Уроки математики матрица: Разработка урока “Матрицы и определители”

Содержание

Разработка урока “Матрицы и определители”

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и определители

Урок№1.

Тема: Понятие матрицы. Виды матриц. Выполнение операций над матрицами.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры.Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия:Лекция систематического изложения курса.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности учащихся к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Матрицы. Выполнение операций над матрицами».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Ответить на контрольные вопросы.

  1. Организационный момент.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

 

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод.

Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия  с ними можно выполнять?

2.Изучение нового материала.

Определение: Матрицей размеров mxn называется система mn чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n  столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Обозначения:   или

Или кратко: А=(аij)mn или А=[aij].  Две матрицы А и В одинаковых размеров равны  А=В, если аij=bijдля любых i, j.

Матрицы бывают:  0 =  – нулевая матрица,

А =  – матрица противоположная матрице А,

 – матрица – строка,                  – матрица – столбец,

 – верхняя треугольная матрица,

 -нижняя треугольная матрица,- диагональная матрица,

Е =  – единичная матрица.

Если все аij действительные, то матрица А называется действительной, если хотя бы одно из чисел аijкомплексное, то матрица называется комплексной.

ДЕЙСТВИЯ  НАД МАТРИЦАМИ

 

1. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) одинаковых размеров называется матрица С = (сij) тех размеров, у которой сij = аij + bij, для любых i, j.

C = A + B

Свойства сложения матриц:

  1. A+B = B + A
  2. (A +B) +C = A + (B + C)
  3. A + 0 = A
  4. A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

 

Транспонирование матриц.

 

А =Ат =

 

 

Ат – транспонированная матрица.

Свойства транспонирования:

1)              3)

2)           4)

Произведением матрицы А = (аij) на число k называется матрица С = (сij)

Тех же размеров, у которой сij = k?aijдля любых i,j.

C = k?A

Свойства умножения матрицы на число:

1)

2)

3)

4)  для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β  R

Произведением матрицы А = (аik) размеров mn на матрицу В = (bkj) размеров np называется матрица С = (сij) размеров mp, у которой

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj.

C = AB

Свойства умножения матриц:

  1. AE = EA = A
  2. A0 = 0A = 0
  3. (AB)D = A(BD)
  4.  
  5. (A + B)D = AD + BD
  6. D(A + B) = DA + DB   (при условии, что все указанные операции имеют      смысл).

Для квадратных матриц АВ≠ВА

3.Закрепление нового материала.

 

Пример 1:  Найти сумму матриц:  А =  и  В  =.

Решение: С = А + В           С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А – В = А + (-В)

Пример 2:  Найти разность матриц А – В:  А =  и В =.

Решение: С = А – В      -В =       С =

Пример 3:  Дана матрица А =.      Найти матрицу С = 2А.

Решение:   С = 2А =

Пример 4:   Даны матрицы: А =  и  В =.

Найти произведение матриц А и В.

Решение:   С = АВ     С = С =

 

4.Итог занятия. Рефлексия.

5.Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти, если.

2.Даны матрицы.

3.Найти:   а)       б)

 

4.Найти матрицу, если

а)  

б)  

Просмотр содержимого документа
«Разработка урока “Матрицы и определители” »

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и определители

Урок№1.

Тема: Понятие матрицы. Виды матриц. Выполнение операций над матрицами.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры.Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия:Лекция систематического изложения курса.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности учащихся к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Матрицы. Выполнение операций над матрицами».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Ответить на контрольные вопросы.

  1. Организационный момент.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод.

Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?

2.Изучение нового материала.

Определение: Матрицей размеров mxn называется система mn чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Обозначения: или

Или кратко: А=(аij)mn или А=[aij]. Две матрицы А и В одинаковых размеров равны А=В, если аij=bijдля любых i, j.

Матрицы бывают: 0 = – нулевая матрица,

А = – матрица противоположная матрице А,

– матрица – строка, – матрица – столбец,

– верхняя треугольная матрица,

-нижняя треугольная матрица,- диагональная матрица,

Е = – единичная матрица.

Если все аij действительные, то матрица А называется действительной, если хотя бы одно из чисел аijкомплексное, то матрица называется комплексной.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

1. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) одинаковых размеров называется матрица С = (сij) тех размеров, у которой сij = аij + bij, для любых i, j.

C = A + B

Свойства сложения матриц:

  1. A+B = B + A

  2. (A +B) +C = A + (B + C)

  3. A + 0 = A

  4. A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

Транспонирование матриц.

А =Ат =

Ат – транспонированная матрица.

Свойства транспонирования:

1) 3)

2) 4)

Произведением матрицы А = (аij) на число k называется матрица С = (сij)

Тех же размеров, у которой сij = k·aijдля любых i,j.

C = k·A

Свойства умножения матрицы на число:

1)

2)

3)

4) для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β R

Произведением матрицы А = (аik) размеров mn на матрицу В = (bkj) размеров np называется матрица С = (сij) размеров mp, у которой

cij = ai1b1j + ai2

b2j + … + ainbnj.

C = AB

Свойства умножения матриц:

  1. AE = EA = A

  2. A0 = 0A = 0

  3. (AB)D = A(BD)

  4. (A + B)D = AD + BD

  5. D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл).

Для квадратных матриц АВ≠ВА

3.Закрепление нового материала.

Пример 1: Найти сумму матриц: А = и В = .

Решение: С = А + В С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А – В = А + (-В)

Пример 2: Найти разность матриц А – В: А = и В = .

Решение: С = А – В -В = С =

Пример 3: Дана матрица А =. Найти матрицу С = 2А.

Решение: С = 2А =

Пример 4: Даны матрицы: А = и В = .

Найти произведение матриц А и В.

Решение: С = АВ С = С =

4.Итог занятия. Рефлексия.

5.Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти , если .

2.Даны матрицы .

3.Найти: а) б)

4.Найти матрицу , если

а)

б)

Составить самостоятельно пример на тему «Матрицы»

Таблица результатов

Преподаватель определяет следующие критерии:

1. Правильность составления алгоритма действий при вычислении матриц

2. Составление примера и его правильное решение

Оценка

Критерии оценки

Количество учеников

«1»

Алгоритм не составлен

Пример составлен с допущением ошибок и не решен

2

«2»

Алгоритм составлен с допущением ошибок. Пример составлен и решен с допущением ошибок

9

«3»

Алгоритм составлен очень кратко без пояснений. При решении примера допущены ошибки

2

«4»

При составлении алгоритма допущена незначительная ошибка

5

«5»

Алгоритм составлен подробно, правильно. Пример составлен самостоятельно и решен правильно

5

Матрицы. Действия над матрицами. | План-конспект по математике:

  1. Виды матриц. Векторы

Если число строк матрицы  равно числу столбцов (m=n), то матрица называется квадратной. Например, квадратными являются матрицы

A=.

           Число строк или столбцов квадратной матрицы называется её порядком.           

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

A=.

          Диагональ, содержащую элементы ,  , , будем называть главной, а диагональ, содержащую элементы ,  – побочной (или вспомогательной).

         Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали:

A=.

Такие матрицы называются диагональными;

Являются диагональными матрицами второго и четвертого порядка.

          Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, т.е. ===, то такая диагональная матрица называется скалярной. 

Если в скалярной матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой E:

E=

          Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается так:

O=

          В прямоугольной матрице типа m × n возможен случай, когда m=1. При этом получается  матрица-строка:

А=.

В случае, когда n=1, получаем матрицу-столбец:

B=

Такие матрицы-строки и матрицы-столбцы иначе будем называть векторами.

         3. Равенство матриц      

             Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое  число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны:  

        4. Действия над матрицами

Суммой матриц А и В условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа m x n, или квадратные порядка n.

Пример1:  Сложить матрицы А и В, если:

  1. A=,     B=

Решение.

a)Здесь А и В – квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие элементы, получим

C=A+B=

       Произведением матрицы A на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен

если  А=kA=

  Пример2:   Умножить матрицу  А=на число k=3.

       Решение. Умножая  каждый элемент матрицы А на 3, получим

3А= .

Умножение матриц

 Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.

Пусть

A=,      B=

       Произведением этих матриц называется матрица

C=AB=.

Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

1. Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том

случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;

2.В результате умножения двух прямоугольных матриц получается

 матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

ABBA. произведение двух матриц , не подчиняется переместительному закону.

для умножения матриц выполняется

сочетательный закон:  A(BC) = (AB)C,

распределительный закон:  (A+B)C = AC + BC

Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков

        Пусть дана квадратичная матрица второго порядка:

        Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число  

       Определитель второго порядка записывается так:

detA =

Обратная матрица – Математика – Уроки

Просмотр содержимого документа
«Обратная матрица»

Лекция № 11

Обратная матрица.

1. Понятие обратной матрицы. Алгоритмы вычисления обратной матрицы.

Понятие обратной матрицы

Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A| ≠ 0. В случае, когда |A| = 0, матрица А называется вырожденной.

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А-1.

Определение 2. Матрица А-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если А-1А = АА-1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n.

Определение 3. Матрица называется присоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы .

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель отличен от нуля, то матрица А невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим присоединенную матрицу А*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы А.

3. Вычислим обратную матрицу по формуле:

, где .

4. Проверяем правильность вычисления А-1А = АА-1 = Е (Е – единичная матрица).

Матрицы А и А-1взаимообратные. Если |A| = 0, то обратная матрица не существует.

ЗАДАНИЕ 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу .

Решение:

1. . Следовательно матрица невырожденная.

2. Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

3. Получаем .

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. .

3

Высшая математика

  • 21.05.2018, лёгкий уровень

    Матрицы → Умножение матриц и его свойства

    Это одна из самых нелюбимых тем для студентов, только начинающих изучать линейную алгебру. Правда, они ещё не знают, что впереди их ждут определители, обратные матрицы… впрочем, не будем о грустном. Сегодня займёмся умножением.:)

  • 15.02.2018, средний уровень

    Матрицы → Обратная матрица

    Определение обратной матрицы и её свойства. Рассмотрены два способа нахождения обратной матрицы, а также несколько практических приложений.

  • 08.02.2018, средний уровень

    Матрицы → Что такое определитель

    Для матриц 2×2, 3×3 и произвольного размера. Определение и важнейшие свойства. Плюс немного теории из смежных тем для лучшего понимания.

  • 19.09.2016, лёгкий уровень

    Множества → Счётные и несчётные множества

    Что такое счётное множество в математике и каков его смысл?

  • 21.09.2015, средний уровень

    Производные → Понятие частной производной

    Для функции нескольких переменных. Разбор на примере двух переменных. Основные правила дифференцирования и типичные ошибки начинающих учеников (а их очень много).

  • 17.09.2015, сложный уровень

    Вероятность → Интегральная теорема Муавра-Лапласа

    Формулировка теоремы и примеры её использования. Теорема дана без доказательства. В приложении — удобная таблица значений функции Лапласа.

  • 02.08.2015, средний уровень

    Интегралы → Таблица первообразных

    В видео и в таблице представлены все основные функции, которые встречаются в высшей математике. Таблицу можно скачать. В видео подробно разобрано множество примеров.

  • 20.07.2015, лёгкий уровень

    Интегралы → Первообразная функции

    Первый урок в курсе интегрального исчисления. Дано определение первообразной функции. Затронут вопрос об общем виде всех первообразных данной функции (показано, что они отличаются лишь константой). Обратите внимание: определённый интеграл будет рассмотрен в отдельном уроке.

  • 19.06.2013, средний уровень

    Интегралы → Интегрирование по частям

    Опубликован видеоурок по высшей математике: «Интегрирование по частям»

  • 27.10.2011, сложный уровень

    Вероятность → Локальная теорема Муавра — Лапласа

    Локальная теорема Муавра — Лапласа. Всем хороша схема Бернулли, если бы не одно «но»: при большом количестве испытаний придется много считать. Рассмотрим один из способов сокращения вычислений.

  • Практическая работа для студентов 2 курса колледжа ” Действия над матрицами”

     

     

     

     

     

    Практическая работа № 1

     

    на тему

     

    «Матрицы и операции над  ними»

     

     

     

     

     

     

     

     

    Технологическая карта урока: «Практическое занятие»:

    Урок __по дисциплине______________«Математика»___________

    Тема___ Практическое занятие № 1   Дата___________________

    Матрицы. Сложение, транспонирование, умножение на число

    Преподаватель          _Мамошкина Юлия Владиславовна________

    1.

     Организационный этап.

    Приветствие

    включение в деловой ритм, создание рабочей атмосферы подготовка к работе оформление титульного листа

    2.

    Постановка цели и задач урока.

    Мотивация учебной деятельности учащихся.

    Активация знания учащихся создание проблемной ситуации построение проекта выхода надо -могу-хочу

    3.

     Актуализация знаний.

    Определение типичных недостатков

    индивидуальные затруднения актуализация изученного

    включение в систему знаний и повторений

    4.

    Выявление знаний умений и навыков, проверка уровня сформированных математических умений.

    Выполнение практических заданий 

    с использованием конспекта и консультацией преподавателя по образцу

    самостоятельное выполнение задания

    Практическая работа в 6 вариантах состоит из 4 разделов: 

    -5- заданий на составление матриц по описанию,

    -4 -задания на сложение матриц

    -3 -задания на транспонирование матриц

    -1-задание на линейную комбинацию матриц

    5.

     Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

    Оформление работы, вариант соседа

    6.

     Рефлексия (подведение итогов занятия)

    Фиксация изученного на уроке. соотношение с целью, план

     

     

    Т.1. Элементы линейной и векторной алгебры

    Теоретические основы дисциплины

     

    Матрицы и операции над ними. Умножение матриц

    Определители второго и третьего порядка, их свойства и методы вычисления. Миноры. Алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца Матрицы и действия с ними. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы

    Система  линейных  алгебраических  уравнений Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

    Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом

    Решение  системы  линейных уравнений методом   Гаусса

     

     

     

    Задание № 1  Матрицы  и операции  над  ними

    Прямоугольная таблица чисел вида:  

    𝑎11

    𝑎21

     

    𝑎12 … .

    𝑎22 … .

     

    𝑎1𝑚

    𝑎2𝑚

     

     𝑎

    31      𝑎.32 ….  𝑎3𝑚 … … … … . … … …

    (𝑎𝑛1       𝑎𝑛2 ….  𝑎𝑛𝑚) Называется  матрицей.      

     𝑎𝑖𝑗  -действительные  числа  называемые элементы  матрицы .

      i-строки          j- столбцы            

    m×n-размерность   матрицы     

    Матрица  все  элементы  которой  равны  0-  нулевая  матрица

    Если            m=n      матрица  называется  квадратной.

     

     

     

    𝑎11

                 𝑎       ….      𝑎33

         Упорядочная  совокупность элементов                          22… .               

    (      ….                    𝑎𝑛𝑛)

    называется главной  диагональю квадратной  матрицы. 

    Квадратная  матрица называется  диагональной  если ее  элементы   находящийся  на        главной  диагонали  не  равны  0 а  все  остальные =0.

    Единичной  называется  диагональная   матрица     у которой  все  элементы главной диагонали =1.          

    Две  матрицы называются  равными (А=В)        если  они  имеют одинаковые          размеры и  их соответствующие элементы  равны 

    Сумма  матриц  А  и  В  одинакового  размера  матрица  С  того же  размера   причем:

    с𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗

    Умножение  матрицы  на  число       Произведением  матрицы  А  на  число  к≠0 называется  матрица каждый  элемент  которой получен умножением

    соответствующего  элемента  А  на  число                    к≠0

    Транспонирование  матриц  замена строк  матрицы  на   столбцы.

    Симметрическая  матрица – квадратная  матрица     у  которой элементы  симметричные  относительно главной  диагонали,  равны.       

    ПРИМЕР   

                                     1     2                                     1     3

          Дано:  А=(          )                          В=(           )

                                     4     5                                     0     5

    Найти:  2А-В𝑇

                                                                            1     2           2      4

          Решение:                2А=2  (           ) = (             )                        

                                                                            4     5           8     10

            В𝑇 = (1     0 )                        2А-В𝑇 = (2       4  ) − (1     0 ) = (1     4)

                             3     5                                               8     10          3     5           5     5

     

     

     

     

     

     

     

     


    Практическая  работа  №1                                                  -Ω

    На  тему:  «Операции  над  матрицами»

    1.       Из  цифр:    1,2,3,4,5,6,7,8,9,0   составить:

    1.                   Матрицу  2×3

    2.                   Квадратную матрицу содержащую   4   строки

    3.                   Симметричную  матрицу    содержащую 3 столбца

    4.                   Диагональную  матрицу   4×4

    5.                   Единичную  матрицу   содержащую 2 строки

     

    2.       Выполнить возможные  линейные  операции  над матрицами:

     

                       1    5    2         4    7    1

    1.                   (4 5          2) +(5 8          4) =

                       6    2    4         3    3    5

     

    2.                    

     

    3.                    

     

    4.                   (1 4)  + (4           1) =            

    2        0          2          6

     

    5.                   (1 5)    +   (5)                                             

    4

    3.       Транспонировать  матрицу:

                       4    5

    1.                   (4 8)     

    2        3

                       

    2.                   (1 4          7)  

     

    2        5          1

    3.                   (3 2          6)     

                       5    1    4

    4.       Выполнить  действие      2А+3В-ЕТ   3ET+AT-2B

                                                     1    2    4                     2    4    1                       5    4    6

                                           А=(5     4     1)           В=(5     3     6)             Е=(2     4    5)

                                                     6    2    4                     1    2    3                       4    1    5

     

    Практическая  работа  №1                                 ¥  На  тему:  «Операции  над  матрицами   »

    1.                 Из  цифр:    1,2,3,4,5,6,7,8,9,0   составить:

    1.                      Матрицу  3×4

    2.                      Квадратную матрицу содержащую   5   строки

    3.                      Симметричную  матрицу    содержащую 2 столбца

    4.                      Диагональную  матрицу   6×6

    5.                      Единичную  матрицу   содержащую 3 строки

    2.                 Выполнить   возможные линейные  операции  над матрицами:

     

                        2     5     1          2     3     1

    1.                      (4           4         2)+(4          8         4) =

                        9     2     4          3     1     5

     

    2.                       

     

    3.                      (3           5         5) ∗ 2 =

     

    4.                      (7           1)  + (5        3) =            

                       4     5             4     6

    5.                      (4           1)  +

                       3                                                                                                                   

    ( )                                                                                                             

    3

    3.                 Транспонировать  матрицу:

                        2     7

    1.                      (5           1)     

                        3     4

                       

    2.                      (4           0         5)  

     

    3.                      (1)     

    5

    4.                 Выполнить  действие      2А+3В-Ет     3ET+AT-2B

     

                                            1     2     4                         3     1     4                           4     1     1

                                А=(1     5      1)           В=(0      3      2)             Е=(7      2     5)

                                            6     2     2                         1     2     3                           3     1     8

      Практическая  работа  №1                                                –£

    На  тему:  «Операции  над  матрицами   »

    1.                 Из  цифр:    1,2,3,4,5,6,7,8,9,0   составить:

    1.     Матрицу  2×5

    2.     Квадратную матрицу содержащую   2  строки

    3.     Симметричную  матрицу    содержащую 4 столбца

    4.     Диагональную  матрицу   2×2

    5.     Единичную  матрицу   содержащую 5 строки

    2.                 Выполнить  возможные  линейные  операции  над матрицами:

     

                        1     5     2          4     2     1

    1.     (8 3         8)+(4          5         4) =

                        4     2     4          3     1     2

     

    2.

     

     

    3.  (1

     

    2        7) ∗ 3 =

    7

    1            5       3

             4. (           )  + (           ) =            

                       4     5             4     6

             5.     (6      2)   (5)                                                                                                               

    1

    1.                 (1 5         4)     

    5          2            6

                       

                        5     4

    2.                 (2 6)  

                        3     2

     

    3.                 (4 7)     

    5          6

    4.                 Выполнить  действие      А-2В+Ет     3Ат+Е-3Вт

     

    8          3       1         0         2         4         0         1         1

                                   А=(0     5      6)           В=(0      5      7)             Е(4      2     5)

    9          3       8         1         0         3         6         1         8


       Практическая  работа  1                             Вариант   –¿  На  тему:  «Операции  над  матрицами   »

    1.                 Из  цифр:    1,2,3,4,5,6,7,8,9,0   составить:

    1.        Матрицу  4×1

    2.        Квадратную матрицу содержащую   3  строки

    3.        Симметричную  матрицу    содержащую 2 столбца

    4.        Диагональную  матрицу   5×5

    5.        Единичную  матрицу   содержащую 3 столбца 2.        Выполнить   линейные  операции  над матрицами:

     

                              0     5     1          5     4     2

                    1. (8      4      5)+(0      2     3) =

                              7     1     4          3     5     2

     

    2.                  

     

     

    3.  (0

     

    8        2) ∗ 4 =

    5

    3            4       1

    4.              ( )  + (  ) =            

                             2     1            0     9

    5.              (4           1)  (7)                                                                                                               

    0

    3.                 Транспонировать  матрицу:

    1.     (2   0         0)     

                             5     1     1

                       

    0          7

    2.     (1   3)  

                              3     2

     

    3.     (2   4)     

    1          0

    4.                 Выполнить  действие      А-2В+Ет    2Ат+Е-3Вт

     

                                                 1     2     1                        8     3     2                             0     5     9

                                      А=(7     0      6)           В=(0      1      7)             Е= (5      4     5)

                                                 1     2     0                        9     0     4                             6     0     8

        Практическая  работа  №1                           Вариант   – Þ- 

    На  тему:  «Операции  над  матрицами   »

    1.                           Из  цифр:    1,2,3,4,5,6,7,8,9,0   составить:

    1.                       Матрицу  1×1

    2.                       Квадратную матрицу содержащую   4  строки

    3.                       Симметричную  матрицу    содержащую 3 столбца

    4.                       Диагональную  матрицу   4×4

    5.                       Единичную  матрицу   содержащую 2 столбца 2.        Выполнить   линейные  операции  над матрицами:

     

    0          2       1         4         1         4

                    1. (8      4      4)+(0      3     1) =

    1          0       7         3         6         2

     

    2.                            

     

     

    3.  (1

     

    7        4) ∗ 3 =

    0

    2            8       1

                   4. (            )  + (           ) =            

                             4     1            8     4

                   5.     (9      0)  (5)                                                                                                               

    1

    3.                           Транспонировать  матрицу:

    1.                       (7       2         3)     

                             4     5     1

                       

                              4     1

    2.                       (0       8)  

                              3     0

     

    3.                       (5       4)     

    0          2

    4.                           Выполнить  действие      А-2В+Ет,       3ET+AT-2B

     

                                                 5     1     5                        5     8     2                             3     4     1

                                      А=(9     5      7)           В=(0      5      7)             Е= (1      6     5)

                                                 1     1     0                        9     1     6                             9     0     5

       Практическая  работа  №1                           Вариант   – ð – На  тему:  «Операции  над  матрицами   »

    1.                 Из  цифр:    1,2,3,4,5,6,7,8,9,0   составить:

    1.        Матрицу  3×1

    2.        Квадратную матрицу содержащую   2  строки

    3.        Симметричную  матрицу    содержащую 5 столбцов

    4.        Диагональную  матрицу   5×5

    5.        Единичную  матрицу   содержащую 4 столбца 2.        Выполнить   линейные  операции  над матрицами:

    0          1    1         1         1         4

                    1. (8      0      4)+(0      1     1) =

    1          0    1         3         0         2

     

    2.                  

     

     

    3.  (5

     

    2      1) ∗ 3 =

    1

    22            10    1

    4.              ( )  + (  ) =            

                             8      1               0      6

    5.              (2           5         7         0)  +

    5

    4

                           (       )                                                                                                               

    11

    1

    3.                 Транспонировать  матрицу:

                   1. (5     7     0)     

                       

    5  4         2 2. (3  7         8)  

                              5     4     1

     

                    3. (2     4     1)     

                             8     6     3

    4.                 Выполнить  действие      А-2В+Ет  . 3Ат+2Е-Вт

     

                                                  5     4     1                         5     4     1

                                     

    А=(2     3      5)           В=(2      6      2)             Е= (4      5     1)

                                                                                                                                                                     2     3     0

                                                  2     6     8                         1     3     2

     

    Практическая  работа  №1                           Вариант   – æ – На  тему:  «Операции  над  матрицами   »

    1.                 Из  цифр:    1,2,3,4,5,6,7,8,9,0   составить:

    1.     Матрицу  1×5

    2.     Квадратную матрицу содержащую   3  строки

    3.     Симметричную  матрицу    содержащую 6 столбцов

    4.     Диагональную  матрицу   7×7

    5.     Единичную  матрицу   содержащую 5 столбцов

    2.                 Выполнить   линейные  операции  над матрицами:

     

                              1     2     5          0     1     2

    1.     (4   6         5)+(4          5         6) =

                              4     1     2          2     3     1

     

    1          4

    2.     (5   2) ∗ 3 =

    1          4

     

    3.                 (1         1         1) ∗ 11 =

     

    4.                 (0         1)  + (1        11) =            

                             9     2            0     16

     

    52

    5.                 (12      51       72       0)  (1141 )                                                                                                 

    10

    3.                 Транспонировать  матрицу: 1

    1.     (2)     

    5

    2.     (2 5 4)  

    1        3 8

     

    3.     (5 4)     

    1        2

    4.                 Выполнить  действие      4А-3В+Ет       2Ат+Е-3Вт  

     

                                              5      4      1                         5     2     1                             11     2     1

                                  А=(2       3       6)           В=(4      1      2)             Е= ( 2       1     2)

                                              5     12     5                         3     6     9                              1      3     5

     

     

     

     

     

    Ответы к  практической  работе  «Операции  над матрицами»

     

     

     

    ¿

    £

     

     

    ¥

     

     

     

     

    1

     

    1

     

    𝟏 𝟐 𝟑

    (

    𝟐

    𝟒

    𝟓 )

    𝟏

    (𝟐

    𝟑

    𝟐

     

    𝟑

    𝟒

    )

    (

     

    2

    1

    (2

    3

    )

    (𝟏)   

    𝟐

     

     

    𝟏

     𝟐  𝟑

    𝟒

    (𝟓

    𝟐

    𝟑

    𝟒

    𝟓

     

      

    )

    𝟏

    𝟐

    (

    𝟑

    𝟒

    𝟐 𝟑

    𝟒

    )

    3

     

    1

    (

    6

    6

    )

    5

     𝟏

    𝟏

       (

    𝟒 𝟐

    𝟕 𝟓

    𝟒

    𝟐

    𝟔

    𝟕

    𝟓

    )

    𝟔

     

    𝟒

    (

    𝟖

     

    𝟖

    ) 𝟑

     

     

    𝟐

      

    𝟏 𝟐

    𝟓

     

     

    4

    2

     0  0

    0

    (0

    0

    5

    0

    0

    0

    0

    0

    2

    0

    0

    0

    0

    0

    4

    0

    0

    0

    0  

    0

    7)

     

    𝟐

    (

    𝟎

    𝟎

    𝟑

    )

     

    𝟏 𝟐

     𝟑

      𝟒

    𝟓

    (𝟔

    𝟎

    𝟐

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟑

    𝟎

    𝟎

    𝟎

     

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟒

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟓

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

      

    𝟎

    𝟎

    𝟔)

     

    𝟏

    𝟎

    (

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟒

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟕

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    )

    𝟎

    𝟖

    5

    1

    (0

    0

    0

    1

    0

    0

    0)

    1

    𝟏

     𝟎  𝟎

    𝟎

    (𝟎

    𝟎

    𝟏

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟏

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟏

    𝟎

    𝟎

    𝟎

    𝟎  

    𝟎

    𝟏)

    𝟏 𝟎

       (𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

    𝟎

    𝟎)

    𝟏

     

     

    𝟏 𝟎

    ( )

    𝟎 𝟏

     

    1

    5

    (8

    10

    9

    6

    6

    3

    8)

    6

    𝟓

    (𝟏𝟐 𝟕

    𝟕

    𝟖

    𝟑

    𝟑

    𝟏𝟐) 𝟔

    𝟒

    (𝟖

    𝟏𝟐

    𝟖

    𝟏𝟐

    𝟑

    𝟐

    𝟔)

    𝟗

    𝟓

    (𝟗

    𝟗

    𝟏𝟐

    𝟏𝟑

    𝟓

    𝟑

    𝟔)

    𝟗

    2

    2 (

    10

    10 2

    4

    )

    0

    𝟐𝟎

    (

    𝟏𝟔

    𝟑𝟔 𝟒

    𝟏𝟐

    )

    𝟖

    𝟑

    (

    𝟏𝟐

    𝟏𝟓 𝟔

    𝟗

    )

    𝟏𝟐

    𝟑

    (

    𝟐𝟒

    𝟏𝟐 𝟔

    𝟏𝟓

    )

    𝟏𝟐

    3

    (0 32

    8)

    (𝟑 𝟔 𝟐𝟏)

     

    (𝟔 𝟏𝟎

    𝟏𝟎)

    𝟐

    (𝟖)

    𝟒

    4

    9

    (

    2

    4

    )

    10

    𝟏𝟐 𝟒

                   (                 )

    𝟖 𝟏𝟏

    𝟏𝟐 𝟒

                     (                 )

    𝟖 𝟏𝟏

    𝟓

    (

    𝟒

    𝟓

    ) 𝟔

    5

     

     

     

     

     

     

    1

    2

    (0

    0

    5

    1)

    1

    𝟏 𝟓

      (𝟓 𝟐)

    𝟒 𝟔

      

    𝟐 𝟓 𝟑

    ( ) 𝟕 𝟏 𝟒

    𝟒 𝟒 𝟐

    ( ) 𝟓 𝟖 𝟑

    2

    0

    (

    7

    1 3

    )

    3 2

    𝟓

           (

    𝟒

    𝟐 𝟑

    )

    𝟔 𝟐

    𝟒

      (𝟎)

    𝟓

     

    𝟏

    (𝟒)

    𝟕

    3

    2

    (

    4

    1

    )

    0

    𝟒

    (

    𝟕

    𝟓

    ) 𝟔

     

    (𝟏 𝟓)

    𝟐

    (𝟓

    𝟏

    𝟑

    𝟐

    𝟔

    𝟓

    𝟏)

    𝟒

    1

    −𝟏𝟓

    (𝟏𝟐

    −𝟖

    𝟏

    𝟐

    𝟕

    𝟑

    −𝟖)

    𝟎

    𝟖

    (𝟏

    𝟖

    𝟑

    −𝟑

    𝟖

    −𝟏

    −𝟕)

    𝟏𝟎

    𝟕

    (𝟏

    𝟏𝟒

    𝟎 𝟏𝟕

    𝟏𝟕 𝟕)

    𝟓 𝟓

    𝟑

    (𝟐𝟏 𝟗

    𝟏𝟒

    𝟏𝟑

    𝟓

    𝟕

    𝟏𝟗)

    𝟏𝟐

    2

    −𝟐𝟐 𝟏𝟗

    ( 𝟎 𝟏

    𝟐 −𝟗

    −𝟏𝟔

    𝟗 )

    −𝟒

    𝟐𝟒

    (𝟕

    −𝟑

    𝟏

    𝟐

    −𝟐

    𝟐𝟓

    𝟏𝟒)

    𝟐𝟐

    𝟕

    (𝟓

    𝟓

    𝟐𝟎 𝟕

    𝟓 𝟏)

    𝟏𝟐 𝟐𝟎

    𝟏𝟐

    (𝟒

    𝟐𝟎

    𝟐

    𝟏𝟎

    𝟏𝟐

    𝟏𝟕

    −𝟕)

    𝟏𝟑

     

    Ответы к  практической  работе  «Операции  над матрицами»

     

    Þ

     

     

     

     

    ð

     

     

     

    æ

     

    1

    (5)

     

     

     

     

     

     

    (

    )

     

    (1

    2

    3

    4

     

    5)

    2

     

    (

     

     

    )

     

     

     

     

     

     

     

     

    3

     

    1

    (2

    3

    2

    5

    8

    3

    8) 

    7

     

     

     

    (

    )

     

    4

    1

     

    2

      3

    5

    (6

    1

    2

    4

    1

    1

    1

    2

    4

    8

    8

    5

    2

    3

    1

    8

    7

    5

    4

    5

    1

    5

    5

    9

    0

    6

    1

     

    2

      

    4

    0

    1)

    4

     

     

     

    2

    0

    (

    0

    0

    0

    5

    0

    0

    0

    0

    4

    0

    0

    0

    )

    0

    8

     

    𝟏

     0  0

    0

    (0

    0

    𝟓

    0

    0

    0

    0 0 0

    0 0 0

    𝟒 0 0  

    0 𝟕 0

    0 0 𝟏)

    2 0

    0 1

    0 0

    0 0

    0 0

    0 0

    0 0

    0

    0

    7

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    5

    0

    0

    0 0

    0 0

    0 0

    0 0

    0        0

    1        0

    0 1

     

    5

    1

    (

    0

     

    0

    )

    1

     

    𝟏

    0

    (

    0

    0

    0

    𝟏

    0

    0

    0

    0

    𝟏

    0

    0

    0

    )

    0

    𝟏

    1

     0  0

    0

    (0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0  

    0

    1)

    1

    4

    (8

    4

    3

    7

    6

    5

    5)

    9

     

    𝟏

    (𝟖

    𝟒

     

    𝟐

    𝟏

    𝟎

    𝟓

    𝟓)

    𝟑

     

    𝟏

    (𝟖

    𝟔

    𝟑 𝟕

    𝟏𝟏 𝟏𝟏)

    𝟒 𝟑

    2

    15

    (

    12

    6 27

    )

    21 0

     

    5. (4

    8

     

    8 12

    )

    10 0

     

    𝟑 𝟏𝟐

    (𝟏𝟓 𝟔)

    𝟑 𝟏𝟐

    3

    (3 21 12)

     

    (15

    6 3)

     

    𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏

    4

    8 (

    12

    3

    )       

    5

     

    11 (

    8

    23

    )

    7

     

    𝟏

    (

    𝟗

    𝟏𝟐

    ) 𝟏𝟖

    5

     

     

     

     

     

     

     

     

    1

    𝟕

    (𝟐

    𝟑

    𝟒

    𝟓)

    𝟏

     

    (

    𝟓

    𝟕)

    𝟎

     

    (𝟏

    𝟐 𝟓)

    2

    𝟒

    (

    𝟏

    𝟎 𝟑

    )

    𝟖 𝟎

     

    𝟓

    (𝟒

    𝟐

    𝟑

    𝟕

    𝟖

    𝟓

    𝟒)

    𝟏

     

    𝟐

    (𝟓

    𝟒

    𝟏

    𝟑)

    𝟖

    3

    𝟓

    (

    𝟒

    𝟎

    ) 𝟐

     

    𝟐

    (𝟒

    𝟏

    𝟖

    𝟔)

    𝟑

     

    𝟓

    𝟒

    𝟏

     

    𝟐

     

    1

    −𝟐 −𝟏𝟒 𝟏𝟎

    (𝟏𝟑 𝟏 −𝟕)

    −𝟏𝟔 𝟒 −𝟕

     

    −𝟐 −𝟏𝟒

    (𝟏𝟑 𝟏

    −𝟏𝟔 𝟒

    𝟏𝟎

    −𝟕)

    −𝟕

     

    𝟏𝟔

    (−𝟐

    𝟏𝟐

    𝟏𝟐

    𝟏𝟎

    𝟑𝟐

    𝟐

    𝟐𝟏)

    −𝟐

    2

    𝟑 𝟑𝟏 −𝟐𝟑

    (−𝟐𝟎 𝟔 𝟓 )

    𝟏𝟖 𝟎 −𝟏𝟑

     

    𝟏𝟎 𝟒

    (𝟖 𝟑

    𝟐 𝟏𝟑

    𝟓

    𝟏𝟔)

    𝟐𝟐

     

    𝟔

    (𝟒

    𝟎

    −𝟔

    𝟒

    𝟗

    𝟐

    𝟖)

    𝟏𝟐

     

    Тесты для педагогов по всем школьным предметам с ответами


    Тиры размножения. Митоз

    Тестовые задания с ответами составлены в соответствии с обязательным минимумом содержания образования. Тест поможет учащимся развить навыки выполнения заданий различного типа.





    Творческий проект

    Данный тест направлен на закрепление пройденных тем по блоку “Творческий проект” для 5 класса (уч. А.Т. Тищенко, Н.В. Синица, Вентана-Граф)



    Энергетический обмен

    Тестовые задания с ответами составлены в соответствии с обязательным минимумом содержания образования. Тест поможет учащимся развить навыки выполнения заданий различного типа.



    Фотосинтез

    Тестовые задания с ответами составлены в соответствии с обязательным минимумом содержания образования. Тест поможет учащимся развить навыки выполнения заданий различного типа.


    Обмен веществ. Биосинтез белка.

    Тестовые задания с ответами составлены в соответствии с обязательным минимумом содержания образования. Тест поможет учащимся развить навыки выполнения заданий различного типа.


    Строение клетки

    Тестовые задания с ответами составлены в соответствии с обязательным минимумом содержания образования. Тест поможет учащимся развить навыки выполнения заданий различного типа.


    Химический состав клетки

    Тестовые задания с ответами составлены в соответствии с обязательным минимумом содержания образования. Тест поможет учащимся развить навыки выполнения различного типа.


    Введение в основы общей биологии

    Тестовые задания составлены в соответствии с обязательным минимумом содержания образования. Тест может быть использован для закрепления и проверки знанийучащихся.




    Внешнее и внутреннее строение корня

    Тестовые задания с ответами составлены в соответствии с обязательным минимумом содержания образования. Тест может быть использован для закрепления и проверки знаний учащихся.



    Музыкальная деятельность

    Тест может использоваться как для проверки уровня усвоения материала в рамках занятий в музыкальной школы, так и для для расширения кругозора.


    Линейная алгебра на Python. [Урок 1]. Задание Матрицы.

    Эта статья открывает список уроков на тему “Линейная алгебра с примерами на Python. Мы постараемся рассказать о базовых понятиях  линейной алгебры, которые могут быть полезны тем, кто занимается машинным обучением и анализом данных, и будем сопровождать все это примерами на языке Python.

    Матрицы

    Матрицей в математике называют объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, элементами которой являются числа (могут быть как действительные, так и комплексные). Пример матрицы приведен ниже.

    \(M\;=\;\begin{pmatrix}1&3&5\\7&2&4\end{pmatrix}\)

    В общем виде матрица записывается так:

    \(M=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\…&…&…&…\\a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\end{pmatrix}\)

    Представленная выше матрица состоит из i-строк и j-столбцов. Каждый ее элемент имеет соответствующее позиционное обозначение, определяемое номером строки и столбца на пересечении которых он расположен: \(a_{ij}\)- находится на i-ой строке и j-м столбце.

    Важным элементом матрицы является главная диагональ, ее составляют элементы, у которых совпадают номера строк и столбцов.

    Виды матриц и способы их создания в Python

    Матрица в Python – это двумерный массив, поэтому задание матриц того или иного вида предполагает создание соответствующего массива. Для работы с массивами в Python используется тип данных список (англ. list). Но с точки зрения представления матриц и проведения вычислений с ними списки – не очень удобный инструмент, для этих целей хорошо подходит библиотека Numpy, ее мы и будем использовать в дальнейшей работе.

    Напомним, для того, чтобы использовать библиотеку Numpy ее нужно предварительно установить, после этого можно импортировать в свой проект. По установке Numpy можно подробно прочитать в разделе “Установка библиотеки Numpy” из введения. Для того чтобы импортировать данный модуль, добавьте в самое начало программы следующую строку

    import numpy as np

    Если после импорта не было сообщений об ошибке, то значит все прошло удачно и можно начинать работу. Numpy содержит большое количество функций для работы с матрицами, которые мы будем активно использовать. Обязательно убедитесь в том, что библиотека установлена и импортируется в проект без ошибок.

    Рассмотрим, различные варианты матриц и способы их задания в Python.

    Вектор

    Вектором называется матрица, у которой есть только один столбец или одна строка. Более подробно свойства векторов, их геометрическая интерпретация и операции над ними будут рассмотрены в “Главе 2 Векторная алгебра”.

    Вектор-строка

    Вектор-строка имеет следующую математическую запись.

    \(v=(1\;2)\)

    Такой вектор в Python можно задать следующим образом.

    >>> v_hor_np = np.array([1, 2])
    >>> print(v_hor_np )
    [1 2]

    Если необходимо создать нулевой или единичный вектор, то есть вектор, у которого все элементы нули либо единицы, то можно использовать специальные функции из библиотеки Numpy.

    Создадим нулевую вектор-строку размера 5.

    >>> v_hor_zeros_v1 = np.zeros((5,))
    >>> print(v_hor_zeros_v1 )
    [0. 0. 0. 0. 0.]

    В случае, если требуется построить вектор-строку так, чтобы она сама являлась элементом какого-то массива, это нужно для возможности транспонирования матрицы (см. раздел “1.3 Транспонирование матрицы”), то данную задачу можно решить так.

    >>> v_hor_zeros_v2 = np.zeros((1, 5))
    >>> print(v_hor_zeros_v2 )
    [[0. 0. 0. 0. 0.]]

    Построим единичную вектор-строку в обоих из представленных для нулевого вектора-строки форм.

    >>> v_hor_one_v1 = np.ones((5,))
    >>> print(v_hor_one_v1)
    [1. 1. 1. 1. 1.]
    >>> v_hor_one_v2 = np.ones((1, 5))
    >>> print(v_hor_one_v2)
    [[1. 1. 1. 1. 1.]]
    
    
    Вектор-столбец

    Вектор-столбец имеет следующую математическую запись.

    \(v=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)

    В общем виде вектор столбец можно задать следующим образом.

    >>> v_vert_np = np.array([[1], [2]])
    >>> print(v_vert_np)
    [[1]
    [2]]

    Рассмотрим способы создания нулевых и единичных векторов-столбцов. Построим нулевой вектор-столбец.

    >>> v_vert_zeros = np.zeros((5, 1))
    >>> print(v_vert_zeros)
    [[0.]
    [0.]
    [0.]
    [0.]
    [0.]]

    Единичный вектор-столбец можно создать с помощью функции ones().

    >>> v_vert_ones = np.ones((5, 1))
    >>> print(v_vert_ones)
    [[1.]
    [1.]
    [1.]
    [1.]
    [1.]]

    Квадратная матрица

    Довольно часто, на практике, приходится работать с квадратными матрицами. Квадратной называется матрица, у которой количество столбцов и строк совпадает. В общем виде они выглядят так.

    \(Msqr=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\…&…&…&…\\a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nn}\end{pmatrix}\)

    Создадим следующую матрицу.

    \(Msqr=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)

    В Numpy можно создать квадратную матрицу с помощью метода array().

    >>> m_sqr_arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
    >>> print(m_sqr_arr)
    [[1 2 3]
    [4 5 6]
    [7 8 9]]

    Как вы уже наверное заметили, аргументом функции np.array() является список Python, его можно создать отдельно и передать в функцию.

    >>> m_sqr = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
    >>> m_sqr_arr = np.array(m_sqr)
    >>> print(m_sqr_arr)
    [[1 2 3]
    [4 5 6]
    [7 8 9]]

    Но в Numpy есть еще одни способ создания матриц – это построение объекта типа matrix с помощью одноименного метода. Задать матрицу можно в виде списка.

    >>> m_sqr_mx = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
    >>> print(m_sqr_mx)
    [[1 2 3]
    [4 5 6]
    [7 8 9]]

    Также доступен стиль Matlab, когда между элементами ставятся пробелы, а строки разделяются точкой с запятой, при этом такое описание должно быть передано в виде строки.

    >>> m_sqr_mx = np.matrix('1 2 3; 4 5 6; 7 8 9')
    >>> print(m_sqr_mx)
    [[1 2 3]
    [4 5 6]
    [7 8 9]]

    Диагональная матрица

    Особым видом квадратной матрицы является диагональная – это такая матрица, у которой все элементы, кроме тех, что расположены на главной диагонали, равны нулю.

    \(Mdiag=\begin{pmatrix}a_{11}&0&…&0\\0&a_{22}&…&0\\…&…&…&…\\0&0&…&a_{nn}\end{pmatrix}\)

    Диагональную матрицу можно построить вручную, задав только значения элементам на главной диагонали.

    >>> m_diag = [[1, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 9]]
    >>> m_diag_np = np.matrix(m_diag)
    >>> print(m_diag_np)
    [[1 0 0]
    [0 5 0]
    [0 0 9]]

    Библиотека Numpy предоставляет инструменты, которые могут упростить построение такой матрицы.

    Первый вариант подойдет в том случае, если у вас уже есть матрица, и вы хотите сделать из нее диагональную. Создадим матрицу размера 3 3.

    >>> m_sqr_mx = np.matrix('1 2 3; 4 5 6; 7 8 9')

    Извлечем ее главную диагональ.

    >>> diag = np.diag(m_sqr_mx)
    >>> print(diag)
    [1 5 9]

    Построим диагональную матрицу на базе полученной диагонали.

    >>> m_diag_np = np.diag(np.diag(m_sqr_mx))
    >>> print(m_diag_np)
    [[1 0 0]
    [0 5 0]
    [0 0 9]]

    Второй вариант подразумевает построение единичной матрицы, ей будет посвящен следующий параграф.

    Единичная матрица

    Единичной матрицей называют такую квадратную матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единицы, а все остальные нулю.

    \(E=\begin{pmatrix}1&0&…&0\\0&1&…&0\\…&…&…&…\\0&0&…&1\end{pmatrix}\)

    Создадим единичную матрицу на базе списка, который передадим в качестве аргумента функции matrix().

    >>> m_e = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]
    >>> m_e_np = np.matrix(m_e)
    >>> print(m_e_np)
    [[1 0 0]
    [0 1 0]
    [0 0 1]]

    Такой способ не очень удобен, к счастью для нас, для построения такого типа матриц в библиотеке Numpy есть специальная функция – eye().

    >>> m_eye = np.eye(3)
    >>> print(m_eye)
    [[ 1.  0. 0.]
    [ 0.  1. 0.]
    [ 0.  0. 1.]]
    
    

    В качестве аргумента функции передается размерность матрицы, в нашем примере – это матрица 3 3. Тот же результат можно получить с помощью функции identity().

    >>> m_idnt = np.identity(3)
    >>> print(m_idnt)
    [[ 1.  0. 0.]
    [ 0.  1. 0.]
    [ 0.  0. 1.]]

    Нулевая матрица

    У нулевой матрицы все элементы равны нулю.

    \(Z=\begin{pmatrix}0&0&…&0\\0&0&…&0\\…&…&…&…\\0&0&…&0\end{pmatrix}\)

    Пример того, как создать такую матрицу с использованием списков, мы приводить не будем, он делается по аналогии с предыдущим разделом. Что касается Numpy, то в составе этой библиотеки есть функция zeros(), которая создает нужную нам матрицу.

    >>> m_zeros = np.zeros((3, 3))
    >>> print(m_zeros)
    [[ 0. 0. 0.]
    [ 0. 0. 0.]
    [ 0. 0. 0.]]

    В качестве параметра функции zeros() передается размерность требуемой матрицы в виде кортежа из двух элементов, первый из которых – число строк, второй – столбцов. Если функции zeros() передать в качестве аргумента число, то будет построен нулевой вектор-строка, это мы делали в параграфе, посвященном векторам.

    Задание матрицы в общем виде

    Если у вас уже есть данные о содержимом матрицы, то создать ее можно используя списки Python или функцию matrix() из библиотеки Numpy.

    >>> m_mx = np.matrix('1 2 3; 4 5 6')
    >>> print(m_mx)
    [[1 2 3]
    [4 5 6]]

    Если же вы хотите создать матрицу заданного размера с произвольным содержимым, чтобы потом ее заполнить, проще всего для того использовать функцию zeros(), которая создаст матрицу заданного размера, заполненную нулями.

    >>> m_var = np.zeros((2, 5))
    >>> print(m_var)
    [[ 0. 0. 0. 0. 0.]
    [ 0. 0. 0. 0. 0.]]

    P.S.

    Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта. Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.

    Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas.  Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.

    Урок одиннадцатого класса Что такое матрицы?

    Я объясняю, что этот блок разрабатывает, как использовать общий математический инструмент для организации данных для анализа. Инструмент называется матрицей. Теперь я даю студентам определение матрицы для чтения. Сегодня ученики индивидуально читают определение и записывают то, что им непонятно.

    Через пару минут я прошу студентов обсудить определение со своими группами. Я двигаюсь и слушаю, что студенты обсуждают определение.Группы должны попытаться ответить на вопросы, записанные участниками. Если никто не может ответить на вопрос, вопрос будет передан классу для определения ответа. Студенты часто сталкиваются с трудностями при использовании набора терминов. Студентов также может смутить обозначение матриц.

    После того, как группы поговорили в течение 3-4 минут, я снова собираю класс. Я случайным образом выбираю группу, чтобы узнать, есть ли у них какие-либо вопросы, которые они не могут определить как группа. Поскольку матрицы новые, кто-нибудь в группе всегда задаст вопрос.Я переформулирую вопрос, чтобы убедиться, что вопросы понятны всем, включая меня. Затем я прошу другие группы ответить на вопрос. Поскольку я до сих пор слушал обсуждение, я могу знать, у какой группы есть хороший ответ. Я могу попросить эту группу объяснить, что было решено в их группе. После того, как студенты высказали свои мысли по вопросу, я систематизирую информацию и убеждаюсь, что на вопрос дан правильный ответ. Класс продолжает задавать вопросы и отвечать на них до тех пор, пока не будут получены ответы на большинство вопросов.

    Теперь я хочу, чтобы студенты составили матрицу для описания данных в работе колокола. Я ожидаю 2 разных матриц для данных. Мы выложим оба ответа на доску. Я прошу студентов определить, верны ли матрицы. Обычно кто-то комментирует: «Значит, будут разные способы написания матриц? Как это может быть?» Я пытаюсь помочь классу понять, что в зависимости от того, что мы хотим, чтобы строки и столбцы представляли, мы можем написать матрицу более чем одним способом.Ряды могли быть типом обуви или городами. Это также верно для столбцов. Спрашиваю, есть ли другие способы написать матрицу. Некоторые студенты могут сказать, что мы могли бы составить матрицу для каждого города, которая является правильной, но я спрашиваю: «Это единая матрица?»

    Видеоурок по матричной алгебре


    «Покупка DVD с репетитором по алгебре, математике и физике была лучшим вложением в образование».

    «В прошлом семестре я перешел с« C »на
    и получил« пятерку »!»

    Лес Дж.
    Матаван, Нью-Джерси


    «DVD-диски Math Tutor просто фантастические!
    Джейсон представляет материал в ясной,
    и хорошо организованной форме.

    Я был полностью
    в ужасе от физики,
    , но сразу после первой лекции я почувствовал себя непринужденно».

    S. Deeds-Rubin
    Los Angeles, CA


    “Ваши методы настолько ясны, что мой семилетний
    -летний сын усваивал уроки тригонометрии. Я тоже подбираю
    новых вещей.«

    Гэри Г.


    «Смотреть справочные видео по математике – это замечательно, потому что, работая над задачами, вы показываете и объясняете каждый шаг».

    M. Dalrymple
    Lancaster, CA

    «Все инструкции
    и примеры на DVD с репетитором математики очень четко объяснены, и стиль преподавания Джейсона определенно делает зрителя очень комфортным с представленным материалом».

    Д.Forbes
    Мидлтаун, штат Нью-Джерси


    «Я нашел лекции
    очень четкими, прямо по делу, и темп был как раз для меня, который не видел никаких расчетов или триггеров за последние 10 лет и должен быстро набрать скорость».

    София


    “Просто хотел сообщить вам, что благодаря
    фундаменту, который я получил от вашего DVD-диска с математической справкой (особенно DVD-диска с предварительным расчетом), я смог сдать свой курс по предварительному расчету в этом семестре на пятерку!”

    Дж.Ректон

    «У вас серьезный педагогический дар.
    Доказательство того, что я смотрю ваши DVD, когда я обычно бываю
    . Никогда не думал, что смогу выучить математику. Я сразу перехожу к исчислению, а затем к физике. Я действительно наслаждайтесь этим, и я подумываю о смене карьеры. Отличная работа! ”

    Д. Смит

    Матрицы сложения и вычитания – ChiliMath

    В этом уроке я подготовил семь (7) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать базовый подход к тому, как легко складывать или вычитать матрицы.

    Если вы знаете, как складывать и вычитать действительные числа, эта тема должна быть действительно легкой. Единственное, что требуется для «легального» выполнения операций сложения или вычитания в «мире» матриц, – это убедиться, что данные матрицы должны иметь одинаковый размер или размерность.

    Что означает, что данная матрица имеет одинаковый размер или размерность?

    Предположим, нам даны матрицы A и B. Они имеют одинаковый размер или размерность, потому что у них одинаковое количество строк и столбцов.

    Мы можем описать размер или размерность матрицы, используя следующий стандартный формат:

    количество строк x количество столбцов

    Позвольте мне показать вам несколько примеров…

    Последняя матрица размером 5 x 5 также считается «квадратной матрицей», потому что количество строк и количество столбцов равны. Важно знать, что для того, чтобы любая заданная матрица имела обратную, она должна быть квадратной матрицей. Я не говорю, что все квадратные матрицы имеют обратные, но первое требование к матрице, чтобы иметь обратную матрицу, состоит в том, что сначала она должна быть квадратной матрицей.

    Ознакомьтесь с моим отдельным руководством о том, как найти обратную матрицу 2 × 2.

    Я должен подчеркнуть, что для того, чтобы сложить или вычесть две заданные матрицы, они должны иметь одинаковый размер или размер. В противном случае мы заключаем, что сумма (сложение) или разность (вычитание) двух матриц, имеющих разные размеры или размеры, не определена!

    Теперь давайте посмотрим на общее правило того, как складывать и вычитать матрицы, размеры или размеры которых совпадают.


    Правила сложения и вычитания матриц одинакового размера или измерения

    Предположим, что матрицы A и B имеют две строки и два столбца (2 × 2) с некоторыми произвольными элементами или записями…

    «Формулы» для сложения и вычитания матриц показаны ниже…

    • Добавить матрицы , добавив их соответствующие записи
    • Вычесть матрицы путем вычитания их соответствующих записей

    Давайте поработаем над некоторыми проблемами.


    Примеры сложения и вычитания матриц

    Пример 1 : Выполните указанную операцию для A + C.

    Обратите внимание, что матрицы A и C имеют одинаковый «размер» или «размерность», потому что их количество строк и столбцов одинаково. Оба могут быть описаны как матрица 3 x 3 . Это говорит мне о том, что найти их сумму – это нормально.

    Добавлю соответствующие записи и упрощу.

    Вот как это просто!


    Пример 2 : Выполните указанную операцию для B + F.

    Обратите внимание, что матрица B имеет размерность 2 × 3 , а матрица F имеет размер 2 × 2 .

    Поскольку количество строк и столбцов не совпадает, тогда сумма матриц B и F не существует или не определена . Я остановлюсь здесь. Это наш ответ, хотите верьте, хотите нет.


    Пример 3 : Выполните указанную операцию для E-B.

    Последние два примера показали вам, как складывать матрицы. На этот раз мы поговорим о вычитании матриц.Помните, что процесс сложения и вычитания матриц очень похож. Если вы забыли, просмотрите приведенную выше «формулу».

    В этом примере нам нужно найти разницу между матрицей E и матрицей B.

    Однако кажется, что это невозможно, поскольку они имеют различных размера или размеров. Матрица E имеет размер 3 × 2, а матрица B – 2 × 3.

    Поскольку я не могу выполнить вычитание по входам, из-за того, что записи двух матриц не имеют прямого соответствия, я должен заявить, что НЕ возможно, найти их различие.Следовательно, наш ответ – undefined .

    Это не вопрос с подвохом. Учителя иногда «добавляют» это в смесь, чтобы проверить, понимаете ли вы концепцию, согласно которой можно складывать или вычитать только матрицы с одинаковыми размерами или размерами. Не расстраивайтесь, я сам попал в эту «ловушку». Надеюсь, теперь, когда вы знаете, вы будете осторожны в следующий раз, когда столкнетесь с такой проблемой.


    Пример 4 : Выполните указанную операцию для F-D.

    При быстром просмотре я вижу, что можно найти разницу между матрицами F и D, потому что обе имеют одинаковое количество строк и столбцов.Большой!

    Для начала я вычту соответствующие записи F и D. Мое единственное предостережение – будьте очень осторожны при вычитании действительных чисел. Обычно здесь возникают общие ошибки. Помните, что два соседних отрицательных знака оказываются положительными.

    Неплохо, правда?


    Пример 5 : Выполните указанную операцию для C-A.

    Две заданные матрицы C и A имеют одинаковые размеры или размеры (обе матрицы 3 × 3). Это позволяет нам выполнять операцию вычитания.

    Вычитая по входу, я получил…


    Пример 6 : Выполните указанную операцию для (A + C) + (C-A).

    Это отличный пример «многоступенчатой» задачи, которая включает в себя сложение и вычитание матриц. Цель состоит в том, чтобы выполнить указанную операцию над каждой круглой скобкой, а затем добавить их вместе.

    Чтобы пропустить некоторые шаги, просмотрите, как мы решили для (A + C) в примере 1 и C-A в примере 5.

    Пока у нас есть эти частичные ответы…

    Итак, последний шаг – сложить их вместе, чтобы получить требуемый ответ.

    Как видите, сложение и вычитание матриц очень просто. Я надеюсь, что вы приобрели некоторую уверенность и знания о том, как с этим справиться.


    Пример 7 : Выполните указанную операцию для (A + C) + (C-A).

    Это та же проблема, что и в примере 6. Но я хочу решить ее немного иначе, чтобы продемонстрировать тот факт, что есть другие способы решения определенной проблемы. Хотя метод, примененный в примере 6, вполне приемлем, этот «альтернативный» подход имеет гораздо больше смысла, поскольку он очень прост.

    Поехали…

    Если вы рассматриваете выражение (A + C) + (C-A) как , объединяющее похожие или похожие термины, проблема типа , то имеет смысл быстро упростить исходную задачу, даже не занимаясь сложением и вычитанием матриц.

    Обратите внимание, что я могу объединить C-термины как 2C.

    Теперь, члены A должны сокращаться, потому что они имеют противоположные знаки.

    Наша исходная задача сводится к 2C, что составляет в два раза больше матрицы C .

    Это означает, что я собираюсь умножить каждый элемент матрицы C на 2. На самом деле это тема моего другого урока по алгебре, посвященного скалярному умножению матрицы.

    С

    , то 2C решается с помощью…

    Окончательный ответ, полученный с помощью этого метода, точно такой же, как в примере 6. Легко, правда?


    Практика с рабочими листами

    Возможно, вас заинтересует:

    Скалярное умножение

    Умножение матриц

    Как работать с матрицами (алгебра 2, матрицы) – Mathplanet

    Матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и если каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы.Вы можете умножить матрицу на любую константу, это называется скалярным умножением.


    Пример

    $$ 2 \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color {green} 2} \ cdot 1 & {\ color {green} 2} \ cdot2 \ \ {\ color {green} 2} \ cdot3 & {\ color {green} 2} \ cdot4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \ end {bmatrix} $$

    Матрицы одинакового размера могут быть добавлены и вычтены, а матрицы совместимых размеров могут быть умножены.


    Пример

    Сложите две матрицы A и B:

    $$ A = \ begin {bmatrix} {\ color {green} 2} & {\ color {green} -1} \\ {\ color {green} 1} & {\ color {green} 0} \ end { bmatrix} B = \ begin {bmatrix} {\ color {blue} 1} & {\ color {blue} 4} \\ {\ color {blue} 2} & \, {\ color {blue} 3} \ end { bmatrix} $$

    Это возможно, поскольку A и B, поскольку обе матрицы имеют две строки и два столбца. Мы добавляем каждый элемент в матрицу A к соответствующему элементу в матрице B:

    $$ A + B = \ begin {bmatrix} {\ color {green} 2} + {\ color {blue} 1} & {\ color {green} -1} + {\ color {blue} 4} \\ {\ color {green} 1} + {\ color {blue} 2} & {\ color {green} 0} + \, {\ color {blue} 3} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \ end {bmatrix} $$

    Матрицы вычитаются таким же образом.

    Если вы умножите матрицу A p * q и матрицу B m * n , то произведение равно

    $$ A_ {p \ times q} + B_ {m \ times n} = (AB) _ {p \ times n} $$

    Элемент в g-й строке и h-м столбце AB является суммой произведения соответствующих элементов в g-й строке A и h-м столбце B. Вы можете перемножить только две матрицы. если количество столбцов в первой матрице и количество строк во второй равны.


    Пример

    Умножаем матрицы A и B:

    $$ A = \ begin {bmatrix} {\ color {green} 1} & {\ color {green} 3} \\ {\ color {green} -1} & {\ color {green} 0} \ end { bmatrix} B = \ begin {bmatrix} {\ color {blue} 2} & {\ color {blue} 1} & {\ color {blue} 1} \\ {\ color {blue} -1} & {\ color {blue} 2} & {\ color {blue} 4} \ end {bmatrix} $$

    Это возможно, поскольку первая матрица содержит 2 столбца, а вторая – 2 строки.

    $$ \\ AB = \ begin {bmatrix} {\ color {green} 1} \ cdot {\ color {blue} 2} + {\ color {green} 3} \ cdot {\ color {blue} -1} & {\ color {green} 1} \ cdot {\ color {blue} 1} + {\ color {green} 3} \ cdot {\ color {blue} 2} & {\ color {green} 1} \ cdot { \ color {blue} 1} + {\ color {green} 3} \ cdot {\ color {blue} 4} \\ {\ color {green} -1} \ cdot {\ color {blue} 2} + {\ цвет {зеленый} 0} \ cdot {\ color {синий} -1} & {\ color {зеленый} -1} \ cdot {\ color {blue} 1} + {\ color {зеленый} 0} \ cdot {\ color {blue} 2} & {\ color {green} -1} \ cdot {\ color {blue} 1} + {\ color {green} 0} \ cdot {\ color {blue} 4} \ end {bmatrix} = \\ \\ = \ begin {bmatrix} -1 & 7 & 13 \\ -2 & -1 & -1 \ end {bmatrix} $$


    Видеоурок

    Если возможно, выполните указанную операцию:

    $$ \ begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \\ -4 & 1 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & 4 \ end {bmatrix} $$

    Learnhive | Математические матрицы Cambridge IGCSE

    Learnhive | Математические матрицы Cambridge IGCSE – уроки, упражнения и практические тесты

    Вход в систему Learnhive

    Выберите приложение Learnhive
    ×

    – Выберите свой класс / класс –LKGUKG12345678910 – Выберите свой класс / класс –LKGUKG12345678

    Learnhive Зарегистрироваться

    ИЛИ

    Заполните форму ниже

    Доска:

    – Выберите свой Совет по образованию – CBSE (Индия) ICSE (Индия) Совет штата Махараштра (Индия) Совет штата Тамилнад (Индия) Совет штата Карнатака (Индия) Общие основные стандарты IGCSE (США)

    Класс / Оценка:

    – Выберите свой класс / сорт –

    ×

    Математика / Матрицы

    Матрица – это массив чисел.Этот массив или упорядоченный набор чисел представлен в прямоугольной форме.
    Изучите различные свойства матриц и операции с матрицами.

    • Индия CBSE

    • Индия ICSE

    • Общее ядро ​​США

    • IGCSE

    • Индия Махараштра

    • Индия Тамилнад

    • Индия Карнатака

    Тысячи учеников используют Learnhive, чтобы осваивать концепции и продвигаться в школе с нашим БЕСПЛАТНЫМ контентом.Зарегистрируйтесь, чтобы получать индивидуальные уроки и упражнения.

    Какие проблемы решает Learnhive?

    Мои дети не справляются с темпами изучения тем в классе

    Наша система обучения помогает вашим детям учиться в удобном для них темпе. Они могут повторять уроки сколько угодно раз.

    Мой ребенок хочет изучать только некоторые предметы

    Мы делаем обучение увлекательным и увлекательным, чтобы повысить уровень интереса вашего ребенка.С Learnhive вашему ребенку понравится изучать любой предмет.

    Мои дети делают глупые ошибки на школьных тестах

    Когда дети недостаточно тренировались, они склонны совершать глупые ошибки. Learnhive предлагает большое количество упражнений, которые помогут им уменьшить эти ошибки.

    Свяжитесь с нами

    Поставьте нам лайк на Facebook и получите еженедельный доступ к упражнениям.

    Матрицы

    Когда большинство людей думают о слове «матрица , », они, вероятно, думают о фильме 1999 года с Киану Ривзом в главной роли. Фильм касается только математической концепции матриц, поскольку зловещие компьютеры в фильме используют матрицы для работы, как и многие реальные компьютеры.

    Действительно, матрицы действительно находят применение в информатике , потому что они представляют собой удобный и компактный способ представления больших наборов чисел.Некоторые экономические теории также могут быть хорошо представлены с помощью матриц. В математике принципы матриц важны для теории графов и реального анализа.

    Это руководство начинается с рассмотрения небольших матриц , а именно матриц с двумя столбцами и двумя строками.

    Тема начинается с подробного описания их описания и выполнения операций с матрицами 2 × 2. Также объясняется, как эти концепции могут использоваться для представления информации.

    Вторая тема в этом руководстве обобщает информацию из первой части на все матрицы.Он заканчивается представлением стратегий сокращения строк для решения матриц и нескольких других более сложных тем, которые используются в других разделах математики.

    Введение в матрицы 2 × 2

    Матрица 2 × 2 имеет две строки и два столбца. У них есть некоторое сходство с таблицами, поскольку в них есть строки и столбцы, но есть существенные различия. Таблицы предназначены для графического отображения. Ими можно управлять, чтобы отображать информацию в определенном свете, но операции между таблицами не имеют смысла.

    С другой стороны, матрицы – это массив набора чисел. Между числами нет жесткого деления, как в таблице, и есть способы выполнять операции с использованием матриц.

    Операции с матрицами , однако, более сложны, чем основные математические операции, используемые для сложения, вычитания, умножения и деления отдельных членов или даже функций.

    Частично это связано с тем, что матрица обычно содержит много элементов (также известных как элементы), и операции обычно выполняются с другими матрицами, за исключением случая скалярного умножения.Однако можно складывать, вычитать, умножать и брать степени матриц с некоторыми ограничениями. Также возможно найти инверсию некоторых матриц.

    В этом разделе представлены эти концепции с матрицами 2 × 2 перед их обобщением для матриц любого размера в следующем разделе.

    Он начинается с описания матриц, а затем вводит операции сложения, вычитания, скалярного умножения и умножения матриц. Затем обсуждается единичная матрица 2 × 2, показанная выше, и ее свойства.В следующем разделе рассматриваются детерминанты и то, как их можно использовать, чтобы определить, есть ли у матрицы инверсия, и если да, то что это такое.

    Наконец, тема завершается способами математического использования матриц для представления информации.

    Введение в другие матрицы

    Концепции, представленные в первом разделе для матриц 2 × 2, могут быть распространены на другие матрицы. Технически матрица может иметь бесконечно много строк и столбцов, а матрица с m строками и n столбцами называется матрицей m x n (читается «m на n»).Представления общей матрицы обычно включают элементы с двумя нижними индексами.

    Первый представляет строку элемента, а второй представляет столбец элемента.

    Например, первый элемент в верхнем левом углу общей матрицы будет иметь индекс 11, а элемент в правом нижнем углу матрицы m x n будет иметь индекс mn, как показано на рисунке.

    Матрицы, используемые для представления информации по таким предметам, как информатика, могут быть огромными, хотя на самом деле они представляют собой сжатое и удобное представление.

    Хотя такие вещи, как умножение матриц, включают в себя множество шагов, существуют повторяющиеся алгоритмы, которые программы могут использовать для вычисления крупномасштабного умножения матриц.

    Этот раздел начинается с общего введения в матрицы и матричные операции. Затем обсуждается, как найти определители 2×2 и 3×3, прежде чем обобщать процесс для любой квадратной матрицы.

    Эта информация используется, чтобы объяснить, как упростить и найти инверсию таких матриц. В теме также рассказывается, как можно использовать обратное для решения систем уравнений, представленных с помощью матриц.Наконец, тема завершается объяснением методов сокращения строк и других применений матриц.

    Введение в матрицы

    Операции с матрицами

    Применения матриц

    Определитель матрицы

    Обратный к матрице

    Решите систему уравнений

    детерминанты

    Сложение и умножение матриц – Помощь домашнему заданию по математике

    Линейная алгебра – Матрицы: (урок 2 из 3)

    Сложение и умножение матриц

    Добавление матриц

    Обозначим сумму двух матриц $ A $ и $ B $. (той же размерности) на $ C = A + B.. $ Сумма определяется добавлением записей с такими же индексами

    $ c_ {ij} \ Equiv a_ {ij} + b_ {ij} $

    по всем $ i $ и $ j $.

    Пример:

    $ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ color {красный} {1} & \ color {синий} {2} \\ 3 & \ color {фиолетовый} {4} \ end {array}} \ right] + \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ color {красный} {5} & \ color {синий} {6} \\ 7 & \ color {фиолетовый} {8} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {\ color {красный} {1 + 5}} & {\ color {синий} {2 + 6}} \\ {3 + 7} & {\ color {фиолетовый} {4 + 8}} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 6 и 8 \\ {10} и {12} \ end {array}} \ right] $

    Вычитание матриц

    Аналогично производится вычитание.

    Пример:

    $ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ color {красный} {1} & \ color {синий} {2} \\ 3 & \ color {фиолетовый} {4} \ end {array}} \ right] – \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ color {красный} {5} & \ color {синий} {6} \\ 7 & \ color {фиолетовый} {8} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {\ color {красный} {1–5}} и {\ color {синий} {2–6}} \\ {3–7} & {\ color {фиолетовый} {4–8}} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {-4} & {- 4} \\ {-4} и {- 4} \ end {array}} \ right] $

    Скалярное умножение

    Чтобы умножить матрицу на действительное число, каждый элемент умножается на это число.

    Пример:

    $ \ color {красный} {5} \ cdot \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 1 и 2 и 3 \\ {- 1} & {- 2} & {- 3} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} {\ color {red} {5} \ cdot 1} & {\ color {red} {5} \ cdot 2} & {\ color {red} {5} \ cdot 3} \\ {\ color {red} {5} \ cdot (- 1)} & {\ color {red} {5} \ cdot (- 2)} & {\ color {red} {5} \ cdot (- 3)} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 5 & ​​{10} & {15} \\ {- 5} & {- 10} & {- 15} \ end {array}} \ right] $

    Умножение вектора-строки на вектор-столбец

    Это умножение возможно только в том случае, если вектор-строка и вектор-столбец имеют одинаковое количество элементов.Чтобы умножить строку на столбец, соответствующие элементы умножаются, а затем добавляются к результатам.

    Пример:

    $ \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ color {красный} {1} & \ color {синий} {2} & 3 \ end {array}} \ right]} _ {1 \ times \ color {blue} {3}} \ cdot \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ цвет {красный} {4} \\ \ цвет {синий} {5} \\ 6 \ end {array}} \ right]} _ {\ color {blue} {3} \ times 1} = \ color {red} {1 \ cdot 4} + \ color {blue} {2 \ cdot 5} + 3 \ cdot 6 = \ underbrace {22} _ {1 \ times 1} $

    Если вектор-строка и вектор-столбец имеют разную длину, их произведение равно , не определено .

    Пример:

    $ \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 1 и 2, 3 и 4 \ end {array}} \ right]} _ {1 \ times \ color {red} {4}} \ cdot \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 4 \\ 5 \\ 6 \ end {array}} \ right]} _ {\ color {red} {3} \ times 1} = \ color {red} {\ text {НЕ ОПРЕДЕЛЕННО}} $

    Произведение вектора-строки и матрицы

    Когда количество элементов в векторе-строке такое же, как количество строк во второй матрице, тогда эта матрица умножение может быть выполнено.

    Пример:

    $ \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ color {красный} {1} & \ color {красный} {2} & \ color {красный} {3} \ end {array}} \ right]} _ {1 \ times \ color {blue} {3}} \ cdot \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ color {синий} {2} & \ color {розовый} {1} & \ color {оранжевый} {3} \\ \ color {синий} {3} & \ color {розовый} {3} & \ color {оранжевый} {2} \\ \ color {синий} {4} & \ color {розовый} {1} & \ color {оранжевый} {2} \ end {array}} \ right]} _ {\ color {blue} {3} \ times 3} = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {\ color {red} {1} \ cdot \ color {blue} {2} + \ color {red} {2} \ cdot \ color {blue} {3} + \ color {red} {3} \ cdot \ цвет {синий} {4}} \\ {\ color {red} {1} \ cdot \ color {pink} {1} + \ color {red} {2} \ cdot \ color {pink} {3} + \ color {red} {3} \ cdot \ цвет {розовый} {1}} \\ {\ color {red} {1} \ cdot \ color {orange} {3} + \ color {red} {2} \ cdot \ color {orange} {2} + \ color {red} {3} \ cdot \ цвет {оранжевый} {2}} \ end {array}} \ right] = \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {20} \\ {10} \\ {13} \ end {array}} \ right]} _ {1 \ times 3} $

    Если количество элементов в векторе-строке НЕ совпадает с количеством строк во второй матрице, то их произведение равно , не определено .

    Пример:

    $ \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} \ color {красный} {1} & \ color {красный} {2} & \ color {красный} {3} \ end {array}} \ right]} _ {1 \ times \ color {red} {3}} \ cdot \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 1 и 3 и 5 \\ 2 и 4 и 6 \ end {array}} \ right]} _ {\ color {red} {2} \ times 3} = \ color {red} {\ text {НЕ ОПРЕДЕЛЕННО}} $

    Умножение матриц – общий случай

    Если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк во второй матрице, тогда матрица умножение может быть выполнено.

    Примеры

    Возможно умножение матрицы $ 2 \ times 3 $ на матрицу $ 3 \ times 2 $ , и это дает матрицу $ 2 \ times 2 $ в результате.

    $ \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} ? &? &? \\ ? &? &? \ end {array}} \ right]} _ {2 \ times \ color {blue} {3}} \ cdot \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} ? &? \\ ? &? \\ ? &? \ end {array}} \ right]} _ {\ color {blue} {3} \ times 2} = \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} ? &? \\ ? &? \ end {array}} \ right]} _ {2 \ times 2} $

    Умножение матрицы $ 2 \ times 3 $ на матрицу $ 2 \ times 3 $ равно not defined.

    $ \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} ? &? &? \\ ? &? &? \ end {array}} \ right]} _ {2 \ times \ color {red} {3}} \ cdot \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} ? &? &? \\ ? &? &? \ end {array}} \ right]} _ {\ color {red} {2} \ times 3} = \ color {red} {\ text {НЕ ОПРЕДЕЛЕННО}} $

    Вот пример умножения матриц для двух конкретных матриц

    Пример: найти продукт $ AB $, где $ A $ и $ B $ – матрицы:

    $ A = \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 1 и 3 и 5 \\ 2 и 4 и 6 \ end {array}} \ right] \ \ \ \ B = \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 3 и 6 \\ 1 и 4 \\ 5 и 2 \ end {array}} \ right] $

    Решение:

    Произведение $ AB $ определено, поскольку $ A $ – это матрица $ 2 \ times 3 $, а $ B $ – матрица $ 3 \ times 2 $.Ответ – матрица размером $ 2 \ times 2 $. Умножение делится на 4 шага.

    Шаг 1:

    Умножьте 1-ю строку первой матрицы и 1-й столбец второй матрицы, поэлементно. Результат будет в позиции (1, 1)

    $ \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} \ color {красный} {1} & \ color {красный} {3} & \ color {красный} {5} \\ 2 и 4 и 6 \ end {array}} \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} \ color {blue} {3} & 6 \\ \ color {blue} {1} & 4 \\ \ color {blue} {5} & 2 \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {\ color {red} {1} \ cdot \ color {blue} {3} + \ color {red} {3} \ cdot \ color {blue} {1} + \ color {red} {5} \ cdot \ цвет {синий} {5}} &? \\ ? &? \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {31} &? \\ ? &? \ end {array}} \ right] $

    Шаг 2:

    Теперь умножьте 1-ю строку первой матрицы и 2-й столбец второй матрицы.Результат будет в позиции (1, 2)

    $ \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} \ color {красный} {1} & \ color {красный} {3} & \ color {красный} {5} \\ 2 и 4 и 6 \ end {array}} \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 3 & \ color {синий} {6} \\ 1 & \ color {синий} {4} \\ 5 & ​​\ color {синий} {2} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 31 & {\ color {красный} {1} \ cdot \ color {blue} {6} + \ color {red} {3} \ cdot \ color {blue} {4} + \ color {red} {5} \ cdot \ цвет {синий} {2}} \\ ? &? \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {31} & {28} \\ ? &? \ end {array}} \ right] $

    Шаг 3:

    Затем умножьте 2-ю строку первой матрицы и 1-й столбец второй матрицы.Результат будет в позиции (2, 1)

    $ \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 1 и 3 и 5 \\ \ color {красный} {2} & \ color {красный} {4} & \ color {красный} {6} \ end {array}} \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} \ color {blue} {3} & 6 \\ \ color {blue} {1} & 4 \\ \ color {blue} {5} & 2 \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 31 и 28 \\ {\ color {red} {2} \ cdot \ color {blue} {3} + \ color {red} {4} \ cdot \ color {blue} {1} + \ color {red} {6} \ cdot \ цвет {синий} {5}} &? \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {31} & {28} \\ {40} &? \ end {array}} \ right] $

    Шаг 4:

    Наконец, умножьте 2-ю строку первой матрицы и 2-й столбец второй матрицы.Результат будет в позиции (2, 2)

    $ \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 1 и 3 и 5 \\ \ color {красный} {2} & \ color {красный} {4} & \ color {красный} {6} \ end {array}} \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} \ color {blue} {3} & 6 \\ \ color {blue} {1} & 4 \\ \ color {blue} {5} & 2 \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 31 и 28 \\ 40 & {\ color {красный} {2} \ cdot \ color {blue} {6} + \ color {red} {4} \ cdot \ color {blue} {4} + \ color {red} {6} \ cdot \ цвет {синий} {2}} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {31} & {28} \\ {40} и {40} \ end {array}} \ right] $

    Итак, результат:

    $ \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 1 и 3 и 5 \\ 2 и 4 и 6 \ end {array}} \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {* {20} {l}} 3 и 6 \\ 1 и 4 \\ 5 и 2 \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {31} & {28} \\ {40} и {40} \ end {array}} \ right] $

    Пример 2: Найдите произведение AB, где A и B – матрицы, заданные по формуле:

    $ A = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 2 и 1 \\ 3 и 5 \ end {array}} \ right] \ \ \ \ \ B = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {- 2} & 3 \\ 4 & {- 1} \ end {array}} \ right] $

    Решение:

    $ A \ cdot B = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 2 и 1 \\ 3 и 5 \ end {array}} \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {- 2} & 3 \\ 4 & {- 1} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {2 \ cdot (- 2) + 1 \ cdot 4} & {2 \ cdot 3 + 1 \ cdot (- 1)} \\ {3 \ cdot (- 2) + 5 \ cdot 4} и {3 \ cdot 3 + 5 \ cdot (- 1)} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} 0 и 5 \\ {14} и 4 \ end {array}} \ right] $

    .

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *