Все о определенном интеграле: Определенный интеграл, Пределы интегрирования, функция Дирихле

Определённый интеграл и его основные свойства

Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия.

Разобьём отрезок точками … , на n отрезков , , … , , которые называются частичными.

В каждом частичном отрезке произвольно выберем точку , вычислим значение функции в этой точке и произведение , где .

Если существует предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек , то он называется определённым интегралом от функции на отрезке и обозначается

.

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Функция называется подынтегральной функцией, выражение – подынтегральным выражением, xпеременной интегрирования, – отрезком интегрирования.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу осью Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определённого интеграла.

Основными свойствами определённого интеграла являются следующие:

постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е. ;

определённый интеграл от алгебраической суммы непрерывных на отрезке функций и равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

;

если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл изменит знак на противоположный, т.е. ;

если пределы интегрирования равны между собой, то определённый интеграл равен нулю, т. е. ;

определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. …;

если отрезок интегрирования разбит на две части и и если существуют интегралы и , то

.

Для вычисления определённых интегралов используется формула Ньютона-Лейбница

,

где , т.е. – любая первообразная функция для .

При вычислении определённых интегралов используются методы непосредственного интегрирования, замены переменной (подста-

новки) и интегрирования по частям.

Непосредственное интегрирование предполагает сведение данного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры 10-11. Вычислить интегралы: а) ; б) .

Решение. а) =;

б) =.

Метод замены переменной в определённом интеграле предполагает следующее. Пусть выполнены условия:

функция непрерывна на отрезке ;

функция определена на отрезке и имеет на нём непрерывную производную;

, .

Тогда определённый интеграл может быть вычислен с помощью введения новой переменной и при этом справедлива формула . Часто вместо замены применяют обратную замену .

Примеры 12–13. Вычислить интегралы: а); б).

Решение. а) Выполним замену , . Вычислим пределы интегрирования для переменной t:

x

0

1

t

1

2

Тогда =.

б) Выполним замену и продифференцируем обе части равенства: , . Изменим пределы интегрирования:

x

-2

0

t

9

1

В результате =

.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда для определённого интеграла справедлива формула интегрирования по частям .

Пример 14. Вычислить интеграл .

Решение. Положим u=x, тогда du=dx. Оставшуюся часть подынтегрального выражения примем за dv

: . Проинтегрируем это выражение: , . Тогда по формуле интегрирования по частям получим ==

Определенный интеграл | это… Что такое Определенный интеграл?

ТолкованиеПеревод

Определенный интеграл

Определённый интеграл как площадь фигуры

В математическом анализе интегралом функции называют расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при нахождений таких величин как площадь, объём, масса, смещение и т. д., когда задана скорость или распределение изменений этой величины по отношению к некоторой другой величине (положение, время и т. д.).


Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат.

Согласно основной теореме анализа, интегрирование — операция, обратная к дифференцированию.

Содержание

  • 1 Типы интегралов
  • 2 История
    • 2.1 Интеграл в древности
  • 3 См. также
  • 4 Ссылки

Типы интегралов

  • Определённый интеграл
  • Неопределённый интеграл
  • Интеграл Римана и Римана — Стилтьеса
  • Интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса
  • Интеграл Даниэля
  • Кратный интеграл
  • Криволинейный интеграл
  • Поверхностный интеграл
  • Эллиптический интеграл

История

Знаки интеграла и дифференцирования , были впервые использованы Лейбницем в конце XVII века. Символ интеграла образовался из буквы S — сокращения слова лат. summa (сумма).

Интеграл в древности

Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды.

Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н.э Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма шара.

См. также

  • Первообразная
  • Основная теорема анализа
  • Знак интеграла
  • Численное интегрирование
  • Методы интегрирования
  • Список интегралов элементарных функций
  • Теорема об ограниченности интегрируемой функции
  • Теорема о среднем в определенном интеграле
  • Таблица интегралов

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Integral на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)
  • Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Онлайн Калькулятор Интегралов
  • Интеграл — статья из Большой советской энциклопедии

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

  • Определенный артикль
  • Определитель (значения)

Полезное


Свойства определенных интегралов

Мы изучим некоторые жизненно важные свойства определенных интегралов и вывод доказательств в этой статье, чтобы получить более глубокое понимание этой концепции. Интеграция – это оценка интеграла. Это прямо противоположный процесс дифференциации. Интегральные математические концепции используются для определения значения таких величин, как смещение, объем, площадь и многих других. Есть два типа интегралов, а именно, определенный интеграл и неопределенный интеграл. В этой статье мы узнаем об определенных интегралах и их свойствах, которые помогут решать задачи интегрирования на их основе. 9{y}\]dx

Ниже приводится список всех основных свойств определенного интеграла. Это поможет вам легко проверить некоторые свойства определенных интегралов на примерах.

Вот свойства определенных интегралов для четных и нечетных функций. Используя эти свойства, вы можете решать задачи с определенными интегральными свойствами.

Свойства определенных интегралов

Свойства

9{k}\]f(2k – x)dx

Следовательно, доказывая свойство 6 определенных интегралов

Самый быстрый словарь в мире | Vocabulary.com

ПЕРЕЙТИ К СОДЕРЖАНИЮ

  1. определенный интеграл интеграл функции на определенном интервале

  2. 26″>

    неопределенный интеграл совокупность функций F(x) + C, где C — любое действительное число, такое, что F(x) — интеграл от f(x)

  3. определенно без вопросов и сомнений

  4. определенный артикль определитель, указывающий на специфику ссылки

  5. целостность Неразделимая или неразрывная полнота, в которой нет ничего лишнего

  6. неотъемлемая часть, существующая как существенная составляющая или характеристика

  7. определенность качество предсказуемости с большой уверенностью

  8. ответчик лицо, против которого возбуждено дело в суде

  9. 92″>

    команда защиты (спортивная) команда, которая пытается помешать другой команде забить гол

  10. спорный, демонстрирующий склонность к несогласию

  11. защита, направленная на то, чтобы помешать сопернику выиграть или набрать очки

  12. неопределенный артикль определитель, указывающий на неспецифическую ссылку

  13. распадаться распадаться на части или компоненты или терять связность или единство

  14. зависимое предложение: предложение в сложном предложении, которое не может стоять отдельно как законченное предложение и которое функционирует в предложении как существительное, прилагательное или наречие

  15. фонтанная трава высокая многолетняя декоративная трава с длинными поникающими цветочными перьями из тропической Африки и Азии

  16. Оставить комментарий