Ускорение касательное формула: КАСАТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ • Большая российская энциклопедия

Ускорение, теория и онлайн калькуляторы

Ускорение, теория и онлайн калькуляторы

Определение ускорения

Определение

Ускорение ($\overline{a}$) – это векторная физическая величина, показывающая как быстро изменяется скорость тела ($\overline{v}$).

Мгновенное ускорение (ускорение в определенный момент времени) – это величина равная:

\[\overline{a}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{v}}{\Delta t}\ }=\frac{d\overline{v}}{dt}=\dot{v}\left(t\right)\left(1\right).\]

Средним ускорением ($\left\langle a\right\rangle $) за промежуток времени $\Delta t=t_2-t_1$ называют физическую величину, равную отношению изменения скорости ($\Delta v=v_2-v_1$) в единицу времени:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac{\Delta v}{\Delta t}\left(2\right).\]

Единицей измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) является метр на секунду в квадрате:

\[\left[a\right]=\frac{м}{с^2}. \]

Направление вектора ускорения зависит от характера движения тела.

Ускорение при прямолинейном движении

Если материальная точка движется прямолинейно, то вектор ускорения направлен вдоль той же прямой, что и вектор скорости. Изменяется только величина скорости.

Переменное движение называют ускоренным, если скорость материальной точки постоянно увеличивается по модулю. При этом $a>0$, векторы ускорения и скорости сонаправлены.

Если скорость по модулю убывает, то движение называют замедленным ($a

Движение материальной точки называют равнопеременным, если движение происходит с постоянным ускорением ($\overline{a}=const$). При равнопеременном движении мгновенная скорость ($\overline{v}$) и ускорение материальной точки связаны выражением:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\ \left(3\right),\]

где ${\overline{v}}_0$ – скорость тела в начальный момент времени.

Ускорение материальной точки при криволинейном движении

При произвольном движении полное ускорение предпочтительно разложить на две компоненты: по направлению скорости (тангенциальная составляющая ускорения) и перпендикулярную составляющую к скорости (центростремительное) ускорение.

2_n}\left(7\right).\]

Полное ускорение имеет направление по секущей в сторону вогнутости траектории.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. По значениям, которые принимают нормальное и тангенциальное ускорения можно делать вывод о виде движения, которое совершает материальная точка. Определите, какое движение совершается точкой, если:

1) $a_n=0,$

2) $a_{\tau }=0;\ a_n=0,$

3) $a_{\tau }=0;\ a_n\ne 0,$

4) $a_{\tau }=0;\ a_n=const.$

Решение. 1)В том случае, если $a_n=0$, то скорость может изменяться только по величине, следовательно, движение прямолинейное.

2) Если $a_{\tau }=0;;\ a_n=0,$ направление скорости не изменяется ($a_n=0$), постоянна скорость и по модулю ($a_{\tau }=0$), значит, мы имеем дело с равномерным и прямолинейным движением.

3) Если $a_{\tau }=0;;\ a_n\ne 0$, то движение будет криволинейным, так как изменяется направление скорости ($a_n\ne 0$), но со скоростью постоянной по величине.

{t_2}_{t_1}{a_xdt}\left(2.2\right).\]

Из геометрического смысла интеграла, помним, что интеграл равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена функцией, стоящей под интегралом (у нас $a_x$), осью времени (в нашем случае) и прямыми $t=t_1$ (время начала движения) и $t=t_k\ \left(где\ t_k\ -конечное\ врямя\ движения\right).\ $ Максимальной площадь трапеции будет в точке 5. Следовательно, ускорение максимально в точке 5.

Ответ. Точка 5

Читать дальше: частота колебаний.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Вопрос № 8,9 Докажите формулы разложения ускорения по естественным осям координат. 9. Запишите формулы касательного и нормального ускорения точки и проведите их анализ.

Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 9Следующая ⇒ Вектор скорости точки можно представить в виде v=vt*t°.               (1) В правой части этого равенства с течением времени изменяются оба множителя: и проекция вектора скорости на касательную vт, и на­правление единичного вектора t°. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим dv dvx         d t° —- =—– – t° +vt  — dt dt              dt Первое слагаемое представляет собой вектор, направленный по касательной. Чтобы определить второе слагаемое, будем рас­сматривать вектор t° как функцию дуговой координаты s. Тогда     d t° Вектор ——- , входящий в равенство (3), всегда направлен в ds сторону вогнутости траектории точки и, как видно из рис. 2.13, лежит в соприкасающейся плоскости. Действительно, приращение вектора t° (см. рис. 2.13) Дл t° = t°1 – t° лежит в плоскости треугольника МАВ. Если точка М1 —> М, эта плоскость, вращаясь вокруг неподвижного вектора t°, стремится к предельному положению, т.е. к соприкасающейся плоскости. Далее, дифференцируя тождество t°* t° = 1 по s, получим   а это есть условие перпендикулярности векторов сомножителей. Таким образом, рассматриваемый вектор лежит в соприка­сающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен вектору t°. Следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны, т.е. по направлению орта п°. Поэтому Из треугольника МАВ находим модуль этого вектора Переходя в последнем равенстве к пределу при As—>0, найдем  поэтому Тогда окончательно                                            (6) Подставляя найденное выражение вектора из (6) в равенство (2) и учитывая что , получим (7) Формула (7) представляет собой разложение ускорения точки М по ортам естественного трехгранника. Составляющие вектора ускорения по направлениям т° и п° соответственно равны (рис. 2.14)  (8) Проекция ускорения на направление касательной (9) называется касательным, или тангенциальным ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль (10) называется нормальным ускорением. Так как ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль рав­на нулю. Модуль ускорения, на основании формул (9) – (10), будет Угол между вектором а и главной нормалью можно оп­ределить так: Анализ формул (9) и (10) показывает, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное ускорение — изменение скорости по направлению. Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. Если vt и аt одного знака, движение называется ускоренным, если же vt и аt разных знаков – замедленным. При аt = 0 движение равномерное. Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении (р = бескон-ть), в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, когда скорость точки обращается в нуль. В заключение отметим, что модули тангенциального и нормального ускорений также можно определить и в случае за­дания движения точки координатным способом. В самом деле, вспоминая определения модулей скаляр­ного и векторного произведений и представляя единичный вектор касательной, следующей формулой t°=v/|v|запишем Значения этих выражений определяются непосредствен­ным дифференцированием закона движения точки, заданного координатным способом. Вопрос № 10 ⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒ Читайте также:  Техника прыжка в длину с разбега Тактические действия в защите История Олимпийских игр История развития права интеллектуальной собственности 

Последнее изменение этой страницы: 2020-11-23; просмотров: 128; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь – 161.97.168.212 (0.006 с.)

Примеры решения задач

Пример 1. Дано уравнение движения точки: S = 0,36t² + 0,18t. Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые 3 секунды.

Решение

1. Уравнение скорости

S’ = 2 • 0,36t + 0,18; v = 0,72t + 0,18.

2. Скорость в конце третьей секунды (t = Зс) v₃ = 0,72 * 3 + 0,18 = 2,34м/с.

3.Средняя скорость V_ср = dS/dt = (0,36 • 3²+ 0,18 * 3)/3 = 1,26 м/с.

Пример 2. Точка движется по кривой радиуса г = 10 м соглас­но уравнению S = 2,5t² + 1,2t + 2,5 (рис. 9.6).

Определить полное ускорение точки в конце второй секунды движения и указать направление касательной и нормальной состав­ляющих ускорения в точке М.

Решение

1.Касательное ускорение определяется как a_t = dV/dt

Уравнение скорости: v = dS/dt

Скорость будет равна v = 2 * 2,5t + 1,2; v = 5t + 1,2 (м/с).

Касательное ускорение: а_t = v’ = 5 м/с².

Вывод: касательное ускорение не зависит от времени, оно посто­янно.

2. Нормальное ускорение: а_п = v²/r

Скорость на второй секунде будет равна v₂ = 5*2 + 1,2 = 11,2 м/с.

Величина нормального ускорения: а_п2 = (11,2)²/10 = 12,54 м/с² .

3. Полное ускорение:

Полное ускорение в конце второй секунды:

 

 

4. Нормальное ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Касательное ускорение направлено по касательной к кривой и совпадает с направлением скорости, т. к. касательное ускорение — положительная величина (скорость растет).

Пример 3. По дуге, равной ¹/₄ длины окружности радиуса г = 16м (рис. 1.110), из положения А₀ в положение A₁ движется точка согласно уравнению s = πt². Определить скорость точки в момент, когда она проходит середину длины дуги A₀A₁, и в момент достижения положения A₁.

Решение

 

1. Если длина дуги А₀А₁ равна ¹/₄ длины окружности, то середина дуги А находится от начала отсчета А₀ на расстоянии ¹/₈ окружности, т, е.

2. Из заданного уравнения движения s = πt² нахо­дим, что точка после начала движения достигает се­редины дуги через промежуток времени

3. Продифференцировав уравнение движения, най­дем уравнение скорости:

4. Подставив значение t = 2 с в уравнение скорос­ти, найдем

5. Проводим в точке А (середину дуги A₀A₁) касательную к траектории и изобразим вектор скорости v (рис. 1.110).

Скорость точки в конце траектории (в положении A₁) рекомендуется найти самостоятельно. (Ответ: 17,8 м/с.)

 

Пример 4.Для точки, движение которой рассматривалось в примере 3, определить ускорения а и a₁ соответственно для положений точки в А и A₁.

Решение

 

1. Точка движется согласно уравнению s = πt²; следовательно, v =2st и из формулы

 

модуль касательного ускорения от време­ни не зависит, значит при любом поло­жении точки на траектории ее касатель­ное ускорение a_t= 6,28 м/с².

2. Как известно из примера 1.19, в момент, когда точка занимает на траекто­рии положение А, ее скорость v = 4π = 12,6 м/с. Следовательно, в этот мо­мент значение нормального ускорения

3. Находим направление ускорения а точки в момент, когда она проходит положение A, используя третью из формул (рис. 1.113):

4. Находим модуль ускорения точки, используя первую из формул (1.90):

Рекомендуется самостоятельно проверить полученный результат по форму­ле (1.89), а затем найти модуль и направление ускорения точки в положении (Ответ: a_t=20,8 м/с²; а₁«72°30′.)

 

Контрольные вопросы и задания

 

1. Запишите в общем виде закон движения в естественной и ко­ординатной форме.

2. Что называют траекторией движения?

3. Как определяется скорость движения точки при естественном способе задания движения?

4. Запишите формулы для определения касательного, нормаль­ного и полного ускорений.

5. Что характеризует касательное ускорение и как оно направ­лено по отношению к вектору скорости?

6. Что характеризует и как направлено нормальное ускорение?

 

ЛЕКЦИЯ 10

---

Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 4769; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

---

Формула тангенциального ускорения: значение, примеры

• Автор Саурав_C
• Последнее изменение 04-10-2022

Формула тангенциального ускорения: При круговом движении частица может ускоряться или замедляться, или двигаться с постоянной скоростью. Когда частица движется по окружности, она всегда будет иметь ускорение по направлению к центру, называемое центростремительным ускорением (даже если движется с постоянной скоростью). Но в случае изменения скорости будет действовать тангенциальное ускорение в направлении или против направления скорости.

Например, автомобиль движется с ускорением по кривой дороге, а затем испытывает как тангенциальное, так и центростремительное ускорение. Знаете ли вы, что такое тангенциальное ускорение при круговом движении и как оно работает? В этой статье мы найдем выражение тангенциального ускорения, узнаем формулу ускорения и многое другое. Также найдем чистое ускорение при неравномерном круговом движении с помощью центростремительного и тангенциального ускорений. Прокрутите вниз, чтобы найти больше!

При равномерном круговом движении результирующая сила, действующая на объект, направлена ​​перпендикулярно движению объекта. Следовательно, это вызывает постоянное изменение направления, но величина скорости остается постоянной. Поэтому говорят, что объект ускоряется в направлении, которое указывает на центр кругового пути. Но что происходит, когда результирующая сила, действующая на объект, не перпендикулярна? В этом случае будут двухкомпонентные векторы силы, которые будут направлены перпендикулярно и параллельно вектору скорости.

Перпендикулярная составляющая силы заставит объект двигаться по окружности, создавая центростремительное ускорение , и параллельная составляющая силы заставит объект ускоряться по касательной, создав тангенциальное ускорение . Следовательно, объект будет совершать неравномерное круговое движение, поскольку изменятся как направление, так и величина скорости объекта.

Формула тангенциального ускорения

Тангенциальное ускорение — это мера того, насколько быстро изменяется скорость тела, когда объект движется по окружности. Рассмотрим частицу \((P)\) , который движется по окружности с радиусом \((r)\) и центром \(O,\) , как показано на рисунке ниже. Положение частицы \(P\) в данный момент может быть описано углом \(\theta\) между \(OP\) и \(OX.\). Этот угол \(\theta\) равен называется угловым положением частицы относительно \(OX,\) и изменяется по мере движения частицы по окружности. Предположим, что точка поворачивается на угол \(∆θ\) в интервале времени \(∆t.\). Скорость изменения углового положения известна как угловая скорость \(\left( \omega \right).\)

Таким образом, мы можем написать,

\(\omega = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac {{\Delta \theta}}{{\Delta t}} = \frac{{{\text{d}}\theta}}{{{\text{d}}t}}\)

Здесь \( \omega\) — угловая скорость или величина угловой скорости. Угловая скорость является векторной величиной. Направление \ (\ омега \) перпендикулярно плоскости окружности и может быть задано законом винта или правилом большого пальца правой руки.

Мы также можем записать линейную скорость как:

\(\vec v = \frac{{d\vec s}}{{dt}}\)  или \(\frac{{d\vec r}}{ {dt}}\)

А, величина линейной скорости называется линейной скоростью \((v).\) Таким образом, мы можем написать

\(v = |\vec v| = \mid \frac {{d\vec s}}{{dt}}\;{\rm{or}}\;\frac{{d \vec r}}{{dt}}\mid \)

Связь между линейной скоростью и Угловая скорость

Из приведенного выше рисунка линейное расстояние \(PP’\), пройденное частицей за время \(∆t\) равно

\(\Delta s = r\Delta \theta \)

\( \Rightarrow \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = r\frac{{\Delta \theta }}{{\Delta t}}\)

\( \Стрелка вправо \frac{{ds}}{{dt}} = r\frac{{d\theta}}{{dt}}\)

\ ( \Rightarrow v = r\omega ……. .\left( 1 \right)\)

