Уравнения с разделяющимися переменными примеры решения: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Содержание

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только в левую часть, а выражение, зависящее от x – только в правую часть, это дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.

В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения – .

В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения следует проинтегрировать обе части уравнения. Пример такого уравнения – .

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Пример очень простой. Непосредственно находим функцию по её производной, интегрируя:

Таким образом, получили функцию – решение данного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла – табличные. Идём к решению:

Функция – решение уравнения – получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и неплохо расправляться с дробями и корнями.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых требуется разделить переменные, имеют вид

.

В таком уравнении и – функции только переменной x, а и – функции только переменной y.

Поделив члены уравнения на произведение , после сокращения получим

.

Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть переменные разделены.

Левая часть полученного уравнения – дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть – дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на произведение и получим

.

Почленно интегрируем:

,

откуда, используя метод замены переменной (подстановки), получаем

или ,

поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:

.

Есть задачи, в которых для разделения переменных уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения, задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.

Так как , то перепишем данное уравнение в виде

.

Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение , получаем

.

Почленно интегрируем:

Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй – табличный. Следовательно,

.

Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:

.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

.

Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.

Пусть , .

Тогда , .

Находим общее решение уравнения:

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим


или
.

Записываем производную y в виде и получаем

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:

, которое почленно интегрируя:

,

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два таких примера.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную “игрека” в виде и получим

.

Разделяем “игреки” и “иксы”:

.

Почленно интегрируем и, так как в левой части “игрек” присутствует со слагаемым, в правой части константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:

.

Теперь по свойству логарифма имеем

.

Находим общее решение уравнения:

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим


или
.

Разделяем dy и dx и получаем уравнение:


которое почленно интегрируя:

находим общее решение уравнения:

.

Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:

.

Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:

.

Выводы. В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения, на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из элементарной (школьной) математики.

Всё по теме “Дифференциальные уравнения”

Поделиться с друзьями

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Многие студенты спрашивают “Как найти решение дифференциального уравнения?” Ответ возможно неординарен, но что Вы знаете о дифференциальных уравнениях (ДУ), их типах, какие распространенные схемы вычислений ДУ? С этого нужно начинать.
Сферы применения дифференциальных уравнений были в общем очерчены на предыдущем уроке. Здесь речь пойдет об одном из самых простых (в плане вычислений) типов ДУ первого порядка среди всех возможных уравнений что Вас ждут. Начнем с базовых понятий теории которые Вы должны знать и мы будем использовать в терминологии. Для одних это не нужно, потому что они ищут

готовые ответы по дифференциальным уравнениям и думают, что таким образом решат все проблемы. Но это ошибка, потому что не знание элементарных понятий по теории ДУ сравнимо с тем, что Вы пытаетесь говорить, предварительно не изучив звуки и алфавит.
Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно записать формулой
N(х)dx+М(у)dy=0 (1)
называют уравнением с разделенными переменными.
Их не трудно обнаружить среди других уравнений, основной признак – множители при dx и dy являются функциями (константами), которые зависят только от х при множителе dx и у при dy.
Чтобы найти общее решение (общий интеграл) уравнения с разделенными переменными необходимо проинтегрировать уравнение (1)
Int(N(x), x) + Int(M(y),y) = С,

Для понимания дифференциальное уравнение (1) можно принимать, как условие равенства нулю полного дифференциала некоторой функции двух переменных U(x,y)

Отсюда следует что функция U(x,y)=С=const равна постоянной.
Дифференциальное уравнение вида
f1(x)*g1(y)dx+f2(x)*g2(y)dy=0 (2)
называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в симметричной форме.
В уравнении (2) коэффициенты при дифференциалах dx и dy является произведениями двух функций: одна зависит только от x, а вторая – от y. В области, где g1(y), f2(x) принимают отличные от нуля значения в уравнение с разделяющимися переменными (2) сводится к уравнению с разделенными переменными

Звучит как игра слов: разделенными, разделяющимися, однако между ними как видите есть маленькая разница, и теперь Вы ее знаете.
Рассмотрим типичные для практики задания на диф. уравнения первого порядка, которые в достаточно простой способ можно свести к уравнениям с разделенными переменными.

Пример 1 Решить дифференциальное уравнение
Решение:Имеем дифференциальное уравнение первого порядка, по теории его можно назвать уравнением с разделяющимися переменными или уравнением в дифференциалах. Для его упрощения сгруппируем слагаемые, содержащие dx, dy по разные стороны знака равенства

Далее выделим общие множители для каждой суммы и перепишем уравнение в дифференциалах в форме

После этого все, что содержит y переносим к dy, то же самое проделываем с множителями которые содержат переменную x.
В результате

придем к дифференциальному уравнению с разделенными переменными

Теперь посмотрите почему данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными? – Возле dx имеем функцию зависимую только от “икс”, у dy – только от y.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение

Выносим множители, чтобы при переменной в знаменателе стояли единицы. Также, чтобы в числителе получить дифференциалы знаменателя умножаем обе части на 2

Это позволяет упростить вычисления интеграла ДУ (после интегрирования получить логарифмы)

Константу рекомендуем внести в логарифм, для этого записывайте всегда ее в виде C1=ln(C)

Чтобы раскрыть логарифмическое уравнение экспонируем (находим экспоненту) правую и левую сторону зависимости
(3)
Также выделяем значение функции

Конечная запись имеет двойной корень и является общим решением уравнения с разделяющимися переменными. Это не совсем хороший тон подавать ответ, лучше решение оставить в виде формулы (3), только тройку перенести в правую сторону.

 

Пример 2 Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение:Имеем уравнение в дифференциалах первого порядка. Разделим в уравнении переменные, содержащиеся при dx, dy и перенесем их по разные стороны знака равенства

С первых скобок выносим общий для двух слагаемых множитель y за скобки

Далее разделим множители так, чтобы при dy получить функцию только от y, а при dx – функцию аргумента x. В результате получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными

После интегрирования

получим корневую зависимость для y и арктангенс в результате вычисления интеграла по аргументу (правая сторона).

Общий интеграл можем оставить в такой форме или перенести артангенс в левую часть зависимости.
Так же можем записать решение дифференциального уравнения в виде зависимости y(x) (явном виде). Для этого возведем обе части к квадрату

и перенеся сталую в правую сторону, вычислим корень квадратный

Это и есть искомое решение дифференциального уравнения.

 

Пример 3 Решить дифференциальное уравнение
Решение:Данное ДУ первого порядка необходимо свести под правило решения уравнений с разделенными переменными. Для этого второе слагаемое, что со знаком минус, переносим в правую сторону от знака равенства

и разделяем переменные

Проинтегрируем левую и правую сторону зависимости

В результате придем к логарифмическому уравнению вида

И снова обращаем Ваше внимание на то что в таком виде как правило не записывают.
Целесообразно, для компактности конечного решения, постоянную вносить под логарифм, то есть в форме

Взяв экспоненту от правой и левой части формулы придем к конечному виду решения дифференциального уравнения

Как Вы могли убедиться примеры достаточно просты, методика вычислений ДУ з разделенными переменными легкая для изучения.


Пример 4 Решить дифференциальное уравнениеРешение: Одно из слагаемых (не содержит производной) переносим за знак равенства

и записываем уравнение в дифференциалах..

Следующим шагом сводим зависимость к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.
Для заданного уравнения всего лишь перекрестным делением записываем корни в знаменатели

В таком виде можем интегрировать уравнения

Левая сторона содержит функцию которая при иртегрировании даст корневую зависимость, для правой стороны по формулам получим арксинус.

Выполняем манипуляции с корнем, чтобы получить зависимость вида y=y(x)

Решение дифференциального уравнения будет иметь вид

На этом вводный урок закончен и основные выводы Вы должны сделать самостоятельно.
Для закрепления темы рекомендуем самостоятельно решить несколько из следующих примеров.

Хотите верьте, а хотите – нет, но это самый простой тип дифференциальных уравнений, с которым Вам придетсяиметь дело на контрольной, экзаменах, практических занятиях, модулях. Это можно сказать важнейшая часть, поскольку сложные дифференциальные уравнения придется упрощать и сводить к уравнениям с разделенными переменными.
Схему вычислений должны заучить и знать на зубок – это один из основных методов решения сложных примеров на диф. уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Научно-издательский центр “Регулярная и хаотическая динамика”. 2000.

 

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде $$y’=f(x)g(y),\qquad\qquad\qquad(1)$$ а также в виде  $$M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0.\qquad\qquad\qquad(2)$$ Для решения этого уравнения его нужно преобразовать таким образом, чтобы в одну часть уравнения входило  только $x,$ а в другую только $y,$ а затем проинтегрировать обе части.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные $x$ и $y,$ могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.2\qquad dz=2tdt]=\int\frac{2tdt}{t+2}=2\int\frac{t+2-2}{t+2}dt=2(t-2\ln|t+2|)+C=$$ $$=2(\sqrt z-2\ln|\sqrt z+2|)+C=2(\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|)+С.$$

$$\int 2dx=2x+C.$$

Таким образом, получили 

$$2(\sqrt{4x+2y-1}-2\ln|\sqrt{4x+2y-1}+2|)=2x+C\Rightarrow \sqrt{4x+2y-1}-\ln(\sqrt{4x+2y-1}+2)=x+C.$$

Ответ: $$\sqrt{4x+2y-1}-\ln(\sqrt{4x+2y-1}+2)=x+C..$$

 

 

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: примеры

В целом ряде обыкновенных ДУ 1-го порядка существуют такие, в которых переменные х и у можно разнести в правую и левую части записи уравнения. Переменные могут быть уже разделены, как это можно видеть в уравнении f(y)dy=g(x)dx. Разделить переменные в ОДУ f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx можно путем проведения преобразований. Чаще всего для получения уравнений с разделяющимися переменными применяется метод введения новых переменных.

В этой теме мы подробно разберем метод решения уравнений с разделенными переменными. Рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными и ДУ, которые можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными. В разделе мы разобрали большое количество задач по теме с подробным разбором решения.

Для того, чтобы облегчить себе усвоение темы, рекомендуем ознакомиться с информацией, которая размещена на странице «Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений».

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f(y)dy=g(x)dx

Определение 1

Уравнениями с разделенными переменными называют ДУ вида f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, переменные, входящие в состав выражения, находятся по обе стороны от знака равенства.

Договоримся, что функции f(y) и g(x) мы будем считать непрерывными.

