Виды пределов: Теория пределов. Методика вычисления

Содержание

3.3. Понятие и виды превышения пределов необходимой обороны

Понятие превышения пределов необходимой обороны. Необходимая оборона признаётся обстоятельством, исключающим общественную опасность совершенного деяния, только в том случае, когда защищающимся не было допущено превышение пределов необходимой обороны. Превышением пределов необходимой обороны признаются умышленные действия, явно несоответствующие характеру и степени общественной опасности посягательства (ст. 37 п.3 УК РФ).

Содержание этого требования в юридической литературе раскрывается по разному: защита по своей интенсивности должна находиться в соответствии с нападением; защита должна быть единственно возможным в данных условиях средством отражения нападения; средства защиты должны соответствовать средствам нападения; защита должна осуществляться своевременно. Нарушение указанных условий, по мнению некоторых авторов, давало основание рассматривать действия защищающегося как превышение пределов необходимой обороны.

Отдельные криминалисты в ограничении пределов правомерности необходимой обороны пошли ещё дальше.

Так, Г.А. Мендельсон и Ю. Ткачевский указывали, что «если обороняющийся причинит нападающему не минимально возможный вред, достаточный вместе с тем для прекращения нападения, а более серьёзный, интенсивность защиты будет превышать интенсивность нападения».

Ещё яснее эту позицию изложил В.Ф. Кириченко, «мы полагаем, писал он, – что в тех случаях, когда лицо причиняет какой-либо результат, формально не выходящий за пределы необходимой обороны, но заведомо для этого лица не являющийся необходимым, можно говорить о превышении пределов необходимой обороны».

Следует отметить, что большинство из выдвинутых критериев не соответствовало содержанию необходимой обороны как объективной Формы борьбы с преступностью, в связи с чем подверглось решительной критике.

Основы уголовного законодательства 1958 года устранили имевший по этому вопросу пробел в законодательстве и предусмотрели определение понятия превышения пределов необходимой обороны. Согласно ч.2 статьи 13 Основ, превышением пределов необходимой обороны являлось явное несоответствие защиты характеру и опасности посягательства. Указание на явность, т. е. на значительный, очевидный, бесспорный разрыв между характером защиты и опасностью посягательства, вносит ясность в понятие превышения пределов необходимой обороны.

Пропорциональность характера защиты и характера посягательства, которую ранее считали критерием разграничения необходимой обороны и её применения, теперь уже не может быть даже темой спора.

Безусловно прав профессор М.И. Якубович, который пишет, что «не должно предъявляться требование об обязательной соразмерности между причинённым вредом, так как это привело бы на практике к невозможности прибегать к необходимой обороне. При таком положении лицо не могло бы защищать своё имущество от преступного на него посягательства путём причинения посягающему телесных повреждений, а женщина, на которую имеет место посягательство с целью её изнасилования, лишена была бы возможности предотвратить изнасилование путём причинения, в частности, такого вреда, как тяжкое телесное повреждение или даже лишение жизни».

Требование соразмерности причиняемого вреда, как справедливо считает И.С. Тишкевич, противоречит целям института необходимой обороны.

В условиях защиты от нападения, которое обычно является внезапным и вызывает волнение обороняющегося, тщательное обдумывание способов и методов защиты весьма затруднительно, а в большинстве случаев и вообще невозможно. Отсюда, вред, причинённый при необходимой обороне, на наш взгляд, не должен быть минимально возможным.

К сожалению, практика не всегда учитывает эти обстоятельства, что приводит к необоснованному осуждению за действия, не вышедшие за пределы необходимой обороны, или совершённые при превышении пределов необходимой обороны, как за умышленной убийство или причинение телесных повреждений. Явным может быть признано лишь такое несоответствие, которое очевидно, бесспорно, так, например, Троицким районным народным судом Челябинской области Алешенцев осуждён по ч. 2 ст.108 УК. Он признан виновным в том, что 7 июля 1992 г. в состоянии алкогольного опьянения в ходе ссоры, переросшей в драку, умышленно нанёс Хваткову удар топором по голове.

От полученного тяжкого телесного повреждения потерпевший скончался в больнице.

Заместитель Генерального прокурора РФ в протесте поставил вопрос об изменении приговора и переквалификации действий Алешенцева на ст. 111 УК.

Судебная коллегия по уголовным делам Верховного суда РФ 2 августа 1994 г. протест удовлетворила по следующим основаниям.

По делу установлено, что Алешенцев, посорившись с Шумаковым на вокзале уехал к себе в село, куда через непродолжительное время явились на двух автомобилях Шумаков, Хватков и ещё пять человек, которые стали избивать Алешенцева.

Алешенцеву удалось вырваться от избивавших его, и он попытался убежать. Однако нападавшие догнали его и жену, вновь стали избивать их. Алешенцев схватил топор и нанёс им удар по голове Хваткова. Суд не согласился с доводами, о том, что Алешенцев действовал в состоянии необходимой обороны, сославшись на то, что братья Мустафины держали Хваткова, прижав его к забору, и в этот момент Алешенцев ударил его топором.

По мнению суда, жизни и здоровью Алешенцева и его близких в это время ничего не угрожало. Судом было принято во внимание также и то, что в момент ранения Хваткова нападение группы лиц на Алешенцева не было окончено. Но, в связи с тем, что Мустафины держали Хваткова, применение топора явно не соответствовало характеру и опасности посягательства. Таким образом, Алешенцев действовал в состоянии необходимой обороны, но превысил её пределы. Действия Алешенцева переквалифицированы с ч. 2 ст. 108 на ст. 111 УК.

Было ли явное несоответствие защиты характеру и опасности посягательства, устанавливается судом на основании конкретных обстоятельств дела.

Пленум Верховного Суда СССР в постановлении от 4 декабря 1969 года «О практике применения судами законодательства о необходимой обороне» превышение пределов необходимой обороны определил как такую деятельность обороняющегося, при которой он «прибегнул к защите такими средствами и методами, применение которых явно не вызывалось ни характером и опасностью посягательства, ни реальной обстановкой, и без надобности причинил посягающему тяжкий вред».

Пленум Верховного Суда СССР в своём постановлении № 14 от 16 августа 1984 г. разъяснил, что «превышением пределов необходимой обороны признаётся лишь явное, очевидное несоответствие защиты характеру и опасности посягательства, когда посягающему без необходимости умышленно причиняется вред, указанный в ст. ст. 105 и 111 УК РСФСР.

Таким образом, основной признак превышения пределов необходимой обороны усматривается в ненадобности, нецелесообразности причинения тяжкого вреда.

Эксцесс обороны почти аналогично определяется и в юридической литературе. «Превышение пределов необходимой обороны налицо, – указывается в учебнике уголовного права, – когда обороняющийся без надобности причиняет посягающему явно ненужный вред».

В.И. Ткаченко считает указанные определения неудачными. Он пишет: «Определение понятия превышения пределов необходимой обороны как причинение посягающему ненужного, нецелесообразного вреда имеет тот недостаток, что оно, прежде всего, даёт возможность непомерно расширить пределы необходимой обороны. Если, например, грабитель упорно пытается отнять какую-то вещь, не представляющую большой ценности, и не отказывается от своего намерения, несмотря на поднятую тревогу и даже нанесение ему ударов, побоев, телесных повреждений, то такому преступнику, исходя из критерия надобности и целесообразности, можно причинить любой вред, вплоть до лишения жизни».

Однако В.И. Ткаченко здесь же делает оговорку, что сведение превышения пределов необходимой обороны к признаку целесообразности и достаточности вреда ведёт к противоположенной крайности – к резкому сужений пределов необходимой обороны, поскольку выдвигается требование, согласно которому обороняющийся вправе причинить посягающему минимальный вред.

В юридической литературе превышение пределов необходимой обороны нередко определяется как явное несоответствие средств защиты и нападения и как явное несоответствие интенсивности защиты и нападения.

«Однако было бы ошибочным считать, – пишет В.И. Ткаченко, – явное несоответствие средств защиты и посягательства в качестве самостоятельного признака превышения пределов необходимой обороны… Если превышение пределов необходимой обороны сводить к явному несоответствию средств защиты и нападения, то окажется, что против невооруженного насильника, убийцы, диверсанта нельзя применять эффективных средств защиты. Будет также преступным применение огнестрельного оружия при обороне против нападающих, вооруженных палкой, камнем…С другой стороны по этому правилу может считаться правомерным убийство путём нанесения ударов руками или ногами вооруженного преступника, стремящегося заведомо для обороняющегося нанести лишь побои или причинить лёгкие телесные повреждения».

Следовательно, средства защиты и посягательства не могут быть самостоятельными критериями при решении вопроса о правомерности обороны. Их роль сводится к оценке намерений противодействующих сторон.

Несоответствие интенсивности посягательства и защиты, как нам представляется, также не может быть самостоятельным признаком превышения пределов необходимой обороны. В понятие «интенсивность нападения и защиты» в уголовно-правовой литературе включается самое разнообразное содержание. В частности, под интенсивностью мыслится средство посягательства и защиты, способ применения средств нападения и защиты, способ действия, причинённый вред.

Нам думается, что В.И. Ткаченко прав, полагая, что интенсивность не может пониматься как орудия или средства защиты и посягательства, ибо это различные по содержанию понятия. Не может она сводиться и к способу применения орудий, так как посягательства довольно часто осуществляются без употребления каких-либо орудий. Интенсивность не равнозначна и вреду, вред – это результат деяния, а интенсивность – характеристика способа деяния.

В русском языке под интенсивностью понимается уровень напряженности усилия. Применительно к уголовному праву она означает определённый уровень усилий в действиях субъектов при достижении поставленной цели.

Но общественная опасность какого-либо посягательства не может существенно отличаться в зависимости от того. совершено ли оно энергичными действиями, с внешне бурным приложением усилий или мало уловимым способом. Например, причинение тяжкого телесного повреждения одинаково общественно опасно как в том случае, когда оно явилось результатом жестокого избиения, так и тогда, когда оно причинено незаметным уколом отравленной иглы.

Под превышением пределов необходимой обороны некоторые правоведы понимают также явное несоответствие в мерах защиты и мерах нападения. «Под явным несоответствием, – указывается в Комментарии к УК РСФСР, – следует понимать такие оборонительные меры защищающегося, которые бесспорно выходят за пределы необходимости предотвратить созданную посягательством опасность».

Указанную точку зрения разделяют и авторы Комментария УК РФ, полагая, что превышение пределов необходимой обороны означает, что причинённый вред не должен быть чрезмерно большим по сравнению с характером и степенью опасности посягательства.

Аналогичная позиция высказана в определении Судебной коллегии Верховного Суда РСФСР по одному из конкретных дел. Превышение пределов необходимой обороны может признаваться в случае, когда меры защиты выходят за пределы необходимости предотвратить созданную посягательством опасность.

По мнению В.И. Ткаченко, наиболее полно степень общественной опасности преступления определяется тяжестью его вредных последствий, поэтому под превышением пределов необходимой обороны следует понимать «явное несоответствие между вредом, причинённым посягающему при защите от общественно опасного посягательства, и общественной опасностью вреда, которым он угрожал».

В литературе по этому вопросу имеются и иные мнения. В частности, И.С. Тишкевич считает, что «сравнение благ при необходимой обороне неуместно, так как одно из них принадлежит преступнику, а другое его жертве…». Каким мерилом, например, руководствоваться, сравнивая причиняемый и предотвращенный вред при изнасиловании? Сама постановка этого вопроса была бы нелепой и оскорбительной для потерпевшей».

Обстоятельства, характеризующие нападение, должны, по нашему мнению, определять и характер защиты.

При определении характера нападения и защиты должны учитываться: количество нападающих или защищающихся, их физическая сила, наличие оружия, способ его употребления. Нельзя не согласиться с И.С. Тишкевичем, который пишет: «При определении пределов необходимой обороны в каждом конкретном случае нужно, бесспорно, учитывать число нападающих и обороняющихся. При этом следует иметь ввиду, что одно лишь присутствие на стороне нападающего лиц, которые одобряют его действия и могут в любом момент принять участие в нападении, делает последнее опасным».

Думается, что правильное решение принял Нижнеудинский народный суд оправдав Фалилеева (деяния которого органами предварительного следствия были квалифицированы по ст. ст. 15, 103 УК РСФСР) и освободив последнего из под стражи как действовавшего в состоянии необходимой обороны.

В мае 1995 года Фалилеев вступил в супружеские отношения с гражданкой Иксановой, проживающей в городе Н-ск. Продолжавших посещать дом Иксановой мужчин, Фалилееву по просьбе родственников жены, приходилось выпроваживать различными способами, иногда и с применением физической силы.

26 июня 1995 года Фалилеев, воспользовавшись отсутствием Иксановой, набросил на входную дверь замок, создав этим видимость, что в доме никого нет, и лег отдыхать. В 20-ом часу вечера в квартиру проник Суходольский. Предполагая, что Суходольский является одним из знакомых Иксановой, поскольку в разговоре с Фалилеевым он интересовался, где находится Иксанова, Фалилеев, желая напугать пришельца, замахнулся на него топором. После того, как Суходольский убежал, Фалилеев закрылся в квартире и лег спать. Однако, через непродолжительное время он обнаружил, что к дому подошли четверо пьяных мужчин, среди которых был и Суходольский. Ворвавшись на веранду, Суходольский потребовал с угрозами, чтобы Фалилеев открыл им дверь. Когда же Суходольский, убедившись, что через дверь в комнату не проникнуть, стал вытаскивать оконную раму, Фалилеев, полагая, что проникнув в квартиру четверо мужчин подвергнут его избиению, спрятав за голенище сапога кухонный нож, выпрыгнул в окно с противоположной стороны дома, пытаясь убежать, Но это ему не удалось сделать незаметно. Суходольский вместе со своими друзьями стал его преследовать, настигнув Фалилеева на улице, сбил его с ног. Однако Фалилееву удалось вы рваться, и он попытался убежать ещё раз, но скоро был вновь настигнут Суходольским. Прижавшись спиной к изгороди, Фалилеев выхватил нож. И, когда Суходольский набросил на него плащ, намериваясь совершить на Фалилеева нападение, последний нанёс Суходольскому удар ножом в грудь, починив ему тяжкие телесные повреждения опасные для жизни.

В указанном примере нельзя было не учитывать присутствие на стороне нападающего Суходольского ещё троих лиц, которые, хотя непосредственно не применяли насилия в отношении Фалилеева, но одобряли его действия, будучи его друзьями, могли в любой момент принять участие в нападении.

Обороняющийся в таких случаях не может не учитывать того, что «в любую минуту, – как совершенно правильно отметил С.В. Бородин, – в результате вмешательства других лиц соотношение сил может резко измениться в пользу совершающего нападение». Поэтому в таких случаях, обороняющийся вправе, не дожидаясь этого, защищаться более интенсивными средствами по сравнению с теми, которые он применил бы при отсутствии указанных опасений. Кроме этого, для решения вопроса о том, является ли оборона правомерной необходимо также учитывать возраст, пол, состояние здоровья, физическую силу обороняющегося и нападающего.

На практике не всегда учитываются эти обстоятельства, что приводит к необоснованному привлечению граждан к уголовной ответственности за действия, не вышедшие за пределы необходимой обороны. Об этом свидетельствует нижеприведенный пример:

Н-ской межрайонной прокуратурой Скворцов В.П. был привлечён к уголовной ответственности по ст. 103 УК РСФСР. Ему вменялось совершение преступления при следующих обстоятельствах: 2-го августа 1994 года Скворцов В.П. и Анаденко А.В., находясь в доме в пос. Вознесенский Н-ского района, распивали спиртные напитки. Когда они находились в состоянии алкогольного опьянения, между ними возникла ссора, переросшая затем в драку. Во время драки Анаденко А.В. вооружился ножом, пытался нанести им удары Скворцову В.П. Однако Скворцову удалось завладеть оружием. Отобранным у Анаденко ножом он умышленно нанёс последнему несколько ударов в жизненно важные органы, в том числе и в сердце. От полученных повреждений потерпевший на месте скончался.

