Все виды дифференциальных уравнений и методы их решения: Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Содержание

Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y’=dxdy, если y является функцией аргумента x.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x)

Начнем с примеров таких уравнений.

Пример 1

y’=0, y’=x+ex-1, y’=2xx2-73

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y’=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y’=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.

Пример 2

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

ex·y’=2x+1, (x+2)·y’=1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y’=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

Пример 3

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y’=sin x, (x2-x)·y’=ln(2×2-1)

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx

Пример 4

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

Пример 5

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y’=cos xy.

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y’=f(ax+by), a,b∈R.

Пример 6

Подставив z = 2x+3y в уравнение y’=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

Заменив z=xy или z=yx в выражениях y’=fxy или y’=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 7

Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y’=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Пример 8

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y’=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y’=fxy или y’=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

Пример 9

Нам дано уравнение y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y’=fxy или y’=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y’=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y’+P(x)·y=Q(x)

Приведем примеры таких уравнений.

Пример 10

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

y’-2xy1+x2=1+x2;y’-xy=-(1+x)e-x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)ya

Приведем примеры подобных уравнений.

Пример 11

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y’+xy=(1+x)e-xy23;y’+yx2+1=arctgxx2+1·y2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy.

Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

Пример 12

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y”+py’+qy=0, p,q∈R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и 

q:

  • действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
  • действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
  • комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

  • y=C1ek1x+C2ek2x;
  • y=C1ekx+C2xekx;
  • y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).
Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y”+3y’=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=f(x), p,q∈R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y”+py’+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения.

Получаем: y=y0+y~.

Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Пример 14

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y”-2y’=(x2+1)ex;y”+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1) 1, x, x2, …, xn2) ek1x, ek2x, …, eknx3) ek1x, x·ek1x, …, xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, …, xn2·ek2x,…ekpx, x·ekpx, …, xnp·ekpx4) 1, chx, shx

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Пример 15

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=0.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Пример 16

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=x2+1.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), . .., y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p”(x), …, y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p’, …, p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

Пример 17

Дифференциальное уравнение y”’xln(x)=y” после замены y”=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y”=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y’, y”, …, y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Пример 18

Рассмотрим решение уравнения 4y3y”=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=f(x)

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

  • находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0;
  • записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Пример 19

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=0.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, …, yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, …, yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=∑Cj·yj+y~j=1n

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y’=dxdy, если y является функцией аргумента x.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x)

Начнем с примеров таких уравнений.

Пример 1

y’=0, y’=x+ex-1, y’=2xx2-73

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y’=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y’=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.

Пример 2

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

ex·y’=2x+1, (x+2)·y’=1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y’=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

Пример 3

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y’=sin x, (x2-x)·y’=ln(2×2-1)

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx

Пример 4

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

Пример 5

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y’=cos xy.

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y’=f(ax+by), a,b∈R.

Пример 6

Подставив z = 2x+3y в уравнение y’=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

Заменив z=xy или z=yx в выражениях y’=fxy или y’=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 7

Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y’=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Пример 8

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y’=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y’=fxy или y’=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

Пример 9

Нам дано уравнение y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y’=fxy или y’=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y’=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y’+P(x)·y=Q(x)

Приведем примеры таких уравнений.

Пример 10

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

y’-2xy1+x2=1+x2;y’-xy=-(1+x)e-x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)ya

Приведем примеры подобных уравнений.

Пример 11

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y’+xy=(1+x)e-xy23;y’+yx2+1=arctgxx2+1·y2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

Пример 12

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y”+py’+qy=0, p,q∈R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

  • действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
  • действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
  • комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

  • y=C1ek1x+C2ek2x;
  • y=C1ekx+C2xekx;
  • y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).
Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y”+3y’=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=f(x), p,q∈R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y”+py’+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Пример 14

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y”-2y’=(x2+1)ex;y”+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1) 1, x, x2, …, xn2) ek1x, ek2x, …, eknx3) ek1x, x·ek1x, …, xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, …, xn2·ek2x,…ekpx, x·ekpx, …, xnp·ekpx4) 1, chx, shx

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Пример 15

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=0.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Пример 16

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=x2+1.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), …, y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p”(x), …, y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p’, …, p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

Пример 17

Дифференциальное уравнение y”’xln(x)=y” после замены y”=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y”=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y’, y”, . .., y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Пример 18

Рассмотрим решение уравнения 4y3y”=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=f(x)

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

  • находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+. ..+f1·k+f0=0;
  • записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Пример 19

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=0.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, …, yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, …, yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=∑Cj·yj+y~j=1n

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y’=dxdy, если y является функцией аргумента x.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x)

Начнем с примеров таких уравнений.

Пример 1

y’=0, y’=x+ex-1, y’=2xx2-73

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y’=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y’=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.

Пример 2

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

ex·y’=2x+1, (x+2)·y’=1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y’=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

Пример 3

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y’=sin x, (x2-x)·y’=ln(2×2-1)

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx

Пример 4

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

Пример 5

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y’=cos xy.

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y’=f(ax+by), a,b∈R.

Пример 6

Подставив z = 2x+3y в уравнение y’=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

Заменив z=xy или z=yx в выражениях y’=fxy или y’=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 7

Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y’=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Пример 8

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y’=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y’=fxy или y’=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

Пример 9

Нам дано уравнение y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y’=fxy или y’=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y’=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y’+P(x)·y=Q(x)

Приведем примеры таких уравнений.

Пример 10

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

y’-2xy1+x2=1+x2;y’-xy=-(1+x)e-x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)ya

Приведем примеры подобных уравнений.

Пример 11

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y’+xy=(1+x)e-xy23;y’+yx2+1=arctgxx2+1·y2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

Пример 12

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y”+py’+qy=0, p,q∈R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

  • действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
  • действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
  • комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

  • y=C1ek1x+C2ek2x;
  • y=C1ekx+C2xekx;
  • y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).
Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y”+3y’=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=f(x), p,q∈R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y”+py’+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Пример 14

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y”-2y’=(x2+1)ex;y”+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1) 1, x, x2, …, xn2) ek1x, ek2x, …, eknx3) ek1x, x·ek1x, …, xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, …, xn2·ek2x,…ekpx, x·ekpx, …, xnp·ekpx4) 1, chx, shx

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Пример 15

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=0.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Пример 16

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=x2+1.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), …, y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p”(x), …, y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p’, …, p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

Пример 17

Дифференциальное уравнение y”’xln(x)=y” после замены y”=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y”=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y’, y”, . .., y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Пример 18

Рассмотрим решение уравнения 4y3y”=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=f(x)

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

  • находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+. ..+f1·k+f0=0;
  • записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Пример 19

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=0.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, …, yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, …, yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=∑Cj·yj+y~j=1n

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

Лекция 10. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

.

В этом уравнении переменные «можно разделить » , т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .

.

Пример. . Заметим, что – решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли   решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.

.

Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при .

.

Обозначим  и раскроем модуль:

.

Заменим и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальное решение есть. Окончательно,

, где С – произвольная действительная постоянная.

Обычно все эти «подводные камни » опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу выписывают решение  уравнения  .

Пример. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициента  радиус-вектора в точке касания.

– решение, . Подставляя начальные условия, получим .

Пример. Формула Циолковского.

Ракета вместе с топливом, массой , движется  прямолинейно, без учета гравитации. Скорость истечения топлива , в начальный момент времени  ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M. Вывести формулы для скорости ракеты .

Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движения

Подставляя , получим . Отсюда

 – формула Циолковского.

Однородное уравнение.

Правая часть однородного уравнения зависит от отношения :

.

Это позволяет заменить отношение новой переменной  или .

.

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если , то исходное уравнение уже является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример. . , ,  

Обобщенно-однородное уравнение.

Обобщенно-однородное уравнение имеет вид

.

Возможны два случая

1) Рекомендуется замена ,

, получили однородное уравнение.

2)

Здесь вводят новую функцию  старой переменной x.

, где определяются из пропорциональности строк определителя. Получено уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. , случай1).

,      ,    

Получили однородное уравнение.

Пример. , случай 2).

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Линейное уравнение.

Существует два метода решения линейного уравнения: метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки.

Метод вариации произвольной постоянной будет встречаться нам часто: при решении неоднородных линейных уравнений высшего порядка, при решении неоднородных систем линейных уравнений. Его надо знать твердо.

При решении методом вариации произвольной постоянной сначала решают однородное уравнение (с нулевой правой частью)

Это – уравнение с разделяющимися переменными.

.

Затем  варьируют произвольную постоянную, полагая .

.

Подставляем в неоднородное уравнение:

.

При вариации произвольной постоянной здесь обязательно должны сократиться два члена, в этом идея метода.

, где С – произвольная  постоянная.

.

Видно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и для линейных уравнений высших порядков, и для линейных систем. Там подобное утверждение называется теоремой о структуре общего решения неоднородного уравнения или системы.

Замечание. Решая уравнение методом вариации, обязательно приводите его к виду   (если при стоит коэффициент, то делить на него обязательно), иначе метод вариации даст ошибку.

При решении методом подстановки  полагают

. Мы видели выше, что решение действительно является произведением двух функций от x. Этот факт здесь и используется.

 . Подставляем в уравнение:

.

Теперь решают либо уравнение  , определяя отсюда

, либо уравнение , определяя отсюда

. Здесь при интегрировании не надо добавлять константу, она появится позже, при отыскании второй функции.  В первом случае, остается найти v из .

Теперь =, как и выше.

Во втором случае остается найти u из , .

Теперь =, как и выше.

Пример. .

Решение методом вариации. Приводим уравнение, деля на коэффициент при : 

 .

Решаем однородное уравнение  .

Варьируем произвольную постоянную .

