйнштейна. Это похоже на принцип относительности, который утверждает, что законы физики одинаковы для всех наблюдателей, движущихся с постоянной скоростью. На самом деле после того, как была разработана общая теория относительности, стало ясно, что принципы специальной теории относительности представляют собой особый случай.
Основной принцип Эйнштейна заключался в том, что независимо от того, где вы находитесь — в Толедо, на горе Эверест, на Юпитере или в галактике Андромеды — действуют одни и те же законы. На этот раз, однако, законами были уравнения поля, и ваше движение могло совершенно определенно повлиять на решения, вытекающие из уравнений поля.
Если вы ускоряетесь в пустом пространстве (где поле пространства-времени плоское, как на левой картинке этого рисунка), геометрия пространства-времени будет казаться искривленной. Это означало, что если есть объект с массой, создающей гравитационное поле, он также должен искривлять пространственно-временное поле (как показано на правом рисунке).Поскольку пространство-время искривлено, объекты, движущиеся в пространстве, будут следовать «самому прямому» пути вдоль кривой, что объясняет движение планет. Они следуют по кривой траектории вокруг Солнца, потому что Солнце искривляет пространство-время вокруг себя.
Опять же, вы можете думать об этом по аналогии. Если вы летите на самолете по Земле, вы следуете по траектории, огибающей Землю.
На самом деле, если вы возьмете плоскую карту и проведете прямую линию между начальной и конечной точками путешествия, кратчайшим путем будет , а не . Кратчайший путь на самом деле образован «большим кругом», который вы получили бы, если бы разрезали Землю пополам, с обеими точками вдоль внешней стороны разреза. Путешествие из Нью-Йорка в северную Австралию предполагает полет вдоль южной Канады и Аляски — нигде нет прямой линии на плоских картах, к которым мы привыкли.
Точно так же планеты в Солнечной системе следуют кратчайшими путями — теми, которые требуют наименьшего количества энергии — и это приводит к движению, которое мы наблюдаем.
В 1911 году Эйнштейн проделал достаточно работы по общей теории относительности, чтобы предсказать, насколько сильно должен искривляться свет в этой ситуации, что должно быть видно астрономам во время затмения.
Когда Эйнштейн опубликовал свою полную теорию относительности в 1915 году, он исправил несколько ошибок, и в 1919 году экспедиция отправилась наблюдать отклонение света Солнцем во время затмения на западноафриканском острове Принсипи.
Эддингтон вернулся в Англию с нужными ему снимками, и его расчеты показали, что отклонение света точно соответствует предсказаниям Эйнштейна. Общая теория относительности сделала предсказание, которое совпало с наблюдениями.
Альберт Эйнштейн успешно создал теорию, объясняющую гравитационные силы Вселенной, и сделал это, применив несколько основных принципов. Насколько это было возможно, работа была подтверждена, и большая часть физического мира согласилась с ней. Почти за одну ночь имя Эйнштейна стало всемирно известным. В 1921 года Эйнштейн путешествовал по Соединенным Штатам в медиа-цирк, который, вероятно, не имел себе равных до битломании 1960-х годов.
Эту статью можно найти в категории:
- Физика ,
общая теория относительности – непрофессиональное объяснение и понимание уравнений поля Эйнштейна
.
Я попытаюсь дать качественное описание того, что означает каждый член уравнения. Однако я должен предупредить потенциальных читателей, что это будет не будет коротким ответом. Более того, я воздержусь от попыток вывести уравнения «элементарным» способом, так как я их точно не знаю.Материя
В правой части уравнения самым важным является появление тензора энергии-импульса $T_{\mu\nu}$. Он точно кодирует, как материя, понимаемая в широком смысле, то есть любая энергия (или масса, или импульс, или давление), несущая среду, распределяется во Вселенной. Чтобы понять, как интерпретировать индексы нижнего индекса $T$, см. мое объяснение метрического тензора ниже. 94}\Big)$, но это не имеет решающего значения: их можно рассматривать как бухгалтерские инструменты, которые отслеживают единицы величин, связанных уравнением. Фактически, профессиональные физики обычно берут на себя смелость переопределять наши единицы измерения, чтобы упростить вид наших выражений, избавившись от таких надоедливых констант, как эта.
Одним из конкретных вариантов может быть выбор «уменьшенных планковских единиц», в которых $8\pi G=1$ и $c=1$, так что множитель становится $1$.
Дифференциальная геометрия
В левой части уравнений Эйнштейна мы находим несколько различных терминов, которые вместе описывают геометрию пространства-времени. Общая теория относительности — это теория, использующая математическую структуру, известную как (полу)риманова геометрия. В этой области математики изучаются пространства, в некотором смысле гладкие и снабженные метрикой. Давайте сначала попробуем понять, что означают эти две вещи.
Свойство гладкости можно проиллюстрировать на наглядном (и исторически важном!) примере гладкой (двумерной) поверхности в обычном трехмерном пространстве. Представьте себе, например, поверхность идеализированного футбольного мяча, то есть 2-сферу. Теперь, если сосредоточить внимание на очень маленьком участке поверхности (поднести мяч к своему лицу), кажется, что мяч в значительной степени плоский.
Но явно не глобально плоский. Не обращая внимания на математическую строгость, мы можем сказать, что пространства, обладающие этим свойством казаться локально плоскими, являются гладкими в некотором смысле. Математически их называют многообразиями. Конечно, глобально плоская поверхность, такая как бесконечный лист бумаги, является простейшим примером такого пространства.
В римановой геометрии (и дифференциальной геометрии вообще) изучаются такие гладкие пространства (многообразия) произвольной размерности. Важно понимать, что их можно изучать без представления , что они встроены в пространство более высокого измерения, то есть без визуализации, которую мы могли использовать с футбольным мячом, или любой другой ссылки на то, что может быть или не быть «вне» самого пространства. Говорят, что можно изучать их и их геометрию, внутренне .
Метрика
Когда дело доходит до собственно изучения геометрии многообразий, основным объектом изучения является метрика (тензор).
\mu_{\ \ \ \nu\rho\sigma}=0$) гарантирует , что пространство-время является плоским. Один известный случай, когда такая вещь полезна, — это метрика Шварцшильда, описывающая черную дыру, которая кажется сингулярной на шварцшильдовском радиусе $r=r_s\neq 0$. При рассмотрении тензора Римана становится очевидным, что кривизна здесь на самом деле конечна, поэтому мы имеем дело с сингулярностью координат , а не с «настоящей» гравитационной сингулярностью.
Взяв определенные «части» тензора Римана, мы можем отбросить часть информации, которую он содержит, в обмен на то, что нам придется иметь дело только с более простым объектом, тензором Риччи: 9{\mu\nu}R_{\mu\nu} $$
Конечно, скаляр Риччи опять же содержит меньше информации, чем тензор Риччи, но с ним даже проще работать. Простое умножение его на $g_{\mu\nu}$ еще раз дает двумерный массив, такой же, как $R_{\mu\nu}$ и $T_{\mu\nu}$. Конкретная комбинация тензоров кривизны, которая появляется в уравнениях поля Эйнштейна, известна как тензор Эйнштейна
$$ G_{\mu\nu}:=R _{\mu\nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu\nu} $$
Космологическая постоянная
До сих пор мы не учитывали один термин: член космологической постоянной $\Lambda g_{\mu\nu}$.