Н-ский городской суд, в который уголовное дело было направлено для рассмотрения, 6 января 1995 года оправдал Скворцова, указав, что последний действовал в состоянии необходимой обороны.

В связи с вынесением оправдательного приговора, прокурором был принесён кассационный протест. Однако, судебная коллегия по уголовным делам областного суда 8 июня 1995 года приговор Н-ского городского суда оставила без изменений, а протест без удовлетворения.

Аргументируя принятое решение, судебной коллегией было указано, что Анаденко первым напал на Скворцова и стал избивать последнего. У Скворцова, который был физически слабее Анаденко, не было иной возможности избежать продолжавшегося избиения кроме как вынужденно нанести Анаденко телесные повреждения. Конкретная обстановка свидетельствовала, что жизни и здоровью Скворцова угрожала реальная опасность и средства защиты соответствовали характеру нападения.

Определением Судебной коллегии по уголовным делам Верховного суда РСФСР от 20 октября 1989 года было указано, что переход оружия или других предметов, используемых при нападении, от посягающего к обороняющемуся сам по себе ещё не может свидетельствовать об окончании посягательства.

На правильность разрешения вопроса о соразмерности средств защиты и средств нападения, обращал внимание Пленум Верховного Суда СССР в своём постановлении от 16 августа 1984 г. «О применении судами законодательства, обеспечивающего право на необходимую оборону от общественно опасных посягательств» разъяснил, что суды не должны механически исходить из требований соразмерности средств защиты и средств нападения, а также соразмерности интенсивности защиты и нападения, а должны учитывать как степень и характер опасности, угрожавшей обороняющемуся, так и его силы и возможности по отражению посягательств, а также все иные обстоятельства, которые могли повлиять на реальное соотношение сил посягавшего и защищавшегося.

Закон признаёт неправомерным вред только при явном несоответствии защиты характеру и опасности посягательства. Поэтому нельзя не согласиться с А.Я. Груном, который считает, что «от нападения, опасного для жизни обороняющегося или другого лица, можно защищаться любыми средствами и способами, не угрожающими здоровью или жизни третьих лиц».

В то же время это не означает, что от нападения, не угрожающего жизни обороняющегося, ни при каких обстоятельствах нельзя защищаться способом, угрожающим жизни нападающего. Так, например, не вызывает сомнения, что «женщина, защищаясь от насильника, может причинить ему тяжкие телесные повреждения и даже убить его, за что не понесёт уголовной ответственности».

Защищаться путём акта необходимой обороны можно и от общественно опасного посягательства, направленного на личную собственность граждан, ибо правомерность таких оборонительных действий прямо вытекает из содержания ст. 37 УК РФ, в которой говорится, что не является преступлением причинение вреда нападающему при защите от общественно опасного посягательства «на право обороняющегося или другого лица».

Недопустимой является защита незначительного, ничтожного блага путём причинения посягающему лицу вреда, разительно несоответственного, несоразмерного с ценностью важностью и общественным значением этого блага.

Если же лицо для защиты малоценного интереса избирает средства, которыми причиняется существенный вред посягающему, то причинение такого вреда не рассматривается как необходимая оборона. В определённых случаях оно не является и превышением пределов необходимой обороны, а влечёт за собой ответственность как за совершение умышленного преступления.

Так, например, владелец одного из домов г. Магнитогорска Гемба в один из вечеров услышал шуршание в саду. Хозяин выбежал на крыльцо с двустволкой в руках. Он увидел на заборе своего сада подростка, пытающегося проникнуть в сад. Озверевший Гемба без всякого предупреждения выстрелил в него в упор. Подросток попытался добежать до своего дома, но умер прямо на дороге. Ни о какой необходимой обороне в данном случае не может быть и речи. Рассмотрев это дело. Челябинский народный суд признал Гембу виновным в умышленном убийстве.

Согласно прямому указанию ст. 37 УК РФ, защищаться можно только от общественно опасного посягательства. Общественная опасность преступлений в общих чертах раскрывается в ст. 2 УК РФ путём перечисления тех основных объектов, которым преступления наносят или могут нанести вред. Таковы права и свободы человека и гражданина, собственность, общественный порядок и общественная безопасность, окружающая среда, конституционный строй, мир и безопасность человечества.

Преступления различаются между собой по характеру и степени общественной опасности. Характер общественной опасности определяет качественное своеобразие преступления. Он зависит от содержания общественных отношений, на которые посягают преступления, характера причиняемого им вреда, способа посягательства, вида вины, содержания мотивов и целей преступления.

Степень общественной опасности – это количественное выражение сравнительной опасности деяний одного и того же характера общественной опасности. Она определяется величиной однородного ущерба, степенью вины, степенью неизменности мотивов и целей преступления, сравнительной опасностью преступлений в зависимости от специфики места или времени совершения преступления.

Из части 2 ст. 14 УК РФ следует, что «не является преступлением действие (бездействие), хотя формально и содержащее признаки какого-либо деяния, предусмотренного настоящим Кодексом, но в силу своей малозначительности не представляющее общественной опасности, то есть не причинившее вреда и не создавшее угрозы причинения вреда личности, обществу или государству». Поэтому защита от малозначительных деяний не должна причинять существенного вреда правонарушителю.

Виды превышения пределов необходимой обороны. Этот вопрос в юридической литературе является дискуссионным. В основном спор сводится к тому, что УК РФ, определяя превышение пределов необходимой обороны как «явное несоответствие защиты характеру и опасности посягательства», имеет ввиду чрезмерную защиту или включает в себя также другие виды превышения пределов необходимой обороны, в частности, во времени.

Выясняя понятие превышения пределов необходимой обороны необходимо, прежде всего, решить вопрос о видах превышения пределов необходимой обороны, так как в теории и судебной практике нет единства взглядов по этому вопросу. Большинством учёных-правоведов признается, что превышение пределов необходимой обороны может быть двух видов:

1) Превышение пределов необходимой обороны, выразившееся в несвоевременности защиты, то есть совершении оборонительных действий непосредственно перед тем, как возникла реальная угроза нападения или уже после окончания посягательства;

2) Превышение пределов необходимой обороны, выразившееся в несоразмерности применяемых средств защиты сравнительно с характером происходившего нападения.

Наиболее распространённым видом превышения пределов необходимой обороны является несоразмерность защиты характеру и опасности посягательства, так называемая «чрезмерная оборона». Бывают случаи, когда защита одновременно является и чрезмерной и несвоевременной. Как правило, «чрезмерная оборона имеется налицо тогда, когда обороняющихся применяет такие средства и методы защиты, которые явно не вызываются характером нападения и условиями, в которых производится защита, и без необходимости причиняют нападающему тяжкий вред».

Этот вид превышения пределов необходимой обороны имеет большое значение для четкого разграничения правомерной обороны и превышения пределов дозволенной защиты. Вопрос о чрезмерной обороне подробно рассматривался выше.

В уголовно-правовой литературе обычно идёт спор по вопросу о признании несвоевременной обороны одним из видов превышения пределов необходимой обороны.

Некоторые учёные считают, что вообще не может иметь места превышение пределов необходимой обороны во времени. В частности, В.Ф. Кириченко писал, что «при нарушении границ необходимой обороны во времени состояние необходимой обороны уже отсутствует вследствие отсутствия нападения; следовательно, в этих случаях, не может быть и речи о превышении необходимой обороны».

Такого же мнения поддерживается и Н.Н. Паше-Озерский, который считает, что превышение пределов необходимой обороны ввиду её несвоевременности не увязывается с существом самого понятия обороны. «В самом деле, – говорит далее автор, – преждевременная оборона не будет ещё обороной необходимой, ибо против лишь предполагаемого посягательства можно применять меры предупреждения, предосторожности, но не прибегать к обороне. А так называема мая «запоздалая» оборона уже не будет необходимой, так как против оконченного посягательства оборона вообще является излишней и логически немыслима».

Указанный взгляд разделял И. И. Слуцкий, который отмечал, что «строго подходя к вопросу, несвоевременность защиты нельзя рассматривать как превышение пределов необходимой обороны, поскольку нельзя превышать того, чего нет».

Однако же, ни В.Ф. Кириченко, ни И. И. Слуцкий не удерживаются до конца на этой позиции и в конечном итоге высказываются в пользу понятия превышения пределов необходимой обороны во времени».

Совершенно иную позицию по вопросу о несвоевременности обороны занимает Т.Г. Шавгулидзе, который считает, что «несвоевременная оборона по существу является разновидностью мнимой обороны».

Для подтверждения своего взгляда Т.Г. Шавгулидзе приводит аргумент. В случаях несвоевременной обороны, независимо от того, объемлет ли это понятие только «запоздалую» оборону или и «преждевременную» оборону, субъект допускает фактическую ошибку. Он думает, что находится в состоянии необходимой обороны, тогда как фактически такого состояния нет или потому, что посягательства пока не было («преждевременная оборона»), или потому, что посягательство уже прекратилось («запоздалая оборона»). Во время несвоевременной обороны лицо думает, что причиняет вред нападающему с целью защиты правовых интересов, однако, его усилия излишни, так как посягательства на самом деле не существует.

И далее он предлагает вопрос о квалификации – действия несвоевременно обороняющегося решать так же, как и вопрос о квалификации действий мнимо обороняющегося.

На наш взгляд, наиболее правильно разрешает вопрос о несвоевременной обороне И.С. Тишкевич, который считает, что несвоевременная оборона «потому и составляет превышение пределов необходимой обороны, что лицо решает осуществить своё право на оборону от общественно опасного посягательства, но делает это преждевременно или с опозданием, вследствие чего выходит за рамки дозволенной защиты.

Нельзя не учитывать того обстоятельства, – далее отмечает автор, – что в этих случаях субъект причиняет смерть или телесное повреждение другому лицу в связи с конкретным нападением последнего (ожидаемом в ближайшем будущем или только что окончившимся), руководствуется, как и при чрезмерной обороне мотивом защиты правоохраняемых интересов от общественно опасного посягательства, но неправильно выбирает момент для совершения оборонительных действий».

Среди ученых, допускающих возможность превышения пределов необходимой обороны во времени, нет единства мнений по вопросу о том, в чём может выразиться такое превышение. А.А. Пионтковский, например, считал, что несвоевременной обороны нет в случаях преждевременной защиты. По этому поводу он, в частности, писал:

«Причинение вреда лицу, которое может лишь в будущем совершить нападение, нельзя рассматривать как превышение пределов необходимой обороны». «Превышение обороны, – далее отмечает автор, при её несвоевременности может иметь место лишь тогда, когда преступное посягательство имело место в действительности, а потому и существовало право на необходимую оборону у потерпевшего или других лиц, но преступник уже прекратил нападение: опасность нападения миновала или преступный результат уже был полностью осуществлен. В этих случаях при определённых условиях можно говорить и о превышении пределов необходимой обороны».

Таким образом, А.А. Пионтковский допускает возможность превышения пределов необходимой обороны лишь в случаях запоздалой защиты. Его мнение не разделяет, на наш взгляд совершенно правильно, И.С. Тишкевич, который считает: «Если установлено, что вред какому-либо лицу, намеревавшемуся совершить общественно опасное посягательство, причинен с целью защиты непосредственно перед тем, как могла возникнуть реальная угроза нападения, то нет никаких оснований не считать действия обороняющегося превышением пределов необходимой обороны».

В подтверждение сказанного И.С. Тишкевич приводит пример: эксцессом обороны обоснованно были признаны действия А., который, сидя верхом на лошади, с расстояния в 5–6 метров выстрелил в Ш., угрожавшего убийством и с ножом в руках приближавшегося к А., несмотря на предупреждение последнего, что он будет стрелять. От полученного ранения Ш. скончался. Президиум Верховного Суда РСФСР обосновал наличие превышения пределов необходимой обороны ссылкой на то, что А. находился верхом на лошади, а Ш. на земле и расстояние между ними было свыше 5 метров.

Таким образом, основанием для осуждения за эксцесс обороны явилась несвоевременность защиты (если бы А., починил смерть Ш. в тот момент, когда он, приблизившись к лошади, замахнулся бы ножом, чтобы ударить А., и, следовательно, имелась бы реальная угроза причинения ему смерти или телесных повреждений, действия обороняющегося были бы правомерны. А. не обязан был спасаться бегством, пользуясь тем, что он находился на лошади.

Вместе с тем необходимо отметить, что на практике преждевременная оборона встречается очень редко.

Судебная практика в вопросе о признании несвоевременной обороны одним из видов превышения пределов необходимой обороны проявляет некоторую непоследовательность.

Так, Пленум Верховного Суда СССР от 16 августа 1984 года в своём постановлении стремился устранить неосновательное привлечение к уголовной ответственности за превышение пределов необходимой обороны по мотивам несвоевременности, когда в действительности лицо осуществляло правомерно необходимую оборону. Из п. 5 этого постановления следует, что «состояние необходимой обороны возникает не только в самый момент общественно опасного посягательства, но и при наличии реальной угрозы нападения. Состояние необходимой обороны может иметь место и тогда, когда защита последовал непосредственно за актом хотя бы и оконченного посягательства, но по обстоятельствам дела для оборонявшегося не был ясен момент его окончания.

Признание несвоевременной обороны одним из видов превышения пределов необходимой обороны, разделяется большинством учёных-правоведов. Эту же позицию по данному вопросу занимает и судебная практика:

Так, Юрьев-Польским районным народным судом Владимирской области Ильясевич была осуждена по ст. 103 УК РСФСР. Она была признана виновной в том, что Ильясевич, поссорившись с мужем, стала убегать от последнего, т. к. муж ударил её. Преследуя жену, Ильясевич забежал в дом к знакомым, где она пыталась укрыться. Хозяин дома вместе со своим взрослым сыном повалили Ильясевича на пол и пытались его успокоить. В это время преследуемая в доме со стола на кухне схватила кухонный нож и нанесла им удары мужу в левую половину груди и живот. От полученных ранений Ильясевич на месте скончался.

Президиум Владимирского областного суда приговор изменил, её действия переквалифицировал на ст. 105 УК, указав, что у Ильясевич были все основания полагать, что нападение мужа на неё неокончено, что он явился следом за ней в дом с целью расправы, т. е. Ильясевич действовала в состоянии необходимой обороны с превышением её пределов.

Таким образом, на наш взгляд, видами превышения пределов необходимой обороны может быть: 1) явное несоответствие защиты характеру и опасности посягательства; и 2) несвоевременность защиты.

Превышение пределов необходимой обороны следует отграничивать от действий, совершенных в состоянии мнимой обороны. При превышении пределов необходимой обороны, обороняющийся осуществляет защиту от реально существующего общественно опасного посягательства, хотя бы превышение и было связано с ошибочным представлением защищающегося о характере и степени опасности посягательства. Действия лица, превысившего пределы допустимой обороны, всегда общественно опасны, а потому влекут за собой уголовную ответственность.

При мнимой же обороне, хотя действия обороняющегося и общественно опасны, но, как это прямо вытекает из закона, не всегда влекут за собой уголовную ответственность.

Пленум Верховного Суда СССР в постановлении № 14 от 16 августа 1984 года «О применении судами законодательства, обеспечивающего право на необходимую оборону от общественно опасных посягательств» в п. 13 указал, что суды должны различать состояние необходимой обороны и так называемой мнимой обороны, когда отсутствует реальное общественно опасное посягательство и лицо лишь ошибочно предполагает наличие такого посягательства.