Подставляем в неоднородное уравнение

.

Решение методом подстановки.

.

Уравнение Бернулли.

Если n = 1, то это – уравнение с разделяющимися переменными, если n = 0, то это – линейное уравнение.

Заметим, что при n > 0  – решение уравнения.

Решать уравнение Бернулли можно тремя способами

1) сведение к линейному уравнению заменой

Разделим обе части уравнения на ,

Получили линейное уравнение относительно  .

Этот метод применяется редко, так как уравнение Бернулли можно решать теми же методами, что и линейное уравнение, не приводя его предварительно к линейному.

2) Решение методом вариации произвольной постоянной.

Решение проводится аналогично линейному уравнению.

Решим сначала однородное уравнение, полагая правую часть уравнения нулевой.

.

Затем ищем решение уравнения в виде , варьируя произвольную постоянную ,

вычисляем  и подставляем в исходное уравнение .

.

Вновь, как и в линейном уравнении, два слагаемых сокращаются, получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Определяя отсюда функцию , подставляем ее в .

3)Решение методом подстановки.

Полагаем , подставляем  в исходное уравнение

.

Точно так же, как при решении линейного уравнения, решаем, например, уравнение  . Подставляем полученную функцию, решаем «оставшееся » уравнение с разделяющимися переменными .

Заметим, что оно получилось точно таким же, как в методе вариации. Поэтому вторая функция в методе подстановки и есть та самая варьируемая постоянная. Затем записываем решение .

Видим, что метод вариации и метод подстановки, фактически, один и тот же метод. Просто в методе подстановки с самого начала используется то, что решение представляется в виде произведения двух функций независимой переменной.

Пример.

Решим это уравнение Бернулли методом вариации произвольной постоянной.

,

,

Уравнение в полных дифференциалах.

Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно записать в виде

 .

Если выполнено соотношение , то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Причину такого названия понять легко. Пусть – функция двух переменных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частные производные по своим переменным. Тогда  .

Если обозначить , то исходное уравнение можно записать в виде полного дифференциала

 , а соотношение  как раз и означает равенство смешанных производных  .

Поэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найти функцию   (она называется потенциалом). Так как  на решениях дифференциального  уравнения, то  потенциал будет первым интегралом исходного дифференциального уравнения:

Для решения уравнения в полных дифференциалах можно использовать два способа.

1) ,

+.

Здесь интегрирование ведется «частным образом » : только по переменной x, считая y константой или только по y, считая x константой.

Сравнивая оба выражения для , находим функции  и константы.

Если какой-либо из интегралов, например,   не берется или его вычислить сложно, то можно найти +.

Затем, дифференцируя  частным образом по x, надо сравнить  с  и определить функции  и константы.

2)   Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре)

..

Пример. .

Решим уравнение первым способом.

Так как , то это – уравнение в полных дифференциалах.

,

.

Сравнивая оба равенства, видим, что , поэтому . Соотношение   – это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.

Решим уравнение вторым способом.

. Здесь принято .

Интегрирующий множитель.

Можно поставить вопрос, нельзя ли любое дифференциальное уравнение первого порядка свести к уравнению в полных дифференциалах?

Оказывается, что существует такой интегрирующий множитель , умножая на который обе части любого дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям теоремы Коши, можно привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

Люди также интересуются этой лекцией: Химические свойства воды.

Однако неясно, как в общем случае найти этот интегрирующий множитель. Ясно только, что он должен удовлетворять уравнению

 .

Оказывается, если  (является функций только одной переменной x), то . Если (является функций только одной переменной y), то .

Пример. .

Покажите, что здесь выполняется первое условие и .

Найдите потенциал, покажите, что он равен .

Дифференциальные уравнения, классификация, история, примеры Математический анализ.

Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про дифференциальные уравнения, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое дифференциальные уравнения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математический анализ. Дифференциальное исчисление.

Дифференциальное уравнение — уравнение, в которое входят производные функции и могут входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением

В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если ее удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Визуализация воздушного потока, рассчитанная решением уравнения Навье-Стокса

Визуализация теплообмена в корпусе насоса, созданная путем решения уравнения теплопроводности

График некоторых частных интегралов дифференциального уравнения

Терминология и классификация

Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него интегралов.

Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения. Так, например, уравнение является уравнением второго порядка, четвертой степени .

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решенной, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, (т. е. к виду , где — элементарная функция) независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных .

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана С. В. Ковалевской (1874).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привел к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т. д.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщенные решения дифференциальных уравнений.

Общие понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Некоторые виды

дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка

История

Исаак Ньютон

Готфрид Лейбниц

Леонард Эйлер

Жозеф-Луи Лагранж

Пьер-Симон Лаплас

Жозеф Лиувилль

Анри Пуанкаре

Софья Ковалевская

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном (1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли еще раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

или

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной {\displaystyle x,} штрих означает дифференцирование по Число называется порядком дифференциального уравнения . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции и определены и непрерывны в некоторой области .

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

где {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}} — независимые переменные, а — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Еще одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и ее производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

где pi(x) — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции). Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора {\displaystyle {\frac может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y.

Примеры

  • — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где и — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.
  • Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения где m — масса тела, x — его координата, F(x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
  • Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются так называемые цилиндрические функции — функции Бесселя, Неймана, Ганкеля.
  • Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка:

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y.

  • Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

  • Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если {\displaystyle u=u(x,t)} — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, а параметр a задает свойства струны:

  • Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

  • Уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны:

Точные решения

Некоторые дифференциальные уравнения имеют решения, что можно подать точной формуле. Такие классы уравнений представлены ниже.

В таблице, H ( x ), Z ( x ), H ( y ), Z ( y ) или H ( x , y ), Z ( x , y ) – произвольные интегрируемые функции от x или y (или от обоих параметров ), a A , B , C , I , L , N , M – константы. В общем A , B , C, I , L , являются действительными числами, а N , M , P и Q могут быть комплексными. Дифференциальные уравнения представлены в альтернативной форме, позволяющей их решить методом интегрирования.

дифференциальные уравнения общее решение
1

2

3

4

5 }

решением может быть скрытая Фунция от x и y , полученная вычислением приведенного интеграла используя замену переменных

6

Если ДР является точным, то есть

тогда решение задается формулой:

где и – определенные функции, зависящие от интегралов, позволяющие корректно определить функцию hold.

Если уравнение не является точным, из функций H ( x , y ) и Z ( x , y ) можно определить интегральный множитель , после умножения уравнения на который оно решается аналогично точного.

8

если

тогда

если

тогда

если

тогда

9

где – d розвьзкы полинома степени d :

Заметьте, что 3 и 4 являются частными случаями 7, они довольно распространены и представлены для полноты.

Также 8 уравнение является частным случаем 9, но 8 достаточно распространенная форма уравнений, особенно в простых физических и инженерных задачах.

Примеры

  • Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения

,

где } – масса тела, – его координата, – сила, действующая на тело с координатой в момент времени . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

  • Колебания струны описывается уравнением

,

где – отклонение струны в точке с координатой в момент времени , параметр задает свойства струны.

  • Дифференциальное уравнение прогиба пластины под действием равномерно распределенной нагрузки :

,

где } – вертикальные прогибы пластины, – цилиндрическая жесткость пластины при изгибе.

Важнейшие дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

  • Уравнения в полных дифференциалах
  • Второй закон Ньютона (классическая механика)
  • Закон радиоактивного распада (ядерная физика)
  • Уравнение Ван дер Поля (теория колебаний)

Уравнения в частных производных

  • Уравнение Эйлера — Лагранжа (классическая лагранжева механика)
  • Уравнения Гамильтона (классическая гамильтонова механика)
  • Волновое уравнение
  • Уравнения Максвелла (электромагнетизм)
  • Уравнение Лапласа
  • Уравнение Пуассона
  • Уравнение Эйнштейна (общая теория относительности)
  • Уравнение Шредингера (квантовая механика)
  • Уравнение диффузии
  • Уравнение теплопроводности (термодинамика)
  • Уравнение Кортевега-де Вриза (уединенные волны)
  • Уравнения Навье-Стокса (течения вязкой жидкости)
  • Уравнение Эйлера (невязкие течения газовых сред)
  • Уравнение Линя-Рейсснера-Цяня (трансзвуковые нестационарные течения)
  • Уравнения Лямэ (теория упругости)

См.

также
  • Общее решение дифференциального уравнения
  • Частное решение дифференциального уравнения
  • Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
  • Особое решение
  • Задача Коши
  • Однородное дифференциальное уравнение
  • Неоднородное дифференциальное уравнение
  • Линейное дифференциальное уравнение
  • Дифференциальное уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро
  • Уравнение Риккати
  • Дифференциальное уравнение в частных производных
  • Квазидифференциальное уравнение
  • Дробно-дифференциальное уравнение
  • Интегро-дифференциальные уравнения
  • Поле направлений
  • ExpressionsinBar
  • Maple
  • SageMath
  • Xcas

А как ты думаешь, при улучшении дифференциальные уравнения, будет лучше нам? Надеюсь, что теперь ты понял что такое дифференциальные уравнения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математический анализ. Дифференциальное исчисление

3. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и способы их решения Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Простейшим д .у.1 является уравнение вида Как известно из курса интегрального исчисления, функцияy находится интегрированием

Определение. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением сразделенными переменными. Его можно записать в виде

Проинтегрируем обе части уравнения, получим так называемый общий интеграл (или общее решение).

Пример.

Решение. Запишем уравнение в виде Проинтегрируем обе части уравнения:(общий интеграл дифференциального уравнения).

Определение. Уравнение вида называется уравнениемс разделяющимися переменными, если функции можно представить в виде произведения функций

,

,

т. е. есть уравнение имеет вид

Чтобы решить такое дифференциальное уравнение, нужно привести его к виду дифференциального уравнения с разделенными переменными, для чего разделим уравнение на произведение Действительно, разделив все члены уравненияна произведение,

получим

–дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Для решения его достаточно почленно проинтегрировать

При решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом (правилом) разделения переменных.

Первый шаг. Если дифференциальное уравнение содержит производную , ее следует записать в виде отношения дифференциалов:

Второй шаг. Умножим уравнение на , затем сгруппируем слагаемые, содержащие дифференциал функции и дифференциал независимой переменной.

Третий шаг. Выражения, полученные при , представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых содержит только одну переменную (). Если после этого уравнение примет видто, разделив его на произведение , получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Четвертый шаг. Интегрируя почленно уравнение, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл).

Рассмотрим уравнения

№ 1.

№ 2.

№ 3.

Дифференциальное уравнение № 1 является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, по определению. Разделим уравнение на произведение Получим уравнение

Интегрируя, получим

или

Последнее соотношение есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.

В дифференциальном уравнении № 2 заменим умножим на, получим

общее решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение № 3 не является уравнением с разделяющимися переменными, т. к., записав его в виде

или ,

видим, что выражение в виде произведения двух множителей (один –

только с y, другой – только с х) представить невозможно. Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными.

Пример № 4. Дано уравнение Преобразуем уравнение, вынося общий множитель слеваРазделим левую и правую части уравнения на произведениеполучим

Проинтегрируем обе части уравнения:

откуда – общий интеграл данного уравнения. (а)

Заметим, что если постоянную интегрирования записать в виде , то общий интеграл данного уравнения может иметь другую форму:

или – общий интеграл. (б)

Таким образом, общий интеграл одного и того же дифференциального уравнения может иметь различную форму. Важно в любом случае доказать, что полученный общий интеграл удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Для этого нужно продифференцировать по х обе части равенства, задающего общий интеграл, учитывая, что y есть функция от х. После исключения с получим одинаковые дифференциальные уравнения (исходное). Если общий интеграл , (вид (а)), то

Если общий интеграл (вид (б)), то

Получим то же уравнение, что и в предыдущем случае (а).

Рассмотрим теперь простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения – определение, типы и решения

Дифференциальные уравнения открывают широкий спектр приложений в математике, физике, технике и даже финансах. Есть много физических явлений, которые определяются с помощью исчисления и дифференциальных уравнений. С помощью дифференциальных уравнений мы можем решать уравнения, содержащие производные и начальные условия.

Дифференциальные уравнения объединяют наши знания о производных, интегралах и алгебре для решения уравнений, содержащих функции и их производные.

Видя, как важны дифференциальные уравнения в высшей математике, мы должны понимать составляющие дифференциальных уравнений, знать различные типы дифференциальных уравнений и учиться упрощать и решать эти типы уравнений. Эта статья является вводной — наша цель — дать вам первое представление о дифференциальных уравнениях.

Что такое дифференциальное уравнение?

Проще говоря, дифференциальное уравнение — это уравнение, содержащее один или несколько членов, являющихся обыкновенными или частными производными функции (или функций), над которыми мы работаем. Теперь с помощью дифференциальных уравнений мы можем найти связь между функциями и их производными. Вот несколько примеров дифференциальных уравнений в разных порядках: 92 d\theta&= \cos(t – 0,4t) \phantom{x}dt \end{aligned}

Чтобы лучше понять основные компоненты дифференциальных уравнений, давайте сначала поработаем над простым дифференциальным уравнением. Простейшей общей формой дифференциальных уравнений является линейное дифференциальное уравнение первого порядка, показанное ниже.

\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx} &= f(x)\end{aligned}

В этой форме мы можем видеть, что $dx$ содержит независимую переменную, а переменная $y $, является зависимой переменной. 93 + 1)$ — одно из многих решений дифференциального уравнения. Это означает, что любая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, считается решением дифференциального уравнения.

Порядок и степень дифференциальных уравнений

Мы можем определить дифференциальное уравнение по его порядку – наивысшему порядку производной, входящей в данное уравнение. Мы также можем расширить наше понимание степеней до дифференциальных уравнений. Степень представляет степень старшей производной, присутствующей в дифференциальном уравнении.

Лучший способ понять порядок и степень дифференциальных уравнений – это примеры, поэтому мы подготовили некоторых для вас:

Дифференциальное уравнение

Порядок

9002

\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx} = 4x + 5\end{align}

Порядок уравнения равен $1$.

Степень уравнения $1$. 9{(5)} = 8y + 2\sin x\end{align}

Порядок уравнения $5$.

Степень уравнения $1$.

Двумя наиболее распространенными типами дифференциальных уравнений являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Из одних только их имен мы сразу знаем, что эти двое отличаются друг от друга соответствующими орденами. У нас есть много способов классификации дифференциальных уравнений, поэтому мы выделили для вас специальный раздел!

Типы дифференциальных уравнений

Знание того, как классифицировать дифференциальные уравнения, пригодится при выборе наилучшей стратегии упрощения и решения дифференциальных уравнений. Мы уже обсуждали один способ классификации дифференциальных уравнений: по их порядку.

Классификация дифференциальных уравнений по их порядку

Мы можем классифицировать дифференциальные уравнения на основе их высшего порядка. Например, дифференциальные уравнения первого порядка имеют порядок $1$, а дифференциальные уравнения второго порядка имеют порядок $2$. 92} – 4xy = \cos x\end{aligned}

Дифференциальные уравнения могут иметь порядок выше двух, но мы выделили эти два типа уравнений, поскольку в основном будем работать с ними на наших занятиях по математическому анализу. . Именно поэтому мы написали отдельные статьи, посвященные уравнениям первого и второго порядка.

Классификация дифференциальных уравнений как обыкновенных или с частными производными под названием «ОДЭ»). Используйте общую форму ОДУ при классификации дифференциального уравнения: 92}\end{aligned}

Классификация дифференциальных уравнений как однородных и неоднородных

Дифференциальное уравнение называется однородным, если все его члены имеют одинаковую степень. Вы, наверное, уже догадались: если члены дифференциального уравнения не имеют одной и той же степени, то ОДУ или УЧП неоднородны.

Однородное дифференциальное уравнение

Неоднородное дифференциальное уравнение.

\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} +Py = Q\end{align}

 

Это общие формы однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Теперь, когда мы рассмотрели все наши основы дифференциальных уравнений, давайте дадим вам краткий обзор процесса поиска решения дифференциальных уравнений.

Как решать дифференциальные уравнения?

Мы можем найти решения дифференциальных уравнений, выделив дифференциальный множитель в одной части уравнения, а затем применив соответствующие методы интегрирования. Есть два метода, которые мы можем применить при решении дифференциальных уравнений: 1) путем разделения переменных или 2) с использованием интегрирующих факторов. Вот краткое руководство для каждого метода:

Разделение переменных

Коэффициенты интеграции

 

\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} +Py = Q\end{aligned}

 

Первый метод, когда мы можем, наиболее полезен. перепишите обе части уравнения так, чтобы каждая часть содержала одну переменную и дифференциал относительно приписанной переменной. Общая форма уравнения подтверждает, что, разделив или сгруппировав выражения на основе их переменных, мы можем интегрировать обе части уравнения по разным переменным на каждой стороне.

\begin{aligned} \int P(x,y)\phantom{x}dx = \int Q(x,y ) \phantom{x}dy\end{aligned}

Тем временем мы можем использовать второй метод (интегрирующие коэффициенты), когда частные производные выражений не равны. Для случая $\dfrac{dy}{dx} +Py = Q$, $\dfrac{\partial Q}{\partial x} \neq \dfrac{\partial P}{\partial y}$ – и когда такое случается, дифференциал не точен. Для наших примеров ниже мы будем использовать только первый метод — чтобы показать вам, как легко работать с дифференциальными уравнениями первого порядка! 93}{6} – 4x + C$, называется общим решением, поскольку оно учитывает все функции, удовлетворяющие уравнению.

На приведенном выше графике показаны три уравнения, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению. В следующем примере мы увидим, что происходит, когда нам дают начальное значение для дифференциального уравнения.

Пример 2

Решите дифференциальное уравнение $0,245\dfrac{dv}{dt} = 9,8v$, учитывая, что у нас есть начальное значение функции: $v(0) = 36$.

Решение

Это пример задачи с начальными значениями — когда наши дифференциальные уравнения имеют достаточно начальных условий, чтобы мы могли найти значение неизвестных констант. Мы можем разделить переменные с помощью $v$ в левой части уравнения.

 \begin{align}\dfrac{dv}{dt} &= \dfrac{9.8v}{0.245} \\ \dfrac{dv}{v} &= 40 \phantom{x}dt \\ \int \ dfrac{dv}{v} &= \int 40 \phantom{x}dt \\\ln v &= 40t + C\end{aligned}

9x)$

Изображения/математические чертежи созданы с помощью GeoGebra.

Операционное исчисление и обратные дифференциальные операторы

На этой странице

АннотацияВведениеВыводыПриложениеСсылкиСсылкиАвторское правоСтатьи по теме

Мы представляем общий метод операционного характера для анализа и получения решений для различных уравнений математической физики и смежных математических задач. Мы строим обратные дифференциальные операторы и производим операционные тождества, используя обратные производные и семейства обобщенных ортогональных полиномов, такие как семейства полиномов Эрмита и Лагерра. Мы развиваем методологию обратных и экспоненциальных операторов, применяя их для изучения уравнений в частных производных. Показаны преимущества операционного метода в сочетании с использованием интегральных преобразований, производящих функций с экспонентами и их интегралов для решения широкого класса уравнений в частных производных, связанных с задачами теплоты, волн и переноса.