Как и скорость, частица при круговом движении имеет два ускорения: угловое и линейное. Где угловое ускорение \(\left( \alpha \right)\) – скорость изменения угловой скорости. Таким образом, мы можем написать, что 92}}}\)

Угловое ускорение \(\left( \alpha \right)\) также является векторной величиной. Направление \(\left( \alpha \right)\) также перпендикулярно плоскости окружности, параллельно или антипараллельно \(\omega .\) Если угловая скорость частицы увеличивается, то \( \left( \alpha \right)\) параллелен \(\omega \) и если угловая скорость уменьшается, то \(\left( \alpha \right)\) антипараллелен \(\omega .\) Если угловая скорость (или угловая скорость) постоянна, то угловое ускорение будет равно нулю.

Связь между тангенциальной составляющей линейного ускорения и угловым ускорением может быть получена путем дифференцирования уравнения \((1)\) по времени. Скорость изменения скорости

\({a_t} = \frac{{d|\vec v|}}{{dt}}\)

\({a_t} = \frac{{d(r\) omega )}}{{dt}} = r\frac{{d\omega }}{{dt}}\)

\({a_t} = r\alpha ……. .\left( 2 \right)\ )

Где, 

\(r=\)Радиус окружности,

\(\alpha = \)Угловое ускорение.

Эта составляющая ускорения в тангенциальном направлении называется тангенциальным ускорением \(\left( {{a_t}} \right).\) Эта составляющая отвечает за изменение линейной скорости. Если скорость частицы постоянна, то \({a_t}\) равно нулю. Если скорость увеличивается, то это положительно и в направлении линейной скорости. Эта составляющая будет отрицательной и направлена ​​в сторону, противоположную линейной скорости, если скорость уменьшается.

92}\)

Чистое ускорение: Тангенциальное ускорение направлено по касательной к окружности, тогда как центростремительное ускорение направлено в радиальном направлении окружности, направленной внутрь к центру. Эти две составляющие взаимно перпендикулярны, как показано на рисунке ниже. Таким образом, частица в круговом движении, имеющая центростремительное ускорение, а также тангенциальное ускорение, имеет чистое ускорение , равное их векторной сумме, которая определяется как:

9{ – 2}}. \)

Сводка

При равномерном круговом движении частица, совершающая круговое движение, имеет постоянную скорость, а окружность имеет фиксированный радиус, но скорость частицы меняется (не постоянна) тогда будет дополнительное ускорение, которое является тангенциальным ускорением, которое действует в направлении, касательном к окружности. Тангенциальное ускорение определяется как скорость изменения величины тангенциальной скорости частицы при круговом движении, а его направление находится в направлении касательной к круговой траектории.

Формула тангенциального ускорения задается как \({a_t} = r\alpha .\) Вектор тангенциального ускорения и вектор центростремительного ускорения взаимно перпендикулярны. Векторная сумма тангенциального и центростремительного ускорений дает чистое ускорение частицы . т. е. \(\left( {\vec a = \overrightarrow {{a_r}} + \overrightarrow {{a_t}} } \right).\)

Часто задаваемые вопросы по формуле тангенциального ускорения

Учащиеся могут ознакомиться с приведенными ниже часто задаваемыми вопросами. по формуле тангенциального ускорения:

Q1. Что вы понимаете под тангенциальным ускорением?
Ответ: Скорость изменения скорости частицы на круговом пути называется тангенциальным ускорением. Он равен произведению углового ускорения \({\left(\alpha \right)}\) и радиуса \((r)\) кругового пути. то есть \(\left({{a_t} = r\alpha} \right).\)

Q2. Какова формула центростремительного ускорения и тангенциального ускорения?
92}.\)

Q3. В каком направлении действует тангенциальное ускорение?
Ответ: Тангенциальное ускорение действует в направлении касательной в точке кругового движения. Его направление всегда перпендикулярно центростремительному ускорению вращающегося объекта.

Q4. Какая сила вызывает тангенциальное ускорение?
Ответ: Тангенциальная составляющая силы создаст тангенциальное ускорение, которое заставит объект ускоряться по касательной. Затем объект будет совершать неравномерное круговое движение, поскольку изменяются как направление, так и величина скорости объекта.

Q5. Приведите примеры как центростремительного, так и тангенциального ускорения.
Ответ: Предположим, вы держите нить, к концу которой привязан камень. Теперь, когда вы начнете вращать его, вы заметите, что две силы должны быть приложены одновременно. Один тянет нить внутрь, а другой отбрасывает ее в сторону или по касательной. Обе эти силы будут генерировать соответствующие ускорения. Однонаправленный внутрь будет генерировать центростремительное или радиальное ускорение, а направленный вбок – тангенциальное ускорение.

Q6. Что такое центростремительное ускорение?
Ответ: Центростремительное ускорение можно определить как компонент ускорения в радиальном направлении (к центру).

Q7. В чем разница между центростремительным и тангенциальным ускорением?
Ответ: Тангенциальное ускорение направлено по касательной к окружности, тогда как центростремительное ускорение направлено в радиальном направлении окружности внутрь к центру.

Мы надеемся, что эта статья о формуле тангенциального ускорения окажется для вас полезной. В случае возникновения каких-либо вопросов, вы можете связаться с нами в разделе комментариев, и мы постараемся их решить.

10.3 Связь угловых и поступательных величин

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Учитывая линейное кинематическое уравнение, написать соответствующее уравнение кинематического вращения
• Расчет линейных расстояний, скоростей и ускорений точек вращающейся системы с учетом угловых скоростей и ускорений

В этом разделе мы связываем каждую из вращательных переменных с поступательными переменными, определенными в Движении вдоль прямой линии и Движении в двух и трех измерениях. Это завершит нашу способность описывать вращения твердого тела.

Угловые и линейные переменные

В разделе «Переменные вращения» мы ввели угловые переменные. Если мы сравним определения вращения с определениями линейных кинематических переменных из «Движения по прямой линии» и «Движения в двух и трех измерениях», мы обнаружим, что имеет место отображение линейных переменных во вращательные. Линейное положение, скорость и ускорение имеют свои вращательные аналоги, как мы можем видеть, когда запишем их рядом:

	Линейный	Ротационный
Позиция	х	[латекс] \тета [/латекс]
Скорость	[латекс] v=\frac{dx}{dt} [/латекс]	[латекс] \omega =\frac{d\theta}{dt} [/латекс]
Ускорение	[латекс] a=\frac{dv}{dt} [/латекс]	[латекс] \alpha =\frac{d\omega }{dt} [/латекс]

Давайте сравним линейные и вращательные переменные по отдельности. Линейная переменная положения имеет физические единицы измерения метры, тогда как переменная углового положения имеет безразмерные единицы измерения радианы, как видно из определения [латекс] \тета =\фрак{с}{г} [/латекс], которое есть отношение двух длин. Линейная скорость измеряется в м/с, а угловая скорость — в рад/с. В разделе «Вращательные переменные» мы видели, что в случае кругового движения линейная тангенциальная скорость частицы на радиусе r от оси вращения связано с угловой скоростью соотношением [латекс] {v}_{\text{t}}=r\omega [/латекс]. Это также может относиться к точкам на твердом теле, вращающемся вокруг фиксированной оси. Здесь мы рассматриваем только круговое движение. При круговом движении, как равномерном, так и неравномерном, существует центростремительное ускорение (движение в двух и трех измерениях). Вектор центростремительного ускорения направлен внутрь от частицы, совершающей круговое движение, к оси вращения. Вывод величины центростремительного ускорения дан в «Движении в двух и трех измерениях». Из этого вывода было найдено, что величина центростремительного ускорения равна 9{2}}{r}, [/latex]

, где r — радиус окружности.

Таким образом, при равномерном круговом движении, когда угловая скорость постоянна, а угловое ускорение равно нулю, мы имеем линейное ускорение, то есть центростремительное ускорение, поскольку тангенциальная скорость на (рис.) постоянна. Если присутствует неравномерное круговое движение, вращающаяся система имеет угловое ускорение, и мы имеем как линейное центростремительное ускорение, которое изменяется (поскольку [латекс] {v}_{\text{t}} [/латекс] изменяется), так и а также линейный тангенциальное ускорение . Эти соотношения показаны на (Рисунок), где показаны центростремительные и тангенциальные ускорения для равномерного и неравномерного кругового движения.

Рисунок 10.14 (a) Равномерное круговое движение: вектор центростремительного ускорения [латекс] {а}_{\текст{с}} [/латекс] направлен внутрь к оси вращения. Тангенциальное ускорение отсутствует. (b) Неравномерное круговое движение: угловое ускорение создает внутреннее центростремительное ускорение, которое изменяется по величине, плюс тангенциальное ускорение [латекс] {а} _ {\ текст {т}} [/латекс].

Центростремительное ускорение связано с изменением направления тангенциальной скорости, тогда как тангенциальное ускорение связано с любым изменением величины тангенциальной скорости. Векторы тангенциального и центростремительного ускорения text{c}} [/latex] всегда перпендикулярны друг другу, как показано на (рис.). Чтобы завершить это описание, мы можем назначить общее линейное ускорение вектор в точку вращающегося твердого тела или частицы, совершающей круговое движение на радиусе r от неподвижной оси. Вектор полного линейного ускорения [латекс] \overset{\to }{a} [/latex] представляет собой векторную сумму центростремительного и тангенциального ускорений,

[латекс] \overset{\to }{a}={\overset {\to }{a}}_{\text{c}}+{\overset{\to }{a}}_{\text{t}}. [/latex]

Вектор полного линейного ускорения в случае неравномерного кругового движения указывает на угол между центростремительным и тангенциальным векторами ускорения, как показано на (Рисунок). Поскольку [латекс] {\overset{\to }{a}}_{\text{c}}\perp {\overset{\to }{a}}_{\text{t}} [/latex], величина полного линейного ускорения равна 9{2}}. [/latex]

Обратите внимание, что если угловое ускорение равно нулю, полное линейное ускорение равно центростремительному ускорению.

Рисунок 10.15 Частица совершает круговое движение и имеет угловое ускорение. Полное линейное ускорение частицы представляет собой векторную сумму векторов центростремительного и тангенциального ускорений. Вектор полного линейного ускорения находится под углом между центростремительным и тангенциальным ускорениями.

Связь между вращательным и поступательным движением

Мы можем рассмотреть две зависимости между вращательным и поступательным движением.

1. Вообще говоря, уравнения линейной кинематики имеют свои аналоги вращения. (Рисунок) перечисляет четыре линейных кинематических уравнения и соответствующий вращательный аналог. Два набора уравнений выглядят похожими друг на друга, но описывают две разные физические ситуации, то есть вращение и перенос.
   {2} [/латекс] 9{2}+2a(\text{Δ}x) [/латекс]
2. Второе соответствие имеет отношение к линейным и вращательным переменным в частном случае кругового движения. Это показано на (Рисунок), где в третьем столбце мы перечислили связующее уравнение, которое связывает линейную переменную с вращательной переменной. Вращательные переменные угловой скорости и ускорения имеют нижние индексы, указывающие на их определение в круговом движении.
   9{2}}{r} [/латекс]

   Вращательные и поступательные величины: круговое движение

   Ротационный	Трансляционное	Связь ([латекс] r=\text{радиус} [/латекс])
   [латекс] \тета [/латекс]	с	[латекс] \theta =\frac{s}{r} [/латекс]
   [латекс] \омега [/латекс]	[латекс] {v}_{\text{t}} [/латекс]	[латекс] \omega =\frac{{v}_{\text{t}}}{r} [/латекс]
   [латекс] \альфа [/латекс]

Пример

Линейное ускорение центрифуги

Центрифуга имеет радиус 20 см и ускоряется от максимальной скорости вращения 10 000 об/мин до остановки за 30 секунд при постоянном угловом ускорении. Он вращается против часовой стрелки. Какова величина полного ускорения точки на кончике центрифуги при [латексе] t=29,0\текст{с?} [/латекс] Каково направление вектора полного ускорения?

Стратегия

Имея предоставленную информацию, мы можем рассчитать угловое ускорение, что затем позволит нам найти тангенциальное ускорение. Мы можем найти центростремительное ускорение в [латекс] t=0 [/латекс], рассчитав тангенциальную скорость в это время. Зная величины ускорений, мы можем вычислить общее линейное ускорение. Из описания вращения в задаче можно набросать направление вектора полного ускорения.

Решение 9{2})(29.0\,\text{s})\hfill \\ & =1047.2\,\text{rad}\text{/}\text{s}-1012.71=35.1\,\text{rad}\ text{/}\text{s}.\hfill \end{array} [/latex]

Таким образом, тангенциальная скорость в [latex] t=29,0\,\text{s} [/latex] равна

[ латекс] {v}_{\text{t}}=r\omega =0,2\,\text{m}(35,1\,\text{rad}\text{/}\text{s})=7,0\, \текст{м}\текст{/}\текст{с}. [/latex]

Теперь мы можем рассчитать центростремительное ускорение при [латексе] t=29,0\,\текст{с} [/латекс]:

[латекс] {а}_{\текст{с}}=\ frac{{v}^{2}}{r}=\frac{{(7. {2}. [/латекс] 9{-1}\frac{-7.0}{245.0}=-1.6\text{°}. [/latex]

Знак минус означает, что вектор полного ускорения наклонен в направлении по часовой стрелке.

Рисунок 10.16 Векторы центростремительного, тангенциального и полного ускорения. Центрифуга замедляется, поэтому тангенциальное ускорение направлено по часовой стрелке, против направления вращения (против часовой стрелки).

Значение

Из (рис.) видно, что вектор тангенциального ускорения противоположен направлению вращения. Величина тангенциального ускорения намного меньше центростремительного ускорения, поэтому вектор полного линейного ускорения будет составлять очень маленький угол по отношению к вектору центростремительного ускорения.

Проверьте свои знания

Мальчик прыгает на карусели радиусом 5 м, которая находится в состоянии покоя. Он начинает разгоняться с постоянной скоростью до угловой скорости 5 рад/с за 20 секунд. Какое расстояние прошёл мальчик?

Показать раствор

Проверьте эту симуляцию PhET, чтобы изменить параметры вращающегося диска (начальный угол, угловая скорость и угловое ускорение) и разместить жуков на разных радиальных расстояниях от оси. Затем симуляция позволяет вам исследовать, как круговое движение связано с 9 ошибками.0025 xy – положение, скорость и ускорение с использованием векторов или графиков.

Резюме

• Линейные кинематические уравнения имеют свои аналоги вращения, так что существует отображение [латекс] х\к \тета, v\к \омега, а\к \альфа [/латекс].
• Система, совершающая равномерное круговое движение, имеет постоянную угловую скорость, но точки на расстоянии r от оси вращения имеют линейное центростремительное ускорение.
• Система, совершающая неравномерное круговое движение, имеет угловое ускорение и, следовательно, имеет как линейное центростремительное, так и линейное тангенциальное ускорение в точке на расстоянии 9{2}} [/латекс].

Концептуальные вопросы

Объясните, почему центростремительное ускорение изменяет направление скорости при круговом движении, но не ее величину.

Показать раствор

При круговом движении тангенциальное ускорение может изменить величину скорости, но не ее направление. Поясните свой ответ.

Предположим, что кусок пищи находится на краю вращающейся плиты микроволновой печи. Испытывает ли он ненулевое тангенциальное ускорение, центростремительное ускорение или и то, и другое, когда: (а) пластина начинает вращаться быстрее? б) Пластина вращается с постоянной угловой скоростью? в) Пластинка останавливается?

Показать решение

Проблемы

На пике торнадо имеет диаметр 60,0 м и скорость ветра 500 км/ч. Какова его угловая скорость в оборотах в секунду?

Мужчина стоит на карусели, вращающейся со скоростью 2,5 рад/с. Если коэффициент статического трения между туфлями человека и каруселями равен [латекс] {\ mu }_{\text{S}}=0,5 [/латекс], на каком расстоянии от оси вращения он может стоять без скольжения?

Показать раствор

Ультрацентрифуга разгоняется из состояния покоя до 100 000 об/мин за 2,00 мин. (a) Каково среднее угловое ускорение в [латекс] {\text{рад/с}}^{2} [/латекс]? б) Каково тангенциальное ускорение точки 9?{2} [/latex] и кратно г этой точки при полных оборотах? г) Какое полное расстояние проходит точка на расстоянии 9,5 см от оси вращения ультрацентрифуги?

Ветродвигатель вращается против часовой стрелки со скоростью 0,5 об/с и останавливается за 10 с. Его лопасти имеют длину 20 м. а) Чему равно угловое ускорение турбины? (б) Каково центростремительное ускорение кончиков лопастей в [латекс] t=0\,\text{s?} [/латекс] (в) Каковы величина и направление полного линейного ускорения кончиков лопастей в [латекс] t=0\,\text{s?} [/латекс]

Показать решение

Чему равна (а) угловая скорость и (б) линейная скорость точки на поверхности Земли на широте [latex] 30\text{°} [/latex] N. Примем радиус Земли равным 6309 км . в) На какой широте ваша линейная скорость будет равна 10 м/с?

Ребенок массой 30 кг сидит на краю карусели на расстоянии 3,0 м от оси ее вращения. Карусель разгоняется из состояния покоя до 0,4 об/с за 10 с. Если коэффициент трения покоя между ребенком и поверхностью карусели равен 0,6, упадет ли ребенок за 5 с?

Показать решение

Велосипедное колесо радиусом 0,3 м вращается из состояния покоя до 3 об/с за 5 с. Каковы модуль и направление вектора полного ускорения на краю колеса через 1,0 с?

Угловая скорость маховика радиусом 1,0 м изменяется согласно [латекс] \omega (t)=2,0t [/латекс]. Участок [латекс] {а} _ {\ текст {с}} (т) \, \ текст {и} \, {а} _ {\ текст {т}} (т) [/ латекс] из [латекс] t =\text{0–3,0 с} [/latex] для [латекса] r=1,0\,\text{m} [/latex]. Проанализируйте эти результаты, чтобы объяснить, когда [латекс] {a}_{\text{c}}\gg {a}_{\text{t}} [/latex] и когда [латекс] {a}_{\text{ c}}\ll {a}_{\text{t}} [/latex] для точки на маховике радиусом 1,0 м.

Показать решение

Глоссарий

полное линейное ускорение

векторная сумма вектора центростремительного ускорения и вектора тангенциального ускорения

Задачи и примеры — Lambda Geeks

В этой статье мы обсудим, как найти тангенциальное ускорение от различных вращательных движений, решая некоторые задачи с примерами.

Тангенциальное ускорение представляет собой изменение тангенциальной скорости объекта на круговой траектории, перпендикулярной центростремительной силе, действующей внутрь.

Как найти тангенциальное ускорение из угловой скорости?

Рассчитав изменение переменной угловой скорости во времени, мы можем найти угловое ускорение и, таким образом, тангенциальное ускорение объекта.

Тангенциальное ускорение можно определить, измерив разницу между тангенциальной скоростью, которая равна произведению угловой скорости на радиус кругового пути, пройденного объектом.

Рассмотрим объект, движущийся с угловой скоростью ω по круговой траектории радиуса «r».

Пусть «s» будет смещением объекта во времени «t», а «θ» будет углом, образованным из-за смещения объекта. Следующий рисунок представляет то же самое.

По геометрии длина дуги s окружности, охваченной объектом за время t, будет равна

s = rθ — (1)

Здесь в приведенном выше уравнении есть две переменные. Местоположение объекта смещается по круговой траектории, составляющей угол θ в диапазоне 0-360 ⁰ . Следовательно, мы можем переписать приведенное выше уравнение как

Δs=rΔθ

. Разделив обе стороны на переменную времени, мы получим объект между двумя интервалами времени. Это то же самое, что v=Δs/Δt}; а угловое смещение объекта при изменении времени равно угловой скорости объекта. Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид

v=rω —(2)

Где v — тангенциальная скорость

Если ω — угловая скорость объекта, то угловое ускорение объекта будет

α =Δω/ Δt—(3)

Где α – угловое ускорение объекта.

Тангенциальное ускорение частицы — это изменение радиальной скорости объекта во времени, изменяющееся по мере изменения направления скорости.

Приведенное выше уравнение показывает взаимосвязь между тангенциальным ускорением и угловой скоростью объекта. Тангенциальное ускорение равно отношению изменения угловых скоростей объекта во времени и прямо пропорционально радиусу кругового пути, пройденного объектом.

Подробнее об угловом ускорении.

Как найти тангенциальное ускорение при круговом движении?

Центростремительная сила удерживает объект в круговом движении, а направление тангенциальной скорости остается перпендикулярным этой силе.

Тангенциальное ускорение при круговом движении — это изменение скорости, вызванное изменением направления углового ускорения объекта.

Рассмотрим объект, движущийся по кругу под действием силы, равной центростремительной силе.

F=F _c

Пусть «r» — радиус окружности, а v и a — радиальная скорость и радиальное ускорение соответственно.

ma=mv ² /r

a=v ² /r —(6)

Подставив уравнение (2) в приведенное выше уравнение, мы получим

a=rω ^{2 (7} )

Это радиальное ускорение объекта, а тангенциальное ускорение объекта будет

a _t =dv/dt=rdω/dt=rα

Где ω — угловая скорость, а

α — угловое ускорение объекта

Полное ускорение объекта при круговом движении будет векторной суммой тангенциального ускорения и радиального ускорения.

А также,

Следовательно,

Как найти тангенциальное ускорение без учета времени?

Тангенциальное ускорение зависит от углового ускорения объекта.

Тангенциальное ускорение — это коэффициент изменения тангенциальной скорости, возникающей из-за изменения направления пути объекта во времени.

Ссылаясь на приведенное выше уравнение № (5), мы можем записать

a _t =rα—(10)

Это уравнение показывает связь между тангенциальным ускорением и угловым ускорением объекта, не зависящим от времени .

Как найти тангенциальное ускорение маятника?

Маятник колеблется в гармоническом движении, образуя угол θ по длине струны.

Возвращающая сила, действующая на струну, возвращает маятник в исходное положение, действующее по касательной к дуге. На его основе можно найти тангенциальное ускорение маятника.

Рассмотрим маятник в СГМ. Нить длиной L прикреплена к грузу массой m. Пусть «s» будет смещением боба из-за гармонического движения.

По длине струны действует сила, равная mgCosθ, которая компенсируется натяжением струны. Возвращающая сила, действующая на груз, определяется выражением

F=-mgSinθ

ma=-mgSinθ

Для малых углов

a = gθ

длина строки.

θ = s/L

Таким образом, приведенное выше уравнение принимает вид

a=gs/L

Тангенциальное ускорение маятника равно ускорению под действием силы тяжести и перемещению груза на длину нити.

Как найти тангенциальное ускорение с учетом времени?

Тангенциальная скорость будет увеличиваться со временем, если скорость тангенциального ускорения положительна.

Тангенциальное ускорение можно рассчитать, найдя разницу в радиальной скорости объекта, которая, очевидно, меняется, поскольку направление объекта с угловой скоростью продолжает меняться со временем.

Это определяется по формуле

a _t =dv _t /dt

Где v _t — радиальная скорость

Подробнее о том, как найти ускорение на графике скорости во времени: задачи и примеры.

Часто задаваемые вопросы

Задача 1: Объект движется с ускорением по окружности радиусом 10 м. Угловая скорость объекта увеличивается до 6 м/с с 4 м/с между временными интервалами в 4 секунды. Вычислите тангенциальное ускорение тела.

Дано: R = 10M

ω ₁ = 4 м/с

ω ₂ = 6 м/с

ΔT = 4 с

Поэтому тангально -счетное актуальное значение –

= 10. -4)/4

=10 x 2/4=5 м/с ²

Следовательно, тангенциальное ускорение объекта равно 5 м/с ² .

Задача 2. Рассчитайте тангенциальное ускорение и угловое ускорение мяча, движущегося по круговой траектории радиусом 5 метров со скоростью от 2 м/с до 4 м/с за 4 секунды.