Вычисление неопределенных интегралов: Неопределенный интеграл онлайн

Содержание

Неопределенный интеграл и его свойства

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Тема: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Неопределенный интеграл и его
свойства.

2. 1.1. Первообразная функция

y F ( x)
ОПР. Функция
называется
первообразной для функции y f ( x ) на
данном промежутке (a;b), если для любого
x
из этого промежутка
F ‘( x ) f ( x ) или dF ( x ) f ( x )dx.
Пример. Первообразной для функции
f ( x) x
2
на всей числовой оси является F ( x ) 1 x 3 C
3
C const так как 1 3
2
x C x .
3
Теорема 1.1. Если функция f(x) непрерывна
на данном интервале, то на этом интервале
она имеет первообразную.
Теорема 1.2. Если функция F(x) является
первообразной функции f(x) на (a;b), то
множество всех первообразных для f(x)
задается формулой F(x)+C, где C −
постоянная.

4. 1.2. Неопределенный интеграл

ОПР. Совокупность всех первообразных
F ( x ) C для данной функции f ( x )
называется ее неопределенным интегралом
и обозначается
f ( x)dx F ( x) C ,
где
C
– произвольная постоянная.
Знак
называется интегралом, функция
f (x) – подынтегральной функцией,
f ( x)dx – подынтегральным выражением,
x
– переменной интегрирования.
Операция нахождения неопределенного
интеграла для данной функции называется
интегрированием этой функции.
Интегрирование – операция, обратная
операции дифференцирования.

6. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного
интеграла
равен
подынтегральному
выражению:
d f ( x )dx f ( x )dx
2.
Производная
интеграла
равна
функции:
неопределенного
подынтегральной
f ( x)dx f ( x).
Таким образом,
правильность интегрирования проверяется
дифференцированием!
3.
Неопределенный
интеграл
от
дифференциала некоторой функции равен
сумме этой функции и произвольной
постоянной:
dF
(
x
)
F
(
x
)
C
.
4. Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла:
af
(
x
)
dx
a
f
(
x
)
dx
.
5.
Неопределенный
интеграл
от
алгебраической суммы конечного числа
непрерывных
функций
равен
алгебраической сумме интегралов от
слагаемых функций:
f ( x) g( x) dx f ( x)dx g( x)dx.
6. Если
f ( x ) dx F ( x ) C , то
f (u) du F (u) C ,
где u ( x )
− произвольная функция,
имеющая непрерывную производную.
Данное
свойство
называется
инвариантностью
неопределенного
интеграла.
При вычислении неопределенного интеграла
используют формулу:
1
f (ax b)dx F (ax b) C , a 0.
a

13. Таблица простейших интегралов

1. 0 du C;
3. u du
1
u
1
2. 1 du u C;
C , 1;
1
5.
du 2 u C ;
u
u
a
u
7. a du
C;
ln a
9. sin udu cos u C;
1
11.
du tgu C ;
2
cos u
1
1
4. 2 du C;
u
u
1
6. du ln u C;
u
8. e udu e u C;
10. cos udu sin u C;
1
12. 2 du ctgu C;
sin u
1
1
u
13. 2
du arctg C;
2
u a
a
a
14.
1
u
du arcsin C ;
2
2
a
a u
du
1
u a
15. 2
ln
C;
2
u a
2a u a
16.
du
u2 a 2
ln u u a C .
2
2
Вычисление интегралов с помощью
преобразования
подынтегрального
выражения к табличной форме и
использования свойств неопределенного
интеграла называется непосредственным
интегрированием.
Вспомогательные сведения
1. a a a
m
m
n
a
m n
2.
a ;
n
a
m n
1
; 3. n a n ;
a
4.
n
a a
m
m
n
.

16. Пример 1. Используя таблицу и свойства интегралов, найти интегралы.