1. Введение

Большинство физических систем можно описать с помощью соответствующих систем дифференциальных уравнений, которые хорошо подходят в качестве моделей систем. Следовательно, понимание дифференциальных уравнений и нахождение их решений имеют первостепенное значение для чистой математики, как и для физики. При быстром развитии компьютерных методов решения уравнений вопрос понимания полученных решений и их применения к реальным физическим ситуациям остается открытым для аналитического изучения. Существует несколько типов дифференциальных уравнений, допускающих явные и прямые аналитические решения. Общеизвестно, что разложение в ряды по полиномам Эрмита, Лагерра и другим соответствующим полиномам [1] полезно при решении многих физических задач (см., например, [2, 3]). Существуют обобщенные формы этих многочленов со многими переменными и индексами [4, 5]. В дальнейшем мы развиваем аналитический метод получения решений для различных типов уравнений в частных производных на основе операциональных тождеств, используя разложения в ряды полиномов Эрмита, Лагерра и их модифицированные формы [1, 6]. Ключом к построению этих решений будет операционный подход и развитие формализма обратных функций и обратных дифференциальных операторов, уже затронутых в [7, 8]. Далее мы покажем, что при правильном использовании и сочетании, в частности, с интегральными преобразованиями, такой подход приводит к элегантным аналитическим решениям с прозрачным физическим смыслом без особо громоздких вычислений.

2. Обратная производная

Для обычного дифференциального оператора мы можем определить обратную производную, так что при действии на функцию она дает другую функцию: производная которой . Очевидно, обратная производная выполняется интегральным оператором, обратным дифференциальному оператору, действующему на , и имеет общий вид , где – постоянная интегрирования. Действие его-го приказа можно дополнить определением действия производной нулевого порядка следующим образом: так что очевидно Далее мы будем обращаться к различным модификациям следующего уравнения: Таким образом, важно построить частный интеграл с помощью следующего операционного тождества (см., например, [6]): Для оператора имеем Мы также будем явно использовать обобщенную форму операционного правила Глейшера [9].]; действие оператора на функцию дает Упомянутый выше экспоненциальный оператор тесно связан с ортогональными полиномами Эрмита: как показано в [4, 5, 10] оперативными соотношениями: Кроме того, существует следующая производящая функция для многочленов Эрмита: Отметим также легко доказуемое и полезное соотношение [11]:

Многочлены Лагерра от двух переменных [4] связаны со следующим оператором [10]: иногда называют производной Лагерра. Обратите внимание на их некоммутативную связь с оператором обратной производной: Они представляют собой решения следующего уравнения в частных производных с правильными начальными условиями: куда при соответствующих начальных условиях:

В следующих разделах мы исследуем возможности решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с использованием рассмотренных выше дифференциальных операторов. Теперь мы просто отметим, как техника обратного оператора, применяемая для производных различных порядков и их комбинаций и в сочетании с интегральными преобразованиями, позволяет легко и просто решать различные типы дифференциальных уравнений.

3. Тип диффузии, задачи типа распространения тепла и обратные производные

Задачи типа распространения и диффузии тепла играют ключевую роль в теории уравнений в частных производных. Сочетание метода экспоненциального оператора и обратной производной вместе с операционными тождествами из предыдущего раздела полезно для решения широкого спектра дифференциальных уравнений в частных производных, связанных с тепловыми и диффузионными процессами. Некоторые из них уже изучены операционным методом (см., например, [10, 12]). Ниже мы остановимся на общих чертах решения следующей задачи: с начальными условиями Мы будем использовать операционный подход в сочетании с интегральными преобразованиями и техникой экспоненциального оператора. Формальное решение для нашей общей формулировки выглядит следующим образом: Подчеркнем, что операторы и могут не коммутировать, поэтому в зависимости от значения их коммутатора мы будем получать разные последовательности операторов в (23), распутывании и [13, 14]. В простейшем случае, когда операторы и являются соответственно операторами умножения и дифференцирования, их легко распутать в показателе степени с учетом который дает Явные выражения для действия этих операторов на функцию начального условия могут быть получены с помощью интегральных преобразований, разложения в ряд и операционного метода, оцениваемого в каждом частном случае. Эта формулировка, простая по своей сути, тем не менее имеет широкое применение и позволяет сформулировать в этой схеме некоторые из интегродифференциальных уравнений. Элегантный и интересный пример дает следующее уравнение: Его формальное решение гласит где операторы не ездить: Очевидно, операторы в экспоненциальном распутывании: Таким образом, мы получили решение интегродифференциального уравнения (24) в виде последовательности экспоненциальных операторов, преобразующих начальное условие . Дальнейшие наши действия зависят от явного вида этой функции. В наиболее общем случае мы можем воспользоваться методом обратной производной. Сначала рассмотрим действие оператора на : где определено в (2). Уравнение (29) представляет собой, по сути, процесс диффузии и является решением следующей начальной задачи: Соответствующие исследования выполнены в [10, 12]. Функция начального условия может быть записана следующим образом: и образ явно задается следующим интегралом: который должен сходиться. Тогда результат диффузии Лагерра (29) появляется в виде трансляции функции изображения: Следовательно, мы должны применить экспоненциальный оператор , который можно разложить в ряд:

Простейший пример начальной функции демонстрирует описанную выше технику, в результате чего а вклад диффузии Лагерра (29) дает следующую функцию: Действие обратной производной на экспоненту читается, и в конечном итоге мы получаем

В заключение настоящей главы рассмотрим пример решения уравнения типа распространения тепла операционным методом с использованием оператора обратной производной и метода экспоненциального оператора. Напомним, что обычное уравнение теплопроводности с начальным условием задачи можно решить с помощью преобразований Гаусса: В полной аналогии с предыдущими утверждениями можно решить уравнение типа теплопроводности с дифференциальным оператором (14), например, со следующим начальным условием: Задача о распространении теплового типа Лагерра (40) имеет следующее решение (см. Приложение):

4. Операционный подход и другие типы дифференциальных уравнений

Операционный подход к решению дифференциальных уравнений в частных производных, продемонстрированный на примерах диффузионных и теплоподобных уравнений с производными, в дальнейшем может быть распространен на другие типы уравнений. Рассмотрим следующий пример довольно сложного дифференциального уравнения: где , , и – произвольные постоянные коэффициенты, а функция – начальное условие. Введя оператор и выделив полный квадрат, перепишем (42): куда Таким образом, появляется следующее экспоненциальное решение для (42): Теперь, используя операционную идентичность и применение в соответствии с получаем следующее компактное выражение для : куда Рассмотрим два простых примера функций начального условия. Первый из них Тогда сразу получаем решение (42) следующего вида: Второй пример задается следующей функцией начального условия: Тривиальные вычисления дают следующее решение:

Таким образом, операционная техника в сочетании с интегральными преобразованиями, операционными тождествами и расширенными формами ортогональных полиномов представляет собой мощный инструмент для нахождения решений различных классов дифференциальных уравнений и начальных задач. Отметим, что в рамках разработанных и описанных выше обратных дифференциальных операторов использование метода оператора эволюции открывает новые возможности, которые мы рассмотрим далее.

Рассмотрим следующее обобщение уравнения теплопроводности: с начальным условием: Уравнение эволюционного типа (54) содержит член в линейной координате в дополнение к производной второго порядка. Его формальное решение можно записать через оператор эволюции: куда Экспонента оператора эволюции в (56) представляет собой сумму двух некоммутирующих операторов и может быть записана как упорядоченное произведение двух экспоненциальных операторов. Действительно, коммутатор и имеет следующее ненулевое значение: Затем мы можем применить операционную идентичность распутывания: и следующее цепное правило: где , – постоянные параметры. С их помощью получаем оператор эволюции для (54): Обратите внимание, что мы факторизовали два коммутирующих оператора: оператор переноса в пространстве и оператор который, по сути, является оператором . Фаза записывается следующим образом: Действие на функцию начального условия дает следующее решение нашей задачи: Таким образом, из вида (65) заключаем, что задача (54) с начальным условием (55) может быть решена последовательным применением коммутирующих операторов (62) и (63) к , кроме множителя . Теперь явный вид решения (65) можно получить, вспомнив, что действует как оператор сдвига и что действие на функцию дает решение обычного уравнения теплопроводности через преобразование Гаусса-Вейерштрасса. Соответственно, мы обозначаем и мы пишем Таким образом, (54) с начальным условием (55) имеет следующее явное решение: при условии, что интеграл сходится. Подводя итог изложенной выше процедуре, мы заключаем, что решение для (54) состоит в нахождении преобразованной Гаусса функции со сдвинутым аргументом: Более того, это общее наблюдение для этого типа уравнений, справедливое для любой функции (при условии, что интеграл сходится). Другими словами, мы получили решение уравнения Планка Фоккера как последовательное действие оператора диффузии тепла и оператора переноса на функцию начального условия. Обратите внимание, что это решение уравнения теплопроводности, представляющее явление естественного распространения.

Эффект, производимый оператором сдвига и оператором , лучше всего иллюстрируется на примере гауссовой эволюции, когда (69) принимает вид

Приведенный выше результат является в точности обобщением правила Глейшера (8), рассмотренного ранее в контексте уравнения теплопроводности. Таким образом, (71) является решением обыкновенного уравнения теплопроводности с , когда начальная функция является гауссовой.

Другой интересный пример решения (54) появляется, когда исходная функция допускает разложение в следующий ряд: В этом случае мы имеем в виду тождество который возникает из с учетом производящей функции полиномов Эрмита (11). Тогда действие (67) оператора на начальную функцию (72) дает Кроме того, перевод, управляемый , сдвигает аргумент: , . Таким образом, мы получаем решение в виде многочлена Эрмита следующим образом: где определяется (64) и Теперь очевидно, что в течение короткого времени, когда решение будет остывать в пространстве от исходной функции, модулируемой и экспоненциально зависящей от времени: Обратите внимание, что для расширенных времен мы имеем доминирование временной переменной: , и решение асимптотически ведет себя как , в то время как играет второстепенную роль в .

Та же операционная техника, которая использовалась для трактата (54), может быть легко применена для решения уравнения Шредингера: где постоянная (имеет размерность силы). Действительно, перемасштабируя переменные в (79), получаем вид уравнения, аналогичный (54): куда Следуя операциональной методологии, разработанной для (54), запишем следующее решение (80) в виде (56): куда Тогда за счет замены операторы возникают. Таким образом, решение уравнения Шредингера является результатом последовательного действия оператора и дальнейшего действия на функцию начального условия: где определяется (64). Тогда интегральная форма решения записывается следующим образом: Вновь, как и в (70), без каких-либо предположений о природе функции начального условия уравнения Шредингера его решение где дается формулой (85) и выражается через функцию двух переменных, полученную последовательным применением операторов распространения и переноса тепла (85) и (84) к . До сих пор мы демонстрировали, как преобразование Гаусса-Вейерштрасса описывает действие на начальную амплитуду вероятности и как сдвиг (84) в конечном итоге дает явный вид решения уравнения Шредингера. Это означает, что результат действия оператора эволюции (83) на является произведением совместного действия оператора переноса и оператора распространения тепла , представляющего собой оператор эволюции свободной частицы.

Теперь рассмотрим другое уравнение типа Фоккера-Планка, а именно следующий пример: с начальным условием (55). Продолжая изложенную выше схему решения (54), запишем решение (89) в общем виде (56): где операторы и определяются следующим образом: Количества и явно не коммутируют: Он позволяет распутывать операторы в экспоненте по следующему правилу: Таким образом, действие оператора эволюции на , приведенное ниже: просто сводится к преобразованиям Гаусса, где параметр читается следующим образом: После тривиальной замены переменных получаем куда и, в конце концов, мы приходим к следующему простому решению (89): Тот же пример исходной функции Гаусса, что и в случае (54), дает (сравните с (71)) где определено в (97). Отметим, что мы можем встретить следующую модифицированную форму уравнения типа Фоккера-Планка (89): в задачах, связанных с распространением электронных пучков в ускорителях. Его решение немедленно возникает из (99) и отличается от него лишь множителем , как написано ниже для гауссиана : Однако, в отличие от решения (54), где мы имели последовательные преобразования функции начального условия операторами переноса и диффузии тепла (63) (см. также [15]), здесь мы имеем только действие одного с гораздо большим сложная зависимость решения от времени.

5. Выводы

Операционный метод является быстрым и универсальным математическим средством для получения решений дифференциальных уравнений. Сочетание операционного метода, интегральных преобразований и теории специальных функций вместе с тесно связанными с ними ортогональными полиномами дает мощный аналитический инструмент для решения широкого спектра дифференциальных уравнений и соответствующих физических задач. Техника обратного оператора, применяемая для производных различных порядков и в сочетании с интегральными преобразованиями, позволяет легко и просто решать различные типы дифференциальных уравнений. С помощью операционного подхода мы разработали методологию обратных дифференциальных операторов и вывели с ними ряд операционных тождеств. Мы показали, что, используя технику обратных производных и обратных дифференциальных операторов в сочетании с экспоненциальным оператором, интегральными преобразованиями и специальными функциями, можно добиться значительного прогресса в решении различных математических задач и соответствующих физических приложений, описываемых дифференциальными уравнениями.

Приложение

В полной аналогии с решением уравнения теплопроводности с помощью преобразования Гаусса-Вейерштрасса [16]: с учетом некоммутативности операторов обратной производной и , определяемой через операционное соотношение (14) и с учетом (31) и (32), запишем решение (40) в следующем виде: где – образ (32) функции начального условия . Ядро интеграла в приведенной выше формуле можно разложить в ряды полиномов Эрмита с двумя переменными: Принимая во внимание формулу (12) для в операторном тождестве выше, которую можно рассматривать как производящую функцию в терминах обратной производной для , получаем следующее разложение для ядра интеграла: где ряд полиномов Эрмита от двух аргументов может быть выражен через функции Эрмита-Бесселя-Трикоми — обобщение функций Бесселя-Трикоми — и связан с функциями Бесселя-Райта и обычными функциями Бесселя [17]: В частности, для сразу находим наш ряд: что, очевидно, приводит к решению задачи распространения теплового типа (40) с помощью следующего подходящего преобразования Гаусса:

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов в связи с публикацией этой статьи.

Список литературы
  1. A. Appèl и J. Kampé de Fériet, Fonctions Hypergéométriques et Hypersphériques: Polynômes d’hermite , Gauthier-Villars, Paris, France, 1926.3.., , Gauthier-Villar «Теория представления решений уравнения теплопроводности более высокого порядка, I», Journal of Mathematical Analysis and Applications , том. 168, нет. 1, pp. 89–107, 1992.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

  2. Д. Т. Хаймо и К. Маркетт, «Теория представления решений уравнения теплопроводности более высокого порядка, II», Journal of Mathematical Анализ и приложения , том. 168, нет. 2, стр. 289–305, 1992.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

  3. Г. Даттоли, «Обобщенные полиномы, операционные тождества и их приложения», Журнал вычислительной и прикладной математики , том. 118, нет. 1–2, стр. 111–123, 2000.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

  4. Даттоли Г., Шривастава Х. М., Жуковский К., «Свойства ортогональности полиномов Эрмита и связанных с ними многочленов», Журнал вычислительной и прикладной математики , том. 182, нет. 1, стр. 165–172, 2005 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  5. А. Эрдейи, В. Магнус, Ф. Оберхеттингер и Ф. Г. Трикоми, Высшие трансцендентальные функции , том. 2, McGraw-Hill Book Company, New York, NY, USA, 1953.

  6. G. Dattoli, B. Germano, M.R. Martinelli, and P.E. Ricci, «Отрицательные производные и специальные функции», Applied Mathematics and Computation , том. 217, нет. 8, стр. 3924–3928, 2010.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  7. Г. Даттоли, М. Мильорати и С. Хан, «Решения интегро-дифференциальных уравнений и операционные методы», Прикладная математика и вычисления , том. 186, нет. 1, стр. 302–308, 2007 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  8. HM Srivastava and HL Manocha, A Treatise on Generate Functions , Mathematics and its Applications (Ellis Horwood Ltd), Halsted Press, John Wiley and Sons, Chichester, UK, 1984.

  9. G. Даттоли, Х. М. Шривастава и К. Жуковский, «Новое семейство интегральных преобразований и их приложения», Интегральные преобразования и специальные функции , том. 17, нет. 1, стр. 31–37, 2006 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  10. Х. В. Гулд и А. Т. Хоппер, «Операционные формулы, связанные с двумя обобщениями полиномов Эрмита», Duke Mathematical Journal , vol. 29, нет. 1, стр. 1–174, 1962.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  11. Даттоли Г., Сривастава Х. М., Жуковский К. Операционные методы и дифференциальные уравнения с приложениями к начальным задачам, Прикладная математика и вычисления , том. 184, нет. 2, стр. 979–1001, 2007.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  12. Г. Даттоли и К. В. Жуковский, «Расширение полиномиального ряда Аппеля», International Mathematical Forum , vol. 5, нет. 14, pp. 649–6662, 2010.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

  13. Даттоли Г., Мильорати М., Жуковский К. Формулы суммирования и числа Стирлинга // .Международный математический форум , том. 4, нет. 41, стр. 2017–22040, 2009.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

  14. Аврон Дж. и Хербст И. В. Спектральная теория и теория рассеяния операторов Шредингера, связанных с эффектом Штарка. , том. 52, нет. 3, стр. 239–254, 1977.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  15. К. Б. Вольф, Интегральные преобразования в науке и технике , Plenum Press, New York, NY, USA, 1979.

  16. G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions , Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2nd edition, 1944.

  17. 7

    4 Авторские права

    Copyright © 2014 К. Жуковский. Это статья с открытым доступом, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.

    Дифференциальные уравнения для чайников Шпаргалка

    Чтобы уверенно решать дифференциальные уравнения, необходимо понимать, как уравнения классифицируются по порядку, как различать линейные, разделимые и точные уравнения, а также как идентифицировать однородные и неоднородные дифференциальные уравнения.

    Изучите метод неопределенных коэффициентов для решения неоднородных дифференциальных уравнений.

    Классификация дифференциальных уравнений по порядку

    Наиболее распространенная классификация дифференциальных уравнений основана на порядке. Порядок дифференциального уравнения — это просто порядок его старшей производной. У вас могут быть дифференциальные уравнения первого, второго и более высокого порядка.

    Первый дифференциальные уравнения порядка включают производные первого порядка, как в этом примере:

    Второе дифференциальные уравнения порядка включают производные второго порядка, например, в этих примерах:

    Высшее Дифференциальные уравнения порядка содержат производные выше второго порядка (большой сюрприз для такого умного названия!). Дифференциальные уравнения всех порядков могут использовать y ‘обозначение, например:

    Различение линейных, разделимых и точных дифференциальных уравнений

    Вы можете различать линейные, разделимые и точные дифференциальные уравнения, если знаете, что искать. Имейте в виду, что вам может потребоваться перетасовать уравнение, чтобы идентифицировать его.

    Линейные дифференциальные уравнения включают только производные y и члены y в первой степени, не возведенные в более высокую степень. ( Примечание: Это степень производной , возведенная в , а не порядка производной.) Например, это линейное дифференциальное уравнение, поскольку оно содержит только производные, возведенные в первую степень:

    S разделимые дифференциальные уравнения можно написать так, что все члены в x и все члены в y появляются на противоположных сторонах уравнения. Вот пример:

    , которое с небольшой перетасовкой можно записать так:

    Точные дифференциальные уравнения позволяют найти функцию, частные производные которой соответствуют членам данного дифференциального уравнения.

    Определение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений

    Чтобы определить неоднородное дифференциальное уравнение, сначала необходимо знать, как выглядит однородное дифференциальное уравнение. Вам также часто нужно решить одну, прежде чем вы сможете решить другую.

    Однородные дифференциальные уравнения включают только производные от y и члены, включающие y , и они устанавливаются равными 0, как в этом уравнении:

    Неоднородные дифференциальные уравнения аналогичны однородным дифференциальным уравнениям, за исключением того, что они могут иметь члены, содержащие только x (и константы) в правой части, как в этом уравнении:

    Вы также можете писать неоднородные дифференциальные уравнения в таком формате: y ” + p ( x ) y ’ + q ( х ) y = г ( х ). Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения равно

    В этом растворе C 1 y 1 ( x ) + C 2 Y 2 (9039). ОРИНАЦИЯ 9034 (9034). :

    И у р ( x ) является конкретным решением неоднородного уравнения.

    Использование метода неопределенных коэффициентов

    Если вам необходимо найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений, то вы можете начать с метода неопределенных коэффициентов. Предположим, вы столкнулись со следующим неоднородным дифференциальным уравнением:

    Метод неопределенных коэффициентов отмечает, что когда вы находите возможное решение, y , и подставляете его в левую часть уравнения, вы получаете г ( x ). Поскольку g ( x ) является только функцией x , вы часто можете угадать форму y p ( x ) с точностью до произвольных коэффициентов, а затем найти эти коэффициенты. подставив y p ( x ) в дифференциальное уравнение.

    Этот метод работает, потому что вы имеете дело только с g ( x ) и формой g ( x ) часто может сказать вам, как выглядит конкретное решение.

    Об этой статье

    Эта статья взята из книги:

    • Дифференциальные уравнения для чайников,

    Об авторе книги:

    Стивен Хольцнер — отмеченный наградами автор книг по естественным наукам, математике и технике. Он изучал дифференциальные уравнения в Массачусетском технологическом институте и в Корнельском университете, где получил степень доктора философии. Он работал преподавателем в Массачусетском технологическом институте и Корнельском университете и написал такие бестселлеры, как Физика для чайников и Рабочая тетрадь по физике для чайников.

    Эту статью можно найти в категории:

    • Исчисление ,

    Введение в обыкновенные дифференциальные уравнения

    Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)?

    Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) — это уравнение, которое включает некоторые обычные производные (в отличие от частных производных) функции. Часто наша цель – решить ОДУ, т. е. определить, что функция или функции удовлетворяют уравнению.

    Если вы знаете, что такое производная функции, как вы можете найти сама функция? Вам нужно найти первообразную, т.е. вам нужно интегрироваться. Например, если вам дано \начать{собирать*} \diff{x}{t}(t) = \cos t \end{собрать*} тогда что такое функция $x(t)$? Поскольку первообразная $\cos t$ равно $\sin t$, то $x(t)$ должно быть равно $\sin t$. За исключением того, что мы забыли одну важную точка: всегда существует произвольная константа, которую мы не можем определить, если мы знаем только производную. Таким образом, все, что мы можем определить из вышеизложенного уравнение в том, что \начать{собирать*} х(т) = \sin т + С \end{собрать*} для произвольной константы $C$. Вы можете убедиться, что действительно $x(t)$ удовлетворяет уравнению $\diff{x}{t} = \cos t$.

    В общем, решение ОДУ сложнее простого интегрирования. Тем не менее, основным принципом всегда является интеграция, поскольку нам необходимо перейти от производной к функции. Обычно самая трудная часть определить, какую интеграцию нам нужно сделать.

    Самый простой ОДУ

    Начнем, однако, с простого. Что такое простейшее ОДУ? Пусть $x(t)$ — функция от $t$, удовлетворяющая ОДУ: \начать{собирать} \разн{х}{т} = 0. \label{самый простой_код}\tag{1} \конец{собрать}

    Мы можем задать несколько простых вопросов. Что такое $x(t)$? Определяется ли $x(t)$ из этого уравнения однозначно? Если нет, то что еще нужно указать?

    Уравнение \eqref{simplest_ode} просто означает, что $x(t)$ — постоянная функция, $х(т)=С$. Это, конечно, не определено однозначно, так как нет способ указать константу $C$, если у нас есть только уравнения для производные от $x$. Чтобы однозначно определить $x(t)$, необходимо ввести некоторые дополнительные данные в терминах самой функции $x(t)$.

    Мы могли бы, например, указать, что $x(t)$ должно быть равно 31, когда $t=11$, добавив условие $$x(11)=31.$$ Тогда мы знаем, что $C=31$ и функция равна $x(t)=31$ для всех $t$. Мы часто думаем о переменной $t$ как о представлении времени и ссылаемся к такому условию, как $x(11)=31$ в качестве начального условия .

    Запишем начальное условие в более общем виде как $$x(t_0)=x_0,$$ где $t_0$ — заданное время, а $x_0$ — заданное число. Как будто мы инициализируем систему равной числу $x_0$ в момент времени $t=t_0$. Однако это «начальное условие» также определяет $x(t)$ для ранних времен. Как видно из решения $x(t)=31$ для все время $t$, это условие определяет состояние системы для раз до и после $t=11$. 4/4). \конец{выравнивание*} 94/4 + С \end{собрать*} для произвольной константы $C$.

    ОДУ, не являющееся простым интегралом

    До сих пор примеры ОДУ, которые мы видели, можно было решить простым интегрированием. Причина, по которой они были такими простыми, заключалась в том, что уравнения для $\diff{x}{t}$ не зависели от функцию $x(t)$, но только по переменной $t$. С другой стороны, если уравнение зависит как от $\diff{x}{t}$, так и от $x(t)$, нам нужно проделать дополнительную работу, чтобы найти функцию $x(t)$.

    Вот ОДУ, включающее $x(t)$: \начать{собирать*} \ разная {х} {t} = ах (т) + б \метка{linear_ode}\тег{3} \end{собрать*} где $a$ и $b$ — некоторые константы. Поскольку правая часть зависит от самого $x$, мы не можем просто интегрируйте и используйте фундаментальную теорему исчисления. Чтобы решить это ОДУ для $x(t)$, нам нужно проделать некоторые манипуляции и использовать цепное правило (т. е. $u$-подстановка).

    Первое, что нужно сделать, это получить все выражения, содержащие $x$ с одной стороны уравнения. Если мы вычтем, мы не сможем поместить вещи в правильная форма для цепного правила, так как у нас будут термины без $\diff{x}{t}$ в них. Вместо этого мы делим обе части уравнения на $ax(t)+b$, \начать{собирать*} \ frac {\ diff {x} {t}} {ax (t) + b} = 1. \end{собрать*}

    Теперь правая часть представляет собой простую функцию от $t$ (в данном случае постоянную функцию). Мы можем проинтегрировать обе части уравнения по $t$, \начать{собирать*} \ int \ frac {\ diff {x} {t} dt} {ax (t) + b} = \ int 1 dt. \end{собрать*}

    На первый взгляд, левая сторона может выглядеть некрасиво. Но это в специальной форме, облегчающей интеграцию. Он содержит фактор $\diff{x}{t} dt$, а оставшаяся зависимость на $t$ только через функцию $x(t)$. Если мы изменим переменные (выполнить $u$-подстановку) вида $u=x(t)$, тогда $du = \diff{x}{t} dt$, и мы просто заменяем оставшиеся вхождения $x(t)$ на $u$. Тогда левая часть представляет собой простой интеграл в терминах нового переменная $u$, которую мы можем проинтегрировать и подставить обратно $u=x(t)$: \начать{выравнивать*} \ int \ frac {\ diff {x} {t} dt} {ax (t) + b} & = \ int \ frac {du} {au + b} \\ &= \frac{1}{a} \log |au+b| + С_1\ &= \frac{1}{a} \log |ax(t)+b| + С_1, \конец{выравнивание*} для произвольной константы $C_1$. z$.) 9{а(т-3)} -б/а. \конец{выравнивание*}

    Быстрый метод решения простых ОДУ

    Для приведенного выше решения мы сделали несколько дополнительных шагов для того, чтобы продемонстрировать, что манипуляции на самом деле были ничем больше, чем $u$-подстановка. Обычно мы пропускаем многие из эти шаги и использовать метод быстрого доступа. Однако перед прыжком в сокращенный метод, убедитесь, что вы понимаете, как указанная выше $u$-подстановка работает.

    Давайте вернемся к нашему методу решения, чтобы увидеть, как мы можем использовать некоторые сокращения. Первое, что мы могли бы сделать по-другому, это избежать перехода к переменной $u$. Мы могли бы сохранить все в терминах $x$, и в этом случае подстановка $u$ заменяла бы $x(t)$ на $x$ и $\diff{x}{t}{dt}$ на $ дх$.

    Далее наблюдайте за результатами замены. Мы начали с \начать{выравнивать*} \ frac {\ diff {x} {t}} {ax + b} = 1 \конец{выравнивание*} и закончил с \начать{выравнивать*} \int \frac{dx}{ax + b} = \int 1 dt, \конец{выравнивание*} где теперь мы записали все в терминах $x$, а не $u$. Чтобы выполнить эту манипуляцию, мы умножили на $dt$ и сделали наше подстановка для замены $\diff{x}{t}dt$ на $dx$. Это как если бы мы убрали $dt$ из числителя с $dt$ из знаменателя. Производная $\diff{x}{t}$ на самом деле не является долей чисел $dx$ и $dt$, но в интеграле применение цепного правила (т. е. $u$-подстановки) делает его вести себя так, как будто это дробь.

    Следовательно, на практике мы можем безопасно обращаться с $\diff{x}{t}$ как с дробью при использовании в этом контексте формирования интеграла для решения дифференциального уравнения. Чтобы решить уравнение $\diff{x}{t}=ax+b$, мы умножаем обе части уравнения на $dt$ и делим обе части уравнения на $ax+b$, чтобы получить \начать{собирать*} \frac{dx}{ax+b} = dt. \end{собрать*} Затем мы интегрируем обе части, чтобы получить \начать{собирать*} \int \frac{dx}{ax+b} = \int dt. \end{собрать*} Просто помните, что эти манипуляции на самом деле являются кратчайшим путем к обозначают с помощью цепного правила.

    Простые ОДУ этого введения дают вам представление о что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и как их решать. Вы можете Проверьте несколько примеров с уравнениями, которые вы можете решить только с методами, изученными здесь.

    ОДУ: Классификация дифференциальных уравнений

    Существует много типов дифференциальных уравнений, и мы классифицируем их по разным категориям в зависимости от их свойств. Давайте быстро пробежимся по самой базовой классификации. Мы уже видели различие между обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных:

    • Обыкновенные дифференциальные уравнения или (ОДУ) — это уравнения, в которых производные берутся только по одной переменной. То есть имеется только одна независимая переменная.

    • Уравнения в частных производных или (PDE) — это уравнения, которые зависят от частных производных нескольких переменных. То есть существует несколько независимых переменных.

    Рассмотрим несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений: 92} . & & \text{(Волновое уравнение в 2-х измерениях)} \end{выровнено} \end{уравнение*}

    Если несколько уравнений работают вместе, мы имеем так называемую систему дифференциальных уравнений . Например,

    \begin{уравнение*} у’ = х, \qquad х’ = у \end{уравнение*}

    — это простая система обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения Максвелла для электромагнетизма,

    \begin{уравнение*} \begin{выровнено} & \nabla \cdot \vec{D} = \rho, & & \nabla \cdot \vec{B} = 0 , \\ & \nabla \times \vec{E} = – \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, & & \nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} , \end{выровнено} \end{уравнение*}

    представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Оператор дивергенции \(\nabla \cdot\) и оператор ротора \(\nabla \times\) могут быть записаны в частных производных функций, участвующих в \(x\text{,}\) \(y\ text{,}\) и \(z\) переменные.

    Следующим битом информации является порядок уравнения (или системы). Порядок — это просто порядок наибольшей производной, которая появляется. Если самая высокая производная, которая появляется, является первой производной, уравнение имеет первый порядок. Если наибольшая производная, которая появляется, является второй производной, то уравнение имеет второй порядок. Например, приведенный выше закон охлаждения Ньютона является уравнением первого порядка, а уравнение механических колебаний – уравнением второго порядка. Уравнение поперечных колебаний балки 92} = 0, \end{уравнение*}

    — дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка. Это четвертый порядок, так как по крайней мере одна производная является четвертой производной. Неважно, что производная по \(t\) имеет только второй порядок.

    В первой главе мы приступим к рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, то есть уравнений вида \(\frac{dy}{dx} = f(x,y)\text{. }\) В общем, С уравнениями более низкого порядка легче работать, и они имеют более простое поведение, поэтому мы начинаем с них.

    Мы также различаем, как зависимые переменные появляются в уравнении (или системе). В частности, мы говорим, что уравнение является линейным , если зависимая переменная (или переменные) и их производные появляются линейно, то есть только как первые степени, они не перемножаются между собой и никакие другие функции зависимых переменных не появляются. Другими словами, уравнение представляет собой сумму членов, где каждый член представляет собой некоторую функцию независимых переменных или некоторую функцию независимых переменных, умноженную на зависимую переменную или ее производную. В противном случае уравнение называется 92 года знак равно \frac{1}{x}\label{classification_eqlinex}\tag{4} \end{уравнение}

    по-прежнему является линейным уравнением, поскольку \(y\) и его производные появляются только линейно.

    Все приведенные выше уравнения и системы являются линейными. 2} , \end{уравнение*} 92\метка{classification_eqnonlinode}\тег{5} \end{уравнение}

    является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, поскольку существует вторая степень зависимой переменной \(x\text{.}\)

    Линейное уравнение может далее называться однородным , если все члены зависят от зависимой переменной. То есть, если ни один член не является функцией только независимых переменных. В противном случае уравнение называется неоднородным или неоднородным . Например, уравнение экспоненциального роста, волновое уравнение или уравнение переноса выше являются однородными. Приведенное выше уравнение механических колебаний неоднородно, пока \(f(t)\) не является нулевой функцией. Точно так же, если температура окружающей среды \(A\) отлична от нуля, закон охлаждения Ньютона неоднороден. Однородное линейное ОДУ можно представить в виде 9{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + а_{0}(х) у = 0 . \end{уравнение*}

    Сравните с (3) и обратите внимание на отсутствие функции \(b(x)\text{. }\)

    Если коэффициенты линейного уравнения на самом деле являются постоянными функциями, то говорят, что уравнение имеет постоянных коэффициентов . Коэффициенты – это функции, умножающие зависимую переменную (переменные) или одну из ее производных, а не функцию \ (b (x) \), стоящую отдельно. Неоднородное ОДУ с постоянным коэффициентом представляет собой уравнение вида 9{n-1}} + \cdots + a_{1} \frac{dy}{dx} + а_{0} у = б(х), \end{уравнение*}

    , где \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) все константы, но \(b\) может зависеть от независимой переменной \(x\text{.}\) Приведенное выше уравнение механических колебаний представляет собой неоднородный постоянный коэффициент ОДУ второго порядка. Та же номенклатура применяется к УЧП, поэтому уравнение переноса, уравнение теплопроводности и волновое уравнение являются примерами линейных УЧП с постоянным коэффициентом.

    Наконец, уравнение (или система) называется автономное , если уравнение не зависит от независимой переменной. Для автономных обыкновенных дифференциальных уравнений независимая переменная рассматривается как время. Автономное уравнение означает уравнение, которое не меняется со временем. Например, закон охлаждения Ньютона автономен, как и уравнение (5). С другой стороны, механические колебания или (4) не автономны.

    Подраздел 0.3.1 Упражнения

    Упражнение 0.3.1.

    Классифицируйте следующие уравнения. Являются ли они ODE или PDE? Это уравнение или система? Каков порядок? Является ли он линейным или нелинейным, и если он линейный, то является ли он однородным, с постоянным коэффициентом? Если это ОДУ, то является ли оно автономным? 94} = 0\)

Ответ.

а) ОДУ, уравнение второго порядка, линейное, неоднородное, с непостоянным коэффициентом, неавтономное.
b) УЧП, уравнение первого порядка, линейное, неоднородное, с постоянным коэффициентом.
в) ОДУ, система, второго порядка, линейная, однородная, с постоянным коэффициентом, автономная. Примечание: независимая переменная здесь отсутствует.
d) УЧП, уравнение второго порядка, нелинейное.
д) ОДУ, уравнение второго порядка, нелинейное, неавтономное.
f) ОДУ, уравнение, четвертого порядка, линейное, однородное, с постоянным коэффициентом, автономное.

Упражнение 0.3.2.

Если \(\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)\) — вектор, то мы имеем дивергенцию \(\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \ гидроразрыва {\ парциальное и_2} {\ парциальное у} + \frac{\partial u_3}{\partial z}\) и curl \(\nabla \times \vec{u} = \Большой( \frac{\partial u_3}{\partial y} – \frac{\partial u_2}{\partial z} , ~ \frac{\partial u_1}{\partial z} – \frac{\partial u_3}{\partial x} , ~ \frac{\partial u_2}{\partial x} – \frac{\partial u_1}{\partial y} \Bigr)\text{.}\) Обратите внимание, что ротор вектора по-прежнему является вектором. Запишите уравнения Максвелла в терминах частных производных и классифицируйте систему.

Ответ.

\begin{уравнение*} \begin{выровнено} \frac{\partial D_1}{\partial x}+\frac{\partial D_2}{\partial y}+\frac{\partial D_3}{\partial z}=\rho, &\quad \frac{\partial B_1}{\partial x}+\frac{\partial B_2}{\partial y}+\frac{\partial B_3}{\partial z}=0 \\ \frac{\partial E_3}{\partial y}-\frac{\partial E_2}{\partial z}=-\frac{\partial B_1}{\partial t}, &\quad \frac{\partial H_3}{\partial y}-\frac{\partial H_2}{\partial z}=\frac{\partial D_1}{\partial t}+J_1 \\ \frac{\partial E_1}{\partial z}-\frac{\partial E_3}{\partial x}=-\frac{\partial B_2}{\partial t}, &\quad \frac{\partial H_1}{\partial z}-\frac{\partial H_3}{\partial x}=\frac{\partial D_2}{\partial t}+J_2 \\ \frac{\partial E_2}{\partial x}-\frac{\partial E_1}{\partial y}=-\frac{\partial B_3}{\partial t}, &\quad \frac{\partial H_2}{\partial x}-\frac{\partial H_1}{\partial y}=\frac{\partial D_3}{\partial t}+J_3 \end{выровнено} \end{уравнение*}

УЧП, система, первого порядка, линейная, неоднородная, с постоянным коэффициентом, автономная.

Упражнение 0.3.3.

Предположим, что \(F\) является линейной функцией, то есть \(F(x,y) = ax+by\) для констант \(a\) и \(b\text{.}\). Что такое классификация уравнений вида \(F(y’,y) = 0\text{.}\)

Ответ.

ОДУ, линейное, однородное, с постоянным коэффициентом, автономное.

Упражнение 0.3.4.

Запишите явный пример линейной неавтономной неоднородной системы третьего порядка с непостоянными коэффициентами из двух ОДУ, в которой каждая производная, которая могла бы появиться, появляется. 92\)

Ответ.

а) УЧП, уравнение второго порядка, линейное, неоднородное, с постоянным коэффициентом.
б) ОДУ, уравнение первого порядка, линейное, неоднородное, с непостоянным коэффициентом, не автономное.
в) ОДУ, уравнение, седьмого порядка, линейное, однородное, с постоянным коэффициентом, автономное.
г) ОДУ, уравнение, второго порядка, линейное, неоднородное, с постоянным коэффициентом, автономное.
д) ОДУ, системное, второго порядка, нелинейное.
f) УЧП, уравнение второго порядка, нелинейное. 9{k+2}\) линейный. Подсказка: есть два ответа.

Ответ.

\(k=0\) или \(k=1\)

Методы решения дифференциальных уравнений

  • Автор P_C
  • Последнее изменение 19-07-2022
  • Автор Р_С
  • Последнее изменение 19-07-2022

Методы решения дифференциального уравнения:  Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее одну или несколько функций со своими производными. В основном оно используется в физике, технике, биологии и т. д. Основная цель дифференциального уравнения — изучение решений, удовлетворяющих уравнениям. Решением дифференциального уравнения является связь между включенными переменными, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.

Существует два типа решений дифференциальных уравнений, а именно общее решение и частное решение. Общие и частные решения дифференциальных уравнений используют некоторые шаги интегрирования для решения уравнений. В этой статье давайте узнаем больше о методах решения дифференциального уравнения, таких как метод разделения переменных, однородное дифференциальное уравнение и линейное дифференциальное уравнение с помощью формулы неопределенного интегрирования.

Узнайте о квадратных уравнениях здесь

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения представляет собой выражение зависимой переменной через независимую переменную, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, поэтому решение можно разделить на два типа;

  • Общий раствор
  • Частный раствор

Общий раствор

Решение, состоящее из такого же количества произвольных констант, называется общим решением.

Особый раствор

Решение получается путем присвоения частных значений произвольным константам в общем решении дифференциального уравнения, и тогда полученное решение является частным решением. Результат исключения одной произвольной константы приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, а исключение двух произвольных констант приводит к дифференциальному уравнению второго порядка.

Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка и первой степени

Существует несколько методов решения дифференциального уравнения первой степени первого порядка;

  • Решение методом контроля
  • Метод разделимых переменных
  • Однородные уравнения
  • Линейные уравнения первого порядка

Метод контроля Если дифференциальное уравнение имеет вид \(f\left( {{f_1}\left( {x,y} \right)} \right)d\left( {{f_1}\left( {x,y} \ right)} \right) + \varphi \left( {{f_2}\left( {x,y} \right)} \right)d\left( {{f_2}\left( {x,y} \right) } \right) + \cdots \ldots = 0,\) то каждое слагаемое можно интегрировать отдельно. Итак, решение дифференциального уравнения можно получить, используя метод контроля. Есть несколько результатов, которые помогут нам найти решение дифференциального уравнения 9.2}}}\)

Метод разделения переменных

Дифференциальное уравнение первой степени первого порядка имеет вид
\(\frac{{dy}}{{dx}} = f\left( {x,y} \right)….\left( i \ right)\)
Если \(f\left( {x,y} \right)\) выражается как произведение \(f\left( x \right)g\left( y \right),\), где \(f\left( x \right)\) является функцией \(x\) и \(g\left( y \right)\) является функцией \(y;\), тогда говорят, что дифференциальное уравнение быть переменным разделяемым типом. Тогда мы можем написать \(\left( i \right)\) как
\(\frac{{dy}}{{dx}} = f\left( x \right)g\left( y \right)\)
Мы можем выполнить три простых шага, чтобы найти решение, используя метод разделения переменных .
Шаг 1: Переместите все члены \(y\), включая \(dy\), в одну часть уравнения, а все члены \(x\), включая \(dx\), в другую часть уравнения.
Шаг 2: Проинтегрируйте одну часть по \(y\) и другую часть по \(x,\) и добавьте постоянную интегрирования. 2}}}\)

Этапы решения однородных дифференциальных уравнений

Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение, выполните следующие действия.
Случай 1:
Если дифференциальное уравнение вида \(\frac{{dy}}{{dx}} = F\left( {x,y} \right) = g\left( {\frac{ y}{x}} \right).\)
Шаг 1: Подставить \(y = vx\) в данное дифференциальное уравнение.
Шаг 2: Дифференцируем по \(x,\), тогда \(\frac{{dy}}{{dx}} = v + x\frac{{dv}}{{dx}}.\) Теперь подставим значения \(y\) и \(\frac{{dy}}{{dx}}\) в данное дифференциальное уравнение, тогда получим \(v + x\frac{{dv}}{{ dx}} = g\влево( v \вправо)\)
\( \Rightarrow x\frac{{dv}}{{dx}} = g\left( v \right) – v\)
Шаг 3: Разделение переменных, затем \(\frac{{dv} }{{g\left( v \right) – v}} = \frac{{dx}}{x}.\)
Шаг 4: Примените интегрирование с обеих сторон, затем \(\int {\frac{ {dv}}{{g\left( v \right) – v}}} dv = \int {\frac{{dx}}{x}} + C. \)
Шаг 5: После интегрирования подставить значение \(v\) из шага \(1.\)
Случай 2:
Если дифференциальное уравнение вида \(\frac{{dx}}{{dy}} = F\left( {x,y} \right) = g\left( {\frac{x}{y}} \right).\) Однородные дифференциальные уравнения такого типа можно решить, положив \(x = vy,\) после этого , выполните те же пять шагов, что и для случая \(1.\)

Линейное дифференциальное уравнение Линейное дифференциальное уравнение включает в себя переменную, производную от этой переменной и несколько других функций. Стандартное уравнение линейного дифференциального уравнения имеет вид \(\frac{{dy}}{{dx}} + Py = Q,\), где \(P\) и \(Q\) – функции \(x.\ ) Точно так же \(\frac{{dx}}{{dy}} + {P_1}x = {Q_1}\) также является стандартным уравнением линейного дифференциального уравнения. Здесь \({P_1}\) и \({Q_1}\) являются функциями \(y\)

Общее решение линейного дифференциального уравнения 9{\int {P\,dy}}}. {\int {\sec xdx}} }\) 9{\ пер \ влево | {\sec x + \tan x} \right|}}\)
\(\следовательно, I.F = \left| {\sec x + \tan x} \right|\)

Q.3. Покажите, что следующее дифференциальное уравнение \(\left( {x + y} \right)\frac{{dy}}{{dx}} = \left( {x + 2y} \right)\) является однородным дифференциальное уравнение.
Ответ: Дано: \(\left( {x + y} \right)\frac {{dy}}{{dx}} = \left( {x + 2y} \right)\)
Чтобы доказать, что приведенное выше дифференциальное уравнение является однородным дифференциальным уравнением, подставьте \(x = tx,\) и \(y = tx\) 92}}}{2} = \ln \left( {kx} \right)\)
\( \Rightarrow v = \pm \sqrt {\left( {2\ln \left( {kx} \right)} \right)} \)
\( \Rightarrow \ frac{y}{x} = \pm \sqrt {\left( {2\ln \left( {kx} \right)} \right)} \) [восстановить \(v = \frac{y}{x}\)]
\(\следовательно y = \pm x\sqrt {\left({2\ln \left({kx} \right)} \right)} , \), что является требуемым общим решением.

Сводка

Решением дифференциального уравнения является отношение между включенными переменными, которое удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Существует два типа решений дифференциальных уравнений, таких как общее решение и частное решение. Эти решения дифференциальных уравнений используют некоторые шаги интегрирования для решения уравнений. Позже объясняются типы дифференциальных уравнений, за которыми следуют методы дифференциального уравнения, такие как метод разделимых переменных, однородный метод и линейное дифференциальное уравнение, а также некоторые решенные примеры.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Q.1. Какой метод используется для решения дифференциальных уравнений?
Ответ: Для решения данных дифференциальных уравнений можно использовать следующие методы:
1. Метод проверки
2. Разделяющая переменная
3. Однородное дифференциальное уравнение
4. n}f\left( {x,y} \right),\) для ненулевой константы, \(\mu .\) Таким образом, общая форма однородного дифференциального уравнения имеет вид \(f\left ( {x,y} \right)dy + g\left( {x,y} \right)dx = 0.\)

Q.4. Что такое метод разделимых переменных дифференциальных уравнений?
Ответ:
Если дифференциальное уравнение имеет вид \(f\left( x \right)dx = g\left( y \right)dy,\), где \(f\left( x \right)\) и \(g\left( y \right)\) являются функциями только \(x\) и \(y\). Тогда говорят, что переменные в дифференциальном уравнении сепарабельны. Таким образом, интегрируя обе части уравнения, получаем его общее решение.

Q.5. Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение? Дайте пример.
Ответ:
Обыкновенное дифференциальное уравнение — это уравнение, которое содержит только одну независимую переменную и одну или несколько ее производных по переменной. Следовательно, обыкновенное дифференциальное уравнение представляется как отношение, имеющее одну независимую переменную \(x,\) вещественную зависимую переменную \(y,\) с некоторыми своими производными \(y’,y”…\) по \ (x.

Оставить комментарий