Все формулы движения: Ошибка: 404 Материал не найден

Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) | LAMPA

Последнее, что нам необходимо узнать в этой теме, — это значения координаты и скорости в некоторых особых точках. Это:

• максимальная высота подъема
• время подъема
• время полета (до падения)
• скорость в нижней точке траектории.

Удобнее всего рассмотреть конкретный пример.

Условие

Мальчик, находясь на балконе первого этажа на высоте h=1h=1h=1 м, бросил мячик вертикально вверх со скоростью V0=4V_0=4V0​=4 м/с. Найдите:

а) момент времени tвершиныt_{вершины}tвершины​, в который мячик достигнет высшей точки своей траектории;

б) максимальную высоту (относительно земли) hвершиныh_{вершины}hвершины​, на которую поднимается мячик;

в) скорость в момент пролета мячиком балкона при падении VбалконV_{балкон}Vбалкон​;

г) скорость в момент времени, когда мячик достигнет земли VземляV_{земля}Vземля​. 2-4t=05t2−4t=0,

t(5t−4)=0t(5t-4)=0t(5t−4)=0,

t1=0t_1=0t1​=0 и t2=45=0,8t_2=\frac{4}{5}=0,8t2​=54​=0,8.

Первое решение t1=0t_1=0t1​=0 соответствует моменту броска. В тот момент мячик действительно находился на балконе, но двигался вверх. Это решение нам не интересно.

А второе решение t2=0,8t_2=0,8t2​=0,8 соответствует моменту времени, когда мячик пролетал балкон, но летел уже вниз. Подставим это время в уравнение скорости Vy=4−10tV_y=4-10tVy​=4−10t.

Получим Vбалкон=4−10⋅0,8=−4V_{балкон}=4-10\cdot 0,8=-4Vбалкон​=4−10⋅0,8=−4 (м/с).

Проекция скорости получилась отрицательной, поскольку мячик летел уже вниз. Обратите внимание: скорость точно такая же, как была при броске. Просто направлена уже в другую сторону. Так проявляет себя закон сохранения механической энергии, к которому мы обратимся немного позже.

Осталось найти скорость в момент времени, когда мячик достигнет земли. 2-4t-1=05t2−4t−1=0.

У этого квадратного уравнения два корня: t1=−0,2t_1=-0,2t1​=−0,2 и t2=1t_2=1t2​=1.

Первый момент времени нас не устраивает, поскольку он отрицательный. А второй — устраивает. Именно этот момент времени соответствует падению мячика на землю.

Найдем скорость в этот момент времени. Для этого подставим время t=1t=1t=1 в уравнение скорости Vy=4−10tV_y=4-10tVy​=4−10t:

Vземля=4−10⋅1=−6V_{земля}=4-10\cdot 1=-6Vземля​=4−10⋅1=−6 (м/с).

Скорость получилась отрицательная, поскольку мячик летит вниз, а ось направлена вверх.

Ответ: tвершины=0,4t_{вершины}=0,4tвершины​=0,4; hвершины=1,8h_{вершины}=1,8hвершины​=1,8; Vбалкон=−4V_{балкон}=-4Vбалкон​=−4; Vземля=−6V_{земля}=-6Vземля​=−6.

Еще раз резюме: чтобы найти какие-то величины в особых точках, нужно использовать их “особенности”; на вершине траектории скорость равна нулю, а в определенных точках траектории обычно известна координата тела.

Задачи для самостоятельного решения: #движение по вертикали

Вращательное движение

Страница 1 из 3

Существует большое количество расчетных задач, которые моделируют явления, происходящие в различных вращающихся агрегатах или около них. При постановке подобной численной задачи важно выбрать способ описания вращения в численной модели, который будет корректен с точки зрения физики и оптимален с точки зрения производительности вычислений. FlowVision позволяет задавать вращение различными способами: с помощью вращающейся локальной системы координат; с помощью подвижных тел; с помощью скользящих поверхностей. С целью помочь пользователю разобраться с постановкой такого типа задач, рассмотрены примеры задач разного типа, начиная с физико-математических основ.                                                                                                          

1. Кинематика вращательного движения

1.1. Вращательное движение материальной точки

Вращательное движение материальной точки (м. т.) вокруг неподвижной оси – это движение материальной точки по окружности радиуса R, центр которой лежит на неподвижной относительно данной системы отсчета прямой (ось вращения), перпендикулярной плоскости, в которой лежит траектория точки.

Рис.1.

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси – движение тела, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. Тело, совершающее вращательное движение, имеет одну степень свободы, и его положение относительно данной системы отсчёта определяется углом поворота φ между неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жёстко связанной с телом, проведёнными через ось вращения.

Рис.2.

1.2. Угол поворота

Угол φ считается положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Чтобы знать положение в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т.е. φ=f(t).          