В тех случаях, когда обстановка происшествия давала основание полагать, что совершается реальное посягательство, и лицо, применившее средство защиты, не сознавало и не могло сознавать ошибочность своего предположения, его действия следует рассматривать как совершённые в состоянии необходимой обороны. Если при этом лицо превысило пределы защиты, допустимой в условиях соответствующего реального посягательства, оно подлежит ответственности как за превышение пределов необходимой обороны.

Если же лицо причиняет вред, не сознавая мнимости посягательства, но по обстоятельствам дела должно было и могло это сознавать, действия такого лица подлежат квалификации по статьям уголовного кодекса, предусматривающим ответственность за причинение вреда по неосторожности.

Когда же лицо при достаточной внимательности могло сознавать ошибочность своего предположения о наличии нападения, и оно причиняет вред постороннему лицу – имеется состав преступления.

22 декабря 1974 года вечером Кучеренко находился в будке для охраны магазина в с. Покровка, будучи предупрежденным заведующей магазина о том, что у последней похищены ключи от магазина и склада, в связи с чем возможно совершение кражи. В 22-ом часу вечера из автомашины, остановившейся у магазина, вышел Ляховенко, находившийся в нетрезвом состоянии. Несмотря на окрики сторожа, стал приближаться к последнему. В связи с тем, что на неоднократные окрики и предупреждения Ляховенко не отвечал, Кучеренко ещё больше встревожился и сделал из ружья предупредительный выстрел вверх. Но Ляховенко, не реагируя на крики и предупредительный выстрел, держа правую руку в кармане, молча приближался к сторожу. 62-летний сторож ошибочно воспринял это как реальную угрозу нападения и произвёл второй выстрел в направления Ляховенко, которым последний был убит. Как указала Судебная коллегия по уголовным делам Верховного Суда, исходя из обстановки данного происшествия следует признать, что Кучеренко, при должной внимательности мог сознавать ошибочность своего предположения, мог установить, что нападения не существует, поэтому его действия должны рассматриваться как неосторожное убийство.

Пределы прочности материалов

Быстрый поиск

Определённая пороговая величина для конкретного материала, превышение которой приведёт к разрушению объекта под действием механического напряжения. Основные виды пределов прочности: статический, динамический, на сжатие и на растяжение. Например, предел прочности на растяжение — это граничное значение постоянного (статический предел) или переменного (динамический предел) механического напряжения, превышение которого разорвет (или неприемлемо деформирует) изделие. Единица измерения — Паскаль [Па], Н/мм ² = [МПа].

Предел текучести (σ

т)

Величина механического напряжения, при которой деформация продолжает увеличиваться без увеличения нагрузки; служит для расчётов допустимых напряжений пластичных материалов.

После перехода предела текучести в структуре металла наблюдаются необратимые изменения: кристаллическая решетка перестраивается, появляются значительные пластические деформации. Вместе с тем происходит самоупрочнение металла и после площадки текучести деформация возрастает при увеличении растягивающей силы.

Нередко этот параметр определяют как «напряжение, при котором начинает развиваться пластическая деформация» [1], таким образом, отождествляя пределы текучести и упругости. Однако следует понимать, что это два разных параметра. Значения предела текучести превышают предел упругости ориентировочно на 5%.

Предел выносливости или предел усталости (σ

R)

Способность материала воспринимать нагрузки, вызывающие циклические напряжения. Этот прочностной параметр определяют как максимальное напряжение в цикле, при котором не происходит усталостного разрушения изделия после неопределенно большого количества циклических нагружений (базовое число циклов для стали Nb = 10 7). Коэффициент R (σR) принимается равным коэффициенту асимметрии цикла. Поэтому предел выносливости материала в случае симметричных циклов нагружения обозначают как σ-1, а в случае пульсационных — как σ0.

Отметим, что усталостные испытания изделий очень продолжительны и трудоёмки, они включают анализ больших объёмов экспериментальных данных при произвольном количестве циклов и существенном разбросе значений. Поэтому чаще всего используют специальные эмпирические формулы, связывающие предел выносливости с другими прочностными параметрами материала. Наиболее удобным параметром при этом считается предел прочности.

Для сталей предел выносливости при изгибе как правило составляет половину от предела прочности: Для высокопрочных сталей можно принять:

Для обычных сталей при кручении в условиях циклически изменяющихся напряжений можно принять:

Приведённые выше соотношения стоит применять осмотрительно, потому что они получены при конкретных режимах нагружения, т.е. при изгибе и при кручении. Однако, при испытании на растяжение-сжатие предел выносливости становится примерно на 10—20% меньше, чем при изгибе.

Предел пропорциональности (σ)

Максимальная величина напряжения для конкретного материала, при которой ещё действует закон Гука, т.е. деформация тела прямо пропорционально зависит от прикладываемой нагрузки (силы). Обратите внимание, что для множества материалов достижение (но не превышение!) предела упругости приводит к обратимым (упругим) деформациям, которые, впрочем, уже не прямо пропорциональны напряжениям. При этом такие деформации могут несколько «запаздывать» относительно роста или снижения нагрузки.

Диаграмма деформации металлического образца при растяжении в координатах удлинение (Є) — напряжение (σ).

1:Предел абсолютной упругости.

2:Предел пропорциональности.

3:Предел упругости.

4:Предел текучести. (σ 0.2)

Анонс обновления: новые пределы | Skyforge

Друзья!

Многие из тех, кто пришел в игру не в первые дни ее запуска, сталкивались с проблемой, когда равные для всех еженедельные пределы мешали догнать друга, играющего уже давно, или вступить в топ-пантеон, постоянно повышающий требования по престижу для своих участников. С похожей проблемой сталкивались и те, кто давно не заходил в игру — очень сложно исчерпать накопившиеся пределы и догнать тех, кто активно играет со старта игры. В ближайшее время эти проблемы будут решены. Появится система, позволяющая догнать игроков, которые начали с первых недель. Например, если вы зарегистрировались в Skyforge только сейчас, у вас уйдет всего около двух месяцев на то, чтобы догнать тех, кто начал игру на этапе раннего доступа. А у тех, кто долго не играл, появится возможность наверстать прогресс с помощью репликаторов искр.

Теперь игроки, отстающие в прогрессе, могут получать увеличенные пределы частиц мастерства, искр прозрения и классовых искр, проходя еженедельные промоприключения. Они будут появляться на глобусе у тех, кто достиг 1357 престижа. После 36087 престижа появятся и промоприключения, дающие дополнительные пределы по тактическому чутью. Обратите внимание: чтобы получить разные типы пределов, нужно будет пройти разные промоприключения.

Чем сильнее вы отстали, тем более значительное увеличение вас ожидает. При этом предел классовых искр будет расти равномерно — каждый раз на 1890, а вот с искрами прозрения расчеты идут по более сложной формуле. Так, первые три недели игрок сможет получить 3000, 7000 и 10000 дополнительных цветных искр соответственно. После этого дается несколько недель на разгон (20000, 40000 и так далее), а затем — финишная прямая, когда прирост предела уменьшится. Отрыв последних недель нагонять дольше всего, но этот небольшой разрыв уже не помешает вам играть с друзьями и вступать в топ-пантеоны.

Кроме того, будет изменена работа репликаторов искр. Если предел искр прозрения персонажа превысил 30000, а классовых искр — перевалил за отметку 5670, бонус от репликатора увеличивается. Процент напрямую зависит от ваших пределов: чем они выше, тем больше дополнительных искр будут давать репликаторы. Стоит заметить, что количество начисляемых искр зависит от предела именно на эти искры. Благодаря этой системе игрок, который долго не заходил в Skyforge, сможет быстро догнать оторвавшихся по прогрессу соратников.

Похожая публикация:

Похожая публикация:

Таможенные ставки на вывоз из РФ товаров за пределы государств

В целях приведения актов Правительства Российской Федерации по вопросам, связанным с описанием и кодированием товаров, в соответствие с требованиями Международной конвенции о Гармонизированной системе описания и кодирования товаров от 14 июня 1983 г. и в соответствии со статьей 3 Закона Российской Федерации “О таможенном тарифе” Правительство Российской Федерации постановляет:

1. Утвердить прилагаемые ставки вывозных таможенных пошлин на товары, вывозимые из Российской Федерации за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе.

2. Признать утратившими силу акты Правительства Российской Федерации по перечню согласно приложению.

3. Настоящее постановление распространяется на правоотношения, возникшие с 1 января 2012 г.

Председатель
Правительства Российской Федерации
В. Путин

Прим. ред: текст постановления опубликован в “Собрании законодательства РФ”, 13.02.2012, N 7, ст. 869.

Приложение

Перечень утративших силу актов Правительства Российской Федерации

1. Постановление Правительства Российской Федерации от 23 декабря 2006 г. N 795 “Об утверждении ставок вывозных таможенных пошлин на товары, вывозимые с территории Российской Федерации за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе, и признании утратившими силу некоторых актов Правительства Российской Федерации” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 1, ст. 254).

2. Постановление Правительства Российской Федерации от 5 февраля 2007 г. N 75 “О внесении изменений в постановление Правительства Российской Федерации от 23 декабря 2006 г. N 795 в отношении отдельных видов лесоматериалов необработанных” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 7, ст. 896).

3. Постановление Правительства Российской Федерации от 8 февраля 2007 г. N 84 “Об утверждении ставки вывозной таможенной пошлины на семена рапса, или кользы, дробленые или недробленые, вывозимые за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 7, ст. 904).

4. Постановление Правительства Российской Федерации от 10 апреля 2007 г. N 215 “О внесении изменений в Таможенный тариф Российской Федерации и в постановление Правительства Российской Федерации от 23 декабря 2006 г. N 795 в отношении пиломатериалов хвойных и лиственных из березы и осины” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 16, ст. 1917).

5. Постановление Правительства Российской Федерации от 15 мая 2007 г. N 290 “О внесении изменений в постановление Правительства Российской Федерации от 23 декабря 2006 г. N 795 в отношении отдельных видов пиломатериалов” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 21, ст. 2511).

6. Постановление Правительства Российской Федерации от 15 мая 2007 г. N 291 “Об утверждении ставок вывозных таможенных пошлин на фосфаты кальция природные и отдельные виды минеральных удобрений” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 21, ст. 2512).

7. Постановление Правительства Российской Федерации от 12 июня 2007 г. N 369 “О внесении изменения в постановление Правительства Российской Федерации от 23 декабря 2006 г. N 795 в отношении утверждения ставки вывозной таможенной пошлины на прочие кокс и полукокс из каменного угля” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 25, ст. 3037).

8. Постановление Правительства Российской Федерации от 30 октября 2007 г. N 721 “О внесении изменений в некоторые акты Правительства Российской Федерации в части отдельных видов продукции лесопромышленного комплекса высокой степени переработки” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 45, ст. 5503).

9. Постановление Правительства Российской Федерации от 7 ноября 2007 г. N 763 “Об утверждении ставок вывозных таможенных пошлин на отдельные химические товары” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 46, ст. 5602).

10. Постановление Правительства Российской Федерации от 30 ноября 2007 г. N 818 “О внесении изменения в постановление Правительства Российской Федерации от 23 декабря 2006 г. N 795 в отношении серы сырой или нерафинированной” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 50, ст. 6286).

11. Постановление Правительства Российской Федерации от 7 апреля 2008 г. N 237 “Об утверждении ставок вывозных таможенных пошлин на отдельные виды полимеров этилена” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2008, N 15, ст. 1547).

12. Постановление Правительства Российской Федерации от 4 мая 2008 г. N 332 “О внесении изменения в постановление Правительства Российской Федерации от 7 апреля 2008 г. N 237” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2008, N 19, ст. 2171).

13. Постановление Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2008 г. N 982 “О ставках вывозных таможенных пошлин в отношении отдельных видов лесоматериалов, вывозимых с территории Российской Федерации за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2008, N 52, ст. 6407).

14. Постановление Правительства Российской Федерации от 21 января 2009 г. N 25 “Об утверждении ставок вывозных таможенных пошлин на никель нелегированный и медные катоды” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2009, N 4, ст. 512).

15. Постановление Правительства Российской Федерации от 27 января 2009 г. N 65 “Об утверждении ставок вывозных таможенных пошлин на отдельные виды удобрений, вывозимые за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2009, N 5, ст. 635).

16. Постановление Правительства Российской Федерации от 2 октября 2009 г. N 771 “Об утверждении ставки вывозной таможенной пошлины на отходы и лом магниевые” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2009, N 41, ст. 4757).

17. Постановление Правительства Российской Федерации от 16 декабря 2009 г. N 1017 “Об утверждении ставки вывозной таможенной пошлины на никель нелегированный, вывозимый с территории Российской Федерации за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2009, N 51, ст. 6319).

18. Постановление Правительства Российской Федерации от 23 декабря 2009 г. N 1071 “О ставках вывозных таможенных пошлин в отношении отдельных видов лесоматериалов необработанных, вывозимых за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2009, N 52, ст. 6596).

19. Постановление Правительства Российской Федерации от 16 июня 2010 г. N 442 “О ставках вывозных таможенных пошлин в отношении отдельных видов лесоматериалов, вывозимых за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2010, N 25, ст. 3193).

20. Постановление Правительства Российской Федерации от 12 октября 2010 г. N 803 “О ставках вывозных таможенных пошлин в отношении цемента, вывозимого за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2010, N 42, ст. 5379).

21. Постановление Правительства Российской Федерации от 12 ноября 2010 г. N 892 “О ставке вывозной таможенной пошлины на никель нелегированный, вывозимый с территории Российской Федерации за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2010, N 47, ст. 6118).

22. Постановление Правительства Российской Федерации 12 ноября 2010 г. N 893 “О ставке вывозной таможенной пошлины на медные катоды, вывозимые с территории Российской Федерации за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2010, N 47, ст. 6119).

23. Пункты 37, 65, 67 изменений, которые вносятся в акты Правительства Российской Федерации, утвержденных постановлением Правительства Российской Федерации от 8 декабря 2010 г. N 1002 “Об изменении и признании утратившими силу некоторых актов Правительства Российской Федерации” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2010, N 52, ст. 7080; 2011, N 13, ст. 1769).

24. Постановление Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2010 г. N 1190 “О ставках вывозных таможенных пошлин в отношении отдельных видов лесоматериалов необработанных, вывозимых за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2011, N 2, ст. 362).

25. Постановление Правительства Российской Федерации от 20 января 2011 г. N 11 “Об утверждении ставки вывозной таможенной пошлины на мороженые глубоководные креветки, вывозимые за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2011, N 4, ст. 613).

26. Постановление Правительства Российской Федерации от 16 марта 2011 г. N 169 “Об утверждении ставок вывозных таможенных пошлин в отношении кожевенного полуфабриката, вывозимого за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2011, N 12, ст. 1646).

27. Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2011 г. N 875 “О внесении изменения в постановление Правительства Российской Федерации от 23 декабря 2006 г. N 795 и утверждении ставки вывозной таможенной пошлины на никель нелегированный” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2011, N 45, ст. 6403). 

Ставки вывозных таможенных пошлин на товары, вывозимые из Российской Федерации за пределы государств – участников соглашений о Таможенном союзе

(pdf, PDF, 104 Кб)

Карты контроля качества



Карты контроля качества

Карты контроля качества



Основные задачи

При организации любого производственного процесса возникает задача установки пределов характеристик изделия, в рамках которых произведенная продукция удовлетворяет своему предназначению. Вообще говоря, существует два “врага” качества продукции: (1) отклонения от плановых спецификаций и (2) слишком большой разброс реальных характеристик изделий (относительно плановых спецификаций). На ранних стадиях отладки производственного процесса для оптимизации этих двух показателей качества часто используются методы планирования эксперимента (см. Планирование эксперимента). Методы, содержащиеся в модуле “Контроль качества”, предназначены для построения процедур контроля качества продукции в процессе ее производства, т.е. текущего контроля качества. За детальным описанием принципов построения контрольных карт и примерам обратитесь к работам Buffa (1972), Duncan (1974), Grant and Leavenworth (1980), Juran (1962), Juran and Gryna (1970), Montgomery (1985, 1991), Shirland (1993) или Vaughn (1974). В качестве превосходных вводных курсов, построенных на основе подхода “как – чтобы”, можно указать монографии Hart and Hart (1989) и Pyzdek (1989), а также изданные на немецком языке курсы Rinne and Mittag (1995) и Mittag (1993). 


Общий подход

Общий подход к текущему контролю качества достаточно прост. В процессе производства проводятся выборки изделий заданного объема. После этого на специально разлинованной бумаге строятся диаграммы изменчивости выборочных значений плановых спецификаций в этих выборках и рассматривается степень их близости к заданным значениям. Если диаграммы обнаруживают наличие тренда выборочных значений или оказывается, что выборочные значения находятся вне заданных пределов, то считается, что процесс вышел из-под контроля, и предпринимаются необходимые действия для того, чтобы найти причину его разладки. Иногда такие специально разлинованные бумаги называют контрольными картами Шуэрта (в честь W. A. Shewhart, который общепризнанно считается первым, применившим на практике описываемые здесь методы анализа; см. Shewhart, 1931).

Интерпретация контрольных карт. В компьютерном варианте контрольных карт наиболее часто встречается ситуация, когда на экране находятся две карты (и две гистограммы), одна из них называется Х-картой, а другая – R-картой.

В обеих контрольных картах по горизонтальной оси откладываются номера соответствующих выборок; по вертикальной оси в случае X -карты отложены выборочные средние исследуемых характеристик, а в случае R-карты – размахи соответствующих выборок. Пусть, например, производятся контрольные измерения диаметра поршневых колец, изготавливаемых на вашем предприятии. Тогда центральная линия на X -карте будет соответствовать размеру, используемому в качестве стандарта (например, установленному диаметру кольца в миллиметрах), в то время как центральная линия R-карты будет соответствовать приемлемому (т.е. находящемуся в пределах плановой спецификации) размаху диаметра поршневого кольца в выборках; таким образом, последняя контрольная карта представляет собой карту изменчивости процесса (чем больше изменчивость, тем больше диапазон отклонения от стандарта). Кроме центральной линии, на карте обычно присутствуют две дополнительные горизонтальные прямые, обозначающие верхний и нижний контрольные пределы (ВКП и НКП соответственно). Принципы определения этих линий обсуждаются ниже. Обычно нанесенные на карты отдельные точки соответствуют выборочным значениям и соединяются прямыми линиями. Если результирующая кривая на графике выходит за верхний или нижний контрольный предел или ее конфигурация выражает определенную тенденцию поведения для следующих друг за другом выборок (см. Критерий серий), то это рассматривается как указание на существование проблем с качеством.


Установка контрольных пределов

Несмотря на то, что можно достаточно произвольно определить момент разладки производственного процесса (например, при выходе соответствующих значений за границы верхних и нижних контрольных пределов), обычной практикой является применение статистических методов для определения этого момента. В разделе Элементарные понятия статистики обсуждаются свойства выборочного распределения, а также дается сводка характеристик нормального распределения. Метод установления верхнего и нижнего контрольных пределов представляет собой прямое следствие применения  описанных в этом разделе принципов.

Пример. Предположим, вы контролируете среднее значение некоторой величины – например, диаметра поршневых колец. Пусть среднее значение диаметров и дисперсия в процессе производства не меняются. Тогда выборочные средние, полученные для последовательных выборок, будут распределены нормально относительно истинного среднего. Более того, не вдаваясь в тонкости, связанные с выводом формул, можно заключить (согласно центральной предельной теореме и сделанному предположению о нормальности выборочных средних размеров колец; см, например, работу Hoyer and Ellis, 1996), что стандартное отклонение распределения выборочных средних будет равно сигме (стандартному отклонению отдельных наблюдений или измерений диаметра отдельных колец), деленному на квадратный корень из n (n – размер выборки). Следовательно, примерно 95% значений выборочных средних попадут в интервал   ±1.96 *сигма/квадратный корень из n (обсуждение соответствующих свойств нормального распределения проводится в разделе Элементарные понятия статистики). На практике обычно заменяют 1.96 на 3 (при этом в интервал попадают приблизительно 99% выборочных средних) и определяют верхний и нижний контрольные пределы как плюс-минус 3 сигма соответственно. 

Общий случай. Описанный выше частный принцип установления контрольных пределов применяется во всех типах контрольных карт. После выбора контролируемой характеристики (например, стандартного отклонения) оценивается ее ожидаемая изменчивость в выборках того размера, который будет использоваться в контролируемой процедуре. Затем с помощью полученных оценок изменчивости устанавливают контрольные пределы карты.


Наиболее часто используемые типы контрольных карт

Классификация типов контрольных карт часто осуществляется согласно типам величин, которые выбраны для отслеживания характеристик качества. Так, различают контрольные карты для непрерывных переменных и контрольные карты по альтернативному признаку. В частности, для контроля по непрерывному признаку обычно строятся следующие контрольные карты:

  • X-карта. На эту контрольную карту наносятся значения выборочных средних для того, чтобы контролировать отклонение от среднего значения непрерывной переменной (например, диаметров поршневых колец, прочности материала и т.д.).
  • R-карта. Для контроля за степенью изменчивости непрерывной величины в контрольной карте этого типа строятся значения размахов выборок.
  • S-карта. Для контроля за степенью изменчивости непрерывной переменной в контрольной карте данного типа рассматриваются значения выборочных стандартных отклонений.
  • S**2-карта. В контрольной карте данного типа для контроля изменчивости строится график выборочных дисперсий.

Для контроля качества продукции по альтернативному признаку обычно применяются следующие типы контрольных карт:

  • C-карта. В таких контрольных картах строится график числа дефектов (в партии, в день, на один станок, в расчете на 100 футов трубы и т.п.). При использовании карты этого типа делается предположение, что дефекты контролируемой характеристики продукции встречаются сравнительно редко, при этом контрольные пределы для данного типа карт рассчитываются на основе свойств  распределения Пуассона (распределения редких событий).

  • U-карта. В карте данного типа строится график относительной частоты дефектов, то есть отношения числа обнаруженных дефектов к n – числу проверенных единиц продукции (здесь n обозначает, например, число футов длины трубы, объем партии изделий). В отличие от C-карты, для построения карты данного типа не требуется постоянство числа единиц проверяемых изделий, поэтому ее можно использовать при анализе партий различного объема.
  • Np-карта. В контрольных картах этого типа строится график для числа дефектов (в партии, в день, на станок), как и в случае С-карты. Однако, контрольные пределы этой карты рассчитываются на основе биномиального распределения, а не распределения редких событий Пуассона. Поэтому данный тип карт должен использоваться в том случае, когда обнаружение дефекта не является редким событием (например, когда обнаружение дефекта происходит более чем у 5% проверенных единиц продукции). Этой картой можно воспользоваться, например, при контроле числа единиц продукции, имеющих небольшой брак.
  • P-карта. В картах данного типа строится график процента обнаруженных дефектных изделий (в расчете на партию, в день, на станок и т.д.). График строится так же, как и в случае U-карты. Однако контрольные пределы для данной карты находятся на основе биномиального распределения (для долей), а не распределения редких событий. Поэтому P-карта наиболее часто используется, когда появление дефекта нельзя считать редким событием (если, например, ожидается, что дефекты будут присутствовать в более чем 5% общего числа произведенных единиц продукции).

Все перечисленные выше типы карт допускают возможность построения кратких карт для производственных серий (краткие контрольные карты) и контрольных карт для нескольких процессов (многопоточные групповые карты).


Краткие контрольные карты

Краткая контрольная карта (контрольная карта для кратких производственных серий) представляет собой график наблюдаемых значений характеристик качества (значений непрерывной переменной или альтернативного признака) для нескольких частей процесса, причем все значения контролируемой характеристики наносятся на одну и ту же карту. Разработка кратких контрольных карт стала следствием необходимости адаптации контрольных карт к тем ситуациям, когда требуется выполнить несколько десятков измерений контролируемой характеристики процесса, прежде чем вычислить контрольные пределы. Часто данное требование выполняется с трудом на тех стадиях производственного процесса, в ходе которых изготавливается ограниченное (малое) число деталей, которые необходимо подвергнуть измерениям.

Так, например, на целлюлозно-бумажном комбинате процесс может быть организован следующим образом: выпускается только три-четыре больших рулона бумаги определенного сорта (часть процесса), а затем переходят к выпуску бумаги другого сорта. Однако, если измерения переменных (таких, например, как толщина бумаги или альтернативных признаков, таких, как наличие/отсутствие пятен) производятся для нескольких десятков рулонов, скажем, десяти различных сортов, то контрольные пределы для переменной “толщина бумаги” и признака “наличие/отсутствие пятен” могут быть вычислены на основе преобразованных значений (в рамках краткой производственной серии). Более точно, эти преобразования заключаются в таком изменении масштаба контролируемых переменных, при котором амплитуды их изменения в различных производственных сериях (различных частях процесса) будут сравнимыми. Контрольные пределы, рассчитанные по этим преобразованным значениям, могут применяться в дальнейшем при контроле толщины бумаги и наличия/отсутствия пятен, вне зависимости от сорта выпускаемой бумаги. Для того чтобы определить, произошла разладка процесса или нет, могут быть использованы статистические процедуры контроля процесса. Этими процедурами можно воспользоваться также для постоянного контроля производства и разработки способов постоянного улучшения качества.

Более подробное описание кратких карт контроля качества можно найти в работах Bothe (1988), Johnson (1987) или Montgomery (1991).

Краткие карты для переменных

Номинальная карта, карта плановых спецификаций. Существует несколько типов кратких контрольных карт. Наиболее часто используются следующие карты: номинальная карта и карта плановых спецификаций. При построении данных карт преобразование наблюдаемых значений контролируемой характеристики в различных частях процесса производится путем вычитания определенной постоянной из измерений (для наблюдений каждой части используется своя постоянная). В качестве таких постоянных могут выступать как значения номинала для соответствующих частей процесса (результатом такого подхода будет номинальная краткая карта), так и плановые спецификации, рассчитанные по “историческим” средним контролируемой характеристики для каждой части (краткая X-карта плановых спецификаций и краткая R-карта плановых спецификаций). Так, например, сравнение внутренних диаметров поршневых колец для различных блоков мотора, находящихся в производстве, только тогда может быть обоснованно, когда до проведения сравнения из измерений диаметров будут вычтены средние разности между внутренними диаметрами поршневых колец для моторов различного размера (для определения непротиворечивости значений диаметров). Такое сравнение становится возможным при построении краткой номинальной карты или краткой карты плановых спецификаций. Заметим, что при построении номинальной карты и карты плановых спецификаций делается предположение о равенстве дисперсий различных частей процесса, чтобы применение рассчитанных по общей оценке сигма процесса контрольных пределов можно было считать корректным.

Стандартизованная краткая карта. Если изменчивость различных частей процесса нельзя считать одинаковой, то прежде чем нанести на одну карту данные, относящиеся к разным частям процесса,  необходимо провести еще одно преобразование. При построении карты данного типа это преобразование заключается в следующем: вычисляются отклонения выборочных средних контролируемой характеристики от средних для соответствующих частей процесса (т.е. от номинальных значений или плановых спецификаций для частей), далее для каждой части процесса эти отклонения делятся на постоянные, пропорциональные изменчивости соответствующих частей. Так, в случае кратких X-карты и R-карты, для построения точек графика X-карты вначале из каждого выборочного среднего вычитается определенная постоянная, соответствующая рассматриваемой части процесса (т.е. среднее этой части процесса или значение номинала для данной части), затем эта разность делится на другую постоянную – например на средний размах соответствующей части процесса. В результате таких преобразований масштабы выборочных средних различных частей процесса станут сравнимыми.

Краткие карты по альтернативному признаку

В случае контрольных карт по альтернативному признаку (C-, U-, Np- или P-карт) оценка изменчивости процесса (доля, частота и т.д.) зависит от среднего значения процесса (средней доли, средней относительной частоты и т.д.) – так, например, стандартное отклонение доли p равно квадратному корню из p*(1-p)/n). Следовательно, для альтернативных признаков могут быть построены только стандартизованные краткие карты. К примеру, точки краткой P-карты находятся вычитанием из соответствующих выборочных значений долей p средних p для части процесса, с последующим делением результата на стандартное отклонение средних p.


Многопоточные групповые карты

Групповая контрольная карта дает возможность нанести данные для нескольких потоков наблюдаемых значений непрерывной переменной или альтернативного признака (характеристик качества) на одну и ту же карту. Это упрощает интерпретацию карты при одновременном управлении большим числом процессов или их характеристик. Здесь термином “потоки процесса” могут обозначаться данные, полученные для различных станков, сборочных линий, операторов и так далее. Все эти данные могут быть нанесены на одну контрольную карту.

При построении групповой X-карты для каждой из выборок с измерениями контролируемой характеристики на карту наносится две точки, в результате чего на графике образуются две линии. Верхняя из них представляет собой график наиболее высоких средних значений каждой выборки для всех нанесенных на карту потоков переменных или альтернативных признаков, а нижняя – подобный график наименьших средних значений каждой выборки. Для каждой выборки верхняя и нижняя точка представляют собой максимальное и минимальное средние всех нанесенных на карту потоков переменных или альтернативных признаков. Если эти экстремальные значения не выходят за рамки заданных контрольных пределов, очевидно, что все остальные средние также будут находиться в области, ограниченной контрольными пределами. Следовательно, с помощью групповой X-карты, можно быстро определить, не началась ли разладка процесса в одном или нескольких потоках процесса или контролируемых характеристиках, не переходя к проверке всех измерений подряд.

В групповых R-, S- или S**2-картах для переменных, как и в групповых C-, U-, Np- или P-картах  для альтернативных признаков, две точки, наносимые на карту для каждой выборки, соответствуют минимальному и максимальному размаху, стандартному отклонению и т.п. от средних переменных или альтернативных признаков, измеряемых для каждой выборки в нескольких потоках. Как и в случае групповой X-карты, сравнение этих экстремальных значений с заданными контрольными пределами   дает возможность быстро определить, не началась ли разладка потока процесса или его контролируемой характеристики.

Групповая карта для одной части процесса называется стандартной групповой картой или, обычно, просто групповой картой. Групповые карты для нескольких частей процесса называются групповыми краткими картами. Для построения групповых кратких карт используется та же процедура, что и для стандартных групповых карт; единственное их отличие от стандартных состоит в том, что точки на график наносятся только после того, как будут выполнены все преобразования данных в пределах отдельных частей процесса.


Неравные объемы выборок

При построении на контрольной карте графика для выборок неодинакового объема контрольные пределы, находящиеся по обе стороны от центральной линии (плановой спецификации), не могут быть изображены прямыми линиями. Так, например, вернувшись к формуле сигма/квадратный корень из n, которая была введена для вычисления контрольных пределов X-карты, можно видеть, что неравные значения n приведут к получению различных контрольных пределов для разных объемов выборки. Существует три способа, позволяющих справиться с такой ситуацией.

Средние объемы выборок. В том случае, когда желательно оставить контрольные пределы в виде прямых линий (например, чтобы облегчить чтение карты и ее использование в презентациях), можно найти среднее значение объема выборки n по всем рассматриваемым выборкам и установить контрольные пределы на основе полученного среднего объема выборки. Эту процедуру нельзя назвать “точной”. И все же, пока объемы выборок несильно отличаются друг от друга, применение данного метода можно считать вполне адекватным.

Переменные контрольные пределы. С другой стороны, для каждой выборки можно отдельно определить контрольные пределы на основе ее объема. При таком подходе будут получены переменные контрольные пределы. На графике такие пределы будут изображены ступенчатой линией. Этот метод позволяет получить точные контрольные пределы для каждой из использующихся выборок. Однако при этом теряется простота и наглядность контрольных пределов, отмечаемых на карте прямой линией.

Стабилизированная (нормализованная) карта. Наилучший вариант – изображающиеся прямыми линиями контрольные пределы, которые при этом точны – может быть получен путем стандартизации контролируемой численной характеристики (среднего значения, доли и т.д.) согласно единицам сигмы. При этом контрольные пределы изображаются прямыми линиями, но расположение точек выборочных значений на графике определяется не только значениями контролируемой характеристики, но и объемом n соответствующих выборок. Недостаток данного метода заключается в следующем: по вертикальной оси контрольной карты (оси Y) величины выражаются в единицах сигма, а не в первоначальных единицах измерения контролируемой характеристики, поэтому их нельзя считывать по выводимому на графике значению. Так, например, выборочная величина со значением 3 отстоит на 3 сигма от плановой спецификации. Для перевода данного значения в первоначальные единицы измерения придется выполнить некоторый объем вычислений.


Контрольные карты для непрерывных переменных и контрольные карты по альтернативному признаку

Иногда инженеру, занимающемуся контролем качества, приходится выбирать между применением контрольной карты для непрерывных переменных и контрольной карты по альтернативному признаку.

Преимущества контрольных карт по альтернативному признаку. Преимущество контрольных карт по альтернативному признаку состоит в возможности быстро получить общее представление о различных аспектах качества анализируемого изделия; то есть, на основании различных критериев качества инженер может сразу принять или забраковать продукцию. Далее, контрольные карты по альтернативному признаку иногда позволяют обойтись без применения дорогих точных приборов и требующих значительных затрат времени измерительных процедур. Кроме того, этот тип контрольных карт более понятен менеджерам, которые не разбираются в тонкостях методов контроля качества. Таким образом, с помощью таких карт можно более убедительно продемонстрировать руководству наличие проблем с качеством изделий.

Преимущества контрольных карт для непрерывных переменных. Контрольные карты для непрерывных переменных обладают большей чувствительностью, чем контрольные карты по альтернативному признаку (см. Montgomery, 1985, стр. 203). Благодаря этому, контрольные карты для непрерывных переменных могут указать на существование проблемы ухудшения качества, прежде чем в потоке продукции появятся настоящие бракованные изделия, выделяемые с помощью контрольной карты по альтернативному признаку. В работе Montgomery (1985) автор называет контрольные карты для непрерывных переменных основными индикаторами  ухудшения качества, которые предупреждают об этих проблемах задолго до того, как в процессе производства резко возрастет доля бракованных изделий.

 

Контрольные карты для отдельных наблюдений

Кроме выборок, состоящих из нескольких наблюдений, контрольные карты для переменных могут быть построены также для отдельных наблюдений, полученных в ходе производственного процесса. Иногда такой подход необходим в силу дороговизны, неудобства или невозможности анализа выборок, состоящих из ряда наблюдений. Примером может служить ситуация, когда число претензий потребителей или случаев возврата изделий может быть получено только по итогам месяца, тем не менее, существует необходимость в проведении текущего анализа этих данных для выявления ухудшения качества продукции. Другим широко встречающимся примером применения карт данного типа является проверка автоматическим тестирующим прибором каждой единицы произведенной продукции. В этом случае обычно стремятся обнаружить небольшие отклонения качества выпускаемой продукции (например, постепенное ухудшение качества, обусловленное износом  оборудования). При этом наилучшее применения находят контрольные карты типа CUSUM, MA, и EWMA (контрольные карты для накопленных сумм и взвешенных средних).


Разладка процесса: критерии серий

Как уже было отмечено ранее в вводной части, когда точка на контрольной карте, соответствующая выборочному значению контролируемой характеристики (например, среднему значению в X-карте) оказывается вне ограниченной контрольными переделами области, это дает основания предполагать, что производственный процесс разладился. Далее, при этом необходимо отслеживать появление систематической тенденции в расположении точек (например, выборочных средних) на контрольной карте, так как наличие такой тенденции может служить свидетельством тренда среднего значения контролируемого процесса.  Эти критерии иногда называют критериями серий типа AT&T (см. AT&T, 1959) или критериями против альтернатив специального вида (см. Nelson, 1984, 1985; Grant and Leavenworth, 1980; Shirland, 1993). Термин специальные альтернативы, как альтернатива случайным или общим причинам, был использован в работе Шуэрта (Shewhart) для того, чтобы сделать разграничение между нормальным производственным процессом, вариации в котором появляются только в силу действия случайных причин, и вышедшим из-под контроля процессом , в котором вариации характеристик обусловлены некоторыми неслучайными, то есть специальными факторами (см. Montgomery, 1991, стр. 102).

Как и обсуждавшиеся ранее контрольные пределы, выраженные в единицах сигмы, критерии серий имеют в своей основе “статистическое” обоснование. Так, например, вероятность того, что любое выборочное среднее значение для X-карты окажется выше центральной линии, равна 0.5 при следующих условиях: (1) производственный процесс находится в нормальном состоянии (т.е. центральная линия проведена через значение, равное среднему контролируемой характеристики генеральной совокупности изделий), (2) средние значения следующих друг за другом выборок независимы (т.е. отсутствует автокорреляция) и (3) выборочные средние значения контролируемой характеристики распределены по нормальному закону. Проще говоря, при таких условиях для выборочного среднего значения шансы попасть выше или ниже центральной линии составляют 50 на 50. Поэтому вероятность того, что два следующих друг за другом выборочных средних окажутся выше центральной линии, будет равна 0.5, умноженному на 0.5 , т.е. 0.25.

Соответственно, вероятность того, что выборочные средние девяти последующих выборок (или серия из 9 точек контрольной карты) окажется с одной стороны от центральной линии, составит 0.59 = .00195. Заметим, что это значение приблизительно равно вероятности того, что отдельное выборочное среднее значение не попадет в интервал, ограниченный контрольными пределами в 3 сигма (при условии нормального распределения выборочных средних и нормальности производственного процесса). Поэтому, в качестве еще одного индикатора разладки производственного процесса можно рассматривать ситуацию, когда девять последовательных выборочных средних находятся с одной стороны от центральной линии. Со статистической интерпретацией других, более сложных критериев можно ознакомиться в работе Duncan (1974).

Зоны A, B, C. Обычно для задания критериев поиска серий область контрольной карты над центральной линией и под ней делится на три “зоны”.

По умолчанию, зона А определяется как область, расположенная на расстоянии от 2 до 3 сигма по обе стороны от центральной линии. Зона В определяется как область, отстоящая от центральной линии на расстояние от 1 до 2 сигма, а зона С – как область, расположенная между центральной линией по обе ее стороны и ограниченная прямой, проведенной на расстоянии одной сигма от центральной линии.

9 точек в зоне С или за ее пределами (с одной стороны от центральной линии). Если этот критерий выполняется (т.е. если на контрольной карте обнаружено такое расположение точек), то делается вывод о возможном изменении среднего значения процесса в целом. Заметим, что здесь делается предположение о симметричности распределения исследуемых характеристик качества вокруг среднего значения процесса на графике. Но это условие не выполняется, например, для R-карт, S-карт и большинства карт по альтернативному признаку. Тем не менее, данный критерий полезен для того, чтобы указать занимающемуся контролем качества инженеру на присутствие потенциальных трендов процесса. Например, здесь стоит обратить внимание на последовательные выборочные значения с изменчивостью ниже среднего, так как с их помощью можно догадаться, каким образом снизить вариацию процесса.

6 точек монотонного роста или снижения, расположенные подряд. Выполнение этого критерия сигнализирует о сдвиге среднего значения процесса. Часто такой сдвиг обусловлен изнашиванием инструмента, ухудшением технического обслуживания оборудования, повышением квалификации рабочего и т.п. (Nelson, 1985).

14 точек подряд в “шахматном” порядке (через одну над и под центральной линией). Если этот критерий выполняется, то это указывает на действие двух систематически изменяющихся причин, которое приводит к получению различных результатов. Например, в данном случае может иметь место использование двух альтернативных поставщиков продукции или отслеживание двух различных альтернативных воздействий.

2 из 3-х расположенных подряд точек попадают в зону A или выходят за ее пределы. Этот критерий служит “ранним предупреждением” о начинающейся разладке процесса. Заметим, что для данного критерия вероятность получения ошибочного решения (критерий выполняется, однако процесс находится в нормальном режиме) в случае Х-карт составляет приблизительно 2 %.

4 из 5-ти расположенных подряд точек попадают в зону B или за ее пределы. Как и предыдущий, этот критерий может рассматриваться в качестве индикатора – “раннего предупреждения” о возможной разладке процесса. Процент принятия ошибочного решения о наличии разладки процесса для этого критерия также находится на уровне около 2%.

15 точек подряд попадают в зону C (по обе стороны от центральной линии). Выполнение этого критерия указывает на более низкую изменчивость по сравнению с ожидаемой (на основании выбранных контрольных пределов).

8 точек подряд попадают в зоны B, A или выходят за контрольные пределы, по обе стороны от центральной линии (без попадания в зону C). Выполнение этого критерия служит свидетельством того, что различные выборки подвержены влиянию различных факторов, в результате чего выборочные средние значения оказываются распределенными по бимодальному закону. Такая ситуация может сложиться, например, когда отмечаемые на Х-карте выборки изделий были произведены двумя различными станками, один из которых производит изделия со значением контролируемой характеристики выше среднего, а другой – ниже.


Операционные характеристики (ОХ – кривые)

Стандартные карты контроля качества обычно дополняются графиком, который носит название операционная характеристика (ОХ-кривая). При использовании стандартных контрольных карт для непрерывных переменных или для дискретных переменных возникает вопрос: насколько чувствительна используемая процедура контроля качества?   Точнее говоря, какова вероятность не обнаружить выборочную точку анализируемой характеристики (например, среднего значения на Х-карте) вне контрольных пределов (т.е. посчитать процесс производства текущим “в нормальном режиме”), когда, на самом деле, произошел сдвиг процесса на некоторую величину? Обычно эту вероятность называют вероятностью бета-ошибки ( ). Таким образом, – это вероятность ошибочно принять, что процесс (его характеристики – среднее значение, средняя процентная доля, средняя частота обнаружения дефектов и т.д.) находится в нормальном режиме. Необходимо отметить, что понятие операционной характеристики относится к вероятностям принятия ошибочного решения только для критериев, связанных с выходом выборочной точки за контрольные пределы, а не для рассмотренных выше критериев серий.

Кривые операционных характеристик оказываются исключительно полезным средством при оценивании мощности применяемой процедуры контроля качества. На практике решение об установлении объема контрольных выборок должно опираться не только на стоимость выполнения контрольной операции (т.е. на расходы в расчете на одно включенное в выборку изделие), но также на затраты, которые повлечет за собой не обнаруженное ухудшение качества. С помощью ОХ-кривых инженер может оценить вероятности необнаружения отклонений качества контролируемой продукции на определенную величину.

Индексы пригодности процесса

В случае контрольных карт для непрерывных переменных часто возникает необходимость включить в итоговый вывод результатов анализа так называемые индексы пригодности процесса. Коротко говоря, индексы пригодности процесса выражают (в виде отношения), какая часть деталей или изделий, производимых в рамках текущего производственного процесса, по своим характеристикам попадает в определенные технологами пределы (в частности, в инженерные допуски).

К примеру, так называемый индекс Cp находится следующим образом:

Cp = (ВГС-НГС)/(6*сигма)

где сигма представляет собой оценку стандартного отклонения процесса, ВГС и НГС – соответственно верхнюю и нижнюю границы плановой спецификации (инженерные допуски). Если распределение контролируемой характеристики качества или переменной (например, размер поршневых колец) подчиняется нормальному закону, и процесс абсолютно точно центрирован (т.е. среднее значение процесса соответствует положению центральной линии на контрольной карте), то данный индекс может интерпретироваться как та часть стандартной кривой нормального распределения (ширина процесса), которая находится внутри границ инженерных допусков. В случае нецентрированного процесса, вместо рассмотренного выше индекса используется уточненный индекс Cpk . Для “пригодного” процесса индекс Cp должен быть больше 1. Это означает, что для того, чтобы можно было ожидать попадание более 99% всех выпущенных деталей или изделий в рамки приемлемых инженерных спецификаций, величина интервала между контрольными пределами плановых спецификаций должна превышать 6 сигма. Более подробно обсуждение этого и других индексов приводится в модуле Анализ процессов.


Другие специализированные типы контрольных карт

Далее рассматривается ряд других наиболее широко используемых методов и соответствующих им типов контрольных карт – “рабочих лошадок” контроля качества. Однако, с приходом недорогих персональных компьютеров, все большую популярность приобретают процедуры, требующие проведения большего объема вычислений.

X-карты для данных с негауссовским распределением. Контрольные пределы для стандартных X-карт вычисляются, исходя из предположения о приблизительно нормальном распределении выборочных средних. Следовательно, для отдельных наблюдений в выборках нормальность распределения не обязательна, так как. по мере увеличения объема выборок распределение выборочных средних будет приближаться к нормальному (см. обсуждение центральной предельной теоремы в разделе Элементарные понятия статистики. Однако необходимо отметить, что при построении R-карты, S-карты и S**2-карты предполагается, что отдельные наблюдения обладают нормальным распределением). В монографии Шуарта (Shewhart, 1931) автор экспериментирует с различными негауссовскими распределениями отдельных наблюдений и оценивает полученные в результате распределения средних для выборок объема 4. В результате было обнаружено, что, на самом деле, до тех пор, пока распределение отдельных наблюдений в выборках является приблизительно нормальным, можно применять вычисленные на основе нормального распределения стандартные контрольные пределы. Введение в данный вопрос и обсуждение предположений о распределении данных при контроле качества путем построения контрольных карт можно найти в работе Hoyer and Ellis, 1996.

Однако, как отмечено в работе Ryan (1989), при малых объемах выборок и сильной асимметрии распределения наблюдений, построенные по таким данным стандартные контрольные пределы приводят как к получению большого числа ложных сигналов тревоги (т.е. росту вероятности альфа-ошибки), так и увеличению числа случаев, когда при фактически произошедшей разладке процесс продолжает считаться контролируемым (росту вероятности бета-ошибки). В программе STATISTICA существует возможность расчета контрольных пределов для X-карт (а также индексов пригодности процесса) на основе так называемых  кривых Джонсона  (Johnson, 1949), с помощью которых аппроксимируется асимметрия   и  эксцесс  большой группы негауссовских распределений (см. также раздел  Подгонка распределений  в модуле  Анализ процессов). Негауссовские X-карты рекомендуется применять в том случае, когда распределение выборочных средних обладает явной асимметрией или является негауссовским. 

Контрольная карта T**2 Хотеллинга. Когда исследуется несколько взаимосвязанных характеристик качества (заданных в виде нескольких переменных), для всех средних значений можно построить общий график, воспользовавшись для этого многомерной статистикой Хотеллинга T**2 (впервые предложена в работе Hotelling, 1947).

Контрольная карта накопленных сумм (CUSUM-карта). Контрольная карта типа CUSUM была впервые предложена в работе Page (1954). Обсуждение использующихся при ее построении математических принципов можно найти в работах Ewan (1963), Johnson (1961), а также Johnson and Leone (1962).

Если строить график накопленной суммы отклонений от плановых спецификаций для следующих друг за другом выборочных средних, то даже малые постоянные сдвиги среднего значения процесса постепенно приведут к накоплению ощутимой суммы отклонений. Поэтому данный тип контрольных карт особенно хорошо подходит для обнаружения малых постоянных сдвигов процесса, которые могут оказаться незамеченными при применении Х-карты. Например, когда из-за износа оборудования процесс медленно “выскальзывает” из-под контроля, в результате чего размеры изделий превышают плановые спецификации (или становятся ниже их), при применении контрольной карты данного типа будет получен монотонно растущий (или снижающийся) график накопленной суммы отклонений от плановых спецификаций.

Для установления контрольных пределов в CUSUM-картах в работе Barnhard (1959) было предложено использовать так называемую V-маску, которая наносится на график после построения точки для последней выборки (самой правой точки на графике). Можно считать, что V-маска представляет собой верхний и нижний контрольный пределы для накопленных сумм. Однако, вместо того, чтобы быть параллельными центральной линии, эти прямые сходятся под определенным углом вправо, образуя в результате фигуру, похожую на лежащую букву V. Если график накопленной суммы пересекает любую из линий маски, то процесс считается вышедшим из-под контроля.

Контрольная карта скользящего среднего (MA-карта). Возвращаясь к примеру с размером поршневых колец, предположим, что наибольший интерес для инженера по контролю качества представляет обнаружение малых трендов последовательных выборочных средних. Например, необходимо обнаружить износ оборудования, который приводит к медленному, но постоянному ухудшению качества (т.е. отклонению размеров изделий от требований плановой спецификации. Одним из способов отслеживания таких трендов и обнаружения незначительных постоянных сдвигов среднего значения процесса является построение описанной выше CUSUM-карты. Другой способ состоит в использовании одной из схем установления весов данных, согласно которой осуществляется суммирование нескольких средних. При движении такого взвешенного среднего вдоль выборочных точек получается контрольная карта скользящего среднего, приведення на следующем рисунке.

Контрольная карта экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA-карта). Идея построения скользящих средних для последовательных (соседних) выборочных значений может быть обобщена. В принципе, чтобы обнаружить тренд, необходимо присвоить веса следующим друг за другом выборочным значениям, получив таким образом скользящее среднее. Однако, вместо простого арифметического скользящего среднего, можно найти геометрическое скользящее среднее (соответствующая контрольная карта показана на следующем рисунке и называется картой геометрического скользящего среднего, см. работу Montgomery,1985, 1991).

В частности, можно рассчитать значения для каждой точки графика по следующей формуле:

zt = *x-ср.t + (1-)*zt-1

В данной формуле значение каждой точки  zt  рассчитывается как произведение  (лямбда) и соответствующего среднего значения x-ср.t, плюс единица минус  , умноженная на рассчитанное ранее усредненное значение для предыдущей точки графика. Параметр  (лямбда) принимает значения в интервале от  0 до 1.  Не вдаваясь в подробности (см. Montgomery, 1985, стр. 239), можно отметить, что данный метод усреднения предполагает, что вес исторически “старых” выборочных средних уменьшается по геометрическому закону при присоединении новых выборочных средних. Интерпретация контрольной карты данного типа имеет много общего с интерпретацией карты скользящего среднего. EWMA-карта позволяет обнаружить малые сдвиги исследуемых средних значений и, следовательно, ухудшение качества производственного процесса.

Регрессионные контрольные карты. Иногда может понадобиться обнаружить взаимосвязь между двумя различными параметрами производственного процесса. Например, руководство почтовой организации может захотеть узнать, сколько человеко-часов тратится на обработку некоторого объема корреспонденции. Эти две анализируемые переменные должны быть приблизительно линейно связаны друг с другом. Тогда эту взаимосвязь можно описать с помощью широко известного коэффициента корреляции Пирсона r. Описание свойств этой статистки можно найти в разделе Основные статистики. На регрессионной контрольной карте строится линия регрессии, которая выражает линейную взаимосвязь между двумя рассматриваемыми переменными. На карту также наносятся точки данных для всех наблюдений. Вокруг линии регрессии строится доверительный интервал, в который должна попадать определенная доля выборки (например, 95%). Присутствие выбросов на этом графике будет свидетельствовать о том, что для некоторых выборок не соблюдается общая тенденция взаимосвязи, которая характерна для рассматриваемых переменных.

Применения. Для регрессионных контрольных карт существует множество областей применения. Так, например, профессиональные аудиторы могут с помощью карт данного типа обнаружить, у каких розничных торговцев число наличных трансакций превышает ожидаемое для данного уровня общего объема продаж или выделить те бакалейные магазины, в которых для существующего уровня продаж число погашенных купонов, дающих покупателю право на премию из ассортимента магазина при накоплении определенного числа купонов, превышает ожидаемое. В обоих случаях выбросы на регрессионных контрольных картах (т.е. слишком большое число наличных платежей, слишком большой объем погашенных купонов) могут привлечь к себе внимание и служить основанием для более тщательной проверки.

Контрольные карты Парето. На практике оказывается, что равномерное распределение нарушения качества на различных стадиях производственного процесса или на различных предприятиях, выпускающих продукт, встречается довольно редко. Скорее, причиной большинства проблем является наличие лишь нескольких “паршивых овец в стаде”. Данный принцип стал широко известен под названием принципа Парето и утверждает, что потери качества столь “плохо” распределены, что малое число возможных причин его ухудшения отвечает за большинство возникающих проблем. К примеру, вполне возможно, что в основном загрязнение воздуха возникает из-за относительно небольшого числа “грязных” автомобилей. Или, в большинстве компаний основное число убытков является следствием неудачи с одним или двумя выпускаемыми продуктами. Для выявления “паршивых овец в стаде” строят контрольные карты Парето.

Они представляют собой  гистограммы, на которых показано распределение потерь от ухудшения качества (например, в долларах) по некоторым категориям. Обычно категории – причины потери качества – приводятся в нисходящем порядке значимости (по частоте возникновения, стоимости в долларах и т.д.). Очень часто карта Парето помогает определить, на что направить усилия по улучшению качества продукта.


Все права на материалы электронного учебника принадлежат компании StatSoft


Какие бывают лимиты? – MVOrganizing

Какие бывают лимиты?

Помимо обычных двусторонних пределов, существуют односторонние пределы (левые пределы и правые пределы), бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

Какие особые ограничения?

Установление специальных лимитов на страховые полисы гарантирует, что стоимость страхования остается доступной для широкой публики. Специальные ограничения обычно ограничивают предметы до стоимости, которой будет владеть «средний» человек.Таким образом, цены на полисы устанавливаются на уровне, который может себе позволить средний человек.

Какие теоремы о пределах?

1) Предел суммы равен сумме лимитов. 2) Лимит продукта равен произведению лимитов.

Есть ли у журнала ограничение?

Как и экспоненциальные функции, логарифмические функции имеют свои собственные пределы. Помните, чего не могут экспоненциальные функции: они не могут выводить отрицательное число для f (x). Когда мы думали об экспоненциальных функциях, мы обратили внимание на функцию f (x) = 4x.

Какой предел E X?

0, ∞

Что такое бесконечность минус бесконечность?

Невозможно, чтобы бесконечность, вычтенная из бесконечности, была равна единице и нулю. Используя этот тип математики, мы можем получить бесконечность минус бесконечность, равную любому действительному числу. Следовательно, бесконечность, вычтенная из бесконечности, не определена.

Что такое Ln бесконечность?

1 Ответ. Амори В. Ответ – ∞. Функция натурального логарифма строго возрастает, поэтому она всегда растет, хотя и медленно.

Что такое бесконечность делится на бесконечность?

Следовательно, деленная на бесконечность бесконечность НЕ равна единице. Вместо этого мы можем получить любое действительное число равным единице, если предположим, что бесконечность, деленная на бесконечность, равна единице, поэтому бесконечность, деленная на бесконечность, не определена.

Делится ли 1 на бесконечность?

Infinity – это концепция, а не число; следовательно, выражение 1 / бесконечность фактически не определено. В математике предел функции возникает, когда x становится все больше и больше по мере приближения к бесконечности, а 1 / x становится все меньше и меньше по мере приближения к нулю.

На что делится бесконечность 0?

Бесконечность не является действительным числом, и даже если бы это было так, оно не было бы ответом на деление чего-либо на ноль. Нет числа, которое можно умножить на 0, чтобы получить ненулевое число. Решения НЕТ, поэтому любое ненулевое число, деленное на 0, не определено.

Бесконечность – предел?

Когда мы говорим в математике, что что-то «бесконечно», мы просто имеем в виду, что нет предела его значениям. Мы говорим, что когда x приближается к 0, предел f (x) равен бесконечности.Теперь предел – это число – граница. Поэтому, когда мы говорим, что предел – бесконечность, мы имеем в виду, что не существует числа, которое мы могли бы назвать.

А числа когда-нибудь заканчиваются?

Последовательность натуральных чисел бесконечна и бесконечна. Нет причин, по которым тройки должны когда-либо останавливаться: они повторяются бесконечно. Итак, когда мы видим такое число, как «0,999…» (то есть десятичное число с бесконечной серией девяток), количеству девяток нет конца.

Почему ограничение не существует?

Пределы обычно не существуют по одной из четырех причин: Функция не приближается к конечному значению (см. Основное определение предела).Функция не приближается к определенному значению (колебание). Значение x приближается к конечной точке закрытого интервала.

Как узнать, существует ли предел алгебраически?

Найдите предел, найдя наименьший общий знаменатель

  1. Найдите ЖК-дисплей с дробями вверху.
  2. Распределите числители сверху.
  3. Сложите или вычтите числители, а затем отмените условия.
  4. Используйте правила дробей для дальнейшего упрощения.
  5. Подставьте предельное значение в эту функцию и упростите.

Должен ли предел быть непрерывным, чтобы существовать?

Нет, функция может быть прерывистой и иметь ограничение. Предел – это как раз продолжение, которое может сделать его непрерывным. Пусть f (x) = 1 при x = 0, f (x) = 0 при x ≠ 0.

Как узнать, является ли лимит непрерывным?

Ваш учитель предварительного исчисления скажет вам, что для того, чтобы функция была непрерывной при некотором значении c в своем домене, должны выполняться три условия:

  1. f (c) необходимо определить.
  2. Должен существовать предел функции, когда x приближается к значению c.
  3. Значение функции в c и предел, когда x приближается к c, должны быть одинаковыми.

Как узнать, является функция непрерывной или дискретной?

Функция: На графике непрерывной функции точки соединены непрерывной линией, поскольку каждая точка имеет значение для исходной задачи. Функция: на графике дискретной функции отображаются только отдельные, отличные точки, и только эти точки имеют значение для исходной задачи.

Является ли 0 0 неопределенным или бесконечным?

Точно так же не определены выражения типа 0/0. Но предел некоторых выражений может принимать такие формы, когда переменная принимает определенное значение, и они называются неопределенными. Таким образом, 1/0 не является бесконечностью, а 0/0 не является неопределенным, поскольку деление на ноль не определено.

Какой предел 0 0?

Что ж, когда вы берете предел и получаете ответ 0/0, это на самом деле НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ. Примером НЕОПРЕДЕЛЕННОГО числа может быть 1/0 или бесконечность.2 \) становятся все больше и больше и фактически становятся бесконечными. Математически мы говорим, что предел \ (h (x) \) при стремлении x к 2 равен положительной бесконечности. Символически мы выражаем эту идею как

.

\ [\ lim_ {x \ to 2} h (x) = + ∞. \]

В более общем плане мы определяем бесконечных пределов следующим образом:

Определения: бесконечные пределы

Мы определяем три типа бесконечных лимитов .

Бесконечные пределы слева: Пусть \ (f (x) \) будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы \ ((b, a) \).

и. Если значения \ (f (x) \) неограниченно возрастают по мере приближения значений x (где \ (x

ii. Если значения \ (f (x) \) неограниченно уменьшаются по мере приближения значений x (где \ (x

Бесконечные пределы справа: Пусть \ (f (x) \) будет функцией, определенной для всех значений в открытом интервале формы \ ((a, c) \).

и. Если значения \ (f (x) \) неограниченно увеличиваются по мере приближения значений x (где \ (x> a \)) к числу \ (a \), то мы говорим, что предел, когда x приближается к a от слева положительная бесконечность, и мы пишем \ [\ lim_ {x \ to a +} f (x) = + ∞. \]

ii. Если значения \ (f (x) \) неограниченно уменьшаются по мере приближения значений x (где \ (x> a \)) к числу \ (a \), то мы говорим, что предел, когда x приближается к a из слева – отрицательная бесконечность, и мы пишем \ [\ lim_ {x \ to a +} f (x) = – ∞.\]

Двусторонний бесконечный предел: Пусть \ (f (x) \) определено для всех \ (x ≠ a \) в открытом интервале, содержащем \ (a \)

и. Если значения \ (f (x) \) неограниченно возрастают по мере приближения значений x (где \ (x ≠ a \)) к числу \ (a \), то мы говорим, что предел при приближении x к a равен положительная бесконечность, и мы пишем \ [\ lim_ {x \ to a} f (x) = + ∞. \]

ii. Если значения \ (f (x) \) неограниченно уменьшаются по мере приближения значений x (где \ (x ≠ a \)) к числу \ (a \), то мы говорим, что предел при приближении x к a равен отрицательная бесконечность, и мы пишем \ [\ lim_ {x \ to a} f (x) = – ∞.\]

Важно понимать, что когда мы пишем такие операторы, как \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = + ∞ \) или \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x ) = – ∞ \) мы описываем поведение функции, как мы только что его определили. Мы не утверждаем, что существует предел. Чтобы предел функции f (x) существовал в a, он должен приближаться к действительному числу L, когда x приближается к a. При этом, если, например, \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = + ∞ \), мы всегда пишем \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = + ∞ \), а не \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) \) DNE.

Пример \ (\ PageIndex {5} \): определение бесконечного предела

По возможности оцените каждый из следующих пределов. Используйте таблицу функциональных значений и график \ (f (x) = 1 / x \), чтобы подтвердить свой вывод.

  1. \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to 0−} \ frac {1} {x} \)
  2. \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to 0+} \ frac {1} {x} \)
  3. \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} \)

Решение

Начните с построения таблицы функциональных значений.

\ (х \) \ (\ frac {1} {x} \) \ (х \) \ (\ frac {1} {x} \)
-0,1 -10 0,1 10
-0,01 -100 0,01 100
-0.001 -1000 0,001 1000
-0,0001 -10 000 0,0001 10 000
-0,00001 -100 000 0,00001 100 000
-0,000001 -1 000 000 0.000001 1 000 000

а. Значения \ (1 / x \) неограниченно убывают, когда \ (x \) приближается к 0 слева. Делаем вывод, что

\ [\ lim_ {x \ to 0 -} \ frac {1} {x} = – ∞. \ Nonumber \]

г. Значения \ (1 / x \) неограниченно увеличиваются, когда \ (x \) приближается к 0 справа. Делаем вывод, что

\ [\ lim_ {x \ to 0 +} \ frac {1} {x} = + ∞. \ nonumber \]

г. Поскольку \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to 0 -} \ frac {1} {x} = – ∞ \) и \ (\ displaystyle \ lim_ {x \ to 0 +} \ frac {1} {x} = + ∞ \) имеют разные значения, заключаем, что

\ [\ lim_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} DNE.2} \)

Исчисление I – Пределы

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 2: Пределы

В этой главе мы рассмотрим тему ограничений. Это первая из трех основных тем, которые мы рассмотрим в этом курсе.Хотя мы будем тратить наименьшее количество времени на лимиты по сравнению с двумя другими темами, лимиты очень важны при изучении математического анализа. Когда мы выйдем из этой главы, мы увидим ограничения в самых разных местах. В частности, мы увидим, что ограничения являются частью формального определения двух других основных тем.

Вот список тем в этой главе.

Касательные линии и скорость изменения – В этом разделе мы представим две проблемы, которые мы будем видеть снова и снова в этом курсе: скорость изменения функции и касательные линии к функциям.Обе эти проблемы будут использоваться для введения концепции пределов, хотя мы не будем формально давать определение или обозначения до следующего раздела.

Предел – В этом разделе мы введем обозначение лимита. Мы также концептуально рассмотрим ограничения и попытаемся понять, что они собой представляют и что они могут нам сказать. Мы будем оценивать значение ограничений в этом разделе, чтобы помочь нам понять, что они нам говорят. Фактически мы начнем вычислять ограничения в нескольких разделах.

Односторонние ограничения – В этом разделе мы познакомимся с концепцией односторонних ограничений. Мы обсудим различия между односторонними пределами и лимитами, а также то, как они связаны друг с другом.

Свойства пределов – в этом разделе мы обсудим свойства пределов, которые нам нужно будет использовать при вычислении пределов (в отличие от их оценки, как мы делали до этого момента). В этом разделе мы также вычислим несколько основных ограничений.

Пределы вычислений

– в этом разделе мы рассмотрим несколько типов ограничений, которые требуют некоторой работы, прежде чем мы сможем использовать свойства ограничения для их вычисления.Мы также рассмотрим вычисление пределов кусочных функций и использование теоремы сжатия для вычисления некоторых пределов.

Infinite Limits – в этом разделе мы рассмотрим пределы, которые имеют значение бесконечности или отрицательной бесконечности. Мы также кратко рассмотрим вертикальные асимптоты.

Пределы на бесконечности, часть I. В этом разделе мы начнем рассматривать пределы на бесконечности, , то есть пределы , в которых переменная становится очень большой в положительном или отрицательном смысле.В этом разделе мы сосредоточимся на многочленах и рациональных выражениях. Мы также кратко рассмотрим горизонтальные асимптоты.

Пределы на бесконечности, часть II – В этом разделе мы продолжим рассматривать пределы на бесконечности. В этом разделе мы рассмотрим экспоненты, логарифмы и арктангенсы.

Непрерывность – В этом разделе мы познакомимся с концепцией непрерывности и ее отношением к ограничениям. В этом разделе мы также увидим теорему о промежуточном значении и то, как ее можно использовать, чтобы определить, есть ли у функций решения в заданном интервале.

Определение предела – В этом разделе мы дадим точное определение некоторых ограничений, рассматриваемых в этом разделе. Мы рассмотрим несколько основных примеров, иллюстрирующих, как использовать это точное определение для вычисления предела. Мы также дадим точное определение непрерывности.

Исчисление I – Определение предела

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-10: Определение предела

В этом разделе мы собираемся взглянуть на точное математическое определение трех видов ограничений, которые мы рассмотрели в этой главе.Мы рассмотрим точное определение пределов в конечных точках с конечными значениями, пределов бесконечности и пределов бесконечности. Мы также дадим точное математическое определение непрерывности.

Давайте начнем этот раздел с определения предела в конечной точке, которая имеет конечное значение.

Определение 1
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на интервале, содержащем \ (x = a \), за исключением, возможно, точки \ (x = a \). Затем мы говорим, \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = L \]

, если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) есть некоторое число \ (\ delta> 0 \) такое, что

\ [\ left | {е \ влево (х \ вправо) – L} \ вправо |

Вау.Это полный рот. Теперь, когда это записано, что это значит?

Давайте взглянем на следующий график и предположим, что ограничение действительно существует.

Определение говорит нам, что для любого числа \ (\ varepsilon> 0 \), которое мы выберем, мы можем перейти к нашему графику и нарисовать две горизонтальные линии в точках \ (L + \ varepsilon \) и \ (L – \ varepsilon \), как показано на графике выше. Тогда где-то там в мире есть другое число \ (\ delta> 0 \), которое нам нужно будет определить, что позволит нам добавить две вертикальные линии к нашему графику в \ (a + \ delta \) и \ (а – \ дельта \).

Если мы возьмем любой \ (x \) в розовой области, , то есть между \ (a + \ delta \) и \ (a – \ delta \), то это \ (x \) будет ближе к \ ( a \), чем любое из \ (a + \ delta \) и \ (a – \ delta \). Или

\ [\ left | {x – a} \ right |

Если мы теперь определим точку на графике, которую дает наш выбор \ (x \), то эта точка на графике будет лежать на пересечении розовой и желтой областей. Это означает, что значение этой функции \ (f \ left (x \ right) \) будет ближе к \ (L \), чем любое из \ (L + \ varepsilon \) и \ (L – \ varepsilon \).Или

\ [\ left | {е \ влево (х \ вправо) – L} \ вправо |

Если мы возьмем любое значение \ (x \) в розовой области, то график для этих значений \ (x \) будет лежать в желтой области.

Обратите внимание, что на самом деле существует бесконечное количество возможных \ (\ delta \), которые мы можем выбрать. На самом деле, если мы вернемся и посмотрим на график выше, похоже, что мы могли бы взять немного больший \ (\ delta \) и все же получить график из этой розовой области, чтобы он полностью содержался в желтой области.

Также обратите внимание, что, как указано в определении, нам нужно только убедиться, что функция определена в некотором интервале около \ (x = a \), но нам все равно, определена ли она в \ (x = a \) ). Помните, что ограничения не заботятся о том, что происходит в данной точке, их волнует только то, что происходит вокруг рассматриваемой точки. 2}} \ right |

Проверка – это практически та же работа, которую мы проделали, чтобы получить наше предположение.2} = 0 \]

Это может быть немного сложно в первые пару раз. Особенно, когда кажется, что нам нужно проделать работу дважды. В предыдущем примере мы сделали некоторые упрощения в левом неравенстве, чтобы получить наше предположение для \ (\ delta \), а затем, казалось бы, проделали точно такую ​​же работу, чтобы затем доказать, что наше предположение было правильным. Часто это работает так, хотя мы вскоре увидим пример, когда все работает не так хорошо.

Итак, сказав это, давайте взглянем на немного более сложный предел, хотя он все еще будет в значительной степени похож на первый пример.

Пример 2 Используйте определение предела, чтобы доказать следующий предел. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} 5x – 4 = 6 \] Показать решение

Мы начнем с этого так же, как и с первым. Однако мы не будем приводить столько же объяснений.

Давайте начнем с того, что пусть \ (\ varepsilon> 0 \) будет любым числом, тогда нам нужно найти число \ (\ delta> 0 \), чтобы следующее было верным.

\ [\ left | {\ left ({5x – 4} \ right) – 6} \ right |

Начнем с упрощения левого неравенства, чтобы попытаться угадать \ (\ delta \). Это дает

\ [\ left | {\ left ({5x – 4} \ right) – 6} \ right | = \ left | {5x – 10} \ right | = 5 \ осталось | {x – 2} \ right |

Итак, как и в первом примере, похоже, что если мы сделаем достаточное упрощение в левом неравенстве, мы получим что-то, что очень похоже на правое неравенство, и это заставляет нас выбрать \ (\ delta = \ frac {\ varepsilon} { 5} \).

Давайте теперь проверим это предположение. Итак, снова пусть \ (\ varepsilon> 0 \) будет любым числом, а затем выберите \ (\ delta = \ frac {\ varepsilon} {5} \). Затем предположим, что \ (0 <\ left | {x - 2} \ right | <\ delta = \ frac {\ varepsilon} {5} \), и мы получим следующее:

\ [\ begin {align *} \ left | {\ left ({5x – 4} \ right) – 6} \ right | & = \ left | {5x – 10} \ right | & & \ hspace {0.25in} {\ mbox {немного упростим}} \\ & = 5 \ left | {x – 2} \ right | & & \ hspace {0.225in} {\ mbox {подробнее}} …. \\ &

Итак, мы показали, что

\ [\ left | {\ left ({5x – 4} \ right) – 6} \ right |

и, следовательно, по нашему определению,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} 5x – 4 = 6 \]

Итак, снова процесс, кажется, предполагает, что мы должны по существу повторить всю нашу работу дважды, один раз, чтобы сделать предположение для \ (\ delta \), а затем в другой раз, чтобы подтвердить нашу догадку. Приведем пример, который не так хорош.2} + x – 11} \ right) – 9} \ right | <\ varepsilon \) эквивалентно \ (\ left | {x + 5} \ right | \ left | {x - 4} \ right | <\ varepsilon \). Однако, в отличие от двух предыдущих примеров, здесь есть дополнительный член, который не отображается в правильном неравенстве выше. Если у нас есть хоть какая-то надежда продолжить здесь, нам нужно будет найти способ справиться с \ (\ left | {x + 5} \ right | \).

Для этого отметим, что если по какой-то случайности мы сможем показать, что \ (\ left | {x + 5} \ right | \ [\ left | {x + 5} \ right | \ left | {x – 4} \ right |

Если теперь предположить, что мы действительно хотим показать \ (K \ left | {x – 4} \ right | <\ varepsilon \) вместо \ (\ left | {x + 5} \ right | \ left | {x - 4} \ right | <\ varepsilon \) получаем следующее:

\ [\ left | {x – 4} \ right |

Это начинает казаться знакомым, не так ли?

Однако вся эта работа основана на предположении, что мы можем показать, что \ (\ left | {x + 5} \ right |

Давайте сначала вспомним, что мы работаем над пределом здесь, и давайте также помнить, что ограничения действительно связаны только с тем, что происходит вокруг рассматриваемой точки, в данном случае \ (x = 4 \). Таким образом, можно с уверенностью предположить, что чем бы ни было \ (x \), оно должно быть близко к \ (x = 4 \). Это означает, что мы можем с уверенностью предположить, что чем бы ни было \ (x \), оно находится на расстоянии, скажем, одного из \ (x = 4 \). Или, используя неравенство, можно считать, что

\ [\ left | {x – 4} \ right |

Почему выбирают 1 здесь? Нет никакой другой причины, кроме того, что это хорошее число для работы.Мы могли просто выбрать 2, 5 или \ ({\ textstyle {1 \ over 3}} \). Единственное различие, которое будет иметь наш выбор, – это фактическое значение \ (K \), которое мы получим. Возможно, вы захотите пройти этот процесс с другим выбором \ (K \) и посмотреть, сможете ли вы это сделать.

Итак, давайте начнем с \ (\ left | {x – 4} \ right | <1 \) и избавимся от столбцов абсолютных значений, и это решит результирующее неравенство для \ (x \) следующим образом:

\ [- 1

Если мы теперь добавим 5 ко всем частям этого неравенства, мы получим

\ [8

Теперь, поскольку \ (x + 5> 8> 0 \) (здесь важна положительная часть), мы можем сказать, что при условии \ (\ left | {x – 4} \ right | <1 \) мы знайте, что \ (x + 5 = \ left | {x + 5} \ right | \).Или, если взять двойное неравенство выше, мы имеем

\ [8

Итак, при условии \ (\ left | {x – 4} \ right | <1 \) мы можем видеть, что \ (\ left | {x + 5} \ right | <10 \), что, в свою очередь, дает нам ,

\ [\ left | {x – 4} \ right |

Итак, до сих пор мы делаем два предположения относительно \ (\ left | {x – 4} \ right | \). Мы предположили, что,

\ [\ left | {x – 4} \ right |

Может показаться, что это не так, но теперь мы готовы выбрать \ (\ delta \). В предыдущих примерах у нас было только одно предположение, и мы использовали его, чтобы получить \ (\ delta \).В данном случае у нас их два, и они ОБЯЗАТЕЛЬНО должны быть правдой. Итак, пусть \ (\ delta \) будет меньшим из двух предположений, 1 и \ (\ frac {\ varepsilon} {{10}} \). Математически это записывается как

\ [\ delta = \ min \ left \ {{1, \ frac {\ varepsilon} {{10}}} \ right \} \]

Таким образом, мы можем гарантировать, что

\ [\ delta \ le \ frac {\ varepsilon} {{10}} \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {AND}} \ hspace {0,5 дюйма} \ delta \ le 1 \]

Теперь, когда мы сделали выбор для \ (\ delta \), нам нужно его проверить.2} + x – 11 = 9 \]

Хорошо, это было намного больше работы, чем первые два примера, и, к сожалению, это было не так уж и сложно. Что ж, может быть, нам следует сказать, что по сравнению с некоторыми другими ограничениями мы могли бы попытаться доказать, что это не так уж и сложно. Когда впервые сталкиваешься с доказательствами такого рода с использованием точного определения предела, все они могут показаться довольно сложными.

Не расстраивайтесь, если не получите это сразу. Очень часто не понять этого сразу и приходится немного потрудиться, чтобы полностью начать понимать, как работают такие виды доказательств определения пределов.-}} f \ left (x \ right) = L \]

, если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) есть некоторое число \ (\ delta> 0 \) такое, что

\ [\ left | {е \ влево (х \ вправо) – L} \ вправо |

Обратите внимание, что с обоими этими определениями есть два способа справиться с ограничением на \ (x \), и тот, который указан в скобках, вероятно, проще в использовании, хотя основной, данный более близко, соответствует определению нормального предела, приведенному выше. .

Давайте быстро рассмотрим один из них, хотя, как вы увидите, они работают примерно так же, как и обычные задачи с ограничениями.+}} \ sqrt x = 0 \] Показать решение

Пусть \ (\ varepsilon> 0 \) будет любым числом, тогда нам нужно найти число \ (\ delta> 0 \), чтобы следующее было верно.

\ [\ left | {\ sqrt x – 0} \ right |

Или, после небольшого упрощения, нужно показать,

\ [\ sqrt x

Как и в случае с предыдущими задачами, давайте начнем с левого неравенства и посмотрим, не сможем ли мы использовать это, чтобы получить предположение для \ (\ delta \). Единственное упрощение, которое нам действительно нужно сделать, – это возвести обе стороны в квадрат.+}} \ sqrt x = 0 \]

Теперь перейдем к определению бесконечных пределов. Вот два определения, которые нам нужны, чтобы охватить обе возможности: пределы положительной бесконечности и пределы отрицательной бесконечности.

Определение 4
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на интервале, содержащем \ (x = a \), за исключением, возможно, точки \ (x = a \). Затем мы говорим, \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = \ infty \]

, если для каждого числа \ (M> 0 \) есть некоторое число \ (\ delta> 0 \) такое, что

\ [е \ влево (х \ вправо)> М \ чпространство {0.5 дюймов} {\ mbox {when}} \ hspace {0,5 дюйма} 0
Определение 5
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на интервале, содержащем \ (x = a \), за исключением, возможно, точки \ (x = a \). Затем мы говорим, \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = – \ infty \]

, если для каждого числа \ (N <0 \) есть некоторое число \ (\ delta> 0 \) такое, что

\ [е \ влево (х \ вправо)

В этих двух определениях обратите внимание, что \ (M \) должно быть положительным числом, а \ (N \) должно быть отрицательным числом.Это различие легко упустить, если вы не уделяете должного внимания.

Также обратите внимание, что мы могли бы также записать определения для односторонних пределов, которые равны бесконечности, если бы захотели. Если хотите, оставим это вам.

Вот краткий набросок, иллюстрирующий Определение 4.

Определение 4 говорит нам о том, что независимо от того, насколько большим мы выбираем \ (M \), мы всегда можем найти интервал вокруг \ (x = a \), заданный как \ (0 <\ left | {x - a } \ right | <\ delta \) для некоторого числа \ (\ delta \), так что пока мы остаемся в пределах этого интервала, график функции будет выше линии \ (y = M \), как показано на график выше.Также обратите внимание, что нам не нужно, чтобы функция действительно существовала в \ (x = a \), чтобы определение выполнялось. Это также показано на графике выше.

Также обратите внимание, что чем больше \ (M \), тем меньше нам, вероятно, понадобится сделать \ (\ delta \).

Чтобы увидеть иллюстрацию определения 5, отразите приведенный выше график относительно оси \ (x \) – и вы увидите эскиз определения 5.

Давайте быстро рассмотрим один из них, чтобы увидеть, чем они отличаются от предыдущих примеров.2}

Итак, похоже, мы можем выбрать \ (\ delta = \ frac {1} {{\ sqrt M}} \). Все, что нам нужно сделать сейчас, это проверить это предположение.

Пусть \ (M> 0 \) – любое число, выберите \ (\ delta = \ frac {1} {{\ sqrt M}} \) и предположите, что \ (0 <\ left | x \ right | <\ frac {1} {{\ sqrt M}} \).

В предыдущих примерах мы пытались показать, что наши предположения удовлетворяют левому неравенству, работая с ним напрямую. Однако в этом случае функция и наше предположение относительно \ (x \), которые мы получили, упростят начало работы с предположением о \ (x \) и покажут, что из этого можно получить левое неравенство.2}}} = \ infty \]

Для следующего набора определений пределов давайте взглянем на два определения пределов на бесконечности. Опять же, нам нужен один для ограничения на плюс бесконечности и другой для отрицательной бесконечности.

Определение 6
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) – функция, определенная на \ (x> K \) для некоторого \ (K \). Затем мы говорим, \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \ infty} f \ left (x \ right) = L \]

, если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) существует некоторое число \ (M> 0 \) такое, что

\ [\ left | {е \ влево (х \ вправо) – L} \ вправо | M \]
Определение 7
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на \ (x

, если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) существует некоторое число \ (N <0 \) такое, что

\ [\ left | {е \ влево (х \ вправо) – L} \ вправо |

Чтобы увидеть, что говорят нам эти определения, вот краткий набросок, иллюстрирующий Определение 6.Определение 6 говорит нам, что независимо от того, насколько близко к \ (L \) мы хотим получить, математически это определяется как \ (\ left | {f \ left (x \ right) – L} \ right | <\ varepsilon \ ) для любого выбранного \ (\ varepsilon \), мы можем найти другое число \ (M \) такое, что при условии, что мы возьмем любое \ (x \) больше, чем \ (M \), тогда график функции для этого \ ( x \) будет ближе к \ (L \), чем к \ (L - \ varepsilon \) и \ (L + \ varepsilon \). Или, другими словами, график будет в заштрихованной области, как показано на рисунке ниже.

Наконец, обратите внимание, что чем меньше мы сделаем \ (\ varepsilon \), тем больше нам, вероятно, потребуется сделать \ (M \).

Вот краткий пример одного из этих ограничений.

Пример 6 Используйте определение предела, чтобы доказать следующий предел. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to – \ infty} \ frac {1} {x} = 0 \] Показать решение

Пусть \ (\ varepsilon> 0 \) будет любым числом, и нам нужно будет выбрать \ (N <0 \) так, чтобы,

\ [\ left | {\ frac {1} {x} – 0} \ right | = \ frac {1} {{\ left | x \ right |}}

Угадать \ (N \) здесь не так уж плохо.

\ [\ frac {1} {{\ left | x \ right |}} \ frac {1} {\ varepsilon} \]

Поскольку мы движемся в сторону отрицательной бесконечности, похоже, мы можем выбрать \ (N = – \ frac {1} {\ varepsilon} \). Обратите внимание, что нам нужен «-», чтобы убедиться, что \ (N \) отрицательно (напомним, что \ (\ varepsilon> 0 \)).

Давайте проверим, что наша догадка сработает. Пусть \ (\ varepsilon> 0 \), выберите \ (N = – \ frac {1} {\ varepsilon} \) и предположите, что \ (x <- \ frac {1} {\ varepsilon} \).Как и в предыдущем примере, функция, с которой мы здесь работаем, предполагает, что будет легче начать с этого предположения и показать, что из этого можно получить левое неравенство.

\ [\ begin {align *} x & \ left | {- \ frac {1} {\ varepsilon}} \ right | & & \ hspace {0.25in} {\ mbox {принимает абсолютное значение}} \\ & \ left | х \ право | > \ frac {1} {\ varepsilon} & & \ hspace {0.25in} {\ mbox {сделайте небольшое упрощение}} \\ & \ frac {1} {{\ left | x \ right |}}

Обратите внимание, что когда мы взяли абсолютное значение обеих сторон, мы изменили обе стороны с отрицательных чисел на положительные, и поэтому нам также пришлось изменить направление неравенства.

Итак, мы показали, что

\ [\ left | {\ frac {1} {x} – 0} \ right | = \ frac {1} {{\ left | x \ right |}}

и, следовательно, по определению предела, который мы имеем,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to – \ infty} \ frac {1} {x} = 0 \]

Для нашего окончательного определения предела давайте посмотрим на пределы на бесконечности, которые также имеют бесконечное значение. Здесь можно определить четыре возможных предела. Мы сделаем одно из них, а остальные три оставим вам, чтобы вы записали, если хотите.

Определение 8
Пусть \ (f \ left (x \ right) \) – функция, определенная на \ (x> K \) для некоторого \ (K \). Затем мы говорим, \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to \ infty} f \ left (x \ right) = \ infty \]

, если для каждого числа \ (N> 0 \) существует некоторое число \ (M> 0 \) такое, что

\ [f \ left (x \ right)> N \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {всякий раз}} \ hspace {0,5 дюйма} x> M \]

Три других определения почти идентичны. Единственные отличия заключаются в знаках \ (M \) и / или \ (N \) и соответствующих направлениях неравенства.

В качестве окончательного определения в этом разделе напомним, что ранее мы говорили, что функция является непрерывной, если,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right) \]

Итак, поскольку непрерывность, как мы ее ранее определили, определяется в терминах предела, мы также можем дать более точное определение непрерывности. Вот она,

Определение 9

Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, определенной на интервале, содержащем \ (x = a \).Тогда мы говорим, что \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \), если для каждого числа \ (\ varepsilon> 0 \) существует некоторое число \ (\ delta> 0 \) такой, что \ [\ left | {е \ влево (х \ вправо) – е \ влево (а \ вправо)} \ вправо | <\ varepsilon \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {when}} \ hspace {0,5 дюйма} 0 <\ left | {x - a} \ right | <\ delta \]

Это определение очень похоже на первое определение в этом разделе и, конечно, должно иметь некоторый смысл, поскольку это именно тот тип ограничения, который мы делаем, чтобы показать, что функция непрерывна.Единственная реальная разница заключается в том, что здесь нам нужно убедиться, что функция действительно определена в \ (x = a \), в то время как нам не нужно было беспокоиться об этом для первого определения, поскольку ограничения на самом деле не заботятся о том, что происходит в точке.

Мы не будем приводить здесь никаких примеров доказательства непрерывности функции в основном потому, что мы уже сделали несколько примеров. Вернитесь и посмотрите на первые три примера. В каждом из этих примеров значением предела было значение функции, оцененной в \ (x = a \), и поэтому в каждом из этих примеров мы не только доказали значение предела, но и смогли доказать, что каждый из эти функции непрерывны в рассматриваемой точке.

Какие бывают типы разрывов, объясненные с помощью графиков, примеров и интерактивного руководства

$$ \ definecolor {importantColor} {RGB} {255,0,0} \ definecolor {secondaryColor} {RGB} {255,0,255} $$

Краткий обзор

  • Разрывы можно классифицировать как скачок , бесконечный , съемный , конечная точка или смешанный .
  • Устранимые несплошности характеризуются тем, что предел существует.
  • Удаляемые неоднородности можно «исправить», переопределив функцию.
  • Другие типы несплошностей характеризуются тем, что предел не существует. Конкретно,

Скачок разрывов

График $$ f (x) $$ ниже показывает функцию, которая является разрывной при $$ x = a $$.+} f (x) = M}. $$

Функция приближается к разным значениям в зависимости от направления, откуда исходит $$ x $$. Когда это происходит, мы говорим, что функция имеет разрыв скачка при $$ x = a $$.

Бесконечные разрывы

На графике ниже показана функция, которая не является непрерывной при $$ x = a $$.

Стрелки на функции указывают на то, что она будет бесконечно увеличиваться по мере приближения к $$ x $$ к $$ a $$.Поскольку функция не приближается к конкретному конечному значению, предел не существует. Это бесконечный разрыв .

Следующие два графика также являются примерами бесконечных разрывов при $$ x = a $$. Обратите внимание, что во всех трех случаях оба односторонних предела бесконечны.

Устранимые разрывы

На графиках ниже есть дыра в функции при $$ x = a $$.Эти отверстия называются , устраняемые несплошности

Обратите внимание, что для обоих графиков, несмотря на то, что есть дыры в $$ x = a $$, существует предельное значение в $$ x = a $$.

Съемные разрывы, которые можно исправить

Устранимые разрывы можно исправить, переопределив функцию, как показано в следующем примере.

Пример

Функция ниже имеет устранимый разрыв при $$ x = 2 $$. 2-4}, & \ mbox {для всех} x \ neq 2 \\ [6pt] % \ frac 1 2, & \ mbox {for} x = 2 \ end {массив} \Правильно.\\ $$

Первая часть сохраняет общее поведение функции, а вторая часть закрывает дыру.

Разрывы в конечной точке

Когда функция определена в интервале с закрытой конечной точкой, ограничение не может существовать в этой конечной точке. Это связано с тем, что предел должен проверять значения функции по мере приближения $$ x $$ с обеих сторон.

Например, попробуйте найти $$ \ displaystyle \ lim \ limits_ {x \ to0} \ sqrt x $$ (см. График ниже).

Обратите внимание, что $$ x = 0 $$ – это левая конечная точка области функций: $$ [0, \ infty) $$, и функция там технически не является непрерывной, потому что ограничение не существует (поскольку $$ x $$ не может подходить с двух сторон).

Следует отметить, что функция является непрерывной справа при $$ x = 0 $$, поэтому мы не видим никаких скачков или дыр в конечной точке.

Смешанные неоднородности

Рассмотрим график, показанный ниже.

Очевидно, что функция является разрывной при $$ x = 3 $$. Слева функция имеет бесконечный разрыв, а справа разрыв устранимый. Поскольку существует несколько причин, по которым существует разрыв, мы говорим, что это смешанный разрыв .


Ошибка: Нажмите «Не робот», затем повторите попытку.

Неопределенные пределы: определение и примеры – видео и стенограмма урока

Односторонние ограничения

Односторонние пределы – это оценка функции, когда x приближается к значению с левой и правой стороны функции. Если есть разные значения y , поскольку x приближается с левой и правой стороны, предел не существует.Давайте посмотрим на график функции, для которой не существует одностороннего ограничения. Этот первый график, представленный здесь, показывает функцию:

Тип ограничения для этого графика может быть формально записан в формуле, которая появляется здесь:

Оглядываясь назад на наш первый график, мы видим, что, отслеживая функцию от левого заголовка к x = 1, мы получаем f (x) , равное 1.Когда мы приближаемся к x = 1 справа, мы заканчиваем с другим значением для f (x) , которое равно 3. Поскольку 1 не может равняться 3, этот предел не определен! Теперь давайте посмотрим на еще один тип неопределенного лимита.

Infinite Oscillations

Некоторые тригонометрические функции начинают так радикально колебаться между двумя значениями y , когда x приближается к определенному значению, предел не определен. График f (x) = cos (1/ x ) показан на втором графике, который появляется здесь:

Из нашего второго графика видно, что по мере приближения x к 0 с любой стороны график становится похож на сжатую форму гармошки, которая колеблется в экстремальных условиях, что является неопределенным пределом в расчетах! Это называется бесконечным осциллятором .Давайте перейдем к третьему типу неопределенного лимита.

Интервалы конечных точек

Интервалы конечных точек аналогичны односторонним ограничениям, поскольку мы приближаемся к значению x с определенного направления. Разница в том, что мы можем приблизиться к определенному значению x только с одного направления. Примером этого типа ограничения является функция положения объекта во времени. Подход к time = 0 по оси x может быть выполнен только с положительными значениями x .Мы никогда не сможем приблизиться к 0 из отрицательных значений x , потому что функция положения не существует при отрицательных значениях x . Время никогда не может быть отрицательной величиной! График 3 показывает отсутствие функции при отрицательных значениях времени по оси x .

Нам нужно обсудить еще один неопределенный предел.

Нет пределов конечных значений

Если функция не приближается к конечному значению ни в одном из направлений, предел не определен.Этот четвертый график, представленный здесь, – хороший способ увидеть, что подразумевается под функцией, не достигающей конечного значения:

Поскольку значения x приближаются к 1 с любой стороны, значение y приближается к положительной бесконечности. Поскольку бесконечность не является конечным значением, предел функции при приближении x к 1 не определен. Давайте теперь посмотрим, как определить, приближается ли предел к конечному значению, если граф не указан, на нескольких примерах.

Задачи пределов без графиков

Пример 1

Давайте посмотрим на задачу, в которой мы должны определить, каково значение предела при приближении x к бесконечности. Этот первый пример, представленный здесь, показывает этот предел:

Бесконечность, разделенная на бесконечность, есть бесконечность! Приведем еще один пример.

Пример 2

Теперь нам нужно определить предел, выраженный в следующем примере, показанном здесь, который может показаться немного более сложным, но не волнуйтесь!

Если мы подставим -3 для x , мы получим -1/0, что не определено! Конечно, мы можем разложить знаменатель на множители, получив

, что приводит к отмене условий ( x +2), давая:

Добавляя -3, мы все равно получаем неопределенный предел, потому что в знаменателе стоит 0.

Сводка урока

Некоторые ограничения в исчислении не определены, потому что функция не приближается к конечному значению.

Следующие пределы не определены:

  • Односторонние пределы – это когда функция имеет другое значение при приближении с левой и правой сторон функции.
  • Бесконечные колебательные функции – это то место, где функция сильно колеблется при приближении к значению x.
  • Интервалы конечной точки – это то место, где к функции нельзя подойти с одной стороны, потому что функция не существует на этой стороне.
  • Никаких конечных значений не получается, потому что функция стремится к бесконечности с любого направления.

Если графики не представлены, приближающееся значение x необходимо ввести в выражение предела, чтобы определить, является ли предел допустимым.

ограничений, которые не существуют

Ограничения, которые не существуют по одной из четырех причин:
1) Односторонние ограничения такие же, как нормальные ограничения, мы просто ограничиваем x так, чтобы он приближался только с одной стороны.{+} $ означает, что x приближается к a с правой стороны. (правый предел RHL)
2) Данная функция не приближается к конечному значению, которое является неограниченным поведением данной функции. В таком пределе f (x) неограниченно увеличивается или уменьшается по мере приближения x к любому значению ‘c’.
3) Иногда функция не приближается к определенному значению. F (x) колеблется между двумя фиксированными значениями, когда x приближается к любому значению ‘c’. (Колебание)
4) Значение x приближается к конечной точке замкнутого интервала.

Примеры несуществующих пределов

Пример различного поведения правой и левой стороны:
$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {| x |} {x} $

Решение: Согласно определению функции абсолютного значения
| x | = x, x> = 0
= -x, x <0

$ \ frac {| x |} {x} $ = 1, x> 0

= -1, x <0

Итак, как бы close x достигает 0, будут положительные и отрицательные значения x, что даст вам f (x) = 1 или f (x) = -1.{2}} $
Решение: Когда мы строим график данной функции, мы можем видеть, что, когда x приближается к 0 справа или слева, f (x) неограниченно возрастает. Это означает, что когда мы выбираем значение x, близкое к 0, мы получим f (x) настолько большим, насколько захотим. Таким образом, здесь предел не существует. Пример колебательного поведения:

$ \ lim_ {x-> 0} sin \ frac {1} {x} $
Решение: Пусть f (x) = $ sin \ frac {1} {x} $ we можно увидеть, что по мере приближения x к 0 значение синуса колеблется (колеблется) от -1 до 1, поэтому предела не существует, потому что независимо от того, насколько маленьким вы выбираете значение x.

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

12-й класс по математике

От несуществующих пределов к дому

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *