Уравнения примеры: Как решать квадратные уравнения? Формулы и Примеры

Как решать квадратные уравнения? Формулы и Примеры

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

• x² — 2x + 6 = 0
• x² — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x² ), а значит уравнение называется приведенным.

• 2x² − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Запоминаем!

У преобразованного уравнения те же корни, что и у первоначального. Ну или вообще нет корней.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x² + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x² + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax² + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax2 + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax2 + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax2 = 0. Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax

² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax

2 = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x² = 0.

Как решаем:

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x ² = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

   −6x² = 0

   x² = 0

   x = √0

   x = 0

Ответ: 0.

Как решить уравнение ax

² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = – c,
• разделим обе части на a: x² = – c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений

a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = – c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = – c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)

2 = – c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = – c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах
Неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0 равносильно уравнению х2= -c/a, которое: не имеет корней при — c/а < 0; имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 8x² + 5 = 0.

Как решать:

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   8x² = – 5

2. Разделим обе части на 8:

   x² = – 5/8

3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x² + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax

² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

1. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

2. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

• x = 0;
• x = −b/a.

Пример 1. Решить уравнение 0,5x² + 0,125x = 0

Как решать:

1. Вынести х за скобки

   х(0,5x + 0,125) = 0

2. Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
3. Решить линейное уравнение:

   0,5x = 0,125,
   х = 0,125/0,5

4. Разделить:

   х = 0,25

5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, то справедливо равенство ax2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b² − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

, .

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b²−4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x² + 28x — 49 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант: D = 28² — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

   х = – 28/2(-4)

   х = 3,5

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x² = 0.

Как решаем:

1. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

   54 — 6x² = 0 | *(-1)

   6x² — 54 = 0

2. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   6x² = 54

   х² = 9

   х = ±√9

   х₁ = 3, х₂ = – 3

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x²— х = 0.

Как решаем:

1. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

   х(х — 1) = 0

   х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x²— 10 = 39.

Как решаем:

1. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   x²— 10 = 39

   x²= 39 + 10

   x²= 49

   х = ±√49

   х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x²— 4x+94 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант по формуле

   D = (-4)² — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

2. Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b² — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax² + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)²– 4ac = 4n² — 4ac = 4(n²– ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n² -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n²– ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n²– ac;
• если D₁< 0, значит действительных корней нет;
• если D₁= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле x = -n/a;
• если же D₁> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

---

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

 

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x² − 6x + 8 = 0.

Как решаем:

1. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2. Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

   Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

   Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

3. Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x² − 6x + 8 = 0. p>

    

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x² — 4 x — 6 = 0, чем 1100x² — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x² — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x²– 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x² — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x² + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x²– 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x² + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

• x₁ + x₂ = – b/a,
• x₁* x₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x²– 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике – Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

      Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

      К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

	Трёхчленные уравнения
	Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

      Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

ax3 + bx2 + bx + a = 0,

(1)

где a, b – заданные числа.

      Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

      Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

ax² + (b – a) x + a = 0.

      Пример 1. Решить уравнение

2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0.

(2)

      Решение. Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

      Ответ:.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

      Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2 + + bx + a = 0,

(3)

а также уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2– – bx + a = 0,

(4)

где a, b, c – заданные числа.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на  x². В результате получится уравнение

(5)

      Преобразуем левую часть уравнения (5):

      В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

(6)

      Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c – 2a = 0.

(8)

     Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на  x². В результате получится уравнение

(9)

      Преобразуем левую часть уравнения (9):

      В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

(10)

      Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c + 2a = 0.

(12)

      Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

      Пример 2. Решить уравнение

2x4 – 3x3 – x2 – – 3x + 2 = 0.

(13)

      Решение. Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на  x². В результате получится уравнение

(14)

      Преобразуем левую часть уравнения (14):

      В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

(15)

      Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

2y2 – 3y – 5 = 0.

(17)

      Решим уравнение (17):

(18)

      В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (16) получаем:

      Ответ:

      Пример 3. Решить уравнение

6x4 – 25x3 + 12x2 + + 25x + 6 = 0.

(19)

      Решение. Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на  x². В результате получится уравнение

(20)

      Преобразуем левую часть уравнения (20):

      В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

(21)

      Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

6y2 – 25y + 24 = 0.