1.3. Основные кинематические характеристики вращательного движения

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость   и угловое ускорение  .                                        
Угловая скорость и угловое ускорение величины векторные. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.3). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси. Аналогично углу поворота, когда вращение происходит против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az) ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0. Таким образом, знак ωопределяет направление вращения.
а)    б)    в)

Рис.3

1.4. Прочие кинематические характеристики

Скорость точки M на расстоянии R от оси (рис. 2):  

Тангенциальная составляющая ускорения точки M (рис.3б): 

Нормальная составляющая ускорения точки M (рис.3б): 

Полное ускорение точки M (рис.3б): 

Формула Эйлера (рис.3в):  

2. Силы инерции, действующие на материальную точку во вращающейся системе отсчета

2.1. Материальная точка, покоящаяся во вращающейся системе отсчета

Если рассмотреть движение вращающейся точки M, то относительно  неподвижной системы координат (СК) XYZ (рис.4а) силу, действующую на неё можно определить  из второго закона Ньютона:  . Относительно вращающейся системы координат X’Y’Z’ точка M неподвижна (рис.4б). Это обеспечивается тем, что равнодействующая сил уравновешивается инерциальной силой (центробежной):  .

Рис.4 (а,б)

2.2. Материальная точка, движущаяся во вращающейся системе отсчета

Если же точка движется во вращающейся системе отсчета, то помимо центробежной силы на неё действует ещё одна сила инерции – сила Кориолиса   (рис.5). Направление силы Кориолиса определяется правилом правого винта.   

Рис. 5.

Таким образом, при переходе от основной неподвижной СК к локальной СК, которая является вращающейся системой отсчета, появляются дополнительные составляющие вектора силы, которые действуют на материальную точку: центробежная сила    и сила Кориолиса   .

Введение в уравнения движения

Движение и покой

Если положение объекта изменяется по отношению к контрольной точке, то говорят, что он движется относительно этой контрольной точки, а если он не изменяется, то он находится в состоянии покоя относительно контрольной точки. .это ориентир. Для лучшего понимания или для работы с различными ситуациями покоя и движения мы выводим некоторые стандартные уравнения, связывающие расстояние, смещение, скорость, скорость и ускорение тела уравнением, называемым уравнениями движения.

Три уравнения движения

В случае движения с равномерным или постоянным ускорением (одно с равным изменением скорости за равный интервал времени) мы выводим три стандартных уравнения движения, которые также известны как законы постоянного ускорения. Эти уравнения содержат величины смещения (с), скорости (начальной и конечной), времени (t) и ускорения (a), которые определяют движение частицы. Эти уравнения могут применяться только тогда, когда ускорение тела постоянное, а движение – прямолинейное.Три уравнения:

• v = u + при

• v² = u² + 2as

• s = ut + ½at²

где s = смещение; u = начальная скорость; v = конечная скорость; а = ускорение; t = время движения.

Вывод уравнения движения

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Теперь давайте начнем вывод с первого уравнения движения, т.е. v = u + at, где u – начальная скорость, v – конечная скорость, а a – постоянное ускорение.

Предположим, что тело стартовало с начальной скоростью «u» и по прошествии времени t приобретает конечную скорость v из-за равномерного ускорения a.

Мы знаем, что ускорение определяется как скорость изменения скорости, которая также определяется наклоном графика зависимости скорости от времени.

Таким образом, как из определения, так и из графика Ускорение = изменение скорости / затраченное время, т.е. a = vu / t или at = vu

Следовательно, мы имеем: v = u + at

Теперь, чтобы вывести второе уравнение, предположим снова тело движется с начальной скоростью u, по прошествии времени t его скорость становится равной v.Перемещение, охватываемое в течение этого интервала времени, равно S, а ускорение тела представлено буквой a.

Пояснение: Мы знаем, что площадь под графиком скорости-времени дает полное смещение тела, поэтому площадь под графиком скорости-времени является площадью трапеции OABC.

Также площадь трапеции = ½ (сумма параллельных сторон) высота

Сумма параллельных сторон = OA + BC = u + v и здесь высота = временной интервал t

Таким образом, площадь трапеции = ½ (u + v ) t

Подставляя v = u + at из первого уравнения движения, получаем,

Смещение = S = площадь трапеции = ½ (u + u + at) t

S = ½ (2u + at) t = ut + ½at2

Это называется вторым уравнением движения и представляет собой соотношение между смещением S, начальной скоростью u, временным интервалом t и ускорением a частицы.

Теперь, чтобы вывести третье уравнение, снова используйте

Смещение = S = площадь трапеции = ½ (u + v) t

Из первого уравнения v = u + at мы получаем vu = at ⇒vu / a = t

Подставляя значение t в S = ½ (u + v) t

, получаем S = ½ (u + v) (vu) / a = (v2-u2) / 2a

⇒2as = v2-u2

⇒v2 = u2 + 2as

Это третье уравнение движения и соотношение между конечной скоростью v, начальной скоростью u, постоянным ускорением a и смещением S частицы.

Теперь мы можем также рассчитать смещение частиц в течение n-й секунды, используя эти уравнения движения, полученные выше. Для этого мы вычислим смещение за n секунд и вычтем смещение за n-1 секунду и получим смещение за n-ю секунду

snth = Sn-sn-1 = un-u (n-1) + 1 / 2an2-1 / 2a (n-1) 2

упрощение дает нам окончательное уравнение для смещения за n-ю секунду: s = u + a (2n-1) / 2

Это уравнение часто рассматривается как модифицированная форма второго уравнения движения

Формулы движения – линейное и круговое

Формулы линейного движения

Средняя скорость / скорость движущегося объекта может быть рассчитана как

v = s / t (1a)

где

v = скорость или скорость (м / с, фут / с)

s = пройденное линейное расстояние (м, фут)

t = время (с)

• расстояние это длина пути, по которому тело движется из одной точки в другую. – смещение – это расстояние по прямой между начальным и конечным положениями тела
• , мы используем взаимозаменяемые скорость и скорость – но имейте в виду, что скорость – это мера того, насколько быстро или медленно преодолевается расстояние, скорость, с которой пройдено расстояние – скорость – это вектор, определяющий, насколько быстро или медленно пройдено расстояние и направление

Если ускорение постоянное, то скорость может быть выражена как:

v = v ₀ + a t (1b)

где

v ₀ = начальная линейная скорость (м / с, фут / с)

a = ускорение (м / с ² , фут / с ² )

Линейное расстояние может быть выражено как (если ускорение постоянное):

s = v ₀ t + 1/2 a t ² (1c)

9 0111

Объединение 1b и 1c для выражения конечной скорости

v = (v ₀ ² + 2 as) ^1/2 (1d)

Скорость может быть выражена как (скорость переменная)

v = ds / dt (1f)

где

ds = изменение расстояния (м, фут)

dt = изменение во времени (с)

Ускорение может быть выражено как

a = dv / dt (1g)

где

dv = изменение скорости (м / с, фут / с)

Пример – марафон

Если марафон – 42195 м – проходит за удивительные 2:03:23 (7403 секунды) (Уилсон Кипсанг, Кения – Берлинский марафон 29 сентября 2013 г.) – среднюю скорость можно рассчитать 90 005

v = (42195 м) / (7403 с)

= 5.7 м / с

= 20,5 км / ч

Пример – ускорение автомобиля

Автомобиль ускоряется с 0 км / ч до 100 км / ч за 10 секунд . Ускорение можно рассчитать, преобразовав (1b) в

a = (v – v ₀ ) / t

= ((100 км / ч) (1000 м / км) / (3600 с / ч) – (0 км / ч) ( 1000 м / км) / (3600 с / ч)) / (10 с)

= 2.78 (м / с ² )

Калькуляторы линейного движения

Средняя скорость

с – расстояние (м, км, футы, мили)

t – затраченное время (с, ч)

Расстояние

v ₀ – начальная скорость (м / с, фут / с)

a – ускорение (м / с ² , фут / с ² )

т – используемое время (с, ч)

Final Velocity

v ₀ – начальная скорость (м / с, фут / с)

a – ускорение (м / с ² , фут / с ² )

с – расстояние (м, фут)

Ускорение

v – конечная скорость (м / с, фут / с)

v ₀ – начальная скорость (м / с, фут / с)

t – используемое время (с)

Круговое движение – вращение

Угловая скорость

Угловая скорость может быть выражена как (угловая скорость = постоянная):

ω = θ / t (2)

где

ω = угловая скорость (рад / с)

θ = угловое расстояние (рад)

t = время (с)

Угловая скорость и частота вращения:

ω = 2 π n / 60 (2a)

где

n = оборотов в минуту (об / мин)

π = 3.14 …

Тангенциальная скорость точки в угловой скорости – в метрических или британских единицах, таких как м / с или фут / с – может быть рассчитана как

v = ω r (2b )

где

v = тангенциальная скорость (м / с, фут / с, дюйм / с)

r = расстояние от центра до точки (м, фут, дюйм)

Пример – тангенциальная скорость велосипедной шины

A 26 дюймов, велосипедное колесо вращается с угловой скоростью π радиан / с (0.5 оборотов в секунду) . Тангенциальная скорость шины может быть рассчитана как

v = ( π радиан / с ) ((26 дюймов) / 2)

= 40,8 дюймов / с

Угловая скорость и ускорение

Угловая скорость также может быть выражена как (угловое ускорение = константа):

ω = ω _o + α t (2c)

, где

ω _o = угловая скорость в нулевой момент времени. (рад / с)

α = угловое ускорение или замедление (рад / с ² )

Угловое смещение

Угловое расстояние можно выразить как (угловое ускорение постоянно):

θ = ω _o t + 1/2 α t ² (2d)

Объединение 2a и 2c:

ω = (ω 901 23 o ² + 2 α θ) ^1/2

Угловое ускорение

Угловое ускорение можно выразить как:

α = dω / dt = d ² θ / dt ² (2e)

где

dθ = изменение углового расстояния (рад)

dt = изменение во времени (с)

Пример – замедление маховика

Автор Geni (Фото автора Пользователь: geni) [GFDL или CC-BY-SA-3.0-2,5-2,0-1,0], через Wikimedia Commons

Маховик замедляется с 2000 об / мин ( об / мин) до 1800 об / мин за 10 с . Замедление маховика можно рассчитать как

α = ((2000 об / мин ) – (1800 об / мин )) (0,01667 мин / с) (2 π рад / об. ) / (10 с)

= 2,1 рад / с ²

= (2.1 рад / с ² ) (360 / (2 π) градусов / рад)

= 120 градусов / с ²

Угловой момент – или крутящий момент

Угловой момент или крутящий момент можно выразить как:

T = α I (2f)

где

T = угловой момент или крутящий момент (Н · м)

I = момент инерции (фунт _м фут ² , кг м ² )

Анализ движения – Движение – Уравнения и графики – Высшая редакция физики

Уравнения и графики

Физику можно описать как моделирование мира природы с помощью математики.

В случае движущихся объектов физика может точно записывать и даже предсказывать движение объектов, используя набор физических законов и уравнений.

Эти уравнения помогли запускать космические аппараты и обеспечивают реалистичность многих компьютерных игр.

Уравнения движения

Уравнения движения связаны со следующими пятью величинами:

• u – начальная скорость
• v – конечная скорость
• a – ускорение
• t – время
• s – смещение

Из вышеперечисленных u, v, a и s – векторные величины.2} + 2as \]

\ [s = \ frac {{u + v}} {2} t \]

Уравнения движения могут использоваться только для объекта, движущегося по прямой с постоянным ускорением.

Не забудьте сделать векторы, идущие в одном направлении, положительными, а векторы в противоположном направлении – отрицательными.

Уравнение движения графическим методом

Известный британский ученый Иссак Ньютон вывел три уравнения движения, которые описывают самые фундаментальные концепции движения объекта.Эти уравнения управляют движением объекта в одном, двух и трех измерениях. Эти уравнения легко использовать для вычисления значений или выражений для положения, скорости или ускорения объекта в разное время. Давайте сначала поймем основную концепцию движения и различные термины, связанные с ней.

Что такое движение?

Движение можно описать как изменение положения объекта во времени. Положение можно измерить, используя контрольную точку и вычислив расстояние от объекта до контрольной точки.Время можно рассчитать с помощью скоростных часов, которые определят время, необходимое для изменения положения. Есть много великих ученых, которые работали и вывели некоторые уравнения или теории для изучения движения, такие как Галилео Галилей и Исаак Ньютон.

Движение автомобиля во временном интервале

Прежде чем обсуждать уравнение движения, давайте сначала пересмотрим основные термины, относящиеся к движению объекта. Движение объекта можно описать четырьмя различными терминами, а именно:

Расстояние

Фактическая мера общего изменения положения объекта (в конкретный период времени) называется расстоянием .

Расстояние (d) является скалярной величиной и, следовательно, дает только величину.

например Рассмотрим рисунок ниже: автомобиль движется из положения A в положение B. Спидометр в автомобиле покажет расстояние, пройденное от точки A до точки B.

Расстояние, пройденное автомобилем

Перемещение

Самая короткая мера чистого изменения положения объекта (за определенный промежуток времени) называется смещением .

Смещение является векторной величиной и, следовательно, дает как величину, так и направление.

например Рассмотрим рисунок ниже. Автомобиль движется из положения A в положение B. Перемещение равно расстоянию, пройденному в определенном направлении движения.

Перемещение автомобиля

Скорость

Скорость объекта – это мера, определяющая, насколько быстро или медленно объект перемещается или меняет свое положение.

Скорость равна изменению во времени расстояния, пройденного объектом.

например Предположим, вентилятор работает очень быстро, но он быстр относительно вашего стационарного состояния. Если вы также будете вращаться с той же скоростью, что и вентилятор, вы увидите, что он даже не движется.

Математически скорость объекта задается как:

Поскольку и время, и расстояние являются скалярными величинами, поэтому скорость также является скалярной величиной.

Единица измерения скорости в системе СИ – м / с.

Скорость

Скорость изменения смещения объекта относительно времени или скорость изменения положения называется скоростью .

Графически это наклон функции смещения. Это векторная величина, которая дает как величину, так и направление.

Математически скорость определяется как:

Единица измерения скорости в системе СИ такая же, как и скорость, то есть м / с.Разница между скоростью и скоростью объекта заключается в том, что скорость является скалярной величиной, а скорость – векторной величиной.

Ускорение

Изменение скорости объекта в единицу времени или скорость изменения функции скорости относительно времени определяется как ускорение.

Графически это наклон функции скорости. Ускорение является векторной величиной и, следовательно, дает как величину, так и направление.

Математически ускорение определяется как:

Какие уравнения движения?

Уравнения, объясняющие природу и поведение физической системы с точки зрения ее движения как функции времени, называются уравнениями движения.Есть три уравнения движения, которые можно использовать для вычисления компонентов движения, таких как расстояние, смещение, скорость (начальная и конечная), время (t) и ускорение (a) объекта. Ниже приведены три уравнения движения:

• Первое уравнение движения: v = u + при
• Второе уравнение движения: s = ut + 1/2 (при ² )
• Третье уравнение движения: v ² = u ² – 2as

где v и u – начальная и конечная скорости, a – ускорение, t – затраченное время, а s – смещение объект.

Вывод уравнений движения

Исходя из цели применения различных компонентов в различных решениях, есть три различных способа вывода этих уравнений:

1. Вывод уравнений движения алгебраически , с использованием определения и различных формул составляющих движения.
2. Вывод уравнений движения графически , используя графическое представление расстояния, скорости и ускорения объекта.
3. Вывод уравнений движения с помощью интегрального метода .

Здесь, в данной статье, вывод трех уравнений движения обсуждается графически следующим образом:

Вывод первого уравнения движения графически:

Первое уравнение связывает скорости с ускорением и временем объект. Следовательно, это уравнение применимо, когда смещение не задано, и поэтому оно также известно как соотношение скорости и времени .

Рассмотрим график скорости-времени, как показано ниже, скорость тела изменяется от A до C за время t с постоянной скоростью. Расстояние от A до оси x – это конечная скорость, а OC – полное время t.

Перпендикуляр проведен от B до OC, параллельная линия проведена от A до D, а другой перпендикуляр проведен от B до OE (представлен пунктирными линиями).

График показывает, что объект имеет переменную скорость, которая увеличивается от u до v, поскольку наклон положительный, скорость увеличивается в положительном направлении.

График скорости-времени

Теперь мы рассчитаем ускорение, используя этот график движения. Ускорение – это тангенс угла на графике v-t.

Графическое отображение второго уравнения движения:

На графике ниже v-t показано соотношение скорости и времени объекта с начальной скоростью u м / с и конечной скоростью v м / с. Поскольку мы знаем, что площадь графика v-t дает смещение объекта, поэтому мы вычислим площадь графика и выясним уравнение смещения.Тот же график, который мы использовали в предыдущем выводе, но здесь подход будет другим, раньше мы использовали наклон для расчета ускорения, но теперь мы будем использовать площадь.

vt График движения

Смещение объекта (d) = Площадь треугольника ABC + Площадь прямоугольника BCOT

Здесь площадь треугольника ABC = 1/2 × Основание × Высота

= 1/2 × t × (vu)

А площадь прямоугольника BCOT = Длина × Ширина

= u × t

Следовательно, смещение объекта, d = 1/2 × t × (vu) + u × t …… (1)

Кроме того, из первого уравнения движения, v – u = at

Подставим at вместо vu в уравнение (1),

d = 1/2 × t × (at) + u × t

d = ut + (1/2) at ²

Графическое отображение третьего уравнения движения:

У нас есть разные способы вычисления площадей, например, разделение любой формы на маленькие части и последующее сложение поднятие области преобразования проблемы в хорошо известную нам форму.В этом выводе площадь прямоугольной формы преобразуется, и смещение вычисляется с использованием площади прямоугольника. Это уравнение используется, когда время не указано.

Исходный график к выделенному графику

Здесь P – это центральная точка, поэтому скорость объекта равна (v + u) / 2.

Следовательно, смещение объекта (d) = площадь треугольника ABC + площадь прямоугольника ACTO = площадь прямоугольника OPQT

Смещение объекта, d = длина × ширина

= t × (v + u) / 2 …… (2)

Также из первое уравнение движения, v – u = at или t = (v – u) / a

Следовательно, уравнение (2) принимает следующий вид:

d = (v – u) / a × (v + u) / 2

v ² = u ² – 2ad

Примеры задач

Задача 1: График скорости-времени для частицы приведен ниже, найдите расстояние, которое она преодолевает за 40 минут.

График скорости-времени

Решение:

Расчет расстояния с использованием площади под графиком скорость-время.

Площадь под данной кривой.

Расстояние, пройденное частицей за 40 мин = Площадь под данной кривой.

Форма, образованная под кривой, представляет собой прямоугольник, поэтому площадь под кривой = длина × ширина.

Здесь длина формы эквивалентна затраченному времени, т.е. 40 мин или 40 мин × 60 с / 1 мин = 2400 с.

Точно так же ширина формы эквивалентна скорости, т. Е. 15 км / ч или 15 км / ч × 1 ч / 3600 с × 1000 м / 1 км = 4,17 м / с.

Следовательно, площадь под кривой или расстояние, пройденное за 40 минут, определяется как:

⇒ 2400 с × 4,17 м / с = 10000 м или 10 км.

Следовательно, расстояние, которое частица преодолевает за 40 мин, равно 10 км.

Задача 2: В приведенном ниже графике рассчитывается расстояние, пройденное частицей за время от 20 до 40 минут.

График скорость-время

Решение:

Расстояние, пройденное частицей с момента времени t = 20 мин до 40 мин, равно площади под данной кривой между заданным диапазоном времени.

Выделенная область графика скорости-времени

Форма, образованная под кривой, представляет собой прямоугольник, поэтому площадь под кривой = длина × ширина.

Здесь длина формы эквивалентна затраченному времени, т.е. (40-20) мин или 20 мин × 60 с / 1 мин = 1200 с.

Точно так же ширина формы эквивалентна скорости, т. Е. 15 км / ч или 15 км / ч × 1 ч / 3600 с × 1000 м / 1 км = 4,17 м / с.

Следовательно, площадь под кривой или расстояние, пройденное с момента времени t = 20 мин до 40 мин, определяется как:

⇒ 1200 с × 4,17 м / с = 5004 м или 5,004 км.

Следовательно, расстояние, пройденное частицей с момента времени t = 20 мин до 40 мин, равно 5,004 км.

Задача 3: Найдите расстояние, пройденное частицей за интервал времени t = 0 с и t = 4 с, для которого ниже приведен график скорости-времени:

График скорость-время

Решение:

График скорости-времени

Расстояние, пройденное частицей за t = 0 с и t = 4 с, равно площади под кривой.

Форма, образованная под кривой, представляет собой треугольник, поэтому площадь под кривой = 1/2 × основание × высота.

Здесь основание формы эквивалентно затраченному времени, т. Е. 4 с.

Точно так же высота фигуры эквивалентна скорости, то есть 20 м / с.

Следовательно, площадь под кривой или расстояние, пройденное за t = 0 с и t = 4 с, определяется по формуле:

⇒ 1/2 × 4 с × 20 м / с = 40 м.

Следовательно, расстояние, пройденное частицей за t = 0 с и t = 4 с, равно 40 м.

Проблема 4: На рисунке ниже показан график расстояния-времени трех объектов A, B и C. Определите:

(a) какой объект движется с большей скоростью?

(б) какой объект движется с меньшей скоростью?

График расстояния-времени

Решение:

Данный график представляет собой график расстояния-времени, а наклон дает нам значение скорости, т.е. чем больше наклон, тем больше скорость.

Как видно из данного графика, A имеет максимальный наклон, поэтому он движется с большей скоростью, а C имеет наименьший наклон, поэтому он движется с самой медленной скоростью.

Задача 5: Рассчитайте скорость частицы с помощью заданного графика движения расстояние-время.

График расстояния-времени

Решение:

Здесь скорость частицы равна наклону графика.

А наклон графика расстояний равен скорости частицы.

Следовательно, формула для расчета скорости частицы:

Скорость = Расстояние / Время

= 20 м / 5 с

= 4 м / с.

Следовательно, скорость частицы равна 4 м / с.

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Присоединяйтесь к курсу First-Step-to-DSA для учащихся 9–12 классов , , специально разработанного для ознакомления со структурами данных и алгоритмами учащихся 9–12 классов

Galileo и уравнения движения

Первый из трех законов движения, сформулированных Ньютоном (1642-1726), гласит, что каждый объект в состоянии равномерного движения остается в этом состоянии, если не применяется внешняя сила.По сути, это переформулировка концепции инерции Галилея. Иногда это считается началом современной науки. Среди многих других хорошо известных вещей, которых Галилей (1564–1642) достиг как астроном, он также описал закон падающих тел, известный нам как s = ½at² . Цель этой книги – критически проанализировать, почему эти результаты приписываются ему, и как Галилей пришел к такому выводу и как он их сформулировал. Такое историческое исследование нетривиально.Конечно, есть тексты, которые были опубликованы при жизни Галилея, но еще более важными в этом контексте являются некоторые из его неопубликованных ранних заметок, а также тексты, которые Галилей, который был слепым в конце своей жизни, продиктовал Вивиани, который был заботясь о нем. Из-за его проблем с Церковью их пришлось спрятать даже после смерти Галилея. Позже они были проданы по частям, при этом разогнаны и чуть не потерялись. К счастью, великий герцог Тосканы Фердинандо II мог вспомнить все, что мог найти.

Эта книга представляет собой тщательное историческое исследование, адресованное в основном профессиональным историкам. Для достижения целей, упомянутых выше, нужно знать и понимать, во-первых, то, что было известно до Галилея, а во-вторых, попытаться понять, как Галилей думал и как он пришел к своим окончательным выводам. Это далеко не тривиальная задача. С нашим нынешним пониманием физики и нашей солнечной системы очень сложно привести наш мозг в состояние понимания, которое соответствует времени и обстоятельствам, в которых жил Галилей.

Поэтому Боккалетти увеличивает масштаб и сосредотачивается на этой конкретной задаче. Таким образом, это не биография Галилея, и его приверженность гелиоцентрической солнечной системе Коперника и его проблемы с католической церковью явно не освещаются и упоминаются только в той мере, в какой это соответствует основному фокусу: уравнениям движения. В частности, он ограничивает книгу изучением динамики и кинематики, сознательно избегая статики.

С другой стороны, именно неопубликованные заметки, известные как De Motu (написанные в период 1589-1592) молодого Галилея и Discourses (Discorsi e dimonstrazioni matematiche intorno a due nuove scienze) (написанные в 1635 году) -1642) зрелого Галилея имеют решающее значение.Первый был написан во время его первого визита в Пизу и обсуждает аристотелевско-архимедовы динамические принципы того, как тела тонут или плавают в жидкостях. Второй был написан во время домашнего ареста и продиктован старым Галилеем. И то, и другое важно для изучения и понимания мыслей Галилея. Они были включены в полное собрание сочинений Галилея, которое было опубликовано только через несколько сотен лет после его смерти. Их редактировали, изучали и комментировали несколько человек, и интерпретация не всегда была одинаковой.Другими важными источниками являются его Le Mecaniche , которые представляют собой конспекты лекций, написанные во время обучения Галилея в Падуе около 1592 года. Краткая версия этих заметок была опубликована посмертно. Когда он преподавал по тому же предмету, ок. 1598 г., в результате появилась более длинная версия. Рукописные версии циркулировали и открывались заново намного позже. Другой текст – «Диалог », (ок. 1630 г.). Это так же, как и его Discourses , написанные в форме диалога между двумя персонажами, один из которых является alter ego Галилея, а другой задает вопросы и получает указания от первого.Такая форма письма не была необычной во времена Галилея.

Как и в большинстве исторических исследований, здесь много цитат, и они часто довольно длинные. Они могут быть написаны Галилеем или историками, изучавшими Галилея. В этой книге они помещены в текст и составляют основу излагаемых фактов. Однако для удобства чтения они представлены не на языке оригинала, а в основном в английском переводе.

В соответствии с целью книги, есть две части: период до Галилея и период Галилея.Первая часть, конечно же, начинается с древнегреческого языка, в частности Аристотеля, и продолжается обзором Средневековья и раннего Возрождения. Обращается внимание на первые критические замечания в адрес Аристотеля со стороны группы Мертон-колледжа (Оксфорд) и другой, известной как парижская школа. Позже итальянцы присоединились к дискуссии в шестнадцатом веке, в частности, Тарталья и Бенедетти. Некоторые историки предполагают, что Галилей получил свои идеи непосредственно от Бенедетти, но Боккалетти утверждает, что Галилей, вероятно, никогда не читал Бенедетти.

Вторая часть проходит через рукописи Галилея и показывает, как он постепенно критиковал аристотелевские догмы и развивал свои собственные идеи, в основном основанные на экспериментах. Его любимый эксперимент включал объекты, скользящие или скатывающиеся по наклонной плоскости. Слухи о том, что он сбросил бы тяжести с Пизанской башни, скорее всего, легенда. Принцип инерции фигурирует в нескольких его публикациях и письмах. Диалоги в Discourses продолжаются в течение нескольких дней, поэтому они подразделяются на части, обозначенные как первый день, второй день и т. Д.Поскольку они дошли до нас в версиях, которые не были опубликованы при жизни Галилея, а редакторы позже дали свою интерпретацию, не всегда ясно, что было задумано на самом деле. В любом случае, все, что относится к изучению Галилеем движения падающих объектов, или принципа инерции, или параболических траекторий снарядов, и даже некоторые из его заметок о маятнике вынесены на передний план. Галилей также рассматривал движение относительно различных систем отсчета. В конце книги также кратко объясняется, почему в современных учебниках можно прочитать, что уравнения движения остаются инвариантными относительно «преобразований Галилея».

Поскольку это не является целью данной работы, это не особо подчеркивается, но Галилей также был тем, кто начал формализовать вещи и использовал математику и формулы, намного больше, чем это было обычно в греческой традиции. Это книга для историков. Если вас интересует биография, его вклад в астрономию или его спор с католической церковью, следует попытаться найти другую книгу. Для облегчения чтения биографии я могу порекомендовать Галилео Галилео – Когда мир стоял на месте А.Нэсс (Springer Verlag, 2005).

Формула движения снаряда с примерами для средних школ

Определение движения снаряда:

Любой объект, брошенный в воздух под углом $ \ theta $, является снарядом, и его движение называется движением снаряда. Другими словами, любое движение в двух измерениях и только под действием силы тяжести называется движением снаряда.

Формула движения снаряда:

Ниже приведены все уравнения движения снаряда в вертикальном и горизонтальном направлениях.\ circ $ от горизонтали. Найдите следующее:
(а) расстояние, на котором снаряд упал на землю.
(b) максимальная высота над землей, достигаемая снарядом.
(c) величина и направление вектора скорости снаряда в момент удара о землю.

Решение:

Пусть точка стрельбы будет началом координат, $ y $ положительна вверх, а $ x $ положительна вправо. Поскольку снаряд попал в землю ниже рассматриваемого начала координат, его координата равна $ (x = ?, y = -200 \, {\ rm m}) $.\ circ) (20.757) \\ & = (150 \ times 0.8) (20.757) \\ & = 95.83 \, {\ rm m} \ end {align} \]

(b) Одной из ключевых особенностей движения снаряда является то, что его вертикальная скорость $ v_y $ в наивысшей точке траектории равна нулю. Установив $ v_y = 0 $, можно получить время между начальным временем и моментом, когда снаряд достигает наивысшей точки. \ circ) – (9.\ circ $ от горизонтали. Находим:
(а) Время, когда ягода достигает земли.
(b) Вектор скорости ягоды, когда она достигает земли.

Решение:

Это проблема движения снаряда, поскольку ягода имеет угол и скорость и под действием силы тяжести достигает земли.
(a) Пусть точка отпускания будет началом координат, т.е. $ (x_0 = 0, y_0 = 0) $. Поскольку ягода ударилась о землю ниже оси Y, координата удара равна $ (x = ?, y = -h = -30) $, где $ h $ – вертикальное расстояние от птицы до точки попадания.% v_x \, ​​\ hat {i} + v_y \, \ hat {j} \\ & = 9,4 \, \ hat {i} -24,5 \, \ hat {j} \ end {align} \]

---

Пример (3) для горизонтального движения снаряда:
Камень бросается в воздух горизонтально со скоростью $ 8 \, {\ rm m / s} $ с вершины $ 20 \, {\ rm m} $ – высокий обрыв и ударяется о землю.
а) На каком расстоянии от подножия утеса приземляется камень?
(b) Найдите скорость и направление камня перед тем, как он упадет на землю?

Решение :
Поскольку сказано, что камень кидается горизонтально, значит $ \ theta = 0 $.\ circ $, дальность полета снаряда $ R = 13.8 \, {\ rm m} $, максимальная высота $ H = 2.42 \, {\ rm m} $.

(a) Напомним, что в задачах снаряда есть два движения и, следовательно, два ускорения и скорости.

Движение в горизонтальном направлении равномерное ($ a_x = 0 $), а в вертикальном направлении – движение свободного падения ($ a_y = -g $).

Скорость – это векторная величина, поэтому ее компоненты в точке запуска равны $ v_ {0x} = v_0 \ cos \ theta $ и $ v_ {0y} = v_0 \ sin \ theta $.

В этой части $ v_ {0y} $ неизвестно.2 + (6.87) t_T \ end {align} \] Таким образом, время полета $ t_T = 1.40 \, {\ rm s} $.

(c) В задачах о снаряде горизонтальная составляющая начальной скорости появляется при равномерном движении в горизонтальном направлении как $ \ Delta x = v_ {0x} t $, где $ \ Delta x $ – горизонтальное расстояние. Когда общее время полета заменяется на $ t $, тогда $ \ Delta x $ равняется дальности полета снаряда.

В этой части запрашивается $ v_ {0x} $, поэтому
\ [\ begin {align} \ Delta x & = R = v_ {0x} t_T \\ \\ 13.2} \\ & \ приблизительно 12 \, {\ rm м / с} \ end {align} \] Примечание : горизонтальная составляющая скорости снаряда всегда одинакова на протяжении всей траектории снаряда.

Практикуйте больше задач – Кинематика в двух измерениях.

---

Последнее изменение: 25.08.2020
Автор : PhysicsExams

---

Вывод всех трех уравнений движения по графику

Последнее обновление: 12 мая 2020 г., Teachoo

Графический вывод всех трех уравнений движения

Наши 3 уравнения движения:

v = u + при

s = ut + 1 / 2at ²

v ² – ты ² = 2as

Предположим, что объект с начальной скоростью u до конечной скорости v за время t.Выведем все 3 уравнения

Здесь,

Начальная скорость = u = OA = CD

Конечная скорость = v = BD

Затраченное время = t = OD = AC

Первое уравнение движения

Второе уравнение движения

Третье уравнение движения

---

Выписка

Первое уравнение движения Мы знаем, что Ускорение = наклон графика v-t Координаты точки А x-координата A = Time = 0 y-координата A = Начальная скорость = u ∴ Координаты точки A = (0, u) Координаты точки Б x-координата B = Time = t y-координата A = конечная скорость = v ∴ Координаты точки A = (t, v) Ускорение = наклон графика v-t а = (𝑦_2 – 𝑥_1) / (𝑥_2 – 𝑥_1) а = (𝑣 – 𝑢) / (𝑡 – 0) а = (𝑣 – 𝑢) / 𝑡 при = v – u v = u + при Ускорение = наклон графика v-t а = (𝑦_2 – 𝑥_1) / (𝑥_2 – 𝑥_1) а = (𝑣 – 𝑢) / (𝑡 – 0) а = (𝑣 – 𝑢) / 𝑡 при = v – u v = u + при Второе уравнение движения Мы знаем это Расстояние = Площадь под графиком v-t Расстояние = Площадь OABD Расстояние = Площадь прямоугольника OACD + Площадь Δ ABC s = OA × OD + 1/2 × AC × BC s = u × t + 1/2 × t × (v – u) Из 1-го уравнения движения v = u + при v – u = при Положив v – u = at в уравнение (1) s = ut + 1/2 t (при) s = ut + 𝟏 / 𝟐 at2 Третье уравнение движения Здесь мы снова находим Distance Но на этот раз мы находим расстояние OABD, используя формулу площади трапеции.