Для уравнений с разделенными переменными общий интеграл будет иметь вид ∫f(y)dy=∫g(x)dx. Общее решение ДУ в виде неявно заданной функции Ф(x, y)=0 мы можем получить при условии, что интегралы из приведенного равенства выражаются в элементарных функциях. В ряде случаев выразить функцию у получается и в явном виде.

Пример 1

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными y23dy=sin xdx.

Решение

Проинтегрируем обе части равенства: 

∫y23dy=∫sin xdx

Это, по сути, и есть общее решение данного ДУ. Фактически, мы свели задачу нахождения общего решения ДУ к задаче нахождения неопределенных интегралов.

Теперь мы можем использовать таблицу первообразных для того, чтобы взять интегралы, которые выражаются в элементарных функциях:

∫y23dy=35y53+C1∫sin xdx=-cosx+C2⇒∫y23dy=∫sin xdx⇔35y35+C1=-cosx+C2
где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Функция 35y35+C1=-cosx+C2 задана неявно. Она является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Мы получили ответ и можем не продолжать решение. Однако в рассматриваемом примере искомую функцию можно выразить через аргумент х явно.

Получаем: 

35y53+C1⇒y=-53cosx+C35, где C=53(C2-C1)

Общим решением данного ДУ является функция y=-53cosx+C35

Ответ:

Мы можем записать ответ несколькими способами: ∫y23dy=∫sinxdx или 35y53+C1=-cosx+C2, или y=-53cosx+C35

Всегда стоит давать понять преподавателю, что вы наряду с навыками решения дифференциальных уравнений также располагаете умением преобразовывать выражения и брать интегралы. Сделать это просто. Достаточно дать окончательный ответ в виде явной функции или неявно заданной функции Ф(x, y)=0.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx

y’=dydx в тех случаях, когда у является функцией аргумента х.

В ДУ f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)dx мы можем провести преобразования таким образом, чтобы разделить переменные. Этот вид ДУ носит название ДУ с разделяющимися переменными. Запись соответствующего ДУ с разделенными переменными будет иметь вид f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx.

Разделяя переменные, необходимо проводить все преобразования внимательно для того, чтобы избежать ошибок. Полученное и исходное уравнения должны быть эквивалентны друг другу. В качестве проверки можно использовать условие, по которому f2(y) и g1(x) не должны обращаться в ноль на интервале интегрирования. Если это условие не выполняется, то есть вероятность, что ы потеряем часть решений.

Пример 2

Найти все решения дифференциального уравнения y’=y·(x2+ex).

Решение

Мы можем разделить х и у, следовательно, мы имеем дело с ДУ с разделяющимися переменными.

y’=y·(x2+ex)⇔dydx=y·(x2+ex)⇔dyy=(x2+ex)dx при y≠0

При у=0 исходное уравнение обращается в тождество: 0’=0·(x2+ex)⇔0≡0. Это позволят нам утверждать, что у=0 является решением ДУ. Это решение мы могли не учесть при проведении преобразований.

Выполним интегрирование ДУ с разделенными переменными dyy=(x2+ex)dx:
∫dyy=∫(x2+ex)dx∫dyy=lny+C1∫(x2+ex)dx=x33+ex+C2⇒lny+C1=x33+ex+C2⇒lny=x33+ex+C

Проводя преобразование, мы выполнили замену C2-C1 на С. Решение ДУ имеет вид неявно заданной функции lny=x33+ex+C. Эту функцию мы в состоянии выразить явно. Для этого проведем потенцирование полученного равенства:

lny=x33+ex+C⇔elny=ex33+ex+C⇔y=ex33+ex+C

Ответ: y=ex33+ex+C, y=0

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=f(ax+by), 

a≠0, b ≠ 0

Для того, чтобы привести обыкновенное ДУ 1-го порядка y’=f(ax+by), a≠0, b≠0, к уравнению с разделяющимися переменными, необходимо ввести новую переменную z=ax+by, где zпредставляет собой функцию аргумента x.

Получаем:

z=ax+by⇔y=1b(z-ax)⇒y’=1b(z’-a)f(ax+by)=f(z)

Проводим подстановку и необходимые преобразования:

y’=f(ax+by)⇔1b(z’-a)=f(z)⇔z’=bf(z)+a⇔dzbf(z)+a=dx, bf(z)+a≠0

Пример 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения y’=1ln(2x+y)-2 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e.

Решение

Введем переменную z=2x+y, получаем:

y=z-2x⇒y’=z’-2ln(2x+y)=ln z

Результат, который мы получили, подставляем в исходное выражение, проводим преобразование его в ДУ с разделяющимися переменными:

y’=1ln(2x+y)-2⇔z’-2=1ln z-2⇔dzdx=1ln z

Проинтегрируем обе части уравнения после разделения переменных:

dzdz=1ln z⇔ln zdz=dx⇔∫ln zdz=∫dx

Применим метод интегрирования по частям для нахождения интеграла, расположенного в левой части записи уравнения. Интеграл правой части посмотрим в таблице.

∫ln zdz=u=ln z, dv=dzdu=dzz, v=z=z·ln z-∫zdzz==z·ln z-z+C1=z·(ln z-1)+C1∫dx=x+C2

Мы можем утверждать, что z·(ln z-1)+C1=x+C2. Теперь, если мы примем, что C=C2-C1 и проведем обратную замену z=2x+y, то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции: 

(2x+y)·(ln(2x+y)-1)=x+C

Теперь примемся за нахождение частного решения, которое должно удовлетворять начальному условию y(0)=e. Проведем подстановку x=0 и y(0)=e в общее решение ДУ и найдем значение константы С.

(2·0+e)·(ln(2·0+e)-1)=0+Ce·(ln e-1)=CC=0

Получаем частное решение:

(2x+y)·(ln(2x+y)-1)=x

Так как в условии задачи не был задан интервал, на котором необходимо найти общее решение ДУ, то мы ищем такое решение, которое подходит для всех значений аргумента х, при которых исходное ДУ имеет смысл.

В нашем случае ДУ имеет смысл при ln(2x+y)≠0,2x+y>0

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fxy или y’=fyx

Мы можем свести ДУ вида y’=fxy или y’=fyx к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными путем выполнения замены z=xy или z=yx, где – функция аргумента x.

Если z=xy, то y=xz и по правилу дифференцирования дроби:

y’=xy’=x’·z-x·z’z2=z-x·z’z2

В этом случае уравнения примут вид z-x·z’z2=f(z) или z-x·z’z2=f1z

Если принять z=yx, то y=x⋅z и по правилу производной произведения y’=(xz)’=x’z+xz’=z+xz’. В этом случае уравнения сведутся к z+xz’=f1z или z+xz’=f(z).

Пример 4

Решите дифференциальное уравнение y’=1eyx-yx+yx

Решение

Примем z=yx, тогда y=xz⇒y’=z+xz’. Подставим в исходное уравнение:

y’=1eyx-yx+yx⇔z+xz’=1ez-z+z⇔x·dzdx=1ez-z⇔(ez-z)dz=dxx

Проведем интегрирование уравнения с разделенными переменными, которое мы получили при проведении преобразований:

∫(ez-z)dz=∫dxxez-z22+C1=lnx+C2ez-z22=lnx+C, C=C2-C1

Выполним обратную замену для того, чтобы получить общее решение исходного ДУ в виде функции, заданной неявно:

eyx-12·y2x2=lnx+C

А теперь остановимся на ДУ, которые имеют вид:

y’=a0yn+a1yn-1x+a2yn-2×2+…+anxnb0yn+b1yn-1x+b2yn-2×2+…+bnxn

Разделив числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи, на yn или xn, мы можем привести исходное ДУ в виду y’=fxy или y’=fyx

Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения y’=y2-x22xy

Решение

В этом уравнении х и у отличны от 0. Это позволяет нам разделить числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи на x2:

y’=y2-x22xy⇒y’=y2x2-12yx

Если мы введем новую переменную z=yx, то получим y=xz⇒y’=z+xz’.

Теперь нам необходимо осуществить подстановку в исходное уравнение:

y’=y2x2-12yx⇔z’x+z=z2-12z⇔z’x=z2-12z-z⇔z’x=z2-1-2z22z⇔dzdxx=-z2+12z⇔2zdzz2+1=-dxx

Так мы пришли к ДУ с разделенными переменными. Найдем его решение:

∫2zdzz2+1=-∫dxx∫2zdzz2+1=∫d(z2+1)z2+1=lnz2+1+C1-∫dxx=-lnx+C2⇒lnz2+1+C1=-lnx+C2

Для этого уравнения мы можем получить решение в явном виде. Для этого примем -lnC=C2-C1 и применим свойства логарифма:

lnz2+1=-lnx+C2-C1⇔lnz2+1=-lnx-lnC⇔lnz2+1=-lnCx⇔lnz2+1=lnCx-1⇔elnz2+1=eln1Cx⇔z2+1=1Cx⇔z±1Cx-1

Теперь выполним обратную замену y=x⋅z и запишем общее решение исходного ДУ:

y=±x·1Cx-1

В даном случае правильным будет и второй вариант решения. Мы можем использовать замену z=xy Рассмотрим этот вариант более подробно.

Выполним деление числителя и знаменателя дроби, расположенной в правой части записи уравнения на y2:

y’=y2-x22xy⇔y’=1-x2y22xy

Пусть z=xy

Тогда y’=1-x2y22xy⇔z-z’xz2=1-z22z

Проведем подстановку в исходное уравнение для того, чтобы получить ДУ с разделяющимися переменными:

y’=1-x2y22xy⇔z-z’xz2=1-z22z

Разделив переменные, мы получаем равенство dzz(z2+1)=dx2x, которое можем проинтегрировать: 

∫dzz(z2+1)=∫dx2x

Если мы разложим подынтегральную функцию интеграла ∫dzz(z2+1) на простейшие дроби, то получим:

∫1z-zz2+1dz

Выполним интегрирование простейших дробей:

∫1z-zz2+1dz=∫zdzz2+1=∫dtz-12∫d(z2+1)z2+1==lnz-12lnz2+1+C1=lnzz2+1+C1

Теперь найдем интеграл ∫dx2x:

∫dx2x=12lnx+C2=lnx+C2

В итоге получаем lnzz2+1+C1=lnx+C2 или lnzz2+1=lnC·x, где lnC=C2-C1.

Выполним обратную замену z=xy и необходимые преобразования, получим:

y=±x·1Cx-1

Вариант решения, при котором мы выполняли замену z=xy, оказался более трудоемким, чем в случае замены z=yx. Этот вывод будет справедлив для большого количества уравнений вида y’=fxy или y’=fyx. Если выбранный вариант решения подобных уравнений оказывается трудоемким, можно вместо замены z=xy ввести переменную z=yx. На результат это никак не повлияет.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R

Дифференциальные уравнения y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2 можно свести к уравнениям y’=fxy или y’=fyx, следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x0 , y0) – решение системы двух линейных однородных уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 и вводятся новые переменные u=x-x0v=y-y0. После такой замены уравнение примет вид dvdu=a1u+b1va2u+b2v.

Пример 6

Найти общее решение дифференциального уравнения y’=x+2y-3x-1.

Решение

Составляем и решаем систему линейных уравнений:

x+2y-3=0x-1=0⇔x=1y=1

Делаем замену переменных:

u=x-1v=y-1⇔x=u+1y=v+1⇒dx=dudy=dv

После подстановки в исходное уравнение получаем dydx=x+2y-3x-1⇔dvdu=u+2vu. После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем dvdu=1+2vu.

Вводим новую переменную z=vu⇒v=z·y⇒dvdu=dzdu·u+z, тогда

dvdu=1+2vu⇔dzdu·u+z=1+2z⇔dz1+z=duu⇒∫dz1+z=∫duu⇔ln1+z+C1=lnu+C2⇒ln1+z=lnu+lnC, lnC=C2-C1ln1+z=lnC·u1+z=C·u⇔z=C·u-1⇔vu=C·u-1⇔v=u·(C·u-1)

Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену u=x-1v=y-1:
v=u·(C·u-1)⇔y-1=(x-1)·(C·(x-1)-1)⇔y=Cx2-(2C+1)·x+C+2

Это есть общее решение дифференциального уравнения.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными [wiki.eduVdom.com]

subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными

Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от X и только от Y называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:

$$ \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy $$

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

$$ \int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy = C $$

Примеры

Пример 1.{3} $$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=-xy $$

Решение дифференциального уравнения:


Пример 7. $$ {y}’={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$

Решение:


Пример 8.

Решение дифференциального уравнения:


subjects/diffury/уравнения_с_разделяющимися_переменными.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:25 —

2. 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка , разрешенное относительно первой производной. Предположим, что функция непрерывна на некотором интервале . Задача нахождения решений дифференциального уравнения в данном случае решается с помощью понятия неопределенного интеграла . Поскольку все первообразные отличаются одна от другой на постоянную , то любое решение уравнения можно записать в виде . Здесь в качестве первообразной выбран интеграл с переменным верхним пределом , который всегда существует для непрерывных функций.

Построенное множество функций является общим решением данного дифференциального уравнения. Действительно, если взять производную от любой функции , то

,

Т. е. функция при любом значении произвольной постоянной является решением.

Задачу Коши для данного уравнения можно формулировать для тех точек Открытого множества , которые лежат внутри естественной области определения правой части дифференциального уравнения , т. е. .

Множество есть область на плоскости , а функция двух переменных непрерывна на этой области . Частная производная по переменной на этой области равна нулю, так как .

Таким образом, множество можно выбрать как область , в которой данное уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Отсюда, для начальных значений решение задачи Коши единственно и получается из построенного общего решения при значении .

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид неопределенного интеграла , где – любая первообразная функции , – произвольная постоянная, или вид , где – интеграл с переменным верхним пределом.

Решение задачи Коши данного дифференциального уравнения имеет вид . Оно существует и единственно на интервале .

Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в Дифференциальной форме и имеет вид . В этом уравнении левая часть зависит только от переменной , а правая – только от переменной . Такие дифференциальные уравнения называют Уравнениями с разделенными переменными.

Предположим далее, что функции , непрерывны на некоторых интервалах , И имеют там первообразные, . Тогда можно проинтегрировать левую часть уравнения по переменной , а правую часть – по переменной и получить общий интеграл дифференциального уравнения в виде . Произвольную постоянную можно включать как в левую часть общего интеграла, так и в правую часть, стараясь представить общее решение в достаточно компактном виде.

В предположении, что функция Не равна нулю на интервале , представим данное уравнение в виде, разрешенном относительно производной , а именно . Множество существования и единственности решения задачи Коши будем строить по определению, т. е. как открытое связное множество, где правая часть и производная правой части непрерывны.

Пример. Решить уравнение с разделенными переменными .

Интегрируем левую и правую части данного уравнения и получаем общий интеграл уравнения в виде .

Представим данное уравнение в виде, разрешенном относительно производной . Правая часть непрерывна на всей плоскости , производная правой части также непрерывна на всей плоскости . Из теоремы Коши следует, что начальную точку Можно выбирать любой. Возьмем, в частности . Тогда, подставляя выбранные начальные значения в общий интеграл, получим . Отсюда решение данной задачи Коши будет иметь вид .

Уравнения с разделенными переменными в чистом виде встречаются довольно редко. Однако существуют так называемые уравнения с разделяющимися переменными, которые можно привести к уравнениям с разделенными переменными.

Пусть в дифференциальном уравнении Правая часть представлена в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е. дифференциальное уравнение имеет вид .

В предположении, что , это уравнение можно представить в виде уравнения с разделенными переменными И решить его по предложенной ранее схеме.

Может оказаться, что обычное уравнение имеет хотя бы один действительный корень . В этом случае постоянная функция является решением исходного дифференциального уравнения, что проверяется непосредственной подстановкой. Это решение могло быть потеряно при делении на функцию И должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение с разделяющимися переменными .

Разделяя переменные, мы придем к уравнению . После интегрирования левой и правой части уравнения с разделенными переменными получаем общий интеграл уравнения в виде . Для удобства потенцирования преобразуем решение к виду , а произвольную постоянную представим в логарифмической форме, положив . Тогда и, потенцируя, получаем общий интеграл в виде . Так как параметр может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то множество решений вида совпадает с множеством решений более простого вида .

Поделив левую и правую части общего интеграла на функцию косинуса, получим окончательно общее решение исходного дифференциального уравнения в виде .

В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей исходного дифференциального уравнения на функцию , в результате чего могло быть потеряно решение . После подстановки функции в исходное уравнение, мы убеждаемся, что действительно является решением. Это решение тем или иным способом должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения. В нашем случае решение Можно включить в общее решение , введя вместо параметра параметр , принимающий любые вещественные значения. Таким образом, окончательно получим общее решение данного уравнения в виде .

Пример. Решить уравнение с разделяющимися переменными .

Разделяя переменные при, мы придем к уравнению . После интегрирования получаем общий интеграл уравнения в виде и, соответственно, равносильное ему общее решение в виде. При делении обеих частей исходного дифференциального уравнения на функцию было потеряно решение . Это решение не может быть получено из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной, поэтому оно должно быть отдельно добавлено к общему решению и войти в полное множество решений дифференциального уравнения.

Покажем, что решение является особым. В соответствии с теоремой Коши в область Входят те точки плоскости , где существует и непрерывна правая часть Дифференциального уравнения, и те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество .

Учитывая требование связности множества , обычно выбирают область состоящей только из тех точек плоскости, которые лежат строго выше или строго ниже оси . Таким образом, все точки плоскости, задаваемые уравнением , являются особыми, а решение есть особое решение.

В тех случаях, когда требуется решить задачу Коши вида ,

, при условии, что функции , являются непрерывными, удобно частный и общий интегралы дифференциального уравнения при Представлять в виде:

, ,

Где в каждой формуле слева и справа от знака равенства в качестве первообразных выбраны интегралы с переменным верхним пределом.

Пример. Решить задачу Коши вида .

Разделяя переменные при , мы придем к уравнению . После интегрирования получим частный интеграл уравнения в виде . После преобразования частного интеграла можно получить частное решение в виде .

При стремлении переменной к значению знаменатель частного решения стремится к нулю, а само решение стремится к бесконечности. Этот пример показывает, что при выполнении условий теоремы Коши гарантируется существование ограниченного решения только в малой окрестности начальной точки.

Область существования и единственности решения задачи Коши в нашем примере совпадает с множеством всех точек плоскости. Непосредственная проверка показывает, что функция Является решением. Так как у рассматриваемого уравнения нет особых точек, то оно не может иметь и особых решений, поэтому решение не особое.

Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в Дифференциальной форме и имеет вид . В этом уравнении в левой и правой частях стоят функции, представленные как произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной или.

В предположении, что , это уравнение можно поделить на произведение и представить в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными , которое решается по предложенной ранее схеме.

Пример. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, представленное в дифференциальной форме .

В предположении, что , это уравнение можно поделить на произведение и представить в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными . Проинтегрировав это дифференциальное уравнение с разделенными переменными, находим его общий интеграл в виде

В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей исходного дифференциального уравнения на функцию , в результате чего могли быть потеряны решения , . После подстановки функций , в исходное уравнение, мы убеждаемся, что , действительно являются решениями. Эти решения должны быть включены в множество всех решений дифференциального уравнения.

Проверим, являются ли эти решения особыми. Для этого запишем наше дифференциальное уравнение в канонической форме . Множество точек плоскости, таких что входит в множество особых точек нашего уравнения. Найдем далее те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество точек плоскости вида .

Окончательно, область равна множеству , а, соответственно, множество особых точек равно .

Решение целиком состоит из особых точек, и по определению является особым. Решение не состоит из особых точек и, соответственно, не является особым. Подчеркнем, что оба решения должны быть включены в множество всех решений дифференциального уравнения.

Пусть дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

,

Где параметры есть некоторые числа. Это уравнение путем замены Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Действительно, . Отсюда можно получить уравнение с разделенными переменнымиОтносительно переменных . Решая это уравнение и выполняя обратную подстановку, получаем общий интеграл исходного уравнения.

< Предыдущая   Следующая >

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Методическая разработка. | Методическая разработка на тему:

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Технологический колледж №28

Методическая разработка

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и применение этих понятий при решении задач прикладного характера

Москва 2014г

Авторы:

Соколова Л.А., Плотникова И.А. – преподаватели математики ГАОУ СПО города Москвы Технологический колледж № 28

Пособие для студентов 2-го курса «Методическая разработка

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и применение этих понятий при решении задач прикладного характера»

Соколова Л.А., Плотникова И.А. – М.: ГАОУ СПО ТК № 28. 2014. – 39 с.

В пособии представлены способы решения различных примеров  по теме :Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными» и разобраны задачи , которых эти понятия используются. Пособие предназначено для студентов 2-го курса. Задания могут выполняться как во время самостоятельной работы на учебном занятии, так и как внеаудиторная самостоятельная работа.

ГАОУ СПО ТК № 28

Автор. 2013-09-17

Пособие для студентов 2-го курса «Методическая разработка

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и применение этих понятий при решении задач прикладного характера»

 

Аннотация

Данное пособие содержит теоретический материал по данной теме с  подробным разбором примеров и задач и задания для самостоятельной работы на уроке или вне аудитории, может быть использовано при изучении данной темы для всех специальностей колледжа.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основные понятия. Геометрический смысл.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производную.

Так как производную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Итак, вид дифференциального уравнения первого порядка

.

В частных случаях в левую часть уравнения могут не входить х, либо у, но всегда входит у’.

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка удается записать в виде

.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, обращающая его в тождество при подстановке в него этой функции и ее производной взамен неизвестной функции  и ее  производной.

 Рассмотренные ранее примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений, отличающие произвольной постоянной С, придавая которой разные числовые значения, получают разные решения.

Несмотря на то, что рассмотренные примеры носят частный характер, все-таки, не приводя доказательств, сделаем обобщение:

Любое дифференциальное уравнение  имеет бесконечное множество решений, которые определяются формулой, содержащую одну произвольную постоянную. Записывать эту совокупность решений будем в виде

.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется совокупность его решений, определяемая формулой , где С – произвольная постоянная.

Придавая С произвольные числовые значения, можно получать частные решениг        я  

Замечание 1.Получить решение в виде , т.е. искомая функция выражается через х и С в явном виде, не всегда возможно. Бывает, что решение получается в виде  –  неявное выражение у через х и С. В этом случае его – решение –  называют общим интегралом.

Замечание 2. Количество постоянных в общем решении дифференциального уравнения зависит от его порядка.  Точнее: каков порядок дифференциального уравнения столько постоянных, причем различных, в общем решении этого уравнения.

Замечание 3. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения иногда называют интегрированием дифференциального уравнения.

Выясним геометрический смысл как уравнения , так и его решений: общего и частного.

Итак, пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение . Как известно,  – угловой коэффициент касательной к кривой, в нашем случае угловой коэффициент касательной, проведенной к , т.е. решению данного уравнения, в некоторой точке (х,у). Беря конкретные точки будем получать конкретные значения у’. Таким образом, в каждой взятой точке будет указано направление касательной к кривой, являющейся решением данного уравнения. Говорят,  уравнение задает поле направлений в некоторой области.

Найти решение этого уравнения  –  значит найти кривую, касательная к которой в каждой ее точке совпадала бы с направлением поля в этой точке.

Таких кривых будет не одна, а целое семейство (построение можно начинать с любой точки области).

Пример:

 Пусть дано уравнение . Найдем значения у’, задавая х, у (х0).

х

1

0.5

-1

-0.5

-1

1

0.5

1/4

-1/4

4

-4

-0.5

у

1

0.5

-1

-0.5

1

-1

-0.5

1

1

1/4

-1/4

0.5

у’

-1

-1

-1

-1

1

1

1

-4

4

-1/16

-1/16

1

Графически:

Это поле направлений .

Решение  же  этого уравнения – функция   ( убедитесь непосредственно подстановкой) – семейство гипербол.  Графически:

                                                                                               

Каждая гипербола – частное решение – получается при заданном значении С.

При решении конкретных задач преимущественно интересны частные решения для наперед заданных начальных условиях.  Для того,  чтобы из общего решения выделить требуемое частное, а не какое-либо,  следует задать начальные условия.

 Геометрически это означает: из семейства кривых выделить одну кривую, которая проходит через наперед заданную точку.

Аналитически: задают пару соответствующих друг другу значений ,  подставляя эти значения в общее решение дифференциального уравнения , находят значение С=С0.  Кривая – есть частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям .

Отыскание решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям (х0,у0), является одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.

Пример: Пусть нужно решить уравнение ,  при начальных условиях .

Решение.

Общим его решением является функция  – семейство гипербол. Давая значения С, получим какие-либо частные решения: , ,   

Для решения задачи Коши решаем относительно  С  уравнение   – общее решение –  при  х=1, у=2:   ,  т.е.  С=2.   Тогда решением задачи Коши является .

 

 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

,

 т.е.правая часть уравнения есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – только от у.

Такое уравнение можно записать и в виде

,

т.е. переменные разделены в буквальном понимании, т.е. каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал.

В обеих частях уравнения стоят дифференциалы некоторых функций. Справа этот дифференциал выражен явно через независимую переменную х, а слева через промежуточную переменную у, которая является функцией х. Именно эта зависимость у от х и является искомой.

Интегрируя это уравнение, получается

,

т.е. связь  между  у и х, освобожденная от их дифференциалов.

Если заданы начальные условия  , то, используя их для определения С, получается частное решение.

Пример: Решить уравнение ,  при начальных условиях .

Решение.

Уравнение  запишем в виде , или, что все равно .   Интегрируем обе части  , получается , или , что является общим решением. При интегрировании постоянную написали в виде ln|C| исключительно для удобства потенцирования.

Для решения задачи Коши, определяем/вычисляем значение С, используя начальные условия: , следовательно, С=2.  

Итак, частное решение уравнения ,  при начальных условиях   есть функция  .

Для комфортности ощущений проведите самостоятельно графическое решение и убедитесь в отсутствии противоречий.

Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания

Решение.

Пусть – уравнение искомой кривой, М(х,у) – произвольная точка, лежащая на этой кривой.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен у’ . По условию задачи АМ=МВ, т.е. ОР=РА=х, а, значит, в любой точке М, принадлежащей кривой , следовательно, .

Получилось соотношение, связывающее неизвестную функцию у, независимую переменную х, производную от у по х, т.е. получилось дифференциальное уравнение относительно у.  Этому уравнению удовлетворяет функция   где С – любое число.

Итак, указанным в задаче свойством обладает бесконечное множество/ «семейство»  кривых, отличающихся между собой значением постоянной С. Это семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат.

Для того, чтобы из этого семейства выделить одну кривую, достаточно задать конкретную точку (х0,у0), через которую будет проходить кривая, и определить соответствующее значение С из  .

Задача 2.(радиоактивный распад). Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна  количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества равно М0, найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества М и временем t.

Решение.

Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества М по времени t, т.е. .  Но по условию

,

где k – коэффициент пропорциональности. Знак минус берется потому, что с возрастанием t количество вещества М уменьшается.  Обращаем внимание на тот факт, что величина М0 не входит в полученное дифференциальное уравнение: она войдет как начальное условие .

Уравнению  удовлетворяет функция . Подставляя начальные условия , получается С=М0.

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условиям задачи

.

Постоянную k можно установить экспериментально (такой метод очень часто применяется в подобных случаях),  установив количество нераспавшегося вещества в какой-то момент времени.

Задача 3. (охлаждение тела). Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды. Требуется получить закон (аналитический вид) охлаждения тела.

Решение.

Пусть тело нагрето до температуры Т0. Температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Тс (Тс0).

Найдем зависимость между изменяющейся температурой  Т тела и временем t.

Пусть в момент времени t температура тела равна Т. Скорость изменения температуры, т.е. , по закону Ньютона пропорциональна разности  Т-Тс. Следовательно,

.

Знак минус выбран потому, что с возрастанием  t температура Т тела уменьшается. Коэффициент пропорциональности k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы (понятно, что скорость охлаждения раскатанного листа стали больше, чем стального слитка).

Разделяя переменные, получим

.

Отсюда

,

или, что все равно

.

Подставляя начальное условие , получается С=Т0-Тс.

Тогда  закон охлаждения тела имеет вид

.

Коэффициент пропорциональности k должен быть либо задан, либо установлен экспериментальным путем измерения температуры Т в некоторый момент времени t.  Заметим, что теоретически температура тела сравняется с температурой окружающей среды лишь при .

Задания для самостоятельного решения

Задача 1. Решить уравнения:

а);      б) ;     в);              г) ;

Задача

Найдите кривые, у которых  тангенс угла между касательной и положительным направлением оси ОХ обратно пропорционален абсциссе точки касания(Коэф.пропорциональности равен единице)

Задача

Найдите кривые, у которых  тангенс угла между касательной и положительным направлением оси ОХ равен квадрату ординаты точки касания. Выделите кривую, проходящую через точку М(0,1)

Пособие по математике для студентов 2-го курса

__________________________________________________________________

Соколова Людмила Александровна, преподаватель математики ГАОУ ТК № 28

Плотникова Ирина Анатольевна, преподаватель математики ГАОУ ТК № 28

Сдано в печать 16.01.2014 г.

Формат бумаги 60х90/16

Тираж 30 экз.

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

109382, Москва, ул. Верхние поля, 27

Тел./факс 8(495)359-65-29

E-mail: [email protected]

разделяемых уравнений

Проще говоря, дифференциальное уравнение называется отделимым , если переменные могут быть разделены. То есть разделимое уравнение – это уравнение, которое можно записать в виде

Как только это будет сделано, все, что нужно для решения уравнения, – это интегрировать обе части. Таким образом, метод решения разделяемых уравнений можно резюмировать следующим образом: Разделите переменные и проинтегрируйте .

Пример 1 : Решите уравнение 2 y dy = ( x 2 + 1) dx .

Поскольку это уравнение уже выражено в «разделенной» форме, просто проинтегрируйте:

Пример 2 : Решите уравнение

Это уравнение разделимо, так как переменные могут быть разделены:

Интеграл от левой части последнего уравнения равен просто

.

, а интеграл правой части вычисляется с помощью интегрирования по частям:

Таким образом, решение дифференциального уравнения равно

.

Пример 3 : Решить IVP

Уравнение можно переписать следующим образом:

Объединение обеих сторон дает

Поскольку начальное условие утверждает, что y = 1 при x = 0, параметр c может быть оценен:

Таким образом, решение IVP равно

.

Пример 4 : Найти все решения дифференциального уравнения ( x 2 – 1) y 3 dx + x 2 dy = 0.

Разделение переменных и последующее интегрирование обеих сторон дает

Хотя проблема кажется законченной, существует другое решение данного дифференциального уравнения, которое не описывается семейством ½ y −2 = x −1 + x + c . На этапе разделения, отмеченном (†), обе стороны были разделены на y 3 . Эта операция предотвратила получение y = 0 в качестве решения (поскольку деление на ноль запрещено).Однако так сложилось, что y = 0 является решением данного дифференциального уравнения, как вы можете легко проверить (примечание: y = 0 ⇒ dy = 0).

Таким образом, полное решение этого уравнения должно включать

Урок ясен:

Если обе части разделяемого дифференциального уравнения разделены некоторой функцией f ( y ) (то есть функцией зависимой переменной) в процессе разделения, то действительное решение может быть потеряно.В качестве последнего шага вы должны проверить, действительно ли функция константы y = y 0 [где f ( y 0 ) = 0] является решением данного дифференциального уравнения. Если это так, и если семейство решений, найденных путем интегрирования обеих частей разделенного уравнения, не включает эту постоянную функцию, то это дополнительное решение должно быть указано отдельно, чтобы решить проблему.

Пример 5 : Решите уравнение

Разделение переменных дает

(Чтобы получить эту разделенную форму, обратите внимание, что обе части исходного уравнения были разделены на y 2 – 1.Таким образом, постоянные функции y = 1 и y = -1 могут быть потеряны как возможные решения; это нужно будет проверить позже.) Интегрирование обеих частей разделенного уравнения дает

Теперь обе постоянные функции y = 1 и y = –1 являются решениями исходного дифференциального уравнения (как вы можете проверить, просто отметив, что y = ± 1 ⟹ dy / dx = 0), и ни то, ни другое не описывается семейством выше.Таким образом, полный набор решений данного дифференциального уравнения включает

Пример 6 : Решите дифференциальное уравнение xydx – ( x 2 + 1) dy = 0.

Разделите переменные,

и интегрировать обе стороны:

Обратите внимание, что на этапе разделения (†) обе стороны были разделены на y ; таким образом, решение y = 0 могло быть потеряно.Прямая подстановка постоянной функции y = 0 в исходное дифференциальное уравнение показывает, что это действительно решение. Однако семейство y 2 = c ( x 2 + 1) уже включает функцию y = 0 (возьмите c = 0), поэтому нет необходимости упоминать ее отдельно.

Пример 7 : Найдите кривую r = r (θ) в полярных координатах, которая решает IVP

Данное уравнение разделимо, так как может быть выражено в разделенной форме

Теперь объедините обе стороны:

Так как кривая решения должна проходить через точку с полярными координатами ( r , θ) = (2, π),

Таким образом, решение IVP равно

.

Это окружность диаметром 2, касательная к оси y в начале координат; см. рисунок.Примечание. На этапе разделения (†) обе стороны были разделены на (что здесь является зависимой переменной). Однако, хотя r = 0 формально удовлетворяет дифференциальному уравнению, оно явно не удовлетворяет начальному условию r (π) = 2.

Рисунок 1

Разделимые уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка \ (y ‘= f \ left ({x, y} \ right) \) называется сепарабельным уравнением, если функция \ (f \ left ({x, y} \ right) \) может быть разложенным на произведение двух функций от \ (x \) и \ (y: \)

\ [f \ left ({x, y} \ right) = p \ left (x \ right) h \ left (y \ right), \]

, где \ (p \ left (x \ right) \) и \ (h \ left (y \ right) \) – непрерывные функции.

Рассматривая производную \ ({y ‘} \) как отношение двух дифференциалов \ ({\ large \ frac {{dy}} {{dx}} \ normalsize}, \), мы перемещаем \ (dx \) в правую часть и разделите уравнение на \ (h \ left (y \ right): \)

\ [{\ frac {{dy}} {{dx}} = p \ left (x \ right) h \ left (y \ right), \; \; } \ Rightarrow {\ frac {{dy}} {{h \ left (y \ right)}} = p \ left (x \ right) dx.} \]

Конечно, нам нужно убедиться, что \ (h \ left (y \ right) \ ne 0. \) Если существует такое число \ ({y_0} \), что \ (h \ left ({{y_0}}) \ right) = 0, \) то это число также будет решением дифференциального уравнения.Деление на \ (h \ left (y \ right) \) приводит к потере этого решения.

Обозначив \ (q \ left (y \ right) = {\ large \ frac {1} {{h \ left (y \ right)}} \ normalsize}, \), мы запишем уравнение в виде

\ [q \ left (y \ right) dy = p \ left (x \ right) dx. \]

Мы разделили переменные, поэтому теперь мы можем интегрировать это уравнение:

\ [{\ int {q \ left (y \ right) dy}} = {\ int {p \ left (x \ right) dx}} + {C,} \]

где \ (C \) – постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

\ [Q \ left (y \ right) = P \ left (x \ right) + C, \]

, представляющий собой общее решение сепарабельного дифференциального уравнения.x} \), удовлетворяющее начальному условию \ (y \ left (0 \ right) = 0. \)

Пример 7

Решите уравнение \ (y \ left ({1 + xy} \ right) dx = \) \ (x \ left ({1 – xy} \ right) dy. \)

Пример 8

Найдите общее решение дифференциального уравнения \ (\ left ({x + y + 1} \ right) dx + \) \ (\ left ({4x + 4y + 10} \ right) dy \) \ (= 0. \)

Пример 1.

Решите дифференциальное уравнение \ ({\ large \ frac {{dy}} {{dx}} \ normalsize} = y \ left ({y + 2} \ right).\)

Решение.

В данном случае \ (p \ left (x \ right) = 1 \) и \ (h \ left (y \ right) = \) \ (y \ left ({y + 2} \ right). \) Разделим уравнение на \ (h \ left (y \ right) \) и переместим \ (dx \) вправо:

\ [\ frac {{dy}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} = dx. \]

Можно заметить, что после деления мы можем потерять решения \ (y = 0 \) и \ (y = -2 \), когда \ (h \ left (y \ right) \) станет равным нулю. Фактически, давайте посмотрим, что \ (y = 0 \) является решением дифференциального уравнения.Очевидно,

\ [y = 0, \; \; dy = 0. \]

Подстановка этого в уравнение дает \ (0 = 0. \) Следовательно, \ (y = 0 \) является одним из решений. Точно так же мы можем проверить, что \ (y = -2 \) также является решением.

Возвращаясь к дифференциальному уравнению, проинтегрируем его:

\ [{\ int {\ frac {{dy}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}}}} = {\ int {dx} + C.} \]

Мы можем вычислить левый интеграл, используя дробное разложение подынтегрального выражения:

\ [ {\ frac {1} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} = \ frac {A} {y} + \ frac {B} {{y + 2}}, \; \;} \Правая стрелка {\ frac {1} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} = \ frac {{A \ left ({y + 2} \ right) + By}} {{y \ left ({ y + 2} \ right)}}, \; \;} \ Rightarrow {1 \ Equiv Ay + 2A + By, \; \;} \ Rightarrow {1 \ Equiv \ left ({A + B} \ right) y + 2A, \; \;} \ Rightarrow {\ left \ {{\ begin {array} {* {20} {c}} {A + B = 0} \\ {2A = 1} \ end {array}} \ right.,\;\;}\Правая стрелка {\ left \ {{\ begin {array} {* {20} {c}} {A = \ frac {1} {2}} \\ {B = – \ frac {1} {2}} \ end {array}} \ right ..} \]

Таким образом, получаем следующее разложение рационального подынтегрального выражения:

\ [{\ frac {1} {{y \ left ({y + 2} \ right)}}} = {\ frac {1} {2} \ left ({\ frac {1} {y} – \ frac {1} {{y + 2}}} \ right).} \]

Следовательно,

\ [
{{\ frac {1} {2} \ int {\ left ({\ frac {1} {y} – \ frac {1} {{y + 2}}} \ right) dy}} = {\ int {dx} + C, \; \;}} \ Rightarrow
{{\ frac {1} {2} \ left ({\ int {\ frac {{dy}} {y}} – \ int { \ frac {{dy}} {{y + 2}}} \ right)} = {\ int {dx} + C, \; \;}} \ Rightarrow
{{\ frac {1} {2} \ left ({\ ln \ left | y \ right | – \ ln \ left | {y + 2} \ right |} \ right)} = {x + C, \; \;}} \ Rightarrow
{\ frac { 1} {2} \ ln \ left | {\ frac {y} {{y + 2}}} \ right | = x + C, \; \;} \ Rightarrow
{\ ln \ left | {\ frac {y} {{y + 2}}} \ right | = 2х + 2С.}
\]

Константу можно переименовать: \ (2C = {C_1}. \) Таким образом, окончательное решение уравнения записывается в виде

\ [{\ ln \ left | {\ frac {y} {{y + 2}}} \ right | = 2x + {C_1}, \; \; \;} \ kern-0.3pt {y = 0, \; \; \;} \ kern-0.3pt {y = – 2.} \]

Здесь общее решение выражено в неявной форме. В данном случае мы можем преобразовать выражение, чтобы получить ответ как явную функцию \ (y = f \ left ({x, {C_1}} \ right), \), где \ ({C_1} \) – константа. Однако это возможно не для всех дифференциальных уравнений.

8.3: Разделимые дифференциальные уравнения – Математика LibreTexts

Теперь мы исследуем метод решения для нахождения точных решений класса дифференциальных уравнений, известных как разделимые дифференциальные уравнения. Эти уравнения распространены в самых разных дисциплинах, включая физику, химию и инженерию. В конце раздела мы проиллюстрируем несколько приложений.

Разделение переменных

Начнем с определения и некоторых примеров.2 + 4x \) и \ (g (y) = 1 \), уравнение \ ref {eq3} разделяется с \ (f (x) = 1 \) и \ (g (y) = \ sec y + \ tan y , \) и правую часть уравнения \ ref {eq4} можно разложить на множители как \ ((x + 3) (y − 2) \), так что оно также отделимо. Уравнение \ ref {eq3} также называется автономным дифференциальным уравнением , потому что правая часть уравнения является функцией только \ (y \). Если дифференциальное уравнение разделимо, то его можно решить, используя метод разделения переменных .

Стратегия решения проблем: разделение переменных

  1. Проверьте любые значения \ (y \), которые делают \ (g (y) = 0. \) Они соответствуют постоянным решениям.
  2. Перепишем дифференциальное уравнение в виде \ [\ dfrac {dy} {g (y)} = f (x) dx. \]
  3. Проинтегрируйте обе части уравнения.
  4. Решите полученное уравнение относительно \ (y \), если возможно.
  5. Если начальное условие существует, подставьте соответствующие значения для \ (x \) и \ (y \) в уравнение и найдите константу.3−12x}} {3}, \ text {где} C = \ pm C_2 \ text {или} C = 0. \ nonumber \]

    Обратите внимание, что при написании единого общего решения таким образом мы также позволяем \ (C \) равняться \ (0 \). Это дает нам сингулярное решение \ (y = – \ dfrac {2} {3} \) для данного дифференциального уравнения. Убедитесь, что это действительно решение этого дифференциального уравнения!

    5. Никаких начальных условий не накладывается, так что мы закончили.

    Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

    Используйте метод разделения переменных, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения

    \ [y ‘= 2xy + 3y − 4x − 6.2 + x}} \ nonumber \]

    Закон охлаждения Ньютона

    Закон охлаждения Ньютона гласит, что скорость изменения температуры объекта пропорциональна разнице между его собственной температурой и температурой окружающей среды (т. Е. Температурой окружающей среды). Если мы позволим \ (T (t) \) представлять температуру объекта как функцию времени, тогда \ (\ dfrac {dT} {dt} \) представляет скорость, с которой эта температура изменяется. Температура окружающей среды объекта может быть представлена ​​как \ (T_s \).Тогда закон охлаждения Ньютона можно записать в виде

    \ [\ dfrac {dT} {dt} = k (T (t) −T_s) \]

    или просто

    \ [\ dfrac {dT} {dt} = k (T − T_s). \]

    Температура объекта в начале любого эксперимента является начальным значением для задачи начального значения. Мы называем эту температуру \ (T_0 \). Следовательно, задача начальной стоимости, которую необходимо решить, принимает вид

    \ [\ dfrac {dT} {dt} = k (T − T_s) \ label {ньютон} \]

    с \ (T (0) = T_0 \), где \ (k \) – константа, которую необходимо либо задать, либо определить в контексте проблемы.Мы используем эти уравнения в примере \ (\ PageIndex {4} \).

    Пример \ (\ PageIndex {4} \): ожидание остывания пиццы

    Пицца вынимается из духовки после тщательного выпекания, и температура в духовке составляет \ (350 ° F \). Температура на кухне составляет \ (75 ° F \), а через \ (5 \) минут температура пиццы составляет \ (340 ° F \). Мы хотели бы подождать, пока температура пиццы не достигнет \ (300 ° F \), прежде чем разрезать и подавать ее (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)). Сколько еще нам придется ждать?

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Согласно закону охлаждения Ньютона, если пицца остынет на \ (10 ​​° F \) за \ (5 \) минут, как скоро она остынет до \ (300 ° F \)?

    Решение

    Окружающая температура (окружающая температура) составляет \ (75 ° F \), поэтому \ (T_s = 75 \).Температура пиццы, когда она выходит из духовки, составляет \ (350 ° F \), что является начальной температурой (то есть начальным значением), поэтому \ (T_0 = 350 \). Следовательно, уравнение \ ref {newton} становится

    .

    \ [\ dfrac {dT} {dt} = k (T − 75) \ nonumber \]

    с \ (T (0) = 350. \)

    Для решения дифференциального уравнения мы используем пятишаговую технику решения разделяемых уравнений.

    1. Установка правой части равной нулю дает \ (T = 75 \) в качестве постоянного решения. Поскольку пицца начинается с \ (350 ° F \), это не то решение, которое мы ищем.{−0.007048t} = \ ln \ dfrac {9} {11} \ nonumber \]

    \ [- 0,007048t = \ ln \ dfrac {9} {11} \ nonumber \]

    \ [t = – \ dfrac {1} {0.007048} \ ln \ dfrac {9} {11} ≈28,5. \ Nonumber \]

    Следовательно, нам нужно подождать еще \ (23,5 \) минут (после того, как температура пиццы достигнет \ (340 ° F \)). Этого времени должно быть достаточно, чтобы завершить расчет.

    Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

    Пирог вынимается из духовки после тщательного выпекания, и температура в духовке составляет \ (450 ° F \).Температура на кухне составляет \ (70 ° F \), а через \ (10 ​​\) минут температура торта составляет \ (430 ° F \).

    1. Напишите соответствующую задачу с начальным значением, чтобы описать эту ситуацию.
    2. Решите начальную задачу для \ (T (t) \).
    3. Сколько времени потребуется, чтобы температура пирога была в пределах \ (5 ° F \) от комнатной температуры?
    Подсказка

    Определите значения \ (T_s \) и \ (T_0 \), затем используйте уравнение \ ref {newton}.{kt} \ nonumber \]

    Ответ c

    Примерно \ (114 \) минут.

    Решение разделимых уравнений для исчисления

    Разделимые дифференциальные уравнения

    Метод разделения переменных

    Метод разделения переменных состоит во всех соответствующих алгебраических операциях, применяемых к дифференциальному уравнению (обыкновенному или частному), что позволяет разделять члены в уравнении в зависимости от переменной, которую они содержат.Другими словами, этот метод позволяет переписать «разделяемые уравнения» таким образом, чтобы все члены, содержащие одну из имеющихся переменных, находились по одну сторону от знака равенства в уравнении, в то время как все члены, относящиеся к другой переменной присутствующие переходят по другую сторону от знака равенства; Таким образом, каждая сторона уравнения остается функцией, описываемой только одной переменной, которую можно интегрировать, чтобы найти саму переменную.

    Как вы, возможно, уже заметили, в этом случае мы говорим о дифференциальных уравнениях, содержащих только две переменные (обычно y как зависимая переменная и x как независимая переменная.Иногда вместо x используется t). Итак, разделение переменных, применяемое к уравнению, определенному в терминах двух переменных x и y, в конечном итоге представляет собой любую алгебраическую операцию (например, сложение, вычитание, умножение, деление, корни и т. Д.), Которая применяется к обеим сторонам математическое равенство, чтобы мы могли организовать все члены x с одной стороны и все члены y с другой стороны.

    Следовательно, не существует универсального набора шагов, которым нужно следовать при работе с исчислением разделения переменных, которое можно даже назвать алгеброй для этой части, поскольку даже полные дифференциалы используются как простые термины для практических целей при разделении.Следовательно, работая с примерами разделения переменных, вам решать, какие операции и в каком порядке они должны быть вычислены в уравнении, чтобы вы могли разделять различные члены переменных.

    В этом уроке мы сосредоточимся на решении разделимых дифференциальных уравнений как на методе поиска частного решения для обыкновенного дифференциального уравнения. Уравнение определяется как разделимое, если простые операции алгебры могут привести к результату, подобному рассмотренному выше (размещение различных переменных в уравнении по отдельности с каждой стороны равенства).Кроме того, убедитесь, что вы знакомы с самим собой, что такое дифференциальное уравнение, прежде чем переходить к этому уроку. Если у вас нет большого опыта работы с дифференциальными уравнениями, мы рекомендуем вам взглянуть на урок введения в дифференциальные уравнения, прежде чем продолжить. наша тема.

    Прежде чем перейти к следующему разделу, позвольте сказать еще несколько слов о методе нахождения решений дифференциальных уравнений путем разделения переменных: Этот метод является одним из наиболее часто используемых для решения разделимых дифференциальных уравнений первого порядка, поскольку один из простейших подходов, которые у нас есть для получения их конкретных решений, и даже если у вас есть проблемы, которые нужно решить, содержащие неразделимые дифференциальные уравнения, вы можете проработать первые этапы проблемы с помощью различных методов (которые вы увидите на следующих уроках) и в какой-то момент вы можете обнаружить, что вам все равно придется использовать разделение после того, как произошло упрощение.

    В заключение, дифференциальные уравнения с разделением переменных относятся к тем задачам, которые содержат типичное обыкновенное дифференциальное уравнение или уравнение в частных производных, которое является разделимым. Таким образом, первое, что вам нужно сделать, чтобы узнать, можете ли вы использовать этот метод при работе над данной проблемой, – это узнать, есть ли у вас разделяемое уравнение или нет.

    Как определить разделимость дифференциального уравнения

    Разделимые дифференциальные уравнения имеют общий вид:

    Уравнение 1: общий вид разделимого дифференциального уравнения Где:
    f (y) – функция от y.
    g (x) – функция от x.
    dy / dx – это скорость изменения y в единицах x

    В таких уравнениях вы обнаружите, что функция y, умноженная на полную производную y по независимой переменной (в данном случае x), будет равна функции x. Чтобы полностью «разделить» их, нам нужно, чтобы все x были на одной стороне, поэтому мы перемещаем член dx (полный дифференциал x) вправо, «умножая» его с обеих сторон, как если бы это был общий алгебраический термин. :

    Уравнение 2: Алгебраическая уловка для разделения дифференциального уравнения.

    Важно знать, что это уловка, а не истинная математическая операция, которая происходит при сдвиге dx из левой части в правую. Путь, которым движется полный дифференциал dx, включает в себя очень сложную операцию и исходит из определения полной производной в терминах частных производных. В практических целях мы оставим такие темы на потом, а пока просто воспользуемся этой “уловкой”.

    Обратите внимание, что уравнение 1 дает только разделимые дифференциальные уравнения первого порядка, а это означает, что самая высокая производная, которую вы найдете в них, является первой производной от y.Причина этого в том, что мы в основном используем эту технику для таких уравнений, поскольку они, как правило, являются более управляемыми, а значит, те, которые мы можем изменить, чтобы разделить различные переменные.

    Мы будем говорить о методах решения уравнений, содержащих производные более высокого порядка, в будущих уроках, и хотя они будут гораздо более устойчивыми с математической точки зрения, как мы упоминали ранее, вы будете счастливы увидеть, что иногда разделение является вспомогательным инструментом на некоторых этапах проблемы более высокого уровня.

    Как решить разделимые дифференциальные уравнения

    Чтобы решить разделимые дифференциальные уравнения, вам необходимо выполнить следующие простые шаги. Для задач без начальных значений вам необходимо найти общее решение и, таким образом, перейти к шагу 3, для задач с начальными значениями (с начальными условиями) вы должны пройти все шаги, чтобы найти конкретное решение.

    1. Поместите все члены y из уравнения с одной стороны и все члены x с другой.
    2. Интегрируйте каждую сторону.
      1. Для этого шага вам, возможно, придется использовать разные методы интегрирования в зависимости от уравнения, которое вы должны интегрировать. Такими методами могут быть:
        1. U-замещение
        2. Интеграция по частям
        3. Интеграция с использованием тригонометрических тождеств
        4. Тригонометрическая замена
        5. Интегрирование рациональных функций частичными дробями
          * Обязательно просмотрите эти уроки, чтобы подготовиться к этим первообразным.
    3. Решите относительно y, чтобы получить общее решение.
    4. Если задано начальное условие, примените значение к общему решению и найдите значение неизвестной константы c.
    5. Получите частное решение, подставив значение c в общее решение.

    Помните, что это общие шаги, которые необходимо выполнить для полного решения дифференциального уравнения, которое можно разделить, но обратите внимание, что сама разделительная часть возникает только на шаге 1.Как упоминалось ранее, у первого шага нет единого универсального решения, и вам нужно выяснить, как разделить все x и y.

    Теперь, когда у вас есть простой набор инструкций, давайте рассмотрим несколько примеров разделимых дифференциальных уравнений:

    Пример 1

    Найдите общее решение следующего дифференциального уравнения:

    Уравнение, например 1: Разделимое дифференциальное уравнение

    Важно отметить, что знаки были добавлены к нашему общему уравнению решения, потому что, если бы у нас было начальное условие для задачи, результирующее значение могло бы быть либо положительным, либо отрицательным, если их абсолютное значение одинаково.Причина этого в том, что не имеет значения, является ли число положительным или отрицательным, если вы возведете его в квадрат, вы получите положительное значение, это положительное значение будет тем, которое находится внутри квадратного корня в приведенном выше уравнении.
    Проще говоря: у всех квадратных корней есть два возможных решения: положительное и отрицательное, где оба имеют одинаковое абсолютное значение.

    Пример 2

    Найдите общее решение следующего дифференциального уравнения:

    Уравнение, например 2: разделимое дифференциальное уравнение
    • Шаг 1:
      Отделите все члены y от членов x, поместив их по разные стороны от знака равенства: Уравнение, например 2 (а): разделение членов дифференциального уравнения
    • Шаг 2:
      Интегрируем каждую сторону: Уравнение, например 2 (b-1): интегрирование обеих частей уравнения, часть 1

    Для левой части уравнения мы используем метод интегрирования по частным дробям и известное произведение, называемое «разностью квадратов» → (a2 − b2) = (a + b) (a − b) \ left ( a ^ {\ small2} -b ^ {\ small2} \ right) = \ left (a + b \ right) \ left (ab \ right) (a2 − b2) = (a + b) (a − b), поэтому мы можем переписать левую часть как:

    В этом случае мы не будем решать для y, поскольку это еще больше усложняет уравнение, поэтому мы просто говорим, что это наиболее практичный способ представить взаимосвязь между y и x, и, таким образом, это наше общее решение.

    При решении общих решений всегда старайтесь найти y и максимально упростить выражение. Для этой проблемы, если бы у нас было условие начального значения, мы могли бы применить его, решить для неизвестной константы, а затем явно решить для y, вероятно, намного упростив выражение, но поскольку начальное значение не было задано, это наиболее подходящее решение. могу сделать на данный момент.

    Пример 3

    Получите общее решение для дифференциального уравнения ниже:

    Уравнение, например 3: разделимое дифференциальное уравнение

    Пример 4

    Вычислите общее решение приведенного ниже дифференциального уравнения:

    Уравнение, например 4: Разделимое дифференциальное уравнение

    Пример 5

    Вычислите общее решение приведенного ниже дифференциального уравнения: Уравнение, например 5: Разделимое дифференциальное уравнение

    Теперь нам пора изучить задачи, содержащие начальные условия, другими словами, мы будем решать дифференциальные уравнения, для которых вам известен один конкретный результат.Таким образом, вы можете применить информацию, которую вы знаете об этом дифференциальном уравнении, чтобы вы могли найти значение неизвестной константы и получить конкретное решение дифференциального уравнения.

    Эти проблемы мы называем проблемами начального значения, поскольку они изначально предоставляют определенные значения, чтобы найти более конкретное решение. Помните, что для этих проблем мы пройдем весь список шагов, указанных в начале этого раздела, чтобы найти решение.

    Пример 6

    Найдите частное решение дифференциального уравнения первого порядка, используйте разделение переменных для решения задачи начального значения с условием y (0) = 2.

    Уравнение, например 6: Разделимое дифференциальное уравнение

    Теперь давайте посмотрим на наш последний пример, также на проблему, в которой вы найдете конкретное решение:

    Пример 7

    Вычислите частное решение приведенного ниже дифференциального уравнения с начальным условием y (0) = 1.Уравнение, например 7: Разделимое дифференциальное уравнение

    Мы надеемся, что вам понравились эти примеры и что техника решения разделяемых уравнений теперь ясна. Это важный урок для полного понимания, поскольку он будет использоваться снова и снова в последующих уроках. Убедитесь, что вы прошли каждый шаг из всех примеров несколько раз, если у вас есть проблемы.

    И напоследок, мы рекомендуем вам взглянуть на эти примечания к разделимым уравнениям, чтобы вы могли увидеть еще несколько примеров для продолжения обучения.

    Разделимые переменные – дифференциальные уравнения

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    примеров разделимых дифференциальных уравнений

    примеров разделимых дифференциальных уравнений

    Math 122 – Исчисление для биологии II
    Осенний семестр 2004 г.
    Разделимые дифференциальные уравнения – примеры

    © 2001, Все права защищены, SDSU & Джозеф М.Махаффи
    Государственный университет Сан-Диего – Последнее обновление этой страницы 15-июля-01


    Разделимые дифференциальные уравнения – примеры
    1. Основные примеры
    2. Мальтусианский рост, изменяющийся во времени (Италия)
    3. Утечка воды из баллона

    Эти рабочие примеры начинаются с двух основных разделимых дифференциалов. уравнения.Метод разделения переменных применяется к рост населения в Италии и пример утечки воды из цилиндр.

    Пример 1: Решите следующие разделимые дифференциальные уравнения.

    а.

    г.

    Решение: а.Мы начнем с разделения переменных и создания двух интегралов,

    Интегралы вычисляются и дают

    или

    Это решено для y ( t ) дать

    Оценим произвольную постоянную C с использованием начального условия. Поскольку y (0) = 1, мы берем положительный квадратный корень. Таким образом, имеем

    Отсюда 2 C = 5, поэтому решение –

    г.Как и в части а, мы начинаем с разделения переменных и создания два интеграла. Результат

    Интеграл слева дает

    , а интеграл справа требует разделения на два интегралы, которые решаются следующим образом:

    Обратите внимание, что мы добавляем произвольную константу к интегрированию на Правильно. Таким образом, имеем

    Возведем в степень обе части приведенного выше уравнения, затем воспользуемся нашим правила возведения в степень для получения

    , где A = e C .

    Далее подставляем начальное условие y (1) = 2 ( y = 2 и t = 1), поэтому

    2 = Ae -1 или A = 2 е 1 .

    Это дает решение

    Пример 2: За последние несколько десятилетий в Италии наблюдались высокие темпы роста. упасть туда, где скоро в стране не хватит даже рождений (или иммиграция), чтобы заменить количество смертей в стране.Таким образом, вскоре его популяция может начать сокращаться. Население Италии в 1950 г. 47,1 млн, в 1970 г. было 53,7 миллиона, а в 1990 году было 56,8 миллиона.

    а. Используйте данные 1950 г. и 1990, чтобы найти мальтузианскую модель роста для населения Италии.

    г. Рассмотрим неавтономную мальтузианскую модель роста, заданную формулой дифференциальное уравнение

    , где константы , и b должны быть определены данные.Решите это дифференциальное уравнение с помощью приведенных выше данных.

    г. Если бы население Италии составляло 50,2 миллионов в 1960 г. и 57,6 млн в 2000, затем используйте каждую из этих моделей для оценить численность населения в 1960 г. и 2000 и определить ошибку между модели и фактические значения переписи. Изобразите решения двух модели и точки данных с 1950 по 2000.

    г. Узнайте, когда население Италии выровняется и начнет сокращаться согласно неавтономной мальтузианской модели роста.

    Решение: а. В дифференциальное уравнение мальтузианского роста дается

    P ‘= rP , P (1950) = 47,1.

    Общее решение этой модели (для населения в миллионов) составляет

    P ( т ) = 47,1 e r ( т -1950) .

    В 1990 году население составляло 56.8 миллионов, так что

    P (1990) = 47,1 e 40 r = 56,8.

    Таким образом,

    Отсюда следует, что

    r = 0,004682.

    Решение мальтузианской модели роста:

    . P ( т ) = 47,1 e 0,004682 ( т -1950) .

    г. При решении неавтономной Мальтузианская модель роста. Приведенная выше модель разделяется на разделив обе стороны на P , оставив два интегралы для решения:

    Эти интегралы дают

    для некоторой константы c . Этот означает, что необходимо решить три константы с данными данные в 1950 году, 1970 г. и 1990 г.Становится легче решить константы, если мы сделаем перевод на 1950, поэтому запишите предыдущее уравнение в форма

    , где константы b и c немного отличаются от предыдущее уравнение.

    Используя исходные данные 1950 г., мы иметь

    ln (47,1) = с .

    Далее подставляем данные 1970 г. с ( т – 1950) = 20 и используя наше значение c = ln (47.1), поэтому

    200 a + 20 b = ln (53,7) – ln (47,1) = 0,13114.

    Аналогично с данными 1990 г. с ( т -1950) = 40 и c = ln (47.1), получаем уравнение с неизвестными параметрами и б

    800 a + 40 b = ln (56,8) – ln (47,1) = 0,18726.

    Это становится проблемой решения двух линейных уравнений в двух неизвестные и б .Если умножить уравнение по данным 1970 г. -2, затем добавьте его в уравнение из данных 1990 г., то параметр b исчезает.

    Отсюда следует, что

    = -0,00018755.

    Подставляя это значение a в любое из уравнений выше, получаем

    b = 0,0084325.

    Отсюда следует, что решение дает

    ln ( P ( t )) = 0.0084325 ( т -1950) – 0,00009378 ( т -1950) 2 + ln (47,1).

    Путем возведения в степень вышеупомянутого решения население Италии дается неавтономной мальтузианской моделью роста, удовлетворяет

    P ( т ) = 47,1эксп (0,0084325 ( т -1950) -0,00009378 ( т – 1950) 2 ).

    г. Ниже представлена ​​таблица значений для каждой из моделей в 1960 и 2000 и связанные с ними ошибки, где население исчисляется миллионами.Значения для популяций: получается заменой 1960 и 2000 за т в уравнениях выше.

    Модель

    1960

    % Ошибка

    2000

    % Ошибка

    Италия Данные переписи

    50.2

    57,6

    Мальтузиан

    49,4

    1.7%

    59,5

    3,3%

    Неавтономный

    50,8

    1,1%

    56.8

    1,4%

    Ошибка в процентах вычисляется по стандартной формуле, поэтому для 1960 оцениваем

    Ниже представлен график двух моделей и данных. Обе модели достаточно близко к данным, но неавтономный мальтузианский рост модель немного лучше соответствует данным.

    г.Из наших вычислений выше мы имеем дифференциальное уравнение для неавтономной мальтузианской модели роста равно

    P ‘( т ) = (0,0084325 – 0,00018755 т ) P ( т ),

    , где т – в годах после 1950 г. Прирост населения замедляется до ноль, поэтому популяция выравнивается, когда P ‘( t ) = 0. Это происходит, когда

    (0,0084325 – 0.00018755 т ) P ( т ) = 0.

    Поскольку P ( t ) не равно нулю, нам нужно найти, когда

    0,0084325 – 0,00018755 т = 0,

    , что происходит, когда

    т = 44,96 годы.

    Отсюда следует, что неавтономная мальтузианская модель роста предсказывает что население Италии выровнялось в 1995 (45 лет после 1950 г.). Самые свежие данные указали, что 2000 год был пиком Население Италии, поэтому модель разумно приближается к выравниванию населения Италии.

    Пример 3 (Закон Торричелли): Один метод доставки воды в медленная скорость для полива растительности заключается в том, чтобы сделать небольшую ямку в дно цилиндрической емкости. Вода медленно вытекает через период времени для обеспечения длительного полива. Вода течет из отверстие на дне резервуара с водой удовлетворяет требованиям Торричелли. закон.

    Закон Торричелли: Скорость изменения объема воды, вытекающей из водоема ( V ) с отверстием в дне емкости пропорционально квадрату корень высоты воды над лункой ( ч ).Математически это определяется дифференциалом уравнение:

    Это уравнение получено с использованием основ физики с допущением что сумма кинетической и потенциальной энергии системы остается постоянным. Ниже представлена ​​диаграмма воды, вытекающей из цилиндр.

    Поскольку мы рассматриваем цилиндрический резервуар с водой, объем воды в резервуаре равен площади поперечного сечения ( A ) цилиндра, умноженного на высота воды ( х ) с A остающийся постоянным и ч ( т ) меняется во времени (по убыванию).Таким образом,

    V ( т ) = Ач ( т ).

    Так как A является константой для цилиндр, у нас есть

    Отсюда следует, что мы можем написать дифференциальное уравнение для потока воды из бака по уравнению

    Предположим, что резервуар с 20 см радиус начинается с высоты 144 см. воды. Когда отверстие откручено, вода начинает вытекать удовлетворяющие закону Торричелли и орошающие экспериментальный участок.Предположим, что экспериментальное измерение дает постоянную k / A = 0,025 часа -1 .

    а. Для этого в любое время можно определить высоту воды в резервуаре. экспериментальная оросительная система.

    г. Определите, как долго резервуар опустеет.

    г. Какое в среднем почасовое количество воды (в см 3 / час) система орошения. Также найдите объем воды (в см 3 / час), протекающего после 100 часов и 800 часы.

    Решение:

    а. Дифференциальное уравнение для высоты воды в резервуар записывается в следующей форме с использованием мощности (1/2) для квадратного корня,

    Это дифференциальное уравнение решается с использованием разделения переменная техника. Переменные разделяются зависимыми переменная h в интеграле на слева внизу и независимая переменная т в интегральном справа ниже.Таким образом, у нас есть два интеграла ниже, чтобы решить

    Эти два интеграла легко решаются, давая следующее уравнение

    Это уравнение решается явно для ч ( т ) делением на 2 и возводя обе стороны в квадрат, в результате получаем уравнение

    Далее мы используем начальное условие h (0) = 144, чтобы найти постоянную С .При начальном условии это следует

    или

    С = 24.

    Таким образом, решение дается уравнением

    ч ( т ) = (12 – 0,0125 т ) 2 .

    Дан график решения для высоты воды. по

    г. Резервуар пуст, когда ч ( т ) = 0.Таким образом, мы должны решить следующее:

    ч ( т ) = (12 – 0,0125 т ) 2 = 0 или 12 – 0,0125 т = 0.

    Отсюда следует, что

    0,0125 т = 12

    или

    т = 960 час.

    Резервуар опорожняется за 960 часов или 40 дн.

    г. Общий объем резервуара составляет V = p (20) 2 144 = 57 600 п. = 180,956 см 3 , поэтому в среднем количество воды доставлено на завод более 960 часов до опорожнения резервуара около 180,956 / 960 = 188.5 см 3 / час.

    Для расчета количества воды, подаваемой на 100 часов и 800 часов, нам нужно использовать дифференциальное уравнение. От информация о законе Торричелли, приведенная выше, объем воды истекает из водохранилища –

    с

    т.

    Таким образом, нам нужно вычислить площадь поперечного сечения цилиндра A и определите высота воды при т = 100 и 800 часов.В площадь поперечного сечения удовлетворяет

    А = п (20) 2 = 400p = 1257 см 2 .

    Высота воды т. = 100 и 800 часов дает

    ч (100) = (12 – 0,0125 (100)) 2 = (10,75) 2 знак равно 115,6 см

    и

    ч (800) = (12 – 0,0125 (800)) 2 = (2.0) 2 = 4,0 см.

    Объем вытекающего из резервуара при t = 100 удовлетворяет

    при объеме, истекающем из резервуара на t = 800 удовлетворяет

    Отрицательный результат в каждом из этих ответов для d V / d t указывает на то, что вода вытекает из резервуара. Мы легко можем увидеть что при т = 100, вода, вытекающая из водоема, превышает средний отток, а при т = 800, вытекающая вода ниже среднего.

    Руководство по решению дифференциальных уравнений


    В нашем мире все меняется, и , описывающий, как они меняются, часто заканчивается дифференциальным уравнением.

    Примеры из реального мира, где Используемые дифференциальные уравнения включают рост населения, электродинамику, тепловую поток, планетарное движение, экономические системы и многое другое!

    Решение

    Дифференциальное уравнение может быть очень естественным способом описания чего-либо.

    Пример: рост населения

    Это короткое уравнение говорит, что популяция “N” увеличивается (в любой момент), когда темп роста умножается на численность популяции в этот момент:

    dN dt = rN

    Но и так не очень-то полезно.

    Нам нужно решить это!

    Мы решаем , когда обнаруживаем функцию y (или набор функций y), удовлетворяющий уравнению, и тогда его можно успешно использовать.

    Пример: продолжение

    Наш пример – , решенный с помощью этого уравнения:

    N (t) = N 0 e rt

    Что там написано? Давайте воспользуемся этим, чтобы увидеть:

    При т в месяцах, численности населения, которое начинается с 1000 ( N 0 ) и темп роста 10% в месяц ( r ), мы получаем:

    • N (1 месяц) = 1000e 0,1×1 = 1105
    • N (6 месяцев) = 1000e 0.1×6 = 1822
    • и т. Д.

    Не существует волшебного способа решить все дифференциальные уравнения.

    Но на протяжении тысячелетий великие умы опирались на работу друг друга и открыли разные методы (возможно, длинные и сложные!) Решения или типов дифференциальных уравнений.

    Итак, возьмем посмотрите на различные типы дифференциальных уравнений и способы их решения:

    Разделение переменных

    Разделение переменных может использоваться, когда:

    • Все члены y (включая dy) можно переместить в одну сторону уравнения, и
    • Все члены x (включая dx) на другую сторону.

    Если это так, мы можем интегрировать и упростить, чтобы получить решение.

    Линейное письмо первого порядка

    Линейные дифференциальные уравнения первого порядка относятся к этому типу:

    dy dx + P (x) y = Q (x)

    Где P (x) и Q (x) – функции от x.

    Они относятся к «первому порядку», когда имеется только dy dx (не d 2 y dx 2 или d 3 y dx 3 и др.)

    Примечание: нелинейное дифференциальное уравнение часто трудно решить, но иногда мы можем аппроксимировать его линейным дифференциальным уравнением найти более легкое решение.

    Однородные уравнения

    Уравнение Бернулли

    Уравнения Бернулла имеют следующий общий вид:

    dy dx + P (x) y = Q (x) y n
    , где n – любое вещественное число, но не 0 или 1

    • Когда n = 0, уравнение может быть решено как линейное уравнение первого порядка. Дифференциальное уравнение.
    • Когда n = 1, уравнение можно решить, используя разделение Переменные.

    Для других значений n мы можем решить его, подставив u = y 1 − n и превратив его в линейное дифференциальное уравнение (а затем решив его).

    Уравнение второго порядка

    второго порядка (однородные) относятся к типу:

    d 2 y dx + P (x) dy dx + Q (x) y = 0

    Обратите внимание, что существует вторая производная d 2 y dx 2

    общее уравнение второго порядка выглядит так

    a (x) d 2 y dx 2 + b (x) dy dx + c (x) y = Q (x)

    Среди этих уравнения.

    Они классифицируются как однородные (Q (x) = 0), неоднородные, автономные, постоянные коэффициенты, неопределенные коэффициенты и т. д.

    Для неоднородных уравнений общее правило решение представляет собой сумму:

    • раствор соответствующего однородного уравнение, и
    • частное решение неоднородное уравнение

    Неопределенные коэффициенты

    Неопределенный Метод коэффициентов работает для неоднородного уравнения вида:

    d 2 y dx 2 + P (x) dy dx + Q (x) y = f (x)

    , где f (x) – полином , экспонента, синус, косинус или линейная комбинация этих .(Более общую версию см. В разделе «Изменение параметров» ниже)

    Этот метод также включает в себя предположение !

    Изменение параметров

    Вариант of Parameters немного сложнее, но работает с более широким набором функций, чем предыдущий Undetermined Коэффициенты .

    Точные уравнения и интегрирующие множители

    Точные уравнения и интегрирующие множители можно использовать для такого дифференциального уравнения первого порядка:

    M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

    , который должен иметь некоторую специальную функцию I (x, y), частные производные которой могут быть заменены M и N следующим образом:

    ∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0

    Наша задача – найти эту магическую функцию I (x, y), если она существует.

    Сравнение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциальных уравнений с частными производными (ОДУ)

    Все методы до сих пор известны как Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).

    Термин обычный используется в отличие от термина частичный для обозначения производных только по одной независимой переменной.

    Дифференциальные уравнения с неизвестными функциями многих переменных и их частные производные относятся к другому типу и требуют отдельных методов для решить их.

    Они называются Уравнениями в частных производных (УЧП), и извините, но у нас пока нет страницы по этой теме.


    .

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *