Уравнения Максвелла • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»
200 законов мироздания > Физика
Все электромагнитные явления описываются системой из четырех уравнений.
К середине XIX века ученые открыли целый ряд законов, описывающих электрические и магнитные явления и связи между ними. В частности, были известны:
- закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между электрическими зарядами,
- теорема Гаусса, исключающая возможность существования в природе изолированных магнитных зарядов (магнитных монополей),
- закон Био—Савара, описывающий магнитные поля, возбуждаемые движущимися электрическими зарядами (см. также Закон Ампера и Открытие Эрстеда), и
- законы электромагнитной индукции Фарадея, согласно которым изменение магнитного потока порождает электрическое поле и индуцирует ток в проводниках (см. также Правило Ленца).
Эти четыре группы законов и были обобщены Джеймсом Клерком Максвеллом, которому удалось объединить их в стройную систему (получившую его имя), состоящую из четырех уравнений и исчерпывающим образом описывающую
Прежде всего, Максвеллу мы обязаны строгим математическим описанием всех известных законов электромагнетизма (Фарадей, например, вообще формулировал все открытые им законы исключительно в словесной форме). Во-вторых, в сформулированную им систему Максвелл внес немало принципиально новых идей, отсутствовавших в исходных законах. В-третьих, он придал всем электромагнитным явлениям строгое теоретическое обоснование. И, наконец, в-четвертых, на основе составленной им системы уравнений Максвелл сделал ряд важных предсказаний и открытий, включая предсказание существования спектра электромагнитного излучения.Давайте начнем со второго пункта. Согласно закону Био—Савара, электрический ток, проходящий по проводнику, возбуждает вокруг него магнитное поле. А что если электрический ток протекает не по проводнику, а через плоский конденсатор? Фактически, электроны не перескакивают с одной пластины на другую, однако ток всё равно проходит через конденсатор, поскольку электроны одной пластины взаимодействуют с электронами другой пластины, находясь в непосредственной близости друг от друга, и, в силу взаимного отталкивания, передают друг другу колебания (так называемые осцилляции) переменного тока, обеспечивая, тем самым, протекание тока через, казалось бы, очевидный разрыв в электрической цепи.
Максвелл понял, что закон Ампера в этой ситуации не объясняет прохождение тока. Он также понял, что, хотя заряды с пластины на пластину не переходят, электрическое поле (сила, которая возникла бы, если бы мы поместили между пластинами воображаемый электрический заряд) увеличивается. Исходя из этого он постулировал, что в мире электромагнитных явлений изменяющееся электрическое поле может играть ту же роль в порождении магнитного поля, что и электрический ток. Максвелл ввел принципиально новое понятие тока смещения, добавив его в качестве отдельного слагаемого в обобщенный закон Ампера — первое уравнение Максвелла. И с тех пор наличие токов смещения раз за разом безоговорочно подтверждается экспериментальными данными.
Внеся столь важное дополнение в первое из четырех уравнений, Максвелл на основании составленной им системы уравнений чисто математически вывел фантастическое по тем временам предсказание: в природе должны существовать электромагнитные волны, формирующиеся в результате колебательного взаимодействия электрических и магнитных полей, и скорость их распространения должна быть пропорциональна силе между зарядами или между магнитами. Решив составленное им дифференциальное волновое уравнение, Максвелл с удивлением обнаружил, что скорость распространения электромагнитных колебаний совпадает со скоростью света, к тому времени уже определенной экспериментально. Это означало, что столь знакомое всем явление, как свет, представляет собой электромагнитные волны! Более того, Максвелл предсказал существование электромагнитных волн во всем известном спектре — от радиоволн до гамма-лучей. Таким образом, доскональное теоретическое исследование природы электричества и магнетизма привело к открытию, принесшему человечеству неисчислимые блага — от микроволновых печей до рентгеновских установок в стоматологических клиниках.
См. также:
1621 | Закон Снеллиуса |
1864 | Спектр электромагнитного излучения |
1924 | Дисперсия: атомная теория |
Джеймс Клерк МАКСВЕЛЛ
James Clerk Maxwell, 1831–79
Шотландский физик, один из самых выдающихся теоретиков XIX столетия. Родился в Эдинбурге, происходит из старинного дворянского рода. Учился в Эдинбургском и Кембриджском университетах. Первую научную статью (о методе начертания идеального овала) опубликовал в возрасте 14 лет. Максвелл занимал должность профессора кафедры экспериментальной физики Кембриджского университета, когда в 48 лет безвременно скончался от рака.
Первым большим теоретическим исследованием Клерка Максвелла, как его часто именуют, стала работа по теории цвета и цветного зрения. Он первым показал, что вся гамма видимых цветов может быть получена путем смешения трех основных цветов — красного, желтого и синего; объяснил природу дальтонизма (дефекта зрения, приводящего к нарушению восприятия цветовой гаммы) врожденным или приобретенным дефектом рецепторов сетчатки глаза. Он первым изобрел реально работающий цветной фотоаппарат (с использованием тартановой ленты в качестве светочувствительного материала) и продемонстрировал его работу на собрании Лондонского королевского общества в 1861 году.
Максвелл внес важный вклад в развитие многих отраслей естествознания. Но, пожалуй, наиважнейшее его достижение состоит в развитии теории электромагнетизма и постановке ее на прочную математическую основу. Заниматься этим вопросом Максвелл начал в середине 1850-х годов. По иронии судьбы Максвелл твердо верил в существование светоносного эфира, и все свои уравнения выводил исходя из того, что эфир существует, и в нем возбуждаются электромагнитные волны, имеющие, как следствие, конечную скорость распространения. До результатов опыта Майкельсона—Морли, опровергающих теорию существования эфира, Максвелл не дожил. (Как не дожил он и до безоговорочного признания своей теории. Окончательно волновая природа света и правильность уравнений Максвелла были подтверждены опытами Герца лишь в 1888 году, а до того времени большинство физиков, включая самого Герца, с недоверием относились к столь смелой теории.
Наконец, Максвелл внес огромный вклад в становление статистической механики, найдя распределение молекул газа по скоростям, ставшее краеугольным камнем молекулярно-кинетической теории. Наконец, сам же Максвелл и подметил несовершенство этой теории, сформулировав парадокс, позже получивший название демона Максвелла.
1
Показать комментарии (1)
Свернуть комментарии (1)
Написать комментарий
1785 | Закон Кулона |
1820 | Закон Био—Савара |
1831 | Законы электромагнитной индукции Фарадея |
1864 | Уравнения Максвелла |
1931 | Магнитные монополи |
1604, 1609
Уравнения равноускоренного движения
1926
Уравнение Шрёдингера
Новостная рассылка
«Элементы» в соцсетях:
Материальные уравнения – Джеймс Максвелл.
Уравнения электромагнитного поля.Материальные уравненияМатериальные уравнения устанавливают связь между и . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин[35].
где введены безразмерные константы: — диэлектрическая восприимчивость и — магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде: где — относительная диэлектрическая проницаемость, — относительная магнитная проницаемость.
где — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом−1•м−1).
Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ). |
Интуитивное представление для инженеров
Асем Эльшими, инженер-конструктор, Silicon Labs
сомневаюсь, что самым значительным событием 19 века будет считаться открытие Максвеллом законов электродинамики. Гражданская война в США отойдет на второй план по сравнению с этим важным научным событием того же десятилетия».
― Ричард П. Фейнман, лауреат Нобелевской премии по физике 1965 года
Инженеры-электрики обычно не любят слушать об уравнениях Максвелла. Уравнения, кажется, вызывают у всех неприятные воспоминания. Конфликт начинается просто с того, как преподают электромагнетизм в инженерных школах. Преподаватели чаще всего наводняют умы студентов огромным количеством уравнений и математических задач. Из-за них студенты слишком заняты запоминанием формул и решением задач с гипотетическими зарядами. С другой стороны, очень немногие преподаватели инженерных наук сосредотачиваются на физике, лежащей в основе таких уравнений, или на актуальности таких гипотетических проблем, или на развитии интуиции.
Рисунок 1. Уравнения Максвелла: четыре строки, которые дают полное описание света, электричества и магнетизма. Физики любят абстрагировать понятия в математические выражения и операторы. С другой стороны, мы, инженеры, любим разбираться в концепциях и скармливать формулы компьютерным симуляторам. Четыре уравнения, показанные на рисунке 1, несут в себе абстрактное, но полное понимание всего, что мы знаем об электромагнетизме. Профессора обычно читают несколько лекций, чтобы объяснить, что такое линия поля и что такое дифференциальный оператор. Но давайте пропустим этот математический раздел и перейдем к тому, что на самом деле означают уравнения.
Уравнение 1 утверждает, что электрическое поле ( E или D ) направлено наружу/внутрь ( ∇. ) от электрического заряда ( ρ ). Эта концепция очень проста для понимания. Представьте себе электрон, и следующее, что вы увидите, это электрон, излучающий электрическую силу, притягивающую внутрь и равномерно во всех направлениях. Мы имеем в виду, что если бы рядом был другой электрон, он был бы вытолкнут. Затем мы можем использовать уравнение 1 в сочетании с другим простым уравнением, которое описывает, как преобразовать электрическое или магнитное поле в силу. Та-да! Теперь мы знаем, как провести связь между количеством электрического заряда и количеством произведенной силы.
Сейчас самое время кратко рассказать о термине «поле». Это странная концепция. И из личного опыта трудно заставить двух инженеров договориться о том, что это на самом деле. Некоторые думают, что это просто математический этап, который служит для обнаружения реальных сил между объектами. И чтобы следовать этому пониманию, мы можем думать о нем как о промежуточном состоянии энергии, которое имеет место до того, как энергия воздействует на объекты. Итак, всякий раз, когда мы говорим о полях в определенной точке пространства и времени, мы говорим о возможном производстве силы, если бы объект присутствовал в этой точке пространства и времени.
Назад к Максвеллу. Уравнение 2 утверждает, что Магнитное поле ( B или H ) не течет наружу или внутрь (поскольку правая часть равна нулю). Физическое объяснение состоит в том, что магнитное поле создается магнитными диполями. Диполи – это два полюса противоположных знаков. Другими словами, магнитного монополя не существует. Северный и южный полюса всегда сосуществуют вместе. И в то время как магнитное поле, создаваемое положительной стороной магнита, хотело бы пересечь вселенную наружу, отрицательная сторона магнита всегда там, чтобы оттягивать поле назад и заставляет его только циркулировать.
Два уравнения, которые мы описали до сих пор, дают полное представление об электростатике и магнитостатике. То есть теперь мы знаем, что произошло бы, если бы мир был неподвижен. Тем не менее, это не так. Мир движется, а движение есть перемещение в пространстве через промежутки времени. Вы знали это, не так ли? Итак, что произойдет теперь, когда электрические заряды и магнитные диполи начнут двигаться? Вместо того, чтобы смотреть на последствия их движения, мы можем посмотреть на влияние вариаций в создаваемых ими полях. Поля полезны в том смысле, что они помогают решить всю задачу, разделив ее на две части. Предположим, что заряд перемещается; предположим, что мы смогли вычислить создаваемые им поля; что теперь будут делать эти поля?
Уравнение 3 (также известное как закон Фарадея) говорит нам, что переменное магнитное поле ( B или H ) создает циркулярно ( ∇x ) движущееся электрическое поле ( E или
4 D
). Фарадей открыл этот закон, поднеся магнит к замкнутому проводу. Его Аметр обнаружил переменный ток, протекающий по цепи. Этот переменный ток представляет собой просто электроны, движущиеся по петлевому проводу круговым электрическим полем, создаваемым переменным магнитным полем, возникающим при перемещении магнита к петлевому проводу и от него. Это объясняет половину истории того, что происходит внутри трансформатора. На данный момент все, что мы знаем, это то, что если вокруг провода есть переменное магнитное поле, оно создаст переменный ток в проводе. вот что уравнение 3 говорит нам. До Максвелла мир знал только первую половину уравнения 4 ( ), и эта половина была известна как закон Ампера . В нем говорится, что электрический ток ( Дж ), проходящий через провод, превращает этот провод в магнит. И все, что мы знаем о магнитах, они создают магнитные поля ( B или H ), которые текут по кругу ( ∇x ). Что произойдет, если текущее поле изменится? Магнитное поле, создаваемое этим током, также будет по своей природе переменным. Что, если мы проведем другой провод в непосредственной близости от нашего исходного провода? Ответ кроется в нашем объяснении уравнение 3 , которое провело нас через то, что переменное магнитное поле может сделать с проводом. Он может генерировать циркулирующее электрическое поле во втором проводе. Мы только что закончили полную историю трансформера.
Теперь мы готовы посмотреть, что Максвелл добавил к уравнению 4 . Не вдаваясь в подробности, скажу, что когда Максвелл записал закон Ампера , он обнаружил, что он неполный. Другими словами, математически он должен равняться чему-то большему, чем просто Дж . Он немного подсчитал, чтобы узнать оставшееся количество, и оказалось, что это вторая половина 9.0004 уравнение 4 . В то время это было прорывом в научном сообществе. Раньше ученые записывали законы для описания явлений, которые они наблюдали. Максвелл смог вывести уравнение 4 без первоначального наблюдения. Его вкладом была математика. И его результатом было описание того, что позже было обнаружено как электромагнитные волны.
Открытие Максвелла встретило резкое сопротивление со стороны научного сообщества. Поэтому он написал письма, в которых вакуум моделировался как вязкое вещество (эфир), и продолжал объяснять, какой смысл имеет его новый термин в соответствии с его моделью. Хотя достоверность его модели так и не была подтверждена, действительно важно то, что научные эксперименты только доказывают правильность его нового термина. Мы, в отличие от ученых его времени, знаем, что важен подтверждающий эксперимент. Отсутствие моделирования или осмысления научных открытий не отменяет их истинности… С этим согласится любой эмпирик.
Теперь мы готовы прочитать уравнение 4 в его полной «максвелловской» форме: Магнитное поле ( H или B ) может быть создано либо электрическими зарядами, протекающими по проводу ( Дж ), либо переменными электрическими поле ( D или E . ) Если мы объединим это уравнение с уравнением 3 (что мы и собираемся сделать), мы увидим электромагнитную волну. Максвелл изо всех сил пытался объяснить это явление своим товарищам. В настоящее время мы настолько привыкли к этому явлению, что никогда не задаемся вопросом, как можно передавать данные по беспроводной сети.
Что произойдет, если переменный ток будет протекать по контурному проводу? В соответствии с частью уравнения 4 , выраженной в Ампера, вокруг провода будет течь переменное во времени магнитное поле, как показано на (а). Это изменяющееся во времени магнитное поле, в свою очередь, хотело бы создать изменяющееся во времени электрическое поле. Вот что говорит нам уравнение 3 . Самое внешнее поле, показанное на (b), представляет собой изменяющееся во времени электрическое поле. Это согласно Часть уравнения Максвелла 4 означает, что мы не можем не стать свидетелями рождения изменяющегося во времени магнитного поля, которое, в свою очередь, может создавать изменяющееся во времени электрическое поле. Это чередование двух форм энергии позволяет электричеству и магнетизму вечно пересекать пространство. Вот как солнце излучает свет и тепло, чтобы согреть и осветить наш мир. Это механизм, с помощью которого наши сотовые телефоны передают наш голос и данные на базовые станции.
До сих пор мы накопили много интуитивных сведений об уравнениях Максвелла, не занимаясь какой-либо связанной с ними математикой. Математику можно найти в учебниках. И если мы всегда оглядываемся на общую картину каждый раз, когда изучаем новое уравнение, результат потенциально может привести к полному пониманию электродинамики. Нужно ли нам такое понимание или нет, становится вопросом того, чего мы пытаемся достичь. Хорошим примером является решение задач с электрическими цепями. Цепи — это, по сути, набор проводов и конденсаторов, соединенных между собой в сеть узлов. Электромагнитные волны проходят через эту сеть и вызывают повышение потенциала через некоторые узлы и токи, протекающие по некоторым проводам.
Основываясь на некоторых предположениях о размере цепи и частоте операций, уравнения Максвелла немедленно сводятся к законам цепи Кирхгофа. KCL, например, представляет собой комбинацию закона Ампера и закона сохранения заряда. Если вы осмелитесь заняться математикой (которая включает в себя преобразование четырех уравнений на рисунке 1 в их интегральную форму), вы обнаружите, что сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла. Вкратце: когда мы решаем проблемы со схемой, мы, по сути, снова и снова решаем уравнения Максвелла. Нам просто повезло, что нам не приходится решать их в полной форме. Представьте, если бы нам пришлось проектировать дифференциальные малошумящие усилители, решая уравнения Максвелла в каждом узле. Вздох…
Точно так же, если инженеры ВЧ проектируют согласующую сеть, они смотрят на коэффициент отражения, диаграмму Смита и линии передачи. По сути, они решают уравнения Максвелла повторно и взаимозависимо, но опять же в абстрактной форме. Хорошо известный набор телеграфных уравнений, который приводит к абстрактному понятию линии передачи, по сути, представляет собой еще один способ взглянуть на уравнения с 1 по 4, объединенные и обработанные для получения быстрых ответов для электромагнитных полей между парой проводов.
RF, а задачи о цепях представляют собой пример того, что делают уравнения Максвелла. Это действительно выходит за рамки этого. Спросите инженера из лаборатории фотоники или оптоэлектроники, и вы узнаете, что инженерный мир в настоящее время снова и снова пытается решить задачу Максвелла в разных геометриях и в разных условиях. Нам как инженерам-электрикам будет только лучше оценить и, надеюсь, понять, что такое уравнения Максвелла. Мы живем во времена, когда уравнения Максвелла можно было решить триллионы раз за очень короткий период с помощью симуляторов САПР. Интуитивное понимание того, как работают поля, откроет возможности для более умных и надежных конструкций.
Благодарности: Автор хотел бы поблагодарить доктора Джона Хури (выдающийся инженер Silicon Labs) за его рекомендации и отзывы.
Об авторе
Асем Эльшими (Asem Elshimi) — инженер-конструктор RFIC для беспроводных решений IoT в Silicon Labs. Он присоединился к Silicon Labs в июле 2018 года. Асем специализируется в области проектирования радиочастотных цепей и проектирования электромагнитных структур. Он имеет степень магистра наук в области электротехники и вычислительной техники Калифорнийского университета в Дэвисе.
16.1 Уравнения Максвелла и электромагнитные волны — University Physics Volume 2
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Объясните поправку Максвелла к закону Ампера, включив ток смещения
- Сформулируйте и примените уравнения Максвелла в интегральной форме
- Опишите, как симметрия между изменяющимися электрическими и изменяющимися магнитными полями объясняет предсказание Максвелла об электромагнитных волнах
- Опишите, как Герц подтвердил предсказание Максвелла об электромагнитных волнах
Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) внес один из крупнейших вкладов в физику девятнадцатого века (рис. 16.2). Хотя он умер молодым, он внес большой вклад в развитие кинетической теории газов, в понимание цветового зрения и в природу колец Сатурна. Он, вероятно, наиболее известен тем, что объединил существующие знания о законах электричества и магнетизма с собственными открытиями в полной всеобъемлющей электромагнитной теории, представленной уравнениями Максвелла.
Рисунок 16.2 Джеймс Клерк Максвелл, физик девятнадцатого века, разработал теорию, объясняющую взаимосвязь между электричеством и магнетизмом, и правильно предсказал, что видимый свет состоит из электромагнитных волн.
Поправка Максвелла к законам электричества и магнетизма
Четыре основных закона электричества и магнетизма были открыты экспериментально благодаря работам таких физиков, как Эрстед, Кулон, Гаусс и Фарадей. Максвелл обнаружил логические противоречия в этих более ранних результатах и назвал их причиной неполноту закона Ампера.
Напомним, что по закону Ампера интеграл магнитного поля вокруг замкнутого контура C пропорционален току I , проходящему через любую поверхность, границей которой является сам контур C :
∮CB→·ds→=µ0I. ∮CB→·ds→=µ0I.
16,1
Существует бесконечно много поверхностей, которые можно присоединить к любой петле, и закон Ампера, сформулированный в уравнении 16.1, не зависит от выбора поверхности.
Рассмотрим настройку на рис. 16.3. Источник ЭДС резко подключается к пластинчатому конденсатору так, что ток 9 зависит от времени.0165 I развивается в проводе. Предположим, мы применяем закон Ампера к контуру C , показанному до того, как конденсатор полностью заряжен, так что I≠0I≠0. Поверхность S1S1 дает ненулевое значение для замкнутого тока I , тогда как поверхность S2S2 дает нулевое значение для замкнутого тока, поскольку через нее не проходит ток:
∮CB→·ds→={µ0Iесли используется поверхность S10если используется поверхность S2. ∮CB→·ds→={µ0Iесли используется поверхностьS10если используется поверхностьS2.
Понятно, что закон Ампера в его обычном виде здесь не работает. Это внутреннее противоречие теории, которое требует модификации самой теории, закона Ампера.
Рисунок 16,3 Токи через поверхность S1S1 и поверхность S2S2 неодинаковы, несмотря на то, что они имеют один и тот же граничный контур C .
Как изменить закон Ампера, чтобы он работал во всех ситуациях? Максвелл предложил включить дополнительный вклад, называемый током смещения IdId, в действительный ток I ,
∮CB→·ds→=µ0(I+Id)∮CB→·ds→=µ0(I+Id)
16,2
, где ток смещения определен как
Id=ε0dΦEdt.Id=ε0dΦEdt.
16,3
Здесь ε0ε0 — диэлектрическая проницаемость свободного пространства, а ΦEΦE — электрический поток, определяемый как
ΦE=∬SurfaceSE→·dA→.ΦE=∬SurfaceSE→·dA→.
Ток смещения аналогичен реальному току в законе Ампера, входя в закон Ампера таким же образом. Однако он создается изменяющимся электрическим полем. Он объясняет изменяющееся электрическое поле, создающее магнитное поле, как это делает реальный ток, но ток смещения может создавать магнитное поле даже там, где нет реального тока. Когда этот дополнительный член включен, модифицированное уравнение закона Ампера становится равным
∮CB→·ds→=μ0I+ε0μ0dΦEdt∮CB→·ds→=μ0I+ε0μ0dΦEdt
16,4
и не зависит от поверхности S , через которую измеряется ток I .
Теперь мы можем изучить эту модифицированную версию закона Ампера, чтобы подтвердить, что он выполняется независимо от того, выбрана ли поверхность S1S1 или поверхность S2S2 на рис. 16.3. Электрическое поле E→E→, соответствующее потоку ΦEΦE в уравнении 16.3, находится между пластинами конденсатора. Следовательно, поле E→E→ и ток смещения через поверхность S1S1 равны нулю, и уравнение 16.2 принимает вид
∮CB→·ds→=µ0I. ∮CB→·ds→=µ0I.
16,5
Теперь мы должны показать, что для поверхностей S2,S2, через которые фактически не протекает ток, ток смещения приводит к тому же самому значению µ0Iµ0I для правой части уравнения закона Ампера. Для поверхности S2,S2 уравнение принимает вид
∮CB→·ds→=µ0ddt[ε0∬SurfaceS2E→·dA→].∮CB→·ds→=µ0ddt[ε0∬SurfaceS2E→·dA→].
16,6
Закон Гаусса для электрического заряда требует замкнутой поверхности и обычно не может быть применен к поверхности, такой как только S1S1 или только S2S2. Но две поверхности S1S1 и S2S2 образуют замкнутую поверхность на рис. 16.3 и могут использоваться в законе Гаусса. Поскольку электрическое поле равно нулю на S1S1, вклад потока через S1S1 равен нулю. Это дает нам
∯ПоверхностьS1+S2E→·dA→=∬ПоверхностьS1E→·dA→+∬ПоверхностьS2E→·dA→=0+∬ПоверхностьS2E→·dA→=∬ПоверхностьS2E→·dA→.∯ПоверхностьS1+S2E→·dA→=∬ ПоверхностьS1E→·dA→+∬ПоверхностьS2E→·dA→=0+∬ПоверхностьS2E→·dA→=∬ПоверхностьS2E→·dA→.
Следовательно, мы можем заменить интеграл по S2S2 в уравнении 16.6 замкнутой гауссовой поверхностью S1+S2S1+S2 и применить закон Гаусса, чтобы получить
∮S1B→·ds→=µ0dQindt=µ0I. ∮S1B→·ds→=µ0dQindt=µ0I.
16,7
Таким образом, модифицированное уравнение закона Ампера одинаково для поверхности S2,S2, где правая часть является результатом тока смещения, как и для поверхности S1,S1, где вклад исходит от фактического потока электрического заряда .
Пример 16.1
Ток смещения в зарядном конденсаторе
Плоский конденсатор емкостью Кл , пластины которого имеют площадь А и расстояние между ними d , подключен к резистору R и батарее напряжением В . Ток начинает течь при t=0t=0. а) Найдите ток смещения между пластинами конденсатора в момент времени t . (b) По свойствам конденсатора найдите соответствующий реальный ток I=dQdtI=dQdt и сравните ответ с ожидаемым током в проводах соответствующих 9 конденсаторов. 0165 RC цепь.
Стратегия
Мы можем использовать уравнения из анализа цепи RC (цепи переменного тока) плюс максвелловскую версию закона Ампера.
Решение
- Напряжение между пластинами в момент времени t определяется выражением
VC=1CQ(t)=V0(1-e-t/RC).VC=1CQ(t)=V0(1-e-t/RC).
Пусть ось z указывает от положительной пластины к отрицательной пластине. Тогда z -компонента электрического поля между пластинами как функция времени т естьEz(t)=V0d(1−e−t/RC).Ez(t)=V0d(1−e−t/RC).
Следовательно, z-составляющая тока смещения IdId между пластинами равнаId(t)=ε0A∂Ez(t)∂t=ε0AV0d×1RCe−t/RC=V0Re−t/RC,Id(t)=ε0A∂Ez(t)∂t=ε0AV0d×1RCe−t/RC =V0Re-t/RC,
где мы использовали C=ε0AdC=ε0Ad для емкости. - Из выражения для VC,VC заряд конденсатора равен
Q(t)=CVC=CV0(1-e-t/RC).
Таким образом, ток в конденсаторе после замыкания цепи равен
Q(t)=CVC=CV0(1-e-t/RC).I=dQdt=V0Re-t/RC.I=dQdt=V0Re-t/RC.
Этот ток такой же, как IdId, найденный в (а).
Уравнения Максвелла
С поправкой на ток смещения уравнения Максвелла принимают вид
∮E→·dA→=Qinε0(закон Гаусса)∮E→·dA→=Qinε0(закон Гаусса)
16,8
∮B→·dA→=0(закон Гаусса для магнетизма)∮B→·dA→=0(закон Гаусса для магнетизма)
16,9
∮E→·ds→=−dΦmdt(закон Фарадея)∮E→·ds→=−dΦmdt(закон Фарадея)
16.10
∮B→·ds→=µ0I+ε0µ0dΦEdt(закон Ампера-Максвелла).∮B→·ds→=µ0I+ε0µ0dΦEdt(закон Ампера-Максвелла).
16.11
После расчета полей с использованием этих четырех уравнений уравнение силы Лоренца
F→=qE→+qv→×B→F→=qE→+qv→×B→
16,12
дает силу, с которой поля действуют на частицу с зарядом q , движущуюся со скоростью v→v→. Уравнение силы Лоренца объединяет силу электрического поля и магнитного поля, действующую на движущийся заряд. Магнитные и электрические силы рассматривались в предыдущих модулях. Эти четыре уравнения Максвелла равны соответственно
Уравнения Максвелла
1. Закон Гаусса
Электрический поток через любую замкнутую поверхность равен электрическому заряду QinQin , заключенному в этой поверхности. Закон Гаусса [уравнение 16.7] описывает связь между электрическим зарядом и создаваемым им электрическим полем. Это часто изображают в виде силовых линий электрического поля, исходящих из положительных зарядов и заканчивающихся отрицательными зарядами и указывающих направление электрического поля в каждой точке пространства.
2. Закон Гаусса для магнетизма
Поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю [уравнение 16.8]. Это эквивалентно утверждению, что силовые линии магнитного поля непрерывны, не имеют ни начала, ни конца. Любая линия магнитного поля, входящая в область, ограниченную поверхностью, также должна покинуть ее. Известно, что не существует магнитных монополей, где линии магнитного поля заканчивались бы (см. Магнитные поля и линии).
3. Закон Фарадея
Изменяющееся магнитное поле индуцирует электродвижущую силу (ЭДС) и, следовательно, электрическое поле. Направление ЭДС противоположно изменению. Это третье уравнение Максвелла, уравнение 16.9, представляет собой закон индукции Фарадея и включает в себя закон Ленца. Электрическое поле от изменяющегося магнитного поля имеет силовые линии, которые образуют замкнутые петли без начала и конца.
4. Закон Ампера-Максвелла
Магнитные поля генерируются движущимися зарядами или изменяющимися электрическими полями. Это четвертое уравнение Максвелла, уравнение 16.10, включает в себя закон Ампера и добавляет еще один источник магнитных полей, а именно изменяющиеся электрические поля.
Уравнения Максвелла и закон силы Лоренца вместе охватывают все законы электричества и магнетизма. Симметрия, которую Максвелл ввел в свою математическую структуру, может быть не сразу очевидна. Закон Фарадея описывает, как изменяющиеся магнитные поля создают электрические поля. Вместо этого введенный Максвеллом ток смещения является результатом изменяющегося электрического поля и объясняет изменяющееся электрическое поле, создающее магнитное поле. Уравнения для эффектов как изменяющихся электрических полей, так и изменяющихся магнитных полей различаются по форме только там, где отсутствие магнитных монополей приводит к пропущенным членам. Эта симметрия между эффектами изменения магнитного и электрического полей имеет важное значение для объяснения природы электромагнитных волн.
Последующее применение теории относительности Эйнштейна к полной и симметричной теории Максвелла показало, что электрические и магнитные силы не являются отдельными, а являются разными проявлениями одного и того же — электромагнитной силы. Электромагнитное взаимодействие и слабое ядерное взаимодействие так же объединены, как и электрослабое взаимодействие. Это объединение сил было одним из мотивов попыток объединить все четыре основных взаимодействия в природе — гравитационное, электрическое, сильное и слабое ядерное взаимодействие (см. Физика элементарных частиц и космология).
Механизм распространения электромагнитных волн
Чтобы увидеть, как введенная Максвеллом симметрия объясняет существование комбинированных электрических и магнитных волн, распространяющихся в пространстве, представьте себе изменяющееся во времени магнитное поле B→0(t)B→0(t), создаваемое высокочастотным переменным полем. ток показан на рис. 16.4. Мы представляем B→0(t)B→0(t) на диаграмме одной из ее силовых линий. Согласно закону Фарадея, изменение магнитного поля через поверхность индуцирует изменяющееся во времени электрическое поле E→0(t)E→0(t) на границе этой поверхности. Источник тока смещения для электрического поля, как и источник закона Фарадея для магнитного поля, создает только замкнутые петли силовых линий из-за математической симметрии, связанной с уравнениями для индуцированного электрического и индуцированного магнитного полей. Представление линии поля E→0(t)E→0(t) показано. В свою очередь изменяющееся электрическое поле E→0(t)E→0(t) создает магнитное поле B→1(t)B→1(t) по модифицированному закону Ампера. Это изменяющееся поле индуцирует E→1(t), E→1(t), что индуцирует B→2(t), B→2(t) и так далее. Затем мы имеем самопродолжающийся процесс, который приводит к созданию изменяющихся во времени электрических и магнитных полей в регионах, все дальше и дальше от О . Этот процесс можно представить себе как распространение электромагнитной волны в пространстве.
Рисунок 16,4 Как изменяющиеся поля E→E→ и B→B→ распространяются в пространстве.
В следующем разделе мы покажем в более точных математических терминах, как уравнения Максвелла приводят к предсказанию электромагнитных волн, которые могут распространяться в пространстве без материальной среды, подразумевая скорость электромагнитных волн, равную скорости света.
До работы Максвелла эксперименты уже указывали на то, что свет представляет собой волновое явление, хотя природа волн была еще неизвестна. В 1801 году Томас Янг (1773–1829 гг.) показал, что когда световой пучок разделялся двумя узкими щелями, а затем рекомбинировался, на экране образовывался узор из светлых и темных полос. Янг объяснил это поведение, предполагая, что свет состоит из волн, которые складываются конструктивно в одних точках и разрушительно в других (см. Интерференция). Впоследствии Жан Фуко (1819–1868) с измерениями скорости света в различных средах и Огюстен Френель (1788–1827) с подробными экспериментами, связанными с интерференцией и дифракцией света, предоставили дополнительные убедительные доказательства того, что свет представляет собой волну. Итак, свет был волной, и Максвелл предсказал существование электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света. Вывод казался неизбежным: свет должен быть формой электромагнитного излучения. Но теория Максвелла показала, что для электромагнитных волн возможны другие длины волн и частоты, отличные от световых. Он показал, что электромагнитное излучение с теми же фундаментальными свойствами, что и видимый свет, должно существовать на любой частоте. Другим оставалось проверить и подтвердить это предсказание.
Проверьте свое понимание 16.1
Проверьте свое понимание Когда ЭДС на конденсаторе включена и конденсатор заряжается, когда магнитное поле, вызванное током смещения, имеет наибольшую величину?
Наблюдения Герца
Немецкий физик Генрих Герц (1857–1894) первым сгенерировал и обнаружил определенные типы электромагнитных волн в лаборатории. Начиная с 1887 года, он провел серию экспериментов, которые не только подтвердили существование электромагнитных волн, но и подтвердили, что они распространяются со скоростью света.
Герц использовал цепь переменного тока RLC (резистор-индуктор-конденсатор), которая резонирует на известной частоте f0=12πLCf0=12πLC и соединила ее с проволочной петлей, как показано на рис. 16.5. Высокое напряжение, индуцированное через разрыв в петле, вызывало искры, которые были видимым свидетельством тока в цепи и помогали генерировать электромагнитные волны.