(23)

      Решим уравнение (23):

(24)

      В первом случае из равенства (22) получаем:

      Во втором случае из равенства (22) получаем:

      Ответ:

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

(25)

где  a, b, c, d  – заданные числа.

      Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на  x². В результате получится уравнение

(26)

      Преобразуем левую часть уравнения (26):

      В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

      Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

      Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

      Пример 4. Решить уравнение

2x4 – 15x3 + 35x2 – – 30 x + 8 = 0.

(30)

      Решение. Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

a = 2 ,      b =– 15,      
c = 35,       d = – 30,

и найдем значение выражения

      Поскольку

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x². В результате получится уравнение

(31)

      Преобразуем левую часть уравнения (31):

      В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

(32)

      Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

2y2 – 15y + 27 = 0.

(34)

      Решим уравнение (34):

      В первом случае из равенства (33) получаем:

      Во втором случае из равенства (33) получаем:

      Ответ:

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Уравнение — определение, типы, примеры

Уравнение — это математическое выражение с символом «равно» между двумя выражениями, имеющими одинаковые значения. Например, 3x + 5 = 15. Существуют различные типы уравнений, такие как линейные, квадратные, кубические и т. д. Давайте узнаем больше об уравнениях в математике в этой статье.

1.	Что такое уравнения?
2.	Части уравнения
3.	Как решить уравнение?
4.	Типы уравнений
5.	Уравнение против выражения
6.	Часто задаваемые вопросы по уравнениям

Что такое уравнения?

Уравнения — это математические операторы, содержащие два алгебраических выражения по обе стороны от знака «равно (=)». Он показывает отношение равенства между выражением, записанным в левой части, и выражением, записанным в правой части. В каждом уравнении в математике мы имеем LHS = RHS (левая часть = правая часть). Уравнения могут быть решены, чтобы найти значение неизвестной переменной, представляющей неизвестную величину. Если в выражении нет знака «равно», значит, оно не является уравнением. Это будет считаться выражением. Вы узнаете разницу между уравнением и выражением в следующем разделе этой статьи.

Посмотрите на следующие примеры. Это даст вам представление о значении уравнения в математике.

	Уравнения	Это уравнение?
1.	у = 8х – 9	Да
2.	у + х 2 – 7	Нет, потому что нет символа “равно”.
3.	7 + 2 = 10 – 1	Да

Теперь давайте двигаться вперед и узнать о частях уравнения в математике.

Части уравнения

Существуют различные части уравнения, которые включают коэффициенты, переменные, операторы, константы, термины, выражения и знак равенства. Когда мы пишем уравнение, обязательно наличие знака «=» и условий с обеих сторон. Обе стороны должны быть равны друг другу. Уравнение не обязательно должно иметь несколько членов с обеих сторон, иметь переменные и операторы. Уравнение можно составить и без них, например, 5 + 10 = 15. Это арифметическое уравнение без переменных. В противоположность этому, уравнение с переменными является алгебраическим уравнением. Посмотрите на изображение ниже, чтобы понять части уравнения.

Как решить уравнение?

Уравнение похоже на весы с одинаковыми весами с обеих сторон. Если мы прибавим или вычтем одно и то же число из обеих частей уравнения, оно останется в силе. Точно так же, если мы умножим или разделим одно и то же число на обе части уравнения, оно останется верным. Рассмотрим уравнение прямой, 3x − 2 = 4. Выполним математические операции над левой и правой сторонами так, чтобы равновесие не нарушалось. Давайте добавим 2 с обеих сторон, чтобы уменьшить LHS до 3x. Это не нарушит баланс. Новая левая сторона равна 3x − 2 + 2 = 3x, а новая правая сторона равна 4 + 2 = 6. Таким образом, уравнение принимает вид 3x = 6. Теперь давайте разделим обе части на 3, чтобы уменьшить левую часть до x. Таким образом, решением данного уравнения прямой является x = 2,

Шаги для решения базового уравнения с одной переменной (линейного) приведены ниже:

• Шаг 1: Приведите все члены с переменными с одной стороны и все константы с другой стороны уравнения, применяя арифметические действия. операций с обеих сторон.
• Шаг 2: Объедините все одинаковые термины (термы, содержащие одну и ту же переменную с одинаковым показателем степени), добавляя/вычитая их.
• Шаг 3: Упростите и получите ответ.

Возьмем еще один пример основного уравнения: 3x – 20 = 7. Чтобы вывести все константы на правую сторону, мы должны добавить 20 к обеим частям. Это означает, что 3x – 20 + 20 = 7 + 20, что можно упростить как 3x = 27. Теперь разделите обе части на 3. Это даст вам x = 9, что и является требуемым решением уравнения.

Типы уравнений

В зависимости от степени уравнения можно разделить на три типа. Ниже приведены три типа уравнений в математике:

• Линейные уравнения
• Квадратные уравнения
• Кубические уравнения

Линейное уравнение

Уравнения со степенью 1 в математике называются линейными уравнениями. В таких уравнениях 1 является наивысшим показателем членов. Их можно далее классифицировать на линейные уравнения с одной переменной, линейные уравнения с двумя переменными, с тремя переменными и т. д. Стандартная форма линейного уравнения с переменными X и Y: aX + bY – c = 0, где a и b коэффициенты X и Y соответственно, а c – константа.

Квадратное уравнение

Уравнения второй степени известны как квадратные уравнения. Стандартная форма квадратного уравнения с переменной x: ax ² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Эти уравнения можно решить, разделив средний член, дополнив квадрат или дискриминантным методом.

Кубические уравнения

Уравнения степени 3 известны как кубические уравнения. Здесь 3 — это наивысший показатель хотя бы одного из членов. Стандартная форма кубического уравнения с переменной x: ax ³ + bx ² + cx + d = 0, где a ≠ 0.

Уравнение против выражения

Выражения и уравнения в математике используются одновременно в алгебре, но между этими двумя терминами есть большая разница. Когда 2x + 4 является выражением, 2x + 4 = 0 считается уравнением. Давайте поймем основную разницу между уравнением и выражением с помощью таблицы, приведенной ниже:

Уравнение	Выражение
Когда два выражения равны по значению и написаны вместе со знаком «равно» между ними, это известно как уравнение в математике.	Это математическое выражение, содержащее хотя бы один термин или несколько терминов, соединенных операторами между ними.
Имеет знак равенства “=”.	Выражение не содержит знака равенства “=”.
Можно найти значение неизвестной величины.	Можно упростить до самой низкой формы.
Пример: x – 8 = 16, 6y = 33, 3z – 7y = 9 и т. д.	Пример: x – 8, 6y, 3z – 7y – 9 и т. д.

Важные замечания по уравнениям в математике:

• Значения переменной, которая делает уравнение истинным, называются решением или корнем уравнения.
• На решение уравнения не влияет сложение, вычитание, умножение или деление одного и того же числа на обе части уравнения.
• График линейного уравнения с одной или двумя переменными представляет собой прямую линию.
• Кривая квадратного уравнения имеет форму параболы.

☛  Похожие темы:

Ознакомьтесь с интересными статьями, посвященными концепции уравнений в математике.

• Система уравнений
• Простые уравнения и их приложения
• Найдите x

Часто задаваемые вопросы по уравнению

Что такое уравнение в математике?

Уравнение в математике — это отношение равенства между двумя выражениями, написанными по обе стороны от знака равенства. Например, 3y = 16 — это уравнение.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это уравнение со степенью 1. Это означает, что наивысший показатель степени любого члена может быть равен 1. Примером линейного уравнения в математике является x + y = 24,9.0003

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение со степенью 2. Оно может иметь любое количество переменных, но наивысшая степень членов может быть только 2. Стандартная форма квадратного уравнения с переменной y: ay ² + by + c = 0, где a ≠ 0.

Как уравнения используются в реальной жизни?

В реальной жизни во многих ситуациях можно использовать уравнения. Всякий раз, когда необходимо найти неизвестную величину, можно составить уравнение и решить его. Например, если стоимость 1 карандаша составляет 1,2 доллара, а общая сумма денег, потраченных вами на карандаши, составляет 9 долларов..6 количество купленных карандашей можно найти, составив уравнение на основе данной информации. Пусть количество купленных карандашей равно х. Тогда уравнение будет 1,2x = 9,6, которое можно решить как x = 8.

Как решать квадратные уравнения?

Квадратные уравнения с одной переменной могут быть решены следующими методами:

• Метод факторизации
• Завершение квадратного метода
• Дискриминантный метод

Какие существуют 3 типа уравнения?

В зависимости от степени уравнения можно разделить на следующие три типа:

• Линейное уравнение
• Квадратное уравнение
• Кубическое уравнение

Какое уравнение не имеет решения?

Уравнения двух параллельных прямых не имеют решений, так как они не пересекаются ни в одной точке. Чтобы идентифицировать уравнения параллельных прямых, мы должны сравнить коэффициенты обеих переменных в данных двух линейных уравнениях с двумя переменными. Если отношение коэффициентов такое же и не равно отношению констант, это означает, что эти уравнения не имеют решения. Для двух уравнений ax + by + c = 0 и px + qy + r = 0 оно не будет иметь решения, когда a/p = b/q ≠ c/r.

Что такое уравнение окружности?

Уравнение окружности с радиусом r и центром (x ₁ , y ₁ ) равно (x − x ₁ ) ² + (y − y ₁ ) 7 0 7 ^{2 90 2} .

Типы уравнений и примеры

Типы уравнений и примеры

Существуют различные типы уравнений, например,

1. 1. 1. Линейное уравнение
         1. Уравнение с одной переменной
         2. Уравнение с двумя переменными
         3. Уравнение с тремя переменными
      2. Полиномиальное уравнение
         1. Мономиальные уравнения
         2. Биномиальное уравнение
         3. Трехчленное уравнение
      3. Квадратное уравнение
      4. Тригонометрическое уравнение
      5. Радикальное уравнение
      6. Экспоненциальное уравнение
      7. Рациональное уравнение

типы уравнений

 

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В линейном уравнении каждый член является либо константой, либо произведением константы и одной переменной. При наличии двух переменных график линейного уравнения представляет собой прямую линию.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными приведен ниже:-

y = mx + c, m ≠ 0.

• Уравнение с одной переменной:  Уравнение, в котором есть только одна переменная, например.

1. 12x – 10 = 0
2. 12х = 10

• Уравнение с двумя переменными:  Уравнение с двумя переменными, например.

1. 12x +10y – 10 = 0
2. 12х +23у = 20

• Уравнение с тремя переменными:  Уравнение с тремя переменными, например.

1. 12x +10y -3z – 10 = 0
2. 12x +23y – 12z = 20

2. Полиномиальное уравнение:

Полиномиальное уравнение может быть выражено в терминах мономиального, биномиального, трехчленного и многочленов более высокого порядка. Он может содержать как положительные, так и отрицательные значения. Многочлены также могут содержать десятичные значения.

Типы полиномиальных уравнений

Существуют следующие три типа полиномиальных уравнений:

• Мономиальные уравнения
• Биномиальные уравнения
• Трехчленные уравнения

Мономиальные уравнения: Полиномиальные уравнения, которые имеют только один член, называются мономиальными уравнениями. например

12x = 0

-2xy = 0

Биномиальные уравнения: Полиномиальные уравнения, которые имеют два члена, называются биномиальными уравнениями. например

12x ²  + 4y ²  = 0

27x ²  – 19 = 0

Трехчленные уравнения, которые называются трехчленными уравнениями: например

10xy + 23y – 2x = 0

3x ³ – 3 + 2x = 0

3. Квадратное уравнение:

Это уравнение второй степени, в котором одна переменная содержит показатель степени , Его общая форма:

ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0

Примеры квадратных уравнений:

1. x ² – 7×0 + 12
2. 2x ² – 5x – 12 = 0

4. Тригонометрическое уравнение: 

Эти уравнения содержат тригонометрическую функцию. Итак, сначала мы должны ввести тригонометрические функции, чтобы изучить их полностью. Лишь немногие простые тригонометрические уравнения могут быть решены без использования калькулятора, но не могут быть решены вовсе. В некоторых случаях полезны обратные тригонометрические функции.

5. Радикальное уравнение:

Это уравнение, в котором максимальный показатель степени переменной равен 1/2 и содержит более одного члена, или радикальным уравнением является уравнение, в котором переменная находится внутри радикального символа, обычно в квадратный корень.