Виды дифференциальных уравнений: Типы дифференциальных уравнений

Классификация и виды дифференциальных уравнений

Уважаемые читатели, начинаем с основных вещей, для начала рассмотрим виды дифференциальных уравнений, их достаточно много, и конечно, необходимо это знать для применения того или иного метода решения.

Для того, чтобы правильно выбрать метод численного решения дифференциального уравнения, сначала необходимо определить, к какому виду оно относится. Принадлежность дифференциального уравнения к тому или иному виду обычно определяют по двум критериям: наибольшему порядку производной и количеству независимых переменных.

Виды дифференциальных уравнений

Мы составили таблицу для вашего понимания:

При составлении были использованы обозначения, которые также будут применяться и в следующих статьях: u — искомая функция(концентрация, температура и т.д), t — время(независимая переменная), x, y, z — пространственные координаты.

Если функция U зависит от одной пространственной координаты, то соответствующее дифференциальное уравнение называют одномерным, если от двух — двумерным, если от трех — трехмерным.

Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка

В начале нашего курса, мы подробно разберем именно этот вид дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка не имеют единого метода численного решения. Поэтому следует рассмотреть их классификацию, позволяющую использовать единые методы для численного решения каждого из подтипов этих уравнений.

Общий вид этих уравнений:

В зависимости от знака величины:

подразделяются следующие виды дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка:

• D > 0 гиперболический тип
• D
• D = 0 параболический тип

Также существует некоторые правила для определения типа дифференциального уравнения:

1. Если в уравнении присутствуют производные 2-го порядка по всем независимым переменным и знаки перед ними одинаковые – то данное уравнение относят к уравнениям эллиптического типа:
2. Если в уравнении отсутствует производная 2-го порядка хотя бы по одной из независимых переменных – то данное уравнение относят к уравнениям параболического типа:

Как вы заметили, отсутствует вторая производная по независимой переменной t.

Примеры

Рассмотрим примеры задач на определение типа дифференциального уравнения в частных производных 2-го порядка:

Ответ: Пользуясь правилом номер 1, чуть выше, делаем вывод, что уравнение эллиптического типа.


Ответ: Пользуясь правилом номер 2, чуть выше, делаем вывод, что уравнение параболического типа.


Ответ: Пользуясь правилом номер 2, чуть выше, делаем вывод, что уравнение параболического типа. От знака перед производными тип будет зависеть, только тогда, когда есть все вторые производные.


Ответ: В этом случае будет отсутствовать 2 производная по y, а значит уравнение параболического типа.


Ответ: В данном уравнении присутствуют все производные второго порядка, а вот знаки разные, значит будем вычислять через D.

Напомню, что:

(так как нет смешанной производной)

(произведение 2 на -5)

При D > 0, получается уравнение гиперболического типа.

На дом

Вот вам некоторые примеры для самопроверки, нужно всего лишь определить тип, жду от вас ответов в комментариях:

На этом сегодня все, если вам понравился урок, то пожалуйста расскажите о нем друзьям с помощью социальных кнопок ниже.

Определить тип и решить дифференциальное уравнения.

Пример 1:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как множители при dx и dy – одинаковой 2-й степени. Сделаем замену переменных

Пример 5:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

y” + 4y’  = 2sin 5x .

Решение от преподавателя:

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
r² +4 r + 0 = 0 
D=4² – 4*1*0=16 


Корни характеристического уравнения: 
r₁ = 0 
r₂ = -4 
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: 
y₁ = e^0x 
y₂ = e^-4x 
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 

Рассмотрим правую часть: 
f(x) = 2*sin(5*x) 
Поиск частного решения.  
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 2, α = 0, β = 5. 
Следовательно, число α + βi = 5i не является корнем характеристического уравнения. 
Уравнение имеет частное решение вида: 
y = Acos(5x) + Bsin(5x) 
Вычисляем производные: 
y’ = -5Asin(5x)+5Bcos(5x) 
y” = -25(Acos(5x)+Bsin(5x)) 
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: 
y” + 4y’ = (-25(Acos(5x)+Bsin(5x))) + 4(-5Asin(5x)+5Bcos(5x)) = 2sin(5x) 
или 
-20Asin(5x)-25Acos(5x)-25Bsin(5x)+20Bcos(5x) = 2sin(5x) 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 
1: -20A -25B = 2 
1: -25A + 20B = 0 
Решая ее, находим: 
A = ^-8/₂₀₅;B = ^-2/₄₁; 
Частное решение имеет вид: 
y=-⁸/₂₀₅cos(5x) –²/₄₁sin(5x) 
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 

