Калькулятор Интегралов • По шагам!
Поддержка
Вам помог мой калькулятор? Расскажите своим друзьям об этом Калькуляторе и Вы тоже сможете мне помочь!
Наверху страницы введите функцию, которую Вы хотите проинтегрировать. Переменная интегрирования, пределы интегрирования и другие параметры могут быть изменены в разделе “Настройки“. Нажмите “=” чтобы запустить интегрирование/нахождение первообразной функции. Результат будет показан ниже на этой странице.
Как работает Калькулятор Интегралов
Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов.
Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже). В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета.
Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем “5x” вместо “5*x”. Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения.
Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для LaTeX (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере.
По нажатию кнопки “=”, Калькулятор Интегралов отправляет математическое выражение вместе с параметрами (переменной интегрирования и пределами интегрирования) на сервер, где оно анализируется еще раз. В этот раз выражение преобразуется в форму которая будет понятна системе компьютерной алгебры Maxima (Ма́ксима).
Ма́ксима вычисляет интеграл математической функции. Результат Ма́ксимы снова преобразуется в Ла́тех а затем показывается пользователю.
Первообразная вычисляется с помощью алгоритма Ри́ша, который достаточно замысловат для понимания человеком. Именно поэтому задача показывать промежуточные шаги решения интегралов является такой сложной.
Для того чтобы всё-таки показать пошаговое решение, Калькулятор Интегралов использует такие же методы, которыми бы воспользовался человек. Алгоритм, который это осуществляет, разрабатывался в течении нескольких лет и был написан на собственном языке программирования Ма́ксимы. Программа содержит более чем 17000 строк кода. Если интегрируемое выражение совпадает по форме с уже известным, алгоритм применяет заранее определённые правила для решения интеграла (например, метод неопределённых коэффициентов для рациональных функций, тригонометрическую подстановку в интегралах с квадратным корнем из квадратичной функции или интегрирование по частям для продуктов определенных функций). Если же оно не совпадает с уже известным, тогда алгоритм пробует разные подстановки и преобразования пока интеграл не будет решен или пока не закончится отведённое для этого время или же пока не кончатся все возможные варианты.
С одной стороны, у Калькулятора нет математической интуиции, которая бы очень помогла в поисках первообразной, но зато, с другой стороны, Калькулятор в состоянии перепробовать большое количество разных вариантов за очень короткое время. Такое пошаговое вычисление первообразной по правилам, зачастую, более компактно и элегантно чем вычисленное Ма́ксимой.
Еще один режим работы “Проверка решения” должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно. К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля – задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах. В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т.к. первообразная может отличаться константой.
Интерактивные графики функций вычисляются в браузере и отрисовываются на Сanvas (“Холст”) из HTML5. Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика. Все сингулярности (например полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе hammer.js.
Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.
Основы численного интегрирования в COMSOL Multiphysics®
Продолжительность: 1:15:33
Вернуться в Видеогалерею
- Описание
- Субтитры
Численное интегрирование является неотъемлемой частью решения дифференциальных уравнений методом конечных элементов.
Кроме того, интегрирование часто необходимо для расчета вспомогательных переменных в процессе моделирования (площади, объёмы, средние величины, полные потоки или источники и т.п.) и для обработки полученных результатов.
В этом видео мы рассказываем, что такое гауссовы точки и как они используются, когда и зачем используются методы численного интегрирования, и какие возможности настройки интегрирования доступны в COMSOL Multiphysics®. В практической части вебинара мы демонстрируем разные методы и подходы к расчету интегралов: пространственных, временных, определенных и с переменным пределом, в том числе рассказываем о нескольких вариантах интегрирования вдоль произвольно заданных или рассчитанных кривых, например вдоль линий тока. Наконец, мы обсуждаем использование специальных операторов и функций интегрирования.
Интересные статьи по теме из блога COMSOL®:
- Введение в численное интегрирование и гауссовы точки
- Обзор методов интегрирования по пространству и времени
- Как проанализировать результаты расчета с помощью операторов Projection
- Как вычислить интеграл функции с неопределенным верхним пределом
- Вычисление интегралов с переменным верхним пределом и решение интегро-дифференциальных уравнений
Заинтересовались возможностями COMSOL Multiphysics®? Свяжитесь с нами для получения подробной информации обо всех возможностях программы, вариантах лицензирования и стоимости.
Оглавление
Введение (0:00) Теоретический минимум: численное интегрирование (7:50) Функции и операторы интегрирования (29:51) Интегрирование на этапе обработки результатов (30:25) Интегрирование в процессе расчета (39:17) Интегралы с переменным верхним пределом (48:02) Интегрирование вдоль произвольного контура (53:50) Операторы Projection (1:00:41) Интегрирование аналитических функций (1:02:45) Интегрирование с помощью математических интерфейсов (1:05:13) Интегрирование по времени (1:06:18) Заключение, контактная информация, Q&A (1:12:30)
$4x$
Теперь, чтобы переписать $dx$ через $du$, нам нужно найти производную от $u$.
Нам нужно рассчитать $du$, мы можем сделать это, выведя уравнение выше
$du=4xdx$
4
Изолировать $dx$ в предыдущем уравнении
$\frac{du}{4x}=dx$
Промежуточные шаги
Упростить дробь $\frac{x\cos\left(u\right)}{ 4x}$ на $x$
$\int\frac{\cos\left(u\right)}{4}du$
5
Подставляя $u$ и $dx$ в интеграл и упрощая
$\int\frac{\cos\left(u\right)}{4}du$
Промежуточные шаги
Возьмем константу $\ frac{1}{4}$ из интеграла
$\frac{1}{4}\int\cos\left(u\right)du$
Разделить $1$ на $4$
$\frac{ 1}{4}\int\cos\left(u\right)du$
6 92+3\вправо)+C_0$
исчисление – Точно вычислить $\pi$ с помощью интегралов?
Хотите рассчитать $PI$ методами исчисления?
Вот шаги, которые нужно выполнить:
- Во-первых, нам нужно рассчитать расстояние линии
- Затем нужно геометрически посмотреть на график любой произвольной кривой
- Отсюда мы можем назначать точки и выводить уравнения для аппроксимации отдельных отрезков между двумя точками с одинаковым значением $dx$.
- После этого мы алгебраически преобразуем формулу расстояния в форму относительно $dx$.
- Теперь нам нужно применить теорему о среднем значении к нашей модифицированной формуле расстояния.
- Далее мы воспользуемся суммированием, чтобы аппроксимировать длину этой кривой.
- Как только мы получим суммирование в желаемой форме; мы можем заменить его интегралом Римана.
- После этого нам нужно собрать некоторую информацию о $pi$ и связать ее с нашим интегралом Реймана.
- Мы можем легко найти нижнюю и верхнюю границы по единичному кругу.
- Мы можем использовать общее уравнение окружности, фиксированной в начале координат $(0,0)$
- Здесь нам нужно найти $y$, после чего мы можем преобразовать его в функцию $f(x)$.
- Прежде чем мы сможем его использовать, нам сначала нужно найти его производную.
- Получив производную, мы можем подключить ее к нашему интегралу.
- Наконец, мы можем пройти этапы интегрирования, оценить его и увидеть, что на самом деле мы получаем $pi$.