5 1
dx
x
5
1. 5 x dx (ô î ðì óëà (3))=
C
x
5 1
1
4 C.
4x
x
x
2. (2 x 7 )dx 2 xdx 7 dx
2
x
x
x
7
7
2
(ô î ðì óëû (3), (7))= 2
C x
C.
2 ln 7
ln 7
3.
2
x
dx (ô î ðì óëà (3))=
x dx
5
5
1
2
5
7
x
x 2
=
C
C.
5 1
7
2
2
4.
dx
2
x 16
dx
(ô î ðì óëà (13))= 2
2
x 4
1
x
arctg C .
4
4
5.
6.
dx
x 2 25
dx
9 x2
ln x x 2 25 C .
dx
x
arcsin C .
3
32 x 2

19. 1.3. Основные методы вычисления неопределенных интегралов

Непосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором
данный интеграл путем тождественных
преобразований подынтегральной функции
(или выражения) и применения свойств
неопределенного интеграла приводится к
одному или нескольким табличным
интегралам, называется непосредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к
табличному часто используется следующее
преобразование дифференциала (операция
«подведения под знак дифференциала»).
f ( u)du d ( f ( u))
Например:
du d (u b), b const;
1
du d (au b), a 0, a const;
a
cos udu d (sin u).

21. Примеры

1
9
1. (3 x 1) dx (3 x 1) d (3 x 1)
3
10
1 (3 x 1)
C.
3
10
9
dx
1 d (4 x 5)
2.
4x 5 4 4x 5
1
ln 4 x 5 C .
4
x
x
x
3. cos 7 dx 5 cos 7 d 7
5
5
5
x
5sin 7 C .
5

23. Интегрирование заменой переменной

Метод замены переменной (метод
подстановки) состоит в преобразовании
интеграла f(x)dx
в другой интеграл
f(u)du,
который вычисляется проще, чем исходный.

24. Пример

(6
x
3)
dx
t 6x 3
dt
dt 6dx , dx
6
6
1 5
1t
t dt
C ( t 6 x 3)
6
66
1.
5
1
6
(6 x 3) C .
36
t 5 7x
dx
2.
1
5 7 x dt 7dx , dx dt
7
1 dt
1
ln t C (t 5 7 x )
7 t
7
1
ln 5 7 x C .
7
3. sin
x
t 8,
x
2
8 dx
2
1
dt dx , dx 2dt
2
x
2 sin tdt 2cos t C (t 8)
2
x
2cos 8 C .
2

27. Интегрирование по частям

Формула
udv uv vdu,
где u u( x ) и v v ( x ) – дифференцируемые
функции, называется
формулой интегрирования по частям.
Метод
интегрирования
по
частям
целесообразно применять, если
vdu
более прост в вычислении, чем
udv
.

28. Некоторые типы интегралов, которые можно вычислять методом интегрирования по частям

1. Интегралы вида Pn ( x )e mx dx, Pn ( x )a mxdx,
P ( x)sin mxdx, Pn ( x)cos mxdx,
n
где Pn ( x ) − многочлен, m − число.
Здесь полагают u Pn ( x ),
за dv обозначают остальные сомножители.
2. Интегралы вида Pn ( x )ln xdx, Pn ( x)arcsin xdx,
P ( x)arccos xdx, P ( x)arctgxdx, P ( x)arcctgxdx.
n
n
n
Pn ( x )dx dv
Здесь полагают
за u обозначают остальные сомножители.
3. Интегралы вида e ax cos bxdx, e ax sin bxdx,
где a и b − числа.
ax
За u можно принять функцию e .

30. Пример. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.

1. 2 x 5 cos xdx
u 2 x 5, du 2dx
dv cos x , v cos xdx sin x
(2 x 5) sin x 2 sin xdx
(2 x 5)sin x 2cos x C

English     Русский Правила

Практическая работа по теме “Вычисление неопределенного интеграла”

Практическая работа по теме “Вычисление неопределенного интеграла”

Разделы: Математика

Класс: 11

Ключевые слова: практическая работа, неопределенный интеграл, методы интегрирования


Цель занятия: отработка навыков вычисления неопределенного интеграла.

Задачи занятия: научиться вычислять неопределенный интеграл при помощи таблицы интегралов, развитие вычислительных навыков, логического мышления.

Теоретические сведения необходимые для выполнения практического задания

  1. Понятия первообразной и ее основные свойства.
  2. Основные правила вычисления первообразной.
  3. Неопределенный интеграл, его свойства.
  4. Таблица неопределенных интегралов.
  5. Основные правила вычисления неопределенного интеграла.
  6. Методы интегрирования.
Вариант 1
Вычислить неопределенный интеграл
Вариант 2
Вычислить неопределенный интеграл

Вариант 3
Вычислить неопределенный интеграл
Вариант 4
Вычислить неопределенный интеграл

Вариант 5
Вычислить неопределенный интеграл
Вариант 6
Вычислить неопределенный интеграл

Критерии оценивания

Каждый пример оценивается в 1 балл.

Максимальное количество баллов за правильно выполненные примеры 16 баллов.

  • 9 баллов оценка “3”,
  • 12 баллов оценка “4”,
  • 15 баллов оценка “5”.

Литература

  1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т.1. М., 1972 г.
  2. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Математический анализ. Интегральное исчисление. М., 1979 г.
  3. Шкерина Л.В. Сборник задач по началам математического анализа (разноуровневые индивидуальные задания): Учебное пособие. Красноярск: РИО КГПУ, 2000 г.

Неопределенный интеграл: значение и расчет

Вы замечали, как члены одной семьи похожи друг на друга? То же верно и для семейств функций! Функции одной формы очень похожи друг на друга, как члены одной семьи. Неопределенные интегралы здесь ничем не отличаются. Они представляют собой семейство первообразных функции, поэтому они очень похожи друг на друга.

В этой статье вы узнаете, что такое неопределенный интеграл, его определение, формулу и свойства. Вы также увидите примеры вычисления неопределенных интегралов.

Определение неопределенного интеграла

Как вы знаете из статьи о первообразных, процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием . Помните, что если вам дана функция \( f(x) \), то первообразной \( f(x) \) является любая функция \( F(x) \), которая удовлетворяет условию:

\[ F'(х) = f(х). \]

Итак, при чем тут неопределенный интеграл?

Ну, это используется для обозначения всего семейства первообразных функции, тогда как первообразная — лишь одна из бесконечных возможностей.

Имея это в виду, вы определяете неопределенный интеграл как: f(x) \) называется неопределенным интегралом . Обозначение для этого неопределенного интеграла:

\[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]

, где \(C\) – любая константа.

Обратите внимание:

  • \( \int \) называется интегральным символом переменная интегрирования ,

  • \( \mathrm{d}x \) называется дифференциалом C\) называется константой интегрирования (или константой интегрирования).

Обратите внимание, что термины «неопределенный интеграл» и «первообразная» иногда используются взаимозаменяемо, а в некоторых текстах первообразная также называется «примитивной функцией».

Учитывая терминологию, представленную вам в этом определении, действие по нахождению первообразных функции, \( f \), обычно упоминается как:

  1. интегрирование \( \mathbf{f} \) o r
  2. нахождение интеграла от \( \mathbf{f} \).

Для функции \( f(x) \) и ее первообразной \( F(x) \) функции вида \( F(x) + C \), где \( C \ ) — любая константа, часто называют семейством первообразных \( \mathbf{f(x)} \). {2}+C \), где \(C \) — любая константа (при условии, что это действительное число).

Формула неопределенного интеграла

Как и в случае с первообразными вообще, неопределенные интегралы не имеют единственной формулы для их решения. Существует множество правил и свойств, которые вы научитесь использовать для решения неопределенных интегралов — они основаны на уже изученных вами правилах дифференцирования. Причина этого обсуждается в статье об основной теореме исчисления.

При этом суть нахождения неопределенного интеграла от функции состоит в том, чтобы выполнить уже известные вам правила дифференцирования в обратном порядке.

Свойства неопределенного интеграла

Поскольку неопределенный интеграл — это просто семейство первообразных, их свойства одинаковы. Но, повторяю, неопределенный интеграл линейный; т. е. вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются приведенными ниже правилами.

Свойство суммы/разности :

\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int г(х) ~\mathrm{d}х \]

Постоянное кратное свойство :

\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]

Доказательства свойств Неопределенный интеграл

  1. В общем, если \(F\) является первообразной \(f\) и \(G\) является первообразной \(g\), то\[ \frac{d}{ dx} (F(x) \pm G(x)) = F'(x) \pm G'(x) = f(x) \pm g(x). \]Это означает, что \( F(x) \pm G(x) \) является первообразной \( f(x) \pm g(x) \), так что \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = F(x) \pm G(x) + C. \]
  2. Теперь попробуйте найти первообразную \(kf(x)\), где \(k\) — любая константа. Поскольку вы знаете, что \[ \frac{d}{dx} (kf(x)) = k \frac{d}{dx}F(x) = kf'(x) \]для любой константы \( k \) , можно заключить, что \[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = kF(x) + C. \]

Правила нахождения неопределенных интегралов

По большей части правила нахождения неопределенного интеграла интеграл функции являются обратными (или обратными) правилам нахождения производных.

Ниже приведен список правил для общих неопределенных интегралов.

  1. T Правило константы Если вы рассматриваете функцию \( F(x) = 3 \) и записываете ее производную как \( f(x) \), это означает, что \( f(x) = \frac{dF}{dx} \). Вы уже знаете, что можете найти производную этой функции, применяя константное правило для производных: \( \frac{d}{dx}(k) = 0 \). Теперь предположим, что вы хотите обратить этот процесс вспять, и спросите себя: какая функция (функции) могла бы иметь производную \(f(x) = 0 \)? Очевидно, \( F(x) = 3 \) — один ответ. Вы говорите, что \(F(x) = 3\) является первообразной \(f(x) = 0\).

    • Однако существуют и другие функции, производная которых равна \( f(x) = 0 \), включая, помимо прочего, \( F(x) = 5 \), \( F(x) = -4 \ ) и \( F(x) = 200 \). Это потому, что когда вы берете производную, константа исчезает.

    • Следовательно, если вам дана первообразная \(f(x)\), все остальные можно найти, добавив другую константу. Другими словами, если \(F(x)\) является первообразной \(f(x)\), то \(F(x) + C\) также является первообразной \(f(x)\) для любой константы \( C \). Эта группа или семейство первообразных представлена ​​неопределенным интегралом. 9{x}}{\ln a} + C, ~\ a \neq 1\end{align} \]

    • Правило синусов

      \[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \cos(x) ~\mathrm{d}x = \sin (x) + C\end{align} \]

    • Правило косинуса

      \[ \begin{align}\text{Правило производной: } &\frac{d}{dx}(\cos( x)) = -\sin(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\end{align} \ ] 9{2}(x) ~\mathrm{d}x = \tan(x) + C\end{align} \]

    • Правило косеканса

      \[ \begin{align}\text{Производная Правило: } &\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \csc(x)\ cot(x) ~\mathrm{d}x = -\csc(x) + C\end{align} \]

    • Секущее правило

      \[ \begin{align}\text{Производное правило : } &\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sec(x)\tan( х) ~\mathrm{d}x = \sec(x) + C\end{align} \] 9{rd} \) правило из списка выше:

      \[ \int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C \]

      Неопределенные интегралы: ошибки, которых следует избегать

      Вы заметили, что в приведенном выше списке нет правил произведения, частного или цепных правил для интегралов?

      Что это значит?

      Это означает, что, как и в случае с производными, правила, применимые к сложению и вычитанию, не применяются в той же мере к умножению и делению. Другими словами, так же, как и с производными:

      • Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций .\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g (x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f( x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \frac{\int f(x) ~\mathrm{d}x}{\int g(x) ~\mathrm{d}x }\end{align} \]

      Вместо:

      • правила произведения и частного для производных приводят к интегрированию по частям, и

      • цепное правило для производных приводит к интегрированию путем замены.

      Хотя интегрирование по частям выводится специально из правила произведения для производных, оно применяется как к произведению, так и к частному интегралов. Это связано с тем, что для любых двух функций \(f\) и \(g\) можно записать частное двух функций в виде произведения:

      \[ \frac{f}{g} = f \cdot \ дробь{1}{г}. \]

      Другими словами, вы можете думать о частном правиле для деривативов как о замаскированном правиле произведения; то же верно и для интегрирования по частям. 9{2}} ~\mathrm{d}x \]

      и используйте правило произведения для выполнения интегрирования по частям.

      Вычисление неопределенного интеграла

      Когда дело доходит до вычисления неопределенного интеграла, точные шаги будут зависеть от самого интеграла. Однако есть несколько очень простых шагов, которые вам нужно будет запомнить для вычисления всех неопределенных интегралов.

      Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла

      1. Определите, какие свойства и правила применяются.

      2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

      3. Используйте выбранные вами правила.

      4. Добавьте константу интегрирования.

      5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).

      Неопределенные интегралы Примеры

      В следующих примерах оцените каждый из неопределенных интегралов. Этот первый пример относительно прост.

      Оценка 9{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x \]

      Ответ :

      1. Определите, какие свойства и правила применяются.

      2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

        1. Применение правила суммы/разности для интегралов.

        2. Применение правила постоянного кратного для интегралов.

        3. Применение правила степени для интегралов.

      3. 9{2}}{x} + \frac{4\sqrt[3]{x}}{x} \right) ~\mathrm{d}x. \]

      4. Теперь вы можете вычислить интеграл почленно, используя правило суммы/разности и правило степени.

  2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

    • Применение правила суммы/разности.

    • Применение правила мощности.

  3. Используйте выбранные вами правила.

      9{2}} ~\checkmark\end{align} \]

Этот пример показывает, что упрощение тригонометрических функций в подынтегральном выражении может значительно упростить задачу.

Вычислить

\[ \int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x \]

Ответ :

  1. Определите, какие свойства и правила применяются.

  2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

  3. Используйте выбранные вами правила.

  4. Добавьте константу интегрирования.

    \[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C \]

  5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x ) \).\[ \begin{align}f(x) &= \tan(x) \cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cancel{\cos(x)}} \cancel {\ cos (x)} = \ sin (x) \\ F (x) & = – \ cos (x) + C \\~ \\ F ‘(x) & = – (- \ sin (x)) \\&= \sin(x) ~\checkmark\end{align} \]

Неопределенный интеграл – ключевые выводы

  • Если \( F(x) \) является первообразной функции \( f( x) \), то семейство первообразных \( f(x) \) называется неопределенный интеграл . Это записывается как: \[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]где \(C\) – любая константа.
  • Вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются следующим образом:
    • Свойство суммы/разности: \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d} x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \]
    • Постоянное кратное свойство:\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm {г}х \]
  • В большинстве случаев правила нахождения неопределенного интеграла функции обратны правилам нахождения производных.

  • Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x ) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f(x) }{g (x)} ~ \ mathrm {d} x &\ neq \ frac {\ int f (x) ~ \ mathrm {d} x} {\ int g (x) ~ \ mathrm {d} x} \ конец {выравнивание} \]
  • Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла:
    1. Определите, какие свойства и правила применяются.

    2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

    3. Используйте выбранные вами правила.

    4. Добавьте константу интегрирования.

    5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).

Интегрирование по частям – неопределенные интегралы – x-engineer.org

Интегрирование по частям — это метод вычисления неопределенных интегралов с использованием дифференциала произведения двух функций.

Если у нас есть две функции, u и v , дифференциал их произведения будет:

\[d(u \cdot v)=u \cdot dv + v \cdot du \tag{1} \]

Если мы проинтегрируем обе части математического выражения, мы получим:

\[\int d(u \cdot v)=\int \left (u \cdot dv + v \cdot du \right ) \тег{2}\]

Мы знаем, что интеграл от производной функции дает саму функцию. Итак:

\[\int d(u \cdot v)= u \cdot v \tag{3}\]

Также интеграл суммы двух функций равен сумме интеграла каждой функции:

\[\int \left (u \cdot dv + v \cdot du \right ) = \int u \cdot dv + \int v \cdot du \tag{4}\]

Замена уравнений (3) и ( 4) в уравнении (2) получаем:

\[ u \cdot v =\int u \cdot dv + \int v \cdot du \tag{5} \]

Преобразование уравнения (5) дает математическое выражение для интегрирования по частям :

\[\bbox[#FFFF9D]{ \int u \cdot dv =u \cdot v -\int v \cdot du} \tag {6} \]

Пример 1 . Решите интегрированием по частям следующий интеграл:

\[\int x \cdot cos(x) dx\]

Как видим, интеграл содержит произведение двух функций: x и cos(x) . Мы собираемся заменить их на u 9.0622 и против .

Шаг 1 . Заменим функции на u и v

Сначала заменим:

\[u = x \tag{7}\]

= dx \tag{8}\]

Во-вторых, заменяем:

\[dv = cos(x)dx \tag{9}\]

Применяя интегрирование  к уравнению (9), получаем:

\ [\int dv = \int cos(x)dx \tag{10}\] \[v = sin(x) \tag{11}\]

Шаг 2 . Используйте общее уравнение (6) и замените  u и v расчетными функциями:

\[\int x \cdot cos(x) dx = x \cdot sin(x) – \int sin(x)dx \ тег{12}\]

Шаг 3 . Решить правую часть уравнения

Мы знаем, что:

\[\int sin(x) dx = – cos(x) + C \tag{13}\]

Подставляя результат интеграла (13) в уравнении (12) получаем результат нашего интегрирования по частям:

9x dx\]

Как видим, интеграл содержит произведение двух функций: x и e x .

Оставить комментарий