В математике производное это: Производная — что это такое? Определение, значение, перевод

в математике производная это

Вы искали в математике производная это? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и в математике производное это, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «в математике производная это».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как в математике производная это,в математике производное это,дайте определение производной функции,значение производной как найти,значение производной функции,значение функции и значение производной функции,значения производной функции,как найти значение производной,как определить знак производной функции,определение производная функции,первая производная функции показывает,понятие производной,понятие производной функции,понятие функции производной функции,производная в математике,производная в математике это,производная для чего нужна,производная объяснение,производная определение,производная простыми словами,производная смысл,производная теория,производная функции в точке,производная функции это,производная функции это понятным языком,производная функция что такое,производная функция это,производная что это,производная это,производная это в математике,производная это что такое,производное,производное в математике это,производное это в математике,производные что такое,производные что это,скорость изменения функции производная функции,смысл производная,смысл производной,тема производная,что называется производной функции,что такое производная в математике простыми словами.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и в математике производная это. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, дайте определение производной функции).

Решить задачу в математике производная это вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Применение производной в различных областях науки

Министерство образования Саратовской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области «Энгельсский политехникум»

 

 

 

 

 

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В РАЗНИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ НАУКИ

 

 

 

 

Выполнила: Саркулова Нургуля Сергеевна

                                                          студентка группы КШИ-216/15

                                              (Конструирование, моделирование и

                                    технология швейных изделий)

 

                            Научный руководитель:

                                     Вербицкая Елена Вячеславовна

                                                  преподаватель математики ГАПОУ СО

                                  «Энгельсский политехникум»

 

 

 

 

 

 

2016

Введение

 

       Роль математики в различных областях естествознания очень велика.

Недаром говорят «Математика – царица наук, физика ее правая рука, химия – левая».

Предмет исследования – производная.

Ведущая цель –  показать значимость производной не только в математике, но и в других науках, её важность в современной жизни.

        Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке.  Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.

        Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Ключевой и тематический вопросы данного реферата: 

1. История возникновения производной.

2. Зачем изучать производные функций?

3. Где используются производные?

4. Применение производных в физике, химии, биологии и других науках.

5. Выводы

       Я решила написать работу на тему «Применение производной в различных областях науки», потому что считаю эту тему очень интересной, полезной  и актуальной.

В своей работе я расскажу о применении дифференцирования в различных областях науки, таких как химия, физика, биология, география и т. д. Ведь все науки неразрывно связаны между собой, что очень хорошо видно на примере рассматриваемой мною темы.

 

Применение производной в различных областях науки

    

       Из курса алгебры старших классов мы уже знаем, что производная – это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

 

Действие нахождения производной называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

   

     Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику,  физику, философу Лейбницу. 

Ньютон ввел понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Физический смысл производной: производная функции y=f(x) в точке x₀ – это скорость изменения функции f(x) в точке x

0.

 

Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

Геометрический  смысл производной состоит в том, что производная функция в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

Термин производная и современные обозначения y’  , f ‘    ввёл  Ж.Лагранж в 1797г.

 

Российский математик 19 века Панфутий Львович Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

 

С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:

·        Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;

·        Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

·        Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

 

      При изучении любой темы у учеников возникает вопрос: «Зачем нам это надо?» Если ответ удовлетворит любопытство, то можно говорить о заинтересованности учеников. Ответ для темы «Производная»  можно получить, зная, где используются производные функций. 

Чтобы ответить на этот вопрос, можно перечислить некоторые дисциплины и их разделы, в которых применяются производные.

 

Производная в алгебре:

1. Касательная к графику функции  

Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке x_о, – это прямая, проходящая через точку (x_о; f(x_о)) и имеющая угловой коэффициент f ′(x_о).

 

 y = f(x_о) + f ′(x_о) (x – x_о)

 2. Поиск промежутков возрастания и убывания функции

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых  и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых  и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

3.  Поиск точек экстремума функции

Точку  называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку  называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки  понимают интервал , где  – достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

 4. Поиск промежутков выпуклости и вогнутости функции

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Точкой перегиба графика функции  называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

5.  Поиск точек изгиба функции

 

 

 

 

Производная в физике:

 1. Скорость как производная пути

 2. Ускорение как производная скорости  a =

3. Скорость распада радиоактивных элементов    = – λN

 

А так же в  физике производную применяют для вычисления:

Скорости материальной точки

Мгновенной скорости как физический смысл производной

=				– мгновенная скорость, м/с   – перемещение тела, м   ( если Δt→0 )  Δt – стремящийся к нулю интервал времени, с
	Δt

 

Мгновенное значение силы переменного тока

Мгновенное значение ЭДС электромагнитной индукции

Максимальную мощность

 

Производная в химии:

И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.

Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать  во многих областях научно-производственной деятельности.  V (t) = p ‘(t)

Понятие на языке химии	Обозначение	Понятие на языке математики
Количество в-ва в момент времени t0	p = p(t 0)	Функция
Интервал времени	∆t = t– t0	Приращение аргумента
Изменение количества в-ва	∆p= p(t0+ ∆ t ) – p(t0)	Приращение функции
Средняя скорость химической реакции	∆p/∆t	Отношение приращёния функции к приращёнию аргумента

 

Производная в биологии:

     Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Р = х‘ (t)

 

Производная в географии:

Производная помогает рассчитать:

1. Некоторые значения в сейсмографии

2. Особенности электромагнитного поля земли

3. Радиоактивность ядерно- геоифзичексих показателей

4.Многие значения в экономической географии

5.Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.   

 у’= к у

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t) .Модель Мальтуса неплохо действовала  для описания численности населения  США с 1790 по 1860 годы.  Ныне эта модель  в большинстве стран не действует

 

Производная в электротехнике:

В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В   цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

В электротехнике в основном используется работа переменного тока.

Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.

Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

 

Производная в экономике:

Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление – аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.

Производная в экономике решает важные вопросы:

1. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?

2. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при увеличение цены на её продукцию?

Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.

Также с помощью экстремума функции  (производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.

 

ВЫВОД: производная успешно применяется при  решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни

   Как видно из вышеперечисленного применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что изучение темы: «Производная функции» будет иметь своё применение в других темах и предметах.

Мы убедились в важности изучения темы “Производная”, ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.

  В заключении я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

                             

Список используемой литературы:

1. Богомолов Н.В., Самойленко И.И.  Математика.  – М.: Юрайт, 2015.

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А, Элементы высшей математики. – М.: Академия, 2014.

3. Баврин И.И. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 2013.

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2013.

5. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. – М.: Дрофа, 2013.

6. Рыбников К.А. История математики, «Издательство Московского университета», М, 1960.

7. Виноградов Ю. Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В. – М.: Издательский центр «Академия», 2010

     8. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. – М.: Издательский центр «Академия», 2016

 

Периодические источники:

Газеты и журналы: «Математика», «Открытый урок»

 

Использование ресурсов сети Интернет, электронных библиотек:

https://ru.wikipedia.org/wiki

http://dic.academic.ru/

http://urokmatem.ru

www:egetutor.ru

matematika-na5.norod.ru

 

 

 

 

Производные (математика) Факты для детей

Детская энциклопедия Факты

Другие значения этого термина см. в разделе Производные.

Функция (черный) и тангенс (красный). Производная в точке есть наклон касательной.

В математике (особенно в дифференциальном исчислении) производная — это способ показать мгновенную скорость изменения, то есть величину, на которую функция изменяется в данной точке. Для функций, которые действуют на действительные числа, это наклон касательной в точке на графике. Производная часто записывается как («dy over dx», что означает разность по у, деленная на разность по х). d не является переменной и поэтому не может быть отменено. Другое распространенное обозначение — производная функции в точке .

Содержание

• Определение производной
• Производные функций
  • Линейные функции
  • Силовые функции
  • Экспоненциальные функции
    • Пример 1
    • Пример 2
  • Логарифмические функции
  • Тригонометрические функции
• Свойства производных
• Использование производных
• Связанные страницы
• Картинки для детей

Определение производной

Анимация, дающая интуитивное представление о производной, поскольку «колебание» функции изменяется при изменении аргумента.

Производная y по x определяется как изменение y над изменением x, когда расстояние между и становится бесконечно малым (бесконечно малым). С точки зрения математики,

То есть по мере того, как расстояние между двумя точками x (h) становится ближе к нулю, наклон линии между ними становится ближе к касательной.

Производные функций

Линейные функции

Производные линейных функций (функции формы без квадратичных или более высоких членов) являются постоянными. То есть производная в одном месте графика останется такой же в другом.

Когда зависимая переменная напрямую принимает значение (), наклон линии равен 1 во всех местах, поэтому независимо от того, где находится позиция.

При изменении числа путем прибавления или вычитания постоянного значения наклон по-прежнему равен 1, поскольку изменение и не изменяется, если график смещается вверх или вниз. То есть наклон по всему графику по-прежнему равен 1, и его производная также равна 1.

Степенные функции

Степенные функции (в форме ) ведут себя иначе, чем линейные функции, потому что их показатель степени и наклон изменяются.

Силовые функции, как правило, следуют правилу, согласно которому . То есть, если мы дадим a число 6, затем

Другим примером, менее очевидным, является функция . По сути, это то же самое, потому что 1/x можно упростить для использования показателей степени:

Кроме того, корни можно изменить, чтобы использовать дробные показатели степени, где можно найти их производную:

Экспоненциальные функции

Экспонента имеет форму , где и константы и является функцией . Отличие экспоненты от полинома в том, что в полиноме возводится в некоторую степень, тогда как в экспоненте — в степени.

