Главная
Уравнения решения примеры: 100 примеров решения уравнений — просто и практично

Уравнения решения примеры: 100 примеров решения уравнений — просто и практично

Содержание

100 примеров решения уравнений — просто и практично

La решение уравнений делается через метод эквивалентных уравнений. Следует учитывать, что уравнения первой степени многочлены первой степени, равные нулю.

Примеры решения уравнений

Общая форма уравнения первой степени

ax + b = 0

где a y b его определенные коэффициенты в некотором числовом наборе и x вычисляемое значение, неизвестно.

Метод эквивалентных уравнений

Ключевым элементом каждого уравнения является символ равенства (=). Каждое уравнение представляет собой равенство между двумя терминами.

aх + b = cх + d

левый термин = правильный термин

Любое изменение, сделанное в одном члене уравнения, должно также быть сделано и в другом члене, чтобы это не изменило значение уравнения.

Таким образом, уравнения получены из по-другому, но сохраняют свое неизменное исходное значение.

Пример эквивалентных уравнений

  1. 6х + 2 = 4Икс – 9
  2. 6х + 1 = 4Икс – 10

Оба уравнения эквиваленты, бросай такое же значение х.

Разница между уравнением «а» и уравнением «б» в том, что второе уравнение такое же, как и первое, но из обеих частей вычитается 1.

Операция “Pasaв математике не существует.

 

Решенные примеры уравнений

уравнения с

целые коэффициенты

уравнения с

рациональные коэффициенты

Найти решение уравнений по метод эквивалентных уравнений это очень полезно при изучении химии и физики, при очистке уравнений, чтобы найти значение неизвестного.

Примеры уравнений с решениями

  1. – 13х – 6 = 0 → х = – 0,46153846
  2. – 15 + 6х = 14х + 26 → х = -22,8571429
  3. – 18х – 7 = 0 → х = – 0,38888889
  4. – 12 + 17 х = 12 х + 4 → х = 16 / 5
  5. 39 – 27 х = 1 х – 8 → х = 47 / 28
  6. – 23х – 8 = 0 → х = – 0,34782609
  7. 12 – 13 х = 8 х – 4 → х = 16 / 21
  8. – 28х – 9 = 0 → х = – 0,32142857
  9. – 20 + 8х = 13х + 27 → х = -30,0769231
  10. – 30х – 10 = 0 → х = – 0,33333333
  11. – 17 + 19 х = 11 х + 5 → х = 11 / 4
  12. – 32х – 11 = 0 → х = – 0,34375
  13. 17 – 15 х = 7 х – 5 → х = 1
  14. – 34х – 13 = 0 → х = – 0,38235294
  15. – 25 + 10х = 12х + 28 → х = -37,3333333
  16. – 36х – 15 = 0 → х = – 0,41666667
  17. – 22 + 21 х = 10 х + 6 → х = 28 / 11
  18. – 38х – 17 = 0 → х = – 0,44736842
  19. 22 – 17 х = 6 х – 6 → х = 28 / 23
  20. – 40х – 19 = 0 → х = – 0,475
  21. 45 – 33 х = 4 х – 5 → х = 50 / 37
  22. – 30 + 12х = 11х + 29 → х = -44,6363636
  23. – 42х – 21 = 0 → х = – 0,5
  24. – 32 + 14х = 10х + 30 → х = -49
  25. 10х – 3 = 0 → х = 3 / 10
  26. 27 – 19 х = 5 х – 7 → х = 34 / 24
  27. 15х – 4 = 0 → х = 4 / 15
  28. – 27 + 23 х = 9 х + 7 → х = 17 / 7
  29. 20х – 5 = 0 → х = 1 / 4
  30. 29 – 21 х = 4 х – 6 → х = 7 / 5
  31. 25х – 6 = 0 → х = 6 / 25
  32. – 34 + 16х = 9х + 31 → х = -53,4444444
  33. 27х – 7 = 0 → х = 7 / 27
  34. – 29 + 25 х = 8 х + 6 → х = 35 / 17
  35. 29х – 8 = 0 → х = 8 / 29
  36. 30 – 23 х = 3 х – 5 → х = 35 / 26
  37. 31х – 10 = 0 → х = 10 / 31
  38. – 36 + 18х = 8х + 33 → х = -58,125
  39. 33х – 12 = 0 → х = 12 / 33
  40. – 30 + 27 х = 7 х + 5 → х = 7 / 4
  41. 32 – 25 х = 2 х – 4 → х = 36 / 27
  42. 35х – 14 = 0 → х = 2 / 5
  43. – 38 + 20х = 7х + 35 → х = -63
  44. 37х – 16 = 0 → х = 16 / 37
  45. – 32 + 29 х = 6 х + 4 → х = 36 / 23
  46. 39х – 18 = 0 → х = 18 / 39
  47. – 10 = х – 3 → х = 10 / 3
  48. – 40 + 22х = 6х + 37 → х = -68,1666667
  49. – 15 = х – 4 → х = 15 / 4
  50. – 34 + 31 х = 5 х + 3 → х = 37 / 26
  51. – 20 = х – 5 → х = 4
  52. – 42 + 24х = 5х + 39 → х = -73,8
  53. – 25 = х – 6 → х = 25 / 6
  54. 34 – 27 х = -1 х – 3 → х = 37/26
  55. – 27 = х – 7 → х = 27 / 7
  56. 36 – 29 х = -2 х – 6 → х = 42/27
  57. – 29 = х – 8 → х = 29 / 8
  58. – 44 + 26х = 4х + 41 → х = -80,25
  59. – 31 = х – 10 → х = 31 / 10
  60. 41 – 29 х = 2 х – 7 → х = 48 / 31
  61. – 36 + 33 х = 4 х + 2 → х = 38 / 29
  62. – 33 = х – 12 → х = 33 / 12
  63. 38 – 31 х = -3 х – 5 → х = 43/28
  64. – 35 = х – 14 → х = 35 / 14
  65. – 38 + 35 х = 3 х + 1 → х = 39 / 32
  66. – 37 = х – 16 → х = 37 / 16
  67. 40 – 33 х = -4 х – 4 → х = 44/29
  68. – 39 = х – 18 → х = 39 / 18
  69. – 40 + 37 х = 2 х + 0 → х = 8 / 7
  70. 16 – 6 х = 12 х – 25 → х = 24,0833333
  71. 15 – 11 х = 11 х – 6 → х = 21 / 22
  72. 21 – 8 х = 11 х – 26 → х = 31,3636364
  73. 26 – 10 х = 10 х – 27 → х = 38,7
  74. 31 – 12 х = 9 х – 28 → х = 46,1111111
  75. 43 – 31 х = 3 х – 6 → х = 49 / 34
  76. 20 – 13 х = 10 х – 7 → х = 27 / 23
  77. 33 – 14 х = 8 х – 29 → х = 50,625
  78. 25 – 15 х = 9 х – 8 → х = 33 / 24
  79. 35 – 16 х = 7 х – 30 → х = 55,2857143
  80. 30 – 17 х = 8 х – 9 → х = 39 / 25
  81. 37 – 18 х = 6 х – 32 → х = 60,3333333
  82. 32 – 19 х = 7 х – 8 → х = 20 / 13
  83. 39 – 20 х = 5 х – 34 → х = 65,8
  84. 33 – 21 х = 6 х – 7 → х = 40 / 27
  85. 41 – 22 х = 4 х – 36 → х = 72
  86. 35 – 23 х = 5 х – 6 → х = 41 / 28
  87. 43 – 24 х = 3 х – 38 → х = 79,6666667
  88. 37 – 25 х = 2 х – 5 → х = 42 / 27
  89. 45 – 26 х = 2 х – 40 → х = 91

предлагаемая деятельность:

Выберите несколько результатов с повторяющимися десятичными выражениями и вместо вычисления всех этих десятичных знаков запишите результат в виде дроби.

« 15 примеров резки

10 примеров описательного текста »

Примеры решения показательных уравнений

Примеры решения показательных уравнений

Пример №1

1000x=100

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:

103x=102

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2
x=2/3

Ответ: x=2/3 .

Главное в показательных уравнениях – свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:

Пример №2

(2/5)x=(5/2)4

Представим (2/5)x как (5/2)-x:

(5/2)-x=(5/2)4

Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:

-x=4
x=-4

Ответ: x=-4

Пример №3

√3х=9

√3х распишем как 3x/2, а 9 – как 32:

3х/2=32

Приравниваем показатели:

х/2=2
х=4

Ответ: x=4

Пример №4

3х2-х-2=81

Заметим, что 81=34

3х2-х-2=34

Приравниваем показатели:

х2-х-2=4

х2-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х1=(1+5)/2=3

х2=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

Пример №5

4х+1+4х=320

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:

4х(4+1)=320

4х*5=320

Представим 320 в виде 5*43, тогда:

4х*5=5*43

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:

4х=43

Приравняем показатели:

х=3

Ответ: х=3

Пример №6

7х+2+4*7х-1=347

Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7x-1. Получаем:

7х-1*(73+4)=347

7х-1*347=347

Поделим левую и правую часть уравнения на 347:

7х-1=1

Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 70:

7х-1=70

Приравняв показатели, получим:

х-1=0

х=1

Ответ: х=1

Пример №7

4х-5*2х+4=0

Представим 4х как 22х, получим:

22х-5*2х+4=0

Введем подстановку: 2х обозначим переменной t. Cледовательно: 22х=t2. Получим:

t2-5t+4=0

Найдем корни уравнения по теореме Виета:

t1=1

t2=4

Заменим t на 2х:

2х=1

Заметим, что 2

0=1

2х=20

Приравняем показатели:

х=0

2х=4

Заметим, что 4=22

2х=22

Приравняем показатели:

х=2

Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.

Ответ: х=0 и х=2

Пример №8

(√2+√3)х + (√2-√3)х=4

Введем подстановку: (√2+√3)х обозначим переменной t. А (√2-√3)х домножим на сопряженные и получим:

((√2+√3)х*(√2-√3)х) / (√2+√3)х = (√4-3)х/(√2+√3)х = 1 x/(2+√3)x = 1/(2+√3)

x

Следовательно, 1/(√2+√3)х=1/t.

Получаем:

t+1/t=4

Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t2+1=4t

t2-4t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t1=(4-2√3)/2=2-√3

t2=(4+2√3)/2=2+√3

Заменим t на (√2+√3)х:

(√2-√3)х=2+√3

Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:

1/(2-√3)=2+√3

Cледовательно:

(√2-√3)х=1/2-√3

Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)-2

(√2+√3)х=(√2-√3)-2

Приравняв показатели, получим:

х=-2

Заменим t на 2+√3

(√2+√3)х=2+√3

Заметим, что 2+√3=(√2+√3)2

Приравняв показатели, получим:

х=2

Ответ: х=-2 и х=2

Пример №9

x+y=6

xy2+7y+12=1

Выразим x:

x=6-y

xy2+7y+12=1

Заметим, что x0=1:

x=6-y

xy2+7y+12=x0

Приравним показатели:

x=6-y

y2+7y+12=0

Решим отдельно квадратное уравнение:

y2+7y+12=0

D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

y1=(-7+1)=-3

y2=(-7-1)=-4

y=-3

x=6-(-3)=9

y=-4

x=6-(-4)=10

Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4

<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>


Квадратные уравнения.

2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения – это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше – существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. 2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета. 2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

 

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х2-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

 

Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет – а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень. 2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Линейные уравнения — алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса » Kupuk.net

Простые равенства с неизвестными — первоначальный этап знакомства с линейными уравнениями. Примеры с объяснением для 6 класса основываются не только на решении последних, но и на базовых определениях, а также использования формул сокращенного умножения для понижения степени до единицы. Математики рекомендуют начать с теории, а затем перейти к ее практическому применению.

Общие сведения

Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.

Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.

В математике существует термин «корень уравнения». Он означает, что для решения равенства необходимо найти все допустимые значения, превращающие его в истинное тождество. Далее следует разобрать классификацию линейных выражений с переменными.

Классификация уравнений

Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:

  • Обыкновенные.
  • С параметром.
  • Высшей степени.

    • Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.

    Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.

    Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.

    Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.

    Обыкновенные тождества

    Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:

  • Раскрыть скобки.
  • Произвести математические преобразования над компонентами уравнения.
  • Сгруппировать элементы: перенести неизвестные в одну, а известные — в другую сторону.
  • Найти корень или доказать его отсутствие (учитывать и знаменатель при его наличии).
  • Выполнить проверку, подставив решение в исходное равенство.

    • Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:

  • 7 (t 2 −1)-7t 2 +7t=7t 2 −7-7t 2 +7t=8.
  • 7t 2 −7t 2 +7t-7=7t-7=8.
  • 7t=15.
  • t=2,5.
  • 7 (2,5−1)(2,5+1)-7*2,5 (2,5−1)=8. При расчете можно получить следующее тождество, которое является истинным: 8=8.

    • Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.

    Выражения с параметром

    Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:

  • Записать равенство.
  • Раскрыть скобки и привести подобные элементы к общему виду.
  • Выполнить математические преобразования, при помощи которых следует отделить некоторый параметр от переменной.
  • Записать диапазон значений, при которых неизвестная величина в третьем пункте не превращает уравнение в пустое множество.
  • Записать формулу определения корня.
  • При необходимости подставить значение параметра.
  • Проверить результат.

    • Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:

  • t-2+pt=0.
  • Опускается, поскольку в выражении нет скобок.
  • (t+pt)=t (1+p)=2.
  • p не должен быть -1: (-inf;-1)U (-1;+inf), где -inf и +inf — минус и плюс бесконечность соответственно.
  • t=2/(1+p).
  • При p=0: t=2.
  • 2−2+0*2=0.

    • Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p) {p: (-inf;-1)U (-1;+inf)}. Каждый ученик должен понять основной смысл решения уравнений этого типа — научиться находить область значений параметра, не превращающие выражение в пустое множество.

    Понижение степени

    Некоторые уравнения представлены степенью при неизвестной, превышающую единицу. 2-3=0. Оба решения являются верными, поскольку не обращают искомое тождество в пустое множество.

    Кубические и бикубические должны сводиться к квадратным, а затем преобразовываться в линейные, поскольку формулы кубов суммы и разности, при их разложении на множители, дают вторую степень. Однако существует еще один частный случай, о котором не упоминалось при классификации линейных выражений с неизвестными — системы уравнений.

    Системы линейного типа

    Система уравнений — совокупность выражений с неизвестными, которые имеют общие решения. Методика для вычисления корней имеет следующий вид:

  • Записать систему уравнений.
  • Выбрать наиболее простое тождество и выразить одну величину через другую.
  • Подставить в любое выражение переменную, выраженную во втором пункте алгоритма.
  • Раскрыть скобки и выполнить математические преобразования.
  • Решить уравнение в четвертом пункте.
  • Подставить корень, полученный на пятом шаге алгоритма, во 2 пункт. 2=0.
  • Простое выражение: 5t-2s=1. Выразить s: s=(5t-1)/2.
  • (2t-s)(2t+s)=[4t/2-(5t-1)/2][4t/2+(5t-1)/2]=8t=8.
  • 8t=8=>t=1.
  • 5*1-2s=1. Отсюда s=2.
  • 5*1-2*2=1=1 (равенство действительное).

    • В третьем пункте математики рекомендуют разложить тождество на множители, поскольку необходимо всегда понижать степень при неизвестной величине. Во всех трех случаях описаны простые примеры, которые позволяют перейти к более сложным заданиям.

    Следует отметить, что еще одним методом решения системы уравнений считается построение графиков функций, входящих в ее состав. Методика поиска решений сводится к простым шагам, которые можно править относительно предыдущего алгоритма таким образом:

  • Упростить все выражения, входящие в систему.
  • Выразить одну величину через другую в каждом выражении. Следует учитывать, что искомая переменная должна быть обязательно без степени и коэффициентов.
  • Построить отдельно для каждой функции специальные таблицы значений зависимости одной переменной от другой.
  • Начертить прямоугольную систему координат.
  • Отметить точки, исходя из таблицы, в системе координат.
  • Соединить точки плавными линиями при помощи карандаша.
  • Проделать аналогичные действия над другими тождествами (5 и 6).
  • Определить точки пересечения функций и записать их координаты.

    • В последнем пункте методики находятся корни системы уравнений. Далее рекомендуется их подставить в исходные выражения для проверки.

    Таким образом, линейные уравнения применяются в различных физико-математических дисциплинах и прикладных науках. Для их решения существуют определенные методики, позволяющие выполнить эту операцию за короткий промежуток времени и не допустить ошибок.

    Решение линейных уравнений с примерами

    Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

    aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

    Например, все уравнения:

    2х + 3= 7 – 0,5х;  0,3х = 0;  x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – линейные.

    Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

    Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

    А значение х = 3 не обращает  уравнение  3х + 7 = 13 в верное равенство, так  как  3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

    Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

    aх + b = 0.

    Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

    aх = ‒ b.

    Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

    Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

    Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим 
    3х = 11 – 2.

    Выполним вычитание, тогда
    3х = 9.

    Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть     
    х = 9 : 3.

    Значит, значение х = 3 является  решением или корнем уравнения.

    Ответ: х = 3.

    Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение  0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много  решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения  является любое число.

    Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

    Раскроем скобки:
    5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

    Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
    5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

    Приведем подобные члены:
    0х = 0.

    Ответ: х –  любое число.

    Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение  0х = – b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но  b ≠ 0 .

    Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

    Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
    х – х = 5 ‒ 8.

    Приведем подобные члены: 
    0х = ‒ 3.

    Ответ: нет решений.

    На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

    Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

    Пример 4. Пусть надо решить уравнение 

    1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

    2) После сокращения получим
    4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

    3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
    4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

    4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
    4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

    5) Приведем подобные члены:
    ‒ 22х = ‒ 154.

    6) Разделим на  – 22 , Получим
    х = 7.

    Как видим, корень уравнения равен семи.

    Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

    а) привести уравнение к целому виду;

    б) раскрыть скобки;

    в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

    г) привести подобные члены;

    д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

    Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2),  третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

    СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

    Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

    Находим неизвестное  х = 1/4 : 2,
    х = 1/8     .

    Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

    Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

    Решение

    2х + 6 = 5 – 6х

    2х + 6х = 5 – 6

    8х = ‒1

    х = ‒1 : 8

    х = ‒ 0, 125

    Ответ: ‒ 0, 125

    Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

    Решение

    – 30 + 18х = 8х – 7

    18х  – 8х =  – 7 +30

    10х = 23

    х = 23 : 10

    х = 2,3

    Ответ: 2,3

    Пример 8. Решите уравнение

     

    Решение:

    3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

    9х – 12 = 28х + 24

    9х – 28х = 24 + 12

    -19х = 36

    х = 36 : (-19)

    х = – 36/19

    Ответ: – .  

    Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 37-х

    Решение

    Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
    то х + 2 = 6.

    Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
    получаем х = 6 – 2, х = 4.

    Если х = 4, тогда
    f(6) = 37-4 = 33 = 27

    Ответ: 27.

    Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил.  Но если вдруг что-то еще непонятно – попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

    Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

    Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

     

    © blog. 2-4·3·2=1-24=-23\)

    Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b – \sqrt{D}}{2a}\).

    \(x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}\)
    \(x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}\)

    Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

    Ответ: нет корней.

    Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).

    Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.

    Пример. 2-7x+6=0\).
    Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
    Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

    Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).

    Примеры решения полных, неполных и приведенных квадратных уравнений


    Смотрите также:
    Квадратные уравнения (шпаргалка)

    Решение уравнений

    Горячая математика

    Решение уравнений с одной переменной

    Ан уравнение это математическое утверждение, образованное путем помещения знака равенства между двумя числовыми или переменными выражениями, как в 3 Икс + 5 знак равно 11 .

    А решение к уравнению это число который можно подключить для переменная чтобы сделать истинное утверждение числа.

    Пример 1:

    Замена 2 за Икс в

    3 Икс + 5 знак равно 11

    дает

    3 ( 2 ) + 5 знак равно 11 , что говорит 6 + 5 знак равно 11 ; это правда!

    Так 2 является решением.

    Фактически, 2 является ЕДИНСТВЕННЫМ решением 3 Икс + 5 знак равно 11 .

    Некоторые уравнения могут иметь более одного решения, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.

    Пример 2:

    Уравнение

    Икс 2 знак равно Икс

    имеет два решения, 0 а также 1 , поскольку

    0 2 знак равно 0 а также 1 2 знак равно 1 . Ни один другой номер не работает.

    Пример 3:

    Уравнение

    Икс + 1 знак равно 1 + Икс

    верно для все действительные числа . Оно имеет бесконечно много решения.

    Пример 4:

    Уравнение

    Икс + 1 знак равно Икс

    является никогда верно для Любые настоящий номер. Оно имеет нет решений .

    установлен содержащий все решения уравнения, называется набор решений для этого уравнения.

    Уравнение

    Набор решений

    3 Икс + 5 знак равно 11

    { 2 }

    Икс 2 знак равно Икс

    { 0 , 1 }

    Икс + 1 знак равно 1 + Икс

    р (набор всех действительных чисел)

    Икс + 1 знак равно Икс

    ∅ (пустой набор)

    Иногда вас могут попросить решить уравнение относительно определенного домен . Здесь возможности для значений Икс ограничены.

    Пример 5:

    Решите уравнение

    Икс 2 знак равно Икс

    через домен { 0 , 1 , 2 , 3 } .

    Это немного сложное уравнение; это не линейный и это не квадратичный , поэтому у нас нет хорошего метода для ее решения. Однако, поскольку домен содержит только четыре числа, мы можем просто использовать метод проб и ошибок.

    0 2 знак равно 0 знак равно 0 1 2 знак равно 1 знак равно 1 2 2 ≠ 2 3 2 ≠ 3

    Итак набор решений над данным доменом { 0 , 1 } .

    Решение уравнений с двумя переменными

    Решениями уравнения с одной переменной являются числа . С другой стороны, решения уравнения с двумя переменными есть упорядоченные пары в виде ( а , б ) .

    Пример 6:

    Уравнение

    Икс знак равно у + 1

    верно, когда Икс знак равно 3 а также у знак равно 2 . Итак, заказанная пара

    ( 3 , 2 )

    является решением уравнения.

    Есть бесконечно много других решений этого уравнения, например:

    ( 4 , 3 ) , ( 11 , 10 ) , ( 5,5 , 4,5 ) , и т. п.

    Упорядоченные пары, являющиеся решениями уравнения с двумя переменными, можно изобразить на графике. декартова плоскость . Результатом может быть линия или интересная кривая, в зависимости от уравнения. Смотрите также построение линейных уравнений а также построение квадратных уравнений .

    Линейные уравнения с одним, нулем или бесконечным числом решений

    Рабочие листы по математике для 8 класса

    Здесь мы попытаемся найти количество возможных решений любого линейного уравнения.

    Теперь рассмотрим каждый из вышеперечисленных случаев отдельно и разберемся в них на примерах.

    Линейные уравнения с одним решением

    Пример 1: Рассмотрим уравнение 7 x – 35 = 0,

    При решении имеем 7 x = 35 или x = 5. Приведенное выше линейное уравнение верно только в том случае, если x = 5 и, следовательно, данное линейное уравнение имеет только одно решение , т. е. x = 5.

    Пример 2: Рассмотрим уравнение 9( х – 1) – 35 = 8 х + 37.

    При решении имеем 9 х – 9 – 35 = 8 + 37.

    Собираем одинаковые слагаемые с обеих сторон переносом их, у нас

    9x – 8x = 37 + 35 + 9 = 80, что дает x = 80.

    Приведенное выше линейное уравнение верно, только если x = 80

    Следовательно, данное линейное уравнение имеет только одно решение т. е. x = 80.

    Из приведенных выше примеров мы видим, что переменная x не исчезает после решения, и мы говорим, что линейное уравнение будет иметь одно решение , если ему удовлетворяет ровно одно значение переменная.

    Узнайте больше о линейных уравнениях и других важных темах с репетиторством по математике для 8-го класса на eTutorWorld. Наши опытные преподаватели естественных наук разбивают темы на интерактивные индивидуальные занятия. Мы также предлагаем индивидуальные планы уроков, гибкий график и удобство обучения на дому.

      Пример 1: Рассмотрим уравнение 7 x – 35 = 5 x + 2 x – 27.

    При решении имеем 7 x0195 – 35 = 7x – 27

    Вычитание 7 x с обеих сторон. 7 x – 7 x – 35  = 7 x – 7 x – 27

    мы имеем -35 = -27, что является ложным утверждением, поскольку оно не может быть истинным ни для какого значения переменной х.

    Следовательно, данное линейное уравнение имеет нулевое решение или число решений равно нулю.

    Пример 2: Рассмотрим уравнение 3( x + 9) + 21 х = 24 х + 9.

    При решении имеем 3 х + 27 + 21 х = 24 х 70195 + 92 или 94 = 90 или 24. 24 x + 9

    Вычитание 24 x с обеих сторон, 24 x – 24 x + 27 = 24 x – 24 x + 9.9.907

    Wis 27 = 4. является ложным утверждением, поскольку оно не может быть истинным ни для одного значения переменной x.

    Следовательно, данное линейное уравнение не имеет решения или число решений равно нулю .

    Из приведенных выше примеров мы видим, что переменная x исчезает / устраняется, и поэтому мы говорим, что линейное уравнение будет иметь нулевое решение или не будет иметь никакого решения , если оно не может быть удовлетворено ни одним значением переменной или существует не существует ни одного значения переменной, которое делает данное уравнение истинным утверждением.

    Линейные уравнения с бесконечными решениями

    Пример 1: Рассмотрим уравнение 25 x – 35 = 5 (5 x + 4) – 55.

    При решении. + 20 – 55 или 25 x – 35 = 25 x – 35.

    Вычитание 25 x с обеих сторон, 25 x – 25 x – 35 = 25 x – 25 x – 35 = 25 x x x x x x x – 35 = 25 x x – 35

    У нас есть -35 = -35, что является верным утверждением и будет истинным для любого значения переменной х .

    Следовательно, данное линейное уравнение имеет бесконечное число решений или число решений бесконечно.

    Пример 2: Рассмотрим уравнение 15 ( x + 9) = 24 x + 9 – (9 x – 126)

    Решение Мы имеем 15 x + 144 = 249494444444444444444444444444444444444444 40004

    . х + 9 – 9 х + 126 или 15 х + 144 = 15 х + 144.

    Вычитаем 15 х с обеих сторон. 15 x – 15 x +144 = 15 x – 15 x + 144

    У нас есть 144 = 144, что является верным утверждением и будет истинным для любого значения переменной x .

    Следовательно, данное линейное уравнение имеет бесконечное число решений или число решений бесконечно.

    Из приведенных выше примеров мы можем сказать, что линейное уравнение будет иметь бесконечных решений , если оно удовлетворяется любым значением переменной или каждое значение переменной делает данное уравнение верным утверждением.

    Контрольная точка

    Решите следующие линейные уравнения и определите, имеют ли данные линейные уравнения одно, нулевое или бесконечное число решений.

    1. 17 х – 75 = 6 + 14 х .
    2. 3 х – 105 = 4 ( х – 20) – 1 ( х + 5).
    3. 10 х + 2 7 = 2 (5 х + 99).
    4. 7 х – 33 + 75 = 6( х + 7) + х.
    5. 24 х + 60 = 4 ( х – 25).
    6. 13 х + 10 – 4 х = 4 ( х – 26 ) + 5 х .
    Ключ ответа
    1. Одно решение, т. е. x = 27.
    2. Бесконечные решения.
    3. Нулевое решение.
    4. Бесконечные решения.
    5. Одно решение, т. е. x = – 8.
    6. Нулевое решение.

    Узнайте больше о линейных уравнениях и других важных темах с репетиторством по математике для 8-го класса на eTutorWorld. Наши опытные преподаватели естественных наук разбивают темы на интерактивные индивидуальные занятия. Мы также предлагаем индивидуальные планы уроков, гибкий график и удобство обучения на дому.

    Персонализированное онлайн-обучение

    eTutorWorld предлагает доступное индивидуальное онлайн-обучение для классов K-12, помощь в подготовке к стандартным тестам, таким как SCAT, CogAT, MAP, SSAT, SAT, ACT, ISEE и AP. . Вы можете запланировать уроки онлайн-репетиторства в удобное для вас время с гарантией возврата денег. Первый индивидуальный онлайн-урок всегда БЕСПЛАТНЫЙ, никаких обязательств по покупке, кредитная карта не требуется.

    Чтобы получить ответы/решения на любой вопрос или изучить концепции, возьмите БЕСПЛАТНАЯ ПРОБНАЯ ВЕРСИЯ Сессия.

    Запланировать бесплатный сеанс

    Кредитная карта не требуется, никаких обязательств по покупке.
    Просто запланируйте БЕСПЛАТНОЕ занятие, чтобы встретиться с преподавателем и получить помощь по любой интересующей вас теме!

    Стоимость онлайн-обучения

    Пакет репетиторства Срок действия Классы (1-12), Колледж
    5 сеансов 1 месяц 124 $
    1 сеанс 1 месяц 25 долларов
    10 сеансов 3 месяца 239 $
    15 сеансов 3 месяца 354 $
    20 сеансов 4 месяца $449
    50 сеансов 6 месяцев $1049
    100 сеансов 12 месяцев $2049

    Купить сейчас

    7.

    8: Уравнения решения: Примеры – Химия LibreTexts
    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    222261
    • Цели обучения
    • Напишите уравнение решения, отражающее электролитное поведение растворенного вещества.

    В предыдущих трех разделах были представлены и обсуждены образцы уравнения решения, которые представляют диссоциативное поведение не-, сильных и слабых электролитов, соответственно. В следующих абзацах будет описано, как можно изменить эти общие шаблоны, чтобы отразить химический состав конкретного раствора.

    Например, напишите уравнение сбалансированного решения, представляющее диссоциацию фосфата калия, который проявляет характеристики сильного электролита при растворении в воде. (Состояния вещества указывать не обязательно.)

    Чтобы применить схему уравнения раствора сильного электролита, представленную в Разделе 7.6, каждое вещество, на которое есть ссылка в данном заявлении, должно быть сначала классифицировано как растворенное вещество или растворитель. Поскольку в данном утверждении присутствует индикаторное слово “в”, химическое вещество, которое упоминается после этого слова, вода, H 2 O, является растворителем в этом растворе, а оставшееся вещество , фосфат калия, K 3 PO 4 — это растворенное вещество «по умолчанию».

    Чтобы указать точку, в которой происходит диссоциация сильного электролита, в уравнении решения для этого типа растворенного вещества используется стрелка «вперед» или слева направо. Химическая формула растворителя, воды, H 2 O, написана над этой стрелкой, а химическая формула растворенного вещества, фосфата калия, K 3 PO 4 , написана слева сторону стрелки. Поскольку сильный электролит полностью диссоциирует на составляющие его катионы и анионы по мере растворения, символ иона для каждой из этих частиц написан на справа сбоку от стрелки. Катионный компонент фосфата калия, K 3 PO 4 , представляет собой ион калия, K +1 , а анионный компонент этого растворенного вещества представляет собой ион фосфата, PO 4 – 3 , который является многоатомным анионом. Наконец, чтобы указать, что эти ионы являются уникальными частицами, для разделения их символов используется знак плюс. Информация, описанная в этом абзаце, отражена в уравнении несбалансированного решения, показанном ниже. 9{–3}}\)

    Поскольку левая и правая части этого уравнения решения содержат равное количество ионов фосфата, PO 4 – 3 , этот ион сбалансирован. Однако ион калия, K +1 , не сбалансирован, и поэтому в «пробеле», который соответствует этому иону с правой стороны стрелки, следует поставить коэффициент 3, как показано ниже. Поскольку все компоненты в следующем уравнении решения сбалансированы, уравнение, показанное ниже, является химически правильным представлением диссоциации фосфата калия в воде. 9{–3}}\)

    Пример \(\PageIndex{1}\)

    Напишите сбалансированное уравнение раствора, представляющее сольватацию сахарозы, C 12 H 22 O 11 , которая проявляет характеристики неэлектролита при растворении в этаноле, C 2 H 5 OH. (Материальные состояния не требуются.)

    Раствор

    Чтобы применить схему уравнения раствора неэлектролита, представленную в Разделе 7.5, каждое вещество, на которое есть ссылка в данном заявлении, должно быть сначала классифицировано как растворенное вещество или растворитель. Поскольку в данном утверждении присутствует слово-индикатор “в”, указанное химическое вещество После Это слово, этанол, C 2 H 5 OH, является растворителем в этом решении, а оставшееся субстан , – это растворенное вещество “по умолчанию”.

    Чтобы указать точку, в которой происходит сольватация неэлектролита, в уравнении решения для этого типа растворенного вещества используется стрелка «вперед» или слева направо. Химическая формула растворителя, этанол, C 2 H 5 OH, написано над этой стрелкой, а химическая формула растворенного вещества, сахарозы, C 12 H 22 O 11 , написана слева от 9019 стрелка. Кроме того, поскольку неэлектролит не диссоциирует при растворении, химическая формула растворенного вещества, сахарозы, C 12 H 22 O 11 , не изменяется в процессе сольватации и, следовательно, также записывается на справа со стороны стрелки. Информация, описанная в этом абзаце, отражена в уравнении решения, показанном ниже.

    ___ \(\ce{C_{12}H_{22}O_{11}}\) \(\overset{\ce{C_2H_5OH}}{\longrightarrow}\) ___ \(\ce{C_{12}H_ {22}О_{11}}\)

    Поскольку одна и та же химическая формула написана по обеим сторонам стрелки, уравнение, написанное выше, уже сбалансировано и, следовательно, является химически правильным представлением сольватации сахарозы, C 12 H 22 O 11 , в этаноле, C 2 H 5 OH.

    Упражнение \(\PageIndex{1}\)

    Напишите сбалансированное уравнение решения, описывающее диссоциацию сульфида никеля (III), который проявляет характеристики слабого электролита при растворении в воде. (Материальные состояния не требуются.)

    Ответить
    Чтобы применить модель уравнения раствора слабого электролита, представленную в разделе 7.7, каждое вещество, на которое ссылается данное утверждение, должно быть сначала классифицировано как растворенное вещество или растворитель. Поскольку в данном утверждении присутствует слово-индикатор “в”, указанное химическое вещество после это слово, вода, H 2 O, является растворителем в этом растворе, а оставшееся вещество, сульфид никеля (III), раствор Ni 2 S 3,  , “по умолчанию.”

    Чтобы указать точку, в которой одновременно происходят процессы «прямой» диссоциации и «обратной» рекомбинации при сольватации слабого электролита, в уравнении решения для этого типа растворенного вещества используется стрелка равновесия. Химическая формула растворителя, вода, H 2 O, написано  над  этой стрелкой, а химическая формула растворенного вещества, сульфида никеля (III), Ni 2 S 3  , записана на левой  стороне стрелки. Поскольку слабый электролит частично диссоциирует на составляющие его катионы и анионы по мере растворения, символ иона для каждой из этих частиц написан справа от стрелки. Катионный компонент сульфида никеля (III), Ni 2 S 3 , представляет собой ион никеля (III), Ni 9{–2}}\)

    Ни ион никеля (III), Ni +3 , ни сульфид-ион, S – 2 , не сбалансированы, поскольку каждый из этих ионов присутствует в разных количествах слева и справа от стрелки равновесия . Следовательно, коэффициенты 2 и 3 соответственно должны быть записаны в «пробелах», соответствующих каждому из этих ионов с правой стороны стрелки, как показано ниже. Поскольку все компоненты в следующем уравнении решения сбалансированы, уравнение, показанное ниже, является химически правильным представлением диссоциации сульфида никеля (III) в воде. 9{–2}}\)

    7.8: Solution Equations: Examples распространяется по незадекларированной лицензии и был создан, изменен и/или курирован LibreTexts.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или страница
        Показать страницу TOC
        нет на странице
      2. Теги
          На этой странице нет тегов.

      Бесконечные решения – определение, условия и примеры

      Статья о бесконечных решениях разработана высококвалифицированными учителями Веданту. Эти преподаватели имеют большой опыт работы в сфере образования и очень хорошо осведомлены о потребностях учащихся. Часто видно, что студенты не могут понять тему, несмотря на усердную работу над ней. Причинами тому же могут быть жесткий язык содержания, длинное и монотонное изложение статьи и другие. В то время как статья «Бесконечные решения — определение, условия и примеры», подготовленная Веданту, заботится об этих элементах и ​​делает статью все более и более интересной для студентов. Теперь обучение и развлечения идут рука об руку.

      Все мы хорошо знакомы с уравнениями и выражениями. Мы решаем ее почти ежедневно по математике. Давайте еще раз быстро освежим значения терминов, прежде чем углубляться в них. Уравнение – это выражение, в котором есть знак равенства (=) между ними. Например, 4+3 = 7. Выражение состоит из таких переменных, как x или y, и постоянных членов, которые соединяются вместе с помощью алгебраических операторов. Например, 2x + 4y – 9, где x и y — переменные, а 9 — константа. Насколько мы смотрим, обычно есть одно решение уравнения. Но не исключено, что уравнение не может иметь более одного решения, бесконечное число решений или вообще не может иметь решений. Отсутствие решения означает, что уравнение не имеет ответа, тогда как бесконечные решения уравнения означают, что любое значение переменной сделает уравнение верным.

      Что такое бесконечные решения?

      Общее количество переменных в уравнении определяет количество возможных решений. И исходя из этого, решения можно сгруппировать в три типа, это:

      1. Уникальное решение (у которого есть только 1 решение).

      2. No Solutions (нет решений)

      3. Infinite Solutions (имеет много решений)

      Но как узнать, бесконечно ли решение вашего решенного уравнения? Что ж, есть простой способ узнать, бесконечно ли ваше решение. У бесконечного решения обе стороны равны. Например, 6x + 2y – 8 = 12x + 4y – 16. Если вы упростите уравнение, используя формулу или метод бесконечных решений, вы получите равные обе части, следовательно, это бесконечное решение. Бесконечность представляет безграничность или безграничность. Обычно обозначается символом «∞».

      Условия для бесконечного решения

      Уравнение будет иметь бесконечное решение, если оно удовлетворяет некоторым условиям для бесконечного решения. Бесконечное решение может быть получено, если линии совпадают и они должны иметь одинаковую точку пересечения по оси Y. Две линии, имеющие одинаковую точку пересечения по оси Y и наклон, являются одной и той же линией. Проще говоря, мы можем сказать, что если две линии пересекают одну и ту же линию, то система приведет к бесконечному решению. Следовательно, система будет состоятельной, если система уравнений имеет бесконечное число решений.

      Например, рассмотрим следующие уравнения.

       y = x + 3

       5y = 5x + 15

      Если мы умножим 5 на уравнение 1, мы получим уравнение 2, а разделив уравнение 2 на 5, мы получим точное первое уравнение.

      Пример бесконечного решения

      Что является примером бесконечного решения? Это вопрос, которого мы так долго ждали. Но для решения систем уравнений с двумя или тремя переменными важно понимать, является ли уравнение зависимым или независимым, является ли оно совместным уравнением или несовместным уравнением. Непротиворечивая пара линейных уравнений всегда будет иметь уникальные или бесконечные решения.

      Пример 1: Вот два уравнения с двумя переменными.

      a1x + b1y = c1 ——- (1)

      a2x + b2y = c2 ——- (2)

      Если (a1/a2) = (b1/b2) = (c1/c2) 

      Тогда Уравнение является непротиворечивым и зависимым уравнением, которое имеет бесконечно много решений.

      Пример 2: Вот несколько уравнений с бесконечными решениями -6x + 4y = 2

      3x – 2y = -1

      Теперь, если мы умножим второе уравнение на -2, мы получим первое уравнение.

      -2(3x-2y) = -2(-1)

      -6x + 4y = 2

      Следовательно, уравнения эквивалентны и имеют один и тот же график. Таким образом, решение, которое будет работать для одного уравнения, будет работать и для других уравнений. Следовательно, они являются бесконечными решениями системы.

      Пример 3: x-10+x = 8+2x-18

      Теперь, вот как мы продолжаем

      x-10+x = 8+2x-18

      2x-10 = 2x-10

                                -2x = -2x

                                -10 = -10 

      Поскольку -10 = -10, у нас остается верное утверждение, и мы можем сказать, что это бесконечное решение.

      Пример 4: Давайте возьмем еще один пример: x+2x+3+3 = 3 (x+2)

      x+2x+3+3 = 3 (x+2)

      3x+6 = 3x +6

                                                                             -3x = -3x

                                                                          6 = 6

      Коэффициенты и константы совпадают после объединения одинаковых членов. Это дает нам истинное утверждение. Поэтому их можно назвать бесконечными решениями.

      Пример 5: Рассмотрим уравнение 4(x+1)=4x+4.

                                        4(x+1) = 4x+4 

                                                              Следовательно, это бесконечное решение.

      Приближение к теме бесконечного решения 

      Математика — очень практичный предмет. Это не требует никакого обучения и требует практического склада ума. Поэтому, если кто-то намеревается преуспеть в предмете, практика — это просто ключ к успеху. Студенты должны подходить к предмету через его программу. В программе рассказывается о темах и о том, сколько времени можно потратить на изучение каждой темы. Далее идет вопросник за прошлый год. Идея чтения вопросника за предыдущий год дает конкурентное преимущество. Эти вопросы должны быть отработаны учащимися более двух раз. Такая рутина отработки вопросов будет развивать навыки в соответствии с требованиями экзаменов.

      Самооценка

      Самооценка является очень важным компонентом экзаменационного процесса. Это позволяет очень ясно судить о себе и отметить глубину понимания концепции. Чтобы оценить свой уровень в теме бесконечных решений, студент должен пройти множество тестов и попытаться выполнить тестовые задания. Успеваемость в этих тестах и ​​имитациях определяют окончательную работу студентов на экзамене. Студенты должны записывать свои результаты в каждом тесте и пытаться заполнить пробелы, которые они могут выделить с помощью этой мифологии.

      Преподаватели-эксперты рекомендуют учащимся не относиться легкомысленно к этой части подготовки и активно использовать ее для оценки и повышения своей успеваемости.

      The Vedantu Edge 

      Тема «Бесконечные решения» подготовлена ​​опытными преподавателями Веданту, которые понимают потребности студентов и хорошо знакомы с последними тенденциями в области экзаменов. Студенты находятся в очень прибыльном месте, чтобы воспользоваться своими знаниями и опытом и повысить свою производительность.

      Студенты могут использовать приведенную выше статью для исправления, а также быть в курсе уровня конкуренции, с которым они сталкиваются сегодня. Учащийся может либо подчеркивать ключевые слова, либо замечать только одно и то же каждый раз, когда он / она повторно посещает контент для проверки, или делать примечания для исправления. Поскольку статья является отражением последних тенденций в области экзаменов и трудностей, с которыми приходится сталкиваться на экзаменах, студенты могут настроить себя на то же самое, просматривая статью.

      Загрузите статью Infinite Solutions — Definition, Conditions, and Examples и получите преимущество Vedantu прямо сейчас!

      Решения линейного уравнения | Калькулятор

      Решения линейного уравнения относятся к набору значений переменных в линейных уравнениях, дающих все возможные решения. Линейные уравнения включают неизвестные величины в виде одной или нескольких переменных для представления реальных задач. Это помогает легко узнать стоимость, пробег, скорость, расстояние и т. Д. Мы все используем линейные уравнения в нашей повседневной жизни, не зная об этом.

      В этом уроке давайте подробно узнаем о решениях линейных уравнений, типах решений, способах их нахождения и т. д.

      1. Каковы решения линейного уравнения?
      2. Типы решений линейных уравнений
      3. Как найти решение линейного уравнения?
      4. Примеры решений линейного уравнения
      5. Часто задаваемые вопросы о решениях линейного уравнения

      Каковы решения линейного уравнения?

      Решениями линейных уравнений являются точки, в которых линии или плоскости, представляющие линейные уравнения, пересекаются или встречаются друг с другом. Множество решений системы линейных уравнений — это множество значений переменных всех возможных решений. Например, при решении линейных уравнений можно визуализировать решение системы одновременных линейных уравнений, нарисовав 2 линейных графика и найдя точку их пересечения.

      Красная линия представляет все решения уравнения 1, а синяя линия — решения уравнения 2. Пересечение в единственной точке (2,4) — это решение, удовлетворяющее обоим уравнениям.

      Типы решений линейных уравнений

      Система линейных уравнений может иметь 3 типа решений.

      Единственное решение системы линейных уравнений

      Единственное решение системы линейных уравнений означает, что существует только одна точка, при подстановке которой левая и правая стороны уравнения становятся равными. Линейное уравнение с одной переменной всегда имеет единственное решение. Например, 3m = 6 имеет единственное решение m = 2, для которого L.H.S = R.H.S. Точно так же для одновременных линейных уравнений с двумя переменными единственным решением является упорядоченная пара (x, y), которая удовлетворяет обоим уравнениям.

      Нет решения

      Система линейных уравнений не имеет решения, если не существует точки, в которой прямые пересекаются друг с другом, или графики линейных уравнений параллельны.

      Бесконечное множество решений

      Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если существует множество решений, состоящих из бесконечных точек, для которых левая и правая стороны уравнения становятся равными или на графике прямые линии перекрывают друг друга.

      Как найти решение линейного уравнения?

      Решения для линейных уравнений с одной переменной

      Рассмотрим уравнение 2x + 4 = 8

      • Чтобы найти значение x, сначала мы удаляем 4 из LHS, поэтому мы вычитаем 4 из обеих частей уравнения. 2x + 4 – 4 = 8 – 4
      • Просто. Теперь мы получаем, 2x = 4
      • Теперь нам нужно удалить 2 из L.H.S, чтобы получить x, поэтому мы делим уравнение на 2. 2x/2 = 4/2, x=2

      Следовательно, решение уравнения 2x + 4 = 8 равно x=2.

      Решения линейных уравнений с двумя переменными

      Для нахождения решений линейных уравнений с двумя переменными можно использовать следующие методы.

      Метод подстановки

      Рассмотрим следующую пару линейных уравнений, давайте решим следующие линейные уравнения.

      x + y = 4 и x – y = 2

      • Преобразуем первое уравнение, чтобы выразить y через x, следующим образом: x + y = 4, y = 4 – x
      • Теперь это выражение для у можно подставить во второе уравнение, так что у нас останется уравнение только относительно х: х – у = 2, х – 4 + х = 2, 2х = 6 х = 6/2, х = 3
      • Получив значение x, мы можем подставить его обратно в любое из двух уравнений, чтобы найти y. Подставим это в первое уравнение: x + y = 4 (3) + y = 4, y = 4 – 3 = 1, y = 1
      • Окончательное нетривиальное решение: x = 3, y = 1

      Должно быть понятно, почему этот процесс называется заменой. Мы выражаем одну переменную через другую, используя одно из двух уравнений, и подставляем это выражение во второе уравнение.

      Метод исключения

      Рассмотрим следующую пару линейных уравнений:

      2x + 3y – 11 = 0, 3x + 2y – 9 = 0

      Коэффициенты x в этих двух уравнениях равны 2 и 3 соответственно. Умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при x в двух уравнениях стали равными:

      • 3 {2x + 3y – 11 = 0} 6x + 9y – 33 = 0
      • 2 {3x + 2y – 9 = 0} 6x + 4y – 18 = 0

      Теперь вычтем два уравнения, это значит, что мы вычтем левые части двух уравнений, а правые части двух уравнений и равенство все равно сохранится.

      6x + 9y – 33 = 0,6x + 4y – 18 = 0 0 + 5y – 15 = 0, 5y = 15, y = 3

      Обратите внимание, что x исключается, и мы остаемся с уравнением только в y . Получив значение y, мы действуем, как и раньше, — подставляем его в любое из двух уравнений. Подставим это в первое уравнение:

      2х + 3у — 11 = 0, 2х + 3 (3) — 11 = 0, 2х + 9 — 11 = 0\, 2х = 2, х = 1

      Таким образом, нетривиальное решение: x = 1, y = 3

      Графический метод

      В качестве примера решим следующее линейное уравнение: x – y + 2 = 0, 2x + y – 5 = 0. Рисуем соответствующие линии на тех же осях:

      Точка пересечения (1,3), что означает, что x = 1, y = 3 является решением пары линейных уравнений, заданной (2). Фактически, это единственное решение пары , так как две непараллельные прямые не могут пересекаться более чем в одной точке.

      Важные примечания

      Вы можете напрямую проверить типы решений, используя следующие условия:

      • Уникальное решение (непротиворечивое и независимое) a1/a2 ≠ b1/b2
      • Нет решения (противоречивое и независимое) a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
      • Бесконечное множество решений (непротиворечивых и зависимых) a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

      Часто задаваемые вопросы о решениях линейных уравнений

      Как решить систему линейных уравнений?

      У нас есть разные методы решения системы линейных уравнений:

      • Графический метод
      • Метод замены
      • Метод перекрестного умножения
      • Метод исключения
      • Метод определителей

      Что такое уникальное решение линейного уравнения?

      Единственным решением системы линейных уравнений является упорядоченная пара или точка, которая делает равенство истинным в уравнении.

      Что произойдет, если пара линейных уравнений непротиворечива?

      Если пара линейных уравнений непротиворечива, то линии либо пересекаются, либо совпадают (накладываются) друг на друга.

      Каковы 3 решения линейных уравнений?

      Существует три способа решения систем линейных уравнений: подстановка, исключение и построение графика

      Как найти решение линейной системы?

      • Сначала решите одно линейное уравнение относительно y через x.
      • Затем подставьте это выражение для y в другое линейное уравнение. Вы получите уравнение относительно x .

      Линии пересекаются в нулевых точках.
      Линии пересекаются ровно в одной точке.
      Прямые пересекаются в бесконечном числе точек.

      Как найти решение двух линейных уравнений?

      Решение систем уравнений путем подстановки

      • Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
      • Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.

      Как решать линейные уравнения с одной переменной?

      • Шаг 1: При необходимости упростите каждую сторону.
      • Шаг 2. Используйте доп./доп. Свойства, позволяющие переместить переменный термин в одну сторону, а все остальные термины — в другую.
      • Шаг 3. Используйте Множ./дел. …
      • Шаг 4. Проверьте свой ответ.

      Сколько существует решений линейного уравнения 2x-5y=7?

      В данном уравнении 2x – 5y = 7 для каждого значения x мы получаем соответствующее значение y и наоборот. Следовательно, линейное уравнение имеет бесконечно много решений.

      Как найти упорядоченные парные решения линейных уравнений?

      Чтобы выяснить, является ли упорядоченная пара решением уравнения, вы можете выполнить тест. Определите значение x в упорядоченной паре и подставьте его в уравнение. При упрощении, если полученное вами значение y совпадает со значением y в упорядоченной паре, то эта упорядоченная пара действительно является решением уравнения.

      Как найти упорядоченное парное решение линейного уравнения с двумя переменными?

      Чтобы убедиться, что упорядоченная пара является решением, подставьте соответствующие значения x и y в каждое уравнение, а затем упростите, чтобы увидеть, получите ли вы верное утверждение для обоих уравнений.

      Решение уравнения. Методы, приемы и примеры

      Решение уравнения включает в себя нахождение значений неизвестных переменных в заданном уравнении. Условие равенства двух выражений удовлетворяется значением переменной. Решение линейного уравнения с одной переменной дает единственное решение, решение линейного уравнения с двумя переменными дает два результата. Решение квадратного уравнения дает два корня. Существует множество методов и процедур, применяемых при решении уравнения. Давайте подробно обсудим методы решения уравнения по одному.

      1. В чем смысл решения уравнений?
      2. шагов решения уравнения
      3. Решение уравнений с одной переменной
      4. Решение квадратного уравнения
      5. Решение рационального уравнения
      6. Решение радикального уравнения
      7. Часто задаваемые вопросы о решении уравнений

      В чем смысл решения уравнений?

      Решение уравнений вычисляет значение неизвестной переменной, все еще уравновешивая уравнение с обеих сторон. Уравнение — это условие для переменной, при котором два выражения в переменной имеют одинаковое значение. Значение переменной, для которой выполняется уравнение, называется решением уравнения. Уравнение остается тем же, если поменять местами левую и правую части. Выделяется переменная, для которой нужно найти значение, и получается решение. Решение уравнения зависит от того, с каким типом уравнения мы имеем дело. Уравнения могут быть линейными уравнениями, квадратными уравнениями, рациональными уравнениями или радикальными уравнениями.

      шага решения уравнения

      Цель решения уравнения состоит в том, чтобы найти значение переменной, удовлетворяющее условию истинности уравнения. Чтобы изолировать переменную, выполняются следующие операции, все еще уравновешивающие уравнение с обеих сторон. Таким образом, левая сторона остается равной правой, и, в конце концов, баланс не нарушается.

      • Добавление свойства равенства: Добавьте одинаковое число к обеим сторонам. Если a = b, то a + c = b + c
      • Свойство равенства вычитания: вычитание одинакового числа с обеих сторон. Если а = b, то а – с = b – с
      • Свойство равенства умножения: умножить одно и то же число с обеих сторон. Если a = b, то ac = bc
      • Свойство равенства деления: Делим на одно и то же число в обе стороны. Если a = b, то a/c = b/c (где c ≠ 0)

      После выполнения этого систематического уравновешивающего метода решения уравнения с помощью серии идентичных арифметических операций с обеих сторон уравнения мы разделяем переменную на одной из сторон, и конечным шагом является решение уравнения.

      Решение уравнений с одной переменной

      Линейное уравнение одной переменной имеет вид ax + b = 0, где a, b, c — действительные числа. При решении линейного уравнения выполняются следующие шаги.

      • Удалите скобки и при необходимости используйте свойство распределения.
      • Упростите обе части уравнения, объединив одинаковые члены.
      • Если есть дроби, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей.
      • Если есть десятичные дроби, умножьте обе части уравнения на меньшую степень 10, чтобы преобразовать их в целые числа.
      • Перенесите переменные члены в одну часть уравнения, а постоянные члены в другую, используя свойства равенства сложения и вычитания.
      • Сделайте коэффициент переменной равным 1, используя свойства равенства умножения или деления.
      • изолируйте переменную и получите решение.

      Рассмотрим следующий пример: 3(x + 4) = 24 + x

      Мы упрощаем LHS, используя свойство дистрибутивности.

      3x + 12 = 24 + x

      Сгруппируйте одинаковые термины вместе, используя метод транспонирования. Это становится 3x – x = 24-12

      . Упрощаем дальше ⇒ 2x = 12

      . Используем свойство равенства деления, 2x/2 = 12/2

      , изолируем переменную x. x = 6 является решением уравнения.

      Используйте любой из следующих методов, чтобы упростить линейное уравнение и найти неизвестную переменную. Метод проб и ошибок, метод балансировки и метод транспонирования используются для выделения переменной.

      Решение уравнения методом проб и ошибок

      Предположим, что 12x = 60. Чтобы найти x, мы интуитивно пытаемся найти, что число, умноженное на 12, равно 60. Мы находим, что 5 — это искомое число. Решить уравнения методом проб и ошибок не всегда просто.

      Решение уравнения методом балансировки

      Нам нужно изолировать переменную x для решения уравнения. Для ее решения воспользуемся методом разделения переменных или методом балансировки. Рассмотрим уравнение 2x + 3 = 17,9. 0007

      Сначала мы исключаем 3 на первом шаге. Чтобы сохранить баланс при решении уравнения, мы вычитаем 3 из каждой части уравнения.

      Таким образом, 2x + 3 – 3 = 17 – 3

      У нас есть 2x = 14

      Теперь, чтобы изолировать x, мы делим на 2 с обеих сторон. (Свойство равенства деления)

      2x/2 = 14/2

      x = 7

      Таким образом, мы изолируем переменную, используя свойства равенства при решении уравнения в методе балансировки.

      Решение уравнения методом транспонирования

      Решая уравнение, мы меняем стороны чисел. Этот процесс называется транспонированием. При перестановке числа мы меняем его знак или выполняем обратную операцию. Рассмотрим 5y + 2 = 22.

      Нам нужно найти y, поэтому изолируем его. Следовательно, мы переносим число 2 на другую сторону. Уравнение принимает следующий вид:

      5y = 22-2

      5y = 20

      Теперь перенесем 5 на другую сторону и обратим операцию умножения на деление. у = 20/5 = 4

      Решение квадратного уравнения

      Существуют уравнения, которые дают более одного решения. Квадратные многочлены имеют степень два, а нули квадратного многочлена представляют собой квадратное уравнение.

      Рассмотрим (x+3) (x+2)= 0. Это квадратично по своей природе. Мы просто приравниваем каждое из выражений в LHS к 0.

      Либо x+3 = 0, либо x+2 =0.

      Мы получаем x = -3 и x = -2.

      Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0. Решение квадратного уравнения дает два корня: α и β.

      Шаги, необходимые для решения квадратного уравнения:

      • Путем выполнения метода квадратов
      • По методу факторизации
      • Методом формулы

      Путем выполнения метода квадратов

      Решить уравнение квадратного типа путем выполнения метода квадратов довольно просто, если применить наши знания об алгебраическом тождестве: (a+b) 2

      • Запишите уравнение в стандартной форме ax 2 + bx + c = 0.
      • Разделите обе части уравнения на a.
      • Переместить постоянный член на другую сторону
      • Добавьте квадрат половины коэффициента x с обеих сторон.
      • Дополните левую часть квадратом и упростите правую часть.
      • Извлеките квадратный корень из обеих сторон и найдите x.

      Для получения дополнительной информации о решении уравнений (квадратичных) путем заполнения квадратов нажмите здесь.

      Методом факторизации

      Решая уравнение квадратного типа методом факторизации, выполните шаги, описанные здесь. Запишите данное уравнение в стандартной форме и, разделив средние члены, разложите уравнение на множители. Перепишите полученное уравнение как произведение двух линейных множителей. Приравняйте каждый линейный множитель к нулю и найдите x. Рассмотрим 2x 2 + 19х + 30 = 0. Это стандартная форма ax 2 + bx + c = 0.

      Разделите средний член таким образом, чтобы произведение членов было равно произведению коэффициента x 2 и c и суммы из терминов должно быть b. Здесь произведение слагаемых должно быть 60, а сумма должна быть 19. Таким образом, разделите 19x на 4x и 15x (поскольку сумма 4 и 15 равна 19, а их произведение равно 60).

      2x 2 + 4x + 15x + 30 = 0

      Вынесите общий делитель из первых двух членов и общие делители из двух последних членов.

      2x(x + 2) + 15(x + 2) = 0

      Снова факторизуем (x+2), получаем

      (x + 2)(2x + 15) = 0

      x = – 2 и x = -15/2

      Решение квадратного уравнения включает такие шаги при разделении средних членов при факторизации.

      Формульным методом

      Решение уравнения квадратного типа по формуле

      x = [-b ± √[(b 2 -4ac)]/2a помогает найти корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Подставляя значения a, b и c в формулу, мы приходим к решению.

      Рассмотрим пример: 9x 2 -12 x + 4 = 0

      a = 9, b = -12 и c = 4

      x = [-b ± √[(b 2 -4ac)] /2a

      = [12 ± √[((-12) 2 -4×9×4)] / (2 × 9)

      = [12 ± √(144 – 144)] / 18

      = (12 ± 0)/18

      х = 12/18 = 2/3

      Решение рационального уравнения

      Уравнение, в знаменателе которого есть хотя бы одно полиномиальное выражение, называется рациональным уравнением. Решение рационального уравнения включает следующие шаги. Приведите дроби к общему знаменателю, а затем решите уравнение числителей.

      Рассмотрим x/(x-1) = 5/3

      При перекрестном умножении получаем

      3x = 5(x-1)

      3x = 5x – 5

      3x – 5x = – 5

      -2x = -5

      x = 5/2

      Решение радикального уравнения

      Уравнение, в котором переменная находится под радикалом, называется радикальным уравнением. Решение уравнения, которое является радикалом, включает несколько шагов. Выразите данное радикальное уравнение через индекс радикала и уравновесьте уравнение. Решите для переменной.

      Рассмотрим √(x+1) = 4

      Теперь возведите обе стороны в квадрат, чтобы сбалансировать. [ √(x+1)] 2 = 4 2

      (x+1) = 16

      Таким образом, x = 16-1 =15

      Важные замечания по решению уравнений:

      67 и решение уравнение находит значение переменной в уравнении.

    3. Решение уравнения удовлетворяет условию данного уравнения.
    4. Решить уравнение линейного типа можно и графически.
    5. Если правая часть уравнения равна нулю, то для решения уравнения просто начертите на графике левую часть уравнения, и точка пересечения x на графике будет решением(ями).

      6. ☛ Статьи по теме:

      • Калькулятор решений уравнений
      • Синхронные линейные уравнения
      • Линейные уравнения и неравенства с одной переменной
      • Простые уравнения и их приложения

      Часто задаваемые вопросы о решении уравнений

      Что такое решение уравнения?

      Решение уравнения – это нахождение значений неизвестных переменных в данном уравнении. Процесс решения уравнения зависит от типа уравнения.

      Какие этапы решения уравнений?

      Определите тип уравнения: линейное, квадратичное, логарифмическое, показательное, радикальное или рациональное.

      • Удалите скобки, если они есть в данном уравнении. Примените распределительное свойство.
      • Добавьте одинаковый номер с обеих сторон
      • Вычесть одинаковое число с обеих сторон
      • Умножить одинаковое число с обеих сторон
      • Разделите на одно и то же число в обе стороны.

      Золотое правило решения уравнения?

      Определен тип уравнения. Если это линейное уравнение, используется метод разделения переменных или метод транспонирования. Если это квадратное уравнение, то используется достраивание квадратов, разбиение средних членов с помощью факторизации или по формульному методу.

      Как вы используете 3 шага в решении уравнения?

      3 шага решения уравнения:

      • удалить скобки, если они есть, используя свойство распределения,
      • упростить уравнение, добавляя или вычитая одинаковые члены,
      • выделение переменной и ее решение.

      Как вы решаете линейные уравнения?

      Решая линейное уравнение, мы изолируем переменную, значение которой нужно найти.

      Оставить комментарий