Пример 7:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка и начальные условия. Определить тип дифференциального уравнения инайти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение от преподавателя:

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка, так как в него не входит искомая функция у. Порядок уравнения понижаем, взяв за новую неизвестную функцию первую производную, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Пример 11:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных:

y=u*v, y’ = u’v + uv’.
u*v/x+u*v’+u’v = ln(x)
или
u(v/x+v’) + u’v= ln(x)
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(v/x+v’) = 0
2. u’v = ln(x)
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
v/x+v’ = 0
Представим в виде:
v’ = -v/x
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = -ln(x)
v = 1/x
2. Зная v, Находим u из условия: u’*v = ln(x)
u’/x = ln(x)
u’ = x*ln(x)
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = 1/x(C+x²/2ln(x)-x²/4)
или
y = C/x+x/2ln(x)-x/4

Пример 14:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

Решение от преподавателя:

Составим  и решим характеристическое уравнение для однородного уравнения:

Пример 15:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +0 r + 0 = 0
D=0² – 4*1*0=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 0 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^0x
y₂ = xe^0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:
C’₁ + C’₂ x = 0
C’₁(0) + C’₂(1) = x*sin(x)
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c₂x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = -x²sin(x)
C’₂ = x*sin(x)
Интегрируем полученные функции C’_i:
C₁ = x²cos(x)-2x*sin(x)-2cos(x) + C₁
C₂ = -x*cos(x)+sin(x) + C₂
Записываем полученные выражения в виде:
C₁ = x²cos(x)-2x*sin(x)-2cos(x) + C₁1
C₂ = x(-x*cos(x)+sin(x)) + C₂x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C₁ + C₂ = C₁ + C₂ x -x*sin(x)-2cos(x)
Найдем частное решение при условии: y(0) = 1, y'(0) = 1
Поскольку y(0) = c₁-2, то получаем первое уравнение:
c₁-2 = 1
Находим первую производную:
y’ = c₂-x*cos(x)+sin(x)
Поскольку y'(0) = c₂, то получаем второе уравнение:
c₂ = 1
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁-2 = 1
c₂ = 1
т. е.:
c₁ = 3, c₂ = 1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 16:

Определить тип и решить дифференциальное уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +0 r + 1 = 0
D=0² – 4*1*1=-4


Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = i
r₂ = – i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:
C’₁cos(x) + C’₂sin(x) = 0
C’₁(-sin(x)) + C’₂(cos(x)) = (x+2)*e^-x
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c₂tg(x)
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = -(x+2)*e^-xsin(x)
C’₂ = (x+2)*e^-xcos(x)
Интегрируем полученные функции C’_i:


Записываем полученные выражения в виде:
или


Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 18:

Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение от преподавателя:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² -4 r + 4 = 0
D=(-4)² – 4*1*4=0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^2x
y₂ = xe^2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:

C’₁(2e^2x) + C’₂(2x*e^2x+e^2x) = cos(x)+10sin(x)
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c₂x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = -x(10sin(x)+cos(x))*e^-2x
C’₂ = (10sin(x)+cos(x))*e^-2x
Интегрируем полученные функции C’_i:
 = 

Записываем полученные выражения в виде:
 = 

или


Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 2
Поскольку y(0) = c₁+43/25, то получаем первое уравнение:
c₁+43/25 = 0
Находим первую производную:
y’ = 2c₁e^2x+2c₂x*e^2x+c₂e^2x-43/25sin(x)+26/25cos(x)
Поскольку y'(0) = 2*c₁+c₂+26/25, то получаем второе уравнение:
2c₁+c₂+26/25 = 2
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁+43/25 = 0
2c₁+c₂+26/25 = 2
т. е.:
c₁ = -43/25, c₂ = 22/5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 20:

Установить тип ДУ, найти его общее и частное решения.

Решение от преподавателя:

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, так как его можно записать в виде y‘=p(x)y = q(x), где p(x) = , q(x)= .

Сделаем замену переменных: y=u*v, y’ = u’v + uv’.
-u*v*ctg(x)+u*v’+u’v = 2x*sin(x)
или
u(-v*ctg(x)+v’) + u’v= 2x*sin(x)
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(-v*ctg(x)+v’) = 0
2. u’v = 2x*sin(x)
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
-v*ctg(x)+v’ = 0
Представим в виде:
v’ = v*ctg(x)
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = ln(sin(x))
v = sin(x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’*v = 2*x*sin(x)
u’sin(x) = 2x*sin(x)
u’ = 2x
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:
y = u*v = (C+x²)*sin(x)
или
y = C*sin(x)+x²sin(x)
Найдем частное решение при условии: y(π/2)=0
y(π/2)= C*sin(π /2)+ π /2²sin(π /2) = 0
Откуда:
c₁ = -π/4
Таким образом, частное решение имеет вид:
y(π/2)= -π/4sin(x)+x²sin(x)

Ответ:

Пример 21:

Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.

Решение от преподавателя:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

• 22423 авторов готовы помочь тебе.
• 2402 онлайн

Что такое дифференциальные уравнения? Типы дифференциальных уравнений

Историческая справка

Дифференциальные уравнения уже доказали свою значимость в прикладной и чистой математике с момента их введения с изобретением исчисления Ньютоном и Лейбницем в середине семнадцатого века. Дифференциальные уравнения сыграли ключевую роль во многих дисциплинах, таких как физика, биология, инженерия и экономика.

Приложения дифференциальных уравнений

• Экспоненциальный Рост и упадок
• Население Рост
• Движение падения предметов под действием силы тяжести с сопротивлением воздуха и движением предметов висит на пружине
• Newton’s Закон охлаждения
• Частица движение по кривой
• Электрика Схемы
• Информатика

Что такое дифференциальные уравнения?

Уравнение, которое включает хотя бы одну производную функции, называется дифференциальным уравнением. Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений.

Прежде чем двигаться дальше, важно знать основные термины, такие как порядок и степень дифференциального уравнения, которое можно определить как

i. Порядок – Это старшая производная дифференциального уравнения, например,

Вышеупомянутое дифференциальное уравнение имеет только первую производную т. е.

, поэтому оно называется дифференциалом первого порядка уравнение.

Давайте проверьте другое дифференциальное уравнение,

В этом примере дифференциальное уравнение имеет вторую производную, т.е.

, поэтому оно называется дифференциальным уравнением второго порядка.

ii. Степень – Это показатель старшей производной дифференциального уравнения, например,

В этом примере старшая производная равна единице и показатель степени тоже единица, поэтому он называется первым порядком и первой степенью дифференциальное уравнение. Точно так же

Здесь старшая производная равна 2, а показатель степени равен 3, поэтому оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением 2 ^{-й степени} и 3 ^{-й степени} .

Типы дифференциальных уравнений:

1. Обычное дифференциальное уравнение
2. Дифференциальное уравнение с частичным0010

Подробное описание каждого типа дифференциального уравнения приведено ниже: –

1 – Обыкновенное дифференциальное уравнение

Это дифференциальное уравнение, которое включает одну или несколько обыкновенных производных, но не имеет частных производных.

Обыкновенное дифференциальное уравнение отличается от дифференциального уравнения в частных производных, где некоторые независимые переменные связывают частные производные, тогда как дифференциальное уравнение имеет только одну независимую переменную, такую ​​как y. Ньютона 2 ^-й -й закон движения является простым примером обыкновенного дифференциального уравнения.

Другой пример обыкновенного дифференциального уравнения;

2 – Уравнение в частных производных

Уравнение в частных производных – это дифференциальное уравнение, в котором используются частные производные. Он имеет две или более независимых переменных. Например,

3 – линейное дифференциальное уравнение

Это первая степень по отношению к зависимой переменной (переменным) и ее производным, которые могут быть выражены в форме

где p и q могут быть константами или функциями независимой переменной x.

4 – Нелинейное дифференциальное уравнение

Вторая степень или выше относительно зависимых переменных и их производных. Например,

5 – Однородное дифференциальное уравнение

Это дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано как

Где f и g – однородные функции одинаковой степени x и y.

Для примеры,

6 – Неоднородное дифференциальное уравнение

Это дифференциальное уравнение, правая часть которого не равна нулю. Неоднородное уравнение 2 ^{-го порядка} можно записать в такой форме:

Приложения и примеры

Дифференциальное уравнение — это математическое уравнение, включающее одну или несколько функций и их производные. Скорость изменения функции в точке определяется ее производными. Он в основном используется в таких областях, как физика, инженерия и биология. Анализ решений, удовлетворяющих уравнениям, и свойства решений являются основной целью дифференциальных уравнений. Использование явных формул — один из самых простых способов решения дифференциального уравнения. В этой статье давайте обсудим значение дифференциального уравнения, типы, методы решения дифференциального уравнения, порядок и степень дифференциального уравнения, формулы дифференциальных уравнений и несколько решенных задач.

Определение дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение имеет один или несколько членов, а также производные одной переменной (зависимой переменной) по отношению к другой переменной (т. е. независимой переменной)

\[\frac{dy}{dx }\] = f(x)

Здесь «x» — независимая переменная, а «y» — зависимая переменная.

Например, \[\frac{dy}{dx}\] = 5x

Частные производные и обыкновенные производные также присутствуют в дифференциальном уравнении. Дифференциальное уравнение определяет связь между величиной, которая непрерывно изменяется по отношению к изменению другой величины, и производной, представляющей скорость изменения.

Что такое дифференциальное уравнение?

Уравнение, включающее неизвестную функцию y=f(x) и одну или несколько ее производных, называется дифференциальным уравнением. Иными словами, это уравнение, в которое входят производные одной или нескольких зависимых переменных по отношению к одной или нескольким независимым переменным. Дифференциальные уравнения важны для математического описания природы и лежат в основе многих физических теорий.

Порядок дифференциального уравнения 9{3}\] + 3x)y = 9 

В этом случае старший порядок производной равен 2. В результате уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка.

 

Типы дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения подразделяются на множество категорий. Это:

• обыкновенные дифференциальные уравнения

• дифференциальные уравнения в частных производных

• линейные дифференциальные уравнения

• нелинейные дифференциальные уравнения

• Однородные дифференциальные уравнения

• Неоднородные дифференциальные уравнения

Решения дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения можно найти одним из двух способов.

Переменная изолирована, когда дифференциальное уравнение может быть записано в форме dy/dx = f(y)g(x), где f — функция только y, а g — функция только x. Перепишите задачу как 1/f(y)dy=g(x)dx, а затем проинтегрируйте с обеих сторон, используя начальное условие.

Когда дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx + p(x)y = q(x), где p и q являются функциями только от x, используется метод интегрирующих коэффициентов.

 

y’+ P(x)y = Q — дифференциальное уравнение первого порядка (x). P и Q являются функциями x и первой производной y соответственно. Уравнение, содержащее частные или обыкновенные производные неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением высшего порядка. Это можно изобразить в любом порядке. 9{2}}\] + 2(\[\frac{dy}{dx}\]) + y = 0 является дифференциальным уравнением, и в этом случае степень этого уравнения равна 1. Вот еще несколько примеров:

dy/dx + 1 = 0, степень равна 1

(y”’)3 + 3y” + 6y’ – 12 = 0, в этом уравнении степень равна 3.

 

Обыкновенное дифференциальное уравнение

Функция и его производные входят в обыкновенное дифференциальное уравнение. Используется только одна независимая переменная и одна или несколько ее производных по переменной. 9{3}\] = 0 — обыкновенное дифференциальное уравнение.

 

Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение вида: \[\frac{dy}{dx}\] + My = N 

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка, где M и N являются константами или функциями только x. Ниже приведен пример линейных дифференциальных уравнений первого порядка: \[\frac{dy}{dx}\] + y = sinx

 

Линейные дифференциальные уравнения Реальный пример

Найдите этот базовый пример, чтобы лучше понимать дифференциальные уравнения. Вы когда-нибудь задумывались, почему горячая чашка кофе остывает, если ее подержать при комнатной температуре? Согласно Ньютону, охлаждение горячего тела пропорционально разности температур между его температурой T и температурой T\[_{0}\] его окружения. С точки зрения математики это предложение можно записать так:

dT/dt ∝ (T – T\[_{0}\])…………(1)

Линейное дифференциальное уравнение принимает такую ​​форму.

С добавлением константы пропорциональности k приведенное выше уравнение принимает вид:

dT/dt = k(T – T\[_{0}\])  …………(2)

T – температура тела , а t – время в этом уравнении.

T\[_{0}\] – температура окружающей среды,

Скорость охлаждения тела dT/dt.

 

Приложения дифференциальных уравнений:

1) Дифференциальные уравнения используются для объяснения роста и убывания различных экспоненциальных функций.

2) Их также можно использовать для объяснения того, как рентабельность инвестиций меняется с течением времени.

3) Они используются в медицине для моделирования роста рака и распространения болезни по всему телу.

4) Его также можно использовать для объяснения движения электричества.