Пример 1

Пример 2

Найти .

Следовательно,

Логарифмические функции

Производная логарифмов является обратной величиной:

.

Возьмем, к примеру, . Это можно сократить (по свойствам логарифмов):

Логарифм числа 5 является константой, поэтому его производная равна 0. Производная равна . Итак,

Для производных логарифмов не по основанию e , таких как , можно сократить до:

Тригонометрические функции

Функция косинуса является производной функции синуса, а производная косинуса является отрицательным синусом (при условии, что x измеряется в радианах):

.

Свойства производных инструментов

Производные инструменты можно разбить на более мелкие части, если ими можно управлять (поскольку они имеют только одну из перечисленных выше функциональных характеристик). Например, можно разбить как:

Использование производных

Производная функции может использоваться для поиска максимумов и минимумов функции путем поиска мест, где ее наклон равен нулю.

Производные используются в методе Ньютона, который помогает найти нули (корни) функции. Производные также можно использовать для определения вогнутости функции и того, является ли функция возрастающей или убывающей.

Связанные страницы

• Коэффициент разности
• Неявная производная
• Интеграл
• Частная производная
• Вторая производная

Изображения для детей

Все содержимое статей энциклопедии Kiddle (включая изображения статей и факты) можно свободно использовать по лицензии Attribution-ShareAlike, если не указано иное. Процитируйте эту статью:

Производные (математика) Факты для детей. Энциклопедия Киддла.

Производная – Математическая энциклопедия

Одно из основных понятий математического анализа. Предположим, что вещественная функция $f$ вещественной переменной $x$ определена в окрестности точки $x_0$ и существует конечный или бесконечный предел \begin{уравнение} \метка{уравнение:1} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{уравнение} Этот предел называется производной функции $f$ в точке $x_0$. Если установить $y=f(x)$, \begin{уравнение} x-x_0=\Delta x,\quad f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\Delta y \end{уравнение} тогда предел \eqref{eq:1} может быть записан как: \begin{уравнение} \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. \end{уравнение}

Также обозначения $f'(x_0)$, $\frac{df(x_0)}{dx}$, $\frac{dy}{dx}$, $(\frac{d}{dx})f (x_0)$ и некоторые другие используются для обозначения этого предела.

Операция вычисления производной называется дифференцированием. Если производная $f'(x_0)$ конечна, говорят, что $f$ дифференцируема в точке $x_0$. Функция, дифференцируемая в каждой точке множества, называется дифференцируемой на этом множестве. Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Однако существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке заданного интервала (см. Недифференцируемая функция).

Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале. Его производная $f’$ может оказаться разрывной функцией. Однако по классификации Бэра она всегда является функцией первого класса и обладает свойством Дарбу: если она принимает два значения, то она принимает и все промежуточные значения.

Обобщением понятия производной является понятие производной по множеству. Предположим, что вещественная функция $f$ определена на множестве $E$ действительных чисел, что $x_0$ является предельной точкой $E$, что $x_0\in E$ и что существует конечное или бесконечный предел \begin{уравнение} \lim_{\substack{x\longrightarrow x_0, \\ x\in E}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \end{уравнение}

Этот предел называется производной $f$ по множеству $E$ в точке $x_0$ и обозначается символом $f’_{E}(x_0)$. Производная функции по множеству является обобщением понятия производной. Вариантами обобщения являются понятие односторонней производной, производной Дини и приближенной производной.

Приведенное выше определение производной (и ее обобщения), а также ее простые свойства почти без изменений распространяются на комплекснозначные и векторнозначные функции действительного или комплексного переменного. Более того, существует понятие производной скалярнозначной точечной функции в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n}$ (см. Градиент) и производной функции множества по мере ( в частности, по площади, объему и др.). Понятие производной распространено на векторнозначные точечные функции в абстрактном пространстве (см. Дифференцирование отображения).

Геометрическую и механическую интерпретацию производной, простейшие правила дифференцирования, высшие производные, частные производные, а также ссылки см. в Дифференциальное исчисление.

Комментарии

Ж. Шоке доказал, что функция $\phi$ на $[a,b]$ принадлежит первому классу Бэра и обладает свойством Дарбу (если и), только если существует дифференцируемая функция $f$ на $[a,b]$ и гомеоморфизм $h$ на $[a,b]$ такой, что $\phi=f’\circ h$ ^[1] .

Ссылки

1. ↑ Г. Шоке, “Использование топологии и метрики математического анализа” , Center Docum. ун-т Париж (1969) (Rédigé by C. Mayer) MR0262426

Как процитировать эту запись:
Производная. Математическая энциклопедия.